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Axioma de eleccin 1Axiomas de Zermelo-Fraenkel 5Serie de Fourier 14Ecuacin del calor 17Ecuacin de Fokker-Planck 18Andri Kolmogrov 20Complejidad de Kolmogrov 23Teora de la computacin 24Teora de autmatas 27Autmata finito 30Funcin de transicin 40Tabla de transicin de estados 40Autmata finito no determinista 43Autmata finito determinista 47Trie 48Estructura de datos 51Tabla hash 52Funcin Hash 62rbol (informtica) 73rbol multicamino 75rbol-B 76rbol-B+ 84rbol-B* 85Reiser4 86Hans Reiser 88ReiserFS 91Teora del Big Bang 94Singularidad espaciotemporal 108Ecuaciones del campo de Einstein 111Relatividad general 114Principio de equivalencia 143Principio de covariancia 146Transformacin de Lorentz 148Tensor de Ricci 152

Tensor de curvatura 153Geometra diferencial de superficies 159Variedad de Riemann 164Geometra de Riemann 168Conexin de Levi-Civita 169Conexin (matemtica) 170Fibrado tangente 172Fibrado 173Campo de Yang-Mills 176Grado de libertad (fsica) 182Grado de libertad (estadstica) 184Dimensin 185Regla de las fases de Gibbs 188Termodinmica 189Fsica estadstica 197Qualia 200Thomas Nagel 201Experiencia 203Sistema de juego (juegos de rol) 204Dilema del prisionero 208Equilibrio de Nash 219Teora de juegos 224Estrategia de las armas nucleares 235Teora de la decisin 245Sistemas de soporte a decisiones 248Apuesta de Pascal 253Albert W. Tucker 258Programacin no lineal 260Programacin neurolingstica 262John Grinder 265Milton H. Erickson 267Richard Bandler 268Terapia Gestalt 272Hermenutica 276Friedrich Schleiermacher 281Francisco Pi y Margall 285

References

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Axioma de eleccin 1

Axioma de eleccinEn teora de conjuntos, el axioma de eleccin (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cadafamilia de conjuntos no vacos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manerainformal, afirma que dada una coleccin de cajas con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cadacaja. Que este procedimiento puede llevarse a cabo es trivialmente cierto siempre que dicha familia sea finita, ocuando existe una regla bien determinada que permite elegir un nico elemento de cada conjunto de ella. Sinembargo, el axioma es indispensable en el caso ms general de una familia infinita arbitraria.Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo.[1] Aunque originalmente fue controvertido, hoy en da es usado sinreservas por la mayora de los matemticos. Hay an, sin embargo, especialmente en la teora de conjuntos,corrientes de opinin que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con l.

EnunciadoEl enunciado del axioma de eleccin afirma que existe una funcin de eleccin para cada familia de conjuntos novacos, es decir, una funcin f tal que para cada conjunto B de su dominio, f(B) B. En la teora deZermelo-Fraenkel o similares, su enunciado formal es:

Axioma de eleccin

donde Fun f y Df denotan f es una funcin y el dominio de f en dicha teora. El axioma de eleccin tambin seenuncia de maneras similares, en las que el siginificado de funcin de eleccin vara ligeramente:

Los enunciados siguientes son equivalentes:[2]

Toda familia de conjuntos no vacos F posee una funcin de eleccin. Para toda familia de conjuntos no vacos F, su producto cartesiano es no vaco. Para todo conjunto A, existe una funcin de eleccin sobre la coleccin de sus subconjuntos no vacos. Para toda familia de conjuntos no vacos disjuntos dos a dos, F, existe un conjunto D que contiene exactamente un elemento de cada

conjunto de F: |D A | = 1, para cada A F.

Por el contrario, la negacin del axioma de eleccin afirma que para existe una familia de conjuntos no vacosque no posee ninguna funcin de eleccin.

UsoHasta finales del siglo XIX, el axioma de eleccin se usaba casi siempre implcitamente. Por ejemplo, despus dedemostrar que el conjunto X contena slo conjuntos no vacos, un matemtico habra dicho "sea F(S) un elemento deS para todo S en X". Es en general imposible demostrar que F existe sin el axioma de eleccin, pero esto no fuenotado antes de Zermelo.No siempre se requiere el axioma de eleccin. Si X es finito, el "axioma" necesario se deduce de los otros axiomas dela teora de conjuntos. En tal caso es equivalente a decir que si se tiene un nmero finito de cajas, cada una con almenos un objeto, se puede escoger exactamente un objeto de cada caja. Esto es evidente: se comienza en la primeracaja, se escoge un objeto; se va a la segunda, se escoge un objeto; y as sucesivamente. Como slo hay finitas cajas,este procedimiento de eleccin se concluir finalmente. El resultado es una funcin de eleccin explcita: una que ala primera caja le asigna el primer objeto elegido, a la segunda el segundo, etctera. Una prueba formal para todoconjunto finito requerira el principio de induccin matemtica.La dificultad aparece cuando no hay una escogencia natural de elementos de cada conjunto. Si no se pueden hacer elecciones explcitas, cmo saber que existe el conjunto deseado? Por ejemplo, supngase que X es el conjunto de

