LO QUE SUSTENTA LA MULTIPLICACIN Y DIVISIN ENTERA DE NMEROS NATURALES

Lo que sustenta la multiplicacin y Divisin entera de Nmeros naturales.Algo de historiaLos babilnicos fueron de lo ms infatigables copiladores de tablas aritmticas que registra la historia. A ellos les era ms fcil multiplicar que dividir. Tabulaban adaptando a base 60 que era la que ellos preferan. De esto se deduce que este pueblo 2000 A.c. eran expertos calculadores.Los egipcios que alcanzaron un gran nivel en su manipulacin aritmtica demostraron que esta era esencialmente aditiva, es decir, que la multiplicacin y la divisin las reducan, tal como lo hacen los nios y las calculadoras digitales a una serie de adiciones y sustracciones. El nico multiplicador que utilizaban en raras ocasiones fue el 2.Los griegos ordenaron el brillante cmulo de rompecabezas numricos y geomtricos pero el proceso rector de estos fue la multiplicacin y no la divisin. El carcter dual del alfabeto griego ejerci tambin un efecto retardatorio en el desarrollo calculista dado que su alfabeto no slo representaba sonidos sino que adems es el smbolo del nmero. Esto tambin ocurra con los hebreos. La teora dice que tanto griegos como hebreos deben sus sistemas a los fenicios.La introduccin de los nmeros arbigos fue un paso fundamental para el clculo pero muy poco se adelant en lo referente al algoritmo de la multiplicacin y al desarrollo de la divisin entera de nmeros naturales.Con la introduccin de las primeras pizarras y las primeras tizas de material pizarroso, la gente empez a resolver clculos en forma ms generalizada. Las tablas de multiplicacin primero se escriban y luego se aprendan como un conjunto. Pero la divisin se utilizaba rara vez en estas pocas, excepto si se trataba de divisiones pequeas. En el siglo XV se utilizaba para dividir el mtodo de la tachadura y el mtodo actual, denominado divisin larga comenz precisamente en ese siglo. Por primera vez se public en Florencia en 1941 un ao antes de la llegada de Colon a Amrica.En Sudamrica, aparentemente mucho antes de que los europeos llegasen all, los nativos del Per y de otros pases usaron cuerdas anudadas en sus clculos y dominaban elementales formas multiplicativas a partir de cierta complejidad aditiva...La operatoria en la Multiplicacin y en la Divisin.La construccin de la multiplicacin como una operatoria necesaria se realiza entre el 2do y 3er ao de la escolaridad bsica (EGB), es decir a partir de los 8 aos de edad. Esta construccin se afianza en la prctica del clculo en cuarto ao y se espera que sea ptima al finalizar el segundo ciclo. El alumno debera ingresar al tercer ciclo sin dificultades en las operatorias multiplicativas, sabindolas resolver en combinacin con las adiciones y sustracciones y con el empleo de signos de agrupacin.Junto con las multiplicaciones se puede presentar la divisin. En el segundo ao se comienza a dividir; en el tercero se completa y se prepara el camino para empezar en el cuarto ao la divisin con dos cifras, al principio con la resta explicita y luego sin ella. Se espera que al finalizar el primer ciclo el alumno pueda dividir correctamente con una cifra y con la conclusin del segundo ciclo el problema de la divisin en su aspecto operatorio quede resuelto.Esta pretensin permitira a los alumnos llegar a los aos superiores con la habilidad y seguridad necesaria en las operaciones fundamentales con Nmeros Naturales.Dificultades en la operatoria de Multiplicacin y Divisin de Nmeros NaturalesLa multiplicacin exige entre otros tpicos el aprendizaje memorstico previo d las tablas, lo que no siempre consiguen los alumnos, por lo que es habitual que multipliquen consultndolas. Este procedimiento dispersa su atencin, lentifica la ejecucin y corta la continuidad en la realizacin de la operatoria aritmtica.La divisin incluye en s misma todas las operaciones: adicin, sustraccin y multiplicacin, por lo que s existen dificultades para la realizacin de esta, es obvio que la combinacin de todas incrementa la complejidad, hasta el punto de que algunos alumnos no logran acceder ms que a las divisiones sencillas de cantidades pequeas, sobre todo en el divisor.Funcionalidad de la multiplicacin y divisin de Nmeros NaturalesCuando el alumno comprende el significado de las operaciones puede transferirlo a situaciones nuevas y solucionar las cuestiones que se plantean. Es decir que el alumno tiene que ser consciente de que el hecho de realizar correctamente una operacin no se agota o termina ah, sino que precisamente le facilita la resolucin de sus problemticas cotidianas.Junto con la compresin y aplicacin de las operaciones el alumno tiene que conseguir su mecanizacin. Cada operacin tiene su propia estructura, direccionalidad y automatismo que es imprescindible aprender para conseguir la precisin y exactitud del clculo.Situaciones que sustentan las operaciones de Multiplicacin y Divisin entera de Nmeros Naturales.As como las operaciones aritmticas de suma y resta se constituyen inicialmente para abreviar los recuentos o procesos de medida, se puede decir que la multiplicacin y divisin entera constituyen un medio de abreviar determinados procesos de suma y resta cuando se plantea la necesidad de sumar o restar repetidamente o repartir equitativamente una cantidad entre cierto nmero de elementos.La clasificacin de las situaciones de sustento se hace con relacin al papel que desempearan las cantidades que intervienen en las operaciones. Estas pueden tomar valores de:Estado: cuando expresan el cardinal de conjunto o la medida de magnitud.Razn: cuando expresan cociente entre las cantidades de magnitud.Comparacin: cuando expresan el nmero de veces que una cantidad de magnitud esta contenida en otra.En la multiplicacin se puede reconocer diferentes situaciones:1. Como RaznUn auto recorre doce kilmetros en dos horas cul es su velocidad?Magnitud 1: longitud--------12 Km.Magnitud 2: tiempo----------2 h.Razn: velocidad------------- 6 Km. /h2. Como Comparacin

