logaritmes
TRANSCRIPT
Logaritmes … per què?Els logaritmes apareixen en la història de la humanitat fa uns 400 anys i van ser utilitzats quasi uns 350 anys com la principal eina de càlculs aritmètics, estalviant, així, un increïble esforç per fer càlculs.
La paraula logaritme vol dir “números proporcionats”. Aquesta paraula composta està formada per logos (que significa raó o quocient) i arithmós (que significa número). Es defineix literalment logaritme com un número que indica una relació o proporció.
Amb aquests números, les multiplicacions es van poder substituir per sumes, les divisions per restes, les potències en productes i les arrels per divisions, la qual cosa va simplificar MOLT la realització manual de càlculs matemàtics.
John Napier (1550 Edimburg – 1617 Edimburg) va ser qui va desenvolupar el desenvolupament dels logaritmes.
Si calculem, aplicant l’algoritme de la multiplicació …
obtenim ...
SI ENETENEM COM VAN SORGIR ELS LOGARITMES, ENTENDREM COM OPERAR AMB ELLS
Es podria construir una taula que contingués algunes potències de base i exponent natural.
Localitzem en ella un dels resultats obtinguts.
Observa els resultats de la fila 13.
13 és l’exponent el qual s’ha d’elevar 2 per obtenir 8.192o
13 és l’exponent el qual s’ha d’elevar 3 per obtenir 1.594.323o
13 és l’exponent el qual s’ha d’elevar 4 per obtenir 67.108.864o
...
Aquest exponent és el que es denomina logaritme.
Cal expressar-ho així:
EL LOGARITME D’UN NÚMERO ÉS L’EXPONENT AL QUAL S’HA
D’ELEVAR LA BASE DEL LOGARITME PER OBTENIR EL NÚMERO
(ARGUMENT)
Per definició, la base és sempre un número real positiu i diferent de 1
Per definició, l’argument també és un nombre real positiu.
Per resoldre 16 · 512 i sense efectuar l’algoritme de la multiplicació fem ...
Les multiplicacions s’han convertit en sumes.
Per resoldre 67.108.864 : 263.144
Les divisions s’han convertit en restes.
Cal parar atenció en la següent observació:
En la sèrie de potències de base igual a 2
La sèrie de resultats aconseguits es geomètrica de raó 2 i els exponents formen una sèrie aritmètica de diferència 1
Una progressió geomètrica és una successió de nombres que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió. També podem considera que qualsevol element es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó.
Ex: 1, 2, 4, 8, 16 ...
Una progressió aritmètica és una successió de nombres de manera que la diferència de dos termes successius qualssevol de la seqüència és una constant, quantitat anomenada diferència de la progressió o simplement diferència o fins i tot "distància".
Ex: 3, 5, 7, 9, ...
Segons el que hem expressat anteriorment
4 és l’exponent el qual s’ha d’elevar el 2 per obtenir 16.
És a dir ...
4 és el logaritme en base 2 de 16 i s’expressa
Amb el mateix criteri
Observem que 4 + 9 = 13
Per tant ...
EL LOGARITME D’UN PRODUCTE, en una base determinada, és la suma dels logaritmes –en la mateixa base- de cada un dels factors. Simbòlicament s’escriu:
Una cosa similar passa amb el LOGARITME D’UN QUOCIENT
Fent una anàlisi similar al que hem fet amb el producte
El LOGARITME D’UN QUOCIENT, en una base donada, és la diferència entre els logaritmes del dividend i del divisor, en la mateixa base.
El LOGARITME RESPECTE DE LA POTÈNCIA és igual al producte de l’exponent pel logaritme de la base. Un exemple
És a dir ...
Podríem pensar també ...
Per la propietat abans comentada sobre el logaritme d’un producte, tenim
7 vegades
El LOGARITME D’UN NÚMERO POSITIU, EN LA MATEIXA BASE és igual a 1.
exemple
UTILITAT DELS LOGARITMES
LES ESCALES LOGARITMIQUESEn ocasions resulta avantatjós emprar escales logarítmiques per fer representacions gràfiques quan les dades tenen una variació molt gran.
Exemple:Suposem que volem recopilar informació sobre el pes mínim i màxim que tenen els mamífers marins de la Patagònia Austral. Hi ha moltes dades i molt diferents.
Foca menjacrancsLobodon carcinophagus
Balena blavaBalaenoptera musculus
Representar els pesos mínims i màxims dels mamífers marins en una escala aritmètica pot no aportar gaire informació per aquells animals més petits. L’escala logarítmica resulta molt més adequada i fins i tot senzilla de realitzar.
Els terratrèmolsPer mesurar la magnitud d’un terratrèmol s’utilitza l’escala de Richter. És una escala logarítmica arbitrària que assigna un número per quantificar l'energia que allibera un terratrèmol, anomenada així en honor del sismòleg nord-americà Charles Richter (1900-1985). Tots els terratrèmols es comparen amb un terratrèmol de nivell zero amb una lectura sismogràfica de 0’001 mm.
Els terratrèmols són registrats per aparells anomenats sismògrafs, que en mesuren l’amplitud A i el període p. L’amplitud es mesura en micròmetres (1μm = i el període es mesura en segons.
L'escala de magnitud Richter està basada en una escala logarítmica decimal, és a dir, de base 10:
per cada increment d'una unitat en l'escala Richter l'amplitud de l'ona del terratrèmol recollida al sismògraf s'incrementa 10 vegades (es multiplica per 10).
Atenent a aquesta fórmula, un terratrèmol de magnitud 6 tindria una amplitud d'ona 10 vegades més gran que un de magnitud 5; 100 vegades més gran que un de magnitud 4; 1 000 vegades més gran que un de magnitud 3; i 10 000 vegades més gran que un de magnitud 2.
Aquesta variació en l'amplitud evidencia la necessitat d'utilitzar logaritmes en la representació.
Es calcula la magnitud M del terratrèmol a partir de la fórmula:
Exemple:Quina magnitud té un terratrèmol l’amplitud del qual és de i el període és d’1 segon?
Pas 1Vetllar per tenir les unitats bé:Els cm caldrà passar-los a μm: Pas 2Anotar la fórmula:
Pas 3Substituïm a la fórmula
Pas 4Elaborar la resposta:Es tracta d’un terratrèmol de magnitud 3.
PROBLEMA
Quantitat de carboni-14 després de t anys
Datació dels fòssilsUn procediment per esbrinar l’edat d’un fòssil consisteix en analitzar la porció que el fòssil conté del carboni -14.Tots els organismes vius l'absorbeixen de l’aire i quan moren, per ser reactiu, es desintegra seguint una equació.
Quantitat inicial de carboni-14
constant
edat del fòssil
PROBLEMASi un fòssil té un 25 % de carboni inicial, quina és l’edat aproximada del fòssil?
Pas 1Anotar la fórmula
Pas 2Aïllar la incògnita
Pas 3Substituïm les lletres pels números
Pas 4Apliquem a ambdós termes
1