Axioma de eleccin 2

todos los subconjuntos no vacos de los reales. Primero se podra intentar proceder como si X fuera finito; pero si seintenta escoger un elemento de cada conjunto, como X es infinito, el procedimiento de eleccin no terminar nunca ynunca se podr producir una funcin de eleccin para X. Luego se puede intentar el truco de tomar el elementomnimo de cada conjunto; pero algunos subconjuntos de los reales, como el intervalo abierto (0,1), no tienenmnimo, as que esta tctica no funciona tampoco.La razn por la que se podan escoger elementos mnimos de los subconjuntos de los naturales es que stos vienen yabien ordenados: todo subconjunto de los naturales tiene un nico elemento mnimo respecto al orden natural. Tal veza este punto uno se sienta tentado a pensar: "aunque el orden usual de los nmeros reales no funciona, debe serposible encontrar un orden diferente que sea, este s, un buen orden; entonces la funcin de eleccin puede ser tomarel elemento mnimo de cada conjunto respecto al nuevo orden". El problema entonces se "reduce" al de encontrar unbuen orden en los reales, lo que requiere del axioma de eleccin para su realizacin: todo conjunto puede serbienordenado si y slo si vale el axioma de eleccin.Una demostracin que haga uso de AE nunca es constructiva: aun si dicha demostracin produce un objeto, serimposible determinar exactamente qu objeto es. En consecuencia, aunque el axioma de eleccin implica que hay unbuen orden en los reales, no da un ejemplo. Sin embargo, la razn por la que se queran bienordenar los reales eraque para cada conjunto de X se pudiera escoger explcitamente un elemento; pero si no se puede determinar el buenorden usado, tal escogencia no es tampoco explcita. Esta es una de las razones por las que a algunos matemticos lesdesagrada el axioma de eleccin; los constructivistas, por ejemplo, afirman que todas las pruebas de existenciadeberan ser completamente explcitas, pues si existe algo, debe ser posible hallarlo; rechazan as el axioma deeleccin, pues afirma la existencia de un objeto sin decir qu es. Por otro lado, el solo hecho de que se haya usadoAE para demostrar la existencia de un conjunto no significa que no pueda ser construido por otros mtodos.

IndependenciaDel trabajo de Kurt Gdel y Paul Cohen se deduce que el axioma de eleccin es lgicamente independiente de losotros axiomas de la teora axiomtica de conjuntos. Esto significa que ni AE ni su negacin pueden demostrarseciertos dentro de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). En consecuencia, asumir AE o su negacin nunca llevar auna contradiccin que no se pudiera obtener sin tal supuesto.La decisin, entonces, de si es o no apropiado hacer uso de l en una demostracin no se puede tomar basndose sloen otros axiomas de la teora de conjuntos; hay que buscar otras razones. Un argumento dado a favor de usar elaxioma de eleccin es simplemente que es conveniente: usarlo no puede hacer dao (resultar en contradicciones) yhace posible demostrar algunas proposiciones que de otro modo no se podran probar.El axioma de eleccin no es la nica afirmacin significativa e independiente de ZF; la hiptesis del continuogeneralizada (HCG), por ejemplo, no slo es independiente de ZF, adems lo es de ZF con el axioma de eleccin(ZFE, o ZFC en ingls). Sin embargo, ZF ms HCG necesariamente implica AE, con lo cual HCG es estrictamentems fuerte que AE, aunque ambos sean independientes de ZF.Una razn por la que a los matemticos no les agrada el axioma es que tiene por consecuencia la existencia dealgunos objetos contraintuitivos. Un ejemplo de ello es la paradoja de Banach-Tarski, que dice bsicamente que esposible cortar una bola tridimensional en finitas partes, y usando slo rotacin y translacin, reensamblarlas en dosbolas del mismo volumen que la original. La prueba, como todas las pruebas que involucran el axioma de eleccin,es slo de existencia: no dice cmo se debe cortar la esfera, slo dice que se puede hacer.Por otro lado, la negacin de AE es tambin extraa. Por ejemplo, la afirmacin de que dados dos conjuntoscualesquiera S y T, la cardinalidad de S es menor, igual, o mayor que la de T es equivalente al axioma de eleccin; enotras palabras, si se asume la negacin de ste, hay dos conjuntos S y T de tamao incomparable: ninguno se puedeinyectar en el otro.

Axioma de eleccin 3

Una tercera posibilidad es probar teoremas sin usar ni el axioma ni su negacin, la tctica preferida en matemticasconstructivas. Tales afirmaciones sern ciertas en cualquier modelo de ZF, independientemente de la certeza ofalsedad del axioma de eleccin en dicho modelo. Esto hace que cualquier proposicin que requiera AE o sunegacin sea indecidible: la paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no se puede demostrar como cierta (pues no sepuede descomponer la esfera del modo indicado) ni como falsa (pues no se puede demostrar que tal descomposicinno exista); sta, sin embargo, se puede reformular como una afirmacin sobre los modelos de ZF: "en todo modelode ZF en el que valga AE, vale tambin la paradoja de Banach-Tarski". Asimismo, todas las afirmaciones listadasabajo que requieren eleccin o alguna versin ms dbil son indecidibles en ZF; pero por ser demostrables en ZFE,hay modelos de ZF en los que son ciertas.

Axiomas ms fuertesEl axioma de constructibilidad, igual que la hiptesis del continuo generalizada, implica el axioma de eleccin, peroes estrictamente ms fuerte.En teoras de clases, tales como la teora de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gdel o la de Morse-Kelley, hayun posible axioma llamado axioma de eleccin global, que es ms fuerte que el axioma de eleccin para conjuntospues aplica tambin a clases propias.

EquivalentesExiste un gran nmero de proposiciones importantes que, asumiendo los axiomas de ZF (sin AE ni su negacin), sonequivalentes al axioma de eleccin. Entre los ms importantes estn el principio de buena ordenacin de Zermelo yel lema de Zorn.

