limites
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LÍMITESDe Funciones Reales De Una Variable Real
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
PROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ, EdD
Idea intuitiva de Límite
Idea intuitiva de Límite
Idea intuitiva de Límite
Límite
Ejemplos:a) Sea la Función Lineal: f(x) = x – 2
Y321
-1-2
-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x •
Tomemos un elemento cualquiera del dominio: x =1
Límite
0 1 x( I )
y
-1
-2
( )
Observamos el comportamiento de las imágenes del entorno de x = 1
Límite
- Se observa:
Para valores a derecha e izquierda de x = 1
se obtienen imágenes alrededor de y = -1
- Se dice: Cuando x tiende a 1 (x 1) y tiende a -1 (y -1)
- Se escribe: Lim f(x) = - 1 x
1
- Se lee:
Cuando x tiende a 1 el límite de f(x) es igual a -1
LímiteEjemplos:b) Sea la Función Racional: f(x)= (x2 -3x + 2)/(x–1) Domf = R - {1}
y321
-1-2
-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x
Límite
0 1 x( I )
y
-1
-2
( )
Observamos el comportamiento de las imágenes del entorno de x = 1
Límite
- Se observa:
Para valores a derecha e izquierda de x = 1
se obtienen imágenes alrededor de y = -1
- Se dice: Cuando x tiende a 1 (x 1) y tiende a -1 (y -1)
- Se escribe: Lim f(x) = - 1 x 1
-Nota:
El límite existe aunque f(x) no existe para x = 1
0 1 2 3 4 5 x
y
2
1
-1
-2
-3
Límites Laterales
Ejemplos: c) Sea f(x)= x2 - 3 si x 1 x si x 1
Se pregunta: Lim f(x) = ? x 1
Límites Laterales
0 1 2 x
y
1
-1
-2
-3
A medida que nos acercamos por la izquierda a x = 1 las imágenes obtenidas se acercan a y = -2
Límites Laterales
- Se observa:
Existe un entorno para y = -2 al cual le
corresponde un entorno a la izquierda de x = 1
- Se dice:
Cuando x tiende a 1 por la izquierda y tiende a – 2
- Se escribe: Lim f(x) = - 2 x
1-
Límites Laterales
A medida que nos acercamos a x = 1 por la derecha las imágenes obtenidas se acercan a y = 1
0 1 2 x
y
2
1
-1
Límites Laterales
- Se observa:
Existe un entorno para y = -2 al cual le
corresponde un entorno a la derecha de x = 1
- Se dice:
Cuando x tiende a 1 por la derecha y tiende a – 2
- Se escribe: Lim f(x) = - 2 x
1+
Límites Laterales
- Se tiene:
Lim f(x) = -2 Lim f(x) = 1 x 1- x 1+
- Se concluye:
No existe Lim f(x) x 1
Teorema de Unicidad del Límite
Lim f(x) = L x a
Lim f(x) = L Lim f(x) = L x
a - x a +
Límites al infinito y límites infinitos
Sea f(x) = 1 / x
Domf =R- {0}
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
-1
-2
-3
Límites al infinito
Cuando x tiende a 0 por la izquierda, y decrece indefinidamente
-3 -2 -1 0 x
y
-1
-2
-3Escribimos:
Lim f(x) = - x 0 -
Límites al infinito
y
3
2
1
-1
0 1 2 x
Cuando x tiende a 0 por la derecha, y crece indefinidamente
Escribimos:
Lim f(x) = x 0 +
Límites infinitos
- -3 -2 -1 0 x
y
-1
-2
-3
Cuando x decrece indefinidamente y tiende a 0
Escribimos:
Lim f(x) = 0 x
-
Límites infinitos
y
3
2
1
-1
0 1 2 + x
Cuando x crece indefinidamente y tiende a 0
Escribimos:
Lim f(x) = 0 x
Límites Determinados
Para calcular límites:
(i) Se sustituye la variable independiente por la tendencia
(ii) Se realizan las operaciones a que haya lugar
Límites Determinados
Ejemplos:
Calcula los siguientes límites
= (-2)3 –(-2)2 + (-2) – 1 =
= - 8 - 4 - 2 - 1 = - 15
Limx-2 x3 – x2 + x – 1=
Límites Determinados
Ejemplos:
Calcula los siguientes límites
= (-2)3 –(-2)2 + (-2) – 1 =
= - 8 - 4 - 2 - 1 = - 15
Limx-2- x3 – x2 + x – 1=
Límites Determinados
Ejemplos:
Calcula los siguientes límites
= (-1)2 –(-1)
Limx-1 x2 – 1 =
= 1 + 1 = 2
GRACIAS
PROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ,EdD