Límites infinitos y límites al infinito

El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se

escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se

denota como (que se lee: tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se

escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos .

Consideramos la función definida por para . Vamos a determinar el

comportamiento de la función cuando cuando y cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

a.

En este caso, cuando , la función tiende a tomar valores positivos

cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como , es

decir

b.

Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores

negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea .

c.

Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo

como resultado que tiende a valores cercanos a cero.

Así , o sea, cuando .

d.

En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es

decir,

Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función definida por para , cuya representación gráfica es la siguiente:

Podemos decir que:

a.

y

b. y

Ejercicio

Determine: , , , , , , utilizando para

ello la función .

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

Definición

Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota

, si para todo número real , (sin importar su magnitud),

existe tal que siempre que .

Gráficamente se tiene:

Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función definida por:

Demostremos ahora que

Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que

.

Observe que: .

Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que

. Si tomamos, por ejemplo, cuando

, es decir, cuando .

Definición

Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por

, si para todo número real , existe una tal que

Gráficamente se tiene que:

La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número negativo , tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo: Consideremos la representación gráfica de la función definida

por

En la gráfica se ve que

Definición

Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe

, si se cumple que a cada número positivo , (tan grande como se quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de ) tal que

.

Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y se

escribe si siempre que (Observe que es mayor que

cero pues ya que ). -El comportamiento de la función definida por cuando , está regido por la definición anterior. Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.

-Los símbolos y se definen análogamente,

escribiendo en vez de . (Note que si entonces ) Gráficamente se tiene:

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor

absoluto), es decir, se tiene que y cuando

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue:

Definición

Se dice que cuando es decir, si para cada número positivo existe otro número positivo , tal que

.

Observe que y que

Podemos anotar que

Ejemplo:

Demostraremos que

Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existir

siempre que

Ahora, como si y solo si , entonces, para cualquier número , podemos

tomar de tal forma que se cumpla que .

Por ejemplo, si entonces . Esto significa que es mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.

La función f definida por , con , tiene como representación gráfica la siguiente

Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse

, y En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de una función f en el que se evidencien los límites anteriores:

a.

b.

c.

Ejercicio: En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:

a) b) c) d)

a) b) c) d)

Consideraremos ahora la función f definida por

En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando y cuando

:

a.

b.

En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valores negativos cada

vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función tiende a acercarse a 2, por lo

que se puede escribir que: y

A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función :

Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando y

cuando

Definición

Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen

elementos de en el intervalo .

El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa

, si para cada existe un número tal que

para toda y .

Ejemplo

Probar que

Hay que demostrar que para existe tal que si

Se tiene que

Si entonces por lo que:

Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si , por lo

que podemos tomar de tal forma que se verifique que siempre

que .

Por ejemplo, si entonces por lo que:

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Definición

Sea una función con dominio tal que para cualquier número , existen

elementos de en el intervalo .

El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa

, si para todo existe un número tal que

para cada y .