lineas l,m,c,,

ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

ASIGNATURA:

LINEAS DE TRANSMISION

TRABAJO PRACTICO: LINEAS DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD CORTA, MEDIA Y LARGA Y CALCULO MECANICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN Y

CALCULOS MECANICOS.

Docente : Ing . ORMEÑO BERROCAL JESÚS REYNALDO.

Alumno : Francis Alexander Canales Goyzueta.

Ica, Perú

2015

TRABAJO PRACTICO: LINEAS DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD CORTA, MEDIA Y LARGA Y CALCULO

MECANICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN.

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a la UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE Ica por Brindarme y acogerme a su gran casa de estudio.

Particularmente, por la Escuela de ingeniería Mecánica y Eléctrica, al ING.ORMEÑO BERROCAL REYNALDO por sus ideas y brindar conomientos sobre el curso de Recursos Hidráulicos.

DEDICATORIA

A mi padre, quien ha sido el maestro en mi vida y en la Mecánica y Eléctrica, a mi hermana que me inspira cada día para surgir en mis estudios, y a mi madre que desde el cielo me protege y me guía en mis pasos.

UNICA

Líneas de Transmisión

Índice

Índice1. INTRODUCCIÓN................................................................................................1

1.1. PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN......................................31.1.1. RESISTENCIA ELÉCTRICA................................................................3

1.2. INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN..................81.3. LA INDUCTANCIA......................................................................................81.4. FLUJO CONCATENADO Y LEY DE FARADAY...............................................91.5. LA CAPACITANCIA...................................................................................101.6. FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS......................................101.7. CÁLCULO DE LA REACTANCIA INDUCTIVA..............................................111.8. CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA.....................121.9. REPRESENTACIÓN DE LAS LÍNEAS..........................................................12

1.9.1. REDES DE CUATRO TERMINALES..................................................121.9.2. LÍNEA CORTA (Hasta 80 Km)........................................................151.9.3. LÍNEA MEDIA (hasta 240 Km).......................................................171.9.4. LÍNEA LARGA (Superior a 240 Km)...............................................181.9.5. EJEMPLOS.....................................................................................201.9.6. MÁXIMA POTENCIA DE CARGA PARA LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. . .231.9.7. COMPENSACIÓN REACTIVA EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN............26

INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA LINEAS DE TRANSMISION

- 1 -

UNIDAD 5“LÍNEAS DE TRANSMISIÓN”

1. INTRODUCCIÓN

Una línea eléctrica es un conjunto de conductores, aislantes y elementos accesorios destinados a la transmisión de la energía eléctrica. Los conductores son, en general, de aluminio, cobre, aldrey.

TIPOS :

Las líneas se clasifican siguiendo diferentes criterios:

Situación en el espacio: Líneas aéreas, líneas subterráneas (cables) Clase de tensión: Líneas de Baja Tensión (menores a 1 kV) y líneas de Alta

Tensión (mayores a 1 kV). Naturaleza de la tensión continua, alterna monofásica o trifásica. Longitud: Línea corta, media o larga.

La línea de transmisión de potencia trifásica aérea constituye el medio de transporte principal de la energía eléctrica en un sistema de potencia.

La línea de transmisión produce tres efectos, que por su orden de importancia la podemos mencionar como:

El campo magnético producido por la corriente eléctrica, provoca caídas de tensión en la línea.

El efecto capacitivo, resultante de los campos eléctricos entre conductores y conductores de tierra.

La resistencia óhmica de los conductores, considerando el material del cable de energía.

Un cuarto efecto podría ser el provocado por las corrientes de fuga, que fluye a través de las películas contaminadas de los aisladores. Los cables de guarda están eléctricamente en contacto con la torre y, por tanto, a tierra; sirven principalmente como defensa contra rayos.

Los conductores de fase son mucho más grandes que los cables de guarda, comúnmente de aluminio cableado con alma de acero, para aumentar su resistencia a la tracción. Algunas veces por cada fase se incluyen más de un conductor. Los cables son desnudos para tener mejor disipación del calor; los conductores de fase están aislados entre sí y la torre mediante una cadena de aisladores.

RAZONES PARA CONSTRUIR UNA LÍNEA:

Crecimiento de la carga, llevando a que las líneas existentes operen cerca de sus límites de estabilidad y capacidad térmica. Esto podría demostrarse, si los niveles de confiabilidad del sistema han caído debajo de los niveles aceptables.

Por tanto la inclusión de líneas podrá mejorar las características de estabilidad en régimen transitorio de los generadores. El incremento de líneas permitirá una mayor flexibilidad en la operación del sistema.


- 2 -

La capacidad de transporte de la línea está relacionada con su longitud y con la tensión de la misma. Para una longitud dada, la capacidad de transporte varía con el cuadrado de la tensión, mientras que el costo de la línea, varía en forma lineal con la tensión.

Fig 5.1 Potencia transmitida en función de la longitud y de la tensión de transmisión

Eso quiere decir que cuanto mayor sea la capacidad de transporte o mayor la longitud de la línea, mayor deberá ser la tensión de transmisión. Para la elección de la tensión, se elige valores normalizados, por la disponibilidad del equipamiento.

Supóngase que se eligen regímenes nominales de potencia y tensión para una línea determinada de longitud conocida, también se deberá analizar el número, diámetro y espaciamiento de los conductores por fase, para ello se deberá evaluar el efecto corona e impedancia de la línea.

Asimismo, se debe de escoger la distancia entre fases, el número, ubicación y tipo de conductor para los cables de guarda; que es la protección contra descargas atmosféricas. Se debe de elegir el nivel de aislamiento, y la cantidad de aisladores que se deberán utilizar en la cadena.

Cuando el peso de la línea sea esencialmente constante, la atención se debe dirigir al diseño de la torre. Se considerarán las condiciones climatológicas del lugar, específicamente, se estimarán razonablemente las peores condiciones de vientos y nieves, ya que están relacionados con la carga que soporta la torre.


- 3 -

1.1. PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

1.1.1. RESISTENCIA ELÉCTRICA

Los cables de las líneas de transmisión dependen de sus características. En DC la resistencia que presente es:

Donde:

= Resistividad del conductor L = Longitud del conductor A = Sección del conductor

Pero los conductores de las líneas aéreas normalmente son cableados con alma de acero, para tener mayor carga de rotura. Los cables pueden ser de aluminio o cobre, aunque el más usado es el aluminio por su menor peso.

Los conductores de aluminio se designan como:

AAC Conductor totalmente de aluminio AAAC Conductor totalmente de aleación de aluminio ACSR Conductor de aluminio con alma de acero ACAR Conductor de aleación de aluminio con alma de

acero

La sección de los conductores frecuentemente se da en términos de “circular mils”.

Un circular mil.- es el área de un círculo que tiene como diámetro una milésima de pulgada (0,001 pulg). Un MCM.- es igual a 1000 circular mils.

Un conductor de aluminio cableado de 1000 MCM tiene un diámetro de una pulgada. La resistencia a las frecuencias nominales, bien sea como cable o como conductor sólido, es mayor que la resistencia en DC debido al efecto pelicular (SKIN).

El efecto skin (pelicular o superficial) es la tendencia que tiene la corriente alterna a concentrarse en la superficie del conductor, producto del efecto de oposición al flujo de corriente al centro del conductor. Mientras que en corriente continua, ésta se distribuye uniformemente en el conductor. Cabe indicar que el efecto SKIN se incrementa con la sección del conductor, por su permeabilidad magnética y con la frecuencia. Es por ello, que estos son algunas de las razones del porqué los conductores de las L.T. son cableados.

RDC

RAC


- 4 -

También hay que considerar el cambio de la resistencia debido a la variación de temperatura del conductor (influencia del coeficiente de temperatura sobre la resistencia).

La resistividad () varía con la temperatura según la relación:

Donde :

To = 228 para el aluminio1 , 2 = Resistividades a las temperaturas T1 y T2 en °C. También se tiene la siguiente

relación:

Donde:

Por lo general, esta expresión se aplica a las resistencias:

CÁLCULO DE LA RESISTENCIA

Para el cálculo de las resistencias, muchas veces no es necesario aplicar las relaciones anteriores, porque los fabricantes dan las tablas de las características eléctricas de los conductores. Las tablas 5.1 y 5.2 son un ejemplo de algunos datos disponibles.

Ejemplo : La resistencia por fase de 200 Km. De una línea de transmisión de 636 MCM , ACSER es :

Donde:

R

50 C

r . L

(0,101)

Kmx 200 Km 20,2

r = Resistencia por unidad de longitud y por fase. (/Km-fase) L =Longitud de la línea en Km.

R2 = R1 * 1 + (T2 - T1)


- 5 -

TABLA 5.1

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE CABLES DE ALUMINIO

Calibre Conductor

Diámetro Exterior

Peso Número de Hilos

Tensión de Ruptura

Radio Medio Geométrico

Resistencia a 50° C

D.C. 60 Hz.AWG - MCM

mm Kg/Km Kg m Ohms/conductor/Km.

6 4.7 37 7 240 0.00169

2.432

2.432

4 5.9 58 7 375 0.00213

1.529

1.529

2 7.4 93 7 575 0.00269

0.962

0.962

1 8.3 117 7 700 0.00302

0.762

0.762

1/0 9.3 148 7 845 0.00339

0.604

0.605

2/0 10.5 186 7 1065 0.00381

0.479

0.480

3/0 11.7 235 7 1290 0.00428

0.380

0.381

4/0 13.3 299 7 1630 0.00481

0.301

0.302

266.8

15.1 369 19 2180 0.00570

0.239

.0240

336.4

17.9 467 19 2780 0.00640

0.189

0.190

397.5

18.4 554 19 3120 0.00696

0.160

0.161

477 19.8 664 19 3670 0.00763

0.133

0.135

556.5

21.7 774 19 4280 0.00823

0.114

0.116

636 23.2 888 37 5100 0.00895

0.100

0.101


- 6 -

TABLA 5.2

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE CABLES DE ALUMINIO REFORZADOS POR ACERO (ACSR)

Calibre

Conduct or

Diámetr o

exterior

Nombre Comercial

Peso Número hilos

Tensión de

ruptura

Resistencia 50°C

Radio medio geométrico

DC 60 Hz

AWG - MCM

MM Kg/Km Al / Acero

Kg Ohms/conductor/ Km

cm.

8 4.0 Reyezuelo 35 6/1 340 3.842 3.842 ----6 5.0 Pavo 55 6/1 530 2.434 2.474 0.1205 5.7 Tordo 70 6/1 660 1.926 1.975 0.1274 6.4 Cisne 85 6/1 830 1.535 1.597 0.1333 7.1 Golondrin

a110 6/1 1020 1.210 1.286 0.131

2 8.0 Gorrión 140 6/1 1270 0.964 1.050 0.1271 9.0 Petirrojo 170 6/1 1580 0.764 0.856 0.127

1/0 10.1 Cuervo 220 6/1 1940 0.604 0.696 0.1362/0 11.4 Codorniz 270 6/1 2420 0.479 0.557 0.1553/0 12.8 Pichón 340 6/1 3030 0.381 0.449 0.1834/0 14.3 Pingüino 430 6/1 3820 0.302 0.367 0.248

266.8 16.3 Perdiz 550 26/7 5100 0.239 0.239 0.661300 17.3 Avestruz 610 26/7 5740 0.213 0.213 0.701

336.4 18.3 Jilgero 690 26/7 6370 0.190 0.190 0.744336.4 18.8 Oriol 790 30/7 7730 0.190 0.190 0.777397.5 19.9 Ibis 810 26/7 7340 0.161 0.161 0.808397.5 20.5 Calandri

a930 30/7 9060 0.161 0.161 0.847

477 21.8 Halcón 980 26/7 8810 0.134 0.134 0.884477 22.4 Gallina 1110 30/7 10570 0.134 0.134 0.927

556.5 23.6 Palomo 1140 26/7 10160 0.115 0.115 0.954556.5 24.2 Aguila 1300 30/7 12340 0.116 0.116 1.000636 25.2 Cardena

l1300 26/7 11340 0.101 0.101 1.020

636 25.9 Airón 1470 30/19 14300 0.101 0.101 1.070715.5 26.7 Estornino 1470 26/7 12750 0.089

60.896 1.080

715.5 26.3 Corneja 1370 54/7 11930 0.0896

0.0921 1.060795 28.1 Eider 1630 26/7 14150 0.080

00.0800 1.140

795 29.0 Anade 1840 30/19 17420 0.0800

0.0800 1.200795 27.8 Cóndor 1520 54/7 12930 0.085

60.0856 1.120

874.5 29.1 Grulla 1680 54/7 14240 0.0763

0.0763 1.180900 29.5 Canario 1720 54/7 14680 0.073

00.0730 1.210

954 30.4 Rojillo 1830 54/7 14700 0.0701

0.0701 1.2301033.

531.7 Zarapito 1920 54/7 16830 0.064

30.0643 1.280

1113 32.8 Pinzón 2130 54/19 18230 0.0602

0.0602 1.3301192.

534.0 Grajo 2280 54/19 19550 0.056

30.0563 1.370

1272 35.1 Faisán 2430 54/19 20320 0.0530

0.0530 1.4201351.

536.2 Vencejo 2590 54/19 21590 0.050

00.0500 1.460

1431 37.2 Frailecillo

2740 54/19 22860 0.0472

0.0472 1.5001510.

538.3 Perico 2890 54/19 24130 0.044

80.0448 1.550

1590 39.2 Falcón 3040 54/19 25400 0.0448

0.0428 1.580


- 7 -

Fig 5.2 Características de cables de aluminio reforzado

TABLA 5.3USO RECOMENDADO

Se utilizan en líneas aéreas de distribución, transmisión y subestaciones, de acuerdo a la tabla siguiente:

Calibre

B.T.

6KV

132KV

23KV

34.5

69KV

85KV

115

230KV

400KV

2 X X X X1/0 X X X X X3/0 X X X

266.8 X X X X X336.4 X X X X X X X477.0 X X795.0 X X X X900.0 X X

1113.0 X X


- 8 -

1.2. INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

En esta unidad estudiaremos los parámetros básicos utilizados en el modelamiento de líneas de transmisión de corriente alterna. Por modelo entiéndase una representación a través de circuitos equivalente y/o ecuaciones matemáticas. El tipo de modelo utilizado depende del tipo de estudio o proyecto que se pretende realizar.

A pesar de algunas ideas discutidas en esta unidad tienen aplicación más general, estaremos interesados principalmente en modelos utilizados en estudios de transmisión de potencia eléctrica en situaciones de estado estable. Es decir, operación del sistema eléctrico con tensiones y corrientes variando senoidalmente (por ejemplo, con frecuencia de 60 Hz.).

Consideremos además los sistemas operando en situaciones equilibradas. O sea, situaciones en las cuales una de las fases puede ser tomada como representativa de lo que ocurre en las demás.

1.3. LA INDUCTANCIA

Físicamente, las líneas de transmisión nada más son conjuntos de conductores (de cobre o de aluminio) que transportan energía eléctrica de los generadores a las cargas.

De la misma forma que existen carreteras más largas y otras más estrechas, y que ofrecen mayor o menor “resistencia” al flujo de vehículos, existen líneas que transportan potencia eléctrica con mayor o menor facilidad.

Uno de los parámetros más importantes en definir la capacidad de transmisión de una línea de transmisión es la impedancia de la línea, que a su vez depende básicamente de la inductancia (más allá de la resistencia óhmica).

Sabemos que una corriente eléctrica produce un campo magnético y un flujo magnético al asociado. La intensidad del flujo magnético varía directamente con la magnitud de la corriente; depende también de su distribución espacial (geometría del conductor) y del medio en el cual el conductor está insertado.

La relación general entre flujo y corriente es dada por la Ley de Faraday, que es una de las ecuaciones de Maxwell.

En particular, veremos que la inductancia de las líneas de transmisión en corriente alterna depende del tamaño de la línea: cuanto más larga es la línea, mayores son las inductancias y por tanto, mayores las impedancias y la oposición ofrecida por la línea para transmitir la potencia eléctrica.

Esta es una de las razones por las cuales, para distancias más largas (por ejemplo, encima de los 1000 Km) líneas de transmisión en corriente continua se tornan económicamente más competitivas.


- 9 -

El tamaño exacto a partir del cual las líneas de corriente continua pasan a predominar depende de muchos factores, incluyendo las tecnologías utilizadas en conversores AC/DC cuyos costos han variado con el tiempo. (fig. 5.3).

Fig 5.3 Comparación de costos entre Transmisión trifásica en A.T. y Transmisión DC en A.T.

A pesar de esa imprecisión, entre tanto, es seguro decir que las líneas de corriente alterna convencionales pierden competitividad en relación a la transmisión en corriente continua cuando las distancias involucradas aumentan.

Este comportamiento está ligado a un parámetro fundamental que será estudiado a continuación: La inductancia de las líneas.

1.4. FLUJO CONCATENADO Y LEY DE FARADAY

La Ley de Faraday establece que la tensión inducida en una espira conductora en un instante t; está dada por la razón entre la variación del flujo concentrado por una espira en aquel instante, o sea:

Donde :

e = tensión inducida

C = flujo concatenado (Weber-espiras).


- 10 -

1.5. LA CAPACITANCIA

Ya fue dicho que las líneas de transmisión nada más son conjuntos de conductores de (cobre o aluminio) utilizados para transportar potencia eléctrica.

Ya vimos también que a esos conductores está asociada una inductancia que influye principalmente en la capacidad de transmisión de potencia activa a través de la línea.

De la misma forma, esos conductores presentan también una capacitancia que tiene efectos directos sobre el comportamiento reactivo (magnitudes de las tensiones) de la línea. Una corriente alterna que circula por una línea, produce un almacenamiento de cargas positivas y negativas en los conductores.

A esta distribución de cargas a su vez están asociados campos eléctricos y potenciales eléctricos.

La relación entre los flujos magnéticos concatenados y las corrientes correspondientes definen la inductancia de la línea; análogamente, la relación entre la diferencia de potencial y las densidades de carga correspondientes definen la capacitancia de las líneas.

La relación entre cargas y flujos de campo eléctrico es regida por la Ley de Gauss, que es una de las ecuaciones de Maxwell.

1.6. FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS

La Ley de Gauss para campos eléctricos establece que el flujo total a través de una superficie cerrada “s” es igual al total de la carga eléctrica existente en el interior de la superficie.

Note que el campo eléctrico no es necesariamente debido solamente a las cargas internas; o que la Ley dice simplemente que el valor del flujo es igual al total de cargas internas a la superficie.

Siendo D la densidad de campo eléctrico, ds un vector normal a la superficie, densidad volumétrica de carga (o superficial, si la carga estuviera concentrada en la superficie), dv el elemento diferencial de volumen y q la carga total en el interior de ss.


- 11 -

1.7. CÁLCULO DE LA REACTANCIA INDUCTIVA

La reactancia inductiva unitaria ( / Km) de una fase de la línea de corriente trifásica con conductores de metal no ferroso, que tiene transposición de conductores, puede ser calculada por medio de la fórmula :

Donde :

f = frecuencia de la red (Hz.)DMG = Distancia media geométrica entre los conductores de la línea. RMG= Radio medio geométrico

La distancia media geométrica entre los conductores de una línea simple es:

Cuando los conductores se disponen por los vértices de un triángulo equilátero de lado D.

DMG = D

Fig 5.4 Conductores dispuestos en triángulo equilátero

Para la disposición horizontal

DMG = 1,26 D

Fig 5.5 Conductores dispuestos en un plano horizontal

DMG 3 D12 D13 D23


- 12 -

1.8. CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA

La capacitancia entre conductores se determina por la relación siguiente:

1.9. REPRESENTACIÓN DE LAS LÍNEAS

1.9.1. REDES DE CUATRO TERMINALES

Un circuito de constantes concentradas, pasivo lineal y bilateral, puede representarse por una red de 4 terminales. Por ejemplo, una línea de transmisión y un transformador.

Fig 5.6 Cuadrípolo

Los parámetros complejos A, B, C y D describen Red en función de las tensiones y corriente en los extremos de envío y de recepción del modo siguiente:

VS A VR B IR

IS C VR D IRSe cumple que: A D B C 1

Mediante mediciones y ciertas interpretaciones de tipo físico, puedenobtenerse A, B, C y D, del modo siguiente:


- 13 -

1.9.1.1. EXTREMO RECEPTOR CORTOCIRCUITADO

Además,

Impedancia de transferencia de cortocircuito.

