lineal-1 (1)

1

AO DE LA INVERSIN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD

ALIMENTARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

Ecuaciones Lineales y Resolucin de Sistemas de ecuaciones Lineales

Integrantes:

Jamanca Durand Diego Andrs..20130192A

Justiniano Morn lvaro...20130077H

Lau Shigyo Luis..20132154J

Medrano Chipana Andr...20121390I

Matos de la Pea Jess....20132076I

Huerta Mamani Joel Samir...20130378H

Huayta Rivera Oki Antonio........20122619J

Curso: lgebra Lineal

Encargado del Curso: Ing. JEXY ARTURO Reyna Medina

CICLO 2013-II

2

ndice

Resumen.. 3

Ecuaciones lineales y resolucin de ecuaciones lineales. 5

Resolucion de Problemas....7

Sistema de Ecuaciones Lineales e interpretacin Geomtrica.10

Resolucin de Problemas....11

Reconocimiento de formas y tipos de solucin

de un sistema de dos ecuaciones lineales....15

Resolucin de Problemas...16

Interpretacin geomtrica de un plano en el espacio..20


Sistema de tres ecuaciones

lineales e interpretacin Geomtrica28

Resolucin de Problemas..29

Ecuaciones Lineales, mtodo de eliminacin de Gauss.37


Determinantes..44

Resolucin de

Problemas...46

Discusin. 54

CONCLUSIONES 56

3

Resumen

El presente trabajo est basado en el libro lgebra Lineal del autor

Fernando Hitt, principalmente se ha tratado de realizar un resumen

conciso del trabajo desarrollado en el libro mencionado.

Los autores del presente trabajo realizamos comentarios que

creemos ayudarn a entender los tpicos tratados, asimismo

desarrollamos problemas propuestos en el libro en cuestin, los cuales

han sido elegidos a criterio, tambin, de los autores para el mismo fin.

Esperando que los resmenes, comentarios y resoluciones de

problemas sean de ayuda para el lector pasamos a desarrollar los temas

del segundo captulo del libro lgebra Lineal Fernando Hitt, Ecuaciones

lineales y resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.

Los Autores.

Abstract

This work is based on the author's book Linear Algebra Fernando

Hitt, mainly has tried to make a concise summary of the work done in the

book mentioned.

The authors of this paper we comment that we believe will help to

understand the topics covered also develop problems proposed in the

book in question, which have been chosen to test also the authors for the

same purpose.

Hoping summaries, reviews and problem solving are helpful to the

reader the issues we need to discuss the second chapter Fernando Hitt

Linear Algebra, Linear equations and solving systems of linear equations.

The Authors.

4

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo a nuestro profesor

Jexy Arturo Reyna Medina por su gran

apoyo y motivacin para la realizacin de

nuestras investigaciones, por habernos

transmitido sus conocimientos y por

habernos guiado, paso a paso, en el

aprendizaje del curso; adems dedicamos el

presente, tambin, a nuestra querida

Universidad Nacional de Ingeniera, que nos

brinda lo necesario para continuar con fuerza

el camino del ingeniero.

5

Ecuaciones lineales

Reconocimiento de una ecuacin

lineal (Vase ejemplo 1.1)

Posee variables y constantes

Las variables tienen cada

una, grado uno (lineal)

Los coeficientes de las variables

son reales

Las variables estn libres de operaciones

como logaritmos

Forma

De dos variables

+ =

De tres variables

+ + =

Solucin de una ecuacin lineal

Pareja o tercia de nmeros1, 2 , 3

Satisface la sustituir en la

ecuacin

Es llamado conjunto solucin

Aplicaciones

Obtencin de incgnitas en

las reas

Fsica

Economa

Ecuaciones lineales y resolucin de ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales

Qu es una ecuacin?

Es una igualdad de dos miembros en la que se relacionan variables

desconocidas y datos conocidos mediante operaciones matemticas, que

tiene como objetivo hallar estas variables.

Qu se desarrollar en ste tema?

Se vern las ecuaciones lineales de dos y tres variables y sus respectivos

mtodos para resolverlos.

6

Ejemplos

1.1. Reconozca si las siguientes igualdades son ecuaciones lineales:

a. 3 + 5 = 2

b. 3 + 2 + 5 = 0

c. + 23 = 1

d.sin() + 5 1 = 0

e. + = 0

Solucin:

a. Es una ecuacin lineal. Tiene dos variables, ambas lineales y sus

coeficientes reales (enteros).

b. Es una ecuacin lineal. Tiene tres variables, todas lineales y sus

coeficientes reales (racionales).

c. No es una ecuacin lineal. Tiene dos variables, pero una de ellas (y) es

de tercer grado, no es lineal.

d. No es una ecuacin lineal. Tiene dos variables, pero una de ellas (x)

est dentro de una expresin trigonomtrica. Tampoco cumple si la

variable est dentro de un logaritmo o cumple la labor de exponente.

e. No es una ecuacin lineal. Para que sea lineal, los polinomios deben

ser lineales tambin y la expresin xy es de grado dos.