Las siguientes proposiciones son equivalentes al axioma de eleccin:[3]

Teora de conjuntos

Principio de buena ordenacin de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado. Si un conjunto A es infinito, entonces A tiene la misma cardinalidad que A A. Tricotoma: dados dos conjuntos, stos tienen la misma cardinalidad, o bien uno tiene una cardinalidad menor que el otro. Toda funcin sobreyectiva tiene una inversa por derecha.

Lema de Zorn: Si en un conjunto parcialmente ordenado no vaco todo subconjunto totalmente ordenado toda cadena posee cotasuperior, entonces existe al menos un elemento maximal.

Principio maximal de Hausdorff: Todo conjunto parcialmente ordenado contiene una cadena maximal.

Todo espacio vectorial tiene una base.

Teorema de Tychonoff: todo producto de espacios compactos es compacto.

Formas ms dbilesHay varias proposiciones ms dbiles que, aunque no equivalentes al axioma de eleccin, estn fuertementerelacionadas como, por ejemplo: El axioma de eleccin numerable, que dice que toda coleccin numerable de conjuntos no vacos tiene funcin de

eleccin. Esto normalmente basta para probar afirmaciones sobre los reales, por ejemplo, pues los nmerosracionales, que son numerables, forman un subconjunto denso de los reales.

El axioma de eleccin dependiente.

Axioma de eleccin 4

Resultados que requieren AE pero son ms dbilesUno de los aspectos ms interesantes del axioma de eleccin es el gran nmero de lugares en la matemtica en losque aparece. He aqu algunas afirmaciones que requieren el axioma de eleccin en el sentido de que no sondemostrables en ZF pero s en ZFE. De forma equivalente, stas son ciertas en todos los modelos de ZFE y falsas enalgunos modelos de ZF. Teora de conjuntos

Toda unin de numerables conjuntos numerables es asimismo numerable. Si el conjunto A es infinito, existe una funcin inyectiva del conjunto de los naturales N a A.

Teora de la medida Existen subconjuntos de los reales que no tienen medida de Lebesgue (el conjunto de Vitali). La paradoja de Hausdorff. La paradoja de Banach-Tarski.

lgebra Todo cuerpo tiene clausura algebraica. Todo subgrupo de un grupo libre es tambin libre (teorema de Nielsen-Schreier). Los grupos aditivos R y C son isomorfos.[4]

Teora del orden: Todo conjunto puede ser linealmente ordenado.

lgebra de Boole Todo filtro en un lgebra de Boole puede ser extendido a un ultrafiltro.

Anlisis funcional El teorema de Hahn-Banach en anlisis funcional, que permite la extensin de funcionales lineales. Todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal. El teorema de la categora de Baire sobre espacios mtricos completos, y sus consecuencias. En todo espacio vectorial topolgico de dimensin infinita hay una funcin lineal discontinua.

Topologa Un espacio uniforme es compacto si y slo si es completo y totalmente acotado. Todo espacio de Tychonoff tiene una compactificacin de Stone-ech.

Formas ms fuertes de AEAhora, se considerarn formas ms fuertes de la negacin de AE. Por ejemplo, la afirmacin de que todo conjunto denmeros reales tiene la propiedad de Baire es ms fuerte que AE, que niega la existencia de una funcin de eleccinen tal vez una sola coleccin de conjuntos no vacos.

Resultados que requieren AEHay modelos de la teora de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de eleccin es falso; en adelante se abreviar"teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ms la negacin del axioma de eleccin" por ZFE. En algunos modelosde ZFE es posible probar la negacin de algunas propiedades comunes. Y puesto que un modelo de ZFE estambin modelo de ZF, cada una de las siguientes afirmaciones es vlida en algn modelo de ZF (suponiendo, comosiempre, que ZF es consistente): Existe un modelo de ZFE en el que hay una funcin f de los reales en los reales que no es continua en a, pero

para toda secuencia {xn} que converja a a, f(xn) converge a f(a). Existe un modelo de ZFE en el que el conjunto de los reales es una unin numerable de conjuntos numerables. Existe un modelo de ZFE en el que hay un cuerpo sin clausura algebraica.

Axioma de eleccin 5

En todos los modelos de ZFE hay un espacio vectorial sin base. Existe un modelo de ZFE en el que hay un espacio vectorial con dos bases de cardinalidad diferente. Existe un modelo de ZFE en el que todo subconjunto de Rn es medible. Con esto es posible eliminar resultados

contraintuitivos como la paradoja de Banach-Tarski, que son demostrables en ZFE. En ningn modelo de ZFE vale la hiptesis del continuo generalizada.

Referencias[1] Zermelo, Ernst (1904). Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen 59: pp.514-516.[2][2] Para estas equivalencias, vase Jech, 1973, 2 y Herrlich, 2006, 1 y 2.[3][3] Estas equivalencias pueden encontrarse en Herrlich, 2006 y Jech, 1973 (algunas aparecen como ejercicios).[4] [FOM] Are (C,+) and (R,+) isomorphic (http:/ / www. cs. nyu. edu/ pipermail/ fom/ 2006-February/ 009959. html)

Bibliografa Van Heijenoort, Jean, 1967, From Frege to Gdel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931,

Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. Traduo ao ingls de [Zermelo 1904], p.139141. ISBN0-674-32449-8.

Herrlich, Horst (2006) (en ingls). Axiom of choice. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5. Jech, Thomas J. (1973) (en ingls). The axiom of choice. North-Holland. ISBN 0-7204-2275-2. Rubin, H., Rubin, J.E., 1985, Equivalents of the Axiom of Choice, II, Amsterdam: North-Holland. ISBN

0-444-87708-8.

