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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Límites indeterminados
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Presentación
2
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezasnecesarias para resolver límitesindeterminados.
Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán desarrolladospaso a paso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.
Es importante recalcar que este tema, esde suma importancia para el cálculo delímites.
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Índice
Presentación 2
Límites indeterminados 4
Ejemplo #1 5
Ejemplo #2 9
Ejemplo #3 13
Ejemplo #4 18
A manera de cierre_________________22
Créditos__________________________23
3
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
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Límites Indeterminados
4
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Al aplicar sustitución directa en un límite
se obtiene una forma indeterminada0
0.
Para calcular este tipo de límites esnecesario factorizar o racionalizar laexpresión algebraica.
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Ejemplo #1
5
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→−3
2𝑥4 + 54𝑥
𝑥2 − 9
Paso 1Evaluar el límite
lim𝑥→−3
2𝑥4 − 54𝑥
𝑥2 − 9
=2 −3 4 + 54 −3
−3 2 − 9
=0
0
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6
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #1
Paso 2Factorizar el denominador y el numerador
lim𝑥→−3
2𝑥4 + 54𝑥
𝑥2 − 9
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥3 + 27
𝑥 − 3 𝑥 + 3
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3 𝑥 + 3
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7
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #1
Paso 3Simplificar la expresión algebraica
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3 𝑥 + 3
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3
Paso 4Evaluar el límite
lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3
=2(−3) −3 2 − 3 −3 + 9
−3 − 3= 27
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8
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #1
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→−3
2𝑥4 + 54𝑥
𝑥2 − 9= 27
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Ejemplo #2
9
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2
5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥
Paso 1Evaluar el límite
=3𝑎 𝑎 − 2𝑎 + 2 𝑎 − 3𝑎2
5𝑎 𝑎 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑎
=3𝑎2 − 2𝑎 + 2𝑎 − 3𝑎2
5𝑎2 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑎
=0
0
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10
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #2
Paso 2Factorizar el denominador y el numerador
lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2
5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥
= lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 3𝑎2 + 2𝑥 − 2𝑎
5𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2
= lim𝑥→𝑎
3𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎
𝑥 5𝑎 − 1 + 𝑎 1 − 5𝑎
= lim𝑥→𝑎
3𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎
𝑥 5𝑎 − 1 − 𝑎 5𝑎 − 1
= lim𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2
5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎
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11
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #2
Paso 3Simplificar la expresión algebraica
lim𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2
5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎
= lim𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2
5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎
= lim𝑥→𝑎
3𝑎 + 2
5𝑎 − 1
Paso 4Evaluar el límite
=3𝑎 + 2
5𝑎 − 1
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Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #2
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2
5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥=3𝑎 + 2
5𝑎 − 1
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Ejemplo #3
13
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3
Paso 1Evaluar el límite
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3
=2 9 − 2 − 4
9 − 3
=0
0
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14
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #3
Paso 2Racionalizar el denominador y elnumerador
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3∙
2𝑥 − 2 + 4
2𝑥 − 2 + 4∙
𝑥 + 3
𝑥 + 3
= lim𝑥→9
2𝑥 − 22− 42 𝑥 + 3
𝑥 2 − 32 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 16 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2𝑥 − 18 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
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Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #3
Paso 3Factorizar el numerador y simplificar
= lim𝑥→9
2 𝑥 − 9 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2 𝑥 − 9 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2 𝑥 + 3
2𝑥 − 2 + 4
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Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #3
Paso 4Evaluar el límite
=2 9 + 3
2 9 − 2 + 4
=3
2
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3=3
2
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Ejemplo #4
17
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5
Paso 1Evaluar el límite
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5
=2 −
35 + 3
5 2 − 6(5) + 5
=0
0
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Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
Paso 2Racionalizar el numerador y factorizar eldenominador
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5
= lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5∙2 2 + 2
3𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
2 2 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
2 3 −3𝑥 + 3
3
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
8 − 𝑥 + 3
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
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Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
= lim𝑥→5
8 − 𝑥 − 3
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
5 − 𝑥
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
− 𝑥 − 5
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
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20
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
Paso 3Simplificar la expresión algebraica
= lim𝑥→5
− 𝑥 − 5
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
− 𝑥 − 5
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
−1
𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
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21
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
Paso 4Evaluar el límite
=−1
5 − 1 4 + 235 + 3 +
35 + 3
2
=−1
48
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6 + 5=−1
48
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Factorizar la expresión
22
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios para elcálculo de límites indeterminados, y de estamanera pueda construir los nuevos conocimientosde Cálculo I.
“Lo que sabemos es una gota de agua. Lo que
ignoramos es el océano”.
Isacc Newton
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Créditos
23
Universidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
Contenido
Autor: Evelyn Delgado Carvajal
Producción del recurso didáctico:
Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de Autor
Queda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Racionalización], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.
Tema: Límites indeterminados, Unidad II