limites de funciones

Cálculo de límites de funciones

Juan José Isach Mayo

15/10/2012

Índice general

I Cálculo de límites 1

1. l��mx!a

f(x) 3

1.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Límites de funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Límites de funciones que tienen alguna raíz . . . . . . . . . . . . 231.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5. Límite de la suma o resta de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6. Límite del producto de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7. Límite del cociente de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.8. Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales ex-ponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.8.2. Límites que presentan la indeterminación 11 . . . . . . . 56

1.9. Límites de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.9.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. l��mx!+1

f(x) o l��mx!�1

f(x) 67

2.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2. Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3. Funciones racionales con alguna raíz . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4. Suma o resta de funciones con alguna raíz . . . . . . . . . . . . . 842.5. Suma o resta de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6. Límite del producto de funciones racionales . . . . . . . . . . . . 952.7. Límite de la división de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

iii

iv ÍNDICE GENERAL

2.8. Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales ex-ponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.8.1. Indeterminación 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.9. Límites de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Parte I

Cálculo de límites

1

Capítulo 1

l��mx!a

f (x)

1.1. Funciones polinómicas

Como las funciones polinómicas son continuas en R;entonces:

l��mx!a

Pn(x) = P ( l��mx!a

x) = P (a)

1.1.1. Ejemplos

Ejemplo 1 Calcula los siguientes límites

a) l��mx!2

(3x2 � 3x+ 1)

b) l��mx!�3

(�x3 � 2x2 + 3x� 4)

c) l��mx!�1

(3x5 � 3x3 + 1)

Solución

a) l��mx!2

(3x2 � 3x+ 1) = 3 (2)2 � 3 (2) + 1 = 7

b) l��mx!�3

(�x3 � 2x2 + 3x� 4) = � (�3)3 � 2 (�3)2 + 3 (�3)� 4 = �4

c) l��mx!�1

(3x5 � 3x3 + 1) = 3 (�1)5 � 3 (�1)3 + 1 = 1

1.2. Límites de funciones racionales

Vamos a calcular

l��mx!a

Pn(x)

Qm(x)

Se pueden presentar tres casos

3

4 CAPÍTULO 1. L�IMX!A

F (X)

1. Si a pertenece al dominio de la función y = Pn(x)Qm(x)

. Como todas las fun-ciones racionales son continuas en todo punto de su dominio; entonces:

l��mx!a

Pn(x)

Qm(x)=Pn(a)

Qm(a)

Ejemplo 2 Calcula los siguientes límites:

a) l��mx!�1

2x� 4x2 + 1

b) l��mx! 2

3

x+ 3

x+ 1

c) l��mx!

p3

x2 + 3

x2 � 1

d) l��mx! 3p2

x6 + 3x3

x6 � x3

Solución

a) l��mx!�1

2x� 4x2 + 1

=�62= �3

b) l��mx! 2

3

x+ 3

x+ 1=

23 + 323 + 1

=11

5

c) l��mx!

p3

x2 + 3

x2 � 1 =3 + 3

3� 1 = 3

d) l��mx! 3p2

x6 + 3x3

x6 � x3 =4 + 6

4� 2 = 5

2. Si a no pertenece al dominio de la función.Es evidente que Qm(a) = 0.

En este situación (Qm(a) = 0)se pueden distinguir dos casos:

2a Si Qm(a) = 0 y Pn(a) 6= 0! l��mx!aPn(x)Qm(x)

= Pn(a)0 :

La recta x = a es una asíntota vertical de la función y tendremos queestudiar, imperiosamente, los límites laterales de la función cuandox! aPudiéndose presentar las siguientes cuatro situaciones1a l��m

x!a�f(x) = +1 y l��m

x!a+f(x) = +1. Diremos que la recta x = a

es una asíntota vertical de ramas convergentes hacia +12a l��m

x!a�f(x) = �1 y l��m

x!a+f(x) = �1. Diremos que la recta x = a

es una asíntota vertical de ramas convergentes hacia �13a l��m

x!a�f(x) = +1 y l��m

x!a+f(x) = �1. Diremos que la recta x = a

1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 5

es una asíntota vertical de ramas divergentes4a l��m

x!a�f(x) = �1 y l��m

x!a+f(x) = +1. Diremos que la recta x = a

es una asíntota vertical de ramas divergentesEn todas estas situaciones diremos que la función presenta para x = auna discontinuidad inevitable de salto in�nito.

Nota: Para el cálculo de límites laterales de este tipo; es fundamental saberque:

30+ = +1

30� = �1

�30+ = �1

�30� = +1

Ejemplo 3 Calcula los siguientes límites

a) l��mx!2

x+ 3

(x� 2)2

b) l��mx!�1

2x� 4x+ 1

c) l��mx!2

�x� 3(x� 2)2

d) l��mx!3

3x

x� 3

indicando si existe alguna asíntota vertical y de que tipo es.

Solución

a) Observa que el dominio de de�nición de la función y = x+3(x�2)2 es:

D(f) = R � f2g

Como l��mx!2

x+3(x�2)2 =

50 ; entonces la recta x = 2 es una asíntota vertical. Para

ver de que tipo es (ramas convergentes o ramas divergentes); vamos a estudiarsus límites laterales

l��mx!2�

x+ 3

(x� 2)2=

5

0+= +1

l��mx!2+

x+ 3

(x� 2)2=

5

0+= +1

La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas convergentes a +1. Lafunción presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in�nito


F (X)

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

b) Observa que el dominio de de�nición de la función y = 2x�4x+1 es:

D(f) = R � f�1gComo l��m

x!�12x�4x+1 = �6

0 ; entonces la recta x = �1 es una asíntota vertical.Para ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales

l��mx!�1�

2x� 4x+ 1

=�60�

= +1

l��mx!�1+

2x� 4x+ 1

=�60+

= �1

La recta x = �1 es una asíntota vertical de ramas divergentes y gracias alos límites laterales anteriores, conocemos la posición de la grá�ca con respectoa su asíntota vertical

8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y


y = 2x�4x+1

La función presenta para x = �1 una discontinuidad inevitable de saltoin�nitoc) Observa que el dominio de de�nición de la función y = �x�3

(x�2)2 es:

D(f) = R � f2g

Como l��mx!2

�x�3(x�2)2 =

�50 ; entonces la recta x = 2 es una asíntota vertical.

Para ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales

l��mx!2�

�x� 3(x� 2)2

=�50+

= �1

l��mx!2+

�x� 3(x� 2)2

=�50+

= �1

La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas convergentes a �1

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in�nitod) Observa que el dominio de de�nición de la función y = 3x

x�3es:

D(f) = R � f3g

Como l��mx!3

3xx�3 =

90 ; entonces la recta x = 3 es una asíntota vertical. Para

ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales

l��mx!3�

3x

x� 3 =9

0�= �1

l��mx!3+

3x

x� 3 =9

0+= +1


F (X)

La recta x = 3 es una asíntota vertical de ramas divergentes y gracias a loslímites laterales anteriores, conocemos la posición de la grá�ca con respecto asu asíntota vertical

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

La función presenta para x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in�nito

2b Si Qm(a) = 0 y Pn(a) = 0.El límite l��mx!a

Pn(x)Qm(x)

presenta la indetermi-

nación 00

Al ser Pn(a) = 0 y Qm(a) = 0; en virtud del teorema del factor, sabe-mos que x� a es un factor de la descomposición de Pn(x) y Qm(x).Así pues; la descomposición factorial de ambos polinomios será

Pn(x) = (x� a)Pn�1(x) siendo Pn�1(x) el cociente dePn(x)

x� ay

Qm(x) = (x� a)Qm�1(x)siendo Qm�1(x) el cociente deQm(x)

x� a

Por consiguiente; el l��mx!a

Pn(x)Qm(x)

coincidirá con

l��mx!a

Pn(x)

Qm(x)= l��m

x!a

(x� a)Pn�1(x)(x� a)Qm�1(x)

= l��mx!a

Pn�1(x)

Qm�1(x)

Dicho límite puede presentar cualquiera de las tres situaciones ante-riores:

a) Si Qm�1(a) 6= 0;entonces:

l��mx!a

Pn(x)

Qm(x)= l��m

x!a

Pn�1(x)

Qm�1(x)=Pn�1(a)

Qm�1(a)

Cuando se dé esta situación, diremos que la grá�ca de la función


y = Pn(x)Qm(x)

coincide con la grá�ca de y = Pn�1(x)Qm�1(x)

si a esta última

le quitamos el punto de coordenadas P�a; Pn�1(a)Qm�1(a)

�:Diremos

que la función presenta para x = a una discontinuidad evitableb) Si Qm�1(a) = 0 y Pn�1(a) 6= 0

l��mx!a

Pn(x)

Qm(x)= l��m

x!a

Pn�1(x)

Qm�1(x)=Pn�1(a)

0

La recta x = a es una asíntota vertical de la grá�ca de la función.Tendremos que estudiar la posición de la grá�ca con respecto asu asíntota con ayuda de los límites laterales l��m

x!a+

Pn�1(x)Qm�1(x)

y

l��mx!a�

Pn�1(x)Qm�1(x)

La función presenta una discontinuidad inevitable de salto in�ni-to para x = a

c) SiQm�1(a) = 0 y Pn�1(a) = 0. El límite l��mx!a

Pn(x)Qm(x)

= l��mx!a

Pn�1(x)Qm�1(x)

presenta la indeterminación 00 :

Volvemos a factorizar

l��mx!a

Pn(x)

Qm(x)= l��m

x!a

Pn�1(x)

Qm�1(x)= l��m

x!a

(x� a)Pn�2(x)(x� a)Qm�2(x)

= l��mx!a

Pn�2(x)

Qm�2(x)

Pudiendo presentar este límite l��mx!a

Pn�2(x)Qm�2(x)

cualquiera de las dos

situaciones anteriores.

Ejemplo 4 Dada la siguiente función y = x2�5x+69�x2 calcula

D(f)

l��mx!3

x2 � 5x+ 69� x2

l��mx!�3

x2 � 5x+ 69� x2

Solución

Dada la función y = x2�5x+69�x2 su dominio de de�nición es

D(f) = R � f�3; 3g

Veamos que ocurre cuando x = 3l��mx!3

x2�5x+69�x2 = 0

0 Indeterminación

Factorizemos aplicando la regla de Ru�nni los dos polinomios

1 -5 63 3 -6

1 -2 0

-1 0 93 -3 -9

-1 -3 0


F (X)

l��mx!3

x2 � 5x+ 69� x2 = l��m

x!3

(x� 3)(x� 2)(x� 3)(�x� 3) = l��m

x!3

(x� 2)(�x� 3) = �

1

6

Por lo anterior; sabemos que la recta x = 3 no es una asíntota verticaly además la grá�ca de la función y = x2�5x+6

9�x2 coincide con la grá�ca de la

función y = (x�2)(�x�3) si a esta última le quitamos el punto P

�3;� 1

6

�. La función

presenta una discontinuidad evitable para x = 3Comprueba tú que la recta x = �3 es una asíntota vertical (para x =

�3 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto in�nito) de ramasdivergentes calculando:

l��mx!�3+

x2 � 5x+ 69� x2 y l��m

x!�3�x2 � 5x+ 69� x2

8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

y = (x�2)(�x�3)

8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

P(3,1/6)

y = (x�2)(x�3)(�x�3)(x�3)

Ejemplo 5 Dada la siguiente función y = x2+5x+69�x2 calcula

l��mx!3

x2 + 5x+ 6

9� x2y

l��mx!�3

x2 + 5x+ 6

9� x2

Indica si su grá�ca tiene alguna asíntota vertical

Solución

Dada la función y = x2+5x+69�x2 su dominio de de�nición es

D(f) = R � f�3; 3g


Veamos que ocurre para x = 3

l��mx!3

x2 + x+ 6

9� x2 =18

0

La recta x = 3 es una asíntota vertical de la función (La función presentapara x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in�nito)Para saber su posición con respecto a la grá�ca, calculamos sus límites lat-

erales

l��mx!3+

x2 + x+ 6

9� x2 = l��mx!3+

x2 + x+ 6

(x� 3)(�x� 3) =18

0+(�6) =18

0�= �1

l��mx!3�

x2 + x+ 6

9� x2 = l��mx!3�

x2 + 5x+ 6

(x� 3)(�x� 3) =18

0�(�6) =18

0+= +1

La recta x = 3 es una asíntota vertical de ramas divergentes:Veamos que ocurre para x = �3

l��mx!�3

x2 + x+ 6

9� x2 =12

0

La recta x = �3 es una asíntota vertical de la función (La función presentapara x = �3 una discontinuidad inevitable de salto in�nito)Para saber su posición con respecto a la grá�ca, calculamos sus límites lat-

erales

l��mx!�3+

x2 + x+ 6

9� x2 = l��mx!�3+

x2 + x+ 6

(x� 3)(�x� 3) =12

(�6)0� =12

0+= +1

l��mx!�3�

x2 + x+ 6

9� x2 = l��mx!�3�

x2 + x+ 6

(x� 3)(�x� 3) =12

(�6)0+ =12

0�= �1

La recta x = �3 es una asíntota vertical de ramas divergentes:

8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

y = x2+x+69�x2


F (X)

Ejemplo 6 Dada la función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18Calcula su dominio de de�ni-

ción y el siguiente límite

l��mx!�3

�2x3 � 11x2 � 12x+ 9�3x3 � 16x2 � 15x+ 18

¿Qué podemos a�rmar sobre su grá�ca?

Solución

La función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18 =

2x3+11x2+12x�93x3+16x2+15x�18

El dominio de de�nición de esta función es

D(f) = R ��x 2 R = 3x3 + 16x2 + 15x� 18 = 0

Resolvamos pues la ecuación

3x3 + 16x2 + 15x� 18 = 0

si descomponemos aplicando la regla de Ru�nni el polinomio 3x3 + 16x2 +15x� 18

3 16 15 -18-3 -9 -21 18

3 7 -6 0-3 -9 6

3 -2 0

obtendremos 3x3 + 16x2 + 15x� 18 = (3x� 2)(x+ 3)2:Así pues:

3x3 + 16x2 + 15x� 18 = 0m

(3x� 2)(x+ 3)2 = 0,

24 3x� 2 = 0o

x+ 3 = 0

35,24 x = 2

3o

x = �3 sol doble

35Con lo que

D(f) = R ��3; 2

3

�Fijate bien en lo que hago previamente

l��mx!�3

�2x3 � 11x2 � 12x+ 9�3x3 � 16x2 � 15x+ 18 = l��m

x!�3

2x3 + 11x2 + 12x� 93x3 + 16x2 + 15x� 18 =

0

0

Como este límite presenta la indeterminación 00 , hemos de factorizar ambos

polinomios al máximo

2 11 12 -9-3 -6 -15 9

2 5 -3 0-3 -6 3

2 -1 0

3 16 15 -18-3 -9 -21 18

3 7 -6 0-3 -9 6

3 -2 0


Teniendo presente la descomposición factorial

l��mx!�3

2x3+11x2+12x�93x3+16x2+15x�18 = l��m

x!�3(x+3)2(2x�1)(x+3)2(3x�2) = l��m

x!�3(2x�1)(3x�2) =

7

11

La grá�ca de la función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18 coincide con la grá�ca de la

función y = 2x�13x�2 si a esta última le quitamos el punto P

��3; 711

�. La función

presenta para x = �3 una discontinuidad evitable.

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

x

y

P(3,7/11)

Nota 7 Dada la función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18 Si hubiesemos factorizado al

máximo, hubiesemos observado que

y =(2x� 1) (x+ 3)2

(3x� 2) (x+ 3)2

Pudiendo a�rmar entonces: la grá�ca de la función coincide con la de lahipérbola equilatera y = 2x�1

3x�2 si a ésta le quitamos el punto P (�3;711 )

Ejercicio 8 Sea f(x) = 2xx�3 calcula l��mx!2

f(x)�f(2)x�2

Solución


F (X)

Como�f(x) = 2x

x�3f(x) = �4

�entonces

l��mx!2

f(x)� f(2)x� 2 = l��m

x!2

2xx�3 � (�4)x� 2 =

= l��mx!2

2xx�3 + 4

x� 2 = l��mx!2

6x�12x�3x� 2 =

= l��mx!2

6x� 12(x� 2) (x� 3) =

0

0

Factoriando el numerador yu simpli�cando

l��mx!2

6x� 12(x� 2) (x� 3) = l��m

x!2

6 (x� 2)(x� 2) (x� 3) =

l��mx!2

6

(x� 3) = �6

1.2.1. Ejercicios

Ejemplo 9 Calcula ahora los siguientes límites

l��mx!0

4x�x23x2+4x l��m

x!2

�x2+4x3x2+4x�20 l��m

x!1

x2�3x+2x3�4x2+5x�2 l��m

x!1

x2�3x+2x3�2x2�x+2 l��m

x!�5x2+2x�15x2+5x+6

l��mx!� 4

3

43x2+4x l��m

x!3

x2�4xx2�6x+9 l��m

x!3

x2+4xx2�6x+9 l��m

x!�2x2+2xx2�4x+4 l��m

x!�2�x2�2xx2+4x+4

l��mx!5

x2�25x2�6x+5 l��m

x!�5x3+5x2�25x�125x3+11x2+35x+25 l��m

x!� 12

2x2�x�12x2+3x+1 l��m

x!� 34

x�116x2+24x+9 l��m

x!1

4(x2�1)2

(x�1)2

l��mx!� 3

4

16x2+964x2+96x+36 l��m

x!� 12

2x+1(4x2+4x+1)2

l��mx!�2

x3+2x2�4x�8x2+4x+4 l��m

x!�2x3+2x2�4x�8x3+6x2+12x+8 l��m

x!0

5x�x2+23x2+4x+3

l��mx!�2

4(3x2+6x)2

l��mx!0

4(3x2+6x)2

l��mx!� 3

4

4x+316x2+24x+9 l��m

x!3

x3�9x2+27x�27x2�6x+9 l��m

x!2

5x�x2�63x2+4x�20

1.3. Límites de funciones a trozos

Para calcular el límite de una función a trozos en un punto donde cambia elcriterio de la función, tendremos que recurrir a los límites laterales; ya que dichafunción a la derecha y a la izquierda de dicho punto tiene diferentes de�niciones.