Axiomas de Zermelo-FraenkelLos axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, son un sistema axiomticoconcebido para formular la teora de conjuntos. Normalmente se abrevian como ZF o en su forma ms comn,complementados por el axioma de eleccin (axiom of choice), como ZFC.Durante el siglo XIX algunos matemticos trataron de llevar a cabo un proceso de formalizacin de la matemtica apartir de la teora de conjuntos. Gottlob Frege intent culminar este proceso creando una axiomtica de la teora deconjuntos. Lamentablemente, Bertrand Russell descubri en 1901 una contradiccin, la llamada paradoja de Russell.Consecuentemente, a principios del siglo XX se realizaron varios intentos alternativos y hoy en da ZFC se haconvertido en el estndar de las teoras axiomticas de conjuntos.

IntroduccinLa teora de conjuntos es una rama de la matemtica relativamente moderna cuyo propsito es estudiar unasentidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teora es reconocida como los fundamentos mismos de lasmatemticas. La teora de conjuntos fue desarrollada por el matemtico alemn Georg Cantor a finales del siglo XIXa partir de ciertas conclusiones hechas por l mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonomtricas deFourier. La teora de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artculos y libros, de los cuales puedendestacarse sus Beitrge zur Begrndung der transfiniten Mengenlehre.El propsito de Cantor era proporcionar un mtodo para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, unconcepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemticos (Pitgoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sinsignificado. Ciertamente Cantor tuvo xito, si bien su teora deba ser precisada y sometida a un sistema axiomtico,un proyecto que luego fue llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y AdolfFraenkel.

Axiomas de Zermelo-Fraenkel 6

Cantor parti de la conviccin platonista de que era posible comprimir una coleccin o conjunto de objetos yconsiderarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando implcitamente lossupuestos siguientes:

(i) Un conjunto es una reunin de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto,queda definido por tal propiedad.

(ii) Un conjunto es una sola entidad matemtica, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.

(iii) Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. As, puede decirse que un conjunto est determinado por sus elementos.

De este modo, Cantor pudo desarrollar su teora de una forma que en aquel entonces pareca lo suficientementesatisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios. GottlobFrege, que ide un sistema ms preciso, intent fundamentar adecuadamente la teora de conjuntos (y por tanto todaslas matemticas), pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubri una paradoja en la teora de aqul (hoyllamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege pareca desbaratarse. A principios del siglo XX, fue elmatemtico alemn Ernst Zermelo quien puso la teora de conjuntos sobre una base aceptable reducindola a unsistema axiomtico ms restringido que no permita la obtencin de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelofueron despus precisadas por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teora axiomticade conjuntos, conocida como teora de Zermelo-Fraenkel, aunque sera ms adecuada llamarla teora deZermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teora de conjuntos que evitaba las paradojas de la teora cantoriana fue desarrolladadespus, principalmente, por John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Gdel. Esta ltima es hoy llamada,naturalmente, la teora de von Neumann-Bernays-Gdel.

Sobre el concepto de conjuntoEl concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definicin precisa delmismo. Palabras como coleccin, reunin, agrupacin, y algunas otras de significado similar, se usan en un intentode describir a los conjuntos, pero no pueden constituir una definicin, pues son simplemente un reemplazo de lapalabra conjunto. Con todo, en la teora intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de ununiverso o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, as como tambin permite tratarconjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos, sino el comportamiento deun conjunto como entidad matemtica.De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relacin didica de pertenencia. El smbolo usual pararepresentar esta relacin es el smbolo , una versin de la letra griega (psilon). Los segundos argumentos de larelacin son llamados conjuntos, y los primeros argumentos son llamados elementos. As, si la frmula

se cumple, se dice que es un elemento del conjunto . Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces losprimeros y segundos argumentos de pertenecen al mismo dominio.

La negacin de se escribe .Bajo estos supuestos puede desarrollarse un poco la teora de conjuntos. Sin embargo, la concepcin intuitiva de conjuntos no permite llegar tan lejos como pudiera desearse, pues llega un momento en que, como sucede en otras reas de las matemticas, la intuicin es de poca o ninguna ayuda (por ejemplo como pasa al hablar de la hiptesis del continuo, de espacios de dimensin mayor que tres, etc.). Es en momentos como ese en que se hace evidente la necesidad de axiomatizar y formalizar la teora de conjuntos para poder llegar a resultados ms profundos. Esto implica renunciar a una definicin intuitiva de conjunto, y en su lugar postular una serie de principios que determinen el comportamiento de ste, de tal forma que los resultados obtenidos no son ya consecuencia de

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razonamientos intuitivos flojos, sino que se obtienen a partir de tales principios.

La necesidad de axiomatizar la teora de conjuntosEn la teora de Cantor, es posible formar un conjunto a partir de una propiedad determinada que deben cumplir suselementos. En otras palabras, dada cualquier propiedad , existe un conjunto cuyos elementos sonprecisamente los objetos que verifican . En smbolos, este conjunto se representa por

As, por ejemplo, considerando la frmula , se obtiene el conjunto

que claramente lo contiene todo. A este conjunto no se le puede aplicar alguno de los resultados de Cantor, ya queesto conduce a ciertas paradojas.Como otro ejemplo ms claro de conjuntos contradictorios debido a su 'gran tamao', est el que da lugar a laparadoja de Russell. Consideremos el conjunto cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a smismos. Esto es, el conjunto

La paradoja de Russell surge al preguntarse: es un elemento de s mismo? Si lo es, es decir, si , entoncesno satisface la condicin , lo que es una contradiccin. Si , entonces satisface la condicin

para ser uno de sus elementos, y as , de nuevo una contradiccin. As, no puede ni ser un elemento de smismo ni no serlo.En un intento de eliminar esta paradoja, Russell y Whitehead desarrollaron la teora de tipos y la expusieron en unlibro titulado Principia Mathematica. Si bien esta teora eliminaba la paradoja de Russell, resultaba demasiadocomplicada como para poseer inters. La teora de conjuntos de Zermelo, mucho ms simple a nivel lgico, lograbaeliminar tanto la paradoja de Russell como todas las dems que surgan en el sistema de Cantor y en el de Frege.