1.9.1.2. EXTREMO RECEPTOR A CIRCUITO ABIERTO

Con frecuencia es interesante tener una RED SIMPLE de 4 terminales para 2 ó más elementos de la Red en serio o paralelo. Por ejm:

Fig 5.7 Red de cuatro terminales para 3 elementos de una red


- 14 -

Redes Combinadas en Serie

Fig 5.8 Red de cuadrípolos en

serie Redes Combinadas en Paralelo

Fig 5.10 Cuadrípolo equivalente

Una línea de transmisión tiene como parámetros básicos su resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia de dispersión uniformemente distribuida a lo largo de su longitud; y se pueden calcular por fase y por unidad de longitud, a partir de los parámetros dimensionales de la línea. En los casos prácticos, la conductancia de dispersión a tierra despreciable, por ser muy pequeña.

En la operación en estado permanente, por lo general se tiene interés en las relaciones entre los voltajes y corrientes, al principio y al final de la línea. Para estos estudios en forma tradicional, se ha dividido el estudio de las líneas en tres categorías conocidas como línea corta, línea media, y línea larga; las ecuaciones de comportamiento en cada caso, se indican a continuación.


- 15 -

1.9.2. LÍNEA CORTA (HASTA 80 KM)

A continuación se muestra el circuito equivalente de una línea corta; donde I S y VS representan los valores al principio de la línea (corriente y voltaje), y VR , IR voltaje y corriente al final de la línea (extremo de recepción).

Fig.11 Circuito equivalente de una línea corta

Las características relativas a este circuito, que se trata como un circuito serie en C.A., son las siguientes:

Donde:

IS = IR Z= R + j XL

VS = VR + IR . Z

Z = Es la impedancia total de la línea () Es

decir,

Z = z . L

z = Impedancia por unidad de longitud. (/km)

L = Longitud de la línea. (km)

El efecto de la variación del factor de potencia de la carga, sobre la regulación de voltaje, se observa en los siguientes diagramas vectoriales:

U


- 16 -

Fig 5.12 Diagramas fasoriales para diferentes tipos de cargas.

Se desprecian las capacidades Resistencias de pérdidas

A 1B Z URO UR C 0 Ureg% P .C . x 100

D 1

RP .C .

URO tensión recibida en vacíoURPC tensión recibida a plena cargaUreg% porcentaje de regulación de tensión


- 17 -

1.9.3. LÍNEA MEDIA (HASTA 240 KM)

La admitancia en derivación es generalmente capacitancia pura; y se incluye en los cálculos para líneas de longitud media, si el valor total de la admitancia se divide en dos partes iguales, y se localizan en ambos extremos; es decir, una mitad en el extremo de envío, y la otra en el extremo receptor. El circuito se conoce como circuito “TT” nominal. También se puede emplear la representación “T” equivalente.

De estas dos versiones la representación quizás les dé uso más general.

a) Caso de la Red

De donde se obtienen

En función deV R e I R

VC VR

Z IR

2


- 18 -

b) Caso de la Red en T

1.9.4. LÍNEA LARGA (SUPERIOR A 240 KM)

Aquí el estudio supone que los parámetros están repartidos. Las variaciones de tensión y de corriente en una longitud elemental x de la línea, situada a “x” metros del extremo de envío, están determinadas y las condiciones correspondientes a la línea completa se obtienen por interrogación:

Sea:

La tensión y corriente a “x” metros del extremo de envío.

Donde :


- 19 -

Cuando x = L

ó

Los parámetros de la red equivalente de 4 terminales son:

A D cos h

B sen h

C sen h

Para las líneas 500 Km.

A D 1 Z Y

2

B Z 1 Z Y

6

C Y 1 Z Y

6

Z Y

Z Y

Z Y

ZYYZ


- 20 -

Fig 5.14 Circuito equivalente de L.T. de longitud menor a 500 Km

1.9.5. EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Calcular la impedancia serie de una línea de transmisión de 230 kV, 300 Km. de longitud que usa un conductor por fase de 900 MCM tipo canario; que tiene de acuerdo a tablas, las características siguientes:

DIÁMETRO EXTERNO : 29.5 mm., ACSR 54 / 7

RESISTENCIA ELÉCTRICA A 60 HZ. Y 50°C, 0.073 ohms / Km.

El radio medio magnético es : 1,210 cm.

La disposición de los conductores se muestra en la figura siguiente:

Fig.5.15 Disposición de conductores

21m

7m 7m


- 21 -

SOLUCIÓN

La resistencia eléctrica a la temperatura de 50°C, es: R = r x L = 0.073 x 300 =

21.9 ohms.

La reactancia inductiva se puede determinar de la expresión simplificada:

XL 0.1736 Log DMG RMG

Donde : DMG

Con el dato de RMG = 1.21 cm.882

X L 0.1736

Log 1.21

0.497

ohms / Km

Para L = 300 Km.

XL = 0.497 x 300 = 149 ohms

EL CIRCUITO DE LA LÍNEA ES:

0,073 / km 0,497 / km

21,9 j149

Fig. 5.16 (a) en por unidad de longitud(b) para la longitud total

LA ADMITANCIA EN DERIVACIÓN ES:

Yc 9.085 x 10 6

9.085 x 10 3.173 x 10 6

SIEMENS / KM

/ FASE

Log DMGRMG

Log

8821,21

R j XL 0,073 0,497

1,585106 1,585106

7 x 7 x 143

DMG = 8.82 m.

6

Dab Dbc Dca3

YcYc


- 22 -

Fig. 5.17 El circuito de la línea, trabajando en por unidad.

22


- 23 -

EJEMPLO 2

Calcular la reactancia inductiva y la susceptancia para una línea de transmisión de 400 kV, con 400 Km. de longitud, que tiene 2 conductores / fase de 1113 MCM, separados 45 cms., entre sí.

El conductor es bluejay 1113 MCM, con diámetro de 3,25 cm. (54 / 19).

La disposición de los conductores en la estructura, se muestra a continuación:

0,45m

0,45m

0,45m

SOLUCIÓN

De acuerdo a la configuración de los conductores, la distancia media geométrica es:

Para más de un conductor por fase, el RMG se calcula como:

Donde: n = número de conductores por fase

n = 2

d = separación entre conductores por fase.

POR LO TANTO:

R MG

x 22.5 8.55 cm.

10 m

10 m

DMG 3 10 x 10 x 10 12.6 m.

R MG Re q n nr

x RR

22.5 cm.2 sen

180

2

45

n

R

2 x 1.6252

22.5

XL 0,376

Km


- 24 -

LA REACTANCIA INDUCTIVA ES POR LO TANTO:

Para la longitud total

fase

X LT 400 x 0.376 160.5 / fase

LA SUSCEPTANCIA:9.085x 10 6 9.085X 10 6

Yc =Log

DMG =

RMGLog

12608.55

= 4.19 x 10

(SIEMEN/SKM.)

PARA LA LONGITUD TOTAL:

YCT 400 X 4.19 X 10 1.67 x 10 3

(SIEMENS / FASE )

1.9.6. MÁXIMA POTENCIA DE CARGA PARA LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Es de fundamental importancia considerar la pregunta: ¿Cuánta potencia es capaz de transmitir una línea de transmisión?. Hay dos límites básicos: primero, el límite térmico de la línea, sujeto a la capacidad de corriente portadora de los conductores de fase; segundo, el límite de estabilidad del estado estacionario, que es impuesto por los valores de impedancia de la línea. Se supone que la línea opera en su modalidad normal de estado estacionario senoidal trifásico balanceado, y en régimen nominal de voltaje.

Solamente se requiere el circuito equivalente de secuencia positiva. El límite térmico es:

Donde las unidades son el sistema SI (no en el sistema unitario). Existen ciertas dificultades para decidir cuál será la corriente de línea de régimen.

Como el problema es el sobrecalentamiento del conductor son importantes la temperatura ambiental y la velocidad del viento. El problema no es insignificante cuando se considera que cada ampere, a 500 kV, representa 866 kVA de potencia transmitida.

Evidentemente, el régimen nominal de los conductores en invierno deberá exceder al régimen de verano.

XL 0.1736 Log DMG

0.1736 Log 1260

RMG 8.55

=S3nominal VLnominal ILnominal

6

6

3

R R


- 25 -

Se deben interpretar los voltajes como línea a neutro, las corrientes como valores de línea y las impedancias como conectadas en estrella. Las unidades son SI. Las ecuaciones en parámetros A, B, C y D son:

Vs = AVR + BIR

Is = CVR + DIR

Donde:

A A

B B Z c

1C = 2 B

Z c

D = A

Vs Vs

VR VR 0

De la ecuación (4-78a):

VsI R B AVR

B

VS

R B

AVR

B

y

R

VS

B

AVR

B

La potencia compleja en el extremo receptor S es:

S 3 R 3V *

S 3 3VSVR

3

AV

2 R .......

R B B

Siendo constante Vs y Ve la única variable en la ecuación última es el ángulo de potencia . Representaremos gráficamente la ecuación, como en la figura 5.18 el lugar geométrico de S R en el plano PR, QR cuando varía, es una circunferencia.

V

P


- 26 -

Cuando la potencia en el extremo receptor es cero, es pequeño (punto a). Aumenta a medida que se ve cargando la línea (punto b).

Se puede seguir cargando la línea hasta el límite de la estabilidad en estado estacionario P3ss, si lo que se recomienda es un margen mínimo de aproximadamente 20% (es decir, P3r 0.8 P3ss). De la ecuación;

2

3ss Lnominal 1 A cos( )B

A medida que aumenta la longitud de una línea, este límite viene a ser el factor decisivo. El valor correspondiente de la potencia reactiva es:

AV 2

Q 3ss Lnominal sen( ) B

y la correspondiente potencia aparente es:

S 3ss

V 2

S 3ss LnominalB

1 A 2 2A cos( )

Este límite es decisivo cuando S3ss S3regimen. Estas ideas se desarrollan en un ejemplo de línea, en el apéndice.

Fig. 5.18 Diagrama circular extremo receptor.

QR

R

Q 23ss 3ssP

2

cp

r23 AV

B3V sV

r

B

pc

op

b

P3 SS o

MAXaQd


- 27 -

1.9.7. COMPENSACIÓN REACTIVA EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

La operación de líneas de transmisión, especialmente aquellas de longitud media y larga, se pueden mejorar por compensación reactiva del tipo serie o paralelo.

La compensación serie consiste de un banco de capacitores conectado en serie, con cada conductor de fase de la línea. La compensación paralelo o en derivación, se refiere a la localización de reactores (bobinas) de cada línea al neutro, para reducir parcial o completamente la susceptancia en derivación de las líneas de alta tensión (efecto capacitivo); especialmente en condiciones de baja carga o en vacío, cuando el voltaje en el extremo receptor puede ser muy alto.

La compensación serie reduce la impedancia serie de la línea, que representa la causa principal de la caída de voltaje, y el factor más importante en la determinación de la máxima potencia, que la línea puede transmitir.

La reactancia deseada de un banco de capacitores se puede determinar, compensando un valor específico de la reactancia inductiva total de la línea.

Este criterio conduce a lo que se conoce como el factor de compensación que se define por la relación x C / xL ; xC es la reactancia capacitiva del banco de condensadores; y xL la reactancia total (inductiva), de la línea por fase.

VpjX Capacitor serie

VR

L

jY/2 jY/2

Reactores en paralelo

Fig. 5.18 Compensación reactiva en L.T.


- 28 -

EJEMPLO 3

Se desea estudiar el efecto de los parámetros de la línea, cuando se incluyen los efectos de la compensación serie y la compensación paralelo en líneas de transmisión; para esto se considera un sistema de dos máquinas interconectadas por una línea de transmisión; que puede ser:

De 230 kV De 400 kV

Los datos para estas líneas, son los siguientes:

TENSIÓN NOMINAL KV

SERIE XL CAPACITANCIA EN PARALELO

230 0.47 / km. 0.29 x 106 - km

345 0.47 / km. 0.241 x 106 - km

El sistema representado, se muestra en la siguiente figura:

Eg1

jXg

Vtg jX Vtm

jY/2 jY/2

jXg

Eg2

Xg1 = 0.5 p.u. (reactancia de secuencia positiva del generador)Xg2 = 0.2 p.u. (reactancia de secuencia negativa del generador)Eg1 = Eg2 1.0 p.u. tensión generada en p.u.SB = 100 MVA. (Potencia de base)

Para la línea no compensada, trazar una gráfica del límite de potencia en estado estable, en términos de la reactancia serie.

Reconstruir la gráfica para una compensación paralela de 100% (la necesaria para eliminar la capacitancia de la línea), y para una compensación del 50% en 400 kV.


- 29 -

SOLUCIÓN

Para la línea de 230

kV. La impedancia

base, es:

Z kV

( 230

) 529 Ω

base S BASE 100

L = Longitud de la línea Km.

La reactancia de la línea en por unidad ( PU )

x 0.47

LZbase

0.47 L

529

Longitud

de la línea en km.

La admitancia en derivación:

Y z

2base

xL2

Xc

z base x L

2 XC

Y 529 L

p .u .

2 2 x 0.29 x 106

Se define un factor de relación:

K Y

/ 2

529 L x

529

XK = 1.03

2 x 0.29 x 106 1.47 L

Para la línea de 345 KV,

Se procede de la misma forma. LA IMPEDANCIA BASE,

ES :

ZBase KV 2

SB

3452

100

1190,25 Ω

2

2


- 30 -

LA REACTANCIA DE LA LÍNEA EN P.U. :

X p.u. 0.31

L

zbase

0.31 L1190.25

Tecsup Virtu@l

Sistemas Eléctricos de Potencia

C

- 31 -

LA ADMITANCIA EN DERIVACIÓN :

Y Z

2 baseL2 Xc

Zbase x L

2 Xc

Y 1190.25 L2 2 x 0.241 x 106

EL FACTOR DE RELACIÓN:

K Y

/ 2

1190.25 L x

1190.25 7.9

X 2 x 0.241 x 106 0.31 L

DE LA EXPRESIÓN:K

Y / 2X

Y / 2 = KX, es decir que conociendo al coeficiente de relación K, se puede sustituir KX por (Y/2) en los cálculos con lo que se simplifica el sistema; ya que se puede convertir en un sistema serie equivalente, aplicando el teorema de Thévenin.

jXg

1 jKX E g EV o

g E '

j X g 1jKX

1 KX . Xg

LA CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO PARA EL SISTEMA EQUIVALENTE:

jXg

I cc = Egj X g

Vo jkX

Y2

Eg

VtgE´g

g

Tecsup Virtu@l


- 32 -

gCCg j X

'

J X g1 K X . X

VoI

Tecsup Virtu@l


g- 33 -

Si se obtiene el equivalente de Thevenin en cada lado, el circuito resultante es:

jX ´g1

jX

jX ´g 2

La potencia que se transmite, se calcula con la expresión:

Pmax ( X / 2 2

x'g1 ) ( X / 2 x ' g

2)p.u.

( X / 2) ( X / 2 X ' g1) ( X / 2 X ' g 2)

USO DE CAPACITORES SERIE:

El efecto de los capacitores serie, es la reducción de la reactancia serie efectiva de la línea. Debido a la naturaleza de los parámetros distribuidos de la línea, el número y localización de los capacitores, influirá en los perfiles de tensión a lo largo de la línea; y dará efectos diferentes en la reactancia serie del circuito equivalente.

Para los propósitos de este problema, se despreciarán estos efectos y se usará el circuito , equivalente nominal. Si para la compensación serie, se define la reactancia efectiva requerida como:

X ef X 1.0

% compensación serie

100

COMPENSACIÓN PARALELO

Si la compensación a realizar es paralela se hace uso de los reactores en paralelo, el efecto de estos reactores será el de cancelar una parte de la capacitancia de la línea; reduciendo el valor de la constante K. Si se deseará eliminar todo el efecto capacitivo, se haría K = 0. El factor de corrección se define como:

Kef K 1

% compensación

100

paralelo

Se pueden calcular los valores de x ‘ g1 y x ‘ g

2, para distintos valores de K, y de aquí la potencia máxima transmitida, para distintos valores de la reactancia serie en la línea.

Para K = 0 y x = 0

xx ' 1 0.5 0.5

Eg2Eg1

Tecsup Virtu@l


- 34 -

p.u.g1 1 k x xg 1 0 x 0 x 0.5

g

Tecsup Virtu@l


- 35 -

x 2x ' g

0.2 0.2

p.u.g2

LA POTENCIA MÁXIMA ES:

1 k x

xg21 0 x 0 x 0.2

Pmax p.u.

Pmax 3.16 p.u.

(i) Otro caso para : K = 1.03y X = 0.1

X ' 1 1

0.51.03 x 0.1 x 0.5

0.527

p.u.

x ' g2

1

0.21.03 x 0.1 x 0.2

0.204

p.u.

Pmax p.u.

Pmax 2.57

p.u.

Con el mismo procedimiento, se puede elaborar una tabla de resultados como la siguiente:

(0 0.5) (0 0.2)(0)2 (0 0.5) (0

0.2)

(0.1/ 2 0.527) (0.1/ 2 0.204)

(0.1/ 2) 2 (0 1/ 2 0.527) (0.1/ 2 0.204)

2

1 X g

X2

g 1

1 X

2 2 X X

x x ' g1 x ' g 2

2 2 2

x

Tecsup Virtu@l


- 36 -

X serie Pmax PmaxK = 1.03

Pmax K = 7.9

PmaxK = 3.95

0 3.16 3.16 3.16 3.160.05 2.89 2.85 2.51 2.350.10 2.65 2.57 1.97 1.73

Tecsup Virtu@l


- 37 -

0.15 2.43 2.32 1.49 1.2760.2 2.23 2.12 1.0 0.85970.25 2.06 1.94 0.230.3 1.91 1.78 00.35 1.77 1.65 00.40 1.65 1.52 00.45 1.55 1.42 00.5 1.45 1.32 00.55 1.37 1.24 00.60 1.29 1.17 0

Gráficamente se puede expresar también, como se indica a continuación:

jXg1 jXL jXg2

De la gráfica anterior, para la línea de 230 kV, K = 1.03, cuando no está compensada con X = 0.4 P.U., la potencia máxima es de 1.54 P.U.

jY/2jY/2

Eg2Eg1

Tecsup Virtu@l


- 38 -

Si se usa una compensación serie del 50%.

X ef X 1.0

x %

100

0.4 1.0

50

100 p.u.

X ef 0.2

p.u.

Entonces :

Kef = 2 x 1.03 = 2.06

Con estos valores de X y Kef de la gráfica, el límite de potencia es de 1.95 P.U.

A esta misma línea, si se le asigna 100% de compensación paralela y no se le asigna compensación sería de la gráfica; los valores serían:

X = 0.4 p.u. y K = 0

EL LÍMITE DE POTENCIA ES 1.65 P.U.

Si ahora, a una potencia transmitida de 1.65 P.U. se le asigna una compensación serie, requeriría de una capacidad de capacitores de:

Q = I2 XC= (1.65)2 x 0.2 (p.u.)

Q = 0.545 p.u. (MVAR capacitivos)

En cambio, si se decidiera asignar el 100% de compensación paralelo; entonces se tendría:

Q = (V2 .Y) = (V2 . 2 K X) = 1.0 x 2 x 1.03 x 0.4

Q = 0.824 p.u. (MVAR DE REACTORES)

Se observa que para la línea de 230 kV, se tiene mayor ganancia con capacitores serie que con reactores en paralelo, en cuanto a potencia transmitida se refiere.

Con relación a la línea de 345 kV, para una X = 0.4 P.U. se analiza la condición de compensación en forma análoga al caso de la línea de 230 kV. El valor de la reactancia , es:

X 0.4 x 0.6

230

0.142 p.u.

0.75 345

Es decir, se refiere a la misma base que la línea de 230 kV; la línea de 345 kV no compensada, tendría un límite de potencia de 1.5 P.U., con 50% de compensación paralela Kef = 3.95 y (x = 0.142), dando un valor Pmax = 2.0 p.u.; los MVAR requeridos en forma de reactor, serían entonces: 1.0 x 2.0 x 3.95 x 0.142 =1.12 p.u.

2

Tecsup Virtu@l


- 39 -

EJEMPLO 4

Se tiene una línea de transmisión de 230 kV con 500 Km de longitud, con los datos calculados en el ejemplo 1.1.

Se desea determinar el tamaño de dos bancos de reactores en derivación que se deben colocar en cada extremo; y los cuales deben tener exactamente la misma capacidad, para reducir la generación de potencia reactiva en la línea a cero.

SOLUCIÓN

Del ejemplo 1.1, los parámetros de la línea son: r

= 0.073 / km

XL = 0.497 / km

YC = 3.173 x 10 –6 SIEMENS / KM / FASE YC

/ 2 = 1.585 x 10 -6 SIEMENS / KM / FASE

El circuito representativo para la línea de 500 km. de longitud.