Ejemplo 10 Dada la función

f(x) =

�2x� 1 si x � 2�x+ 2 si x > 2

calcula l��mx!2

f(x)

SoluciónCalculemos l��m

x!2+f(x)

1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS 15

Si x! 2+; entonces f(x) = �x+ 2. Por lo que

l��mx!2+

f(x) = l��mx!2+

(�x+ 2) = 0

Calculemos ahora l��mx!2�

f(x)

Si x! 2�; entonces f(x) = 2x� 1. Por lo que

l��mx!2�

f(x) = l��mx!2�

(2x� 1) = 3

Al no coincidir ambos límites, no existe l��mx!2

f(x)

La imagen de la función para x = 2 es f(2) = 3Conclusión: Si miras la gra�ca; observarás que la función no es continua para

x = 2.Al ser los límites laterales de la función en ese punto diferentes y �nitos;

diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad de salto �nito.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

x

yP(2,3)

f(x) =

�2x� 1 si x � 2�x+ 2 si x > 2


f(x) =

�x+ 1 si x � �1�x2 + 1 si x > �1

calcula l��mx!�1

f(x)

SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha de

�1. tendremos que calcular sus límites laterales.


F (X)

Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!�1+

f(x)

Observa que si x ! �1+ (x > �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =x+ 1. Por lo que

l��mx!�1+

f(x) = l��mx!�1+

(x+ 1) = �1 + 1 = 0

Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!�1�

f(x)

Observa que si x ! �1� (x < �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =�x2 + 1. Por lo que

l��mx!�1�

f(x) = l��mx!�1�

��x2 + 1

�= �1 + 1 = 0

como ambos coinciden; podemos a�rmar que

l��mx!�1

f(x) = 0

Fíjate además que f(�1) = �(�1)2 + 1 = �1 + 1 = 0Conclusión:La función es continua en x = �1 ya que l��m

x!�1f(x) = f(�1) =

0.Mira ahora su grá�ca

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

x

y

f(x) =

�x+ 1 si x � �1�x2 + 1 si x > �1



f(x) =

�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1


f(x)

SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha de 1;

tendremos que calcular sus límites laterales.

Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!1+

f(x)

Observa que si x! 1+ (x > 1 y muy próximo a 1) entonces f(x) = 3x+ 2.Por lo que

l��mx!1+

f(x) = l��mx!1+

(3x+ 2) = 5

Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!1�

f(x)

Observa que si x! 1� (x < 1 y muy próximo a 1) entonces f(x) = 2x2+3.Por lo que

l��mx!��

f(x) = l��mx!1�

�2x2 + 3

�= 5

como ambos coinciden; podemos a�rmar que

l��mx!1

f(x) = 5

Fíjate además que no existe f(1)Conclusión:La función no es continua en x = 1. Si miras ahora su grá�ca,

verás que a la grá�ca le falta el punto de coordenadas P (1; 5)Diremos que la función presenta para x = 1 una discontinuidad evitable ( Si

pudiesemos añadir ese punto P la función sería continua para x = 1)

4 2 2 4

2

2

4

6

8

x

y

P(1,5)

f(x) =

�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1


F (X)

¿Las funciones g(x) =�2x2 + 3 si x � 13x+ 2 si x > 1

y f(x) =�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1

en qué se diferencian? Mira sus grá�cas

4 2 2 4

2

2

4

6

8

x

y

P(1,5)

f(x) =

�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1

4 2 2 4

2

2

4

6

8

x

y

P(1,5)

g(x) =

�2x2 + 3 si x � 13x+ 2 si x > 1


f(x) =

(x2 � 1 si x � 21

x� 2 si x > 2

calcula l��mx!2

f(x)

SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha del 2;



f(x)

Observa que si x ! 2+ (x > 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) =1

x� 2 .Por lo que

l��mx!2+

f(x) = l��mx!2+

1

x� 2 =1

0+= +1


f(x)

Observa que si x ! 2� (x < 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) = x2 � 1Por lo que

l��mx!2�

f(x) = l��mx!2�

�x2 � 1

�= 3


como no coinciden; podemos a�rmar que

No existe l��mx!2

f(x)

Fíjate además que f(2) = 3Conclusión:La función no es continua en x = 2. Si miras ahora su grá�ca

verás que la grá�ca tiene por asíntota vertical la recta x = 2 ( a la derecha )Diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable

de salto in�nito

4 2 2 4

2

2

4

6

8

x

y

P

f(x) =

(x2 � 1 si x � 21

x� 2 si x > 2


f(x) =

8><>:� 1

x� 2 si x < 2

1

x� 2 si x > 2

calcula l��mx!2

f(x)

SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha del 2;



f(x)

Observa que si x ! 2+ (x > 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) =1

x� 2 .Por lo que

l��mx!2+

f(x) = l��mx!2+

1

x� 2 =1

0+= +1


F (X)


f(x)

Observa que si x ! 2� (x < 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) = � 1x�2

Por lo que

l��mx!2�

f(x) = l��mx!2�

� 1

x� 2 = �1

0�= +1

como coinciden; podemos a�rmar que

l��mx!2

f(x) = +1

Fíjate además que no existe f(2)Conclusión:La función no es continua en x = 2. Si miras ahora su grá�ca

verás que la grá�ca tiene por asíntota vertical la recta x = 2 ( Esta asíntota esde ramas convergentes a +1)Diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable

de salto in�nito

4 2 2 4

2

2

4

6

8

x

y

f(x) =

8><>:� 1

x� 2 si x < 2

1

x� 2 si x > 2


f(x) =

�x2�9

x2�2x�3 si x 6= 35 si x = 3�

calcula l��mx!3

f(x) y l��mx!1

f(x)

SoluciónComportamiento de la función para x = �1

Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!�1+

f(x)


Observa que si x ! �1+ (x > �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =x2�9

x2�2x�3 . Por lo que

l��mx!�1+

f(x) = l��mx!�1+

x2 � 9x2 � 2x� 3 = l��m

x!�1+(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x� 1) =

= l��mx!�1+

(x+ 3)

(x+ 1)=

2

0+= +1

Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!�1�

f(x)

Observa que si x ! �1� (x < �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =x2�9

x2�2x�3 . Por lo que

l��mx!�1�

f(x) = l��mx!�1�

x2 � 9x2 � 2x� 3 = l��m

x!�1�(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x� 1) =

= l��mx!�1�

(x+ 3)

(x+ 1)=

2

0�= �1

como no coinciden; podemos a�rmar que no existe l��mx!1

f(x)

Fíjate además que no existe f(�1)Conclusión:La función no es continua en x = �1. Si miras ahora su grá�ca

verás que la grá�ca tiene por asíntota vertical la recta x = �1 ( Esta asíntotaes de ramas divergentes)Diremos que la función presenta para x = �1 una discontinuidad inevitable

de salto in�nitoComportamiento de la función para x = 3

Calculemos directamente su límite l��mx!3

f(x)

l��mx!3

f(x) = l��mx!3

x2 � 9x2 � 2x� 3 =

0

0

l��mx!3

(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x+ 1) = l��m

x!3

(x+ 3)

(x+ 1)=6

4=3

2

l��mx!3

f(x) = 32

Fíjate además que f(3) = 5

Conclusión:La función no es continua en x = 3 ya que

24 l��mx!3

f(x) = 32

yf(3) = 5

35..Paradicho valor la función presenta una discontinuidad evitable


F (X)

La grá�ca de esta función coincide con la grá�ca de la función g(x) =x+ 3

x+ 1si a esta última le quitamos el punto Q(3; 32 ) y después le añadimos el puntoP (3; 5)

4 2 2 4

2

2

4

6

8

x

y

Q(3, 1.5)

P(3,5)

f(x) =

8<:(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x+ 1) si x 6= 3

5 si x = �3

Nota: Todo lo anterior lo hubiesemos podido evitar ya que al ser�

x2 � 9 = (x� 3)(x+ 3)x2 � 2x� 3 = (x� 3)(x+ 1)

�podemos de�nir la función así:

f(x) =

8<:(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x� 1) si x 6= 3

5 si x = 3, f(x) =

( x+ 3

x+ 1si x 6= 3

5 si x = 3

Su grá�ca será la de la hiperbola y =x+ 3

x+ 1quitándole el punto Q(3; 32 ) y

añadiéndole el punto P (3; 5)

1.3.1. Ejercicios

Ejercicio 16 Dada la función

f(x) =

8<:x�2x+3 si x < �3

�x� 2 si �3 � x < 0x2 � 2 si x � 0


f(x) y l��mx!0

f(x) e indica en esos puntos si la función es continua.

En caso de no serlo, clasi�ca sus discontinuidades

1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 23


f(x) =

8<: 1 +p�x� 2 si x < �2

x2 � 4 si �2 � x < 02x� 4 si x � 0


f(x) y l��mx!0

f(x) e indica en esos puntos si la función es continua.

En caso de no serlo, clasi�ca sus discontinuidades


f(x) =

�x2�1

x2+2x�3 si x 6= 13 si x = 1

calcula su dominio de de�nición, l��mx!�3

f(x) , l��mx!1

f(x) e indica en esos puntos

si la función es continua. En caso de no serlo, clasi�ca sus discontinuidades

1.4. Límites de funciones que tienen alguna raíz

Ejemplo 19 Dada la función f(x) = �3 +p�x+ 2 calcula su dominio de

de�nición y los siguientes límites

a) l��mx!1

f(x)

b) l��mx!0

f(x)

c) l��mx!�3

f(x)

SoluciónEl dominio de de�nición de la función es:

D(f) = fx 2 R /� x+ 2 � 0g = fx 2 R / x � 2g = (�1; 2]

Recuerda que la función es continua en su dominio de de�nición.Por esta razón, para calcular l��m

x!af(x) siempre que a 2 D(f);bastará con

sustituir x por a en la función

l��mx!a

f(x) = f(a)

Calculemos pues los tres límites

a) l��mx!1

(�3 +p�x+ 2) = �3 + 1 = �2

b) l��mx!0

��3 +

p�x+ 2

�= �3 +

p2

c) l��mx!�3

��3 +

p�x+ 2

�= �3 +

p5

Los puntos P (1;�2); Q(0;�3 +p2) y R(�3;�3 +

p5) son puntos de la

grá�ca donde la función es continua. Mira su grá�ca


F (X)

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2

3

2

1

1

2

3

x

y

P

QR

y = �3 +p�x+ 2

Nota: Si al calcular un límite obtenemos la indeterminación 00 y nos aparece

una resta de monomios donde al menos uno de éstos aparece una raíz cuadrada;tendremos que multiplicar numerador y denominador por su expreión conjugada

Ejemplo 20 Dada la función f(x) = x�22�px+2

determina su dominio de de�ni-ción y después estudia el comportamiento de la función para x = �2 y parax = 2

SoluciónSu dominio de de�nición es

D(f) = fx 2 R = x+ 2 � 0g ��x 2 R / 2�

px+ 2 = 0

D(f) = [�2;+1) � f2g = [�2; 2) [ (2;+1)

Ya sabemos que la función es continua en [�2; 2) [ (2;+1)

Para estudiar el comportamiento de la función para x = �2; bastará conestudiar l��m

x!�2+f(x). Veámoslo

l��mx!�2+

f(x) = l��mx!�2+

�x� 2

2�px+ 2

�=�42= �2

La función para x = �2 es continua por la derecha ( H(�2;�2) es el primerpunto de la grá�ca)


Para estudiar el comportamiento de la función para x = 2; calcularemosl��mx!2

f(x)

l��mx!2

f(x) = l��mx!2

�x� 2

2�px+ 2

�=0

0

Al obtener la indeterrminación 00 ; para eliminarla y calcular el límite multi-

plicaremos numerador y denominador por la conjugada del denominador

l��mx!2

x� 22�

px+ 2

= l��mx!2

(x� 2)�2 +

px+ 2

��2�

px+ 2

� �2 +

px+ 2

� == l��m

x!2

(x� 2)�2 +

px+ 2

�4� (x+ 2) = l��m

x!2

(x� 2)�2 +

px+ 2

��x+ 2

Fíjate quex� 2�x+ 2 = �1: Por lo que

= � l��mx!2

�2 +

px+ 2

�= �4

Como

24 No existe f(2)y

l��mx!2

f(x) = �4

35 la función presenta para x = 2 una discontinuidadevitable. La grá�ca de la función y = x�2

2�px+2

coincide con la grá�ca de y =

�2�px+ 2 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas P (2;�4)

4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

x

y

P

H

y = x�22�px+2

Ejemplo 21 Dada la función f(x) = x�21�px+1



F (X)

Solución

Su dominio de de�nición es

D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g ��x 2 R / 1�

px+ 1 = 0

D(f) = [�1;+1) � f0g = [�1; 0) [ (0;+1)




l��mx!�1+

f(x) = l��mx!�1+

�x� 2

1�px+ 1

�=�31= �3

La función para x = �1 es continua por la derecha ( H(�1;�3) es el primerpunto de la grá�ca)


f(x)

l��mx!0

f(x) = l��mx!0

�x� 2

1�px+ 1

�=�20

Al obtener �20 ; sabemos que x = 0 es una asíntota vertical. La función no

es continua para x = 0

Para x = 0 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto in�nito

Para saber la posición de la grá�ca de la función con respecto a esa asíntotavertical, tendemos que estudiar sus límites lateralesw

l��mx!0+

x� 21�

px+ 1

=�20�

= +1

l��mx!0�

x� 21�

px+ 1

=�20+

= �1

Conclusión: x = 0 es una asíntota vertical, de ramas divergentes, de la fun-cion y = x�2

1�px+1


10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

x

y

P

x=0 A.V.

Ejemplo 22 Dada la función f(x) = x1�px+1



D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g ��x 2 R / 1�

px+ 1 = 0

D(f) = [�1;+1) � f0g = [�1; 0) [ (0;+1)




l��mx!�1+

f(x) = l��mx!�1+

�x

1�px+ 1

�=�11= �1

La función para x = �1 es continua por la derecha ( P (�1;�1) es el primerpunto de la grá�ca)


f(x)

l��mx!0

f(x) = l��mx!0

�x

1�px+ 1

�=0

0


F (X)

Al obtener la indeterrminación 00 ; para eliminarla y calcular el límite multi-

plicaremos numerador y denominador por la conjugada del denominador

l��mx!0

�x

1�px+ 1

�= l��m

x!0

x�1 +

px+ 1

��1�

px+ 1

� �1 +

px+ 1

� =l��mx!0

x�1 +

px+ 1

�1� (x+ 1) = l��m

x!0

x�1 +

px+ 1

��x = � l��m

x!0

�1 +

px+ 1

�= �2

Como

24 No existe f(0)y

l��mx!0

f(x) = �2

35 la función presenta para x = 0 una discontinuidadevitable. La grá�ca de la función y = x

1�px+1

coincide con la grá�ca de y =

�1�px+ 1 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas H(0;�2)

4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

x

y

P

H

y = x1�px+1

Ejemplo 23 Dada la función f(x) = 1�px+1x determina su dominio de de�ni-

ción y después estudia el comportamiento de la función para x = �1 y parax = 0


D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g � fx 2 R / x = 0gD(f) = [�1;+1) � f0g = [�1; 0) [ (0;+1)





l��mx!�1+

f(x) = l��mx!�1+

�1�

px+ 1

x

�=�11= �1

La función para x = �1 es continua por la derecha ya que

264 f(1) = �1y

l��mx!�1+

f(x) = 1

375(P (�1;�1) es el primer punto de la grá�ca)


f(x)

l��mx!0

f(x) = l��mx!0

�1�

px+ 1

x

�=0

0

Multiplicando numerador y denominador por 1 +px+ 1

l��mx!0

f(x) = l��mx!0

�1�

px+ 1

� �1 +

px+ 1

�x�1 +

px+ 1

� = l��mx!0

1� (x+ 1)x�1 +

px+ 1

� == l��m

x!0

�xx�1 +

px+ 1

� = � l��mx!0

�1

1 +px+ 1

�= �1

2

Como

24 No existe f(0)y

l��mx!0

f(x) = � 12

35 la función presenta para x = 0 una discon-

tinuidad evitable. La grá�ca de la función y = 1�px+1x coincide con la grá�ca

de y = �11+px+1

si a esta última le quitamos el punto de coordenadas H(0;� 12 )


F (X)

4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

x

y

PH

y = 1�px+1x

Ejemplo 24 Dada la función f(x) =4� 2

px+ 1

x2 � 9 determina su dominio de

de�nición y después estudia el comportamiento de la función para x = �1 ypara x = 3

SoluciónEl dominio de de�nición de esta función

D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g ��x 2 R / x2 � 9 = 0

D(f) = [�1;+1) � f�3; 3g = [�1; 3) [ (3;+1)




l��mx!�1+

f(x) = l��mx!�1+

�4� 2

px+ 1

x2 � 9

�=

4

�8 = �1

2

La función para x = �1 es continua por la derecha

264 f(�1) = � 12

yl��m

x!�1+f(x) = � 1

2

375(P (�1;� 1

2 ) es el primer punto de la grá�ca)


Para estudiar el comportamiento de la función para x = 3; calcularemossu limite

l��mx!3

f(x) = l��mx!3

�4� 2

px+ 1

x2 � 9

�=0

0

Multiplicando numerador y denominador por 4 + 2px+ 1

l��mx!3

f(x) = l��mx!3

�4� 2

px+ 1

� �4� 2

px+ 1

�(x2 � 9)

