Límites de Funciones Racionales

Demostrar que:

lim

= 4

Solución :

Por definición de límite se tiene:

lim

↔ ∀휀 > 0, ∃𝛿=? / Si 0<|𝑥 − 5| < 𝛿 |

− 4| <

휀

Es decir debemos encontrar 𝛿 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 휀, tal que:

0 < |𝑥 − 5| < 𝛿 |

− 4|<휀

Para encontrar el 𝛿 > 0 se hace de la siguiente forma

|𝑓(𝑥) − 𝐿| = |

− 4| = |

( )

| = 3 |

| |𝑥 − 5| ….. (1)

• Ahora acotando la función |

| y para esto calculamos

𝛿 =

|5 − 3|=1 de acuerdo al método establecido :

|𝑥 − 5| < 휀 = 1 − 1 < 𝑥 − 5 < 1 1 < 𝑥 − 3 <

3 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜

<

< 1 |

| < 1 …. (2)

Ahora reemplazando (2) en (1):

|𝑓( ) − 𝐿| = 3 |

| |𝑥 − 5| < 3|𝑥 − 5 < 휀| 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝑥 −

5|

= 𝛿

Luego se elige 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 {1,

}

Por lo tanto, dado 휀 > 0, ∃ 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 {1,

} 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 :

Si 0 < |𝑥 − 5| < 𝛿 |𝑓( ) − 𝐿| < 휀

lim

= 4

• Propiedades de los límites :

Unicidad de límites

1. lim 𝑓( ) = 𝐿 𝑦 lim 𝑓( ) = 𝐺

↔ 𝐿 = 𝐺

2. si: 𝑓( ) < 𝑔( )

𝑦 lim 𝑓( ) = 𝐿 , lim 𝑔( ) = 𝑀

𝐿 < 𝑀

Propiedades operacionales con límites

Sean 𝑓( ) 𝑦 𝐺( ) funciones tales que lim 𝑓( ) = 𝐿 𝑦 lim 𝑔( ).

Entonces:

• lim 𝑓( ) = 𝑐 , 𝑐 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

• lim [𝑐𝑓( )] = 𝑐 lim 𝑓( )

• lim [𝑓( )+𝑔( )] = lim 𝑓( ) + lim 𝑔( )

• lim [𝑓( )𝑔( )] = lim 𝑓( ) lim 𝑔( )

• lim [𝑓( ): 𝑔( )] = lim 𝑓( ): lim 𝑔( )