Luis Lau

7

Resolucin de Problemas

2.8. Ejercicio 3 (pg. 65)

4 3 6 = 0

2 + 5 3 = 0

3 + 2 + 4 = 0

Solucin:

Introducimos una nueva definicin:

- Sistema de ecuaciones lineales homogneo: Cuando en el primer

miembro de la igualdad se encuentran las variables y sus respectivos

coeficientes y el segundo miembro solo est la constante que para este

caso es cero.

Aplicamos un primer mtodo de resolucin. Dado que son ecuaciones de

tres variables, estas representarn un plano grficamente. Este mtodo se

ver con ms profundidad en los siguientes subcaptulos.

La interseccin de tres planos en el espacio da como resultado un punto,

siendo esta la nica solucin del sistema de ecuaciones.

8

Este punto al ser reemplazado en las tres ecuaciones, tiene que satisfacer

con xito cada una de estas.

Este punto geomtricamente es: (0,0,0)

Esto adems se debe a que un sistema de ecuaciones lineales

homogneo tiene como caracterstica la solucin trivial. Significa que

todas las variables pueden ser iguales a cero y cumplira con las tres

ecuaciones satisfactoriamente.

Luis Lau

2.8. Ejercicio 4 (pg. 56)

+ = 3

2 + = 4

+ 2 = 5

Solucin:

En este ejercicio se comprobar si existe solucin nica, ya que es un sistema

de tres ecuaciones y dos variables y lo que se quiere evitar es la

incompatibilidad del sistema.

Graficamos de dos en dos las ecuaciones:

+ = 3

2 + = 4

Punto solucin: (1,2)

9

+ = 3

+ 2 = 5


2 + = 4

+ 2 = 5


Llegamos a la conclusin que todas las rectas coinciden en el punto (1,2),

satisfaciendo las tres ecuaciones.

Grficamente las tres ecuaciones:

Conjunto solucin:

= ; =

Luis Lau

10

Sistema de Ecuaciones Lineales e interpretacin Geomtrica

11

SOLUCIN DE PROBLEMAS

Problema 10

Para qu valor de K el sistema de ecuaciones no tiene solucin?

(1+2k)x+5y=7

(2+k)x+4y=7

Solucin

Sabemos para que un sistema de dos ecuaciones lineales no tenga soluciones

debemos garantizar que las rectas resultantes sean paralelas.

Entonces:

+

=

+

+ = +

=

=

Diego Jamanca

Problema 11

Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones, tiene solucin nica?

3x+ky=5+k

2x+5y=8

12

Solucin

Sabemos que para que un sistema de dos ecuaciones lineales tenga solucin

nica, las rectas resultantes deben cortarse.

Entonces:

a) = + ( + )

=

+

+

(1)

b) = +

=

+

(2)

Observamos:

i)

{

}

Diego Jamanca

Problema 12

Para qu valores del parmetro K, el sistema tiene infinitas soluciones?

(2k-1)x+ky=6

7.5x+4y=3

Solucin

Para que nuestro sistema tenga infinitas soluciones, garantizamos que las rectas resultantes

tengan la misma pendiente y punto de paso. As:

13

i) = 21

+

6

ii) = 7.5

4 +

3

4

Entonces, podemos afirmar: 21

=

7.5

4

8 4 = 7.5

0.5 = 4

= 8

Diego Jamanca

Problema 13:

Determine para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales si son consistentes o inconsistentes. En el caso de ser

consistentes diga si su solucin es nica o tiene infinidad de soluciones e

interprete geomtricamente el resultado.

( + )

+ =

( )

=

Solucin:

i) Simplificando tenemos:

a) + 3 = 5 + 6

3y = 4x

=

= +

=

=

14

Notamos que las pendientes de las rectas generadas son diferentes, por lo

cual, analizando geomtricamente el problema, afirmamos que tiene solucin

nica. Es compatible determinado.

Diego Jamanca

14) 3x+y=6

6x+2y=20

Solucin

Damos formas a las ecuaciones:

a) Y=-3x+6

b) Y=-3X+10

Realizamos el anlisis geomtrico, y notamos que las pendientes son iguales;

pero no los puntos de paso, por lo que afirmamos que este sistema no posee

solucin. Es incompatible.

Diego Jamanca

15) 4x-2y=10

-6x+3y=15

Solucin

Dando forma a las ecuaciones:

a) Y=2x-5

b) Y=2x+5

Tambin en este caso observamos que las pendientes de las recatas

generadas son iguales; mas sus puntos de paso son diferentes, representando

a lneas paralelas. Sistema incompatible.