36.5 j248.5

Se deben conectar reactores en cada extremo, que tenga una reactancia de:

Z 1

c 1.585 x 10 6 x 500 j 1262.6 / fase

XL = j 1262.6 / FASE

Considerando que la línea es larga, considérese que el voltaje de operación puede ser el nominal; la capacidad de los reactores en MVAR es, entonces:

Qreac

V 2 n

13.96

MVAR / FASE

O bien : XL 1262.6

13.96 x 3 = 41.9 MVAR trifásico por extremo para la línea total: 83.8 MVAR

Zc = 1/1,585x10-6x1500

(230 / 3)2

jXLjXL

Tecsup Virtu@l


- 40 -

5.3 EFECTO CORONA

Los altos voltajes con que operan las líneas de transmisión producen fuertes campos eléctricos, de tal magnitud que ionizan el aire circundante que está próximo a los conductores de fase. Este efecto, llamado corno es auditivamente detectable como un zumbido y visualmente como una aureola azulina pálida que rodea a los conductores. La intensidad de campo eléctrico crítica E C a la cual principia la ionización para el aire seco es:

donde:

= densidad relativa del aire = 3.92 b T

Si se utilizan conductores enrollados por fase, se tiende a producir un mayor radio efectivo y, por tanto, se reducen los niveles de la intensidad del campo eléctrico en la vecindad del conductor.El efecto corona tiene dos características indeseables: pérdidas de potencia e interferencia o perturbación radioeléctrica. Una expresión para las pérdidas por efecto corona, para una fase y tiempo despejado la obtuvo Peterson como:

donde

V = voltaje eficaz línea a neutro, en kV f

= frecuencia, en Hz

F = factor corona determinado por pruebas s

= espaciado de fase

d = diámetro del conductor

La pérdida de potencia es pequeña, valorizada en aproximadamente de de 1 a 2 kW por km, 500 kV, rollo de tres conductores por fase. Sin embargo, las pérdidas corona crecen dramáticamente cuando la línea recibe cualquier forma de precipitación atmosférica, siendo la situación más conflictiva cuando hay heladas.

CE 30 m

10

kw /fase/millalog 2s /d2

3.37 10-5

fV2FP

b

T

m

=

=

=

presión atmosférica, en cm Hg

temperatura absoluta, en grados kelvin factor

de cableado ( 0 m 1 )m = 1, cilíndrico uniformem = 0.9, ACSR intemperizado

r = radio del conductor, cm

r

0.3 1 k V/cm

Tecsup Virtu@l


- 41 -

Las pérdidas pueden alcanzar valores tan altos como 30 kw/km, con un promedio de 2.4 kw/km esperado, para una línea cuyo diseño sea similar a nuestro ejemplo de 500 kV, localizado en el sudeste de Estados Unidos.

La radio interferencia también es un problema y ocurre generalmente sobre una gama de frecuencias de 0.2 a 4 MHz, centrada alrededor de f0 = 0.8 MHz. Las precipitaciones incrementan la interferencia RF, como lo hace la alta humedad. A medida que los conductores envejecen, tienden a decrecer los niveles de interferencia RF. La formulación de ecuaciones generales que respondan para todas las variables pertinentes y que proporcionen resultados exactos es un difícil problema. Los resultados se obtienen usando relaciones empíricas y métodos estadísticos aplicados a cantidades impresionantes de datos registrados. Las pérdidas de potencia por efecto corona y las interferencias RF corona, son dos factores adicionales que se deben considerar cuando se haga el diseño de una línea.

5.4 RESUMEN

Se ha observado cómo los campos magnéticos y eléctricos que rodean a la línea de transmisión producen serias caídas de voltaje y corrientes con trayectorias shunt o derivadas, creando la necesidad de insertar elementos inductivos y capacitivos en los modelos de circuitos de línea. Hay muchos interesantes e importantes problemas que están asociados con la operación y diseño de las líneas de transmisión de potencia. De importancia fundamental es la capacidad de la línea de transmisión. Hay dos límites que considerar: el régimen nominal térmico y el límite de estabilidad en estado estacionario. Además, los efectos de impedancia de la línea pueden ocasionar que el voltaje de línea varíe fuera de límites aceptables, resultando altos voltajes en cargas ligeras, y bajos voltajes en cargas nominales. Esta situación se puede remediar mediante la inserción de elementos compensadores en serie lo mismo que en paralelo.

El aislamiento de la línea es básicamente determinado al considerar los niveles de voltaje de 60 Hz, sobretensiones inducidas por descargas y sobretensiones inducidas por interconexiones. Tales niveles son referidos como "niveles básicos de impulso aislante" (B.I.L.) y están relacionados con el valor de cresta de la forma de onda de los pulsos de voltaje estándar. Las descargas atmosféricas con la causa más común de que falle la línea (corto circuitos), por lo que es objeto de estudio. Dos técnicas importantes para reducir los efectos dañinos de las descargas atmosféricas son la colocación de neutros aéreos que protejan a los conductores de fase, y la conversación de una baja resistencia entre la base de la torre y el suelo.

La respuesta transitoria de línea es un problema analítico muy complicado que hasta muy recientemente se trató casi exclusivamente sobre un dispositivo analógico, conocido como "analizador de circuitos transitorios" (ACT). El ACT es un modelo de circuito, a escala, de laboratorio, que puede simular sistemas simples (unas cuantas líneas y transformadores), e incluye componentes cuyas características alineales fueron comparables a las de los sistemas reales. Ejemplos de los peores casos, en las condiciones de conmutación, pueden rápidamente aislarse por medio de operadores expertos, por lo que proporcionan una información muy útil para el diseño y operación de la línea. Es posible manejar ciertas situaciones simplificadas analíticamente y, usando el mismo procedimiento, extender los métodos para casos más prácticos y complicados. La transmisión de cd es práctica y razonable cuando se tratan grandes distancias. Los efectos corona son indeseables, pues constituyen pérdidas de potencia y fuentes de interferencia. El uso de conductores más largos y enrollados reducirá en cierto grado estos efectos.

Tecsup Virtu@l


- 42 -

5.5 PRUEBA DE AUTOCOMPROBACIÓN

1. Considere la L.T. de la configuración mostrada cada fase tiene dos conductores por fase con 40 cm entre conductores y cada conductor tiene una resistencia de 0, 05km.Asumir que el radio exterior y el RMG de cada conductor son idénticos e iguales a 1 cm.Asumir una tierra perfecta e ignorando el conductor el conductor a tierra. Estimar:

a. R, L, C por kmb. Ro, Lo y Co por km

Si la línea es operado en 138 KV.

2. El efecto pelicular SKIN:a. Reduce la resistencia eléctricab. Aumenta la resistencia eléctricac. No influye en la resistencia eléctricad. Aumenta la capacitancia de la línea

3. El efecto inductivo es producto de:a. De la tensión eléctricab. De la variación de la corrientec. Del material del conductord. Ninguna de las anteriores

4. El efecto capacitivo permite:a. Elevar la tensión en la recepciónb. Reducir la tensión en la recepciónc. Reducir la tensión en el envíod. Ninguna de las anteriores

Cable de guarda

12m

4m

4m

Tecsup Virtu@l


- 43 -

5.6 RESPUESTAS A LA PRUEBA DE AUTOCOMPROBACIÓN

1.a) R = 0,025 km L =

0,90 mH/kmC = 0,0127 uF/ km

b) R0 = RL0 = 2 mH/kmCo = 0,005 62 uF/km

2. b

3. b

4. a

Tecsup Virtu@l


- 44 -

UNIDAD I I.- LINEAS DE TRANSMISION CORTAS Y MEDIANAS Y LARGAS

LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD CORTA

En esta unidad se presentan modelos aproximados de líneas de transmisión de longitud corta y mediana, como un medio de introducir los parámetros ABCD.

Conviene representar una línea de transmisión con la red de dos puertos que se muestra en la figura II.I en donde Vs e s son las tensión y la corriente en el extremo emisor, y V R e IR son la tensión y la corriente en el extremo receptor. La relación entre las cantidades en el extremo emisor y el receptor se puede escribir como:

Vs = AVR + BR volts Ecuación (1)

IS = CVR + DR A Ecuación (2)

O bien, en el formato matricial,

Vs A B VR Ecuación (3)s C D IR

en donde A, B, C, y D son parámetros que dependen de las constantes R, L, C, y G de la línea de transmisión. En general, los parámetros ABCD son numero complejos, A y D no tiene dimensiones. B tiene las unidades de ohm y C, en siemens. En los textos de teorías de redes [5], se demuestra que los parámetros ABCD se aplican en redes lineales, pasivas, bilaterales de dos puertos, con la relación general siguiente:

AD – BC =1 Ecuación (4)

El circuito de la Figura (II.2) representa una línea de transmisión corta, por lo común aplicada a líneas elevadas de 60 Hz con menos de 80 km de largo. Solo se incluyen la resistencia y la reactancia en serie. La admitancia en derivación se desprecia. El circuito se aplica a líneas monofásicas o a trifásicas completamente transpuestas que operen en condiciones balanceadas. Para una línea trifásica completamente transpuesta, Z es la impedancia en serie Vs y VR son las tensiones línea a neutro en secuencia positiva IS e IR son las corrientes en secuencia positiva.

Con el fin de evitar confusión entre la impedancia total en serie y la impedancia en serie por unidad de longitud, se usará la notación siguiente:

Figura II.1 Representación de una red de dos puertos

EMISOR Is IR RECEPTOR Red de

Vs Dos puertos VR

Figura (II.2) Línea corta de transmisión Is Z = zℓ = (R + JωL)ℓ IR

+ + Vs VR

- -

Línea corta < (menos) de 80 km = 50 millas

Tecsup Virtu@l


- 45 -

z = R + jωL Ω/m, impedancia en serie por unidad de longitudy = G + JωC S/m, admitancia en derivación por unidad de longitudZ = zt Ω, impedancia total en serieY = yl S, admitancia total en derivaciónl = longitud de la línea m

Hay que recordad que, para las líneas de transmisión aéreas, suele despreciarse la conductancia en derivación, G.

Los parámetros ABCD para la línea corta de la Figura (II.2) se obtienen con facilidad si se escribe una ecuación de la LKV y una de la LKC, como sigue:

Vs = VR + ZIR Ecuación (5)Is = IR Ecuación (6)

O, en forma matricial,

Vs 1 Z VR Ecuación (7)Is 0 1 IR

Comparando las ecuaciones 7 y 3, los parámetros ABCD para la línea corta son

A = D = 1 por unidad Ecuación (8)B = Z Ω Ecuación

(9)C = 0 S Ecuación

(10)

LINEAS DE TRNSMISION DE LONGITUD MEDIA

Para las líneas de longitud media, que por lo general varían de 80 a 250 km a 60 Hz, es común concentrar la capacitancia total en derivación y ubicar la mitad en cada extremo de la línea. En la Figura (II.3) se muestra un circuito de este tipo, conocido como circuito π nominal.

Para obtener los parámetros ABCD del circuito π nominal, en primer lugar se puede observar que la corriente en la rama en serie de la figura II.3 es igual a IR + . En seguida, escribiendo una ecuación de la LKV,

VS = VR + Z (IR + )

VS = (1 + )VR + ZIR Ecuación (11)

Del mismo modo, escribiendo una ecuación de la LKV en el extremo emisor,

FIGURA (II.3) Línea de transmisión de longitud mediana; circuito π nominal. Is Z = zl IR

+ +VS VR

- -

IS = IR + + Ecuación (12)

Tecsup Virtu@l


- 46 -

Usando la ecuación (.11) en la (.12)

S = IR + + 1+ VR + ZIR

= Y 1+ VR + 1+ IR Ecuación (13)

Si se escriben las ecuaciones (.11)y (.13) en forma matricial,Vs VR

= Ecuación (14)

IS R

Por lo tanto, al comparar las ecuaciones (.14) y (.13)

A = D = 1 + [por unidad] Ecuación (15)

B = Z [Ω] Ecuación (16)

C = Y 1 + [S] Ecuación (17)

Note que tanto para la línea corta como para la de longitud media se verifica la relación AD – BD = 1. Se puede notar que la línea es la misma cuando se ve desde cualquier de los dos extremos, A = D.

En la Figura (II.4)se dan los parámetros ABCD para algunas redes comunes, incluyendo una red con impedancia en serie que constituye una aproximación a una línea corta y un circuito π que es una aproximación de una línea de longitud media. También se podría tener una aproximación de una línea de longitud media a través del circuito T que se muestra en la Figura (II.4), concentrando la mitad de la impedancia en serie en cada extremo de la línea. También se dan los parámetros ABCD para las redes en serie, los cuales se obtienen convenientemente al multiplicar las matrices ABCD de las redes individuales.

Los parámetros ABCD se pueden usar para describir la variación de la tensión en la línea con la carga en esta. La regulación de la tensión es el cambio en la tensión en el extremo receptor de la línea cuando la carga varia de en vacio hasta una carga plena especificada, con un factor de potencia especificado, mientras la tensión en el extremo emisor se mantiene constante. Expresada como un porcentaje de la tensión a plena carga,

%RT = X 100 Ecuación (18)

En donde RT en porciento es la regulación de la tensión en porcentaje |VREV| es la magnitud de la tensión en el extremo receptor en vacio y |VRPC |es la magnitud de la tensión en ese mismo extremo a plena carga.

Tecsup Virtu@l


- 47 -

Is IR

+ + Vs VR

- -Impedancia en serie

1 Z

0 1

Is IR

+ + Vs Y VR

- -Admitancia en derivación

1 0

Y 1

Is Z1 Z2 IR

+ + Vs Y VR

- -Circuito T

(1 + YZ1) (Z1 + Z2 + YZ1Z2)

Y (1 + Y1Z)

Is Z IR

+ + Vs Y1 Y2 VR

- -Circuito II

(1 + Y2Z) Z

(Y1 + Y2 + Y1Y2Z) (1 + Y1Z)

+ Is IR + Vs VR

- -Redes en serie

A1 B1 A2 B2 (A1A2 + B1C2) (A1B2 + B1D2)

C1 D1 C2 D2 (C1A2 + D1C2) (C1B2 + D1D2)

FIGURA (II.4) PARAMETROS ABCD DE REDES COMUNES

En la Figura (II.5) se ilustra, por medio de diagramas fasoriales, el efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulación de la tensión, para líneas cortas. Los diagramas fasoriales son representaciones graficas de la ecuación (5) para cargas con factor de potencia atrasado y adelantado. Observe que, a partir de la ecuación (.5), en vacio, RPC = 0 y VS = VREV, para una línea corta. Como se muestra se tiene la regulación más alta (la peor) de la tensión para la carga con f.p. atrasado en donde V REV

sobrepasa a VRPC en la cantidad más grande. Se tiene una menor, o incluso regulación de la tensión negativa, para la carga con f.p. adelantado. En general, por la ecuación (II.1), la tensión en vacío, con REV = 0,

VREV = Ecuación (II.19)

La cual se puede usar en la ecuación (II.18) para determinar la regulación de la tensión.

Vs = VREV

jXIRPC IRPC jXiRPC

RIRPC

VRPC RIRPC VRPC

IRPC

Carga con f.p. atrasado (b) Carga con f.p. adelantado

Ejemplo (II.1) Parámetros ABCD y el circuito π nominal: línea de longitud media.Una línea trifásica de 60 Hz, completamente transpuesta, de 345 kV y de 200 km de longitud tiene dos conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz y las siguientes constantes de secuencia positiva:

Tecsup Virtu@l


- 48 -

Z = 0.032 + j0.35 Ω/kmy = j4.2 X 10-6 S/km

la plena carga en el extremo receptor de la línea es de 700MW, con un f.p. de 0.99 adelantado y a 95 % de la tensión nominal. Suponiendo una línea de longitud media, determine lo siguiente:Los parámetros ABCD del circuito π nominal.La tensión Vs la corriente s y la potencia real Ps en el extremo emisor.La regulación de la tensión en porcentaje.El limite térmico con base en la capacidad aproximada de transmisión de corriente dada en la tabla A.4.La eficiencia de la línea a plena carga.

SOLUCION:Los valores de la impedancia en serie y la admitancia en derivación totales son:Z = zl = (0.032 + j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29/84.78° ΩY = yl = (j4.2 X 10-6)(200) = 8.4 X 10-4 /90° S

Con base en las ecuaciones (II.15) a la (II.17),A = D = 1 + (8.4 X 10-4 /90° )(70.29 /84.78° )(½) = 1 + 0.02952 /174.78°

= 0.9706 + J0.00269 = 0.9706/0.159° por unidadB = Z = 70.29/84.78° ΩC = (8.4 X 10-4 /90°)(1 + 0.01476/174.78°)

= (8.4 X 10-4 /90°)( 0.9853 + j0.00134) = 8.277 X 10-4/90.08° SLas cantidades de tensión y de corriente en el extremo receptor son;VR = (0.95)(345) = 327.8 kVLL

VR = /0° = 189.2 /0° kVLN

R = = 1.246/8.11° kADe las ecuaciones (II.1) y (II.2) las cantidades quedan así:

Vs = AVR + B І R

= ( 0.9706∠0.159O ) ( 189.2 ∠00 ) + ( 70.29 ∠84.780 ) ( 1.246 ∠8.110 ) =183.6∠ 0.1590 + 87.55∠92.890

=179.2 + j87.95 = 199.6∠26.140 KVLN VS =199.6 √3 = 345.8 KVLL ≈ 1.00 por unidad

Para calcular І stenemos dos formas ó alternativas :

І s = І R + V R

2 Y +

V S

2 Y ( una forma )

І S = C V R+ A І R ( otra forma )

І s=¿ ( 8.277x10−4∠ 90.080 ) ( 189.2∠00) + (0.9706∠0.1590) (1.246∠8.110 )

І s=¿0.1566∠90.080 + 1.209∠8.270

І s=¿ 1.196 + J0.331 = 1.241∠ 15.50 KA

Y la potencia real entregada al extremo emisor es : PS = √3 VS I S cos θ ; θ = VS – IS por lo tanto θ = 26.140- 15.50

Tecsup Virtu@l


- 49 -

PS = √3 (345.8) ( 1.241 ) cos ( 26.140 – 15.50 ) =730.5 MWAhora por la ecuación (II.19) la tensión en vacio en el extremo receptor es:VREV =V S

A ; VREV = 345.8

0.9706 = 356.3 KVLLY ahora de la ecuacion ( II.18 ) el porciento de regulación % RT = V REV−V RPC

V RPC X 100

% RT = 356.3−327.8327.8 x 100 = 8.7%

d).- De la tabla A.4, la capacidad aproximada de conducción de corriente de dos conductores ACSR 26/2 de 765000 cmil es de 2X 0.9= 1,8KAe).- Las pérdidas de la línea a plena carga son PS – PR = 730.5 – 700= 30.5 MW y la eficiencia de la línea de transmisión a plena carga es:%EF = PR

Ps x 100 cambiando valores reales tenemos:

%EF = 700730.5 x 100 = 95.8%

Dado que VS=1.00 por unidad, la tensión a plena carga en el extremo receptor de 0.95 por unidad corresponde a VR/VS= 0.95, lo que en la práctica se considera que es alrededor de la tensión más baja de operación posible sin encontrar problemas operativos. Por lo tanto, para esta línea sin compensar de 345 KV y de 200 Km de longitud, la caída de tensión limita la corriente a plena carga de 1.246 KA. Con un factor de potencia de 0.99 adelantado, muy por debajo del limite térmico de 1.8 KA.

(II.2) LINEAS DE TRANSMISION LARGAS “ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA LINEA DETRANSMISION”

Considere el circuito como se muestra en la figura (II.6). El cual representa una sección de línea de longitud ∆x. V(x) (x) denotan la tensión y la corriente en la posición x. la cual se mide en metros desde la derecha, o extremo receptor de la línea. De modo semejante. V (x + ∆x) (x + ∆x) denotan la tensión y la corriente en la posición (x + ∆x).

