llei dels grans nombres, teorema central del límit ...satorra/p/p2011l8c.pdfllei dels grans...
TRANSCRIPT
Llei dels Grans Nombres, Teorema Central delLımit, distribucions asimptotiques
Albert Satorra
Probabilitat, UPF
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 1 / 15
Continguts
1 Suma de variables independentsLlei dels Grans NombresTeorema del Lımit Central
2 Preparem l’examen final
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 2 / 15
Suma de variables independents
Suma de variables independents
Ens preguntem per la distribucio aproximada de
Y = X1 + X2 + . . .Xn
quan n es gran, i les Xjs son (mutuament) independents. Per exemple: ladistribucio aproximada de la binomial B(n, p) (que es suma de n deBernouilli independents) quan n es gran; de la χ2
n (que es la suma deN(0,1) al quadrat independents), quan n es gran; de la nota Y deProbabilitat que es el resultat de la suma de molts factors independents;etc.
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 3 / 15
Suma de variables independents
Esperances, variancies
Suposem Xj ’s independents amb la mateixa mitjana µ i variancia σ2. Enaquest cas, si Y = X1 + X2 + . . .Xn, clarament
E (Y ) = nµ; V (Y ) = nσ2
De fet, el valor esperat i variancia del promitg X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/nson
E (X n) = µ; V (X n) = σ2/n
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 4 / 15
Suma de variables independents
Llei dels Grans Nombres
Lımit en probabilitat: Llei dels Grans Nombres (Jacob[Jacques, James] Bernoulli, 1713)Ens preguntem pel valor del promitg X n quan n es gran.
Suposem: Xj independents amb E (Xj) = µ i V (Xj) = σ2. Per exemple,X1, . . . ,Xj , . . .Xn observacions independents de una X (n tirades d’un daui observar el no. X , de 1 a 6, de la cara). Llei dels Grans Nombres:
Per tot ε > 0,lim
n→+∞P(| X n − µ |> ε) = 0
Direm que X n tendeix a µ en probabilitat. Escriurem
X nP→ µ
El promitg X n s’apropa a µ = E (X ) tan com volguem, quan augmentem nAlbert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 5 / 15
Suma de variables independents
Llei dels Grans Nombres
ExempleTirem un dau 1000 vegades: X1, . . .X1000, X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/nX 1000 sera aproximadament igual a ?
La llei dels grans nombres:
X 1000 ≈ µ = E (X ) = (1 + 2 + . . . 6)/6 = 3.5
X n s’aproximara a 3.5 com vulguem nomes cal augmentar el nombre n detirades? Quin n fa que X n sigui aproximacio de µ amb un marge d’errordonat (ε).R:> mean(sample(1:6, 10, replace = T))
[1] 4
> mean(sample(1:6, 100, replace = T))
[1] 3.61
> mean(sample(1:6, 1000, replace = T))
[1] 3.509
> mean(sample(1:6, 10000, replace = T))
[1] 3.4766
> mean(sample(1:6, 100000, replace = T))
[1] 3.49472
> mean(sample(1:6, 1000000, replace = T))
[1] 3.499939Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 6 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Teorema del Lımit Central
Si les Xj tenen valor esperat µ i variancia σ2, son independents, i n esgran, la distribucio de X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/n es aproximadamentNormal, amb valor esperat µ i variancia σ2/n. Escriurem
X nD→ N(µ,
σ2
n),
Direm que X n convergeix en distribucio a N(µ, σ2
n ).
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 7 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Tenim l’aproximacio:
X n ≈ N(µ,σ2
n)
Exemple: Tirem un dau (de sis cares) 1000 vegades, X 1000 = 1n
∑i Xi es
el valor mitja de les 1000 tirades. Volem saber P(3.4 ≤ X 1000 ≤ 3.6)
el TCL ens diu que
X 1000 ≈ N(3.5,σ2
1000) = N(3.5, 0.045643552)
ja que σ2 = (5×7)/121000 = (35/12)/1000 = 0.002916667 = 0.054006182
Probabilitat P(3.4 ≤ X 1000 ≤ 3.6) = P(−1.85164 < X 1000−3.50.054 < 1.85164)
= 1− 2pnorm(−1.85164) = 0.9359225
Em emprat 3.5−3.40.054 = 0.1
0.054 = 1.85164
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 8 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Figure: TCL
!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((1
!"#$%&'
!"#$%&'
!"! !"# !"# !"# !"# !"#
!"!
!"#
!"#
!"#
!"#
!"#
!"#
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 9 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Figure: TCL
promitg de n uniformes, n = 3
promitg
Density
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 10 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Figure: TCL
!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((12
!"#$%&'
!"#$%&'
!"# !"# !"# !"# !"# !"#
!!
!!
!!
!
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 11 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Practica amb :
Exercici 2 de la Llista 5
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 12 / 15
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Mes sobre valor esperat, variancia y distribucio de combinacions devariables independents, la segona de l’aassignatura: ESTADISTICA
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 13 / 15
Preparem l’examen final
Preparem l’examen final
Un Examen Tipus Test
Entre 25 i 30 preguntes del tipus del Test 1 i Test 2 fets als seminaris.Totes les preguntes seran noves
Respostes en Fulla de Lectura Optica: Instruccions per emplenar lafulla de lectura optica
Us donarem el Formulari i Taules que teniu a la web: Formulary andTables
Podeu portar calculadora simple (no tindreu acces a R)
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 14 / 15
Preparem l’examen final
FINAL DE CLASSES!
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 15 / 15