Diego Jamanca

15

NO HAY SOLUCIN

Misma pendiente

Son paralelas

UNA SOLUCIN

Rectas que se cruzan en un punto

INFINIDAD DE

SOLUCIONES

Rectas coincidentes

Existen tres

casos

generales

Reconocimiento de formas y tipos de solucin de un sistema de dos

ecuaciones lineales

Reconocimiento de formas y tipos de

solucin de un sistema de dos

ecuaciones lineales

Saber interpretar las grficas llevara a

una solucin inmediata del problema.

16

SOLUCIN DE PROBLEMAS

PROBLEMA 1. Resolver

3 + = 6 (1)

6 + 2 = 20 (2)

Solucin:

Hallando pendientes

1 = 3

1= 3 , Cuando x = 0 = 6 (verde)

2 = 6

2= 3 , de forma anloga al anterior

Las grficas de las ecuaciones son paralelas, entonces no tiene solucin.

Alvaro Justiniano

Notamos que la forma ms fcil de

resolver un sistema de dos ecuaciones

lineales es ayudndonos de sus graficas

correspondientes.

17

PROBLEMA 2. Para qu valor del parmetro k el siguiente sistema de

ecuaciones no tiene solucin?

(1 + 2) + 5 = 7 (1)

(2 + ) + 4 = 7 (2)

Solucin:

Para que no tenga solucin las pendientes de las ecuaciones deben ser la

misma:

1 = (1 + 2)

5

2 =(2 + )

4

1 = 2 = 2

Alvaro Justiniano

PROBLEMA 3. Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones

lineales tiene solucin nica?

3 + = 5 + (1)

2 + 5 = 8 (2)

Solucin:

Para que tenga solucin nica las pendientes de las ecuaciones deben ser

diferentes:

1 = 3

2 =2

5

18

1 2 7.5 {7.5}

Alvaro Justiniano

Problema 4. Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones lineales

tiene infinitas soluciones?

(2 1) + = 6 (1)

7.5 + 4 = 3 (2)

Solucin:

Para que tenga infinitas soluciones debe cumplir lo siguiente:

(2 1)

7.5=

4=

6

3

= 8

Alvaro Justiniano

PROBLEMA 5. Resolver

4 2 = 10 (1)

6 + 3 = 15 (2)

Solucin:

Hallando pendientes

1 = 4

2= 2 , Cuando x = 0 = 5 (verde)

2 = 6

3= 2 , de forma anloga al anterior

Las grficas de las ecuaciones son paralelas, entonces no tiene solucin.

19

Alvaro Justiniano

20

INTERPRETACIN GEMTRICA DE UN PLANO EN EL ESPACIO

En un espacio euclidiano tridimensional R3, podemos hallar los siguientes

hechos, (los cuales no son necesariamente vlidos para dimensiones

mayores).

Dos planos o son paralelos o se intersecan en una lnea.

Una lnea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es

contenida por el plano mismo.

Dos lneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente

paralelas entre s.

Dos planos perpendiculares a una misma lnea son necesariamente

paralelos entre s.

Entre un plano cualquiera y una lnea no perpendicular al mismo existe

solo un plano tal que contiene a la lnea y es perpendicular al plano .

21

Entre un plano cualquiera y una lnea perpendicular al mismo existe un

nmero infinito de planos tal que contienen a la lnea y son

perpendiculares al plano .

Sea P0 un punto de R3 y sea un vector de R3 . Un Plano se define como el

conjunto de puntos P de R3 tales que es perpendicular al vector que se

define entre P0 y P.

Es decir:

= {(, , )/ . = 0 = . 0 3}

Sean:

= (, , ) 0 = (0, 0, 0, )

22

Entonces:

. = 0

(, , ). ( 0, 0, 0) = 0

( 0) + (0) + ( 0) = 0 (1)

+ + 0 0 0 = 0

Sea: K = 0 + 0 + 0

Por lo tanto la Ecuacin General del plano es + + =

Un plano queda definido por los siguientes elementos geomtricos: un punto y

dos vectores

1 = (, 0,0), 1 = (, 0, ) y 2 = (, , 0)

= 1 2 = + +

23

*Si tomamos 0(0, 0, 0) = 1(, 0,0)

*Reemplazando en la ecuacin (1)

( ) + ( 0) + ( 0) = 0

+ + =

+

+

=

Por lo tanto se demuestra de

+

+

= que intercepta en los

puntos A, B y C.


Ejemplo 1

V 1 =(2 1,1 2,0 3) = (1,3,3) V 2 =(11,0 2,1 3) = ( 2,2,2)

n = V 1xV 2

n = 8j 8k

24

P0 = (x0, y0, z0) = P1(1,2,3)

Remplazando en la ecuacin

a(x x0) + b(yy0) + c(z z0) = 0

0(x 1) + 8(y 2) 8(z 3) = 0

y z + 1 = 0 Ecuacin del plano

Oki Huayta

EJEMPLO 2

Sea P1 un plano de ecuacin: 2x + 3y + 5z + 1 = 0

Sea P2 un plano de ecuacin: 3x + 2y + 4z + 5 = 0

Determine la ecuacin del plano que contiene el punto (1, 2, 1) y es

perpendicular a los planos P1 y P2.