Las constantes del circuito son:Z = R + jWL [Ω/m] Ecuación (II.2.1)Y = G + jWC [S/m] Ecuación

(II.2.2)

En donde G suele despreciarse para las líneas aéreas de 60 Hz

Tecsup Virtu@l


- 50 -

I(x + ∆x) Z∆x I(X)

+ +V(x + ∆x) V(X) G - -

FIGURA (II.6) SECCION DE LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD ∆X

Aplicamos la LKV al circuito tenemos:V(x + ∆x ) = V(X) + (X) (Z∆x) Ecuación (II.2.3)V(x + ∆x ) - V(X) = (X) (Z∆x) ReacomodamosV(x + ∆x ) - V(X) = (X) (Z∆x) Despejamos Z(X) Z

= (x)Z Ecuación (II.2.4)

NOTA PARA RESOLVER ESTA ECUACION EXISTEN DOS METODOS.

f(x) = = (X)Z 1er METODOf´(x) lim∆x 0

f´(x) lim∆x 0

f´(x) lim∆x 0 = V(x)

por lo tantof´(x) = V(x) entonces de acuerdo a la derivada de la función nos queda

= V(x)

f´(x) = lim∆x 0 = V(x)

= V(x)

2do METODO= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

= lim∆x0 [- V(x) ] por lo tanto

= V(x)

Por lo tanto V(x)= Z (x) Ecuación (II.2.5)

De igual manera aplicando la LKC al circuito de la Figura (5.6) tenemos:

(x + ∆x) = (x) + Y(∆x) V(x)[A] Ecuación (II.2.6)(x + ∆x) - (x) = Y(∆x) V(x) (después Y V(x)), tenemos;

= Y V(x) Resolvemos esta ecuación que hay dos métodos. 1er METODOf(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

2do METODO= = Y V(x)

= -

= [ ]-[ ]

Tecsup Virtu@l


- 51 -

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0 =(x)

por lo tanto la ecuación queda: (x) = Y V(x) Ecuación (II.2.8)

= [ ]-[ ]

= lim∆x0 = (x) por lo tanto

(x) = Y V(x)

Las ecuaciones (II.2.5) y (II.2.8) son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de primer orden con dos incógnitas, V(x) (x). Se puede eliminar (x) al derivar en la ecuación (II.2.5)

V(x) = Z (x) Ecuación (II.2.5)

(x) = Y V(x) Ecuación (II.2.8)

[ V(x) ] = [Z (x)

Z = cte V(x) = Z (x) Pero: ecuación (II.2.8) dice (x) = Y V(x) , entonces

V(x) = ZY (x) o bien puede ser: Ecuación (II.2.9)

V(x) - ZY (x) = 0 Ecuación (II.2.10)

La ecuación (II.2.10) es una ecuación diferencial homogénea y de segundo orden en una incógnita, V (x), por conocimiento de las matemáticas, ó por inspección, su solución es:

V(x) = A,YX + A2 -YX [volts] Ecuación (II.2.11)

Donde:

A1 y A2 = son constantes de integración yY = Zy [m-1] Ecuación (II.2.12)Y =se llama constante de propagación sus unidades son [ m-1]Enseguida usamos la ecuación (II.2.11) en la ecuación (II.2.5) tenemos: V(x) = Z (x)

[A1 YX + A2 -YX] = Z (x) Ecuación (II.2.13)

[A1 YX YX + A2 -YX]= Z (x)

A1 YX YX + A2 -YX (-YX) = Z (x)

Tecsup Virtu@l


- 52 -

A1 YX (Y) + A2 -YX (-Y) = Z (x)

YA1 YX - YA2 -YX = Z (x) (despejamos (x))

(x) = =

(x) a esta ecuación lo multiplico a ambos miembros por

(x) =

(x) = Ecuación (II.2.14)


Zc = Impedancia característica

De la ecuación V(x) = A1 YX A2 -YX [volts]Zc = [Ω] = 1 Ecuación (II.2.16)Para X= 0, tenemos;V(x) = A1 y(0) + A2 -Y(0)

VR = V(0) Ecuación (II.2.17)VR = A1 +A2 Ecuación (II.2.19)

(x) = Para X = 0, tenemos:R = (0) Ecuación (II.2.18)(x) =

R = Ecuación (II.2.20)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.19)VR = A1 +A2 B ∴ A1 = VR - A2

A1 = VR – [ - R Zc + A1 ]A1 = VR + R Zc – A1 A1 + A1 = VR + R ZC 2 A1 = VR + R ZC A1 = Ecuación (II.2.21)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.20)R = ∴ R ZC = A1 + A2

-A2 =R ZC - A1 ∴ A2 = R Zc + A1

A2 = - R ZC + A1

A2 = - R ZC +A2 = + = A2 = A2 = Ecuación (II.2.22)

V(x) = A1 YX + A2 YX [volts]La ecuación (II.2.11) se integran las ecuaciones (II.2.21) y la ecuación (II.2.22) cual queda de la siguiente forma:

V(x) = [ + ]YX Ecuación (II2.23)

Tecsup Virtu@l


- 53 -

V(x) = + sacamos el común denominador el 2

V(x) =

V(x) =

V(x) = + factorizamos

V(x) = + Ecuación (II.2.25)


Pero A1 = ; A2 = Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación (II.2.15) queda de la siguiente forma:

(x) = Ecuación (II2.24)

(x) =

(x) =

(x) =

(x) = -

(x) =

(x) =

(x) = +

(x) = VR + +

(x) = + +

(x) = + +

(x) = +

(x) = VR + R Ecuación (II.2.26)

Ahora concluimos que las ecuaciones, ecuación (II.2.25) y ecuación (II2.26) se transforman en las siguientes ecuaciones:


Tecsup Virtu@l


- 54 -


Ahora reconocerlas ecuaciones (II2.25) y (II.2.26) nos dice que son funciones hiperbólicas de Cos h y Sen h, es decir; V(x) = Cos h (YX)VR + ZC (YX)R Ecuación (II.2.27)

(x) = Sen h (YX)VR + Cos h (YX)R Ecuación (II.2.28)

Las ecuaciones (II.2.27) y (II.2.28) dan los parámetros ABCD de la línea distribuida. En forma matricial nos queda

V(x) VR

Ecuación (II.2.29)(x) R

Donde:

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuación (II.2.30) B(x) = ZC Sen h (YX) [Ω] Ecuación (II.2.31) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuación (II.2.32)S = siemens

La ecuación (II.2.29) de la corriente y la tensión en cualquier punto x a lo largo de la línea, en términos de la tensión y la corriente en el extremo receptor.

Para el extremo emisor en donde x = l , V (l) = Vs, (l) = s.Es decir ;

Vs VR

Ecuación (II.2.33)s R

Donde :

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuación (II.2.34) B(x) = ZC Sen h (YX) [Ω] Ecuación (II.2.35) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuación (II.2.36)

Las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.35) dan los parámetros ABCD de la línea distribuidas. En estas ecuaciones, la constante de propagación, y, es una cantidad compleja con partes reales e imaginaria

Tecsup Virtu@l


- 55 -

denotadas por α y β. Es decir,

γ = α + jβ m-1 Ecuación (II.2.37)

La cantidad γl no tiene dimensiones. Del mismo modo,γl = (αl=jβl) = αljβl = αl / β l Ecuación (II.2.38)

Usando la ecuación (II.2.38), la funciones hiperbólicas cosh y senh se pueden evaluar como sigue:

Cosh(γl) = = (αl / β l + -αl / - β l ) Ecuación (II.2.39)

Y

Senh(γl) = = (αl / β l - -αl / - β l ) Ecuación (II.2.40)

En forma alterna, se pueden usar las identidades siguientes:

Cosh(αl + jβl) = cosh (αl) cos(βl) + j senh(αl) sen (βl) Ecuación (II.2.41)Senh(αl + jβl) = senh (αl) cos(βl) + j cosh(αl) sen (βl) Ecuación (II.2.42)

Observe que las ecuaciones (II.2.39) a (II.2.42), la cantidad a dimensional βl se expresa en radiantes, no grados.Los parámetros ABCD dados por las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.36) son exactos y validos para cualquier longitud de línea, para cálculos precisos, se deben utilizar estas ecuaciones para líneas aéreas de 60 Hz con una longitud mayor que 250 km. Los parámetros ABCD deducidos en la sección 5.1 son aproximados que se usan mejor para cálculos manuales que comprenden líneas cortas o de longitud media. En la tabla 5.1 se resumen los parámetros ABCD para líneas cortas, medias, larga y sin perdidas.

EJEMPLO DE APLICACIÓNPARÁMETROS ABCD EXACTOS: LINEA LARGA

Una línea larga trifásica de 765 kv, 60 Hz y 300 km de longitud completamente transpuesta, tiene la impedancia y admitancia, en sec (+) y tiene los siguientes valores:

Z = 0.0165 + j0.03306 = 0.3310 /87.114° [Ω/ Km]Y = 0 + j4.674 X -6 [ s/ km] = 4.674 /90 X 10 -6

Suponiendo la operación en secuencia positiva, cálculos los parámetros ABCD exactos de la línea. Comprar el parámetros exactos B en el circuito π nominal ( ver tabla 5.1 pág. 220)

SOLUCION

Zc = = Ecuación (II.2.16)

Y = Zy [m-1] Ecuación (II.2.12)Zc = [Ω] Ecuación (II.2.16)

Tecsup Virtu@l


- 56 -

ZC = 0.70817 X 10 +6 |-2.86° = 7.08 X 104 |2.86°

ZC = 266.12 |- 1.43° ΩY = Z y = 0.3310 |87.14° [4.674 X 10-6|90°] = 1.547094 X 10-6|177.14°Y = 12.438 X 10-4 |88.57°Yl = 12.438 X 10-4|88.57° X 300 kmYl = 0.37314|88.57° = 0.00931 + j0.3730 [en por unidad]

γl = (αl=jβl) = αljβl = αl / β l Ecuación (II.2.38)

yl = 0.00931 + j0.3730 = 0.00931 |0.3730°yl = 0.00931 |0.3730° [rad]yl = 1.00935 |0.3730° [rad]

Yl = 0.00931 + j0.3730 [P.v.]yl = 0.00931 + j0.3730

αljβl = αl / β l αljβl = 0.00931 |0.3730° [Rad]αljβl = 0.00931 |0.3730°

Ahora se convierte en forma cartesiana.yl = 0.9400 + j0.3678Ahora para encontrar -yl -yl = -0.00931 - j0.3730 = -0.00931 |-0.3730° radianes.-yl = -0.00931 - j0.3730 = 0.99073 |-0.3730° = 0.9226 – j0.3610

Ahora sustituyendo en la ecuación (II.2.39) Y (II.2.40) tenemos

Cosh(γl) = = = = = 0.91313 |0.20917 = + j0.0034

Senh(γl) = = = = = 0.36455 |88.63°

= 0.0087 + j0.3644

Por último las ecuaciones (II.2.34), (II.2.35) y (II.2.36) se sustituyen los valores calculados.


A = D = 0.93.139 |0.20917°[por unidad]B = [266.12 |1.43°] [0.36455 |88.63° ] = 97.014 |87.2 [Ω]C = [0.36455|88.63° ] = [3.757 X 10-3 |1.43° ] [ 0.36455|88.63°] = 1.37 X 10-3 |90.06° [siemens]

Usando la ecuación (II.16) B= Z[Ω], tenemos B π nominal = Zl B π nominal = 0.3310|87.14°(300km)

Tecsup Virtu@l


- 57 -

B π nominal = 99.3 |87.14° (Ω) ∴ el cual es el 2% mayor que el exacto.

LINEAS DE LONGITUD MEDIA pagina 8 ( repaso del ejemplo anterior de la línea media )

APLICAMOS LA LKV

VS = s Z + R Z + VR

= ; = ; = VY

Y = admitancia [Siemens]

VS = Z + R Z + VR

VS = (VR ) Z + R Z + VR

Factorizar Z; tenemos:

VS = ( VR + R )Z + VR

REORDENAMOS

VS = VR + Z (R + ) ecuación 1

Aplicamos ahora para las corrientes LKC

s = VS + VR + R ecuación 2

Corriente corriente corrienteEn el circuito en el circuito de general externo receptor rama

sustituyendo en ecuación 1 en ecuación 2,tenemos:

s = [VR + Z (R + )] + VR + R

s Z = zl R

+ +VS VR

- -

De la ecuación 1 tenemos otra forma

VS = VR +Z (R + )

VS = VR + Z R +

VS = VR + + ZR

Tecsup Virtu@l


- 58 -

VS = (1 + )VR + ZR ecuación 1

s = [ VR + Z (R + ) + VR + R

s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )( )+ VR ( ) + R

s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )+ VR ( ) + R

s = 2VR ( ) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( )

s = VR(Y) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( )

s = VR (Y) + Z ( ) + 1)R +

R = VRY [ 1 + ] + (Z ( )+ 1) R

Resumiendo en forma general tenemos:

VS = VR ( (Z) + 1 ) +R Z

A BVS = A VR + B R

s = VR Y [ + 1] + ( + 1) R

C D

A = Z( ) + 1 B = ZC = Y [ + 1]D = Z( ) + 1

VS VR

s s

Vs VR

=

VR R

Condición AD-BC = 1∆T = ( 1 + )( 1 + ) – Z [ Y (1 + )]

∆T = ( )( ) – Z [ Y + )]

∆T = ( ) – [Z Y + ]

∆T = ( + + ) – ( ZY + )

∆T = (1 + YZ + ) – ZY-

∆T = 1 + YZ + – ZY-

∆T = 1 por lo tanto AD - BC = 1 DEMOSTRADO

Tecsup Virtu@l


- 59 -

PARAMETROS ABCD

DATOS DATOSLínea = 3 Ф V = 345 Kvf = 60 ciclos l = 200Km

Completamente transpuesta

2 conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz, secuencia positiva.

Z = 0.032 + j0.35 [ Ω/Km]Y = 0 + j4.2 X 10-6 [S/Km]

A plena carga de la línea en el extremo receptor = 700 MW, con un factor de potencia de 0.99 adelantado y a 95% de la tensión nominal. Suponiendo una línea de longitud media determine lo siguiente:Los parámetros ABCD del circuito π nominal.La tensión VS, la corriente s y la potencial real Ps en el extremo emisor.La regulación de la tensión en porcentaje. La eficiencia de la línea a plena carga.

SOLUCION

Los valores de la impedancia SERIE y la admitancia en DERIVACION totales son:Z = Zl = (0.032 +j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29|84.78° [Ω]Y = Yl = (0+ j4.2 X 10-6)( 200) =0 + j840 X 10-6 = 0 + j8.40 X 10-4 = 8.4 X 10-4 |90° |S

Con base a las ecuaciones : A = D = 1 + [P. U.]B = Z [ Ω ]C = Y [1 + ] [ siemens]

A = D = 1 + = 1 + A = D = 1 + = 1 + 0.02952|174.78°A = D = 1 +(-0.02939 + j2.685 X 10-3)A = D = 1 – 0.02939 + j 2.685 X 10-3 = 0.97061 + 2.685 X 10-3

A = D = 0.970613 |0.15849°[Por unidades (P.U.)]B = Z =70.29 |84.78° [ Ω ]C = Y [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + 0.01476 |174.78 ] ]C = 8.4 X 10-4

|90° +1.23984 X 10-5 |264.78°C = 0+ j8.4 X 10-4 + (-1.128 X 10-6 – j1.2346 X 10-5)C = 1.128 X 10-6 + j8.276 X 10-4 = 8.276 X 10-4 |90.08° [siemens] – 89.92 + 180 = 90.08°C= 8.276 X 10-4 |90.08° [S] Las cantidades de tensión y corriente en el extremo receptor es:

VR = 0.95 (345 Kv) = 327.8 KvLL

VR = |0° = 189.2|0° KvLN

Tecsup Virtu@l


- 60 -

R =

R = = =

R = 1.245 |8.11° [KA]

Las cantidades de tensión y corriente en el extremo EMISOR son:VS = (1 + ) VR + Z R

Pero A = D= [ 1 + ] por lo tantoVS = A VR + Z R VS = 0.970613 |0.15849° * 189.2 |0° + 70.29|84.78° * [1.245 |8.11°]VS = 183.64 |0.15844 + 87.511 |92.89°VS = 183.64 + j0.5679 + [-4.412 + j 87.4]VS = 183.64 + j0.5079 – 4.412 + j87.4 = 179.228 j87.90VS = 199.622 |26.125° [ volts][KVLN] voltaje de línea a neutroVS = 199.622 |26.125° [KVLN] línea a neutroVS = 3 * 199.622 |26.125° = 345.755 KVLN ≈ 1.00 P.U.

[NOTA: VER DATOS DEL PROBLEMA (INICIO) = 345 KV]

UNA FORMA

s = R + + s = 1.245|8.11 + + s = 1.245 |8.11 + +s = 1.245 |8.11 + 0.079464 |90 + 0.08384 |116.125°s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 + [-0.0369 +j0.07527]s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 – 0.0369 + j0.07527s = 1.1951 + j0.330 = 1.239 |15.43° [KA]

OTRA FORMA

s = Y ( 1 + ) VR + (1 + ) R C A = D

s = C VR + A R s = [8.276 X 10-4 |90.08° ][189.2 |0° ] + 0.970613 |0.15849° [1.245|8.11°]s = 0.15358 |90.08° + 1.208 |8.26°s = -2.186 X 10-4 + j0.15658 + 1.195 + j0.1735 =1.194 +j0.330s = 1.238 |15.44° [KA]

Y LA OTRA POTENCIA REAL ENTREGADA AL EXTREMO EMISOR ES:

PS = 3 VS s cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 741.99 cos 26.125° – 15.93°

Ps = 741.99 cos 10.71°

Ps = 729.068 Mw

Tecsup Virtu@l


- 61 -

Ahora para calcular la tensión en vacio en el extremo receptor tenemos:A partir de la Ecuación (II.5), VS = VR + Z R : donde :

VR = VREV

VS = Voltaje EmisorVREV = Voltaje Receptor en Vacio

NOTA: COMO LA TENSION ES EN VACIO R = 0, POR LO TANTO

VS = VREV ; pero VS = A VR + B R [volts] para R = 0 Ecuación (II.1)VS = A VR VR = VR = VREV

VREV = = = = 356.223 KVLL

VREV = Voltaje en el extremo Receptor en Vacio es: 356.223 KVLL

Ahora para calcular la regulación de transformación a partir de la ecuación (II.118)

%RT = X 100

%RT = X 100 =

FORMULA

UNIDAD I I.- LINEAS DE TRANSMISION CORTAS Y MEDIANAS Y LARGAS

LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD CORTA

En esta unidad se presentan modelos aproximados de líneas de transmisión de longitud corta y mediana, como un medio de introducir los parámetros ABCD.

Conviene representar una línea de transmisión con la red de dos puertos que se muestra en la figura II.I en donde Vs e s son las tensión y la corriente en el extremo emisor, y V R e IR son la tensión y la corriente en el extremo receptor. La relación entre las cantidades en el extremo emisor y el receptor se puede escribir como:

Vs = AVR + BR volts Ecuación (1)

IS = CVR + DR A Ecuación (2)

O bien, en el formato matricial,

Vs A B VR Ecuación (3)s C D IR

en donde A, B, C, y D son parámetros que dependen de las constantes R, L, C, y G de la línea de transmisión. En general, los parámetros ABCD son numero complejos, A y D no tiene dimensiones. B tiene las unidades de ohm y C, en siemens. En los textos de teorías de redes [5], se demuestra que los parámetros ABCD se aplican en redes lineales, pasivas, bilaterales de dos puertos, con la relación general

Tecsup Virtu@l


- 62 -

siguiente:

AD – BC =1 Ecuación (4)

El circuito de la Figura (II.2) representa una línea de transmisión corta, por lo común aplicada a líneas elevadas de 60 Hz con menos de 80 km de largo. Solo se incluyen la resistencia y la reactancia en serie. La admitancia en derivación se desprecia. El circuito se aplica a líneas monofásicas o a trifásicas completamente transpuestas que operen en condiciones balanceadas. Para una línea trifásica completamente transpuesta, Z es la impedancia en serie Vs y VR son las tensiones línea a neutro en secuencia positiva IS e IR son las corrientes en secuencia positiva.

Con el fin de evitar confusión entre la impedancia total en serie y la impedancia en serie por unidad de longitud, se usará la notación siguiente:

Figura II.1 Representación de una red de dos puertos

EMISOR Is IR RECEPTOR Red de

Vs Dos puertos VR

Figura (II.2) Línea corta de transmisión Is Z = zℓ = (R + JωL)ℓ IR

+ + Vs VR

- -

Línea corta < (menos) de 80 km = 50 millas

z = R + jωL Ω/m, impedancia en serie por unidad de longitudy = G + JωC S/m, admitancia en derivación por unidad de longitudZ = zt Ω, impedancia total en serieY = yl S, admitancia total en derivaciónl = longitud de la línea m

Hay que recordad que, para las líneas de transmisión aéreas, suele despreciarse la conductancia en derivación, G.

Los parámetros ABCD para la línea corta de la Figura (II.2) se obtienen con facilidad si se escribe una ecuación de la LKV y una de la LKC, como sigue:

Vs = VR + ZIR Ecuación (5)Is = IR Ecuación (6)

O, en forma matricial,

Vs 1 Z VR Ecuación (7)Is 0 1 IR

Comparando las ecuaciones 7 y 3, los parámetros ABCD para la línea corta son

A = D = 1 por unidad Ecuación (8)B = Z Ω Ecuación

(9)C = 0 S Ecuación

Tecsup Virtu@l


- 63 -

(10)

LINEAS DE TRNSMISION DE LONGITUD MEDIA

Para las líneas de longitud media, que por lo general varían de 80 a 250 km a 60 Hz, es común concentrar la capacitancia total en derivación y ubicar la mitad en cada extremo de la línea. En la Figura (II.3) se muestra un circuito de este tipo, conocido como circuito π nominal.