�4 + 2

px+ 1

� = l��mx!3

16� 4(x+ 1)(x2 � 9)

�4 + 2

px+ 1

� == l��m

x!3

�4x+ 12(x2 � 9)

�4 + 2

px+ 1

� = 1 = l��mx!3

�4(x� 3)(x� 3)(x+ 3)

�4 + 2

px+ 1

� == l��m

x!3

�4(x+ 3)

�4 + 2

px+ 1

� = �46�8 = �

1

12

Como

24 No existe f(3)y

l��mx!3

f(x) = � 112

35 la función presenta para x = 3 una discon-

tinuidad evitable. La grá�ca de la función y =4� 2

px+ 1

x2 � 9 coincide con la

grá�ca de y = �4(x+3)(4+2

px+1)

si a esta última le quitamos el punto de coorde-

nadas H(3;� 112 )

4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

x

y

P

H

y =4� 2

px+ 1

x2 � 9

Ejemplo 25 Sea f(x) =px calcula

l��mx!a

�f(x)� f(a)x� a

�


F (X)

Solución

l��mx!a

f(x)� f(a)x� a = l��m

x!a

px�

pa

x� a = 00

Para eliminar la indeterminación 00 ; multiplicamos numerador y

denominador por la expresión conjugada del numerador

l��mx!a

px�

pa

x� a = l��mx!a

(px�

pa) (px+

pa)

(x� a) (px+

pa)

=

= l��mx!a

x� a(x� a) (

px+

pa)= l��m

x!a

1

(px+

pa)=

1

2pa

Ejemplo 26 Sea f(x) = 1pxcalcula l��m

x!a

�f(x)� f(a)x� a

�Solución

l��mx!a

f(x)� f(a)x� a = l��m

x!a

1px� 1p

a

x� a =

= l��mx!a

pa�

pxp

apx

x� a = l��mx!a

pa�

pxp

ax (x� a) =0

0

Para eliminar la indeterminación 00 ; multiplicamos numerador y

denominador por la expresión conjugada del numerador

l��mx!a

pa�

pxp

ax (x� a) = l��mx!a

(pa�

px) (

pa+

px)p

ax (x� a) (pa+

px)=

= l��mx!a

a� xpax (x� a) (

pa+

px)

Ahora fíjate que a�xx�a = �1 con lo que

= l��mx!a

�1pax (

pa+

px)= � 1

a (2pa)= � 1

2apa

1.4.1. Ejercicios

Ejercicio 27 Dada la siguiente función y = 3�p2x+3

4�p5x+1

calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites

a) l��mx!� 1

5+

�3�

p2x+ 3

4�p5x+ 1

�b) l��m

x!3

3�p2x+ 3

4�p5x+ 1


Ejercicio 28 Dada la siguiente función y = x2�4x+4px+2�2 calcula su dominio de


a) l��mx!�2+

�x2 � 4x+ 4px+ 2� 2

�b) l��m

x!2

�x2 � 4x+ 4px+ 2� 2

�

Ejercicio 29 Dada la siguiente función y = �x2+3x�22px+3�4 calcula su dominio de


a) l��mx!�3+

�x2 + 3x� 22px+ 3� 4

b) l��mx!1

�x2 + 3x� 22px+ 3� 4

Ejercicio 30 Dada la siguiente función y = 4�p5x+1

3�p2x+3

calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites

a) l��mx!� 1

5+

�4�

p5x+ 1

3�p2x+ 3

�b) l��m

x!3

�4�

p5x+ 1

3�p2x+ 3

�

Ejercicio 31 Dada la siguiente función y =px+2�2

x2�4x+4calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites

a) l��mx!�2+

�px+ 2� 2

x2 � 4x+ 4

�b) l��m

x!2

�px+ 2� 2

x2 � 4x+ 4

�

Ejercicio 32 Dada la siguiente función y =px+3�2

�x2+3x�2calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites

a) l��mx!�3+

� px+ 3� 2

�x2 + 3x� 2

�b) l��m

x!1

� px+ 3� 2

�x2 + 3x� 2

�c) l��m

x!1

� px+ 3� 2

�x2 + 3x� 2

�


F (X)

1.5. Límite de la suma o resta de funciones

Para calcular l��mx!a

(f(x) + g(x) tendremos presente la siguiente tabla

l��mx!a

f(x)

b +1 �1

c b+ c

�+1

x = a A:V

� ��1

x = a A:V

�l��mx!a

g(x) +1�

+1x = a A:V

� �+1

x = a A:V

�Ind

�1�

�1x = a A:V

�Ind

��1

x = a A:V

�cuando nos aparezca "1 � 1" diremos que es una indeterminación. No

podremos evaluar directamente el límite; ya que éste dependerá de las funcionesf y g que intervangan. Para eliminar la indeterminación operaremos y ...

1.5.1. Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 33 Calcula l��mx!3

hx2�5xx+1 � 1

x+5

iSoluciónCalculamos por separado cada límite

l��mx!3

x2 � 5xx+ 1

= �32

l��mx!3

1

x+ 5=

1

8

Por lo que

l��mx!3

�x2 � 5xx+ 1

� 1

x+ 5

�= �3

2� 18= �13

8

Ejemplo 34 Calcula l��mx!3+

hx2�5xx+1 � 1

3�x


l��mx!3+

x2 � 5xx+ 1

= �32

l��mx!3+

1

3� x =1

0�= �1

Por lo que:

l��mx!3+

�x2 � 5xx+ 1

� 1

3� x

�= �3

2� (�1) = �3

2+1 = +1

1.5. LÍMITE DE LA SUMA O RESTA DE FUNCIONES 35

Ejercicio 35 Calcula tú l��mx!3�

hx2�5xx+1 � 1

3�x

iEjemplo 36 Calcula l��m

x!2+

hx�3x�2 �

4(x�3)2


l��mx!2+

x� 3x� 2 =

�10+

= �1

l��mx!2+

4

(x� 2)2=

4

0+= +1

Por lo que:

l��mx!2+

"x� 3x� 2 �

4

(x� 2)2

#= �1� (+1) = �1�1 = �1

Ejercicio 37 Calcula l��mx!2�

hx�3x�2 �

4(x�2)2

i¿Cuál es el valor del l��m

x!2

hx�3x�2 �

4(x�3)2

i?


hx�3x�2 +

4(x�2)2


l��mx!2+

x� 3x� 2 =

�10+

= �1

l��mx!2+

4

(x� 2)2=

4

0+= +1

Por lo que:

l��mx!2+

"x� 3x� 2 +

4

(x� 2)2

#= �1+ (+1) = �1+1 Indeterminación

Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones re-duciéndola a común denominador

l��mx!2+

"x� 3x� 2 +

4

(x� 2)2

#= l��m

x!2+

"(x� 3) (x� 2)(x� 2)2

+4

(x� 2)2

#=

= l��mx!2+

"x2 � 5x+ 10(x� 2)2

#=

4

0+= +1


hx�3x�2 +

4(x�2)2

i¿Cuál es el valor del l��m

x!2

hx�3x�2 +

4(x�2)2

i?


F (X)

Ejemplo 40 Calcula l��mx!2�

hx+3x�2 �

5x�10(x�2)2


l��mx!2�

x+ 3

x� 2 =5

0�= �1

l��mx!2�

5x� 10(x� 2)2

=0

0! l��m

x!2�

5 (x� 2)(x� 2)2

= l��mx!2�

5

(x� 2) =5

0�= �1

Por lo que:

l��mx!2�

"x+ 3

x� 2 �5x� 10(x� 2)2

#= �1� (�1) = �1+1 Indeterminación


l��mx!2�

"x+ 3

x� 2 �5x� 10(x� 2)2

#= l��m

x!2�

�x+ 3

x� 2 �5

(x� 2)

�=

= l��mx!2+

�x� 2x� 2

�= l��m

x!2+1 = 1

Ejercicio 41 Calcula l��mx!2+

hx+3x�2 �

5x�10(x�2)2

i. ¿Cuál es el valor del l��m

x!2

hx+3x�2 �

5x�10(x�2)2

i?

Observa que:La grá�ca de y = x+3

x�2 �5x�10(x�2)2 coincide con la función constante y = 1 si le

quitamos el punto P (2; 1)


hx+2x�1 �

x+11(x�1)(x+3)


l��mx!1+

x+ 2

x� 1 =3

0+= +1

l��mx!1+

x+ 11

(x� 1) (x+ 3) =12

0+�2 =6

0+= +1

Por lo que:

l��mx!1+

�x+ 2

x� 1 �x+ 11

(x� 1) (x+ 3)

�= +1� (+1) =1�1 Indeterminación

1.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES 37


l��mx!1+

�x+ 2

x� 1 �x+ 11

(x� 1) (x+ 3)

�= l��m

x!1+

�(x+ 2) (x+ 3)

(x� 1) (x+ 3) �(x+ 11)

(x� 1) (x+ 3)

�=

= l��mx!1+

�x2 + 5x+ 6� x� 11(x� 1) (x+ 3)

�= l��m

x!1+

�x2 + 4x� 5(x� 1) (x+ 3)

�=0

0

Factorizando el numerador y simpli�cando

= l��mx!1+

�x2 + 4x� 5(x� 1) (x+ 3)

�= l��m

x!1+

�(x+ 5) (x� 1)(x� 1) (x+ 3)

�=

= l��mx!1+

�x+ 5

x+ 3

�=6

4=3

2

Ejercicio 43 l��mx!1�

hx+2x�1 �

x+11(x�1)(x+3)

i: ¿Cuál es el valor del l��m

x!1

hx+2x�1 �

x+11(x�1)(x+3)

i?

Observa que:La grá�ca de y = x+2

x�1 �x+11

(x�1)(x+3) coincide con la función constante y =x+5x+3

si le quitamos el punto P (1; 32 )

1.6. Límite del producto de dos funciones


(f(x)�g(x) tendremos presente la siguiente tabla

l��mx!a

f(x)

b 6= 0 0 +1 �1

c 6= 0 b�c 0

24 +1 si c > 0�1 si c < 0x = a A:V

35 24 �1 si c > 0+1 si c < 0x = a A:V

35l��mx!a

g(x) 0 0 0 Ind Ind

+1

24 +1 si b > 0�1 si b < 0x = a A:V

35 Ind�

+1x = a A:V

� ��1

x = a A:V

�

�1

24 �1 si b > 0+1 si b < 0x = a A:V

35 Ind�

+1x = a A:V

� �+1

x = a A:V

�

Cuando nos aparezca "0�1" diremos que es una indeterminación. No po-dremos evaluar directamente el límite; ya que éste dependerá de las funciones fy g que intervengan. Para eliminar la indeterminación operaremos y ...



hx2�5xx+1

�3� 1

x+5

�i


F (X)

SoluciónCalculamos por separado cada límite

l��mx!3

x2 � 5xx+ 1

= �32

l��mx!3

�3� 1

x+ 5

�= 3� 1

8=23

3

Por lo que

l��mx!3

�x2 � 5xx+ 1

�3� 1

x+ 5

��= �3

2

�23

8

�= �69

16

Ejercicio 45 l��mx!4

hx2�9x+1

�1� 1

(x�3)2

�iEjercicio 46 Calcula l��m

x!�1+

hx2�9x+1

�1� 1

(x�3)2


x!�1�

hx2�9x+1

�1� 1

(x�3)2

�iEjemplo 48 Calcula l��m

x!3+

hx2�9x+1

�1� 1

(x�3)2

�iSoluciónCalculamos por separado cada límite

l��mx!3+

x2 � 9x+ 1

= 0

l��mx!3+

�1� 1

(x� 3)2

�= 1� 1

0+= 1�1 = �1

Por lo que

l��mx!3+

�x2 � 9x+ 1

�1� 1

(x� 3)2

��= "0�1"

Calculando�x2 � 9x+ 1

�1� 1

(x� 3)2

��=x2 � 9x+ 1

x2 � 6x+ 8(x� 3)2

=

=(x� 3)(x+ 3)

x+ 1

x2 � 6x+ 8x+ 5

Así pues

l��mx!3+

�x2 � 9x+ 1

�1� 1

(x� 3)2

��= l��m

x!3+

"(x� 3)(x+ 3)

�x2 � 6x+ 8

�(x+ 1) (x+ 5)

#=0

0

simpli�cando la fracción resultante

= l��mx!3+

"(x� 3)(x+ 3)

�x2 � 6x+ 8

�(x+ 1) (x� 3)2

#= l��m

x!3+

"(x+ 3)

�x2 � 6x+ 8

�(x+ 1) (x� 3)

#=

�64�0+ �1

1.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES 39

Ayuda: El dominio de de�nición de f(x) = g(x)�h(x) donde g(x) = x2�9x+1

(D(g) = R � f�1g) y h(x) = 1� 1(x�3)2 (D(h) = R � f3g)es

D(f) = D(g) \D(h) = R � f�1; 3g

La grá�ca de y = x2�9x+1

�1� 1

(x�3)2

�es la misma que la de y =

(x+3)(x2�6x+8)(x+1)(x�3)

ya que ambos dominios son iguales


hx2�9x+1

�1� 1

(x�3)2


x!2

hx+3x+2

�1� 3x�5

x�1


x!2�

h3

(x�2)2

�1� 3x�5

x�1


x!1+

hx+3(x�1)2

�x+34x � 1

�iSoluciónCalculando cada límite por separado

l��mx!1+

x+ 3

(x� 1)2=

4

0+= +1

l��mx!1+

�x+ 3

4x� 1�= 0

Con lo que

l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2�x+ 3

4x� 1�#

= "0�1"

Para eliminar la indeterminación operaremos lo de dentro del límite

l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2�x+ 3

4x� 1�#

= l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2��3x+ 34x

�#= l��m

x!1+

"(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)2

#=0

0

Factorizando numerador y denominador

l��mx!1+

"(�3x+ 3) (x+ 3)4x (x� 1)2

#= l��m

x!1+

"�3 (x� 1) (x+ 3)4x (x� 1)2

#= l��m

x!1+

�3(x+ 3)4x(x� 1) =

�124�0+ =

�30+

= �1


hx+3(x�1)2

�x+34x � 1

�iObserva que:La grá�ca de y = x+3

(x�1)2�x+34x � 1

�es la misma que la de y = �3(x+3)

4x(x�1) ya queambos dominios son iguales


F (X)


hx+3(x�1)2

�x+34x � 1

�iy l��mx!0�

hx+3(x�1)2

�x+34x � 1


x!1+

hx+3x�1

�x+34x � 1

�iSoluciónCalculando cada límite por separado

l��mx!1+

x+ 3

x� 1 =4

0+= +1

l��mx!1

�x+ 3

4x� 1�= 0

Con lo que

l��mx!1+

�x+ 3

(x� 1)

�x+ 3

4x� 1��

= "0�1"

Para eliminar la indeterminación operaremos lo de dentro del límite

l��mx!1+

�x+ 3

x� 1

�x+ 3

4x� 1��

= l��mx!1+

�x+ 3

x� 1

��3x+ 34x

��= l��m

x!1+

�(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)

�=0

0


l��mx!1+

�(�3x+ 3) (x+ 3)

4x (x� 1)

�= l��m

x!1+

��3 (x� 1) (x+ 3)

4x (x� 1)

�= l��m

x!1+

�3(x+ 3)4x

= �3

Ejercicio 56 l��mx!1�

hx+3(x�1)

�x+34x � 1

�iObserva que:Ayuda: El dominio de de�nición de f(x) = g(x)�h(x) donde g(x) = x+3

(x�1)(D(g) = R � f1g) y h(x) =

�x+34x � 1

�(D(h) = R � f0g)es

D(f) = D(g) \D(h) = R � f0; 1g

La grá�ca de y = x+3(x�1)

�x+34x � 1

�es la misma que la de y = �3(x+3)

4x ; peroquitándole el punto P (1;�3)

1.7. Límite del cociente de dos funciones


f(x)g(x) � tendremos presente la siguiente tabla

l��mx!a

f(x)

b 6= 0 0 +1 �1

c 6= 0 b

c0

24 +1 si c > 0�1 si c < 0x = a A:V

35 24 �1 si c > 0+1 si c < 0x = a A:V

35l��mx!a

g(x) 0x = a A.V

calculan límites lateralesInd

x = a A.Vcalculan límites laterales

x = a A.Vclculan límites laterales

+1 0 0 Ind Ind�1 0 0 Ind Ind

1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES 41

No podremos evaluar directamente el límite cuando nos aparezcan las in-determinaciones 0

0 o11 ; ya que éste dependerá de las funciones f y g que

intervengan.

Cuando nos aparezca la indeterminación " 00" factorizaremos al máximo

la fracción f(x)g(x) y simpli�caremos En esta última situación, si aparece al

menos un binomio que contenga alguna raíz cuadrada, primero multipli-caremos numerador y denominador por su expresión conjugada y, despuésintentaremos factorizar al máximo.

Cuando aparezca la indeterminación "11"operaremos la fracción.



h3x+2x+3 :

2x�1x+1

iSolución:

Como

264 l��mx!2

3x+2x+3 =

85

yl��mx!2

2x�1x+1 = 1

375; entoncesl��mx!2

�3x+ 2

x+ 3:2x� 1x+ 1

�=8

5: 1 =

8

5

Conclusión: La función para x = 2 es continua; ya que

f(2) = 85

y

l��mx!2

h3x+2x+3 :

2x�1x+1

i= 8

5


hx+4x�1 :

x�2x+3

i. ¿La función es continua para x = 2?

