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01 NÚMEROS NATURALES 1. Sistemas de numeración 12 2. Números naturales.
Sistema de numeración decimal 13 3. Representación y orden del conjunto
de los números naturales 14 4. Suma y resta de números naturales 15 5. Multiplicación y división de números naturales 16 6. Operaciones combinadas con números naturales 18 7. Aplicaciones de los números naturales 19ACTIVIDADES 20
02 POTENCIAS Y RAÍCES 1. Potencias de base y exponente natural 28 2. Operaciones con potencias con la misma base 29 3. Operaciones con potencias con el mismo exponente 30 4. Cuadrados perfectos y raíces cuadradas exactas 31 5. Raíces cuadradas enteras 32ACTIVIDADES 34
03 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1. Múltiplos y divisores 42 2. Números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad 43 3. Descomposición factorial de un número 45 4. Máximo común divisor 46 5. Mínimo común múltiplo 47ACTIVIDADES 48
LO QUE VAMOS A APRENDER
MATEMÁTICAS
PARA QUE LAS COSAS OCURRAN
07 PROPORCIONALIDAD 1. Razón y proporción 106 2. Magnitudes proporcionales 107 3. Magnitudes directamente proporcionales.
Regla de tres directa 108 4. Magnitudes inversamente proporcionales.
Regla de tres inversa 109 5. Porcentajes 110 6. Escalas 112ACTIVIDADES 114
08 LENGUAJE ALGEBRAICO 1. Lenguaje algebraico 122 2. Expresiones algebraicas y valor numérico 124 3. Monomios y polinomios 125 4. Suma y resta de monomios 126 5. Multiplicación y división de monomios 127 6. Igualdades, identidades y ecuaciones 128 7. Resolución de ecuaciones de primer grado 129 8. Resolución de ecuaciones de primer grado
con paréntesis y denominadores 130 9. Resolución de problemas mediante ecuaciones 132ACTIVIDADES 134
09 ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA. RECTAS Y ÁNGULOS 1. Punto, segmento, semirrecta y recta en el plano 142 2. Posiciones relativas de dos rectas 143 3. Ángulos. Tipos y relaciones 144 4. Medida de ángulos y conversión 145 5. Operaciones con ángulos 146 6. Construcciones geométricas: mediatriz y bisectriz 148ACTIVIDADES 150
04 NÚMEROS ENTEROS 1. Números enteros.
Valor absoluto y opuesto 56 2. Representación y orden del conjunto
de los números enteros 57 3. Suma y resta de números enteros 58 4. Multiplicación y división de números enteros 60 5. Potencias y raíces de números enteros 61 6. Operaciones combinadas con números enteros 62ACTIVIDADES 64
05 NÚMEROS FRACCIONARIOS 1. Números fraccionarios.
Fracción propia e impropia 72 2. Fracciones equivalentes 73 3. Comparación, ordenación y representación
de fracciones 74 4. Suma y resta de fracciones 76 5. Multiplicación y división de fracciones 78 6. Potencias y raíces de fracciones 80 7. Operaciones combinadas con fracciones 81ACTIVIDADES 82
06 NÚMEROS DECIMALES 1. Números decimales. Orden y representación 92 2. Suma y resta de números decimales 93 3. Multiplicación, división, potencias
y raíces de números decimales 94 4. Jerarquía de las operaciones con números decimales 95 5. Decimales y fracciones. Tipos y conversión 96 6. Aproximación de números decimales 97ACTIVIDADES 98
13 FUNCIONES Y TABLAS 1. Coordenadas cartesianas 204 2. Funciones 206 3. Representación de gráficas a partir
de tablas de datos 208 4. Funciones de proporcionalidad directa 209 5. Interpretación de gráficas 211 6. Comparación de fenómenos 213ACTIVIDADES 214
14 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. Población y variables estadísticas 222 2. Tablas estadísticas. Frecuencias 223 3. Gráficos estadísticos 226 4. Parámetros estadísticos de una variable
cuantitativa discreta 228 5. Parámetros estadísticos de una variable
cuantitativa continua 229 6. Experimentos aleatorios y deterministas. Sucesos 230 7. Probabilidad 231 8. Regla de Laplace 232ACTIVIDADES 234
10 TRIÁNGULOS 1. Polígonos: elementos y clasificación 158 2. Clasificación y propiedades de triángulos 160 3. Construcción de triángulos 161 4. Igualdad y semejanza de triángulos 162 5. Rectas y puntos notables de un triángulo 163 6. Teorema de Pitágoras 164 7. Perímetro y área del triángulo 165ACTIVIDADES 166
11 CUADRILÁTEROS Y OTROS POLÍGONOS 1. Cuadriláteros: clasificación y propiedades 174 2. Perímetro y área de los cuadriláteros 176 3. Construcción de polígonos regulares
y ejes de simetría 178 4. Perímetro y área de los polígonos regulares 179 5. Semejanza de polígonos 180 6. Cálculo del área de una figura plana
por descomposición 181ACTIVIDADES 182
12 FIGURAS CIRCULARES 1. Circunferencia. Posiciones relativas 190 2. Ángulos en la circunferencia 191 3. Longitud de una circunferencia
y del arco de una circunferencia 192 4. Circunferencia y polígonos 193 5. Círculo y figuras circulares 194 6. Área del círculo y de las figuras circulares 195ACTIVIDADES 196
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CREAR
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CO NO CER
72 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
En el conjunto de los números enteros podemos realizar la división 8 : 2 = 4, pero no podemos expresar con un solo número entero la división 8 : 3, ya que no es exacta. Surge, por ello, la necesidad de un nuevo conjunto de números: los números fraccionarios, que se representan por la letra ℚ.
Una fracción, ba , es el cociente entre dos números enteros, a y b, de modo
que b ≠ 0.
Los elementos de una fracción son:
Denominador. Indica las partes iguales en que se divide la unidad.