Los axiomas de Zermelo-FraenkelLa teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel toma como primitivos los conceptos de conjunto y de pertenencia yconsta de los diez axiomas siguientes:1. Axioma de extensionalidad. Dos conjuntos e son iguales (lo que se representa por ) nicamentesi contienen los mismos elementos. Ms formalmente, y en la simbologa usual,

2. Axioma del conjunto vaco. Existe un conjunto (representado por ) sin elementos. Esto es,

3. Axioma de pares. Dados cualesquiera conjuntos e , existe otro conjunto, representado por , cuyoselementos son nicamente e . Esto es,

4. Axioma de la unin. Dada cualquier coleccin de conjuntos , existe un conjunto, representado por y

llamado unin de , que contiene todos los elementos de cada conjunto de . Esto es,

5. Axioma del conjunto potencia Para cualquier conjunto existe otro conjunto, representado por , quecontiene todos los subconjuntos de . En smbolos,

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6. Esquema axiomtico de especificacin. Sea una frmula de un lenguaje de primer orden que contengauna variable libre . Entonces, para cualquier conjunto existe un conjunto cuyos elementos son aquelloselementos de que cumplen . Formalmente,

7. Esquema axiomtico de reemplazo. Si es una sentencia tal que para cualquier elemento de unconjunto el conjunto existe, entonces existe una funcin f:xy tal que f(a)=y.Formalmente, si

entonces

8. Axioma de infinitud. Existe un conjunto tal que y tal que si , entonces . Ensmbolos,

.9. Axioma de regularidad. Para todo conjunto no vaco existe un conjunto tal que . Estoes, en trminos formales,

10. Lema de Zorn. Todo conjunto inductivo no-vaco tiene elemento maximalEn un principio Zermelo trat de probar el "Lema de Zorn" a partir de los otros nueve axiomas, pero no lo consigui,adems, posteriormente los Teoremas de Incompletitud de Gdel probaron que el Lema de Zorn no era demostrablea partir de los restantes axiomas. Por lo tanto se aadi como dcimo axioma de la teora.Es equivalente aAxioma de eleccin. Dada una familia de conjuntos no-vacos podemos coger un elemento de cada conjunto. Esteaxioma puede expresarse de manera equivalente a, dado un conjunto cualquiera x, existe una funcin f que elige unelemento de cada elemento no vaco de x:

Sobre los axiomas y algunas definiciones en ZF

El axioma de extensionalidad

El axioma de extensionalidad dice que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. En otraspalabras, afirma que un conjunto est determinado por su extensin (todos sus elementos). Una relacin ms generalque la igualdad es la inclusin ( ), que se define como sigue:

A diferencia del signo de la igualdad, el smbolo no figura dentro del lenguaje de primer orden con el que seconstruye la teora ZF, pues la definicin antes dada debera en ese caso ser introducida como un axioma queestablezca el empleo de , cosa que no se ha hecho aqu. En su lugar, la simbologa se empleasimplemente para representar la frmula del lenguaje de la teora de conjuntos.En vista del axioma de extensionalidad y de la definicin anterior, resulta que puede probarse que dos conjuntos e

son iguales si puede probarse que e .

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El axioma del conjunto vaco

El axioma del conjunto vaco nos da un conjunto sin elementos. Este axioma se present usando el smbolo . Estoest justificado, pues el axioma de extensionalidad nos dice que este conjunto es nico.

Demostracin

En efecto, si y fueran dos conjuntos vacos, entonces siempre verificaran y para cualquier a, ypor tanto tambin

,de modo que, por el axioma de extensionalidad, .

El axioma del conjunto vaco puede deducirse de otro axioma ms dbil, que afirma la existencia de un conjunto,digamos , y del esquema de especificacin con la frmula aplicada a este conjunto . As, el conjuntovaco es el conjunto

con el trmino una descripcin impropia.

El axioma de pares

EL axioma de pares, un axioma de la teora de Zermelo-Fraenkel, establece que, dos cualesquiera dos conjuntos e, existe otro conjunto, representado por , cuyos elementos son nicamente e . Esto es,

(3) Del axioma de pares se tiene, a partir de dos conjuntos e , el conjunto { }. Este conjunto se llama pardesordenado de e . Si se aplica el axioma de pares a un solo conjunto , se obtiene el par { } cuyonico elemento es, obviamente, , y por ello puede representarse como . A este ltimo conjunto puedeaplicrsele de nuevo el axioma de pares, dando lugar al conjunto , conjunto al cual puede aplicarse tambin elaxioma de pares, obtenindose el conjunto {}, y as sucesivamente. Este proceso de construccin de conjuntos puedeaplicarse al nico conjunto dado y conocido explcitamente, , obtenindose una serie infinita de conjuntos

El axioma de unin

Si es una coleccin de conjuntos, entonces la unin contiene aquellos y solo aquellos elementos que estn

en algn conjunto de . Si , un conjunto con elementos, entonces es comn escribir

para representar la unin de los conjuntos de . Es fcil ver que

de modo que el axioma de unin y el axioma de pares garantizan la existencia del conjuntopara cualesquiera conjuntos e , un hecho que no puede deducirse

simplemente del esquema de especificacin junto con los axiomas restantes. A diferencia de la unin, la interseccinde conjuntos es deducible a partir del axioma de pares y el esquema de especificacin. Efectivamente, pues se defineel conjunto mediante

y por tanto existe. Ms general, se define el conjunto

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El axioma del conjunto potencia

El axioma del conjunto potencia nos da un conjunto que contiene a todos los subconjuntos de cualquier conjunto. Portanto, . Puesto que para cualquiera que sea el conjunto , puede hacerse uso delesquema de especificacin para obtener el conjunto

Si es otro conjunto, similarmente se obtiene al conjunto como un subconjunto de . Luego

de manera que el axioma de pares puede deducirse del axioma del conjunto potencia, el esquema de especificacin yel axioma de unin. As pues, no todos los axiomas de ZF son independientes.