Solución:

Como

264 l��mx!2

x+4x�1 = 6

yl��mx!2

x�2x+3 = 0


�x+ 4

x� 1 :x� 2x+ 3

�=6

0

Ya sabemos que x = 2 es una asíntota vertical de la función y = x+4x�1 :

x�2x+3 .

Tendremos que estudiar los límites laterales

l��mx!2+

�x+ 4

x� 1 :x� 2x+ 3

�= l��m

x!2+

�(x+ 4) (x+ 3)

(x� 1) (x� 2)

�=

30

1�0+ = +1

l��mx!2�

�x+ 4

x� 1 :x� 2x+ 3

�= l��m

x!2�

�(x+ 4) (x+ 3)

(x� 1) (x� 2)

�=

30

1�0� = �1


F (X)

Conclusión: La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas divergentesde la función La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable desalto in�nitoAyuda Al ser f(x) = g(x)

t(x) donde g(x) =x+4x�1 (D(g) = R � f1g) y t(x) =

x�2x+3

(D(t) = R � f�3g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / x� 2

x+ 3= 0

�=

[(R � f1g) \ (R � f�3g)] � f2g = R � f�3; 1; 2g

Nota: La grá�ca de la función y = x+4x�1 : x�2

x+3 coincide con la de y =(x+4)(x+3)(x�1)(x�2) quitándole el punto P (�3; 0) (Compruébalo)


hx�32x+1 :

�5x+15x+2

i. ¿La función es continua para x =3?

Solución:

Como

264 l��mx!3

x�32x+1 = 0

yl��mx!3

�5x+15x+2 = 0


�x� 32x+ 1

:�5x+ 15x+ 2

�=0

0

Operando y simpli�cando [�5x+ 15 = �5(x� 3)]

l��mx!3

�(x� 3) (x+ 2)

(2x+ 1) (�5x+ 15)

�= l��m

x!3

�(x� 3) (x+ 2)

�5 (2x+ 1) (x� 3)

�=

l��mx!3

�(x+ 2)

�5 (2x+ 1)

�=

5

�35 = �1

7

Ayuda Al ser f(x) = g(x)t(x) donde g(x) =

x�32x+1 (D(g) = R �

�� 12

) y

t(x) = �5x+15x+2 (D(t) = R � f�2g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / �5x+ 15

x+ 2= 0

�=��

R ��12

��\ (R � f�2g)

�� f3g = R �

��2;�1

2; 3

�Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable;

puesto queno existe f(3)

y9 l��mx!3

f(x) = � 17

La grá�ca de y= x�32x+1 :

�5x+15x+2 es la misma que la de y = (x+2)

�5(2x+1) pero

quitándole el punto P (3;� 17 ) y también el punto Q(�2; 0) (Compruébalo)



h(x�3)2x+1 : x�3x+3

i. ¿La función es continua para x =3?

Solución:

Como

264 l��mx!3

(x�3)2x+1 = 0

yl��mx!3

x�3x+3 = 0

375; entonces

l��mx!3

"(x� 3)2

x+ 1:x� 3x+ 3

#=0

0

Operando y simpli�cando

l��mx!3

"(x+ 3) (x� 3)2

(x+ 1) (x� 3)

#= l��m

x!3

�(x� 3) (x+ 3)

(x+ 1)

�=

l��mx!3

"�x2 � 9

�(x+ 1)

#= 0


(x�3)2x+1 (D(g) = R � f�1g) y

t(x) = x�3x+3 (D(t) = R � f�3g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / x� 3

x+ 3= 0

�=

[(R � f�1g) \ (R � f�3g)] � f3g = R � f�3;�1; 3g

Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable;puesto que

no existe f(3)y

9 l��mx!3

f(x) = 0

La grá�ca de y = (x�3)2x+1 : x�3

x+3 es la misma que la de y =(x2�9)(x+1) pero

quitándole el punto P (3; 0) y también el punto Q(�3; 0) (Compruébalo)

Ejemplo 61 Calcula l��mx!�2

hx+2x+1 :

(x+2)2

x+3

i. ¿La función es continua para x =

�2?

Solución:

Como

2664l��mx!�2

x+2x+1 = 0

y

l��mx!�2

(x+2)2

x+3 = 0

3775; entonces

l��mx!�2

"x+ 2

x+ 1:(x+ 2)

2

x+ 3

#=0

0


F (X)


l��mx!�2

"x+ 2

x+ 1:(x+ 2)

2

x+ 3

#= l��m

x!�2

"(x+ 3) (x+ 2)

(x+ 1) (x+ 2)2

#=

l��mx!�2

�(x+ 3)

(x+ 1) (x+ 2)

�=

1

0

Ya sabemos que x = �2 es una asíntota vertical de la función y = x+2x+1 :

(x+2)2

x+3 . Tendremos que estudiar los límites laterales

l��mx!�2+

�(x+ 3)

(x+ 1) (x+ 2)

�=

1

�1�0+ =1

0�= �1

l��mx!�2�

�(x+ 3)

(x+ 1) (x+ 2)

�=

1

�1�0� =1

0+= +1

Conclusión: La recta x = �2 es una asíntota vertical de ramas divergentesde la función La función presenta para x = �2 una discontinuidad inevitable desalto in�nitoAyuda Al ser f(x) = g(x)

t(x) donde g(x) =x+2x+1 (D(g) = R � f�1g) y t(x) =

(x+2)2

x+3 (D(t) = R � f�3g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) �(x 2 R / (x+ 2)

2

x+ 3= 0

)=

[(R � f�1g) \ (R � f�3g)] � f�2g = R � f�3;�2;�1g

NOTA: La grá�ca de y = x+2x+1 :

(x+2)2

x+3 coincide con la de y = (x+3)(x+1)(x+2)

pero si le quitamos el punto P (�3; 0)

Ejemplo 62 Calcula

2664l��mx!1+

hx+3(x�1)2 :

x+5x�1

iy

l��mx!1�

hx+3(x�1)2 :

x+5x�1

i3775 ¿La función es continua para

x = 1?

Solución:

Calculemos primero l��mx!1+

hx+3(x�1)2 :

x+5x�1

i

Como

264 l��mx!1+

x+3(x�1)2 =

40+ = +1

yl��mx!1+

x+5x�1 =

60+ = +1

375; entonces

l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2:x+ 5

x� 1

#=+1+1



l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2:x+ 5

x� 1

#= l��m

x!1+

"(x+ 3) (x� 1)(x� 1)2 (x+ 5)

#=

l��mx!1+

�(x+ 3)

(x� 1) (x+ 5)

�=

4

0+�6 =4

0+= +1


hx+3(x�1)2 :

x+5x�1

i

Como

264 l��mx!1�

x+3(x�1)2 =

40� = �1

yl��mx!1�

x+5x�1 =

60� = �1

375; entoncesl��mx!1�

"x+ 3

(x� 1)2:x+ 5

x� 1

#=�1�1


l��mx!1�

"x+ 3

(x� 1)2:x+ 5

x� 1

#= l��m

x!1�

"(x+ 3) (x� 1)(x� 1)2 (x+ 5)

#=

l��mx!1�

�(x+ 3)

(x� 1) (x+ 5)

�=

4

0��6 =4

0�= �1

Conclusión: La recta x = 1 es una asíntota vertical, de ramas divergentes,dela función.. Ésta presenta para x = 1 una discontinuidad inevitable de saltoin�nito.Ayuda Al ser f(x) = g(x)

t(x) donde g(x) =x+3(x�1)2 (D(g) = R � f1g) y t(x) =

x+5x�1 (D(t) = R � f1g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / x+ 5

x� 1 = 0�=

[R � f1g] � f�5g = R � f�5; 1g

NOTA: La grá�ca de y = x+3(x�1)2 :

x+5x�1 coincide con la de y =

(x+3)(x�1)(x+5)


hx+2(x�4)2 :

x+3(2x�8)2

i¿La función es continua para x =

1?

Solución:

Como

264 l��mx!4

x+2(x�4)2 =

60+ = +1

yl��mx!4

x+3(2x�8)2 =

70+ = +1


"x+ 2

(x� 4)2:

x+ 3

(2x� 8)2

#=+1+1


F (X)

Operando y simpli�cando ((2x� 8)2 = [2(x� 4)]2 = 4(x� 4)2)

l��mx!4

"x+ 2

(x� 4)2:

x+ 3

(2x� 8)2

#= l��m

x!4

"(x+ 2) (2x� 8)2

(x� 4)2 x+ 3

#=

l��mx!4

"(x+ 2) 4(x� 4)2

(x� 4)2 (x+ 3)

#= l��m

x!4

�4 (x+ 2)

(x+ 3)

�=24

7


x+2(x�4)2 (D(g) = R � f4g) y t(x) =

x+3(2x�8)2 (D(t) = R � f4g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) �(x 2 R / x+ 3

(2x� 8)2= 0

)=

[R � f4g] � f�3g = R � f�3; 4g


no existe f(4)y

9 l��mx!4

f(x) = 247

La grá�ca de y = x+2(x�4)2 :

x+3(2x�8)2 es la misma que la de y =

4(x+2)(x+3) pero

quitándole el punto P (4; 247 )

Ejemplo 64 Calcula

2664l��mx!5+

hx+1x�5 :

x+2(x�5)2

iy

l��mx!5+

hx+1x�5 :

x+2(x�5)2

i3775 ¿La función es continua para

x = 1?

Solución:Calculemos primero l��m

x!5+

hx+1x�5 :

x+2(x�5)2

iComo

264 l��mx!5+

x+1x�5 =

60+ = +1

yl��mx!5�

x+2(x�5)2 =

70+ = +1

375; entonces

l��mx!5+

"x+ 1

x� 5 :x+ 2

(x� 5)2

#=+1+1


l��mx!5+

"x+ 1

x� 5 :x+ 2

(x� 5)2

#= l��m

x!5+

�(x+ 1) (x� 5)

x+ 2

�= 0



hx+1x�5 :

x+2(x�5)2

iComo

264 l��mx!5�

x+1x�5 =

60� = �1

yl��mx!5�

x+2(x�5)2 =

70+ = +1

375; entonces

l��mx!5�

"x+ 1

x� 5 :x+ 2

(x� 5)2

#=�1+1


l��mx!5�

"x+ 1

x� 5 :x+ 2

(x� 5)2

#= l��m

x!5�+

�(x+ 1) (x� 5)

x+ 2

�= 0


x+1x�5 (D(g) = R � f5g) y t(x) =

x+2(x�5)2 (D(t) = R � f5g) , su dominio de de�nición será

D(f) = D(g) \D(t) �(x 2 R / x+ 2

(x� 5)2= 0

)=

[R � f5g] � f�2g = R � f�2; 5g


no existe f(5)y

9 l��mx!3

f(5) = 0

La grá�ca de y = x+1x�5 :

x+2(x�5)2 es la misma que la de y =

(x+1)(x�5)x+2 pero

quitándole el punto P (5; 0)


F (X)

1.8. Límites de funciones exponenciales, poten-ciales y potenciales exponenciales

Vamos a explicar todas las situaciones posibles para poder calcular los sigu-ientes límites

l��mx!b

[f(x)]g(x) donde l��m

x!bf(x) =

8>><>>:0+

a donde a 2 R+ � f1g1+1

Si el l��mx!b

f(x) = a; Es conveniente recordar las siguientes grá�cas

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

y = ax si a > 1

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

y = ax si 0 < a < 1

Las cuales nos permitirán a�rmar

Si a > 1 Si 0 < a < 1a+1 = +1 a+1 = 0+

a�1 = 0+ a�1 = +1Veamos ahora algunas situaciones concretas con los símbolos matématicos+1 y �1

Recuerda que

Si k > 0 Si k < 0k+1 = 0+ k

+1 = 0�

k�1 = 0� k

�1 = 0+

Si k > 0 Si k < 0(+1)k = +1 (+1)k = 0

(+1)+1 = +1 (+1)�1 = 0+

1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES49

Veamos ahora algunas situaciones con el 0

Si k > 0 Si k < 0(0+)

k= 0+ (0+)

k= +1

(0+)+1

= 0+ (0+)�1

= +1

Cuando nos aparezcan las siguientes situaciones:

(+1)0 ; 00 ,1+1; y 1�1

diremos que son indeterminaciones (no se puede deducir directamente elresultado). Más adelante ya veremos como se resuelven.

En este curso sólo explicaremos como eliminar la indeterminación 11 ,dejando para segundo de bachiller las otras indeterminaciones.

Nota 1: El dominio de de�nición de la función potencial,h(x) =[f(x)]

k donde k 2 R � f0g, es

D(h) = D(f)

Nota 2: El dominio de de�nición de la función exponencial,h(x) =[k]

f(x) donde k 2 R+ � f1g, es

D(h) = D(f)

Nota 3: El dominio de de�nición de la función potencial- expo-nencial ,h(x) = [f(x)]g(x), es:

D(h) = fx 2 R / f(x) > 0g \ D(g)

Ejemplo 65 Dada la función y = 21x calcula su dominio de de�nición y los

siguientes límites laterales

l��mx!0+

21x

l��mx!0�

21x

SoluciónEl dominio de de�nción de esta función es

D(f) = R � f0g

La función es continua en todo punto de su dominio¿Qué ocurre con la función en los alrededores de x = 0?Para saberlo, determinamos sus límites laterales

l��mx!0+

21x = 2

1

0+ = 2+1 = +1

l��mx!0�

21x = 2

1

0� = 2�1 = 0+


F (X)

La función no es continua para x = 0. Presenta una discontinuidad inevitablede salto in�nito; ya que la recta x = 0 es una asíntota vertical de la función (ala derecha de dicho valor).Por otro lado; para valores de x que se aproximan a 0 por la izquierda, los

valores de sus y correspondientes tienden a aproximarse a cero por arriba.Mira su grá�ca

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

5

6

x

y

x=0 A. Vertical

y=1 A. Horizontal

Nota: El conjunto imagen de esta función es

Im f = (0; 1) [ (1;+1)

Más adelante podrás comprobar que la recta y = 1 es una asíntota horizontalde la función

Ejercicio 66 Haz lo mismo que antes para la función y =�12

� 1x

Ejemplo 67 Dada la función y =�23

� 1x calcula su dominio de de�nición y los

siguientes límites laterales

l��mx!2+

�2

3

� 1x�2

l��mx!2�

�2

3

� 1x�2

SoluciónEl dominio de de�nción de esta función es

D(f) = R � f2g


La función es continua en todo punto de su dominio¿Qué ocurre con la función en los alrededores de x = 2?Para saberlo, determinamos sus límites laterales

l��mx!2+

�2

3

� 1x�2

=

�2

3

� 1

0+

=

�2

3

�+1= 0+

l��mx!2�

�2

3

� 1x�2

=

�2

3

� 1

0�

=

�2

3

��1= +1

La función no es continua para x = 2. Presenta una discontinuidad inevitablede salto in�nito; ya que la recta x = 2 es una asíntota vertical de la función (porla izquierda de dicho valor).Por otro lado; para valores de x que se aproximan a 0 por la derecha, los

valores de sus y correspondientes tienden a aproximarse a cero por arriba.

Mira su grá�ca y =�23

� 1x�2

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

5

6

x

y

x=2 A. Vertical

y=1 A. Horizontal

y =�23

� 1x�2

1.8.1. Ejercicios

Ejercicio 68 Dada la la función y =�53

� 1x+2 determina su dominio y los sigu-

ientes límites laterales

l��mx!2+

�5

3

� 1x+2

l��mx!2�

�5

3

� 1x+2


F (X)

Ejercicio 69 Dada la función y =�x�2x�1

�2calcula su dominio de de�nición y

después estudia los siguientes límites

a) l��mx!1+

�x� 2x� 1

�2b) l��m

x!1+

�x� 2x� 1

�2Ayuda: D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)

Ejercicio 70 Dada la función y =�x�1x�2



a) l��mx!2+

�x� 1x� 2

�2b) l��m

x!2+

�x� 1x� 2

�2Ejercicio 71 Dada la función y =

�x�1x�2



a) l��mx!2+

�x� 1x� 2

�3b) l��m

x!2+

�x� 1x� 2

�3Ejercicio 72 Dada la función y =

�x�2x�1



a) l��mx!1+

�x� 2x� 1

�3b) l��m

x!1+

�x� 2x� 1

�3Ejercicio 73 Calcula los siguientes límites

a) l��mx!3

(2x+ 2)1

(x�3)2 b) l��mx!3

( 12x+1 )

1(x�3)2 c) l��m

x!23

1x�2

d) l��mx!1

( 13 )1

(x�1)2 e) l��mx!5

( 12 )1

5�x f) l��mx!0

( 1x2 )x+3

g) l��mx!2

�(x� 2)2

�xh) l��m

x!2

�(x� 2)2

�x�5i) l��m

x!1

�(x� 1)4

� 1(x�1)2

j) l��mx!1

�(x� 1)2

� �3(x�1)4 k) l��m

x!2(2x+ 1)x�3


Solución

a) l��mx!3

(2x+ 2)1

(x�3)2 = 81

0+ = 8+1 = +1

b) l��mx!3

( 12x+1 )

1(x�3)2 =

�17

� 1

0+ = 7�10+ = 7�1 = 0+

c) l��mx!2

31

x�3 = 310 . Tenemos que estudiar los límites laterales para saber el

comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda del 2

l��mx!2+

31

x�2 = 31

0+ = 3+1 = +1

l��mx!2

31

x�2 = 31

0� = 3�1 = 0+

d) l��mx!1

( 13 )1

(x�1)2 =�13

� 1

0+ = 31

0+ = 3+1 = +1

e) l��mx!5

( 12 )1

5�x = (12 )10 . Tenemos que estudiar los límites laterales para saber

el comportamineto de la función a la derecha y a la izquierda del 5

l��mx!5+

(1

2)

15�x = (

1

2)

1

0� = 2�10� = 2+1 = +1

l��mx!5�

(1

2)

15�x = (

1

2)

1

0+ = 2�10+ = 2�1 = 0+

f) l��mx!0

( 1x2 )x+3 =

�10+

�3= (+1)3 = +1

g) l��mx!2

�(x� 2)2

�x= (0+)

4= 0+

h) l��mx!2

�(x� 2)2

�x�5= (0+)

�3= 1

(0+)3= 1

0+ = +1

i) l��mx!1

�(x� 1)4

� 1(x�1)2 = (0+)

1

0+ = (0+)+1

= 0+

l��mx!1

�(x� 1)2

� �3(x�1)4 = (0+)

�30+ = (0+)

�1= +1

k) l��mx!2

(2x+ 1)x�3 = 5�1 = 15

Ejercicio 74 Calcula l��mx!0+

�x+34x

� x+3

(x�1)2 y l��mx!0�

�x+34x

� x�3(x�1)2

Ejercicio 75 Dada la función f(x) = xx su dominio de de�nición es

D(f) = (0;+1)


F (X)

Fíjate bien en la siguiente tabla de valores para esta función

f

0BBBBBBBB@

x0;20;10;010;0010;00010;00001

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBB@

xx

0;724 779 663 70;794 328 234 70;954 992 5860;993 116 048 40;999 079 390 00;999 884 877 4

1CCCCCCCCAFíjate que l��m

x!0+xx presenta la indeterminación 00¿Cuál crees que es el valor

de l��mx!0+

xx observando la tabla anterior?