Numerador. Indica las partes que se toman de esas divisiones.
ab
Una fracción se puede interpretar de tres formas:
Como cociente indicado Como partes de una cantidad Como operador
La fracción 312 es el cociente indicado de
dos números enteros y equivale a dividir 12 entre 3:
12 : 3 = 4
La fracción 83 equivale a tomar 3 partes
de un total de 8:
Los 43 de una cantidad, C, equivalen a
dividirla entre 4 y multiplicar el resultado por 3.
Por ejemplo:
43 de 300 = (300 : 4) · 3 = 75 · 3 = 225
Por otro lado, las fracciones pueden ser de dos tipos:
Fracción propia Fracción impropia
Es aquella cuyo denominador es mayor que el numerador, en valor absoluto, y, en consecuencia, es menor que la unidad:
43
Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador, en valor absoluto, y, por tanto, es mayor que la unidad. Para representar una fracción impropia, se utiliza más de una unidad:
45
Las fracciones impropias se pueden expresar como números mixtos, que tienen una parte entera y una parte fraccionaria:
ò45
44 1
44
41 1 4
1 141= + = + = + número mixto
1 NÚMEROS FRACCIONARIOS. FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA
Actividad resuelta
Expresa el siguiente número mixto
como fracción impropia: 3 54
Se lleva a cabo el mismo procedimiento utilizado para pasar de fracción impro-pia a número mixto, pero a la inversa:
354
55
55
55
54= + + + =
·5
3 5 4519= + =
Número entero como fracciónCualquier número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1:
313= 4
14– –=
2
–7–1 –45
–3
–0,087
81 13�
�
�
123––
34
– –– 53––1
2–– 2
7––
–1,3
0,043
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 73
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios:
ïba
dc a · d b · c= =
Así, por ejemplo, 21
42= representan la misma cantidad y, por lo tanto, son equi-
valentes, ya que 1 · 4 = 2 · 2 = 4.
12––
24––=
Para obtener fracciones equivalentes a otra, es preciso amplificar o simplificar esta última.
Amplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente con términos mayores. Se amplifica multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número natural mayor que uno.
Una fracción se puede amplificar infinitamente.
Así, por ejemplo, para amplificar las fracciones 43 y 2
7 , hay que proceder de la siguiente manera:
· 2 · 3 · 3 · 4
43
86
2418= = 2
7621
2484= =
· 2 · 3 · 3 · 4
Simplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente con términos menores. Se simplifica dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número natural mayor que uno.
Cuando una fracción ya no se puede simplificar más, se denomina fracción irreducible.
Una fracción solo se puede simplificar hasta llegar a la fracción irreducible. Así, por ejemplo:
: 2 : 3 : 5
ò9030
4515
155
31
31= = = es la fracción irreducible de 90
30
: 2 : 3 : 5
2 FRACCIONES EQUIVALENTES
Actividad resuelta
Halla directamente la fracción irreducible
de la siguiente fracción: 160240
Para hallar una fracción equivalente di-rectamente, sin tener que ir simplificán-dola paso a paso, se calcula el máximo común divisor (m.c.d.) del numerador y del denominador y se simplifican ambos dividiendo entre dicho m.c.d.:
m.c.d. (240, 160) = 80: 80
160240
23=
: 80
RecuerdaSiempre que se realice una operación con fracciones, hay que simplificar el resultado hasta llegar a la fracción irreducible.
74 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
3.1 COMPARACIÓN DE FRACCIONESPara comparar fracciones, hay que distinguir tres casos en función de sus
numeradores y sus denominadores.
Fracciones de igual denominador Fracciones de igual numerador
Si dos fracciones tienen igual denominador, será mayor la que tenga mayor numerador:
41
42< , ya que 2 > 1
14––
24––<
Si dos fracciones tienen igual numerador, será mayor la que tenga menor denominador:
42
82> , ya que 4 < 8
24––
28––>
Fracciones con numeradores y denominadores distintos
Para comparar dos fracciones cualesquiera, hay que hallar fracciones equivalentes a ellas, cuyo denominador será el m.c.m. de los denominadores.
Así, para comparar 42 y
61 , el m.c.m. (4, 6) = 22 · 3 = 12, con lo que:
= =( : )
( : )ò4
212
12 4 2126
61
1212 6 1
122 12
6122
42
61
·
·> >
= =
_
`
a
bb
bb
612––
212––>
24––
16––>
3.2 ORDENACIÓN DE FRACCIONESPara ordenar fracciones, deben tenerse en cuenta las siguientes reglas:
1 Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa, y viceversa:
52
94–>
23
45– <
2 El cero es mayor que cualquier fracción negativa y menor que cualquier fracción positiva:
94 0
45– < <
3 De dos fracciones positivas es mayor la que tiene mayor numerador, una vez reducidas a común denominador:
52
61>
3012
305>
4 De dos fracciones negativas es mayor la que tiene menor valor absoluto, al reducirlas a común denominador:
72
52– –>
3510
3514– –>
5 El uno es mayor que cualquier fracción propia y menor que cualquier fracción impropia si son fracciones positivas, y es mayor que cualquier fracción negativa:
52 1
38< <
52 1
83– –< >
3 COMPARACIÓN, ORDENACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 75
3.3 REPRESENTACIÓN DE FRACCIONESPara representar fracciones en la recta numérica, se ha de distinguir entre
fracciones propias e impropias.
Fracciones propias Fracciones impropias
Se divide la unidad entre el 0 y el 1 en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador.
Por ejemplo, 52 se representa de este modo:
0 2125––
Se convierte la fracción impropia en un número mixto. Nos situamos en la siguiente unidad, que indica la parte entera de dicho número, y se representa ahí la fracción propia indicada.
Por ejemplo, 47 1
43= + y se representa así:
0 21 74––
Actividades resueltas
1 Representa en la misma recta numérica las siguientes fracciones: , , , ,53
38
45
65
23– –
Se sitúan las fracciones propias entre los números enteros correspondientes:
• 53– está entre –1 y 0.
• 65 se encuentra entre 0 y 1.
Con objeto de proceder del mismo modo con las fracciones impropias, las escribimos primero como números mixtos:
• 38 2
32= + está entre 2 y 3.
• 45 1
41– –= +c m se halla entre –1 y –2.