El esquema axiomtico de especificacin

El esquema de especificacin resulta ser una versin limitada o dbil del axioma de Frege. Para este ltimo, eraposible tener un conjunto cuyos elementos satisfacan cierta propiedad. Con ello Frege garantizaba demasiado y dabalugar en su sistema a paradojas como la de Russell, entre otras. Por otra parte, el esquema de especificacin va deacuerdo con una doctrina de reduccin del tamao. Permite obtener conjuntos a partir de otros, y cuyo tamao esmenor que el de aquellos de los que han sido obtenidos. Esto implica que, necesariamente, contemos con conjuntospreviamente dados. Por tanto, nunca es posible pensar en la frmula , pues el conjunto no puede serobtenido sin ms que s mismo. La paradoja de Russell surge precisamente de considerar que conjuntos muy grandespueden ser obtenidos de forma gratuita sin ms que especificar cuales son sus elementos. Otras paradojas que tienenque ver con el gran tamao de los conjuntos, quedan excluidas de ZF mediante el esquema de especificacin. Ahorabien, el calificativo de esquema se debe a que no es un nico axioma, sino que este afirma (metamatemticamente)que cualquier expresin de la forma

donde es una frmula del lenguaje de la teora de conjuntos es un axioma de ZF. As, si consideramos laexistencia de un conjunto como un axioma, el conjunto vaco sera tambin un axioma resultante de aplicar elesquema de especificacin al conjunto con la frmula .El esquema de especificacin no es independiente en ZF, pues se deduce del esquema de reemplazo, introducido porFraenkel y Skolem el mismo ao y de forma independiente.

Esquema axiomtico de reemplazo

El esquema de reemplazo dice que si es un conjunto y es una frmula con dos variables libres e , talesque para cada existe un nico tal que se cumple, entonces existe un conjunto tal que si y solo si .Para mostrar como el esquema de especificacin se deduce del esquema de reemplazo, se considera la frmula

donde cualquier elemento de un conjunto . Si , entonces ciertamente existe un nico tal que(pues es mismo), por lo que la hiptesis del esquema de reemplazo se cumple, con lo que existe

un conjunto tal que

lo que es lgicamente equivalente a que existe un conjunto tal que

La formulacin que se ha dado del axioma de reemplazo fue introducida por primera vez por Fraenkel [1929], yapareci tambin en los trabajos de Church [1942]. Una forma ms dbil de este esquema axiomtico a parece en lostrabajos de Tarski [1948]. La formulacin original, dada por Fraenkel [1921/22 y 1927] y Skolem [1922/23 y 1929],

Axiomas de Zermelo-Fraenkel 11

es en esencia como sigue:

Para todo conjunto y cualquier funcin definida en , existe un conjunto tal que para todo.

El esquema de reemplazo fue introducido por Fraenkel y Skolem con la finalidad de extender la fuerza del esquemade especificacin, as como tambin posibilitar el conteo de nmeros ordinales ms all de lo que permite el axiomade infinitud.

Axioma de infinitud

El axioma de infinitud, introducido (aunque no en la forma en que se ha presentado aqu) por Zermelo 1908, permitela obtencin de los nmeros naturales como conjuntos dentro de ZF. En trminos generales, este axioma da unconjunto infinito segn Dedekind, pues garantiza la existencia de un conjunto sobre el cual existe al menos unafuncin inyectiva y no sobreyectiva (que claramente no existe para un conjunto finito). Es decir, lafuncin es tal que y , por lo que el rango de es un subconjunto propio de su dominio,

. Pero, en ese caso, la aplicacin

dada por , es biyectiva. La conclusin es que existe una biyeccin entre y uno de sussubconjuntos propios. Ahora bien, el conjunto cuya existencia garantiza el axioma de infinitud, cumple:

Pero es possible que subconjuntos de cumplan esto mismo (un subconjunto as de X se denomina conjuntoinductivo). Si es el conjunto de todos los subconjuntos inductivos de , es no vaco, pues . As,puede formarse la interseccin

de todos los conjuntos inductivos. Este conjunto es claramente inductivo, y sus elementos son

mismos que pueden ser considerados los nmeros naturales en ZF, y puede llamarse . Se observa que,

de este modo, un nmero natural es un conjunto que contiene a todos los nmeros naturales anteriores a l. Elconjunto de nmeros naturales queda de esta forma bien ordenado por la inclusin. Cualquier nmero natural de laforma para algn se llama siguiente de , y se representa por o por . Mediante estadefinicin de pueden probarse los axiomas de Peano, con lo que en ZF estos se convierten en teoremas (msexactamente, cuatro teoremas y un metateorema) sencillos:

implica .La forma en que se ha presentado el axioma de infinitud se debe a Fraenkel, y permite la construccin de losnmeros naturales como nmeros ordinales en el sentido de von Neumann. En esta forma fue utilizado por R. M.Robinson en su The thory of classes [1937] (en donde presenta una modificacin del sistema de von Neumann), ascomo tambin por Bernays [1942].Zermelo introdujo el axioma de infinitud [1908] de forma esencialmente similar a la siguiente: Existe un conjunto tal que( i )

Axiomas de Zermelo-Fraenkel 12

( ii ) As, puede obtenerse el conjunto de nmeros naturales cuyos elementos son

El orden que se establece entre estos elementos es el de la inclusin.Este axioma de infinitud de Zermelo no tiene las ventajas que tiene el axioma de infinitud de Fraenkel.