Ejercicio 76 Dada la función h(x) =�x+34x

� 1x�1 cuyo dominio es D(h) =

(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores

h

0BBBBBBBB@

x1;11;011;0011;00011;000011;000001

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBB@

�x+34x

� 1x�1

0;493 528 005 90;474 570 513 80;472 587 871 50;472 388 693 90;472 368 766 90;472 366 774 2

1CCCCCCCCAh

0BBBBBBBB@

x0;90;990;9990;99990;999990;999999

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBB@

�x+34x

� 1x�1

0;449 137 107 10;470 141 971 20;472 145 027 80;472 344 409 50;472 364 338 50;472 366 331 3

1CCCCCCCCAObserva que al calcular

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� 1x�1

= 11

0+ = 1+1

y

l��mx!1�

�x+ 3

4x

� 1x�1

= 11

0� = 1�1

Obtenemos la indeterminación11. ¿Crees que tiene límite la función para x =1? Calcula el siguiente valor e�

34 y cómpáralo con los valores obtenidos en la

tabla

Ejercicio 77 Dada la función j(x) =�x+34x

� x+3x�1 cuyo dominio es D(j) = (�:1;�3)[

(0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores

j

0BBBBBBBB@

x1;11;011;0011;00011;000011;000001

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBB@

�x+34x

� x+3x�1

5: 528 131 810� 10�25: 034 612 055� 10�24: 984 306 832� 10�24: 979 266 931� 10�24: 978 762 847� 10�24: 978 712 438� 10�2

1CCCCCCCCAj

0BBBBBBBB@

x0;90;990;9990;99990;999990;999999

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBB@

�x+34x

� x+3x�1

4: 408 368 149� 10�24: 922 591 589� 10�24: 973 104 742� 10�24: 978 146 722� 10�24: 978 650 826� 10�24: 978 701 236� 10�2

1CCCCCCCCA


Observa que al calcular

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3x�1

= 14

0+ = 1+1

y

l��mx!1�

�x+ 3

4x

� x+3x�1

= 14

0� = 1�1

Obtenemos la indeterminación11. ¿Crees que tiene límite la función para x =1? Calcula el siguiente valor e�3 y cómparalo con los valores obtenidos en latabla

Ejercicio 78 Dada la función r(x) =�x+34x

� x+3

(x�1)2 cuyo dominio es D(r) =(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores

r

0BBBBBBBB@

x1;11;011;0011;00011;000011;000001

1CCCCCCCCA= :

0BBBBBBBB@

�x+34x

� x+3

(x�1)2

2: 665 531 970� 10�131: 572 537 946� 10�1304: 025 032 916� 10�13034: 509 075 985� 10�130291: 393 178 143� 10�1302881: 103 751 153� 10�1302883

1CCCCCCCCAr

0BBBBBBBB@

x0;90;990;9990;99990;999990;999999

1CCCCCCCCA:

0BBBBBBBB@

�x+34x

� x+3

(x�1)21

(x�1)2 (x+3)

3: 607 625 442� 10136: 034 196 843� 101302: 357 185 322� 1013032: 104 141 956� 10130296: 810 138 307� 101302888: 595 901 179� 101302883

1CCCCCCCCA: :


l��mx!1

�x+ 3

4x

� x+3

(x�1)2

= 14

0+ = 1+1

y

l��mx!1�

�x+ 3

4x

� x+3

(x�1)2

= 14

0+ = 1+1

Obtenemos la indeterminación11. ¿Puedes decir algo sobre el comportamientode dicha función en el entorno de x = 1?

Ejercicio 79 Dada la función t(x) =�x+34x

� x2+3x

(x�1)2 cuyo dominio es D(t) =(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores

t

0BBBBBBBB@

x1;11;011;0011;00011;000011;000001

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBBB@

�x+34x

� x2+3

(x�1)2

1: 225 820 495� 10�137: 407 384 569� 10�1311: 900 756 527� 10�13032: 129 876 778� 10�130296: 580 889 057� 10�1302895: 213 749 805� 10�1302884

1CCCCCCCCCAt

0BBBBBBBB@

x0;90;990;9990;99990;999990;999999

1CCCCCCCCA=

0BBBBBBBBB@

�x+34x

� x2+3

(x�1)2

1: 590 374 109� 10122: 970 388 662� 101291: 172 252 95� 1013021: 047 472 738� 10130283: 390 530 071� 101302874: 279 642 382� 101302882

1CCCCCCCCCA


F (X)


l��mx!1

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

= 14

0+ = 1+1

y

l��mx!1�

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

= 14

0+ = 1+1

Obtenemos la indeterminación11. ¿Puedes decir algo sobre el comportamientode dicha función en el entorno de x = 1?

1.8.2. Límites que presentan la indeterminación 11

Si al menos uno de los límites l��mx!b+

[f(x)]g(x)

o l��mx!b�

[f(x)]g(x) nos da 1+1

o 1�1 utilizaremos que

l��mx!b+

[f(x)]g(x)

= el��m

x!b+g(x)[f(x)�1]

(o l��mx!b�

[f(x)]g(x)

= el��m

x!b�g(x)[f(x)�1]

Si calculamos dicho límite, todos los resultados que podemos obtener son:

ea siendo a 2 R

e0=1

e+1 = +1, al ser e > 1

e�1 = 0+ al ser e > 1

Ejemplo 80 Dada la función y =�x+34x

� 1x�1 cuyo dominio es D(f) = (�:1;�3)[

(0; 1) [ (1;+1) calcula

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� 1x�1

SoluciónComo l��m

x!1+

�x+34x

� 1x�1 = 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� 1x�1

= el��m

x!1+[ 1x�1 (

x+34x �1)]

Calculando, por separado, el l��mx!1+

h1

x�1�x+34x � 1

�itendremos

l��mx!1+

�1

x� 1

�x+ 3

4x� 1��

= l��mx!1+

�1

x� 1

��3x+ 34x

��= l��m

x!1+

��3x+ 34x (x� 1)

�=0

0



l��mx!1+

��3x+ 34x (x� 1)

�= l��m

x!1+

��3 (x� 1)4x (x� 1)

�= l��m

x!1+

�34x

=�34

Por lo que

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� 1x�1

= e�34 =

14pe3=

4pe

e

Ejercicio 81 Comprueba tú que l��mx!1�

�x+34x

� 1x�1 = e�

34 ¿La función es contin-

ua para x = 1?. En caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad presenta?


� x+3x�1 cuyo dominio es D(f) = (�:1;�3)[

(0; 1) [ (1;+1) calcula

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3x�1


x!1+

�x+34x

� x+3x�1 = 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3x�1

= el��m

x!1+[ x+3x�1 (

x+34x �1)]

Calculando, por separado, el l��mx!1+

hx+3x�1

�x+34x � 1

�itendremos

l��mx!1+

�x+ 3

x� 1

�x+ 3

4x� 1��

= l��mx!1+

�x+ 3

x� 1

��3x+ 34x

��= l��m

x!1+

�(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)

�=0

0


l��mx!1+

�(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)

�= l��m

x!1+

��3 (x� 1) (x+ 3)

4x (x� 1)

�= l��m

x!1+

�3(x+ 3)4x

= �3

Por lo que

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3x�1

= e�3 =1

e3

Ejercicio 83 Comprueba tú que l��mx!1�

�x+34x

� x+3x�1 = e�3. ¿La función es con-

tinua para x = 1?. En caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad presenta?


� x+3

(x�1)2 cuyo dominio es D(f) = (�:1;�3)[(0; 1) [ (1;+1) calcula

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3

(x�1)2


F (X)


x!1+

�x+34x

� x+3

(x�1)2 = 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3

(x�1)2

= el��m

x!1+

x+3

(x�1)2 (x+34x �1)

Calculando, por separado, ell��m

x!1+

x+3

(x�1)2 (x+34x �1)

tendremos

l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2�x+ 3

4x� 1�#

= l��mx!1+

"x+ 3

(x� 1)2��3x+ 34x

�#= l��m

x!1+

"(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)2

#=0

0


l��mx!1+

"(�3x+ 3) (x+ 3)4x (x� 1)2

#= l��m

x!1+

"�3 (x� 1) (x+ 3)4x (x� 1)2

#= l��m

x!1+

�3(x+ 3)4x(x� 1) =

�124�0+ =

�30+

= �1

Por lo que

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x+3

(x�1)2

= e�1 = 0

Nota: Calcula tú l��mx!1�

�x+34x

� x+3

(x�1)2 y comprúeba que da +1

Ejemplo 85 Dada la función y = t(x) =�x+34x

� x2+3x

(x�1)2 cuyo dominio es D(f) =(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1) calcula

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

Solución

Como

2664l��mx!1+

�x+34x

�= 1

y

l��mx!1+

�x2+3x(x�1)2

�= 4

0+ = +1

3775; entonces

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

= 1+1

Aplicando la regla

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

= e

�l��m

x!1+

x2+3x

(x�1)2 (x+34x �1)

�

Calculemos por separado l��mx!1+

hx2+3x(x�1)2

�x+34x � 1

�il��mx!1+

"x2 + 3x

(x� 1)2�x+ 3

4x� 1�#

= +1�0

1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 59

Operando

l��mx!1+

"x2 + 3x

(x� 1)2�x+ 3

4x� 1�#

= l��mx!1+

"x2 + 3x

(x� 1)2��3x+ 34x

�#

= l��mx!1+

"�x2 + 3x

�(�3x+ 3)

4x (x� 1)2

#=0

0

Factorizando el numerador

= l��mx!1+

"�3�x2 + 3x

�(x� 1)

4x (x� 1)2

#=

Y simpli�cando

= l��mx!1+

"�3�x2 + 3x

�4x (x� 1)

#=�120+

= �1

Por lo que

l��mx!1+

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

= e

�l��m

x!1+

x2+3x

(x�1)2 (x+34x �1)

�= e�1 = 0+

Ejercicio 86 Comprueba tú que

l��mx!1�

�x+ 3

4x

� x2+3x

(x�1)2

= +1

¿La función es continua para x = 1?. ¿x = 1 es una asíntota vertical de lafunción?

1.9. Límites de funciones logarítmicas

Dada la función g(x) = loga f(x). Su dominio de de�nición es:

D(g) = fx 2 R /f(x) > 0g

Sabemos además que dicha función es continua en D(g). Por lo que si c 2D(g) entonces l��m

x!cloga f(x) = loga f(c):

En el resto de casos; para poder calcular el l��mx!c

loga f(x) tendremos presente:

Si a > 1 Si 0 < a < 1loga 0

+ = �1 loga 0+ = +1

loga (+1) = +1 loga (+1) = �1


F (X)

Para acordarte de estos resultados; basta con que conozcas la grá�ca dey = loga x si a > 1 o si 0 < a < 1

Si a > 1 Si 0 < a < 1

2 4

4

2

0

2

4

x

y

y = loga x si a > 1

2 4

4

2

0

2

4

x

y

y = loga x si 0 < a < 1

También hay que recordar todas las propiedades relativas a los logaritmos:

loga b = z , az = b siendo a 2 R+ � f1g y b 2 R+266664loga 1 = 0loga a = 1loga a

n = nloga a

�n = �nloga

kpan = n

k

377775log 1

ax = � loga x

loga (b�c) = loga b+ loga c siendo a 2 R+ � f1g y

24 b 2 R+y

c 2 R+

35loga

�bc

�= loga b� loga c

loga (bn) = n loga b24 log b, log10 b logaritmos decimales (base 10)

ln b = loge b logaritmos neperianos (base e � 2: 718 281 828)

35aloga b = b


2666664loga b =

log b

log a

loga b =ln b

ln a

loga b =logc b

logc acon a; c 2 R+ � f1g y b 2 R+

3777775 F. Cambio de base

AB = eB lnA siempre que A > 0 y B 2 R. Cualquier función potencial-exponencial se puede escribir como función exponencial de base el númeroe:

1.9.1. Ejemplos

Ejemplo 87 Calcula el dominio de la función y = log2(x+6) y después l��mx!2

log2(x+

6)

SoluciónEl dominio de y = log2(x+ 6) es:

D(f) = fx 2 R /x+ 6 > 0g = (�6;+1)

Calculemos ahora l��mx!2

log2(x+ 6)

l��mx!2

log2(x+ 6) = log2

hl��mx!2

(x+ 6)i= log2 8 = log2 2

3 = 3

Ejemplo 88 Calcula el dominio de la función y = log2(2x) y después l��mx! 1

2

log2(2x)

SoluciónEl dominio de y = log2(2x) es

D(f) = fx 2 R /2x > 0g = (0;+1)

Calculemos ahora l��mx! 1

2

log2(2x)

l��mx! 1

2

log2(2x) = log2

"l��mx! 1

2

(2x)

#= log2 1 = 0

Ejemplo 89 Calcula el dominio de la función y = log 12(x + 6) y después

l��mx!2

log 12(x+ 6)

SoluciónEl dominio de la función y = log 1

2(x+ 6) es:

D(f) = fx 2 R /x+ 6 > 0g = (�6;+1)

Calculemos ahora l��mx!2

log 12(x+ 6)

l��mx!2

log 12(x+ 6) = log 1

2

hl��mx!2

(x+ 6)i= log 1

28 = � log2 23 = �3

Nota: La función y = log 12(x+ 6) = � log2(x+ 6)


F (X)

Ejemplo 90 Calcula el dominio de la función y = log 12(2x) y después l��m

x! 12

log 12(2x)

SoluciónEl dominio de y = log 1

2(2x) es

D(f) = fx 2 R /2x > 0g = (0;+1)

Calculemos l��mx! 1

2

log 12(2x)

l��mx! 1

2

log 12(2x) = log 1

2

"l��mx! 1

2

(2x)

#= log 1

21 = 0

Ejemplo 91 Calcula el dominio de la función y = log2(x�2) y después l��mx!2+

log2(x�2)

SoluciónEl dominio de la función es:

D(f) = (2;+1)

Calculemos l��mx!2+

log2(x� 2)

l��mx!2+

log2(x� 2) = log2�l��mx!2+

(x� 2)�= log2 0

+ = �1

Ejemplo 92 Calcula el dominio de la función y = log 12(x�2) y después l��m

x!2+log( 12 )

(x�2)


D(f) = (2;+1)


log 12(x� 2)

l��mx!2+

log( 12 )+(x� 2) = log( 12 )

�l��mx!2+

(x� 2)�= log( 12 )

�0+�= +1

Nota: La función y = log 12(x� 2) = � log2(x� 2)

Ejemplo 93 Calcula el dominio de la función y = log3(1

x�2 ) y después l��mx!2+

log3(1

x�2 )

SoluciónEl dominio de la función es::

D(f) = (2;+1)



log3(1

x�2 )

l��mx!2+

log3(1

x� 2) = log3�l��mx!2+

(1

x� 2

�=

= log3

�1

0+

�= log3 (+1) = +1

Nota: La función y = log3(1

x�2 ) = � log3(x� 2)

Ejemplo 94 Calcula el dominio de la función y = log3(1

x+7 ) y después l��mx!2log 1

3( 1x+7 )

SoluciónEl dominio de la función es::

D(f) = (�7;+1)

Calculemos l��mx!2

log3(1

x+7 )

l��mx!2

log 13(1

x+ 7) = log 1

3

�l��mx!2

(1

x+ 7

�=

= log 13

�1

9

�= log 1

3

"�1

3

�2#= 2

Nota: la función y = log3(1

x+7 ) = � log3(x+ 7)

Ejemplo 95 Calcula el dominio de la función y = log3(x+1x�1 ) y después l��m

x!1+log3(

x+1x�1 )


D(f) =

�x 2 R / x+ 1

x� 1 > 0�= (�1;�1) [ (1;+1)

Calculemos su límite cuando x tiende a 1+

l��mx!1+

log3

�x+ 1

x� 1

�= log3

�l��mx!1+

�x+ 1

x� 1

��=

= log3

�2

0+

�= log3 [+1] = +1

Ejemplo 96 Calcula el dominio de la función y = log 13(x+1x�1 ) y después l��m

x!1+log 1

3(x+1x�1 )


F (X)


D(f) =

�x 2 R / x+ 1

x� 1 > 0�= (�1;�1) [ (1;+1)