• 23 1
21= + está entre 1 y 2.
Se representan ahora en la misma recta numérica todas las fracciones, teniendo en cuenta que el denominador de cada una de ellas indica las divisiones que se deben realizar en cada unidad, y el numerador, las que se toman.
–2 –1 0 1 2
53– –––
45– –––
23–––
65–––
38–––
3
2 Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: , , ,32
54
107
21– –
Se obtienen las fracciones equivalentes de las fracciones indicadas en el enunciado, reduciéndolas a común denominador, y, a continuación, se ordenan:
, , , , , ,ò32
54
107
21
3020
3024
3021
3015– – – –
ò3021
3020
3015
3024
107
32
21
54< < < < < <– – – –
Dominó de fracciones equivalentesDadas las siguientes fichas de dominó, identifica cuáles son las siete familias de fracciones equivalentes que forman el juego. Copia luego el dominó en una cartulina y recorta las fichas para poder jugar después con ellas.
721–––
2420–––
1260–––
550–––
1224–––
65
–––
2418–––
4433–––
515–––
3224–––
48
–––
43
–––
3020–––
3624–––
2015–––
880–––
2550–––
3090–––
1050–––
4030–––
13
–––
440–––
64
–––
86
–––
129
–––
6050–––
510–––
15
–––
96
–––
660–––
1236–––
7550–––
128
–––
1815–––
12
–––
24
–––
20100–––
1510–––
735–––
210–––
39
–––
315–––
36
–––
32
–––
330–––
10100–––
1030–––
26
–––
12
–––
220–––
1020–––
110–––
7260–––
3025–––
525–––
6655–––
76 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
En la suma y resta de fracciones se pueden presentar dos casos: que tengan igual denominador o que tengan distinto denominador.
4.1 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADORPara sumar o restar fracciones con igual denominador, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma o resta de los numeradores. Fíjate, por ejemplo, en las siguientes operaciones con fracciones:
41
42
41 2
43+ = + = 6
267
62 7
65– – –= =
4.2 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADORPara sumar o restar fracciones con distinto denominador, hay que expre-sarlas previamente como fracciones equivalentes con el mismo denominador, siguiendo estos pasos:
1 Se busca el m.c.m. de los denominadores:
32
54
21–+ m.c.m. (3, 5, 2) = 30
2 Para hallar el numerador de cada fracción, se divide el m.c.m. entre el denominador, y el resultado se multiplica por el numerador:
( : ) ( : ) ( : )32
3030 3 2
3020
54
3030 5 4
3024
21
3030 2 1
3015· · ·= = = = = =
En consecuencia: 32
54
21
3020
3024
3015
3020 24 15
3029– – –+ = + = + =
Actividad resuelta
Resuelve la siguiente operación con sumas y restas de fracciones: 21
121
41
51– –+ +
Se reducen las fracciones a común denominador. Se simplifica el resultado.
21
121
41
51
6030
605
6015
6012
6025
603
6022
3011– – – – – – –+ + = + + = + = =
Se opera con las fracciones de dos en dos sumándolas o restándolas, según los signos.
4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Fracciones negativasEn una fracción negativa, el signo menos (–) puede situarse en varios sitios y da siempre lugar a la misma fracción:
73
73
73– ––
= =
Opuesto de una fracciónEl opuesto de una fracción es otra fracción de igual valor absoluto y signo contrario:
73
73op –=c m
32
32op – = +c m
RecuerdaSiempre que sea posible hay que simplificar el resultado.
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 77
4.3 PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA RESTA DE FRACCIONES
Propiedades de la suma
Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto
Si se cambia el orden de los sumandos, el resultado no varía:
43
42
42
43+ = +
45
45=
El orden en que se realizan las sumas no modifica el resultado:
25
23
21
25
23
21+ + = + +c cm m
28
21
25
24+ = +
29
29=
El elemento que sumado a cualquier número no varía el resultado es el cero:
43 0
43 0
43
4+ = + =
Toda fracción, ba , tiene un
opuesto, –ba , tal que, al
sumarlos, se obtiene el elemento neutro:
43
43
43
43
40 0– –+ = = =c m
Propiedades de la resta
Conmutativa Asociativa Elemento neutro
No cumple la propiedad conmutativa, pues, si se cambia el orden de las fracciones, el resultado varía:
≠43
42
42
43– –
≠41
41–
No cumple la propiedad asociativa, ya que el orden en que se realizan las restas modifica el resultado:
≠25
23
21
25
23
21– – – –c cm m
≠22
21
25
22– –
≠21
23
El elemento que restado a cualquier número no altera el resultado es el cero:
43 0
43 0
43
4– –= =
Actividad resuelta
Cuatro amigos quieren repartir en sendas mochilas los enseres que llevarán a una excursión a la sierra. Eva cargará dos tercios del peso total; Juan, un décimo; Enrique, un sexto, y el resto lo portará Elisa. ¿Con qué fracción del total del peso cargará Elisa?
Se pasan los datos a fracciones:
Eva ⇒ 32 ; Juan ⇒
101 ; Enrique ⇒
61 ; Elisa ⇒ el resto
Se suman las fracciones: 23 10
161+ +
m.c.m. (3, 10, 6) = 30 ⇒ 32
101
61
3020
303
305
3028+ + = + + =
Se simplifica el resultado: 3028
1514=
Así pues, falta por llevar: 1 – 1514
1515
1514
151–= =
De este modo, Elisa cargará 151 del peso total.
78 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
La multiplicación y división de números fraccionarios se basa en la multipli
cación y división de números enteros.
