“LIMITES”MATEMATICAS II

Profesor: Sr. Sergio Calvo. Alumnas: Ximena Alcaraz

Macarena

Gómez

Una Sucesión es una lista de números en un orden específico. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8 forman una sucesión finita por tener un último término. Si, un conjunto de números que forman una sucesión no tiene último término, se dice que es una sucesión infinita, por ejemplo: 3/5, 4/7, 5/9, ...

Definición de función sucesión Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los Naturales, a saber:{ 1, 2, 3, 4, ….., n, ….}

Los números del recorrido de una función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden

Sucesiones

Diremos que una sucesión está acotada superiormente si existe un K que pertenece a los reales tal que podemos decir, para todo n que pertenece a los naturales f(n) tiene que ser menor o igual a K.

K talque n N f n K , ( )

Decimos que una sucesión está acotada inferiormente si existe un K que pertenece a los reales, tal que, para todo n que pertenece a los naturales f(n) es mayor o igual que K.

K talque n N f n K ; ( )

Cotas

Supremo: es la menor de las cotas superiores.

Ínfimo: es la mayor de las cotas inferiores.

Una sucesión es acotada si existe un M que pertenece a los reales positivos, tal que, para todo n que pertenece a los naturales y el valor absoluto de f(n) es menor o igual a M

M talque n N f n M ( )

Una sucesión n de números reales se dice que tiene A (A R), como límite, si y sólo si, para todo mayor que 0, existe un número natural K y éste depende de , tal que, para todo n que pertenece a los naturales, n mayor a K se cumple la desigualdad del valor absoluto de n menos A menor que .

Lím n = A n -->nn(n)

Teoremas

lím ((n) + (ßn)) = lím (n) + lím (ßn) lím (( n) (ß n)) = lím ( n) x lím (ß n) lím (1/ n) = 1/lím n lím ( n/ ß n) = lím n/lím ß n lím (c( n)) = c lím n lím c(αn) = clím (αn)

Dem ostrar:

1)lim

n

nn

2 1

22

2 1

22

n

n

< E

2 1 2 2

2

n n

n

( ) < E

2 1 2 4

2

n n

n

< E

3

2n< E

23n

< E

3 < E ( n + 2 )

< n E +2 E

n E > 3- 2 E

n > 3 2 EE

E = 0,1

n > 3 02

01

,

, = n > 28

K = 28

2 )

l i mn

nn

4

2 11

4

2 11

n

n < E

4 2 1

2 1

n n

n

< E

2 1

2 1

n

n

< E

2 1

2 1

n

n

< E

2 n + 1 < 2 E n – E

n ( 2 - 2 E ) < - 1 - E

n <

1

2 1

E

E( )

E= o,2 n <

1 2

2 0 8

1

2

,

( , )

como n pertenece a los naturales se presenta una contradiccion porque n nopuede ser menor que – ½ , por lo tanto, el resultado del límite no puede ser 1.

124

nn

limn

=

lim

n

nn

n

( )

( )

4

21 =

nlím

4

21

n

= 4

22

170)

a) 1, -1

2, 1

3,-1

4, ......................,

1

1n

n,...........;

limn

1

1n

n = 0 por simple apreciación

B) 2

1

4

3

6

5

2

2 1, , ,..................., ................;

n

n

limn

2

2 1

n

n =

limn

n

nn

2

21

=

limn

2

21

n

= 2

2 0 = 1

c)2, 2 2 , 2 2 2 , .........

21 2/ , 23 2 1 2/ / , 2 23 2 1 2 / /

21 2/ , 23 4/ , 2 23 41 2

//

21 2/ , 23 4/ , 27 4 1 2/ /

An= 22

2

1n

n

n

n

nlim 2

2 1

2

22

2

1

2lim

n

n n

2lim 11

2 n tiende a cero

21 = 2

1

1

130

) 0,2, 0,23, 0,233, .....

0,23 0,2 0,03 ,0,003 ...

2 3 3...