Para obtener los parámetros ABCD del circuito π nominal, en primer lugar se puede observar que la corriente en la rama en serie de la figura II.3 es igual a IR + . En seguida, escribiendo una ecuación de la LKV,

VS = VR + Z (IR + )

VS = (1 + )VR + ZIR Ecuación (11)

Del mismo modo, escribiendo una ecuación de la LKV en el extremo emisor,

FIGURA (II.3) Línea de transmisión de longitud mediana; circuito π nominal. Is Z = zl IR

+ +VS VR

- -

IS = IR + + Ecuación (12)

Usando la ecuación (.11) en la (.12)S = IR + + 1+ VR + ZIR = Y 1+ VR + 1+ IR Ecuación (13)

Si se escriben las ecuaciones (.11)y (.13) en forma matricial,Vs VR

= Ecuación (14)

IS R

Por lo tanto, al comparar las ecuaciones (.14) y (.13)

A = D = 1 + [por unidad] Ecuación (15)

B = Z [Ω] Ecuación (16)

C = Y 1 + [S] Ecuación (17)

Note que tanto para la línea corta como para la de longitud media se verifica la relación AD – BD = 1. Se puede notar que la línea es la misma cuando se ve desde cualquier de los dos extremos, A = D.

En la Figura (II.4)se dan los parámetros ABCD para algunas redes comunes, incluyendo una red con impedancia en serie que constituye una aproximación a una línea corta y un circuito π que es una aproximación de una línea de longitud media. También se podría tener una aproximación de una línea de longitud media a través del circuito T que se muestra en la Figura (II.4), concentrando la mitad de la impedancia en serie en cada extremo de la línea. También se dan los parámetros ABCD para las redes en serie, los cuales se obtienen convenientemente al multiplicar las matrices ABCD de las redes individuales.

VRY2

VRY2

Yz2

Y = Yl2 2

Y2

VRY2

VSY2

VRY2

YZ2

Y2YZ

4YZ2

YZ2

1 + Z

Y ( 1 +

YZ 4

1 + YZ2

YZ2

YZ4

Tecsup Virtu@l


- 64 -

Los parámetros ABCD se pueden usar para describir la variación de la tensión en la línea con la carga en esta. La regulación de la tensión es el cambio en la tensión en el extremo receptor de la línea cuando la carga varia de en vacio hasta una carga plena especificada, con un factor de potencia especificado, mientras la tensión en el extremo emisor se mantiene constante. Expresada como un porcentaje de la tensión a plena carga,

%RT = X 100 Ecuación (18)

En donde RT en porciento es la regulación de la tensión en porcentaje |VREV| es la magnitud de la tensión en el extremo receptor en vacio y |VRPC |es la magnitud de la tensión en ese mismo extremo a plena carga.

|VREV | - |VRPC ||VRPC |

Tecsup Virtu@l


- 65 -

Is IR

+ + Vs VR

- -Impedancia en serie

1 Z

0 1

Is IR

+ + Vs Y VR

- -Admitancia en derivación

1 0

Y 1

Is Z1 Z2 IR

+ + Vs Y VR

- -Circuito T

(1 + YZ1) (Z1 + Z2 + YZ1Z2)

Y (1 + Y1Z)

Is Z IR

+ + Vs Y1 Y2 VR

- -Circuito II

(1 + Y2Z) Z

(Y1 + Y2 + Y1Y2Z) (1 + Y1Z)

+ Is IR + Vs VR

- -Redes en serie

A1 B1 A2 B2 (A1A2 + B1C2) (A1B2 + B1D2)

C1 D1 C2 D2 (C1A2 + D1C2) (C1B2 + D1D2)

FIGURA (II.4) PARAMETROS ABCD DE REDES COMUNES

En la Figura (II.5) se ilustra, por medio de diagramas fasoriales, el efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulación de la tensión, para líneas cortas. Los diagramas fasoriales son representaciones graficas de la ecuación (5) para cargas con factor de potencia atrasado y adelantado. Observe que, a partir de la ecuación (.5), en vacio, RPC = 0 y VS = VREV, para una línea corta. Como se muestra se tiene la regulación más alta (la peor) de la tensión para la carga con f.p. atrasado en donde V REV

sobrepasa a VRPC en la cantidad más grande. Se tiene una menor, o incluso regulación de la tensión negativa, para la carga con f.p. adelantado. En general, por la ecuación (II.1), la tensión en vacío, con REV = 0,

VREV = Ecuación (II.19)

La cual se puede usar en la ecuación (II.18) para determinar la regulación de la tensión.

Vs = VREV

jXIRPC IRPC jXiRPC

RIRPC

VRPC RIRPC VRPC

IRPC

(a) Carga con f.p. atrasado (b) Carga con f.p. adelantado

Ejemplo (II.1) Parámetros ABCD y el circuito π nominal: línea de longitud media.Una línea trifásica de 60 Hz, completamente transpuesta, de 345 kV y de 200 km de longitud tiene

dos conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz y las siguientes constantes de secuencia positiva:Z = 0.032 + j0.35 Ω/kmy = j4.2 X 10-6 S/km

A1B1C1D1 A2B2C2D2

VS

A

VS = VREV

Tecsup Virtu@l


- 66 -

la plena carga en el extremo receptor de la línea es de 700MW, con un f.p. de 0.99 adelantado y a 95 % de la tensión nominal. Suponiendo una línea de longitud media, determine lo siguiente:

a. Los parámetros ABCD del circuito π nominal.

b. La tensión Vs la corriente s y la potencia real Ps en el extremo emisor.

c. La regulación de la tensión en porcentaje.

d. El limite térmico con base en la capacidad aproximada de transmisión de corriente

dada en la tabla A.4.

e. La eficiencia de la línea a plena carga.

SOLUCION:a. Los valores de la impedancia en serie y la admitancia en derivación totales son:

Z = zl = (0.032 + j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29/84.78° Ω

Y = yl = (j4.2 X 10-6)(200) = 8.4 X 10-4 /90° S

Con base en las ecuaciones (II.15) a la (II.17),

A = D = 1 + (8.4 X 10-4 /90° )(70.29 /84.78° )(½)

= 1 + 0.02952 /174.78°

= 0.9706 + J0.00269 = 0.9706/0.159° por unidad

B = Z = 70.29/84.78° ΩC = (8.4 X 10-4 /90°)(1 + 0.01476/174.78°)

= (8.4 X 10-4 /90°)( 0.9853 + j0.00134)

= 8.277 X 10-4/90.08° S

b. Las cantidades de tensión y de corriente en el extremo receptor son;

VR = (0.95)(345) = 327.8 kVLL

VR = /0° = 189.2 /0° kVLN

R = = 1.246/8.11° kA

De las ecuaciones (II.1) y (II.2) las cantidades quedan así:

Vs = AVR + B І R

= ( 0.9706∠0.159O ) ( 189.2 ∠00 ) + ( 70.29 ∠84.780 ) ( 1.246 ∠8.110 ) =183.6∠ 0.1590 + 87.55∠92.890

=179.2 + j87.95 = 199.6∠26.140 KVLN VS =199.6 √3 = 345.8 KVLL ≈ 1.00 por unidad

Para calcular І stenemos dos formas ó alternativas :

І s = І R + V R

2 Y +

V S

2 Y ( una forma )

І S = C V R+ A І R ( otra forma )

І s=¿ ( 8.277x10−4∠ 90.080 ) ( 189.2∠00) + (0.9706∠0.1590) (1.246∠8.110 )

327.8 3

700 /cos -1 0.99 ( 3) (0.95 X 345)(0.99)

Tecsup Virtu@l


- 67 -

І s=¿0.1566∠90.080 + 1.209∠8.270

І s=¿ 1.196 + J0.331 = 1.241∠ 15.50 KA

Y la potencia real entregada al extremo emisor es : PS = √3 VS I S cos θ ; θ = VS – IS por lo tanto θ = 26.140- 15.50

PS = √3 (345.8) ( 1.241 ) cos ( 26.140 – 15.50 ) =730.5 MWAhora por la ecuación (II.19) la tensión en vacio en el extremo receptor es:VREV =V S

A ; VREV = 345.8

0.9706 = 356.3 KVLLY ahora de la ecuacion ( II.18 ) el porciento de regulación % RT = V REV−V RPC

V RPC X 100

% RT = 356.3−327.8327.8 x 100 = 8.7%

d).- De la tabla A.4, la capacidad aproximada de conducción de corriente de dos conductores ACSR 26/2 de 765000 cmil es de 2X 0.9= 1,8KAe).- Las pérdidas de la línea a plena carga son PS – PR = 730.5 – 700= 30.5 MW y la eficiencia de la línea de transmisión a plena carga es:%EF = PR

Ps x 100 cambiando valores reales tenemos:

%EF = 700730.5 x 100 = 95.8%

Dado que VS=1.00 por unidad, la tensión a plena carga en el extremo receptor de 0.95 por unidad corresponde a VR/VS= 0.95, lo que en la práctica se considera que es alrededor de la tensión más baja de operación posible sin encontrar problemas operativos. Por lo tanto, para esta línea sin compensar de 345 KV y de 200 Km de longitud, la caída de tensión limita la corriente a plena carga de 1.246 KA. Con un factor de potencia de 0.99 adelantado, muy por debajo del limite térmico de 1.8 KA.

(II.2) LINEAS DE TRANSMISION LARGAS “ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA LINEA DETRANSMISION”

Considere el circuito como se muestra en la figura (II.6). El cual representa una sección de línea de longitud ∆x. V(x) (x) denotan la tensión y la corriente en la posición x. la cual se mide en metros desde

Tecsup Virtu@l


- 68 -

la derecha, o extremo receptor de la línea. De modo semejante. V (x + ∆x) (x + ∆x) denotan la tensión y la corriente en la posición (x + ∆x).

Las constantes del circuito son:Z = R + jWL [Ω/m] Ecuación (II.2.1)Y = G + jWC [S/m] Ecuación

(II.2.2)

En donde G suele despreciarse para las líneas aéreas de 60 HzI(x + ∆x) Z∆x I(X)

+ +V(x + ∆x) V(X) G - -

FIGURA (II.6) SECCION DE LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD ∆X

Aplicamos la LKV al circuito tenemos:V(x + ∆x ) = V(X) + (X) (Z∆x) Ecuación (II.2.3)V(x + ∆x ) - V(X) = (X) (Z∆x) ReacomodamosV(x + ∆x ) - V(X) = (X) (Z∆x) Despejamos Z(X) Z

= (x)Z Ecuación (II.2.4)

NOTA PARA RESOLVER ESTA ECUACION EXISTEN DOS METODOS.

f(x) = = (X)Z 1er METODOf´(x) lim∆x 0

f´(x) lim∆x 0

f´(x) lim∆x 0 = V(x)

por lo tantof´(x) = V(x) entonces de acuerdo a la derivada de la función nos queda

= V(x)

f´(x) = lim∆x 0 = V(x)

= V(x)

2do METODO= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

= lim∆x0 [- V(x) ] por lo tanto

= V(x)

Por lo tanto V(x)= Z (x) Ecuación (II.2.5)

De igual manera aplicando la LKC al circuito de la Figura (5.6) tenemos:

(x + ∆x) = (x) + Y(∆x) V(x)[A] Ecuación (II.2.6)(x + ∆x) - (x) = Y(∆x) V(x) (después Y V(x)), tenemos;

= Y V(x) Resolvemos esta ecuación que hay dos métodos.

V(x + ∆x ) - V(X)

∆x

(x + ∆x)

Y∆x Y∆x

Y = G + jWE

V(x + ∆x ) - V(X)

∆x

V(x + ∆x ) + V(x + ∆x ) - V(x + ∆x )

∆xddx

V(x) + V∆x + V(x) + V∆x - Vx - V∆x

∆xddx

V(x)

0

ddx

ddx

UV(x + ∆x)V ∆x

ddx

V(x) U

∆x V

∆X V(x + ∆x) - V(x + ∆x) ∆X

∆x2

ddx

ddx

∆X V(x) - V(x) ∆X

∆x2

ddx

ddx

ddx

∆X V(x) + ∆X - V(x) - V∆X ∆X

∆x2

ddx

∆X V(x) - V(x) ∆X

∆x2

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

(x + ∆x) - (x)

∆x

(x + ∆x) - (x)

∆x

(x + ∆x) - (x)

∆x

Tecsup Virtu@l


- 69 -

1er METODOf(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0

f(x) = lim∆x0 =(x)

por lo tanto la ecuación queda: (x) = Y V(x) Ecuación (II.2.8)

2do METODO= = Y V(x)

= -

= [ ]-[ ]

= [ ]-[ ]

= lim∆x0 = (x) por lo tanto

(x) = Y V(x)

Las ecuaciones (II.2.5) y (II.2.8) son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de primer orden con dos incógnitas, V(x) (x). Se puede eliminar (x) al derivar en la ecuación (II.2.5)

V(x) = Z (x) Ecuación (II.2.5)

(x) = Y V(x) Ecuación (II.2.8)

[ V(x) ] = [Z (x)

Z = cte V(x) = Z (x) Pero: ecuación (II.2.8) dice (x) = Y V(x) , entonces

V(x) = ZY (x) o bien puede ser: Ecuación (II.2.9)

V(x) - ZY (x) = 0 Ecuación (II.2.10)

La ecuación (II.2.10) es una ecuación diferencial homogénea y de segundo orden en una incógnita, V (x), por conocimiento de las matemáticas, ó por inspección, su solución es:

V(x) = A,YX + A2 -YX [volts] Ecuación (II.2.11)

Donde:

A1 y A2 = son constantes de integración yY = Zy [m-1] Ecuación (II.2.12)Y =se llama constante de propagación sus unidades son [ m-1]Enseguida usamos la ecuación (II.2.11) en la ecuación (II.2.5) tenemos: V(x) = Z (x)

[A1 YX + A2 -YX] = Z (x) Ecuación (II.2.13)

ddx

(x + ∆x) + (x + ∆x) - (x+ ∆x)

∆xx + ∆x + x + ∆x -

x –∆x∆x(x) +

∆x∆x

ddx

ddx

(x +

∆x)u

∆x

v

(x)u

∆x

v

ddx

∆x (x + ∆x) - (x + ∆x) ∆x

∆x

ddx

∆x (x) - (x) ∆x

∆x2

ddx

ddx

∆x (x) + ∆x - (x) - ∆x ∆x

∆x2

∆x (x) - (x) ∆x

∆x2

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx

ddx d

dx

d2

dx2

d2

dx2

ddx

ddx

ddx

ddx

Tecsup Virtu@l


- 70 -

[A1 YX YX + A2 -YX]= Z (x)

A1 YX YX + A2 -YX (-YX) = Z (x)

A1 YX (Y) + A2 -YX (-Y) = Z (x)

YA1 YX - YA2 -YX = Z (x) (despejamos (x))

(x) = =

(x) a esta ecuación lo multiplico a ambos miembros por

(x) =



Zc = Impedancia característica

De la ecuación V(x) = A1 YX A2 -YX [volts]Zc = [Ω] = 1 Ecuación (II.2.16)Para X= 0, tenemos;V(x) = A1 y(0) + A2 -Y(0)

VR = V(0) Ecuación (II.2.17)VR = A1 +A2 Ecuación (II.2.19)

(x) = Para X = 0, tenemos:R = (0) Ecuación (II.2.18)(x) =

R = Ecuación (II.2.20)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.19)VR = A1 +A2 B ∴ A1 = VR - A2

A1 = VR – [ - R Zc + A1 ]A1 = VR + R Zc – A1 A1 + A1 = VR + R ZC 2 A1 = VR + R ZC A1 = Ecuación (II.2.21)

DESPEJAMOS A1 DE LA ECUACION (II.2.20)R = ∴ R ZC = A1 + A2

-A2 =R ZC - A1 ∴ A2 = R Zc + A1

A2 = - R ZC + A1

A2 = - R ZC +A2 = + = A2 = A2 = Ecuación (II.2.22)

V(x) = A1 YX + A2 YX [volts]

ddx

ddx

YA1 YX - YA2 -YX

ZY(A1 YX - A2 -YX)

Z

Y(A1 YX - A2 -YX)Z

Y[A1 YX - A2 -YX] * [1/Y]Z*[1/Y]

A1 YX - A2 -YX

Z/Y

A1 YX - A2 -YX

Zc

ZY

A1 YX - A2 -YX

Zc

A1 Y(0X - A2 -Y(0)

Zc

A1 - A2 Zc

VR + R ZC 2

A1 - A2 Zc

VR + R ZC 2R ZC

1VR + R ZC 2

2(R ZC )+VR + R ZC

22R ZC +VR + R ZC

2VR - R ZC 2

Tecsup Virtu@l


- 71 -

La ecuación (II.2.11) se integran las ecuaciones (II.2.21) y la ecuación (II.2.22) cual queda de la siguiente forma:

V(x) = [ + ]YX Ecuación (II2.23)

V(x) = + sacamos el común denominador el 2

V(x) =

V(x) =

V(x) = + factorizamos



Pero A1 = ; A2 = Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación (II.2.15) queda de la siguiente forma:

(x) = Ecuación (II2.24)

(x) =

(x) =

(x) =

(x) = -

(x) =

(x) =

(x) = +

(x) = VR + +

(x) = + +

(x) = + +

(x) = +


Ahora concluimos que las ecuaciones, ecuación (II.2.25) y ecuación (II2.26) se transforman en las siguientes ecuaciones:

VR + R ZC

2VR - R ZC

2

[VR + R ZC ] YX

2[VR - R ZC ]-YX

2

YX VR + R ZC YX +[VR-YX - R ZC -YX]2

VR YX + R ZC YX +VR-YX - R ZC -YX

2

VR +VR-YX 2

R ZC YX - R ZC -YX

2

+VR-YX VR 2

YX - -YX R ZC

2

A1 YX - A2 -YX

Zc

VR -YX - R ZC -YX

2VR YX + R ZC YX

2-

ZC

[VR - R ZC ] -

YX 2[VR + R ZC YX]

2-

ZC

YX - -YX

ZC

VR + R ZC

2VR - R ZC

2

VR -YX - R ZC -YX

2VR YX + R ZC YX

2-

ZC 1

ZC 1

[VR YX + R ZC YX]2ZC

[VR -YX - R ZC -YX] 2ZC

VR YX + R ZC YX - [VR -YX - R ZC -YX]2ZC

VR YX + R ZC YX - VR -YX + R ZC -YX

2ZC

VR YX - VR -YX 2ZC

R ZC YX + R ZC -

YX

1ZC

YX - VR -YX 2

R ZC YX 2ZC

R ZC -YX

2ZC

1ZC

R ZC YX 2

1ZC

R ZC -YX

2

R YX 2

R -YX

2

R YX + R -YX

2 1ZC

YX - VR -YX 2 YX + R -YX

2

Tecsup Virtu@l


- 72 -



Ahora reconocerlas ecuaciones (II2.25) y (II.2.26) nos dice que son funciones hiperbólicas de Cos h y Sen h, es decir; V(x) = Cos h (YX)VR + ZC (YX)R Ecuación (II.2.27)

(x) = Sen h (YX)VR + Cos h (YX)R Ecuación (II.2.28)

Las ecuaciones (II.2.27) y (II.2.28) dan los parámetros ABCD de la línea distribuida. En forma matricial nos queda

V(x) VR

Ecuación (II.2.29)(x) R

Donde:

A(x) = D(x) = Cos h(YX) [por unidad] Ecuación (II.2.30) B(x) = ZC Sen h (YX) [Ω] Ecuación (II.2.31) C(x) = Sen h (YX) [S] Ecuación (II.2.32)S = siemens

La ecuación (II.2.29) de la corriente y la tensión en cualquier punto x a lo largo de la línea, en términos de la tensión y la corriente en el extremo receptor.