SOLUCION

Llmese N el plano, cuya ecuacin se busca y sea ax + by + cz + d = 0 la

ecuacin cartesiana de N. Como N es perpendicular a P1 y P2, entonces se

tiene que (a, b, c) es perpendicular tanto a (2, -3, 5) -vector normal de P1-,

como a (3, 2, 4) -vector normal de P2-, por lo que se puede tomar (a, b, c) como

el producto vectorial de (2, -3, 5) y (3, 2, 4).

= (,, ). (, , ) = + +

Donde -22x + 7y + 13z + d = 0. Sustituyendo el punto dado (1, 2, 1) en esta

ecuacin, se tiene

que: -22(1) + 7(2) + 13(1) + d =0 d = -5

Por lo que la ecuacin buscada es: -22x + 7y + 13z -5 = 0

25

Oki Huayta

EJEMPLO 3

Encuentre la ecuacin del plano que contienen al punto (-5,7,-2) y que es

paralelo al plano

"xz"

SOLUCION

Como es paralelo al plano xz tomamos los vectores = (, , ) = (, , )

= (, , )(, , )=

(, , ) = (, , )

Reemplazando en :

( ) + () + ( ) =

( + ) + ( ) + ( ) =

= Ecuacin del plano

Oki Huayta

EJEMPLO 4

Encuentre la ecuacin del plano que contienen al punto (-5,7,-2) y que es

paralelo al plano

3x 4y + z = 7

SOLUCION

Del plano 3x 4y + z = 7 sus puntos de intercepcin son

(7

3, 0,0) (0,

7

4, 0) (0,0,7)

26

Entonces los vectores V 1 = (7

3,

7

4, 0) V 2 = (

7

3, 0,7).

V 1xV 2 = (7

3,

7

4, 0) (

7

3, 0,7) =

49

4i +

49

3j

49

12k

P0(x0, y0, z0) = P(5,7,2)

Reemplazando en:

a(x x0) + b(yy0) + c(z z0) = 0

49

4(x + 5) +

49

3(y 7)

49

12(z + 2) = 0

3x 4y + z = 45 Ecuacin del plano

Oki Huayta

Ejemplo 5

Sean los puntos A(2, 3, 0) y B(2, 1, 4).

Determina la Ecuacin del plano mediatriz del segmento AB.

Solucin:

a) El plano pedido pasa por el punto medio de A y B y tiene como vector normal

el vector

AB.

Punto medio: M =(22

2,3+1

2,0+4

2)= (0, 2, 2).

Vector AB: AB = (2, 1, 4) (2, 3, 0) = (4, 2, 4).

Reemplazando en:

a(x x0) + b(yy0) + c(z z0) = 0

4(x 0) 2(y 2) + 4(z 2) = 0

2x + y 2z = 2 Ecuacin del plano

27

Oki Huayta

Ejemplo 6

Sea un plano que pasa por (1,2,1) y corta a los semiejes positivos coordenados

en los puntos A,B y C . Sabiendo que el ABC es equiltero. Hallar la ecuacin

de plano.

Solucin:

A(a,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c)

x

a+

y

b+

z

c= 1 se sabe que a=b=c

*Para el punto (1,2,1)

1+2+1=a

Entonces: x

a+

y

a+

z

a= 1

x + y + z = 4 Ecuacin del Plano

Oki Huayta.

28

SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES E

INTERPRETACIN GEOMTRICA

Toda ecuacin de la forma ax+by+cz = k en un plano 3D,

posee como grfico, un plano.

Siempre y cuando

Los coeficientes a, b y c sean

diferentes de cero.

As al tener los planos P1, P2 y P3

Sucede uno de los siguientes casos

Inconsistencia

No hay solucin

del sistema

debido a que no

existe punto que

satisfaga el

sistema.

Consistencia

Solucin nica Ms de una solucin

Existe un punto

que satisface el

sistema y es la

interseccin de

los tres planos.

Hay ms de una

solucin (infinitas), se

debe a la interseccin

de los tres planos lo

cual dara lugar a una

recta o a un plano.

29

Resolucin de Problemas.

1) Resolver el sistema

2x y + 3z = 2 (a)

x + 2y + z = 1 (b)

3x 4y + 5z = 3 (c)

Y dar una interpretacin geomtrica del resultado

De (a) y (b)

-5y + z = 0

De (b) y (c)

-5y + z = 0

Llego a la conclusin: (b) + (c) = 2(a). El sistema tiene infinitas soluciones.

Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).

30

Joel Huerta


2x y + 2z = 6 (a)

3x +2y z = 4 (b)

4x + 3y -3z = 1 (c)

Y dar una interpretacin geomtrica del resultado

De (a) y (c)

5y 7z = -11

De (b) y (a)

-7y + 8z = 10

Llego a la conclusin: y = 2, z = 3, x = 1 (Solucin nica).