5.1 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican, por un lado, los numeradores, y el resultado se pone en el numerador de la fracción resultante, y, por otro lado, los denominadores, y el resultado se pone en el denominador:
ba ·
dc
b · da · c=
Propiedades de la multiplicación
Conmutativa Asociativa Elemento neutro
El orden de los factores no varía el resultado:
· ·73
52
52
73=
356
356=
El producto de dos o más fracciones no depende del orden en que se agrupen:
· · · ·25
43
71
25
43
71=c cm m
ò815
71
25
283 15 15
56 56· ·= =
El elemento neutro de la multiplicación es
la fracción 11 , ya que, al multiplicarla por
otra fracción, esta no varía:
· ·43 1
43
11
43= =
Elemento absorbente Elemento inverso Distributiva de la multiplicación respecto de la suma o de la resta
El elemento absorbente de la
multiplicación es el número 0, pues,
al multiplicarlo por una fracción, el resultado siempre es 0:
· ·43 0
43
10
40 0= = =
Toda fracción, ba , tiene una fracción
inversa, ab , tal que, al multiplicar ambas,
se obtiene el elemento neutro:
·52
25
1010 1= =
El producto de una fracción por la suma (o resta) de dos o más fracciones es igual a la suma (o resta) de los productos de la fracción por cada uno de los componentes:
· · ·31
25
23
31
25
31
23+ = +c m
5.2 DIVISIÓN DE FRACCIONES
Dividir dos fracciones equivale a multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda:
:ba
dc
ba · c
db · ca · d= =
5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Observa
···
75
43
7 45 3
2815= =
Observa
: ···
52
43
52
34
5 32 4
158= = =
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 79
Propiedades de la división
Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3
El uno es el elemento neutro de la división:
:1ba
ba=
El cero, dividido entre cualquier número, siempre da cero:
0 0a=
El divisor nunca puede ser cero:
≠ò 0ba b
Actividades resueltas
1 Calcula el resultado de la multiplicación 35
156·–c m .
Se multiplican los signos y se descompone la expresión en un producto de factores, simplificando todo lo que se pueda antes de multiplicar:
35
156
3 155 6
3 3 55 2 3
32·
··
· ·· ·
–= = =– – –c m
2 Calcula el resultado de la división :258
304– –c cm m.
Se multiplican los signos y se descompone la expresión en un producto de factores, simplificando todo lo que se pueda antes de multiplicar:
: ···
258
304
258
430
5 5 2 22 2 2 2 3 5
512
25 48 30
· · ·· · · · ·
= = = =– –c cm m
Organización y codificación
Un agricultor ha cultivado los 53 de sus tierras con pepinos y luego ha plantado tomates
en 65 de la superficie restante. Si le quedan por cultivar 4 ha, ¿cuántas hectáreas tiene
el terreno del agricultor?
Se organizan los datos:
• 53 del terreno total para pepinos.
• 65 de lo que queda para tomates.
• Sobran 4 ha.
Codificamos los datos:
Con este fin, se traza un rectángulo que represente el terreno total. A continuación, se van dividiendo las partes que corresponden a cada hortaliza:
• En la primera figura se colorean las 53 partes que representan los
pepinos.
• En la segunda figura se marca con un color distinto en la zona que
queda sin plantar los 65 que corresponden a los tomates.
• En la tercera figura se divide todo el terreno en partes iguales más pequeñas.
Se constata que quedan 302 del terreno total sin cultivar. Esto equivale
a 4 ha, por lo que cada cuadradito representa 2 ha. De este modo, el terreno total tiene: 30 cuadrados · 2 ha/cuadrado = 60 ha
De esta superficie, 36 ha corresponden al cultivo de pepinos, y 20 ha, al de tomates.
Finalmente, se procede a realizar una comprobación numérica:
• 53 del terreno total son pepinos. Por tanto, quedan 1 –
53
52= .
• ·65
52
3010 1
3= = son tomates.
• Se suma a la parte del terreno dedicada a los pepinos la corres-
pondiente a los tomates: 53
31
159
155
1514+ = + =
• De este modo, queda: 1 – 1514
151=
• Como lo que queda, 151 , equivale a 4 ha, 1 =
1515 corresponde a
4 · 15 = 60 ha, que es el terreno total.
• Así pues, hay 53 · 60 = 36 ha de pepinos y
31 · 60 = 20 ha de to-
mates.
80 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
Para calcular la potencia de una fracción, se multiplica la base tantas veces como indique el exponente:
ba
ba ·… ·
ba
ba
nn
veces
n
n= =c m6 7 844 44
Así, por ejemplo: · · ·23
23
23
23
23
23
16814
4
4= = =c m
Las operaciones con potencias son las siguientes:
Multiplicación y división de potencias con la misma base Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente
• Multiplicación. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:
·23
23
23
23
23
3224323 3 5
5
52
= = = =+
c c c cm m m m
• División. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:
:23
23
23
23
23
82785 5 3
3
38 –
= = = =c c c cm m m m
• Multiplicación. Es otra potencia cuya base es el producto de las bases y cuyo exponente es el mismo:
· ·23
57
23
57
1021
1021
1004412 2 2 2
2
2= = = =c c c cm m m m
• División. Es otra potencia cuya base es el cociente de las bases y cuyo exponente es el mismo:
: : ·54
54
31
54
31
13
512
512
2514422 2 2 2
2
2= = = = =c c c c cm m m m m
Potencia de una potencia Potencias de exponente uno y cero
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes:
52
52
52
52
15625642 3 2 3 6
6
6·
= = = =c c cm m m> H
• La potencia de exponente uno es la misma base de esa potencia:
52
521
=c m
• La potencia de exponente cero siempre es igual a 1:
52 1
0
=c m
La raíz cuadrada exacta de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador entre la raíz cuadrada del denominador:
ba
ba
=
Así, por ejemplo:
4100
4100= , ya que:
4100 25 5
4100
210
= =
5= =
Z
[
\
]]
]]
6 POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES
Actividad resuelta
Resuelve la siguiente operación con po-
tencias de fracciones: :32
32
98·
2 3 5
c c cm m m
Utilizamos las propiedades de las poten-cias y operamos de izquierda a derecha:
· : :32
32
98
32
982 3 5 55
= =c c c c cm m m m m
: ·32
98
32
89
43
10242435 5 5
= = = =c c cm m m
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 81
La jerarquía de las operaciones combinadas con fracciones sigue el mismo orden que en el caso de los números naturales y los números enteros, teniendo en cuenta que se opera siempre de izquierda a derecha:
1 Se resuelven las operaciones entre paréntesis y/o corchetes.
2 Se calculan las potencias y las raíces.
3 A continuación, se realizan las multiplicaciones y las divisiones.
4 Por último, se efectúan las sumas y las restas.
En este caso es recomendable simplificar las fracciones en las operaciones intermedias y manejar, así, números más sencillos.