Para el extremo emisor en donde x = l , V (l) = Vs, (l) = s.Es decir ;

Vs VR

Ecuación (II.2.33)s R

Donde :


+VR-YX VR 2

YX - -YX R ZC

2

YX + R -YX

2 1ZC

YX - VR -YX 2

C(x)

A(x)

B(x)

D(x)

C

A B

D

1ZC

Tecsup Virtu@l


- 73 -

Las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.35) dan los parámetros ABCD de la línea distribuidas. En estas ecuaciones, la constante de propagación, y, es una cantidad compleja con partes reales e imaginaria denotadas por α y β. Es decir,

γ = α + jβ m-1 Ecuación (II.2.37)

La cantidad γl no tiene dimensiones. Del mismo modo,γl = (αl=jβl) = αljβl = αl / β l Ecuación (II.2.38)

Usando la ecuación (II.2.38), la funciones hiperbólicas cosh y senh se pueden evaluar como sigue:

Cosh(γl) = = (αl / β l + -αl / - β l ) Ecuación (II.2.39)

Y

Senh(γl) = = (αl / β l - -αl / - β l ) Ecuación (II.2.40)

En forma alterna, se pueden usar las identidades siguientes:

Cosh(αl + jβl) = cosh (αl) cos(βl) + j senh(αl) sen (βl) Ecuación (II.2.41)Senh(αl + jβl) = senh (αl) cos(βl) + j cosh(αl) sen (βl) Ecuación (II.2.42)

Observe que las ecuaciones (II.2.39) a (II.2.42), la cantidad a dimensional βl se expresa en radiantes, no grados.Los parámetros ABCD dados por las ecuaciones (II.2.34) a (II.2.36) son exactos y validos para cualquier longitud de línea, para cálculos precisos, se deben utilizar estas ecuaciones para líneas aéreas de 60 Hz con una longitud mayor que 250 km. Los parámetros ABCD deducidos en la sección 5.1 son aproximados que se usan mejor para cálculos manuales que comprenden líneas cortas o de longitud media. En la tabla 5.1 se resumen los parámetros ABCD para líneas cortas, medias, larga y sin perdidas.

EJEMPLO DE APLICACIÓNPARÁMETROS ABCD EXACTOS: LINEA LARGA

Una línea larga trifásica de 765 kv, 60 Hz y 300 km de longitud completamente transpuesta, tiene la impedancia y admitancia, en sec (+) y tiene los siguientes valores:

Z = 0.0165 + j0.03306 = 0.3310 /87.114° [Ω/ Km]Y = 0 + j4.674 X -6 [ s/ km] = 4.674 /90 X 10 -6

Suponiendo la operación en secuencia positiva, cálculos los parámetros ABCD exactos de la línea. Comprar el parámetros exactos B en el circuito π nominal ( ver tabla 5.1 pág. 220)

SOLUCION

Zc = = Ecuación (II.2.16)

yl + -yl

2 12

yl - -yl

2 12

ZY

0.3310 |87.14 ° 4.674 X 10-6 |90

Tecsup Virtu@l


- 74 -

Y = Zy [m-1] Ecuación (II.2.12)Zc = [Ω] Ecuación (II.2.16)

ZC = 0.70817 X 10 +6 |-2.86° = 7.08 X 104 |2.86°

ZC = 266.12 |- 1.43° ΩY = Z y = 0.3310 |87.14° [4.674 X 10-6|90°] = 1.547094 X 10-6|177.14°Y = 12.438 X 10-4 |88.57°Yl = 12.438 X 10-4|88.57° X 300 kmYl = 0.37314|88.57° = 0.00931 + j0.3730 [en por unidad]

γl = (αl=jβl) = αljβl = αl / β l Ecuación (II.2.38)

yl = 0.00931 + j0.3730 = 0.00931 |0.3730°yl = 0.00931 |0.3730° [rad]yl = 1.00935 |0.3730° [rad]

Yl = 0.00931 + j0.3730 [P.v.]yl = 0.00931 + j0.3730

αljβl = αl /βlαljβl = 0.00931 |0.3730° [Rad]αljβl = 0.00931 |0.3730°

Ahora se convierte en forma cartesiana.yl = 0.9400 + j0.3678Ahora para encontrar -yl -yl = -0.00931 - j0.3730 = -0.00931 |-0.3730° radianes.-yl = -0.00931 - j0.3730 = 0.99073 |-0.3730° = 0.9226 – j0.3610

Ahora sustituyendo en la ecuación (II.2.39) Y (II.2.40) tenemos

Cosh(γl) = = = = = 0.91313 |0.20917 = + j0.0034

Senh(γl) = = = = = 0.36455 |88.63°

= 0.0087 + j0.3644

Por último las ecuaciones (II.2.34), (II.2.35) y (II.2.36) se sustituyen los valores calculados.


A = D = 0.93.139 |0.20917°[por unidad]B = [266.12 |1.43°] [0.36455 |88.63° ] = 97.014 |87.2 [Ω]C = [0.36455|88.63° ] = [3.757 X 10-3 |1.43° ] [ 0.36455|88.63°] = 1.37 X 10-3 |90.06° [siemens]

ZY

yl - -yl

2

yl + -yl

2 [0.9400 + j0.3678] + [0.9226 – j0.3610]

21.8626 + j6.8 X10-3

21.8626 |0.209173

2 |0 °

[0.9400 + j0.3678] - [0.9226 – j0.3610] 2

0.0174 + j0.7289 2

0.7291 + |88.63 ° 2

1ZC

1266.12 |-1.43°

Tecsup Virtu@l


- 75 -

Usando la ecuación (II.16) B= Z[Ω], tenemos B π nominal = Zl B π nominal = 0.3310|87.14°(300km)B π nominal = 99.3 |87.14° (Ω) ∴ el cual es el 2% mayor que el exacto.

LINEAS DE LONGITUD MEDIA pagina 8 ( repaso del ejemplo anterior de la línea media )

APLICAMOS LA LKV

VS = s Z + R Z + VR

= ; = ; = VY

Y = admitancia [Siemens]

VS = Z + R Z + VR

VS = (VR ) Z + R Z + VR

Factorizar Z; tenemos:

VS = ( VR + R )Z + VR

REORDENAMOS

VS = VR + Z (R + ) ecuación 1

Aplicamos ahora para las corrientes LKC

s = VS + VR + R ecuación 2

Corriente corriente corrienteEn el circuito en el circuito de general externo receptor rama

sustituyendo en ecuación 1 en ecuación 2,tenemos:

s = [VR + Z (R + )] + VR + R

s Z = zl R

+ +VS VR

- -

De la ecuación 1 tenemos otra forma VS = VR +Z (R + )

VS = VR + Z R +

VZ

V1/ Y

Y2

Y2

VR Y2

Y2

Y2

VR Y2

Y2

Y2

Y = Yl2 2

Y2

VR Y2ZVR Y2

ZVR Y2

Tecsup Virtu@l


- 76 -

VS = VR + + ZR

VS = (1 + )VR + ZR ecuación 1

s = [ VR + Z (R + ) + VR + R

s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )( )+ VR ( ) + R

s = VR ( ) + ZR ( )+ Z VR( )+ VR ( ) + R

s = 2VR ( ) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( )

s = VR(Y) + (Z ( )+ 1) R + Z VR ( )

s = VR (Y) + Z ( ) + 1)R +

R = VRY [ 1 + ] + (Z ( )+ 1) R

Resumiendo en forma general tenemos:

VS = VR ( (Z) + 1 ) +R Z

A BVS = A VR + B R

s = VR Y [ + 1] + ( + 1) R

C D

A = Z( ) + 1 B = ZC = Y [ + 1]D = Z( ) + 1

VS VR

s s

Vs VR

=

VR R

Condición AD-BC = 1∆T = ( 1 + )( 1 + ) – Z [ Y (1 + )]

∆T = ( )( ) – Z [ Y + )]

∆T = ( ) – [Z Y + ]

∆T = ( + + ) – ( ZY + )

∆T = (1 + YZ + ) – ZY-

∆T = 1 + YZ + – ZY-

ZY2

VR Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

Y2

YY4

Y2

Y2

Y2

YY4

Y2

YY4

Y2

Z VR YY4

ZY4

Y2

Y2

ZY2

ZY4

Y2

ZY4

Y2

C

YZ2

1 + Z

Y 1 + YZ4

1 + YZ2

A B

D

YZ2

YZ2

YZ4

2 + YZ2

YYZ4

2 + YZ2

YYZZ4

4 + 4YZ + YYZZ4

4 44 4

4YZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

YYZZ 4

Tecsup Virtu@l


- 77 -

∆T = 1 por lo tanto AD - BC = 1 DEMOSTRADOPARAMETROS ABCD

DATOS DATOSLínea = 3 Ф V = 345 Kvf = 60 ciclos l = 200Km

Completamente transpuesta

2 conductores ACSR 26/2 de 795000 cmil por haz, secuencia positiva.

Z = 0.032 + j0.35 [ Ω/Km]Y = 0 + j4.2 X 10-6 [S/Km]

A plena carga de la línea en el extremo receptor = 700 MW, con un factor de potencia de 0.99 adelantado y a 95% de la tensión nominal. Suponiendo una línea de longitud media determine lo siguiente:

a) Los parámetros ABCD del circuito π nominal.b) La tensión VS, la corriente s y la potencial real Ps en el extremo emisor.c) La regulación de la tensión en porcentaje. d) La eficiencia de la línea a plena carga.

SOLUCION

a) Los valores de la impedancia SERIE y la admitancia en DERIVACION totales son:Z = Zl = (0.032 +j0.35)(200) = 6.4 + j70 = 70.29|84.78° [Ω]Y = Yl = (0+ j4.2 X 10-6)( 200) =0 + j840 X 10-6 = 0 + j8.40 X 10-4 = 8.4 X 10-4 |90° |S

Con base a las ecuaciones : A = D = 1 + [P. U.]B = Z [ Ω ]C = Y [1 + ] [ siemens]

A = D = 1 + = 1 + A = D = 1 + = 1 + 0.02952|174.78°A = D = 1 +(-0.02939 + j2.685 X 10-3)A = D = 1 – 0.02939 + j 2.685 X 10-3 = 0.97061 + 2.685 X 10-3

A = D = 0.970613 |0.15849°[Por unidades (P.U.)]B = Z =70.29 |84.78° [ Ω ]C = Y [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + ]C = 8.4 X 10-4 |90° [1 + 0.01476 |174.78 ] ]C = 8.4 X 10-4

|90° +1.23984 X 10-5 |264.78°C = 0+ j8.4 X 10-4 + (-1.128 X 10-6 – j1.2346 X 10-5)C = 1.128 X 10-6 + j8.276 X 10-4 = 8.276 X 10-4 |90.08° [siemens] – 89.92 + 180 = 90.08°C= 8.276 X 10-4 |90.08° [S]

b) Las cantidades de tensión y corriente en el extremo receptor es:

YZ2

YZ4

YZ2 8.4 X 10-4 |90° * 70.29 |84.78°

20.05904 |174.78

2

YZ4

8.4 X 10-4 |90° * 70.29 |84.78° 4

0.05904 |174.78° 4

Tecsup Virtu@l


- 78 -

VR = 0.95 (345 Kv) = 327.8 KvLL

VR = |0° = 189.2|0° KvLN

R =

R = = =

R = 1.245 |8.11° [KA]

Las cantidades de tensión y corriente en el extremo EMISOR son:VS = (1 + ) VR + Z R

Pero A = D= [ 1 + ] por lo tantoVS = A VR + Z R VS = 0.970613 |0.15849° * 189.2 |0° + 70.29|84.78° * [1.245 |8.11°]VS = 183.64 |0.15844 + 87.511 |92.89°VS = 183.64 + j0.5679 + [-4.412 + j 87.4]VS = 183.64 + j0.5079 – 4.412 + j87.4 = 179.228 j87.90VS = 199.622 |26.125° [ volts][KVLN] voltaje de línea a neutroVS = 199.622 |26.125° [KVLN] línea a neutroVS = 3 * 199.622 |26.125° = 345.755 KVLN ≈ 1.00 P.U.

[NOTA: VER DATOS DEL PROBLEMA (INICIO) = 345 KV]

UNA FORMA

s = R + + s = 1.245|8.11 + + s = 1.245 |8.11 + +s = 1.245 |8.11 + 0.079464 |90 + 0.08384 |116.125°s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 + [-0.0369 +j0.07527]s = 1.232 + j0.1756 + j0.079464 – 0.0369 + j0.07527s = 1.1951 + j0.330 = 1.239 |15.43° [KA]

OTRA FORMA

s = Y ( 1 + ) VR + (1 + ) R C A = D

s = C VR + A R s = [8.276 X 10-4 |90.08° ][189.2 |0° ] + 0.970613 |0.15849° [1.245|8.11°]s = 0.15358 |90.08° + 1.208 |8.26°s = -2.186 X 10-4 + j0.15658 + 1.195 + j0.1735 =1.194 +j0.330s = 1.238 |15.44° [KA]

Y LA OTRA POTENCIA REAL ENTREGADA AL EXTREMO EMISOR ES:

PS = 3 VS s cos

327.8 Kv3

700 Kw |8.11°3 (327.8) + P

P3 KLL Cos Y

700 |8.11°3 (327.8)(0.99)

700 |8.11°562.088

YZ2

YZ2

VR Y2

VS Y2

189.2 |0° 8.4 X 10-4 |90°2

199.622 |26.1252

0.158928|90°2

0.167.68|116.125°2

YZ4

YZ2

VS

s VS

s

Tecsup Virtu@l


- 79 -

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 3 [345.755][1.239] cos

Ps = 741.99 cos 26.125° – 15.93°

Ps = 741.99 cos 10.71°

Ps = 729.068 Mw

Ahora para calcular la tensión en vacio en el extremo receptor tenemos:A partir de la Ecuación (II.5), VS = VR + Z R : donde :

VR = VREV

VS = Voltaje EmisorVREV = Voltaje Receptor en Vacio

NOTA: COMO LA TENSION ES EN VACIO R = 0, POR LO TANTO

VS = VREV ; pero VS = A VR + B R [volts] para R = 0 Ecuación (II.1)VS = A VR VR = VR = VREV

VREV = = = = 356.223 KVLL

VREV = Voltaje en el extremo Receptor en Vacio es: 356.223 KVLL

Ahora para calcular la regulación de transformación a partir de la ecuación (II.118)

%RT = X 100

%RT = X 100 =

FORMULA

VS A

26.125°

15.43°

VS A

345.7550.970613

|356.233| - |327.8||327.8|

|VRECEPTOR EN VACIO| - |VRECEPTOR A PLENA CARGA|| VRECEPTOR A PLENA CARGA |

|VREV| - |VRPC||VRPC|

Tecsup Virtu@l


- 80 -

Cálculo mecánico de conductores para líneas aéreas e hilos de guardia.

1. Generalidades. A continuación se calculan los esfuerzos a que se encuentra sometido un conductor metálico flexible de longitud L, suspendido de sus extremos y soportando la acción conjunta de sobrecargas y variaciones de temperatura. Dichos cálculos se realizan a los efectos de:

a) Asegurar que para las condiciones más desfavorables, el esfuerzo de tracción se mantenga por debajo de un valor especificado que depende del material y del coeficiente de seguridad adoptado.

b) Determinar la altura de los soportes tal que se mantengan las mínimas distancias especificadas en norma.

c) Determinar el esfuerzo ejercido por los conductores sobre sus soportes.

En la primera etapa del estudio, se considera la temperatura constante.

2. Cálculo exacto para un vano con soportes nivelados. Un conductor flexible suspendido de sus extremos y que no resiste momentos flectores, dibuja una curva que se denomina “catenaria”. La misma es utilizada para determinar las expresiones del cálculo exacto.

Se suponen conductor suspendido de dos soportes de igual altura (Figura 1). Del conductor en

estudio se corta un tramo OP

que se designa 1 (m), representándose dicho tramo en un sistema de coordenadas de acuerdo a lo indicado en Figura 2.

Se denomina flecha a la distancia vertical entre la recta que une ambos soportes sontén del cable y el punto más próximo al terreno.

Vértice es el punto más bajo del cable tendido o sea, aquel que se encuentra más próximo al terreno.

El sistema de fuerzas a que se encuentra sometido el conductor están en un plano y en ese plano se ubica la resultante W (kg1/m) de las distintas fuerzas que se consideran, como ser:

Peso propio del conductor P (kg/m)

Acción del viento Pv (kg/m)

Manguito de hielo Ph (kg/m)

Las fuerzas H (Kg) y T (Kg) son las acciones de las partes de conductor suprimido y equilibran la acción exterior W1 (kg). Por considerar que el conductor no resiste momentos flectores, las fuerzas H, T y W1 son concurrentes, estando dada la condición de equilibrio para las igualdades siguientes:

Tecsup Virtu@l


- 81 -

∑ F x=0¿ ¿¿¿

tg α= senαcosα

=

wlT

HT

=wlH

tgα=dydx

=wlH

(1 )¿ ¿¿¿

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

y=f ( x ) l=f ( x )

De (1):

dx= Hwl

dy

Reemplazando en (2):

dl=√ H2

(wl )2dy2+dy 2=

dyl √ H2

w2 +l2

dy= l dl

√ H2

w2 + l2

→ y=√(Hw )

2+l2+C (3 )

Se plantean condiciones de borde: x=0 → l=0

y (x=0 )=HW

+C

Si en la Figura 2 el eje x pasa a la distancia H/W del punto 0, resulta:

HW

= HW

+C → C=0

Tecsup Virtu@l


- 82 -

De (1):

dy=wlH

dx

Reemplazando en (2):

dl=√dx2+(WH )

2l2dx 2=√( H

W )2+l2

HW

dx

dx= HW

dl

√( HW )

2+l2

→ x= HW

ln [ l+√(H W )2

+ l2]+C

Como la curva es simétrica respecto del eje y:

±x= HW

ln [±l+√( HW )

2+l2 ]+C (4 )

Se plantean condiciones de borde: x=0 → l=0

0= HW

ln HW

+C → C=− HW

ln HW

±x=HW

ln [±l+√(HW )2+l2 ]−H

Wln H

W

±x=HW

ln [±l+√(H W )2

+l2

HW

]±x W

H = ln [±l+√(H W )2

+l2

HW

]HW

eWH

x=l+√(H W )

2

+l2 (5 ) HW

e−W

Hx=−l+√(H

W )2

+l2 (6 )

Sumando miembro a miembro (5) + (6):

Tecsup Virtu@l


- 83 -

HW [ e

WH

x+e

−WH

x

2 ]⏟ch wx

H

=√( HW )

2+l2

y= HW

ch wxH

(7) →

Ecuación de la catenaria

Restando miembro a miembro (5) – (6):

HW [ e W

Hx−e

−WH

x

2 ]⏟sh W

Hx

=l

l= HW

sh WH

x (8) →

Longitud del tramo de conductor considerado

T cos α−H=0 ¿ ¿¿¿

Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro:

T 2=H 2+W 2 l2=[W √( HW )

2+l2]

2

=( wy )2

T=wy=H ch WH

x (9 ) →

Esfuerzo sobre el conductor

Cálculo de la flecha de acuerdo a lo indicado en la Figura 3.a y b.

f= y(a 2)

−HW

f=HW

ch WH

a2−H

W

f=HW (chwa

2 H −1) (10)

Tecsup Virtu@l


- 84 -

La longitud total del conductor:

L=2 la2

=2 HW

shWH

a2

L=2 HW shwa

2 H (11 )

La tensión en el soporte:

T S=T(a

2)→ T S=H ch wa

2 H(12 )

ch wa2 H

=WH

f +1=wf +HH

T S=wf+H (13 )

3. Cálculo aproximado con soportes nivelados. Desarrollando las funciones hiperbólicas en series infinitas se tiene:

ch β=1+β2

2 !+ β4

4 !+−−−−−−−−

sh β=β+ β3

3!+β5

5 !+−−−−−−−−

Para los valores que se presentan en la práctica estas series son muy convergentes por lo que es suficientemente preciso para el cálculo, considerar los dos primeros términos de la serie, pudiéndose simplificar las funciones vistas anteriormente.

Mediante un ejemplo se determina el nivel de error que se comete al despreciar a partir del tercer término.

AlAc

150 /25 mm2

w=0 , 62 kg/m , a=300 m , H=1500 kgwa2 H

=0 , 62∗3002∗1500

=62 .10−3

(wa2 H )

4

4 !=6 .10−7

(wa2 H )

5

5 !=7,6 . 10−9

Resulta al considerar los 2 primeros términos:

Tecsup Virtu@l


- 85 -

y= HW [1+w2 x2

2 H2 ] (14 ) l= HW [WH x+w3 x3

6H 3 ]

l=x+w2 x2

2 H2 (15 )

T=H [1+w2 x2

2 H2 ] → T=H+w2 x2

2 H(16 )

Para

x=a2

:

T S=H+w2a2

8 H(17 ) T S=H+wf (19)

f=wa2

8 H(18)

L=a+83a

f 2 (20 )

Para los valores que se presentan en la práctica, resulta TS aproximadamente igual a H y la longitud del conductor muy próxima al vano. Por ello es aceptable para líneas cortas suponer:

T S=H y L=a

Ejemplo:

Se supone un conductor de Al/Ac 120/20, a = 240m, H = 1100kg y W = 0,51 kg/m. Calcular por el método exacto y aproximado la flecha y tensión en el soporte.

a) Método Exacto:

T S=H ch Wa2 H

=1101 ,7 kg

L=2 HW

sh Wa2H

=240 ,12 m

f=HW (ch Wa

2 H−1)=3 ,34 m

b) Método Aproximado:

Tecsup Virtu@l


- 86 -

T S=H+W 2 a2

SH=1101 , 7 kg

L=a+Sf 2

3a=240 , 12 m

f=Wa2

SH=3 , 34 m

L=240 , 12 mError=0 ,12 m (0 .05 % )

a=240 , 00 m

4. Cálculo aproximado con soportes desnivelados. Un conductor suspendido adopta siempre la forma de una catenaria (o más simplemente una parábola) que solo depende del esfuerzo H en el vértice y de la fuerza por unidad de longitud W (despreciando la acción del viento). El hecho de tener soportes desnivelados solo significa que el conductor se ubicará en una porción de la curva completa que corresponde a soportes nivelados (Figura 4 ).