Los coeficientes a, b y c sean diferentes de cero.

31

Joel Huerta


6x + 4y - 2z = 2

5x + 3y + 4z =2

3x + 3y 3z = 3

Simplificamos

3x +2y + z = 1 (a)

5x + 3y +4z = 2 (b)

x + y z = 1 (c)

As al tener los planos P1, P2 y P3

32

De (a) y (c)

-y + 4z = -2

De (b) y (c)

9z 2y = -3

Llego a la conclusin: z = 1, y = 6, x = -4 (Solucin nica).


33

Joel Huerta

4) x + 2y + 3z = 9 (a)

4x + 5y + 6z = 24 (b)

2x + 4y + 6z = 4 (c)

De (a) y (c)

9 = 2 (incompatible)

Llego a la conclusin: el sistema no tiene solucin.


Sucede uno de los siguientes casos

34

Joel Huerta

5) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de S/.156 por 24 l de

leche, 6 kg de jamn serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio

de cada artculo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de

leche y que 1 kg de jamn cuesta igual que 4 l de aceite ms 4 l de

leche.

Solucin

Leche = x

Jamn = y

Aceite = z

24x + 6y + 12z = 156 (a)

z = 3x (b)

y = 4z + 4x (c)

De (a) y (c)

4x + 3z = 13 y evaluando con (b)

Llego a la conclusin: x = 1, z = 3, y = 16 (solucin nica).


Inconsistencia

35

Joel Huerta

6) Un videoclub est especializado en pelculas de tres tipos: infantiles,

oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las pelculas infantiles

ms el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las

pelculas. El 20% de las infantiles ms el 60% de las del oeste ms del

60% de las de terror al representan la mitad del total de las pelculas.

Hay 100 pelculas ms del oeste que de infantiles.

Halla el nmero de pelculas de cada tipo.

Solucin

60x/100 + 50y/100 = 30(x + y + z)/100

20x/100 + 60y/100 + 60y/100

y = x + 10

3x + 2y 3z = 0 (a)

-3x + y + z = 0 (b)

Ms de una solucin

36

y = x + 100 (c)

Despejando (a) y (b) en funcin de z, obtenemos 3y = 2z y

reemplazando en (c)

2z/3 = x + 100

De (a) y (c)

5y 3z = 300

De (b) y (c)

4y + z = 300

Llego a la conclusin: x = 500, y = 600 , z = 900


37

Joel Huerta

.

38

Resolucin de un Sistema de Ecuaciones

Lineales, mtodo de eliminacin de

Gauss.

Que consiste en

Segn los criterios de equivalencia de sistemas de

Ecuaciones, tenemos

Transformar un sistema de ecuaciones en

otro equivalente de forma que ste sea

escalonado.

Si a ambos miembros de una

ecuacin de un s is tema se les

suma o se les resta una

misma expresin , e l sistema

resul tante es equivalente .

Si multiplicamos o dividimos

ambos miembros de las

ecuaciones de un sistema

por un nmero distinto de

cero, el sistema resultante

es equivalente.

,

resul ta otro s istema

equivalente al pr imero.

39

El mtodo de Gauss consiste en ut i l izar e l mtodo de

reduccin de manera que en cada ecuacin tengamos una

incgnita menos que en la ecuacin precedente .

1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el

cmo coeficiente de x: 1 -1 , en caso de que no fuera

posib le lo haremos con y o z, cambiando el orden de las

incgnitas.

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin , para

eliminar e l trmino en x de la 2 ecuacin . Despus

ponemos como segunda ecuacin el resul tado de la

operacin:

E'2 = E2 3E1

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin ,

para eliminar e l trmino en x .

40

E'3 = E3 5E1

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3 , t rasformadas, para

hacer reduccin y eliminar e l trmino en y.

E''3 = E'3 2E'2

5 Obtenemos el s istema equivalente escalonado .

6 Encontrar las soluciones.

z = 1

y + 4 1 = 2 y = 6

x + 6 1 = 1 x = 4


41

Ejercicio N 1:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el mtodo de Gauss.

{3 + 2 + = 10 + 2 + 3 = 14

+ = 4

1

E'2 = E1 E2

{3 + 2 + = 10

2 3 = 14

= 2

2

E'3 = E'2 E3

{ = 2 + = 4

= 3

3 Obtenemos el siguiente sistema equivalente escalonado y encontramos las

soluciones.

{3 + 2 + = 10

= 2 = 3

= 3, = 5, = 6

Jess Matos

Ejercicio N 2:


{4 3 6 = 03 + 2 + 4 = 02 + 5 3 = 0

42

1

E'3 = E1 2E2

{4 3 6 = 0

2 5 + 3 = 0

= 0

2

E'2 = E2 2E'3

{3 + 2 + 4 = 0

= 0

3 + 4 = 0


soluciones.