Actividad resuelta
Realiza la siguiente operación con fracciones: :34
32
54
53
47
21·
2
+ – –c cm m
: :34
53
47
21
34
152
53
47
21
32
54 · ·
2 2
+ = + =– – –– c c cc m m mm[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
1510
1512
152
32
54 = =– ––
Se resuelve la operación que se halla entre paréntesis.
[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
21
412
=c m
Se calcula la potencia.
: ·34
152
41
34
41
53
47
187– – ––= + = =+c cm m
[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
:152
35
47
18070
187
152
53
47 · ·· = = =– – ––c m
Se realizan las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha. El resultado se simplifica.
[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
187
187 =+ ––c m
Se reduce el paréntesis.
3625
34
187
41– – ==
[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
3648
3614
369
3625
34
187
41 = =– –– –
Se efectúan las sumas y las restas de izquierda a derecha, buscando el denominador común.
7 OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
82 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
ACTIVIDADES
1Números fraccionarios. Fracción propia e impropia
1 Indica qué fracciones representan las siguientes figuras. ¿Son fracciones propias, impropias o iguales a la unidad?
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
2 Representa las siguientes fracciones e indica si son propias, impropias o iguales a la unidad:
a. 513 c.
77 e.
417
b. 94 d.
112 f.
29
3 Calcula estas expresiones:
a. 53 de 7 500 e.
128 de 4 800
b. 42 de 3 200 f.
152 de 900
c. 2007 de 20 000 g.
607 de 54 000
d. 7031 de 63 000 h.
185 de 3 600
4 Escribe con fracciones las siguientes situaciones:
a. Media hora.
b. Un tercio de los habitantes de una ciudad.
c. Tres cuartos de kilo de pescado.
d. Seis décimos de tarta.
e. Tres quintas partes de una finca.
f. Un cuarto de litro de leche.
05 NÚMEROS FRACCIONARIOS
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 83
10 Laura ha ganado un premio de 300 € y lo ha repartido de la siguiente manera: le ha dado un tercio a su hijo Luis, a su hija Marta le ha correspondido un quinto, y el resto lo ha guardado para gastos de la casa. ¿A cuánto asciende el dinero en cada caso?
11 Ana quiere recorrer 72 km en bicicleta. En este momento lleva ya un cuarto del trayecto hecho.
a. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?
b. ¿Cuántos kilómetros le quedan todavía?
2Fracciones equivalentes
12 Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
a. 59 y 7
4 c.
616 y
38 e.
1112 y
5560
b. 1435 y
615 d.
329 y
41 f.
96 y
128
13 Averigua el valor de R para que las siguientes fracciones sean equivalentes:
a. 512
10R= d.
2724
R16 = g.
410
R25 =
b. 73
14R = e.
R9
4R= h.
12122
R2 =
c. 1525
6R= f.
2112
7R = i.
159
R12=
14 Escribe tres fracciones amplificadas de las siguientes fracciones:
a. 52 b.
1250 c.
79 d.
6786
15 Escribe tres fracciones simplificadas de las siguientes fracciones:
a. 450200 b.
810954 c. 625
1000 d.
210150
16 Busca fracciones equivalentes a 1536 que cumplan:
a. Que el denominador sea 60.
b. Que el numerador sea 24.
c. ¿Son equivalentes entre sí las fracciones encontradas en los dos apartados anteriores?
5 Utiliza Internet para averiguar qué fracciones equivalen a los siguientes enunciados:
a. El agua que cubre la Tierra.
b. La cantidad de nitrógeno en el aire.
c. La capacidad que tiene un bote de refresco.
d. La capacidad que tiene una botella de agua.
6 Escribe las siguientes fracciones impropias como números mixtos:
a. 58 e.
487
b. 1571 f.
655
c. 724 g.
8125
d. 1019 h.
985
7 Escribe estos números mixtos en forma de fracciones impropias, como en el ejemplo:
2 ( · )8 8 83 2 8 3 19= + =
a. 243 c. 6
107 e. 7
119 g. 5
3013
b. 353 d. 1
85 f. 9
2116 h. 4
10073
8 Se realiza una encuesta sobre gus-tos musicales a los 540 alumnos de un instituto. A dos quintos de los alumnos les encanta la música latina, a un quinto le apasiona el rock, una doceava parte indica que la música clásica es su preferida, mientras que un noveno prefiere la música electró-nica.
a. ¿A cuántos alumnos les gusta cada tipo de música?
b. Ordena los gustos musicales de los alumnos de mayor a menor.
c. ¿Cuántos alumnos no han contes-tado a dicha encuesta?
9 Cada semana, Marcos gasta la mitad de su asignación sema-nal de 10 € en comprarse un bocadillo diario para el recreo en la cafetería del instituto y dos quintos en comprar cromos en el quiosco de su barrio.
a. ¿Cuánto se gasta en los bocadillos?
b. ¿Cuánto cuesta cada bocadillo?
c. ¿Cuánto se gasta en cromos?
d. ¿Cuánto ahorra cada semana?
84 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
3Comparación, ordenación y representación de fracciones
22 Sustituye la letra R por los signos >, <, =, según proceda.
a. 512
521– R – d.
147
97R g.
25
410R
b. 324
274– R – e.
43
4211 R h.
3412
176R
c. 152
67– R – f.
119
61R i.
59
1018– R
23 Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:
a. , , , ,62
52
52
92
32– – – c. , , , ,
511
57
56
55
53
b. , , , ,64
54
54
94
34– – d. , , ,
821
83
81
85– – – –
24 Reduce a común denominador las siguientes fracciones y ordé-nalas de menor a mayor:
a. , , , ,163
47
812
21 1– – – d. , , ,
72
353
512
143
b. , , ,310 5
265
127– – – e. , , ,
49
79
421
34– –
c. , , , ,184
49
35
97
23– – f. , , ,
421
83
65
5613– –
25 Representa las fracciones en la recta numérica.
a. 72 c.