10 100 10002 1 1 1

3( ... )10 100 1000 10

11 ( )1 1 10( )

11 100 110

1 1(1 )

90 102 1 2 1 7

( (1 ))10 10 10 30 30

n

nn

PG

n

nn

d

es una PG

rS a

r

lím

171) limn

1 2 3 12 2 2 2n n n

n

n

...........

limn

nn

1123 12 .... es una PA

Snnn

22 11 = nn

21

limn

1

212n

nn = lim

n n n

n

2

22

limn

n

n

n

n

2

2 22 2 = lim

n

1

2

1

2ntiende a cero

= 1

2

172)

limn

n n n

n

1 2 33

)( )( ) =

3 2

3

6 11 6n n n

n

=

3 2

3 3

6n n

n n

3 3

11 6n

n n

n

n

3

3 =

limn

2 3

6 11 6(1 )

n n n 1 =

1

1 = 1

173)

limn

1 3 5 7 2 1

1

2 1

2

............ n

n

n =

limn

( )2 1

1

2 1

21

i

n

ni

n

=

limn

n

n

n2

1

2 1

2

=

limn

2 2 3 1

2 2

2 2n n n

n

=

limn

3 1

2 2

n

n =

3 1

2 2

n

nn

n

=

31

22n

n

= 3

2

174)

limn n

n

n

n

()

()

1

1 =

limn

n

nn

n

n

n

()

()

1

1 =

limn 11

11

()

()

n

nn

n

= 1

1 = 1

175)

limn 23

23

1 1n n

n n

=

limn

2

3

3

32

3

3

3

1

1

1

1

1 1

n

n

n

n

n

n

n

n

=

limn

2

31

1

3

2

3

1

3

1

n

n = * a continuación dividiremos por 31n para aplicar el

teorema :

(limn an0) para a 1

011

301

3

=

11

3

= 3.

176)

limn

n

1

2

1

4

1

8

1

2............ =

S n

na r

r

( )1

1 =

1

21

1

2

11

2

( )

n

=

1

21

1

21

2

( )

n

1

21

1

22( ) n =

1 11

2limn

n = 1.

1 7 7 )

l imn

11

3

1

9

1

2 7

1

3

1

1

. . . . . . . . . . . . . .( ) n

n =

l imn

( ) 1 1n 11

3

1

9

1

2 7

1

3 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . n

l imn

( ) 1 1n l imn

11

3

1

9

1

2 7

1

3 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . n e s u n a P . G .

Sa r

rn

n

1 1

1

( ) =

1 11

3

11

3

( )n

= 3

21

1

3( ) n =

l imn

3

21

1

3( ) n =

3

21

1

3l imn

n t ie n d e a o

S i n e s p a r l imn

( ) 1 11n

S i n e s im p a r l imn

( ) 1 11n

l imn

S n 3

2

l imn

S n 3

2

1 7 8 )

l i mn

1 2 32 2 2 2

3

. . . . . . . . . . . . . n

n =

kn n n

k

n2

1

1 2 1

6

( ) ( ) =

l i m

n n n

n

n n n

nn

( ) ( )( ) ( )

1 2 1

6 1 2 1

63 3 =

1

6l i mn

n n n

n

( ) ( ) 1 2 13 =

1

6

2 12

3l i mn n n

nn

( ) ( ) =

1

6l i mn

2 33 2

3

n n n

n

=

1

6l i mn

2 33

3

2

3 3

n

n

n

n

n

n =

1

6l i mn

2 3 1 1

32n n

179)

limn

( )n n 1 n n

n n

1

1= lim

n n n

n n

1

1 =

limn

1

1n n 0 por simple apreciación

1 8 0 )

l i mn

n n

n

s e n !2 1

= l i mn

s e n !n

n

n

2 1 =

l i mn

s e n n ! 1

12n

n

= l i m

n s e n n ! l i m

n

n

n 2 1 =

l i mn

n

n

!

! s e n n !

l i m

n

nn2 1

=

l i mn

n ! s e n !

!

n

nl i m

n

nn

2 1 =

A B

A : l i mn

n !s e n !

!

n

n p o r t e o r e m a d e a c o t a m i e n t o t e n e m o s q u e :

l i mn

n ! s e n !

!

n

n = 0

B : l i mn

n

n

n

n2

2

21

1

1

= l i m

n

nn

n n

n

2

2

2 2

1 =

l i mn

1

11

2

n

n

= 0

1 0

0

10

A x B = 0 x 0 = O