{4 3 6 = 0 3 + 4 = 0 = 0

= 0, = 0, = 0

Jess Matos

Ejercicio N 3:


{2 + 2 = 63 + 2 = 44 + 3 3 = 1

+ 3 + 2 = 42 + 2 = 6

3 + 4 + 3 = 1

1

E'2 = E2+2E1

{2 + 2 = 6

2 + 6 + 4 = 8

8 + 3 = 14

43

2

E'3 = E3 3E1

{3 + 4 + 3 = 1 3 9 6 = 12

5 3 = 11

3

E''3 = E'3 + E'2

{5 3 = 11

8 + 3 = 14

3 = 3 , = 1


soluciones.

{ + 3 + 2 = 4

8 + 3 = 14 = 1

= 1, = 2, = 3

Jess Matos

Ejercicio N 4:


{5 3 = 1

+ 4 6 = 12 + 3 + 4 = 9

+ 4 6 = 15 3 = 12 + 3 + 4 = 9

1

E'2 = E2 5E1

{5 3 = 1

5 20 + 30 = 5

23 + 29 = 6

44

2

E'3 = E3 2E1

{2 + 3 + 4 = 9

2 8 + 12 = 2

5 + 16 = 11

3

E''3 =23 E'3 5E'2

{115 + 368 = 253115 145 = 30

223 = 223 , = 1


soluciones.

{ + 4 6 = 1

23 + 29 = 6 = 1

= 1, = 1, = 1

Jess Matos

45

Definicin

Denotacin

Determinacin

Aplicacin

Definicin

n

Mtodo de Cramer

DETERMINANTES

Es una funcin que asigna a una matriz

cuadrada un nico nmero real.

Sea A una matriz de orden n su

determinante ser

det(A) o |A|

Para matriz de orden 2

a b = ad - cb

c d

Para matriz de orden 3 Buscar la mayor cantidad de ceros en una fila o columna

A la resolucin de sistemas de

ecuaciones lineales.

Sistema de ecuaciones

lineales de 3x3

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

S = a1 b1 Y= a1 c1

a2 b2 a2 c2

X = c1 b1

c2 b2

S = a1 b1 c1 Y= a1 d1 c1

a2 b2 c2 a2 d2 c2

a3 b3 c3 a3 d3 c3

X = d1 b1 c1 Z= a1 b1 d1

d2 b2 c2 a2 b2 d2

d3 b3 c3 a3 b3 d3

Sistema de

ecuaciones lineales

de 2x2

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

46

Variable x = X/S Variable y = Y/S Variable z = Z/S

Discusiones

El mtodo de Cramer es recomendado para soluciones nicas y hay q tener

presente que solo va ser vlido cuando en el sistema de ecuaciones lineales el

nmero de ecuaciones es igual que el nmero de incgnitas.

RESOLUCIN DE PROBLEMAS

11.- Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones lineales tiene

solucin nica?

3x + ky = 5+k

2x + 5y = 8

Planteamiento:

Se presentan 2 variables y 2 ecuaciones, por lo cual es viable el mtodo de

Cramer. Para que el sistema tenga solucion nica el S 0 , entonces se

procede de la siguiente manera:

S = 3 k = 15 - 2k 0 k 7,5

2 5

Respuesta: K R {7,5}

ANDR MEDRANO

S 0 S.E.L es compatible y

tiene solucin nica.

S = 0 y (X=Y=Z=0) S.E.L

es compatible indeterminado; es

decir, infinitas soluciones.

S = 0 y algn 0 S.E.L es

incompatible; es decir, no tiene

solucin.

47

23.- Un nmero de tres dgitos es igual a 25 veces la suma de sus dgitos. Si

los tres dgitos se invierten, el nmero que resulta excede al nmero dado por

198. El dgito de las decenas es uno menos que la suma de los dgitos de las

centenas y de las unidades. Encuntrese el nmero.

Planteamiento: Se tiene abc que es el nmero pedido cuya descomposicin

polinmica seria igual a 100a+ 10b + c y si el mismo nmero se invierte

estaramos tendramos a cba cuya descomposicin polinmica sera

100c+10b+a, ello nos facilita para poder efectuar nuestro sistema de

ecuaciones mencionadas implcitamente en el problema los cuales son:

100a + 10b + c = 25 (a+b+c)

100c + 10b + a (100a+10b+c) = 198

a + c - b = 1

75a - 15b - 24c = 0 25a - 5b 8c = 0

-99a + 99c = 198 -a + c = 2

a - b + c = 1 a - b + c = 1

Dado que el nmero descrito con tales caractersticas es nico la solucin debe

ser nica y por lo tanto podemos proceder por el mtodo Cramer:

S= 25 -5 -8 = 20 0 -13 = - (-1) 20 -13 = 7

-1 0 1 -1 0 1 -1 1

1 -1 1 1 -1 1

a= 0 -5 -8 = 0 -5 -8 = (1) -5 -8 = 21

2 0 1 0 2 -1 2 -1

1 -1 1 1 -1 1

b= 25 0 -8 = 25 0 -8 = (-1) 25 -8 = 49

-1 2 1 -3 0 -1 -3 -1

1 1 1 1 1 1

Simplificando

48

c= 25 -5 0 = 25 -5 0 = (1) 25 -5 = 35

-1 0 2 -3 2 0 -3 2

1 -1 1 1 -1 1

a= 21/7 = 3

b= 49/7 = 7

c=35/7 = 5

Respuesta: El nmero pedido es 375.

