Problemas resueltos sobre

límites y continuidad de

funciones

Calculators

Repaso de Problemas típicos

2

0

senlim

senx

x

x x

1

2

2

3 2lim

2x

x x

x

2

3 2

3 2

1lim

3 5 2x

x x x

x x x

3 2 2lim 1 1

xx x

2 2lim 1 1x

x x x x

2 20

2lim

2 1 3 1x

x

x x x x

0

sen 3lim

6x

x

x

0

sen senlimx

x

x

4

5 6

7 8

9 10

2 20

2senlim

2sen 1 sen 1x

x x

x x x x

t g x

2

lim ex

Calculators

Repaso de Problemas

11 ¿Dónde es tg continua?y x

12

2

1¿Dónde es continua f sen ?

1

13

2

¿Qué ha de valer f 0 para que la función f , 0, 1

sea continua en 0?

x xx x

x

x

14

2

0 0

0

Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones

en los puntos indicados:

2 8 1a) f , 2, b) g , 1

2 1

1c) h sen , 0

x x xx x x x

x x

t t tt

Demostrar que la ecuación sen e tiene solutiones.xx15

Calculators

Métodos para el cálculo de Límites

Si la función, de la que se está calculando el límite, está definida por una expresión algebraica que toma un valor finito en el punto límite, ese valor es el límite buscado.

3

Si la función, de la que se está calculando el límite, no se puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite.

4

Aritmética del : 2

0, , númber o negativo .número positivo

a

Casos de indenterminación: 1

0 000 , , , ,0 , ,1 .

0

Calculators

Simplificaciones y Métodos

Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada:

3

1 2 1 21 2

1 2

1 2 30

1 2 1 2x

x x x xx x

x x

x x

x x x x

Eliminar factores comunes en functiones racionales: 2

2

1

1 111 2.

1 1 x

x xxx

x x

Usar el hecho: 4

0

senlim 1.x

x

x

Factorizar ó simplificar: 1 2 2.a b a b a b

Calculators

Continuidad de Funciones Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones elementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente.

1

Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c entre a y b tal que f(c) = 0.

4

Si la función f es continua en el punto x = a entonces: 2

limf f .x a

x a

Ejemplos de funciones no continuas en x = 0: 3

1 1f ,g sen ,h .

xx x x

x x x

Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas

Se utiliza para demostrar que una ecuación tiene solución.

Calculators

Límites: factorizar y simplificar:

Problema 1

2

2

3 2lim

2x

x x

x

Solución

2 1 23 2Re-escribir 1.

2 2

x xx xx

x x

2

2 2

3 2Por tanto lim lim 1 1.

2x x

x xx

x

Calculators

Límites elementales

Problema 2 3 2

3 2

1lim

3 5 2x

x x x

x x x

Solución 3 2 2 3

3 2

2 3

1 1 11

11.

3 5 23 5 21

x

x x x x x xx x x

x x x

Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales.

3 2

3 2

1 1lim 1

3 5 2 1x

x x x

x x xProblema 2

Calculators

Límites: expresión conjugada

Problema 3 2 2lim 1 1x

x x

Solución

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1 1 11 1

1 1

x x x xx x

x x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x x

Re-escribimos

2 2

2 2

2Por tanto lim 1 1 lim 0.

1 1x xx x

x x

Calculators

Límites

Problema 4 2 2lim 1 1x

x x x x

Solución

2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1

x x x x x

x x x x x x x x

2 2

2 22 2

2 2

1 1

1 1 1 1

1 1

x x x x

x x x xx x x x

x x x x

2 2

2 21

2x

x

x x

Re-escribimos

Ahora nos quedamos con los términos de mayor grado en x.

Calculators

Límites Problema 5

2 20

2lim

2 1 3 1x

x

x x x x

Solución

2 2 2 2

2 2 22 2

2 2 1 3 1 2 2 1 3 1

42 1 3 1

x x x x x x x x x x

x xx x x x

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 1 3 1

2 2 1 3 1

2 1 3 1 2 1 3 1

x

x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

2 2

0

2 2 1 3 1 2 1 11

4 4x

x x x x

x

Re-escribimos

Menor grado en x.

