ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas que expresan la

relación existen entre la magnitud

derivada y las magnitudes

fundamentales

Las ecuaciones dimensionales se

usan los símbolos de las

magnitudes fundamentales .Cada

símbolo está afectado de un

exponente que indica las veces

que dicha dimensión interviene en

la magnitud derivada.

El análisis dimensional es un método para verificar

ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir

del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos

adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados

experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a

situaciones en que se tengan diferentes dimensiones

geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en

casos en que las propiedades del fluido y del flujo son

distintas de las que se tuvieron durante los experimentos

UTILIDAD DEL ANALISIS DIMENSIONAL

Para determinar las dimensiones

de coeficientes empíricos.

Para establecer y realizar

experimentos, descubriendo

aspectos desconocidos del

problema.

Para formular leyes de similitud de

considerable importancia en la

investigación experimental.

Para determinar la forma de

ecuaciones físicas a partir de las

variables principales y de sus

dimensiones. Para comprobar

cualitativamente ecuaciones.

MAGNITUDES FISICAS

En nuestra vida cotidiana todostenemos la necesidad de medirlongitudes , contar el tiempo opesar cuerpos, por ejemplopodemos medir la longitud deuna tubería, el volumen de unbarril , la temperatura delcuerpo humano, la velocidad delbus, etc. todas estas sonmagnitudes o cantidades físicas

Magnitud es todo aquelloque podemos medir directao indirectamente yasignarle un numero yunidad .

Las magnitudes fundamentales son aquellas magnitudes físicas que, gracias a

su combinación, dan origen a las magnitudes derivadas. Tres de las

magnitudes fundamentales más importantes son la masa, la longitud y

el tiempo, pero en ocasiones en la física también se agrega la temperatura,

la intensidad luminosa, la cantidad de sustancia y la intensidad de corriente.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

La siguiente

tabla muestra

las

unidades del

sistema

internacional (

SI).

Magnitud Unidad Símbol

o

DIM.

Longitud Metro m L

Masa Kilogramo Kg M

Tiempo Segundo s T

Temperatura Kelvin K 𝜃

Int.corriente Ampere Amp. I

Int.luminosa Candela cd J

Cant.de sustancia mol mol N

Magnitud Dimensiones

Longitud (L) [L] = 𝐿

superficie(A) [A] = 𝐿2

Volumen(V) [V] = 𝐿3

Momento de inercia(I) [I] = 𝐿4

Velocidad(v) [v] =L𝑇−1

Aceleración(a) [a] = 𝐿 𝑇−2

Velocidad angular(𝜔) [𝜔] =T−1

Aceleración angular(𝛼) [𝛼] =T−2

Densidad(𝜌) [𝜌] =ML−3

Caudal volumétrico(Q) [Q] =L3T−1

Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo :

Escribir las magnitudes derivadas en función de las magnitudes

fundamentales

Demostrar la validez de una formula

Determinar formulas empíricas.

MAGNITUD DIMENSIONES

Gravedad [g] =L𝑇−2

Fuerza [F] =ML𝑇−2

Presión [p] =M𝐿−1𝑇−2

Energía [E] =M𝐿2𝑇−2

Calor especifico [c] =L2T-2 -1

Viscosidad absoluta [𝜇] =M𝐿−1𝑇−1

Viscosidad dinámica [𝑣] =𝐿2𝑇−1

Tensión superficial [𝜎] =M𝑇−2

compresibilidad [K] =M𝐿−1𝑇2

Método de Buckingham (Π)

Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que

intervienen en el problema, se debe tener una

función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si

G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos

adimensionales que representan a las variables

∏1, ∏2, ..., ∏n; el teorema de BUCKINGHAM

también establece que existe una función de la

forma:

El teorema Π de BUCKINGHAM establece

que en un problema físico en que se

tengan “n” variables que incluyan “m”

dimensiones distintas; las variables se

pueden agrupar en “n-m” grupos

adimensionales independientes.

Edgar Buckingham

Φ(∏1,∏2,..., ∏n-m) = 0

EJEMPLO 01:Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal 𝑄 a través de un orificio en

función de la densidad del líquido, el diámetro del orificio y la diferencia de presiones.

SOLUCIÓN:

𝑄 = 𝑓(𝜌, 𝑃, 𝑑)

𝑄 = 𝐾 𝜌𝑎 , 𝑃𝑏 , 𝑑𝑐

𝐹0𝐿3𝑇−1 = (𝐹𝑛𝑇2𝑎𝐿−4𝑎)(𝐹𝑏𝐿−2𝑏)(𝐿𝑐)

Matemáticamente:

Dimensionalmente:

0 = 𝑎 + 𝑏−1 = 2𝑎 3 = −4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐,

En donde

igualamos:"𝑇” “𝐹" "𝐿”

𝑎 = −1

2, 𝑏 =

1

2, 𝑐 = 2

Despejamos y nos

sale:

𝑄 = 𝐾 𝜌−12, 𝑃

12 , 𝑑2

Sustituyendo:

𝑄 = 𝐾 𝑑2 𝑃/𝜌 (Fluido Ideal)

El coeficiente K ha de obtenerse mediante

el análisis físico o por experimento.

EJEMPLO 02:

Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso

específico del fluido del caudal en 𝑚3/𝑠𝑒𝑔 y de la altura comunicada a la

corriente, resolver aplicando el teorema de Buckingham

𝑓 𝑃, 𝑤, 𝑄, 𝐻 = 0

SOLUCIÓN:

Matemáticamente:

Dimensionalmente: Potencia 𝑃 = 𝐹𝐿 𝑇−1

Peso Especifico 𝑤 = 𝐹𝐿−3

Caudal 𝑄 = 𝐿3𝑇−1

Carga 𝐻 = 𝐿

Usando el Teorema de Buckingham tenemos que existen 4 magnitudes

físicas y de ellas 3 son fundamentales, de donde (4-3)=1 (un grupo) 𝜋

Donde escogemos 𝑄,𝑤 𝑦 𝐻 como magnitudes con los

exponentes desconocidos:

𝜋1 = (𝑄𝑥1) 𝑤𝑦1 𝐻𝑧1 𝑃

𝜋1 = (𝐿3𝑥1𝑇−𝑥1) 𝐹𝑦1𝐿−3𝑦1 𝐿𝑧1 (𝐹 𝐿 𝑇−1 )

Igualando los exponentes:

0 = 𝑦1 + 1 0 = 3𝑥1 − 3𝑦1 + 𝑧1 + 1

"𝐹” "𝐿” "𝐹”

0 = −𝑥1 − 1

Donde:

𝑥1 = −1𝑦1 = −1𝑧1 = −1

Lo sustituimos en:

𝜋1 = (𝑄𝑥1) 𝑤𝑦1 𝐻𝑧1 𝑃

𝜋1 = (𝑄−1) 𝑤−1 𝐻−1 𝑃

𝝅𝟏 =𝑷

𝒘𝑸𝑯