Una mina de lpiz mide 4 cm de largo y un lpiz mide 3 veces ms que la mina cunto mide el lpiz?Objeto 1: 4 cmObjeto 2: 3 veces ms que el objeto 1Objeto 2: 3 veces 4 cm = 12 cm3. Como combinacin

Tengo 3 tarjetas rojas y varias azules y se pueden formar 6 combinaciones posibles. Cuntas tarjetas azules hay?Las situaciones en la que todas las cantidades que intervienen son razones o comparaciones se pueden a su vez clasificaren:

1) Conversin de razonesSe han preparado varias cajas y en cada una hay 5 bolsitas y en cada bolsita hay 6 bolitas cuntas bolitas hay en la caja?R 12: 5 bolsas por caja-------1 caja = 5 bolsasR23: 6 bolitas por bolsa------30 bolitas en 5 bolsasR13:30 bolitas por caja2) Conversin de ComparacionesRuth tiene una cantidad de bolitas. Amaranta tiene 4 veces ms que Ruth y Zulma 5 veces ms que Amaranta Cuntas veces ms bolitas tiene Zulma que Ruth?C12: bolitas de Amaranta: 4 veces las bolitas de RuthC23: bolitas de Zulma: 5 veces las bolitas de AmarantaC13: bolitas de Zulma: 5 veces las 4 veces de bolitas de Ruth 20 veces las bolitas de Ruth.La lista de variables de las situaciones multiplicativas puede ser Cardinales o medidas.Mientras que el rol de los nmeros puede ser estados, razones o comparaciones.Construccin de las operaciones de Multiplicacin y divisin entera de Nmeros NaturalesLa experiencia d las operaciones de multiplicacin y divisin entera se puede construir a partir de:La definicin d los hechos numricos-----tablas de multiplicacin.Establecimiento de las propiedades de dichas operaciones.Tcnicas de clculos orales y escritos.La identificacin de las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente.Todo esto requiere un costo adicional de memoria. Es importante diferenciar que las operaciones de suma y resta pueden realizarse con nmeros concretos de una especie. En cambio en la multiplicacin se supone ya una clase que representa la repeticin. En la divisin basamos la idea en la repeticin o reparticin, es decir desmenuzando una cantidad en cierto nmero de partes iguales. En la multiplicacin y divisin se trabaja con nmeros concretos de dos especies.Las estrategias pueden ser: sumas reiteras, restas reiteradas repartir resta en tabla computar trminos multiplicar en vez de dividir sumar o restar el multiplicando calcular dobles o medios calcular con los dedos otras alternativasLas tcnicas orales pueden ser: Conmutar trminos Suprimir o aadir ceros Descomponer nmeros en sumandos o sustraendos. Factorizar.Las tcnicas escritas pueden ser: Descripcin de algoritmos Justificacin de algoritmos. Algoritmos extendidos. Duplicaciones. Dobleces y mitadesEl trabajo ulicoPara el trabajo ulico y siguiendo la lnea de la actividad ldica presentada en el artculo anterior se propone una actividad con naipes para trabajar los conceptos de mltiplos y divisores.Objetivos: Practicar los conceptos de mltiplo y divisor. Manejar el concepto de divisor comn a dos nmeros. Utilizar los conceptos de m.c.m y m.c.d Desarrollar el clculo mental. Introducir los restos potenciales.Materiales:Un juego de naipes formado por 51 cartas.48 con los nmeros desde el 1 al 48.3 comodines; cada uno de los comodines servir por el valor que quiera su poseedor en cada jugada.Reglas del juego:En este juego no se utilizaran los comodines:Intervienen un nmero variable de jugadores, pero es aconsejable que sean entre 4 y 6.Se reparen las cartas a cada jugador y se descubre una boca arriba, es la carta muestra.El resto de las cartas se dejan baca abajo encima de la mesa.Empieza l juego el jugador situado a la derecha del que haya repartido, que coloca una carta al lado de la carta muestra, y en horizontal con ella por cualquiera de los dos lados, siempre que la que coloque tenga un divisor comn con ella(y dice cul es al hacerlo).Tambin puede colocarla hacia arriba, si es mltiplo de la carta muestra, o hacia abajo, si es un divisor.Si no tienen ninguna carta que satisfaga las condiciones, roba del montn y la pone si puede y sino pasa el turno a su compaero de la derecha.El jugador siguiente procede igual que el anterior, pero puede hacerlo con cualquiera de las dos cartas que hay en los extremos de la cadena: la carta muestra y la carta que ha puesto el anterior.Cada uno de los jugadores a continuacin puede proceder de la misma forma con las dos cartas que sean extremos de la cadena horizontal en ese momento.Gana el que primero se descarte o el que menos cartas tenga en el momento que se acabe el montn de cartas sobre la mesa.Si la carta muestra que aparece es un nmero primo, las dificultades de colocar cartas son mayores. Por eso, en ese caso, se pueden poner debajo de la carta muestra, y tapados por ella, cartas que representen nmeros que sean tambin primos.Este juego se puede modificar o reprogramar y queda a criterio de cada docente si lo considera oportuno.Nancy RossBibliografa:Alekssndrov, A, D.La matemtica: Su contenido, mtodo y significado. 3 tomos. Madrid. Editorial AlianzaFernndez Baroja y otros. Ejercicios de recuperacin de clculo. Madrid. CEPE.Gattegno C. Aritmtica con nmero en color. Madrid. Editorial Cuisenaire.Volver a Experiencias Educativas