limites
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NOMBRE: ANDREA TROYA
LOJA – ECUADOR2012
APROXIMACION AL LIMITE
LIMITES
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
INDETERMINACIONES
LIMITES EN EL INFINITO
LIMITES TRIGONOMETRALES
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
CONCEPTO
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PROPIEDADES DE LOS LIMITES
f(x) = f(a)
[ f(x) ± g(x) ] = f(x) ± g(x)
[ c f (x)] = c f(x)
[ f(x) . g(x) ] = f(x) . g(x)
=
=
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
SOLUCIÓN
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C D.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
= =
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C D. E. cos x
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
= =
= = = = 0
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C D. E. cos x
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
= =
= = = = 0
cos x = cos 0 = 1
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INDETERMINACIONES
En algunas ocasiones. Cuando se utilizan las propiedades de limites obtenemos resultados carentes de sentido, que se conocen como indeterminaciones.
CONCEPTO
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INDETRMINACIONES MAS NOTABLES
OPERACION INDETERMINACION
Sustracción ∞− ∞Multiplicación ∞. 0División , Elevación a potencia ,
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):
Cuando tenemos funciones de la forma con f(x) y g(x) teniendo a cero, buscamos expresiones equivalentes cuyo limite si existe.
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EJEMPLOS
CALCULAR:
SOLUCIÓN
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
= (x+5) = 5+5 = 10
CALCULAR:
SOLUCIÓN
= 10 Luego
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
= (x+5) = 5+5 = 10
CALCULAR:
SOLUCIÓN
= 10 Luego
Primero eliminamos la indeterminación
=
Luego
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LIMITES EN EL INFINITO
El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
CONCEPTO
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LIMITES EN EL INFINITO
De acuerdo con la definición anterior se puede concluir que:
Si a es un número racional positivo y c es un número real cualquiera
Por lo tanto para calcular un limite con x ≠ ∞, es conveniente expresar la función de la forma
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EJEMPLOS
SOLUCIÓN
CALCULAR:
Debemos expresar la función en la forma :
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EJEMPLOS
SOLUCIÓN
CALCULAR:
Debemos expresar la función en la forma :
lim𝑥→∞
2x2+𝑥+7𝑥2
x2+3x2
Dividimos cada termino de la función por la potencia de mayor exponente.
En este caso es
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EJEMPLOS
SOLUCIÓN
CALCULAR:
Debemos expresar la función en la forma :
lim𝑥→∞
2x2+𝑥+7𝑥2
x2+3x2
lim𝑥→∞
2+1
𝑥+7
x2
1+ 3x2
=21=2
Dividimos cada termino de la función por la potencia de mayor exponente.
En este caso es
Luego
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
CALCULAR: Debemos expresar la función en la
forma
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
CALCULAR: Debemos expresar la función en la
forma
=
Aparentemente en este ejercicio la potencia de mayor exponente es
Po lo tanto dividimos cada término entre x:
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
CALCULAR: Debemos expresar la función en la
forma
=
=
Aparentemente en este ejercicio la potencia de mayor exponente es
Po lo tanto dividimos cada término entre x:
Luego
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LIMITES Trigonométricos
Hemos visto que los limites de muchas funciones se pueden calcular mediante sustitución directa. Los limites de las seis funciones trigonométricas también se pueden calcular directamente.
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LIMITES TRIGONOMETRICOS
Si a es un número real, se verifican las siguientes propiedades:
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LIMITES TRIGONOMETRICOS
• sen x = sen a
• cos x = cos a
• tan x = tan a
• cot x = cot a
• sec x = sec a
• csc x = csc a
Si a es un número real, se verifican las siguientes propiedades:
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EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
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EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
= Utilizamos la identidad trigonométrica de tan x, para eliminar la determinación.
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EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
=
= =
Utilizamos la identidad trigonométrica de tan x, para eliminar la determinación.
Por tanto:
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EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
=
= =
= Luego
Utilizamos la identidad trigonométrica de tan x, para eliminar la determinación.
Por tanto:
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EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
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EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
= Sabemos ya que
= 1
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EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
=
2 . .
Sabemos ya que
= 1
Entonces:
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EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
=
2 . .
= Luego
Sabemos ya que
= 1
Entonces:
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APROXIMACION AL LIMITE
x 1 0,1 0,01 0 -0,01 -0,1 -1
0,841470
o998334
0,999983
? 0,999983
0,998334
0,841470
Cuando x es cero. Para tener una idea del comportamiento de la función cuando x=0, podemos usar dos conjuntos de valores de x. Uno que se aproxime a 0 por la izquierda y otro que se aproxime a 0 por la derecha. Observemos en la tabla , que ocurre con los correspondientes valores de f(x).
Supongamos que queremos hallar el valor de la función f(x) =
Estos resultados inducen a pensar que los valores de f(x) se acercan a 1, por tanto el limite de la función es 1
Se expresa : = 1
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EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMTE DE :
f(x) =
SOLUCIÓN
x 4 3,5 3,1 3,01 3,001 3 2,999 2,99 2,9
7 6,5 6,1 6,01 6,001 ? 5,999 5,99 5,9
La tabla muestra los valores f(x) en varios x cercanos al 3
Luego: concluimos que el limite es 6
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DEFINICION DE LIMITE
De acuerdo con lo anterior, hay que comprobar que la distancia de f(x) a L, es decir│L – f(x), es menor que cualquier cantidad positiva muy pequeña que se fije. Si llamamos £ a esa cantidad, se debe verificar que │L – f(x) < £ siempre que x ≠ a, aunque x este suficientemente cerca de a. Por lo tanto │x-a│es diferente de cero y a su vez, menor que una cantidad positiva, muy pequeña que llamaremos . Es decir │x-a│<
En consecuencia:
El > 0tal que: si 0 < │x-a│ < , entonces │L-f(x)│ < .
Decimos que L es el limite de f(x) cuando x →a, si f(x) esta muy próximo a L cuando x esta muy cerca a a.
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EJEMPLOS
UTILIZAR LA DEFINICION DE LIMITE PARA COMPROBAR QUE:
SOLUCIÓN
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EJEMPLOS
UTILIZAR LA DEFINICION DE LIMITE PARA COMPROBAR QUE:
SOLUCIÓN
=
= =
= <
EJEMPLOS
UTILIZAR LA DEFINICION DE LIMITE PARA COMPROBAR QUE:
SOLUCIÓN
=
= =
= <
Resulta que dado £ > 0, para ∂ = £ ∂ se cumple la condición de limite, ya que:
Luego: < < = £
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