Otro enfoque al esquema de la Figura 4 , es suponer el conductor tendido entro los puntos A-0-2 y luego sujetarlo desde el punto 1 cortando allí el conductor. Retirar el tramo A-1 y reemplazarlo por su correspondiente acción. El tramo que queda,1-0-2, se encuentra suspendido de igual forma que antes.

Para el caso de vanos desnivelados, se observa que los soportes no tendrán la misma tensión (T s 1≠T s 2

) por tener distinta abscisa.

El problema se reduce a resolver la ubicación de cada soporte respecto al vértice y luego tratar cada tramo desde el vértice hacia cada lado, con las ecuaciones del vano nivelado.

Pensando en dos vanos nivelados de longitud 2X1 y 2X2, las flechas y las tensiones para cada una de ellos resultan:

f 1=w (2 x1 )2

8 H=

wx12

2 H(21 )

f 2=w (2 x2)2

8 H=

wx22

2 H(22 )

T 1=H+Wf 1=H+W 2 x1

2

2H(23 )

T 2=H+Wf 2=H+W 2 x2

2

2 H(24 )

Conociendo X1 y X2 quedan determinadas las flechas y las tensiones. De la Figura 4 se observa:

Tecsup Virtu@l


- 87 -

d=f 2−f 1=wa2H (x2−x1) (desnivel )

a=x1+x2 ( vano real )

Sumando ambas ecuaciones:

x2=a2+ Hd

Wa(25)

Restando ambas ecuaciones:

x1=a2−Hd

Wa(26 )

Reemplazando en las ecuaciones de flecha, se tiene:

f 1=W2 H (a

2−Hd

Wa )2

f 2=W2 H (a

2+Hd

Wa )2

Sacando

(a2

4 ) factor común y operando resulta:

f 1=Wa2

8 H (1−2 HdWa2 )

2

f 2=Wa2

8 H (1+2 HdWa2 )

2

f 1=f (1− d4 f )

2

(27 ) f 2=f (1+ d4 f )

2

(28 )

f=Wa2

8 H es la flecha de un conductor con soportes nivelados tendido en un vano a, con la

sobrecarga w y tracción H.

Las ecuaciones que fijaban la posición del vértice o quedan en función de esta flecha.

Tecsup Virtu@l


- 88 -

T 1=H+Wf (1−d4 f )

2(29) T 2=H+fW (1+d

4 f )2(30)

x1=a2 (1−d

af ) (31) x2=a2 (1+d

4 f ) (32 )

En caso de vanos muy desnivelados, se debe considerar la posibilidad de que el conductor no sea una pequeña parte de un gran vano nivelado y con ello las ecuaciones de la parábola introduzcan un error inaceptable. Puede considerarse que hasta vanos nivelados de 500 m pueden usarse las ecuaciones de la parábola, dado que los errores de la flecha por ejemplo no superan el 0,6%. Si el vano desnivelado considerado, es parte de un vano nivelado de más de 500 m es necesario utilizar el método exacto.

Es importante acotar que hasta vanos de 350 m y desniveles inferiores a un 10 % del vano, puede despreciarse el desnivel y tratar el tramo como si se tratara de un vano con soportes nivelados.

Se puede determinar a que vano nivelado a’ corresponde un vano muy desnivelado a (Figura 5). A ese vano a’ le corresponde una flecha f’ = f2 resultando:

r2=Wa '2

8 H=Wa2

8 H (1+2 HaWa2 )

2

a '=2 x2

a '=a+2 HdWa

(33)

En casos extremos el conductor puede llegar a ubicarse totalmente a un lado del vértice del tendido equivalente de vano nivelado (Figura 6). En ese caso la ecuación de la flecha se utilizaría como guía para definir la situación.

f 1= f (1− d4 f )

2

Valores positivos del paréntesis, indican casos como el estudiado. Si esos valores resultan negativos, indican que cuando d es mayor que 4f se tiene un vano con vértice virtual.

En los casos en que el paréntesis resulte nulo, indicaría f1 = 0 y por lo tanto el vértice coincidiría con el soporte inferior.

5. Cálculo aproximado para un vano desnivelado con soportes de igual altura. El caso de vano desnivelado con soportes de igual altura representado en la Figura 7, se presenta para trazas en terrenos desnivelados. El punto de la línea más próximo al suelo Q se ubica en el punto de contacto de la línea y la recta tangente a la misma y paralela al terreno.

A continuación se determina la ubicación del punto Q y el valor de la flecha f0.

Tecsup Virtu@l


- 89 -

tg δ=da=dy

dx|x=q

del método aproximado:

y=HW (1+W 2 x2

2 H2 )dydx

=ddx [H

W (1+W 2 x2

2H2 )]=WH

x

tg δ=da =

dydx |x=q=

WH xq

xq=xQ=HdWa

(34 )

Del cálculo aproximado con soportes desnivelados:

x1=a2−Hd

Wa

x1+xQ=a2−Hd

Wa+Hd

Wa=a

2

x1+xQ=a2

(35)

Se observa que el punto Q se encuentra en la mitad del vano.

Cálculo de f0:

f 0=d2+[ y( x1 )− y (xQ) ]=

d2+H

W [1+W 2 x12

2 H2 −1−W 2 xQ

2

2 H 2 ]==d

2+W

2 H ( x12− xQ

2 )=d2+Wa

4 H (x1−xQ )=

=d2+Wa

4 H [(a2 −HdWa )−Hd

Wa ]=d2+Wa2

8 H−d

2

f 0=Wa2

8 H(36 )

Queda demostrado que la flecha en el punto Q es calculada mediante la misma expresión que para el caso de vanos con soportes nivelados.

Se observa que pequeños desniveles que no corresponden a vanos equivalentes a’ muy grandes, pueden ser omitidos como tal y ser considerados como vanos horizontales. En la práctica esta situación es común, dado que la mayoría de los terrenos son suavemente ondulados.

Tecsup Virtu@l


- 90 -

Ejemplo:

Se supone para un día sin viento, que las flechas de un vano desnivelado (sobre un terreno nivelado) de 300m son f1 = 1,40m y f2 = 11,40m. Determinar la posición del vértice de la línea respecto a las estructuras de apoyo y las tensiones que se transmiten a cada estructura. El esquema del ejemplo se indica en la Figura 8. El conductor utilizado es Al/Ac 240mm2 y de peso W= 0,98Kg/m.

f 1=f (1−daf )

2

f 2=f (1+d4 f )

2 →f 1

f 2=(1− d

4 f )2

(1+ d4 f )

2

f=

d (1+√ f 1

f 2)

4 (1−√ f 1

f 2)

d=f 2−f 1=10 m

f=10(1+√1,4

11 ,4)4(1−√1,4

11 ,4)=5 ,20 m

x1=a2 (1− d

4 f )=150(1−104 .5 ,20 )=77 .90 m

x2=a2 (1+ d

4 f )=150(1+104 .5 , 20 )=222,10 m

f=Wa2

8 H→ H=Wa2

8 f=

0 ,98 . (300 )2

8 .5 , 20=2120 kg

T 1=H+Wf 1=2120+0 ,98 .1 , 40=2121 kgT 2=H+Wf 2=2120+0 ,98.11 , 40=2131 kg

a '=a+2Hdwa

=300+2 .2120 .100 , 98 . 300

=444 , 30 m

6. Influencia de la temperatura. Durante el análisis considerado, se mantuvo la temperatura constante. Dado que este parámetro es importante para el cálculo mecánico de un conductor tendido, se estudia su influencia en el cálculo.

Tecsup Virtu@l


- 91 -

Los cambios de temperatura producen sobre un cuerpo variaciones de su longitud (alargamiento o acortamiento) que modifican el valor de la tensión H, única variable libre de modificar su valor en función de la longitud ante una variación de la temperatura. Además, la variación de H indica que el cuerpo sufre una deformación elástica que responde a la ley de Hook. La longitud del conductor para una determinada tracción H1 en el vértice resulta:

L1=2 H1

Wsh Wa

2 H1

Dicha longitud responde a una cierta temperatura θ1 (ºC) y a un estiramiento de carácter elástico determinado.

La ley de Hook aplicada a una pieza regular (un conductor) sometida a un esfuerzo constante resulta:

Δ1=T . 1S . E

(37 )

siendo Δ1 (m): deformación elástica

E (kg/mm2): módulo de elasticidad del cable

S (mm2): sección del cable

T=H ch WxH

Aplicando la ley de Hook a un elemento diferencial de longitud d1 de acuerdo a como se muestra en la Figura 9, y considerando para ese elemento las tensiones en sus extremos T y T+dt, resulta:

d ( Δ1 )=T .d 1S . E

, dado que se puede considerar T = cte. Porque su variación a lo largo del conductor de longitud d1 resulta despreciable.

Considerando las dos últimas expresiones resulta:

d ( Δ1 )= HS . E

ch W . xH

d 1 (38)

ecuación que representa la deformación sufrida por el tramo d1 por acción de la fuerza T.

L=HW

shW .xH

→ dl=chW . xH

dx

d ( Δl )=HS . E

chW . xH

chW . xH

dx=HS . E

ch2 W . xH

dx

Integrando entre el vértice y el soporte resulta:

Tecsup Virtu@l


- 92 -

Δl= HS . E∫0

xch2 Wx

Hdx= H

SE [ x2+ H

2Wsh 2Wx

H ]Desarrollando en serie la función sh hasta el término de 5º orden resulta:

Δl=HES x

2+H

4W [2WxH

+43 (Wx

H )3+4

15 (WxH )

5]Δl=Hx

ES [1+13

W 2 x2

H2 +115

W 4 x4

H4 ] (39)

La longitud del conductor a una temperatura θ1 y libre de tensiones (tendido en el suelo) resulta:

L '1=L1−2 . Δ11

Una vez determinada la longitud L’1, cualquier cambio de temperatura produce una variación de la misma mediante la expresión:

L '2=L' 1 [1+α (θ2−θ1) ] (40 )

siendo α (1/ºC) el coeficiente de dilatación lineal. L’2 resulta la nueva longitud natural del conductor a la temperatura θ2.

Si el conductor a esta temperatura se tiende entre sus soportes, se tracciona alargándose hasta la nueva longitud L2, la cual se calcula por el método de “tanteos sucesivos” el cual consiste en lo siguiente:

a) Se adopta un valor de H2.

b) Se calcula con dicho valos la longitud L2.

c) Se calcula el alargamiento elástico Δl2.

d) Se determina la longitud natural

L '2=L2−2Δl2

e) Se comparan los valores de L’2 calculados en el punto (d) y el obtenido mediante la expresión (40).

f) Si los valores comparados en el punto (e) resultan iguales , se adopta el valor de H2 como el correspondiente a la temperatura θ2 procediéndose luego a calcular los restantes parámetros (f, T, etc.) necesarios para determinar el comportamiento mecánico del conductor. Si los valores comparados no resultan iguales, se debe realizar nuevamente el cálculo partiendo del punto (a) con la elección de un nuevo valor de H2. Se debe proceder de igual forma hasta lograr la igualdad del punto (f).

La forma de resolver el problema supone conocer un estado de tensión dado y su correspondiente temperatura a fin de determinar el valor correspondiente a otro estado, lo cual ocurre en la práctica dado que para la condición de máxima tensión, que suele ocurrir a las temperaturas más bajas y/o sobrecarga de hielo y/o sobrecarga de viento, el conductor no debe sobrepasar la tensión admisible definida en función de la carga de rotura del conductor y del coeficiente de seguridad adoptado (de acuerdo a normas corresponde 3).

Tecsup Virtu@l


- 93 -

7. Ecuación de estado. En caso de resultar aceptables las simplificaciones que conducen a la ecuación de la parábola, el efecto que produce la variación de temperatura puede considerarse en una única ecuación denominada “Ecuación de Estado”. Para determinarla se suman las variaciones de longitud que experimenta el cable por las variaciones de la temperatura y las correspondientes deformaciones el´sticas por variación de la tensión.

Se supone que la tensión a la que se encuentra sometido el conductor es constante a lo largo de todo el vano e igual a H por lo que la deformación elástica se calcula aplicando directamente la ley de Hook. Las ecuaciones correspondientes resultan:

ΔLθ=Lα (θ2−θ1) ( 41) ¿¿¿¿¿

¿

Pero como la longitud del conductor viene determinada para cada estado por

L=a+W 2 a3

24 H22

, la variación resultante ΔLθ + ΔLT debe ser igual a la variación de longitud correspondiente a cada estado, o sea:

ΔL=(a+W 22a3

24 H22 )−(a+W 1

2a3

24 H12 ) (44 )

Igualando ambas ecuaciones resulta:

Lα (θ2−θ1)+LES (T2−T 1)=

a3

24 [(W 2

H2 )2

−(W 1

H1 )2 ] (45 )

Dado que L≃a y H≃T

, resulta reemplazando L por a y H por T:

α (θ2−θ1)+1

ES (T 2−T1 )= a2

24 [(W 2

T 2 )2

−(W 1

T 1 )2] (46 )

Esta ecuación resulta ser de 3º grado para T. Si en lugar de fuerzas se opera con tensión y carga específica resulta:

Tecsup Virtu@l


- 94 -

σ=TS (kg

mm2) (47 )

γ=WS (kg

m . mm2) (48 )

α (θ2−θ1)+σ2−σ1

E= a2

24 [( γ2

σ2 )2

−( γ1

σ2 )2]

Resolviendo para σ2 resulta:

Eα (θ2−θ1)+σ 2−σ1−a2 E24

γ 22

σ 22+

a2 E24

γ12

σ12 =0

σ 23+σ 2

2[Eα (θ2−θ1 )−σ1+a2 Eγ 1

2

24 σ12 ]=a2 Eγ 2

2

24( 49)

Agrupando resulta:

A=Eα (θ2−θ1 )−σ1+a2 Eγ1

2

24 σ12

B=a2 Eγ2

2

24

σ 22 (σ 2+A )=B (50)

Esta ecuación puede resolverse por tanteos sucesivos adoptando valores para σ2 y verificando si se satisface la igualdad.

Ejemplo:

Al/Ac = 300/50 mm2

E = 7700 kg/mm2

α = 18,9 . 10-6 1/ºC

W = 1,22 kg/m

a = 350 m

Tecsup Virtu@l


- 95 -

Estado 1 ¿ θ1=−5 ºC ¿ T 1=3100 kg ¿¿¿Calcular la flecha a la temperatura θ2 = 30ºC

f 1=Wa2

8H=1 , 22.3502

8 . 3100=6 ,03 m

σ 1=T 1

S=3100344 ,4

=9 kg/mm2

γ1=γ 2=WS

=1 ,22344 ,4

=3 , 54 .10−3 kg /m . mm2

A=Eα (θ2−θ1 )−σ1+a2 Eγ1

2

24 σ12=2 ,172

B=a2 Eγ2

2

24=492 , 45

σ 22 (σ 2+2 ,17 )=492 , 45

σ 2=7 → 449 σ2=7 , 25 → 495σ 2=7,5 → 543 σ2=7 , 24 → 493σ 2=7,2 → 485 σ 2=7 ,23 → 491σ 2=7 ,26 → 497

Se adopta

σ 2=7 ,23 → T 2=7 ,23 x 344 , 4=2490kg

f 2=1 , 22 x 3502

8 x 2490=7,5 m

8. Fenómenos naturales que inciden en el cálculo de líneas aéreas. El desarrollo de las técnicas de A.T. ha hecho posible la transmisión de energía eléctrica a larga distancia, para lo cual se ha debido investigar y resolver problemas eléctricos y mecánicos. Entre estos últimos, son de destacar por su importancia los correspondientes al establecimiento de las condiciones meteorológicas que fijan la hipótesis de cálculo de las líneas aéreas de transmisión.

Los diversos elementos de una línea deben ser calculados para poder resistir los esfuerzos mecánicos que le sean aplicados bajo influencias de agentes exteriores. Los fenómenos de carácter meteorológico que deben considerarse, son:

1) Presión del viento : ejerce su acción sobre los cables, cadenas de aisladores y estructuras.

Tecsup Virtu@l


- 96 -

2) Formación de manguito de hielo : el depósito de hielo o nieve sobre los conductores crea un aumento de tensión mecánica sobre los conductores. La descarga brusca de este manguito cuando comienza la fusión del hielo, provoca un movimiento vertical del conductor que puede hacer peligrar la continuidad del servicio.

El conocimiento correcto de las condiciones meteorológicas está íntimamente ligado al costo de la línea de transmisión y a la seguridad del servicio. La expansión del sistema eléctrico de la República Argentina y su desarrollo obliga a atravesar con líneas de A.T. y M.A.T. zonas muy adversas climáticamente. A partir de 1962, se fijaron cinco zonas climáticas que abarcan todo el territorio nacional, con excepción de las Islas Malvinas y la Antártica Argentina (Figura 10). Dichas condiciones fueron adoptadas en el país, con ligeras variantes en algunos casos, por todas las empresas dedicadas a proyectos y construcción de líneas de transmisión.

8.1. Carga del viento sobre los conductores.

La presión que ejerce el viento sobre una superficie interpuesta a su paso, es muy compleja determinar no obstante mediante estudios realizados, se han determinado coeficientes utilizados en la fórmula de aplicación. La acción del viento sobre los conductores se supone horizontal y perpendicular al conductor.

Las cargas sobre los conductores es función del vano y no de la velocidad del viento. Este criterio utilizado por VDE introduce el concepto de Factor de Vano que conduce a la reducción de la carga en vanos mayores de 200m. Se propone utilizar la siguiente expresión:

PV=α .k V 2

16.Q . sen β .(0,6+80

am ) (kgm)

Resultando:

α: coeficiente que considera la desigualdad de velocidad del viento, a lo largo del vano. Corresponde: α = 0,85 si V < 30 m/s (110 km/h)

α = 0,75 si V > 30 m/s (110 km/h)

k: coeficiente aerodinámico que depende de la forma de la superficie expuesta a la acción del viento. Vale: k = 1,1 para conductores cilíndricos

k = 0,7 para elementos cilíndricos de estructuras k = 1,4 para elementos planos de estructuras

V: velocidad del viento (m/s)

Q: proyección de la superficie expuesta al viento por metro de conductor, según plano perpendicular a su dirección y que para el caso de conductores cilíndricos es la superficie del plano diametral vertical (m2/m)

β: ángulo determinado por la dirección del viento y el eje del conductor

(0,6+80am )

: factor de vano (se toma igual a 1 para am < 200m)

am: vano medio en metros (vano de viento)

Para la determinación de la carga del viento sobre un conductor mediante la expresión consderada, se adopta la velocidad que corresponde a la altura de su punto de sujeción en la cadena de aisladores o en la estructura (caso de hilo de guardia). Si los conductores no se encuentran a un

Tecsup Virtu@l


- 97 -

mismo nivel, se adoptará la velocidad del viento que corresponde al nivel del centro de gravedad del conjunto.

La velocidad de viento adoptada para el cálculo, tiene validez hasta una altura de 20m. Alturas de 20 a 30m. se adoptarán valores incrementados en un 5%, mientras que para alturas superiores a 30m., se calcula la velocidad mediante la expresión:

V h=V √0,8+ h100

(m /s )

siendo:

V: velocidad de viento hasta la altura de 20m.

h: altura del punto considerado sobre el terreno (m)

En la Figura 11 se compara la variación de velocidad del viento con la altura adoptada en nuestro país, respecto a otras normas.

8.2. Formación del manguito de hielo.

En zonas con temperaturas inferiores a 0ºC suele depositarse sobre el conductor un manguito de hielo de espesor variable y prácticamente constante a lo largo del vano. La sobrecarga del hielo produce además un incremento en la superficie de incidencia del viento.

El peso de este manguito de hielo se puede determinar mediante la expresión:

Ph=0 , 18√d (kg/m)

siendo:

d: diámetro del conductor en mm.

9. Vano crítico. Un conductor tiene una solicitación mecánica mayor cuanto menor sea la temperatura y mayores sean las sobrecargas del viento y/o hielo, debiendo quedar tensionado en el soporte con una tensión inferior a la especificada como máxima admisible en las condiciones más desfavorables.