347 e.
477– g.
109
b. 29 d.
688 f.
79– h.
85–
26 Indica qué fracciones están representadas en las siguientes rectas numéri cas:
a.
0 1A
b. 0 21 B
c. 0 1A 2
d. 0 1 2 3 B 4
27 Cinco amigos se han reunido para hacer un trabajo. Alicia ha
realizado 61 , Pedro
155 , Juan
82 , Lucía
121 y Beatriz
183 .
a. Ordena de menor a mayor el trabajo que ha efectuado cada amigo.
b. ¿Quién ha trabajado más?
c. ¿Quién menos?
17 Agrupa en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.
125––––
2410––––39
91––––
4254––––
3615
–––– 6328
––––6025–––– 49
63––––
94
–––
37–––
18984
–––––78182–––––
18 Simplifica las siguientes fracciones hasta llegar a la fracción irre-ducible:
a. 12064 c.
363121 e.
66040 g.
9362
b. 250150 d.
225750 f. 396
132 h.
360750
19 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones mediante su m.c.d.:
a. 396440 c.
424352 e.
735915 g.
11765264
b. 715286 d.
304228 f.
810954 h.
14857260
20 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y corrige estas últimas:
a. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.
b. Para amplificar una fracción, hay que dividir el numerador y el denominador por el mismo número.
c. Simplificar una fracción es obtener una fracción equivalente con el numerador y el denominador más pequeños en valor absoluto.
d. La fracción irreducible es una fracción equivalente que puede seguir siendo simplificada.
21 Luis, Ángel, Andrea y María ocupan parte de su tiempo en
actividades extraescolares. Luis dedica a tocar el piano 162 del
día, Ángel emplea 61 del día en componer canciones, Andrea
entrena al fútbol durante 183 del día, y María ensaya en el coro
81 del día.
a. De los cuatro amigos, ¿cuáles emplean en realizar sus activi-dades extraescolares un tiempo equivalente a la hora?
b. ¿Cuántas horas dedica cada uno a su actividad?
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 85
4Suma y resta de fracciones
31 Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones y simplifica el resultado:
a. 413
411+ d.
27
65– g.
920
365– –
b. 1275
1295– e.
103
155– + h.
95 4–
c. 843
893– – f.
354
308– i.
752
41– –
32 Realiza las siguientes operaciones con números fraccionarios y simplifica el resultado:
a. 65
54
108–+ h.
318
520
754
6030– –+
b. 49
125
67– – + i. 3
38
52
255– – +
c. 37
53
258 5–+ + j.
52
54
158 10– – –c m
d. 31
103
57 4–+ + k.
32
51
107
21– – – –c cm m
e. 109
92
157
32– – –+ l. 5
610
812
38– – –c m
f. 1267 6
158– – + m.
31
123
58 4– – – +c m
g. 54
31
53
83– –+c m n. 2
318
520
754– – –+ c m
33 Sustituye las letras de las fracciones para que las operaciones sean correctas.
a. 610
37
BA+ = b.
912
35
BA – = c.
61
21
BA + =
34 Tres primos deciden poner dinero para comprar un regalo a
su abuela. María aporta 31 del importe del regalo, y Juan,
52 .
a. ¿Qué fracción ponen María y Juan juntos?
b. ¿Qué fracción tendría que aportar Pedro, el otro primo, para completar el dinero del regalo?
c. Si el regalo cuesta 30 €, ¿qué cantidad de dinero ha puesto cada primo?
28 Cuatro amigos quedan en la casa de uno de ellos para echar una partida a un juego de mesa de preguntas y respuestas. Damaris ha acertado 14 preguntas de 35, José ha fallado 7 pre-guntas de 12, Laura ha fallado 9 de 15, y David ha acertado 11 preguntas de 30.
a. Representa las puntuaciones de cada uno mediante fracciones.
b. Laura dice que ella y Damaris han obtenido la misma puntua-ción. ¿Es eso cierto? Justifica tu respuesta.
c. José dice que él ha sido el mejor. Compruébalo ordenando las fracciones.
d. ¿Cuántas preguntas más tenía que haber acertado David para igualar la puntuación de Laura y Damaris?
29 Julián tiene tres hijos, María, Miguel y Eduardo, cuyas edades son, respectivamente, dos tercios, tres quintos y tres cuartos de la edad de su padre. También tiene tres nietos, Beatriz, Rafael y Jesús, con edades equivalentes a cuatro quinceavos, un quinto y un cuarto de la edad de su abuelo, respectivamente.
a. Indica mediante fracciones las edades de los hijos y de los nietos de Julián.
b. Representa dichas fracciones en una misma recta numérica.
c. Ordénalas de mayor a menor.
d. Si Julián tiene 60 años, ¿cuáles son las edades de sus hijos y sus nietos?
30 Luis juega al baloncesto en el equipo del instituto. En el partido de hoy ha encestado cinco canastas de las siete que lanzó en el primer cuarto; en el segundo cuarto metió tres de cinco, en el tercer cuarto seis de siete y en el último cuarto cinco de seis.
a. Escribe, en forma de fracción, los lanzamientos que ha reali-zado Luis en cada cuarto.
b. Ordena de mayor a menor dichas fracciones.
c. ¿Cuál ha sido su mejor cuarto?
d. ¿Cuál ha sido el peor?
e. ¿Podría ser una fracción impropia un posible resultado para este tipo de problema? ¿Por qué?
86 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
39 Calcula estas multiplicaciones utilizando la descomposición en factores:
a. · · ·54
61
410
23– –c m d. · · ·6
3018
1510
7540–c m
b. · · ·154
161
4210
23– –c cm m e. · · · ·
523
10045
38
411
21
c. · · ·254 2
65
5121– –c cm m f. · · ·
31 9
51
550– –c m
40 Halla la fracción inversa de estas fracciones:
a. 53 c. 5
b. 41– d.