Axioma de regularidad o de fundacin

El axioma de regularidad dado aqu se debe a Zermelo [1930], si bien von Neumann present uno equivalente[1929], aunque ms complicado. Este axioma prohbe la existencia de conjuntos extraos, tales como conjuntos quecumplan: xx; o un par de conjuntos con xy yx; as como tambin la existencia de cadenas descendientesinfinitas:

Existen teoras de conjuntos donde se excluye este axioma. La teora que resulta de aadir un contrario del axiomade regularidad se conoce como teora de conjuntos no bien fundados.

Axioma de eleccin

A diferencia de los axiomas de ZF, el axioma de eleccin es un axioma no constructivo, en el sentido de que nodetermina un conjunto nico a partir de su informacin. Adems, como puede observarse, carece de la obviedad que(aunque la complejidad notacional de estos haga en algunos casos pensar lo contrario) caracteriza a todos los otrosaxiomas. Esto llev a algunos matemticos al intento de probar el axioma de eleccin a partir de los dems axiomas,cosa en lo que todos ellos fracasaron. Estos intentos vanos de probar el axioma de eleccin despus de grandesesfuerzos, y ciertas peculiaridades del mismo, algunos matemticos pensaban ya en la posible independencia delaxioma de eleccin respecto de los axiomas de ZF, aunque no saban en que direccin se encontraba la prueba deello. Gdel prob [1930/1940] que el axioma de eleccin era consistente con los axiomas de ZF, por lo que podaemplearse junto con ellos sin temor de obtener contradicciones.El axioma de eleccin fue presentado por Russell en 1906 de manera esencialmente similar a la siguiente:

Para todo conjunto no vaco de conjuntos disjuntos tal que , el producto cartesiano de es novaco.

Russell llam a este principio Axioma multiplicativo. El nombre de Axioma de eleccin (Auswahlaxiom) fue dadopor Zermelo al principio ms general que el de Russell:

Para todo conjunto no vaco tal que , existe una funcin cuyos argumentos son elementos de, tal que .

El nombre del axioma se debe al hecho de que la funcin elige un elemento de cada elemento (conjunto) de.

Zermelo introdujo el axioma de eleccin para probar el teorema de buena ordenacin que afirma que todo conjuntopuede ser bien ordenado. Mostr tambin que el lema de Kuratowski-Zorn se deduce del axioma de eleccin. Enrealidad, el axioma de eleccin es equivalente tanto al teorema de buena ordenacin como al lema deKuratowski-Zorn (la mayora de las veces simplemente llamado Lema de Zorn). La siguiente lista enumera algunosprincipios equivalentes en ZF al axioma de eleccin: Teorema de buena ordenacin. Lema de Kuratowski-Zorn. Ley de tricotoma de cardinales. Principio del maximal de Hausdorff. Lema de Teichmler-Tukey.

Axiomas de Zermelo-Fraenkel 13

Wacaw Sierpiski prob en 1947 que la hiptesis del continuo (un principio ad hoc que debe ser aceptado comoaxioma de la teora de conjuntos) implica el axioma de eleccin, si bien lo recproco no es cierto. Otro principio queimplica el axioma de eleccin es el axioma de conjuntos inaccesibles de Tarski [1938/1939].El sistema axiomtico de ZFC admite las demostraciones por reduccin al absurdo como mtodo para demostrarteoremas. Dado un (presunto) conjunto nos basta con llegar a una contradiccin con el resto de la teora despus dehaber supuesto su existencia para demostrar que no existe tal conjunto. un ejemplo tpico es la no existencia delconjunto de todos los conjuntos.

De existir este conjunto V podramos definir el conjunto , lo que irremisiblemente lleva ala Paradoja de Russell, por lo cual V no es un conjunto.Procedimiento igual nos llevar a demostrar la no existencia de conjunto conjugado(conjunto de los elementos nopertenecientes al conjunto) dado un conjunto cualquiera, ya que de ser as existira su unin, por el axioma de launin, y esta sera igual a V.

Otras propiedades de ZFCKurt Gdel prob que la consistencia lgica de los axiomas de ZFC es indemostrable. A lo sumo se puedendemostrar afirmaciones como si ZFC es consistente, entonces "T" tambin lo es, es decir la consistencia relativa. Encuanto a la completitud, el propio Gdel en sus teoremas de incompletitud demostr que si un sistema axiomtico eslo suficientemente fuerte como para construir una aritmtica recursiva, dicho sistema no puede ser completo yconsistente.

Vase tambin Axioma Teora de conjuntos de Morse-Kelley Teora de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gdel Lenguaje formal Lgica matemtica Nocin primitiva Sistema formal Teora de conjuntos

Bibliografa Cameron, Peter J. Sets, Logic and Categories, Springer, New York. Devlin, Keith. The Joy of Sets (Fundamentals of Contemporary Set Theory), Springer, New York. Halmos, Paul R. Naive Set Theory, Springer, New York. Henle, James M. An Outline of Set Theory, Springer, New Oyrk. Suppes, Patrick. Axiomatic Set theory, Van Nostrand Company, New York.