ANDR MEDRANO

25.- Un inversionista tiene colocado parte de su capital al 3 % y el resto al 5%

de inters simple, percibiendo anualmente 11 600 pesos de inters. Si aumenta

en 25% el dinero que tiene al 3%, y en 40% el que tiene al 5%, sus intereses

anuales aumentan en 4100 pesos. Hallar la cantidad de dinero que tiene

invertido en cada uno de los tipos de inters.

Planteamiento:

C* es el capital destinado al 3% y C-C* es el resto del capital destinado al 5%.

Como se trata de un inters simple entonces I = c. r% .t y se procede de la

siguiente manera:

I1 = C*. 3%. 1

I2 = (C-C*).5%.1

Del dato: I1 + I2 = 11600

11600= 0.05C 0.02C*.(1)

Despus del aumento se tendra:

I1 = 1.25C*. 3%. 1

49

I2 = 1.4(C-C*) 5%.1

Del dato: I1+ I2 = 15700

15700= 0.07C 0.0325C*.(2)

Luego con (1) y (2) se tendra un sistema de ecuaciones de 2x2 que puede ser

resuelta por el mtodo de Cramer.

S = 0.05 -0.02 = - 0.000225

0.07 -0.0325

C = 11600 -0.02 = -63

15700 -0.0325

C* = 0.05 11600 = -27

0.07 15700

Respuesta: C = -63/ -0.000225 = 280000 C*= -27/ -0.000225 = 120000

ANDR MEDRANO

27.- Si se mezclan 3 litros de aceite de tipo A con 7 de tipo B el precio de la

mezcla es 43 pesos el litro. Sin embargo, si se mezclan 3 litros del aceite A con

2 de B el precio de la mezcla es de 46 pesos el litro. Hallar el precio del litro de

cada uno de los tipos de aceite.

Planteamiento: Elaboramos una tabla con los datos mencionados teniendo

presente que el precio de la mezcla1 por los 10 litros seria de 430 pesos, de la

misma manera en la mezcla2 el precio seria de 230 pesos.

50

Sea PA: precio del aceite A / litro

PB: precio del aceite B / litro

Se procede a formar el sistema de ecuaciones lineales de 2x2

3 PA + 7 PB = 430

3 PA + 2 PB = 230

Dado que la solucin es nica (S0) resolvemos el sistema por el mtodo de

Cramer:

S= 3 7 = -15

3 2

PA = 430 7 = -750

230 2

PB = 3 430 = -600

3 230

Respuesta:

PA = -750/ -15 = 50

PB = -600/ -15 = 40

ANDR MEDRANO

51

31.- La temperatura en un nodo (vase la figura siguiente) es igual al

promedio de los cuatro nodos ms cercanos. Escribe expresiones algebraicas

para T2 y T3 y determinarlos.

Planteamiento: Del grfico formamos nuestro sistema de ecuaciones en los

nodos T1, T2 Y T3 de la siguiente manera:

T1 = (T2+65)/ 4 4 T1 - T2 = 65

T2 = (50 + T1 + T3) / 4 - T1 + 4T2 - T3 = 50

T3 = (95 + T2)/ 4 - T2 +4T3 = 95

Por Cramer:

S = 4 -1 0 = 0 15 -4 = (1) 15 -4 = 56

-1 4 -1 -1 4 -1 -1 4

0 -1 4 0 -1 4

T1 = 65 -1 0 = 65 -1 0 = (1) 65 -1 = 1270

50 4 -1 50 4 -1 295 15

95 -1 4 295 15 0

4 65 0 0 265 -4

T2 = -1 50 -1 = -1 50 -1 = (1) 265 -4 = 1440

52

0 95 4 0 95 4 95 4

4 -1 65 0 15 265

T3 = -1 4 50 = -1 4 50 = (1) 15 265 = 1690

0 -1 95 0 -1 95 -1 95

Respuesta:

El sistema tiene solucin nica (S 0)

T1 = 1270/56 = 22,68 T2 = 1440/56 = 25,71 T3 = 1690/56 = 30,18

ANDR MEDRANO

33.- Determina el polinomio de interpolacin p(x) = a0 + a1x + a2x2 para los

datos (x, p(x)), (1,12) , (2,15) y (3,16). Determine a0, a1 y a2.