Calculators

Límites

Problema 6

0

sen 3lim

6x

x

x

Solución

sen 3 sen 31Re-escribimos

6 2 3

x x

x x

0

senUsamos que lim 1.

0 0

sen 3 sen 3 1Como lim 1, se concluye que lim .

3 6 2x x

x x

x x

Calculators

Límites

Problema 7 0

sen senlimx

x

x

Solución

0

0

sencomo lim 1. En lo anterior, se aplicó

primero al sustituir sen .

sen senPor tanto lim 1.

senx

x

x

x

0

sen sen sen sen sen1

sen x

x x x

x x x

Re-escribimos:

Calculators

Límites

Problema 8

2

0

senlim

senx

x

x x

Solución

2 2

02

sen sen1

sen sen x

x x x

x x x x

Re-escribimos:

Calculators

Límites Problema 9

2 20

2senlim

2sen 1 sen 1x

x x

x x x x

Solución

2 2

2 2

2 2 2 2

2sen

2sen 1 sen 1

2sen 2sen 1 sen 1

2sen 1 sen 1 2sen 1 sen 1

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

Re-escribimos

2 2

2 2

2 2

2 2

2sen 2sen 1 sen 1

2sen 1 sen 1

2sen 2sen 1 sen 1

sen 2sen

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

Calculators

Límites

Problema 9

2 20

2senlim

2sen 1 sen 1x

x x

x x x xSolución (cont.)

2 2

2 2

2 2

2sen

2sen 1 sen 1

2sen 2sen 1 sen 1

sen 2sen

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

Re-escribimos

2 2sen

1 2 2sen 1 sen 1

sen sensen 2 1

xx x x x

x

x xx x

x x

0

3 22.

2 1x

Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x 0.

Dividimos por x.

Calculators

Límites Laterales

Problema 10

t g x

2

lim ex

Solución

2

t g

2

Para , t g 0 and lim tg .2

Por tanto lim e 0.

x

x

x

x x x

Calculators

Continuidad

Problema 11 ¿Dónde es continua la función tg ?y x

Solución

sen t g es continua siempre que cos 0.

cos

Por tanto t g es continua para , .2

xy x x

x

y x x n n

Calculators

Continuidad

Problema 12

2

1¿Dónde es continua la función f sen ?

1

Solución

2

1La función f sen es continua en todos los puntos

1

donde toma valores finitos.

2 2

1 1Si 1, no es finito, y sen no está definido.

1 1

2 2

1 1Si 1, es finito, y sen está definido y es finito.

1 1

2

1Por tanto sen es continua para 1.

1

Calculators

Continuidad

Problema 13

2

Determinar f 0 para que la función

f , 0, sea continua en 0.1

x xx x x

x

Solución

0

0

00

2

0 0 0

La condición de continuidad de una función f en un punto es:

limf f . Por tanto f 0 debe cumplir f 0 lim f .

1Es decir f 0 lim lim lim 0.

1 1

x x x

x x x

x

x x x

x xx xx

x x

Calculators

Continuidad

0

0

Un número en el que una función f está indefinida or

es infinito se llama una de la función f . La singularidad es

, si f se puede definir de tal m

singulari

anera que

dad

e

l

vi

a

t

abl

fu ón

e

nci

x x

x

0f se convierte en continua en .x x

Problema 14

2

0

0

0

¿Qué funciones de las siguientes tienen

singularidades evitables en los puntos indicados?

2 8a) f , 2

2

1b) g , 1

1

1c) h sen , 0

x xx x

x

xx x

x

t t tt

solución

Evitable

No evitable

No evitable

Calculators

Continuidad

Demostrar que la ecuación sen e tiene

inifinitas soluciones.

xx

Nótese que 0 e 1 para 0, y que sen 1 , .2

nx x n n

Por tanto f 0 para si is un número impar negativo 2

y f 0 para si es un número par negativo.2

x x n n

x x n n

Problema 15

Solución sen e f sen e 0.x xx x x

Por el Teorema de valor medio, una función continua toma cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces.

Por tanto en cada intervalo de la forma 2 , 2 1 , and 0, 2 2

hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.

n n n n