Calculemos su límite cuando x tiende a 1+

l��mx!1+

log 13

�x+ 1

x� 1

�= log 1

3

�l��mx!1+

�x+ 1

x� 1

��=

= log 13

�2

0+

�= log 1

3[+1] = �1

Ejemplo 97 Calcula el dominio de de�nición de y = log 12(x+ 3)�log 1

2(x� 2)

y después l��mx!2+

�log 1

2(x+ 3)� log 1

2(x� 2)

�SoluciónComo la función es una resta de otras dos funciones, su dominio será:

D(f) = fx 2 R / x+ 3 > 0g \ fx 2 R / x� 2 > 0g == (�3;+1) \ (2;+1) = (2;+1)

Determinemos ahora su límite cuando x tienda a 2+

l��mx!2+

�log 1

2(x+ 3)� log 1

2(x� 2)

�=

= log 13(5)� log 1

3

�0+�= log 1

3(5)�1 = �1

Ejemplo 98 Calcula el dominio de de�nición de y = log2

��x2+5x�6

x�2

�y de-

spués l��mx!2

log2

��x2+5x�6

x�2

�SoluciónEl dominio de la función es:

D(f) =

�x 2 R / �x

2 + 5x� 6x� 2 > 0

�=

�x 2 R / x

2 � 5x+ 6x� 2 < 0

�=

=

�x 2 R / (x� 2) (x� 3)

x� 2 < 0

�=

= (�1; 3) � f2g = (�1; 2) [ (2; 3)

Si calculamos ahora su límite cuando x! 2

l��mx!2

log2

��x2 + 5x� 6

x� 2

�= log2

�l��mx!2

��x2 + 5x� 6

x� 2

��


Calculamos por separado l��mx!2

��x2+5x�6

x�2

�l��mx!2

�x2 + 5x� 6x� 2 =

0

0


l��mx!2

�x2 + 5x� 6x� 2 = l��m

x!2

� (x� 2) (x� 3)x� 2 =

= l��mx!2

(�x+ 3) = 1

Por lo que; el límite inicial vale:

log2

�l��mx!2

��x2 + 5x� 6

x� 2

��= log2 1 = 0

Nota: La grá�ca de y = log2

��x2+5x�6

x�2

�coincide con la grá�ca de y =

log2(�x+ 3) si a ésta le quitamos el punto P (2; 0)


log2

�2x2�4xx�2

�Solución

l��mx!2

log2

�2x2 � 4xx� 2

�= log2

�l��mx!2

�2x2 � 4xx� 2

��Si calculamos por separado l��m

x!2

�2x2�4xx�2

�l��mx!2

�2x2 � 4xx� 2

�=0

0


l��mx!2

�2x2 � 4xx� 2

�= l��m

x!2

2x (x� 2)x� 2 = l��m

x!22x = 4

Por lo que:

log2

�l��mx!2

�2x2 � 4xx� 2

��= log2 4 = 2


F (X)

Capítulo 2

l��mx!+1

f (x) o l��mx!�1

f (x)

Para calcular el límite de una función cuando x! +1 o x! �1 tendremospresente que

l��mx!+1

Kxn = K�(+1) =�+1 si k > 0�1 si k < 0

Si n es par l��mx!�1

Kxn = K�(�1)n = K�(+1) =�+1 si k > 0�1 si k < 0

Si n es impar l��mx!�1

Kxn = K�(�1)n = K�(�1) =��1 si K > 0+1 si K < 0

l��mx!+1

K

xn=

K

+1 =

�0+ si K > 00� si k < 0

l��mx!�1

K

xn=

K

(�1)n =

8>><>>:= K

�1 =

�0� si K > 00+ si K < 0

si n es impar

= K+1 =

�0+ si K > 00� si K < 0

si n es par

Y además todas las consideraciones que aparecen en los cuadros del capítuloanterior.Recuerda: Nunca podremos calcular directamente los límites de una función

cuando x ! +1 (o x ! �1)cuando aparezcan alguna de estas siete indeter-minaciones

1�1 0�1 00

11 11 00 10

2.1. Funciones polinómicas

Para calcular el límite de una función polinómica procederemos de la sigu-iente manera: "sacaremos factor común la potencia de x de mayor grado. Acontinuación, el límite del producto de ambas expresiones coincidirá con el pro-ducto de los límites ( ya que el primero siempre será +1 o �1 y el segundo

67

68 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1

F (X) O L�IMX!�1

F (X)

será el coe�ciente de la potencia de mayor grado )y por último concluiremoscuanto ha de valer su límite".Nota: Éste siempre será +1 o �1

Ejemplo 100 Calcula el l��mx!+1

(5x3 � 2x+ 1)

l��mx!+1

(5x3 � 2x+ 1) =

= l��mx!+1

x3�5� 2

x2+1

x3

�=

l��mx!+1

x3� l��mx!+1

�5� 2

x2+1

x3

�= +1�5 = +1

Ejemplo 101 Calcula el l��mx!�1

(5x3 � 2x+ 1)

l��mx!�1

(5x3 � 2x+ 1) =

= l��mx!�1

x3�5� 2

x2+1

x3

�=

l��mx!�1

x3� l��mx!�1

�5� 2

x2+1

x3

�= �1�5 = �1


(�7x3 � 2x+ 1)

l��mx!�1

(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!�1

x3��7� 2

x2+1

x3

�=

= l��mx!�1

x3� l��mx!�1

��7� 2

x2+1

x3

�= �1�(�7) = +1


(�7x3 � 2x+ 1)

l��mx!+1

(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!+1

x3��7� 2

x2+1

x3

�=

= l��mx!+1

x3� l��mx!+1

��7� 2

x2+1

x3

�= +1� (�7) = �1


(5x4 � 2x+ 1)

l��mx!+1

(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!+1

x4�5� 2

x3+1

x4

�=

= l��mx!+1

x4� l��mx!+1

�5� 2

x3+1

x4

�= +1�5 = +1



(5x4 � 2x+ 1)

l��mx!�1

(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!�1

x4�5� 2

x3+1

x4

�=

= l��mx!�1

x4� l��mx!�1

�5� 2

x3+1

x4

�= +1�5 = +1

Nota: Aunque últimamente se está extendiendo el siguiente criterio

l��mx!+1

(anxn + an�1x

n�1 + :::+ a1x+ a0) = l��mx!+1

anxn

l��mx!�1

(anxn + an�1x

n�1 + :::+ a1x+ a0) = l��mx!�1

anxn

segun este criterio; los límites anteriores se pueden determinar fácilmenteasí:

l��mx!+1

(5x3 � 2x+ 1) = l��mx!+1

5x3 = 5� (+1) = +1

l��mx!�+1

(5x3 � 2x+ 1) = l��mx!�1

5x3 = 5� (�1) = �1

l��mx!+1

(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!+1

��7x3

�= �7� (+1) = �1

l��mx!�1

(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!�1

��7x3

�= �7� (�1) = +1

l��mx!+1

(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!+1

5x4 = 5�(+1) = +1

l��mx!�1

(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!�1

5x4 = 5�(+1) = +1

2.2. Límites de funciones racionales

Al calcular el l��mx!+1

Pn(x)Qm(x)

(o l��mx!�1

Pn(x)Qm(x)

) siempre obtenemos la indetermi-

nación 11 . Para eliminirla dividiremos numerador y denominador por la potencia

de x de mayor grado que nos aparezca en ambos


Ejemplo 106 Dada la función f(x) = 3x�42x�2 cuyo dominio es

D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)

estudia el comportamiento de ésta cuando x! +1 y cuando x! �1

Solución

Calculemos l��mx!+1

f(x)

l��mx!+1

3x� 42x� 2 = "

+1+1"



F (X)

dividiendo arriba y abajo por x

l��mx!+1

3x� 42x� 2 = l��m

x!+1

3� 4x

2� 2x

=3

2

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas se aproximan al número real32 .Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 32 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla

f

0BBBB@1010010001000010000

1CCCCA =

0BBBB@13914899149899914 998999914 9989999

1CCCCA =

0BBBB@1: 444 444 4441: 494 949 4951: 499 499 4991: 499 949 9951: 499 949 995

1CCCCAEsta claro que si x! +1 entonces f(x)!

�32

��Calculemos l��m

x!�1f(x)

l��mx!�1

3x� 42x� 2 = "

�1�1"


l��mx!�1

3x� 42x� 2 = l��m

x!�1

3� 4x

2� 2x

=3

2

Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas se aproximan al número real32 .Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 32 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla

f

0BBBB@�10�100�1000�10000�10000

1CCCCA =

0BBBB@17111521011502100115 00210 00115 00210 001

1CCCCA =

0BBBB@1: 545 454 5451: 504 950 4951: 500 499 51: 500 049 9951: 500 049 995

1CCCCAEsta claro que si x! �1 entonces f(x)!

�32

�+Conclusión: la recta horizontal y = 3

2 es una asíntota horizontal por ambosladosEstudia tú el comportamiento de la función cuando x ! 1 y verás que es

una asíntota vertical de ramas divergentes.Miralo en su grá�ca


5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

y = 3x�42x�2

Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cadapolinomio su término correspondiente de mayor grado

l��mx!+1

3x� 42x� 2 = l��m

x!+1

3x

2x=3

2

l��mx!�1

3x� 42x� 2 = l��m

x!�1

3x

2x=3

2

La recta y = 32 es una asíntota horizontal de la función y =

3x�42x�2 . Para de-

terminar la posición de la curva con respecto a la asíntota horizontal tendremosque recurrir a las tablas anteriores

Ejercicio 107 Dada la función f(x) = 3x2�4x2�1 cuyo dominio es

D(f) = (�1;�1) [ (�1; 1) [ (1;+1)


Ejercicio 108 Dada la función f(x) = 3x�4x2�1 cuyo dominio es

D(f) = (�1;�1) [ (�1; 1) [ (1;+1)


Solución


f(x)

l��mx!+1

3x� 4x2 � 1 = "

+1+1"



F (X)


l��mx!+1

3x� 4x2 � 1 = l��m

x!+1

3x �

4x2

1� 1x2

=0

1= 0

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas se aproximan al número real0.Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 0 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla

f

0BBBB@1010010001000010000

1CCCCA =

0BBBB@26992969999428

142 85729 996

99 999 99929 996

99 999 999

1CCCCA =

0BBBB@0;262 626 262 6

2: 960 296 030� 10�22: 996 002 996� 10�32: 999 600 030� 10�42: 999 600 030� 10�4

1CCCCAEsta claro que si x! +1 entonces f(x)! (0)

+

Calculemos l��mx!�1

f(x)

l��mx!�1

3x� 4x2 � 1 = "

�1+1"


l��mx!�1

3x� 4x2 � 1 = l��m

x!�1

3x �

4x2

1� 1x2

=0

1= 0

Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas se aproximan al número real0.Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 0 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla

f

0BBBB@�10�100�1000�10000�10000

1CCCCA =

0BBBB@� 3499

� 3049999

� 3004999 999

� 30 00499 999 999

� 30 00499 999 999

1CCCCA =

0BBBB@�0;343 434 343 4�0;030 403 040 3

�3: 004 003 004� 10�3�3: 000 400 03� 10�4�3: 000 400 03� 10�4

1CCCCAEsta claro que si x! �1 entonces f(x)! (0)

�

Conclusión: la recta horizontal y = 0 es una asíntota horizontal por ambosladosSi estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrede-

dores de x = �1 y de x = �1 comprobarías que son asíntotas verticales. Aquítienes su grá�ca


5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

y = 3x�4x2�1


l��mx!+1

3x� 4x2 � 1 = l��m

x!+1

3x

x2= l��m

x!+1

3

x=

3

+1 = 0+

l��mx!�1

3x� 42x� 2 = l��m

x!�1

3x

x2= l��m

x!�1

3

x=

3

�1 = 0�

La recta y = 0 es una síntota horizontal de la función y = 3x�4x2�1 . Para

determinar la posición de la curva con respecto a la asíntota horizontal, en esteejercicio, podemos evitar la utilización de las tablas anteriores

Ejercicio 109 Dada la función f(x) = x2�4x�1 cuyo dominio es

D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)


Solución


f(x)

l��mx!+1

x2 � 4x� 1 = "

+1+1"


l��mx!+1

x2 � 4x� 1 = l��m

x!+1

1� 4x2

1x �

1x2

=1

0+= +1



F (X)

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas tienden a +1.Esta claro que si x! +1 entonces f(x)! +1Calculemos l��m

x!�1f(x)

l��mx!�1

x2 � 4x� 1 = "

+1�1"


l��mx!�1

x2 � 4x� 1 = l��m

x!�1

1� 4x2

1x �

1x2

=1

0�= �1

Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas tienden a �1.Esta claro que si x! �1 entonces f(x)! �1Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrede-

dores de x = �1 comprobarías que es asíntota vertical. Aquí tienes su grá�caNota: Creo que Marta podría determinar su conjunto Im f

4 2 2 4

4

2

2

4

x

y

y = x2�4x�1


l��mx!+1

x2 � 4x� 1 = l��m

x!+1

x2

x= l��m

x!+1x = +1

l��mx!�1

x2 � 4x� 1 = l��m

x!�1

x2

x= l��m

x!�1x = �1

Nota 110 Si ahora dividiesemos x2 � 4 entre x� 1 obtendríamos

y =x2 � 4x� 1 = x+ 1�

3

x� 1


Diremos que la recta y = x+ 1 es una asíntota oblícua de la funciónConstruye las siguientes tablas y compáralas

x f(x) = x2�4x�1

10100100100010000100000

x g(x) = x+ 110100100100010000100000

x f(x) = x2�4x�1

�10�100�100�1000�10000�100000

x g(x) = x+ 1�10�100�100�1000�10000�100000

Mira su grá�ca y la de la asíntota

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

y = x2�4x�1

Ejercicio 111 Dada la función f(x) = x3�8x�1 cuyo dominio es

D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)


Solución



F (X)


f(x)

l��mx!+1

x3 � 8x� 1 = "

+1+1"


l��mx!+1

x3 � 8x� 1 = l��m

x!+1

1� 8x3

1x2 �

1x3

=1

0+= +1

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas tienden a +1.Esta claro que si x! +1 entonces f(x)! +1Calculemos l��m

x!�1f(x)

l��mx!�1

x3 � 8x� 1 = "

�1�1"


l��mx!�1

x3 � 8x� 1 = l��m

x!�1

1� 8x3

1x2 �

1x3

=1

0+= +1

Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas tienden a +1.Esta claro que si x! �1 entonces f(x)! +1Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrede-

dores de x = �1 comprobarías que es asíntota vertical. Aquí tienes su grá�ca

10 5 5 10

10

5

5

10

x

y

y = x3�8x�1


l��mx!+1

x3 � 8x� 1 = l��m

x!+1

x3

x= l��m

x!+1x2 = +1

l��mx!�1

x3 � 8x� 1 = l��m

x!�1

x3

x= l��m

x!�1x2 = +1


Nota 112 Si ahora dividiesemos x3 � 8 entre x� 1 obtendríamos

y =x3 � 8x� 1 = x

2 + x+ 1� 7

x� 1

Diremos que la función y = x2 + x+ 1 es una asíntota parabólica de la funciónConstruye las siguientes tablas y compáralas

x f(x) = x3�8x�1

10100100100010000100000

x g(x) = x2 + x+ 110100100100010000100000

x f(x) = x3�8x�1

�10�100�100�1000�10000�100000

x g(x) = x2 + x+ 1�10�100�100�1000�10000�100000

Mira su grá�ca y la de la asíntota parabólica

15 10 5 5 10 15

15

10

5

5

10

15

x

y

y = x3�8x�1

Resumen 113 Siempre que calculemos

l��mx!+1

�anx

n+an�1xn�1+:::+a1x+a0

bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0

�= "

11"

l��mx!+1

�anx

n+an�1xn�1+:::+a1x+a0

bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0

�= l��m

x!+1

anxn

bmxm=

8>><>>:anbm

si n = m0 si n < m�+1�1 si n > m



F (X)

Ocurrirá lo mismo cuando x! �1

Nota 114 Diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal de la función

f(x) = anxn+an�1x

n�1+:::+a1x+a0bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0

si y solo sil��m

x!+1anx

n+an�1xn�1+:::+a1x+a0

bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0= b

o

l��mx!�1

anxn+an�1x


= b

Nota 115 Todas las funciones racionales ( sin discontinuidades evitables) dela forma

f(x) = anxn+an�1x


tendrán asíntota horizontal siempre que n � m .Presentándose los siguientescasos:

a) Si n < m su asintota horizontal será y = 0 (eje x)

b) si n = m su asintota horizontal será y =anbm

2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ 79

2.3. Funciones racionales con alguna raíz

Ejemplo 116 Calcula l��mx!+1

1px2+1+x

Soluciónl��m

x!+1

1px2 + 1 + x

=1

+1 = 0+

La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (a la derecha de lagrá�ca)


1px2+1+x

Soluciónl��m

x!�1

1px2 + 1 + x

=1

"1�1"Realizamos el siguiente cambio de variable x = �z. Es evidente que si

x! �1, z ! +1

por lo que

l��mx!�1

1px2+1+x

= l��mz!+1

1

(pz2+1�z)

=1

"1�1"Multiplicando numerador y denominador por

pz2 + 1 + z

l��mz!+1

(pz2+1+z)

(pz2+1�z)(

pz2+1+z)

= l��mz!+1

�pz2 + 1 + z

�= +1

Con lo quel��m

x!�11p

x2+1+x= +1

Mira su grá�ca

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

x

y

y=0 A. Horizontal

y = 1px2+1+x



F (X)


x+3px2+1+x

Soluciónl��m

x!+1

x+ 3px2 + 1 + x

= "+1+1"

Dividimos numerador y denominador por x

l��mx!+1

1 + 3xp

x2+1x + 1

= l��mx!+1

1 + 3xq

1 + 1x2 + 1

=1

2

La recta y = 12 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha solo)


x+3px2+1+x

Soluciónl��m

x!�1

x+ 3px2 + 1 + x

= "�1

+1�1"