En algunos países las normas fijan las condiciones más desfavorables para cada zona geográfica, calculándose el tendido de forma que para ese estado la tensión del conductor no supere el máximo admisible. En nuestro país, las normas consideran dos estados por cada zona geográfica en los que puede darse la máxima solicitación mecánica del conductor y establecen que para la condición más desfavorable de los dos, el coeficiente de seguridad debe ser superior a un determinado valor. En este caso, al fijarse dos estados debe determinarse cual de ellos produce la máxima solicitación mecánica.

En la ecuación de estado puede observarse que fijado el tipo de conductor, la única variable es la longitud del vano dado que los otros parámetros están fijados por las normas o son características del conductor. Supongamos dos estados diferentes definidos por los subíndices 1 y 2 en los que se puede producir la máxima solicitación mecánica.

Tecsup Virtu@l


- 98 -

Estado 1 → θ1 , γ1Estado 2 → θ2 , γ2

Interesa determinar si existe una longitud de vano para la cual la tensión del conductor en los soportes resulta igual para ambos estados.

σ 23+σ 2

2[E . α . (θ2−θ1)−σ 1+a2 . E . γ1

2

24 .σ12 ]=a2 .E . γ 2

2

24

Dividiendo por

σ 22

resulta:

σ 2+E . α (θ2−θ1)−σ1+a2 . E . γ 1

2

24 . σ12 =

a2 . E . γ22

24 . σ22

Suponiendo existir un vano al que denominaremos vano crítico (ac), para el cual las tensiones de los dos estados son iguales al máximo admisible, se cumple que:

a=ac σ1=σ 2=σm

σ m+Eα (θ2−θ1)−σ m+ac

2 Eγ12

24 σm2=

ac2 Eγ2

2

24 σm2

α (θ2−θ1)=ac

2

24 σm2 (γ2

2−γ 12)

ac=σm√24 α (θ2−θ1 )γ2

2−γ 12 (51 )

Observando la ecuación, se deduce que la existencia del vano crítico está ligado a la existencia de un subradical positivo para lo cual un estado debe tener menor temperatura y el otro estado mayor

sobrecarga o viceversa. O sea que si θ1 < θ2 debe ser

γ1 < γ 2

.

El vano crítico permite determinar cual de los dos estados produce mayor solicitación mecánica al conductor, según sea el vano en estudio mayor o menor que el vano crítico.

σ 2+Eα (θ2−θ1 )−σ1+a2 Eγ1

2

24 σ12=

a2 Eγ22

24 σ22

σ 2−σ1=a2 E24 (γ 2

2

σ 22 −

γ12

σ12 )⏟

A

−Eα (θ2−θ1 )⏟B

σ 2−σ1=A−B

Tecsup Virtu@l


- 99 -

Suponiendo que el estado 1 es el de menor temperatura y menos sobrecarga, resulta (θ1<θ2 y γ 1<γ2 )

:

1) Si a = ac,

→ σ 1=σ2=σm → A−B=0 → A=B

2) Si a > ac, el término A aumenta mientras que B no varía

→σ2−σ 1>0→

σ 2>σ 1

o sea que el estado más desfavorable es el 2, el de mayor sobrecarga

3) Si a < ac, el término A disminuye mientras que B no varía

→σ2−σ 1<0→

σ 2<σ 1

o sea que el estado más desfavorable es el 1, el de menor temperatura.

Finalmente se concluye que si el vano en estudio tiene mayor longitud que el vano crítico, el estado más desfavorable es el de mayor sobrecarga; en cambio si el vano en estudio es menor, el estado más desfavorable es el de menor temperatura.

10. Verificación de alturas libres. A continuación se deduce la expresión que nos permite calcular la distancia entre un punto cualquiera de la línea y un obstáculo ubicado debajo de ella. Dicha situación es de uso frecuente dado que están normalizadas las distancias mínimas entre conductores de líneas eléctricas y distintos tipos de obstáculos.

Para la obtención de la expresión, se observa la Figura 12.

f 1= f m−Δf f m=γa2

8 σ

Para

a=2 x1 → Δf=γ (2 x1 )2

8 σ

f 1=γa2

8 σ−

4 γx12

8 σ= γa2

8σ (1−4 x12

a2 )= γa2

8 σ [1−4 ( x1

a )2]

f 1=f m[1−4( x1

a )2]

Tecsup Virtu@l


- 100 -

e=hs−h0− f 1 → e=hs−h0−f m [4( x1

a )2

−1]x1: distancia del obstáculo al vértice.

Ejemplo:

Determinar la altura de los soportes hs para que la distancia de la línea al obstáculo no sea inferior a 3m. (Figura 12).

a = 280m., ACSR 240mm2, σ45ºC = 6,30 kg/mm2

x1 = 60m., h0 = 3,20m.

f m=γa2

8σ

γ=WS

=980 ,5 .10−3 kg /m276 , 1 mm2 =3 , 55 .10−3 kg /m . mm2

f m=3 , 55. 10−3 . (280 )2

8 . 6 , 30 =5 , 22 m

f 1= f m[1−4( x1

a )2]=5 ,22[1−4(60

280 )2]=4 ,26 m

hs=h0+e+ f 1=3 ,20+3+4 ,26=10 , 46 mDis tan cia mínima al suelo=10 , 46−5 , 52=4 , 94 m

11. Vano ideal de regulación. La separación real entre estructuras se determina en base a las características del terreno, previa determinación del vano económico. Por ello entre dos estructuras de retención, los vanos tienen longitudes desiguales y por lo tanto las variaciones de temperatura y demás condiciones meteorológicas, producen tensiones distintas en cada una de las estructuras dada la diferencia de longitudes de vanos. Dichas diferencias deben ser absorbidas por las respectivas suspensiones, de allí la pérdida de verticalidad de las mismas. Para que esto no ocurra, se realiza el cálculo de tensiones para un vano denominado “vano ideal de regulación”.

Se admite que la tensión en todos los vanos varía con la temperatura de igual forma que lo haría el vano ideal de regulación, no obstante las pequeñas diferencias se compensan mediante suaves desviaciones de las cadenas de aisladores o bien mediante la flexión de los soportes. Estos efectos modifican la longitud del conductor. De esta forma la tensión del conductor es la misma en todo el tramo comprendido entre dos retenciones.

A continuación se determina que longitud debe tener el vano ideal de regulación a fin de que sean mínimas las diferencias de tensión a compensar entre cada vano. De la ecuación de estado se tiene:

Tecsup Virtu@l


- 101 -

L2−L1=aα (θ2−θ1 )+ aE (σ2−σ1 )= a3

24 [( γ22

σ22−

γ 12

σ12 )]

O sea que la variación de longitud que experimenta el cable por variación de temperatura y por deformación elástica es igual a la variación de longitudes dada por la ecuación de la parábola.

α (θ2−θ1)+1E (σ 2−σ1)=

a2

24 [( γ 22

σ 22−

γ12

σ12 )] (52)

Si se considera el tramo de n vanos (Figura 13), y considerando un vano genérico ai la variación de longitud por variación de la temperatura estará dada por:

Li2−Li1=ai α (θ2−θ1 )+ai

E (σ2−σ1)=ai

3

24 [( γ22

σ22−

γ 12

σ 12 )]

La variación total de la longitud del tramo resulta igual a la suma de la variación de longitud de cada vano:

∑ ( Li2−Li1)=∑ a i[α (θ2−θ1)+1E (σ2−σ 1)]=∑ a i

3[ 124 ( γ2

2

σ22−

γ 12

σ 12 )]

Considerando las dos últimas igualdades que vinculan la variación por temperatura y la deformación elástica con la ecuación de la parábola, resulta:

α (θ2−θ1)+1E (σ 2−σ1)=

∑ ai3

∑ ai [ 124 ( γ 2

2

σ22 −

γ12

σ12 )]

Comparando esta ecuación con la número 52, se observa que para un vano ar dado por:

ar=√∑1n

ai3

∑1

n

ai

la variación de longitud que experimenta ese vano ar al cual denominamos “vano ideal de regulación” es igual a la variación total de longitud del conductor entre retenciones. O sea que la variación de tensión en cada uno de los vanos que conforman el tramo, al variar al temperatura, será igual a la variación de tensión que se produce en el vano ideal de regulación ar, resultando:

Tecsup Virtu@l


- 102 -

ar=√∑1n

ai3

∑1

n

ai

En forma aproximada, se admite que: ar = vano medio + 2/3 (vano máximo – vano medio)

siendo el vano medio: la media aritmética de los vanos componentes del tramo

vano máximo: el vano de mayor longitud del tramo

12. Vano económico. La elección de la sección de aluminio necesaria para una línea aérea se determina por el estudio económico del transporte de energía. La sección de los cables (en relación con la tensión del servicio), es el único dato de partida de que se dispone para el diseño de la línea, además de las condiciones del terreno y de las condiciones climáticas.

La tensión mecánica de los cables se determina considerando la seguridad del servicio y la rentabilidad de la línea (para evaluar la rentabilidad de las construcciones se necesita una escala de costos o cantidades referidas a una potencia). La elección del alma de acero dispuesto y la distancia de los soportes, dependen de la forma constructiva de la línea aérea y de las consideraciones relativas a los costos. Las magnitudes relacionadas (tensión mecánica, sección de acero, distancia entre soportes) influyen sobre la carga de los soportes, flecha de los cables, distancia entre conductores y altura de los soportes. Para cada uno de los valores relacionados existe un valor con el que los costos son mínimos.

Al aumentar la tensión mecánica de los cables, se reduce la flecha de los mismos y consecuentemente la altura necesaria del soporte. Si se aumenta el vano, se encarecen los soportes, pero por otra parte se reduce el número de los mismos con el consiguiente disminución de los costos.

En la Figura 14 se representa la curva que muestra la variación de costos de estructuras en función del vano, observándose que los costos mínimos son los que resultan para vanos entre 350m y 400m (línea doble 220 kv); incrementándose el costo del conductor con el vano. La tensión de servicio tiene en este caso una importancia secundaria.

Los costos de los aisladores, puestas a tierra, terreno, daños en el campo y costo de montaje, dependen del número de soportes, disminuyendo el mismo a medida que aumenta el vano.

Las ventajas de los elevados esfuerzos mecánicos en los conductores (a mayor vano corresponden costos menores) disminuyen por aumentar la proporción de soportes de ángulos y de retención. Esto debe considerarse según las condiciones propias del lugar.

En algunas ocasiones se emplean tensiones elevadas en los cables que permiten conseguir una pequeña reducción de los costos, pero en lo que a seguridad de servicio se refiere han de considerarse con cierta prevención.

Los trabajos de proyección comprenden la determinación de la forma del soporte, es decir la ubicación de los conductores en uno, dos p tres planos. La disposición en un plano presenta el menor momento normal y el mayor momento de torsión.

Representando en una gráfica pesos vs. longitud de vano, se obtienen curvas que responden a

Tecsup Virtu@l


- 103 -

cada uno de los componentes de utilización para un tendido de línea. Superponiendo cada una de las curvas se obtiene una resultante cuyo valor mínimo representa el costo mínimo de la línea y consecuentemente se obtiene el vano que le corresponde. Lo dicho se representa en la Figura 14.

13. Método gráfico para cálculo mecánico. Otro de los métodos utilizados para el cálculo mecánico es el método gráfico con la utilización de los ábacos de Blondel. Mediante los mismos se resuelve gráficamente la ecuación de estado.

A continuación se analiza dicho método, demostrando la validez de los ábacos confeccionados a partir de la ecuación de cambio de estado número 49.

σ 23+σ 2

2[Eα (θ2−θ1 )−σ1+a2 Eγ 1

2

24 σ12 ]= a2 Eγ 2

2

24

Dividiendo por

σ 22

resulta:

σ 2+Eα (θ2−θ1 )−σ1+a2 Eγ 1

2

24 σ12 =

a2 Eγ22

24 σ22

Multiplicando ambos miembros por

1Eα

y agrupando, resulta:

1Eα

σ 2+θ2−a2

24 α ( γ 2

σ 2)2

=σ1

Eα+θ1−

a2 γ12

24 σ12 α

=A

Esta última expresión establece que el pasaje de un estado 1 (σ1 , θ1 , γ1)

a otro estado 2 (σ2 , θ2 , γ2 )

, se realiza de tal modo que la función representada por uno de los dos términos de esta relación permanece constante, siendo la que corresponde a los datos dados. Tomando en cuenta esa expresión, se puede escribir:

θ2−A−a2

24 α (γ2

σ2 )2

+σ2

Eα=0

θ2−A=a2

24 α (γ2

σ2 )2

−σ2

Eα(53 )

Además se sabe que:

Tecsup Virtu@l


- 104 -

f= γa2

8 σ→ σ= γa2

8 f

Reemplazando en (53), resulta:

θ2−A=a2 γ2

2 64 f 22

24 αγ 22 a4

−γ2 a2

Eα 8 f 2

θ2−A=8 f 2

2

3 αa2 −γ 2 a2

Eα 8 f 2(54 )

Las expresiones (53) y (54) pueden escribirse en forma general:

θ−A=a2

24 α (γσ )2−σ

Eα ¿¿¿¿

Observando el sistema de ecuaciones indicado, puede establecerse que:

a) Con la primera puede variarse a y θ – A dejando la tensión σ = cte.

b) Con la segunda ecuación, puede variarse a y θ – A dejando la flecha f constante.

El ábaco de Blondel se construye para una determinada carga γ

. No obstante ell, pueden

presentarse diferentes valores de γ

, por lo que Blondel en sus ábacos introduce el Coeficiente de sobrecarga “m”, el que está dado por:

m= γγ 0

→ γ=mγ0

γ0: peso propio del conductor

γ: peso total del conductor

Introduciendo el concepto de coeficiente de sobrecarga, resulta:

Tecsup Virtu@l


- 105 -

θ−A=a2m2γ 2

24 ασ 2 −σEα ¿ ¿¿ (55 )¿

En la Figura 15 se representa en un sistema de ejes coordenados el sistema de ecuaciones (55), conformando el ábaco de Blondel.

Sobre el eje de las abscisas se toma la longitud del vano, mientras que sobre el eje ordenado se toma θ – A. Luego se determinan las familias de curvas de σ y f constantes, siendo las mismas

distintas según la naturaleza del conductor pues en el cálculo se adopta un α, un γ

y un E determinados, pero para un tipo de conductor dado las fórmulas de Blondel son generales.

En la utilización del ábaco de Blondel, se considera diferencia de temperatura y no valores absolutos para pasar de un estado a otro. Vale decir que el eje de ordenadas sirve de referencia para estudiar los efectos de las variaciones de temperatura.

Los gráficos 16.a y 16.b, son los utilizados en la práctica para cables de cobre y aluminio respectivamente.

13.1. Aplicación de los gráficos.

1) Caso en que el conductor está sometido solo a la acción de su propio peso

a. Si se da como dato la σi, entrando con ai que es dato, se llega a la curva de valor conocido σi

y se halla la flecha fi (se indica en la Figura 15).

Inversamente, si se conoce fi entrando con a puede hallarse σi.

b. Considerando una dada tensión σi, puede encontrarse las flechas f correspondiente a distintos vanos (se indica en Figura 15).

c. Lo mismo puede efectuarse para una dada flecha fn ya que puede determinarse para distintos vanos las tensiones respectivas (se indica en la Figura 15).

2) Caso en que el conductor está sometido a su propio peso y se pasa de una temperatura a otra

Basta en este caso desplazarse sobre la vertical a una altura igual a la diferencia de las dos temperaturas, hacia arriba si la misma es positiva, o hacia abajo si por el contrario es negativa. Se encuentra procediendo de ese modo un nuevo punto al que le corresponde una determinada tensión y flecha.

3) Caso en que el conductor está sometido a la acción de una sobrecarga

El efecto de la sobrecarga se tiene en cuenta mediante el coeficiente de sobrecarga m, el cual es representativo del aumento de peso del conductor.

m= γγ 0

De las expresiones (55), puede suponerse que se trata de un aumento del vano que pasa de a a ser

Tecsup Virtu@l


- 106 -

a.m, vale decir que al trabajar con el ábaco de Blondel y considerarse un estado 1 sin sobrecarga, esta última expresión será válida haciendo m = 1, quedando:

θ−A=a2 γ0

2

24 ασ 12 −

σ1

Eα→ σ1

siendo la flecha:

f=a2 γ0

8σ1

Con sobrecarga, sería para el estado 1:

θ−A=a2 m1

2 γ 02

24 ασ 12−

σ 1

Eα

f 1=a2 m1 γ 0

8 σ1(56 )

El valor m1.a se denomina “vano ficticio”

El valor f1 se denomina “flecha ficticia”

De acuerdo a lo expuesto, en el ábaco de Blondel bastaría desplazarse horizontalmente hasta el valor m1.a y determinar los valores σ1 y f’1 (Figura 17).

El valor encontrado para σ1 es el correcto, mientras que el de la flecha cuyo valor real está dado por a expresión (56), resulta obtenido a través de un vano que es m veces superior a su valor real por una expresión que resulta:

f '1=a2 m1

2 γ 0

8 σ1→ f 1=

f '1m1

4) Si se considera simultáneamente el efecto de temperatura y sobrecarga, bastará realizar sucesivamente las dos operaciones señaladas anteriormente.

13.2. Ejemplo.

Dada las condiciones de un tendido de un conductor de M.T., determinar las condiciones de trabajo en las 3 hipótesis que se establecen a continuación empleando el ábaco de Blondel respectivo.

Material utilizado: Cu

S = 25 mm2 σr = 45 kg/mm2

D = 6,3 mm α = 16.10-6 1/ºC

a = 50 m E = 10000 kg/mm2

Tecsup Virtu@l


- 107 -

Estado de partida:

σ 0=6 kg /mm2 γ 0=0 , 0089 kg /mm2 .mθ0=15 ºC V v=0

Hipótesis:

1) θ1 = 15ºC; Pv1 = 50 kg/m2

2) θ2 = -25ºC; Pv2 = 18 kg/m2

3) θ3 = 45ºC; Pv3 = 0

Determinar:

1) f0; 2) σ1, f1; 3) σ2, f2; 4) σ3, f3

Cálculos:

1) Con el vano a = 50m y σ0 = 6 kg/mm 2 , se entra en el ábaco obteniendo en el punto de intersección A el valor de f0 = 0,47m (Figura 18).

2)

γ1=√γ v1

2 +γ 02

γv 1=50 . 0 ,0063

25=0 ,0126 kg/m .mm2

γ1=√ (0 , 0126 )2+(0 , 0089 )2=0 , 0154 kg/m . mm2

m1=γ 1

γ 0=0 , 0154

0 , 0089=1 ,73

a ' 1=a. m=50 . 1, 73=86 , 5 m

Desde el punto A nos desplazamos horizontalmente hasta el nuevo valor a’, encontrando el punto B (Figura 19). Para dicho punto corresponde σ1 = 8 kg/mm2, f’1 = 1,07 m.

f 1=f '1

m1=1, 07

1 ,73=0 , 618 m

3)

γv 2=18 . 0 ,0063

25=0 ,00453 kg /m . mm2

Tecsup Virtu@l


- 108 -

γ2=√ (0 , 00453 )2+(0 , 0089 )2=0 , 01 kg /m . mm2

m2=0 , 010 , 0089

=1 ,123

a '2=50 . 1 ,123=56 ,15

Desde el punto B nos desplazamos horizontalmente hasta la vertical correspondiente al vano ficticio encontrado, una vez allí y teniendo en cuenta que en este estado existe una temperatura de -25ºC, la diferencia respecto al estado anterior es de 40ºC que se toman hacia abajo y encontramos el punto C (Figura 20).

σ 2=11 ,8 kg/mm2

f ' 2=0 ,30 → f 2=0 , 30

1 , 123=0 ,267 m

4) Volvemos al punto A dado que no existe sobrecarga, pero se debe tener en cuenta que la temperatura se ha incrementado a 45ºC, por lo que la diferencia es de 30ºC que se tiene que tomar hacia arriba obteniendo el punto D, para el cual:

σ 3=3,9 kg/mm2

f 3=0 ,72 m

El procedimiento del punto (4) se muestra en la Figura 20.

14. Bibliografías: 1) Viqueira Landa

2) Luis M. Checa – “íneas de transporte de energía”

3) A. Mauduit – “Installations Eléctriques” tomos I – II – III

4) Especificaciones Técnicas – Normas IRAM – VDE

5) Revistas electrotecnia

Tecsup Virtu@l


- 109 -

Tecsup Virtu@l


- 110 -

Tecsup Virtu@l


- 111 -

Tecsup Virtu@l


- 112 -

Tecsup Virtu@l


- 113 -

Tecsup Virtu@l


- 114 -

Figura 16.a

Tecsup Virtu@l


- 115 -

Tecsup Virtu@l


- 116 -

Tecsup Virtu@l


- 117 -

Tecsup Virtu@l


- 118 -

lineas l,m,c,,

Documents