38
41 Realiza las siguientes divisiones de fracciones utilizando para ello su inversa y expresando el resultado en forma de fracción irreducible:
a. :52
63 d. :
1132
2718– –c m
b. :79
23 e. :6
73–
c. : ( )92 10– f. :
1675
60100–c m
42 Efectúa las siguientes divisiones, utilizando la inversa y la des-composición en factores:
a. : : : :103
1151
38
712
21 d. : : :
154
161
4210
25– –c cm m
b. : : :94
241
410
2030– –c m e. : ( ) : :
31 4
71
556– – –c m
c. : : :63018
4520
7540–c m f. : : :
134 5
29
36144– –c cm m
43 Sustituye las letras de las fracciones para que las operaciones sean correctas.
a. ·73
356
BA = c. :
65 2
BA =
b. 523·
BA = d. ·
93
214
BA =
44 Efectúa estas operaciones, simplificando el resultado.
a. · : · :72
41
32
46
21 e. : · ( ) :
353
1712 6
203–c m
b. : : · ·152
251
43
105
49 f. : ( ) ·
32 3
89– – –c cm m
c. : · :43
54
59
4411–c m g. : : ( ) : :
103
151 4
38
21– c m
d. : · ·92
61 6
910–c m h. : : :·
2014
1533
47
41 3c cm m
35 Elena quiere recorrer 50 km en bici desde su pueblo al pueblo
de su amiga Pili. Por la mañana ha hecho 21 del recorrido y por
la tarde otros 52 del total.
a. ¿Cuántos kilómetros recorrió por la mañana?
b. ¿Y por la tarde?
c. ¿Qué fracción le queda por cubrir?
d. ¿Cuántos kilómetros son?
36 Elena reparte las horas que tiene un día en las siguientes
actividades: 31 lo dedica a dormir,
41 está en el instituto,
81 tarda en hacer los deberes y estudiar,
121 lo emplea en salir
con los amigos, y necesita 605 para realizar las distintas comi-
das. El resto del tiempo lo pasa en casa con sus padres.
a. ¿Qué fracción del día corresponde al tiempo libre que pasa Elena en casa con sus padres?
b. ¿Cuánto tiempo, en horas, dedica a cada actividad?
37 Charlando con sus amigos, Nacho les cuenta que emplea
41 de su sueldo en la compra de la comida y productos de la
casa, 125 en pagar el alquiler de la misma y
31 en la letra del
coche, mientras que el resto lo ahorra. Izan, por su parte,
comenta que él necesita 53 de su sueldo para pagar la hipoteca
de su casa, 52 para la compra general y
252 para su abono
transporte. Tras reflexionar un poco, Gema dice a sus amigos que están equivocados al hablar de sus cuentas. ¿Podrías expli-car por qué?
5Multiplicación y división de fracciones
38 Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones simplifi-cando el resultado:
a. ·43
920– c. ·
1914
355– –c m e. ·
910
1136–
b. ·815
1252
d. ·154
1510– f. · ( )
127 4–
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 87
50 Reduce a una única potencia estas operaciones con fracciones:
a. ·43
43 52
c cm m g. : :256
74 2
3– –
7 7 7
c c cm m m
b. : 3157
20–
2 2
c cm m h. 21
21
21– · – · –
3 2 2
c c cm m m
c. 87–
2 3
c m> H i. · ·3018
43
68– –
2 2 2
c c cm m m
d. :373
7––
9 2
c cm m j. : : :53
53
53
53 9 6 0 2
c c c cm m m m
e. ·1025
525 5
c cm m k. : :40100
810
455 5 5
c c cm m m
f. 1122 6 0
c m> H l. · ··92
92
92
92 15 2 7
c c c cm m m m
51 Sustituye las letras por el valor correspondiente para que las siguientes expresiones sean correctas:
a. ·87
87
87 93 A
=c c cm m m d. 531
BA 82C
=c cm m> H
b. ·41
143
BA3 3 3
=c c cm m m e. 9
4AC
8 32B
=c cm m> H
c. :73
6 56A B9 9 9
=c c cm m m f. 2312 1
6 A
=c m> H
52 Calcula estas potencias de fracciones, expresándolas primero como potencia única:
a. :·35
35
356 29 6
c c cm m m> H e. :23
1427–
2 3 6
c cm m> H
b. :9 9645
5 5·
10 6 4
c c cm m m f. :61
61 3 2 34
c cm m> >H H
c. : :5612
212
4944
c c cm m m g. : :57
57
10149 3 6
c c cm m m
d. ::43
59
30723 5 53–
c c cm m m> >H H h. :45
45–
3 2 54
c cm m> >H H
53 Calcula las raíces cuadradas propuestas. ¿Puedes calcularlas todas?
a. 1625 f.
25100 k.
49–
b. 6436– g.
16196 l.
8149
––
c. 49289 h.
36900 m.
169121
d. 400324 i.
484121 n.
25100––
e. 900100 j.
36144 ñ.
9144
45 Félix ha comprado 600 g de carne picada. Lucía dice que quiere dos quintos de un tercio de esa cantidad de carne.
a. ¿Qué fracción de carne ha pedido Lucía?
b. ¿A cuántos gramos de carne equivale?
46 Las latas de refresco tienen una capacidad de 31 de litro.
a. ¿Cuántas latas son necesarias para envasar 7 200 L?
b. ¿Y si las latas tuviesen 51 de litro de capacidad?
47 Se quiere embotellar zumo de naranja en dos tipos de botella.
Uno de ellos tiene una capacidad de 43 de litro, y el otro,
de 32 de litro.
a. ¿Cuál de estos dos tipos de botella tiene mayor capacidad?
b. Si se dispone de 2 700 L de zumo de naranja, ¿cuántas botellas se necesitarían del primer tipo?
c. ¿Y si se eligiera el segundo tipo?
48 Lucas recibe ocho tercios de un séptimo del sueldo de su jefe. Andrés, por su parte, cobra la mitad que Lucas, y Felipe, el triple que Andrés.
a. ¿Qué fracción del sueldo de su jefe percibe Lucas?
b. ¿Y Andrés?
c. Si el jefe cobra 4 200 €, ¿cuál es el sueldo de sus empleados?