Realizamos el siguiente cambio de variable x = �z. Es evidente que si

x! �1, z ! +1

por lo que

l��mx!�1

x+ 3px2 + 1 + x

= l��mz!+1

�z + 3pz2 + 1� z

= "�1

+1�1"

Multiplicamos numerador y denominador porpz2 + 1 + z

l��mz!+1

(�z+3)(pz2+1+z)

(pz2+1�z)(

pz2+1+z)

= l��mz!+1

(�z + 3)�p

z2 + 1 + z�= �1

Con lo que

l��mx!�1

x+ 3px2 + 1 + x

= �1

Mira la grá�ca de la función y = x+3px2+1+x

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

y=1/2 A. Horizontal


y = x+3px2+1+x


px4+x2�x23x+2

Solución

l��mx!+1

px4 + x2 � x23x+ 2

= "+1�1+1 "

Multiplicando numerador y denominador porpx4 + x+ x2

l��mx!+1

(px4+x2�x2)(

px4+x2+x2)

(3x+2)(px4+x2+x2)

= l��mx!+1

x2

(3x+2)(px4+x2+x2)

= "+1+1"

Dividiendo numerador y denominador por x3

l��mx!+1

x2

(3x+2)(px4+x2+x2)

= l��mx!+1

1x

(3x+2)

x3(px4+x2+x2)

=

= l��mx!+1

1x

(3x+2)x

(px4+x2+x2)

x2

= l��mx!+1

1x

(3+ 2x )�q

1+ 1x2+1� = 0+

La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha)


px4+x2�x23x+2

Solución

l��mx!�1

px4 + x2 � x23x+ 2

= "+1�1�1 "


x! �1, z ! +1

por lo que

l��mx!�1

px4 + x2 � x23x+ 2

= l��mz!+1

pz4 + z2 � z2�3z + 2

Multiplicamos numerador y denominador porpz4 + z2 + z2

l��mz!+1

pz4 + z2 � z2�3z + 2 = l��m

z!+1

�pz4 + z2 � z2

� �pz4 + z2 + z2

�(�3z + 2)

�pz4 + z2 + z2

� =

= l��mz!+1

z2

(�3z + 2)�pz4 + z2 + z2

� = +1�1

dividiendo numerador y denominador por z3

l��mz!+1

z2

(�3z+2)(pz4+z2+z2)

= l��mz!+1

1z

(�3z+2)z3

(pz4+z2+z2)

=

= l��mz!+1

1z

(�3z+2)z

(pz4+z2+z2)

z2

= l��mz!+1

1z

(�3+ 2z )�q

1+ 1z2+1� = 0+

�6 = 0�



F (X)

Con lo que

l��mx!�1

px4 + x2 � x23x+ 2

= 0�

La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (por la izquierda)El dominio de de�nición de la función y =

px4+x2�x23x+2 es

D(f) = (�1;�23) [ (�2

3;+1)

Puedes comprobar que la recta x = � 23 es una asíntota vertical de ramas

divergentes calculando sus límites laterales.Mira su grá�ca

4 2 2 4

4

2

2

4

x

y

y=0 A. Horizontal

x=2/3 A. Vertical

y =px4+x2�x23x+2

Realizando un zoom hacia adentro

2 1 1 2

2

1

1

2

x

y

y=0 A. Horizontal

x=2/3 A. Vertical

y =px4+x2�x23x+2


Ejemplo 122 l��mx!+1

p4x2+x�3xp9x2+x�x

Solución

l��mx!+1

p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x

= "+1�1+1�1"

Dividiendo numerador y denominador por x

l��mx!+1

p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x

= l��mx!�1

p4x2+xx � 3

p9x2+xx � 1

=

= l��mx!�1

q4 + 1

x � 3q9 + 1

x � 1=

p4� 3p9� 1

= �12

La recta y = � 12 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha)

Ejemplo 123 l��mx!�1

p4x2+x�3xp9x2+x�x

Solución

l��mx!�1

p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x

= "+1+1"


x! �1, z ! +1

por lo que

l��mx!�1

p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x

= l��mz!+1

p4z2 � z + 3zp9z2 � z + z

Dividiendo numerador y denominador por z

l��mz!+1

p4z2 � z + 3zp9z2 � z + z

= l��mz!+1

p4z2�zz + 3

p9x2+xx + 1

=

= l��mz!+1

q4� 1

z + 3q9� 1

z + 1=

p4 + 3p9 + 1

=5

4

La recta y = 54 es una asíntota horizontal de la función (por la izquierda)

El dominio de la función y =p4x2+x�3xp9x2+x�x es

D(f) =��x 2 R /4x2+x � 0

\�x 2 R /9x2+x � 0

��nx 2 R /

p9x2 + x�x = 0

o=

=

��1;�1

9

�[ [0;1)

�\��1;�1

4

�[ [0;1)

�� f0g =

��1;�1

4

�[ (0;1)



F (X)

Si calculas

l��mx!0+

p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x

obtendrás como resultado1�(el punto P (0; 1)no está) y si calculas

l��mx!(� 1

4 )�

p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x

obtendrás como resultado 34

p5� 3

4 :(El punto Q(�14 ;

34

p5� 3

4 ) si está en lagrá�ca. Diremos que la función es continua en x = � 1

4 por la izquierda)Aquí tienes su grá�ca

2 1 1 2

2

1

1

2

x

y

P(0.1)Q

y=0.5 A. Horizontal

y=1.25 A. Horizontal

y =p4x2+x�3xp9x2+x�x

P (0; 1)

Q(� 14 ;

34

p5� 3

4 )

2.4. Suma o resta de funciones con alguna raíz

La determinación que más veces nos puede aparecer, cuando calculamosel límite de una suma o resta de funciones con alguna raíz, será la del tipo"1 � 1" . Para eliminarla y que nos aparezca otra, multiplicaremos por suexpresión conjugada numerador y denominador.


px2 + x� x

Solución

2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ 85

Como el l��mx!+1

�px2 + x� x

�presenta la indeterminación 1 � 1; para

eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpx2 + x+ x

l��mx!+1

�px2 + x� x

�= l��m

x!+1(px2+x�x)(

px2+x+x)

(px2+x+x)

=

= l��mx!+1

x

(px2+x+x)

= "+1+1"


= l��mx!+1

1�px2+xx +1

� = l��mx!+1

1�p1+ 1

x+1� = 1

2

La recta y = 12 es asíntota horizontal de la función.

Si te �jas en la siguiente tabla

h

0BBBBBB@x10100100010000100000

1CCCCCCA =

0BBBBBB@

px2 + x� x

0;488 088 481 70;498 756 211 20;499 875 062 50;499 987 500 60;499 998 75

1CCCCCCApodrás concluir que:

l��mx!+1

�px2 + x� x

�=

�1

2

��


�px2 + x� x

�SoluciónPara calcular el l��m

x!�1

�px2 + x� x

�realizamos el siguiente cambio de vari-

able x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que

l��mx!�1

(px2 + x� x) = l��m

z!+1

�pz2 � z + z

�= +1+ (+1)

Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x� x es

D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0

= (�1;�1] [ [0;1)

Su grá�ca es ésta:



F (X)

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

y =px2 + x� x

y = �2x� 12 asíntota oblícua


px2 + x+ x

SoluciónComo el l��m

x!+1

�px2 + x+ x

�= 1+1 = +1


�px2 + x+ x


x!�1

�px2 + x+ x

�realizamos el siguiente cambio de vari-

able x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que

l��mx!�1

(px2 + x+ x) = l��m

z!+1

�pz2 � z � z

�= +1� (+1)

Para eliminar la indeterminación multiplicamos arriba y abajo porpz2 � z+

z

l��mz!+1

�pz2 � z � z

�= l��m

z!+1

�pz2 � z � z

� �pz2 � z + z

��pz2 � z + z

� =

= l��mz!+1

�z�pz2 � z + z

� = �1+1 =

Dividendo numerador y denominador por z

= l��mz!+1

�1�q1� 1

z + 1� = �1

2


Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x+ x es

D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0

= (�1;�1] [ [0;1)


4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

y =px2 + x+ x

y = 2x+ 12 asíntota oblícua


px2 + x� 3x+ 1

SoluciónComo el l��m

x!+1

�px2 + x� 3x+ 1

�= l��m

x!+1

�px2 + x� (3x� 1)

�presenta

la indeterminación 1�1; para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpx2 + x+ (3x� 1)

l��mx!+1

�px2 + x� (3x� 1)

�= l��m

x!+1(px2+x�(3x�1))(

px2+x+(3x�1))

(px2+x+(3x�1))

=

= l��mx!+1

x2+x�(3x�1)2

(px2+x+(3x�1))

= l��mx!+1

�8x2+7x�1(px2+x+(3x�1))

"�1+1"

Dividiendo numerador y denominador por x2

= l��mx!+1

�8+ 7x�

1x2q

1x4+ 1x3+( 3x�

1x2)=�80+

= �1


�px2 + x� (3x� 1)

�Solución



F (X)

Para calcular el l��mx!�1

�px2 + x� (3x� 1)

�realizamos el siguiente cambio

de variable x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que

l��mx!�1

�px2 + x� (3x� 1)

�= l��m

z!+1

�pz2 � z � (�3z � 1)

�= l��m

z!+1

�pz2 � z + 3z + 1

�= +1+ (+1) = +1

Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x� (3x� 1) es

D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0

= (�1;�1] [ [0;1)


8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

y =px2 + x� (3x� 1)

y = �4x+ 12 asíntota oblícua

y = �2x+ 32 asíntota oblícua


px2 + x�

px2 � 4x

Solución


Como el l��mx!+1

�px2 + x�

px2 � 4x

�presenta la indeterminación 1�1;

para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpx2 + x+

px2 � 4x

l��mx!+1

�px2 + x�

px2 � 4x

�= l��m

x!+1(px2+x�

px2�4x)(

px2+x+

px2�4x)

(px2+x+

px2�4x)

=

= l��mx!+1

x2+x�(x2�4x)(px2+x+

px2�4x)

= l��mx!+1

5x

(px2+x+

px2�4x)

"�1+1"


= l��mx!+1

5p1+ 1

x+p1� 4

x

=5

2

La recta y = 52 es una asíntota horizontal


�px2 + x�

px2 � 4x


x!�1

�px2 + x�

px2 � 4x

�realizamos el siguiente cambio

de variable x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que

l��mx!�1

�px2 + x�

px2 � 4x

�= l��m

z!+1

�pz2 � z �

pz2 + 4z

�= "+1�(+1)"

Como el l��mz!+1

�pz2 � z �

pz2 + 4z

�presenta la indeterminación 1�1;

para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpz2 � z +

pz2 + 4z

l��mz!+1

�pz2 � z +

pz2 + 4z

�= l��m

z!+1(pz2�z�

pz2+4z)(

pz2�z+

pz2+4z)p

z2�z+pz2+4z

=

= l��mz!+1

z2�z�(z2+4z)pz2�z+

pz2+4z

= l��mz!+1

�5zpz2�z+

pz2+4z

"�1+1"

Dividiendo numerador y denominador por z

= l��mx!+1

�5p1� 1

z+p1+ 4

z

=�52

La recta y = � 52 es una asíntota horizontal

Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x�

px2 � 4x es

D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0

\�x 2 R / x2 � 4x � 0

=

= [(�1;�1] [ [0;1)] \ [(�1; 0] [ [4;1)] = (�1;�1] [ [4;1)




F (X)

8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

4

6

8

x

y

y =px2 + x�

px2 � 4x

y = � 52 asíntota horizontal

y = 52 asíntota horizontal

2.5. SUMA O RESTA DE FUNCIONES RACIONALES 91

2.5. Suma o resta de funciones racionales

La determinación que más veces nos puede aparecer, cuando calculamos ellímite de una suma o resta de funciones, será la del tipo "1�1" . Para elimi-narla y que nos aparezca otra realizaremos las operaciones oportunas reduciendoa común denominador.


�3x2�x2x+3 �

3x+13x+2

�Solución

Como

264 l��mx!+1

3x2�x2x+3 = l��m

x!+13x2

2x = l��mx!+1

3x2 +1

yl��m

x!+13x+13x+2 = l��m

x!+13x3x = l��m

x!+11 = 1

375;entoncesl��m

x!+1

�3x2�x2x+3 �

3x+13x+2

�= +1� 1 = +1

Ejercicio 133 Calcula l��mx!�1

�3x2�x2x+3 �

3x+13x+2

�Ejercicio 134 Dada la función y = 3x2�x

2x+3 �3x+13x+2 =

9x3�3x2�13x�3(2x+3)(3x+2) calcula su

dominio y clasi�ca sus discontinuidades


�4x3+x3x2+x +

3x4x2+1

�Solución

Como

264 l��mx!+1

4x3+x3x2+x = l��m

x!+14x3

3x2 = l��mx!+1

4x3 +1

yl��m

x!+13x

4x2+1 l��mx!+1

3x4x2 = l��m

x!+134x = 0


x!+1

�4x3 + x

3x2 + x+

3x

4x2 + 1

�= +1+ 0 = +1


�4x3+x3x2+x +

3x4x2+1

�Ejercicio 137 Dada la función y = 4x3+x

3x2+x+3x

4x2+1 =x(16x4+17x2+3x+1)x(3x+1)(4x2+1) calcula

su dominio y clasi�ca sus discontinuidades.


�4x2+1x+3 + 3x2

x+2

�Solución

Como

2664l��m

x!�14x2+1x+3 = l��m

x!�14x2

x = l��mx!�1

4x = �1y

l��mx!�1

3x2

x+2 = l��mx!�1

3x2

x = l��mx!�1

3x = �1


x!�1

�4x2 + 1

x+ 3+

3x2

x+ 2

�= �1+ (�1) = �1



F (X)

Ejercicio 139 Calcula l��mx!+1

�4x2+1x+3 + 3x2

x+2

�Ejercicio 140 Dada la función y = 4x2+1

x+3 + 3x2

x+2 =7x3+17x2+x+2(x+3)(x+2) . Calcula su

dominio y clasi�ca las discontinuidades. ¿Existe alguna asíntota oblícua?Ayuda: 7x

3+17x2+x+2(x+3)(x+2) = 7x� 18 + 49x+110

(x+3)(x+2)


�4x2+1�2x2+x +

3x�2x+3

�Solución

Como

264 l��mx!�1

4x2+1�2x2+x = l��m

x!�14x2

�2x2 = l��mx!�1

(�2) = �2y

l��mx!�1

3x�2x+3 = l��m

x!�13xx = l��m

x!�1(3) = 3


x!�1

�4x2 + 1

�2x2 + x +3x� 2x+ 3

�= �2 + 3 = 1

La recta y = 1 es una asíntota horizontal


�4x2+1�2x2+x +

3x�2x+3

�. ¿La recta y = 1 es una asín-

tota horizontal?

Ejercicio 143 Dada la función y = 4x2+1�2x2+x +

3x�2x+3 =

2x3�19x2+x�3x(x+3)(2x�1) . Calcula

su dominio y clasi�ca las discontinuidades.


�2x2�3x2x+3 � 3x2

3x+5

�Solución

Como

2664l��m

x!+12x2�3x2x+3 = l��m

x!+12x2

2x = l��mx!+1

(x) = +1y

l��mx!+1

3x2

3x+5 = l��mx!+1

3x2

3x = l��mx!+1

(x) = +1


x!+1

�2x2 � 3x2x+ 3

� 3x2

3x+ 5

�= +1� (+1)

Como aparece la indeterminación "1�1"; tendremos que calcular la restade funciones que aparecen

l��mx!+1

�2x2 � 3x2x+ 3

� 3x2

3x+ 5

�= l��m

x!+1

�(2x2�3x)(3x+5)�3x2(2x+3)

(2x+3)(3x+5)

�=

= l��mx!+1

�8x2 � 15x6x2 + 19x+ 15

= "+1+1" = l��m

x!+1

�8x26x2

= l��mx!+1

��43

�=�43


�2x2�3x2x+3 � 3x2

3x+5

�. ¿La recta y = � 4

3 es una asín-

tota horizontal?

2.5. SUMA O RESTA DE FUNCIONES RACIONALES 93

Ejercicio 146 Dada la función y = 2x2�3x2x+3 � 3x2

3x+5 =�8x2�15x6x2+19x+15 . Calcula su

dominio y clasi�ca las discontinuidades.

Ejercicio 147 Dada la función y = 4x2+1�2x2+x +

3x�2x+3 =

2x3�19x2+x�3x(x+3)(2x�1) . Calcula

su dominio y clasi�ca las discontinuidades.


�3x2+x2x+1 �

3x3

x2+5

�Solución

Como

2664l��m

x!+13x2+x2x+1 = l��m

x!+13x2

2x = l��mx!+1

�32x�= +1

yl��m

x!+13x3

x2+5 = l��mx!+1

3x3

x2 = l��mx!+1

(3x) = +1


x!+1

�3x2 + x

2x+ 1� 3x3

x2 + 5

�= +1� (+1)


l��mx!+1

�3x2 + x

2x+ 1� 3x3

x2 + 5

�= l��m

x!+1

�(3x2+x)(x2+5)�3x3(2x+1)

(2x+1)(x2+5)

�=

l��mx!+1

��3x4 � 2x3 + 15x2 + 5x2x3 + x2 + 10x+ 5

�= "

�1+1" = l��m

x!+1

�3x42x3

= l��mx!+1

��32x

�= �1


�3x2+x2x+1 �

3x3

x2+5

�.

Ejercicio 150 Dada la función y = 3x2+x2x+1 �

3x3

x2+5 =�3x4�2x3+15x2+5x

(2x+1)(x2+5) . Calculasu dominio y clasi�ca las discontinuidades.