Planteamiento:

Para calcular los valores de a0, a1 y a2 reemplazamos los puntos en la funcin

polinmica formndose un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 y por el

mtodo de Cramer podemos determinar esos valores que ajustan aquella

grfica de la siguiente manera:

a0 + a11 + a212 = 12 a0 + a1 + a2 = 12

a0 + a12 + a222 = 15 a0 + 2a1 + 4 a2 = 15

a0 + a13 + a232 = 16 a0 + 3a1 + 9 a2 = 16

S = 1 1 1 = 1 1 1 = 1 1 3 = 2

1 2 4 0 1 3 1 5

1 3 9 0 1 5

a0 = 12 1 1 = 12 1 1 = (-1) -9 2 = 14

15 2 4 -9 0 2 -20 6

53

16 3 9 -20 0 6

a1 = 1 12 1 = 1 12 1 = (1) 3 3 = 12

1 15 4 0 3 3 4 8

1 16 9 0 4 8

1 1 12 1 1 12

a2 = 1 2 15 = 0 1 3 = (1) 1 3 = -2

1 3 16 0 2 4 2 4

Vemos que el S0 entonces la solucin es nica siendo el conjunto solucin

{(a0, a1, a2)}

Respuesta: a0 = 14/2 = 7 a1= 12/2 = 6 a2 = -2/2 = -1

ANDR MEDRANO

54

Discusin

La importancia de este tipo de trabajos est bsicamente en hacer llegar

informacin valiosa, experimental, terica o investigacin, con el fin de aclarar

dudas o iniciar una discusin que nos permita llegar a conclusiones ms

nutritivas. si nos ponemos a un nivel ms elemental, nos daremos cuenta que

hasta en l

Ecuaciones lineales es un tema bsico para muchas materias, dado que

siempre vamos a encontrarnos con sistemas de variables y constantes en la

vida como ingeniero. Aunque a vida cotidiana usamos las ecuaciones lineales.

Este tema admite muchos mtodos de resolucin y eso lo hace interesante y

dinmico. Se han resuelto los problemas con ayuda del libro de lgebra Lineal

de Fernando Hitt y con la teora dada en las clases del Ing. Jexy Reyna.

Adems durante la resolucin de los problemas se ha tratado de ir paso a paso

para que sea ms sencillo de procesar para el lector.

Se recomienda no depender de un solo mtodo, sino aprender la

representacin geomtrica, el uso de determinantes, lgebra clsica y el uso de

matrices. As ampliaremos nuestros horizontes, dndonos diferentes puntos de

vista a la hora de ver un problema.

Argumentation:

The importance of this type of work is basically getting valuable information,

experimental or theoretical, in order to clarify doubts or initiate a discussion that

allows us to reach richer conclusions.

Linear equations is a basic issue for many subjects, since we will always meet

system of multiple variables and constants in our life as an engineer. But if we

get to a basic level, we will realize that even in the everyday life we use systems

of linear equations.

This theme supports many methods of resolution and that makes it interesting

and dynamic. Problems have been solved using the book Linear Algebra

(Fernando Hitt) and with the theory given in class by the engineer Jexy Reyna

55

Medina. Also during the resolution of the problems we have tried to go step by

step to make it easier to process for the reader.

It is recommended not to rely on a single method but also learn the geometric

representation, use of determinants, classical algebra and matrices. Then we

will expand our horizons, giving us different points of view when see a problem.

56

CONCLUSIONES

Los sistemas de dos ecuaciones es un caso particular de un sistema de tres

ecuaciones donde al coeficiente de la variable z se hace cero, su grfica

tambin es un plano solo que siempre es paralelo al eje "z, se puede graficar

en un plano 2D usando su proyeccin respecto a x e y la cual resultara una

recta.

El conjunto solucin de un sistema de tres ecuaciones analizando su

interpretacin geomtrica a partir de la interseccin de los tres planos, se

puede obtener como un punto (solucin nica), una recta (infinitas soluciones),

un plano (infinitas soluciones cuando dos o ms ecuaciones son directamente

proporcionales) o simplemente nada (sistema incompatible sin soluciones).

El mtodo de eliminacin de Gauss es una manera simplificada para hallar el

conjunto solucin de un sistema de ecuaciones, pues hallando la primera

variable, es ms fcil hallar la siguiente variable (despejando), sea para un

sistema de dos o tres ecuaciones, en cambio otros mtodos como con matrices

(como el de Cramer) son igual de trabajosos para hallar todas las variables, sin

importar el orden.

El mtodo de Cramer para hallar el conjunto solucin de un sistema de

ecuaciones es muy efectivo cuando existen varias ecuaciones (cuatro, cinco,

etc.) aunque posea ciertas limitaciones (nmero de ecuaciones igual al nmero

de incgnitas).

lineal-1 (1)

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