6Potencias y raíces de fracciones
49 Calcula las siguientes potencias de fracciones:
a. 32–
5
c m c. 710–
3
c m e. 74
2
c m
b. 1512 6
c m d. 51–
3
c m f. 911–
4
c m
88 | TODOS NO PODEMOS AVANZAR SI LA MITAD DE LA HUMANIDAD VA POR DETRÁS
58 Efectúa estas operaciones combinadas de números fraccio- narios, indicando el resultado en forma de fracciones irreduci-bles:
a. ·51 6
64
81– +c m g. : ·
109
512
51 6–c cm m
b. : ·85
410
615
34– c m h. : ·
67
125
21 4– – c m
c. : :5401
41
103– c m i. :
41 3
54
31– – +c cm m
d. :73
41
67
35+ +c cm m j. :
202 4
121
54– –c m
e. : :61
159
43
102 4–+c m k. · ·
95
52
31 5– –c cm m
f. :151
47
101
31– – c m l. : ·
68
31
910
611–c m
59 Calcula el valor de las siguientes expresiones y simplifica:
a. · :81 4
34
62
41
58
21– –+ +c m
b. : :5 352
65
34
23
31· –+ +c m> H
c. : : ·4101
125
51
107
98
62– – +c m
d. ·37
65
32
25
61
34– – –+ +c m
e. :58
41
41
35
34
29–+ + +c cm m
f. : :106 3
151
51
34
72– – +c m
g. :27
96
41
123
1810
61– – – –c m
h. : ·92
34
51
253
34
32– – +c cm m
i. : :52
91
31
23
81
31– – +c cm m
60 Resuelve estas operaciones con fracciones:
a. 21 7
41
31
3625– – – –
3 2
c cm m
b. :641
410
32
812
320– – +c cm m
c. 75
45
21 3
23 · –
2 2
+ +c c cm m m
d. :21
32
95
73
35–
3 0 2
+ +c c cm m m> H
e. :54
43
43
2549–
0 5 3
+c c cm m m
f. ·94
310
310
94
310– –
2
+c cm m
54 Sustituye las letras por números para que las siguientes raíces sean correctas:
a. 100
15BA C
D FE= = =
b. 324
16AD F
ECB
= = =
c. 820
BA C
FE
D= = =
d. 28913A C
B D= =
e. 1222
BA
DC
FE= = =
55 Se dobla una hoja por la mitad, luego otra vez por la mitad, y así hasta cuatro veces. Expresa estos dobleces con una potencia y calcula qué fracción de hoja nos ha quedado.
56 Milagros tiene tres fincas. El área de la finca pequeña es
254 del área de la finca mediana, y el área de la finca grande es
16121
de la mediana.
a. Indica en forma de fracción el lado de la finca grande y de la finca pequeña en función del de la mediana.
b. Si la mediana tiene una superficie de 36 ha, ¿qué superficie (en áreas) tienen las otras dos fincas?
c. ¿Cuál es el lado (en metros) de cada una de las fincas?
7Operaciones combinadas con fracciones
57 Realiza las siguientes operaciones con fracciones, simplificando el resultado:
a. ·43
32
83– e. :2
94
65+ i. :
76
144 5+
b. :96
31 4
5– f. ·7
67
32– j. ·
41 4
63+
c. ·52
154
21– + g. :10
52
94– k. :
91
185 5–
d. :75
41
56– h. ·
57
712
31– l. :
81 6
83+
05 | NÚMEROS FRACCIONARIOS | 89
65 Roberto ha comprado tres cuartos de kilo de ternera y dos tercios de kilo de pollo y le ha dado a su madre la mitad del total de la carne.
12 €/kg 3 €/kg
Utiliza operaciones combinadas para contestar a las siguientes preguntas:
a. ¿Qué fracción de carne le ha correspondido a cada uno?
b. ¿Cuánto ha pagado Roberto por dicha compra?
66 Adrián ha efectuado las operaciones combinadas que figuran en la libreta, pero ha intercambiado sin querer los resultados. Rea-lízalas tú en tu cuaderno y comprueba qué resultado es el correcto para cada operación.
a. :31 9
21
51+ +c m
b. : ·86
32
41 3–c cm m
c. : ·23
101
65
21– c m
d. :108
121
82 3–+c m
e. ·23
59 3
102–+c m
67 Lucía hace un trayecto en coche durante varios días. Cubre un tercio del recorrido el primer día, dos séptimos el segundo y un décimo el tercero. ¿Qué fracción le queda por recorrer? Indí-calo en forma de operación combinada.
61 Se ha realizado una encuesta a los 30 alumnos de una clase de 1.º de ESO. De los encuestados, un tercio prefiere como mas-cota a un perro, un quinto se decanta por los gatos, un sexto ama los pájaros, a dos quinceavos les encantan los peces, y la décima parte prefiere otros animales. ¿Qué fracción de la clase representan aquellos a los que no les gusta ningún tipo de ani-mal? Indica cuántos alumnos prefieren cada animal.
62 Un agricultor divide sus tierras a fin de cultivar en ellas distin-tas plantas. Así, un sexto de su parcela lo dedica a lechugas y dos quintos a tomates; además, ha empleado para los pimientos la cuarta parte que para los tomates, y para las cebollas el doble que para las lechugas. ¿Qué parcela queda para plantar ajos? Utiliza una operación combinada para resolver el problema.
63 Un grupo de cuatro amigos ha reunido dinero para hacer un viaje. Juan recaudó un quinto del total; Beatriz, el doble que Juan, y Carlos puso la tercera parte de lo que aportó Juan. ¿Qué fracción recaudó Elena? Escríbelo como una operación combi-nada.
64 Ana sale de compras. Del dinero que lleva destina un cuarto a comida, un quinto a productos de limpieza y un dieciseisavo a la compra de un libro.
a. Escribe una operación combinada para calcular qué fracción del total le queda.
b. Si llevaba 400 €, ¿cuánto se ha gastado en cada compra? ¿Cuánto le queda?