�x2+xx+2 �

x2+3xx+3

�Solución

Como

2664l��m

x!+1x2+xx+2 = l��m

x!+1x2

x = l��mx!+1

(x) = +1y

l��mx!+1

x2+3xx+3 = l��m

x!+1x2

x = l��mx!+1

(x) = +1


x!+1

�x2 + x

x+ 2� x

2 + 3x

x+ 3

�= +1� (+1)


l��mx!+1

�x2 + x

x+ 2� x

2 + 3x

x+ 3

�= l��m

x!+1

�(x2+x)(x+3)�(x2+3x)(2x+1)

(x+2)(x+3)

�=

l��mx!+1

��x2 � 3x

(x+ 2) (x+ 3)

�= "

�1+1" = l��m

x!+1

�x2x2

= l��mx!+1

(�1) = �1

La recta y = �1 es asíntota horizontal de la función



F (X)


�x2+xx+2 �

x2+3xx+3

�.¿La recta y = �1 es una asín-

tota horizontal?

Ejercicio 153 Dada la función y = x2+xx+2 �

x2+3xx+3 = � x(x+3)

(x+2)(x+3) . Calcula sudominio y clasi�ca las discontinuidades.

2.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES RACIONALES 95

2.6. Límite del producto de funciones racionales

Las indeterminaciones que más veces nos pueden aparecer, cuando calculam-os el límite de un producto de funciones, será las del tipo "0�1"y "1�1" . Paraeliminarlas y que nos aparezca otra, realizaremos las operaciones oportunas .


3x2+12x2+1

�x+23x+1 �

2x6x+1


x!+13x2+12x2+1

�x+23x+1 �

2x6x+1

�calcularemos previamente por

separado los siguientes límites

l��mx!+1

3x2 + 1

2x2 + 1= "

+1+1" = l��m

x!+1

3 + 1x2

2 + 1x2

=3

2

l��mx!+1

x+ 2

3x+ 1= "

+1+1" = l��m

x!+1

1 + 2x

3 + 1x

=1

3

l��mx!+1

2x

6x+ 1= "

+1+1" = l��m

x!+1

2

6 + 1x

=1

3

Por lo que:

l��mx!+1

3x2 + 1

2x2 + 1

�x+ 2

3x+ 1� 2x

6x+ 1

�=3

2

�1

3� 13

�= 0


3x2+12x2+1

�x+23x+1 �

2x6x+1


x!�13x2+12x2+1

�x+23x+1 �

2x6x+1

�Realizamos el siguiente cambio

de variable x = �z. Es evidente que si

x! �1, z ! +1

por lo que

l��mx!�1

3x2 + 1

2x2 + 1

�x+ 2

3x+ 1� 2x

6x+ 1

�, l��m

z!+1

3z2 + 1

2z2 + 1

��z + 2�3z + 1 +

2z

�6z + 1

�Calculamos por separado los siguientes límites

l��mz!+1

3z2 + 1

2z2 + 1=

+1+1" = l��m

z!+1

3 + 1z2

2 + 1z2

=3

2

l��mz!+1

�z + 2�3z + 1 = "

�1�1" = l��m

z!+1

�1 + 2z

�3 + 1z

=1

3

l��mz!+1

2z

�6z + 1 = "+1�1" l��m

z!+1

2

�6 + 1x

= �13



F (X)

Así pues:

l��mz!+1

3z2 + 1

2z2 + 1

��z + 2�3z + 1 +

2z

�6z + 1

�=3

2

�1

3� 13

�= 0


3x3�x�x2+3

�2x+3x+2 � 1

�Para calcular el l��m

x!+13x3�x�x2+3

�2x+3x+2 � 1

�calcularemos previamente por sep-

arado los siguientes límites

l��mx!+1

3x3 � x�x2 + 3 = "

+1�1" = l��m

x!+1

3� 1x2

� 1x +

3x3

=3

0�= �1

l��mx!+1

2x+ 3

x+ 2= "

+1+1" = l��m

x!+1

2 + 3x

1 + 2x

= 2

Por lo que:

l��mx!+1

3x3 � x�x2 + 3

�2x+ 3

x+ 2� 1�= �1 (2� 1) = �1


3x3�x�x2+3

�2x+3x+2 � 1

�y comprueba que da +1


3x2+xx+1

�2x2+xx+1 � x


x!+13x2+xx+1

�2x2+xx+1 � x

�calcularemos previamente por sep-

arado los siguientes límites

l��mx!+1

3x2 + x

x+ 1= "

+1+1" = l��m

x!+1

3 + 1x2

+ 1x +

1x2

=3

0+= +1

l��mx!+1

2x2 + x

x+ 1= "

+1+1" = l��m

x!+1

2 + 1x

1x +

1x2

=2

0+= +1

l��mx!+1

x = +1

Por lo que:

l��mx!+1

3x2 + x

x+ 1

�2x2 + x

x+ 1� x

�= " +1 (+1� (+1)) " =

Al obtener una indeterminación; tendremos que operar, con lo que

l��mx!+1

3x2 + x

x+ 1

�2x2 + x

x+ 1� x

�= l��m

x!+1

3x2 + x

x+ 1

�x2

x+ 1

�= l��m

x!+1

3x4 + x3

(x+ 1)2 = "

11"

= l��mx!+1

3x4 + x3

x2 + 2x+ 1= l��m

x!+1

3 + 1x

1x2 +

2x3 +

1x4

=3

0+= +1

2.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES RACIONALES 97


3x2+xx+1

�2x2+xx+1 � x

�y comprueba que da +1

Ejercicio 160 Comprueba que l��mx!+1

3x2+xx+1

�x� 2x2+x

x+1

�da �1 y que l��m

x!�13x2+xx+1

�x� 2x2+x

x+1

�=

�1

Ejercicio 161 Comprueba que l��mx!+1

x+4x2+x

�x3+xx+2 � x

�= +1 y que l��m

x!�1x+4x2+x

�x3+xx+2 � x

�=

�1

Ejemplo 162 Dada la función g(x) = x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�determina su dominio

y clasi�ca sus discontinuidades. Después calcula l��mx!+1

x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�y l��mx!�1

x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�SoluciónEl dominio de la función y = x+2

x3+1

�x3+xx+2 � x

�es

D(f) = R � f�2;�1g

Para x = �1 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto in-�nito; ya que x = �1es una asíntota vertical de ramas convergentes alser

l��mx!�1+

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= �1

y

l��mx!�1�

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�=1

Para x = 2 la función presenta una discontinuidad evitable ya que

l��mx!�2

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= "0�1"

l��mx!�2

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= l��m

x!�2

x+ 2

x3 + 1

�x3 � x2 � xx+ 2

�= "

0

0"

= l��mx!�2

x+ 2

x3 + 1

�x3 � x2 � xx+ 2

�= l��m

x!�2

x3 � x2 � xx3 + 1

=10

7

(La grá�ca de y = x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�coincide con la grá�ca de y = x3�x2�x

x3+1

si a ésta le quitamos el punto

P

��2; l��m

x!�2

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

��= P

��2; 10

7

�



F (X)

Para calcular el l��mx!+1

x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�calcularemos previamente por

separado los siguientes límites

l��mx!+1

x+ 2

x3 + 1= "

+1+1" = l��m

x!+1

1x2 +

1x3

1 + 1x3

=0+

1= 0+

l��mx!+1

x3 + x

x+ 2= "

+1+1" = l��m

x!+1

1 + 1x2

1x2 +

2x3

=1

0+= +1

l��mx!+1

x = +1

Por lo que:

l��mx!+1

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= "0+ (+1� (+1)) " =

Al obtener una indeterminación; tendremos que operar, con lo que

l��mx!+1

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= l��m

x!+1

x+ 2

x3 + 1

�x3 � x2 � xx+ 2

�=

Simpli�cando la fracción

= l��mx!+1

x3 � x2 � xx3 + 1

= "11"

= l��mx!+1

1� 1x �

1x2

1 + 1x3

= 1

La recta y = 1 es una asíntota horizontal de la función.

Fíjate en la siguiente tabla g(x) = x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�

g

0BBBBBB@x1010010001000010000

1CCCCCCA =

0BBBBBBB@

x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�0;889 110 889 10;989 899 010 10;998 998 9990;999 899 990 00;999 899 990 0

1CCCCCCCAAsí pues:

l��mx!+1

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= 1�

Comprueba tú que

l��mx!�1

x+ 2

x3 + 1

�x3 + x

x+ 2� x

�= 1+

Aquí tienes su grá�ca

2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES 99

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

x

y

y = x+2x3+1

�x3+xx+2 � x

�

2.7. Límite de la división de funciones

Las indeterminaciones que más veces nos pueden aparecer, cuando calcu-lamos el límite de una división de funciones, serán las del tipo "00", "1�1"y "11" . Para eliminarlas y que nos aparezca otra, realizaremos las operacionesoportunas .


h�x2

x+3 � x�:�x2+xx+2

�iSoluciónCalculamos por separado los siguientes límites

1) l��mx!+1

�x2

x+3 � x�

1) l��mx!+1

�x2

x+ 3� x

�= "1�1"

Operando

l��mx!+1

�x2

x+ 3� x

�= l��m

x!+1

�3xx+ 3

= "�1+1"

Dividiendo por x numerador y denominador

= l��mx!+1

�31 + 3

x

= �3



F (X)

2) l��mx!+1

�x2+xx+2

�2) l��m

x!+1

�x2 + x

x+ 2

�= "

+1+1"

Dividiendo por x2 numerador y denominador

= l��mx!+1

�1 + 1

x1x +

2x2

�=

1

0+= +1

Por lo anterior:

l��mx!+1

��x2

x+ 3� x

�:

�x2 + x

x+ 2

��=�3+1 = 0�

La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función y =�x2

x+3 � x�:�x2+xx+2

�Ejemplo 164 Calcula l��m

x!�1

h�x2

x+3 � x�:�x2+xx+2

�iSoluciónCalculamos por separado los siguientes límites

1) l��mx!�1

�x2

x+3 � x�1) l��m

x!�1

�x2

x+ 3� x

�= �1+1

Operando

l��mx!�1

�x2

x+ 3� x

�= l��m

x!�1

�3xx+ 3

= "+1�1"

Dividiendo por x numerador y denominador

= l��mx!�1

�31 + 3

x

= �3

2) l��mx!�1

�x2+xx+2

�2) l��m

x!�1

�x2 + x

x+ 2

�= "

+1�1"

Dividiendo por x2 numerador y denominador

= l��mx!�1

�1 + 1

x1x +

2x2

�=

1

0�= �1

Por lo anterior:

l��mx!+1

��x2

x+ 3� x

�:

�x2 + x

x+ 2

��=�3�1 = 0+


La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función y =�x2

x+3 � x�:�x2+xx+2

�Nota: El dominio de de�nición de la función y =

x2

x+3�xx2+xx+2

es

D(f) = [R � f�3;�2g] ��x 2 R / x2 + x = 0

=

= R � f�3;�2;�1; 0g

Comprueba que para x = �3 y para x = �1 la función presenta una discon-tinuidad inevitable de salto in�nito (las rectas x = �3 y x = �1 son asíntotasverticales de ramas divergentes)Comprueba que para x = 0 y x = �2 la función presenta una discontinuidad

evitable ya que no existen sus imágenes y sus límites valen

l��mx!0

x2

x+3 � xx2+xx+2

= �2

l��mx!�2

x2

x+3 � xx2+xx+2

= 0

La grá�ca de la función y =x2

x+3�xx2+xx+2

coincide con la grá�ca de y = � 3x+6(x+3)(x+1)si

a ésta le quitamos los puntos P (0; 2) y Q(�2; 0).Mira su grá�ca:

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

x

y

y =x2

x+3�xx2+xx+2

Ejercicio 165 Calcula el l��mx!+1

x2x+3�x

2

x+2

x2+3



F (X)

Ejercicio 166 Calcula el l��mx!�1

x2x+3�x

2

x+2

x2+3


xx2+5

x2+xx+1

y el l��mx!�1

xx2+5

x2+xx+1

Solución

Para calcular l��mx!+1

xx2+5

3x2

2x3+1

calculamos por separado los siguientes límites

l��mx!+1

xx2+5 y l��m

x!+13x2

2x3+1

1) l��mx!+1

x

x2 + 5=+1+1

Dividiendo por x2numerador y denominador

l��mx!+1

x

x2 + 5= l��m

x!+1

1x

1 + 5x2

= 0+

2) l��mx!+1

3x2

2x3 + 1=+1+1

Dividiendo por x3numerador y denominador

l��mx!+1

3x2

2x3 + 1= l��m

x!+1

3x

2 + 1x3

= 0+

Por lo que

l��mx!+1

xx2+5

3x2

2x3+1

=0

0

Operando

l��mx!+1

xx2+5

3x2

2x3+1

= l��mx!+1

2x3 + 1

3x3 + 15x=+1+1

Dividiendo arriba y abajo por x3

= l��mx!+1

2 + 1x3

3 + 15x2

=2

3

Comprueba tú que l��mx!�1

xx2+5

3x2

2x3+1

= 23 .La recta y =

23 es asíntota horizontal

Nota: La función y =x

x2+5

3x2

2x3+1

tiene por dominio

D(f) = R �� 1

3p2; 0

�


Puedes comprobar que para x = 0 la función tiene una asíntota verticalde ramas divergentes y para x = � 1

3p2 la función presenta una discontinuidad

evitable ya que l��mx!� 1

3p2

xx2+5

3x2

2x3+1

= 0

Su grá�ca coincide con la grá�ca de j(x) = 2x3+13x3+15x si a esta última le

quitamos el punto P ((� 13p2 ; 0).

Mira su grá�ca

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

x

y

y =x

x2+5

3x2

2x3+1


xx2+5

x2

x4+1

y el l��mx!�1

xx2+5

x2

x4+1


xx2+5

3x2

2x3+1

y el l��mx!�1

xx2+5

3x2

2x3+1



F (X)

2.8. Límites de funciones exponenciales, poten-ciales y potenciales exponenciales

Ejercicio 170 Comprueba que los siguientes límites son correctos

l��mx!+1

21x = 1 l��m

x!�121x = 1

l��mx!+1

2x+3x = 2 l��m

x!�123x+32x = 2

p2

l��mx!+1

�4x�8x�1

� x+3x

= 4 l��mx!�1

�4x�8x�1

� x+3x

= 4

l��mx!+1

�4x�8x�1

�x=1 l��m

x!�1

�4x�8x�1

�x= 0

l��mx!+1

�4x�8x�1

� x2

x+1

=1 l��mx!�1

�4x�8x�1

� x2

x+1

= 0

l��mx!+1

�x2+32x2+1

�3x= 0 l��m

x!�1

�x2+32x2+1

�3x=1

l��mx!+1

�2x2+1x2+3

�3x=1 l��m

x!�1

�2x2+1x2+3

�3x= 0

l��mx!+1

�x2+32x2+1

� 3x4x+2

= 12

4p2 l��m

x!�1

�x2+32x2+1

� 3x4x+2

= 12

4p2

l��mx!+1

�x2+32x2+1

� 3x4x2+2

= 1 l��mx!�1

�x2+32x2+1

� 3x4x2+2

= 1

l��mx!+1

�x2+32x3+1

��3= 1 l��m

x!+1

�x2+32x3+1

�3= 0

2.8.1. Indeterminación 11

Nota: si un límite presenta la indeterminación 1+1 o 1�1 para calcular sulímite, utilizaremos la relación siguiente:

l��mx!+1

[f(x)]g(x)

= el��m

x!+1g(x)[f(x)�1]

(o l��mx!�1

[f(x)]g(x)

= el��m

x!�1g(x)[f(x)�1]

Si calculamos dicho límite, todos los resultados que podemos obtener son:

ea siendo a 2 R

e0=1

e+1 = +1, al ser e > 1

e�1 = 0+ al ser e > 1


Ejercicio 171 Comprueba que

l��mx!+1

�2x2+32x2+1

�3x= 1 l��m

x!�1

�3x2+x3x2+1

�3x= e

l��mx!+1

�x2+2xx2+1

� 3x2

4x+1

= e32 l��m

x!+1

�x2+xx2+1

� 3x2

x+1

= e3

l��mx!+1

�4x+54x+3

� 3x2

4x+1

= e38 l��m

x!�1

�x2+5x2+3x

� 3x2

4x+1

= e�94

l��mx!+1

�4x3+5x2

4x3+3

� 3x3

4x+1

=1 l��mx!�1

�4x3+5x2

4x3+3

� 3x3

4x+1

= 0

l��mx!+1

�2�px2 + x� x

��x= e�

14 l��m

x!�1

�2�px2 � x+ x

��x= e

14

2.9. Límites de funciones logarítmicas

Ejercicio 172 Comprueba que

l��mx!+1

log2(1x ) = �1 l��m

x!+1log 1

2( 1x ) =1

l��mx!+1

log2(8x�4x ) = 3 l��m

x!+1log2(

x8x�4 ) = �3

l��mx!+1

log2(x2

8x�4 ) =1 l��mx!+1

log 12( x2

8x�4 ) = �1l��m

x!+1log2(

8x�4x2 ) = �1 l��m

x!+1log 1

2( 8x�4x2 ) = 1

l��mx!+1

(log2(2x� 3)� log2(8x� 2)) = �2 l��mx!+1

�log(2x�3)log 1

2

� log(8x�2)log 1

2

�= 2

l��mx!+1

(3x+ 2) (log3(3x� 2)� log3(3x+ 2)) = � 4ln 3 l��m

x!+1

�log2(2x� 3)� log2(x2 + 1)

�= �1

l��mx!+1

(x+ 2) (ln(2x� 3)� ln(2x+ 1)) = �2 l��mx!+1

�log(2x2 + 3)� log(x+ 1)

�=1

limites de funciones

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