Serie de Fourier 14

Serie de FourierUna serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcin peridica y continua a trozos (opor partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado paraanalizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funcionessenoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debeal matemtico francs Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora cuando estudiaba la ecuacin del calor.Fue el primero que estudi tales series sistemticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Estarea de investigacin se llama algunas veces Anlisis armnico.Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una herramienta sumamente til en lateora matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento deimgenes y seales, y compresin de datos. En ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y atravs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de unsistema para la seal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funcin

DefinicinSi es una funcin (o seal) peridica y su perodo es , la serie de Fourier asociada a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las frmulas de arriba pueden expresarse tambin en su forma compleja:

Los coeficientes ahora seran:

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una funcin peridicaSupongamos que f(x) es una funcin peridica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un nmero finitode mximos y mnimos locales y un nmero finito de discontinuidades, de perodo 2p. Sean

y

entonces la serie converge a

Serie de Fourier 15

En donde , y

Forma exponencialPor la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

En forma ms compacta:

Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una funcin peridica.

Animacin de la suma de los 5 primeros armnicos.

Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes deFourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: (x) de cada punto x donde es diferenciable:

Serie de Fourier 16

IngenieraEl anlisis de seales en el dominio de la frecuencia se realiza a travs de las series de Fourier, por cuanto es muycomn, reemplazar la variable x por t, resultando las componentes:

Por lo tanto:

Aplicaciones Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de senoides

generados por osciladores elctrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. Anlisis en el comportamiento armnico de una seal. Reforzamiento de seales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de entrada no es senoidal o

cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solucin en rgimen permanente senoidal en eldominio de la frecuencia.

La resolucin de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en formade series de Fourier fcilmente computables, y que obtener soluciones prcticas, en la teora de la transmisin delcalor, la teora de placas, etc.

Formulacin modernaRealmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funcionesque cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con . Esteconjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de puedandesarrollarse en series de Fourier. As,el conjunto de funciones exponenciales es una baseortonormal del espacio . El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.Por ltimo, la identidad de Parseval dice que dada una funcin de cuadrado integrable y los coeficientes deFourier , se verifica que:

En lenguaje tcnico, podramos decir que hay una isometra entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y elespacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos trminos tienen cuadrados sumables.

Serie de Fourier 17

Formulacin generalLas propiedades tiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad dehomomorfismo de las funciones ei n x.Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades tiles,concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirn cumplindose si se pierde la "propiedad dehomomorfismo".Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones seobtienen normalmente como soluciones de una ecuacin diferencial; una gran clase de tales sucesiones tiles sonsoluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Vase tambin Transformada de Fourier Anlisis armnico Fenmeno de Gibbs Identidad de Parseval

Ecuacin del calor

La ecuacin del calor predice que si un cuerpo auna temperatura T se sumerge en una caja conagua a menor temperatura, la temperatura delcuerpo disminuir, y finalmente (tericamente

despus de un tiempo infinito, y siempre que noexistan fuentes de calor externas) la temperaturadel cuerpo y la del agua sern iguales (estarn en

equilibrio trmico).

La ecuacin del calor es una importante ecuacin diferencial enderivadas parciales que describe la distribucin del calor (o variacionesde la temperatura) en una regin a lo largo del transcurso del tiempo.Para el caso de una funcin de tres variables en el espacio (x,y,z) y lavariable temporal t, la ecuacin del calor es

donde es la difusividad trmica, que es una propiedad del material.La ecuacin del calor es de una importancia fundamental en numerososy diversos campos de la ciencia. En las matemticas, son lasecuaciones parablicas en derivadas parciales por antonomasia. En laestadstica, la ecuacin del calor est vinculada con el estudio delmovimiento browniano a travs de la ecuacin de FokkerPlanck. Laecuacin de difusin, es una versin ms general de la ecuacin delcalor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos dedifusin qumica.

Ecuacin del calor 18

Bibliografa Cannon, John (1984), The One-Dimensional Heat Equation, Encyclopedia of mathematics and its applications,

Addison-Wesley, ISBN 0-521-30243-9 Crank, J.; Nicolson, P. (1947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential

Equations of the Heat-Conduction Type, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 43: 50-67 Einstein, A (1905), ber die von der molekularkinetischen Theorie der Wrme geforderte Bewegung von in

ruhenden Flssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. Phys. Leipzig 17: 549-560 Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4th ed. edicin), Springer, ISBN 978-0387906096 Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction,

Cambridge University Press

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Ecuacin del calor. Commons Deduccin de la ecuacin del calor [1]

Ecuaciones del calor lineales [2]: Soluciones particulares y problemas de condicin de borde - de EqWorld Neher-McGrath heat equations [3]: What you need to know about your undergound electrical installation.

References[1] http:/ / www. mathphysics. com/ pde/ HEderiv. html[2] http:/ / eqworld. ipmnet. ru/ en/ solutions/ lpde/ heat-toc. pdf[3] http:/ / neher-mcgrath. com/ index. html#

Ecuacin de Fokker-PlanckLa ecuacin de FokkerPlanck, denominada as por Adriaan Fokkery Max Planck, y tambin conocida como ecuacin avanzada deKolmogrov (por Andri Kolmogrov), describe la evolucintemporal de la funcin de densidad de probabilidad que muestra laposicin y la velocidad de una partcula, aunque puede generalizarse aotro tipo de variables.[1] La ecuacin se aplica a sistemas que puedenser descritos por un pequeo nmero de "macrovariables", donde otrosparmetros varan tan rpidamente con el tiempo que pueden sertratados como "ruido" o una perturbacin.

HistoriaEl primer uso de la ecuacin de Fokker-Planck fue la descripcin estadstica del movimiento browniano de unapartcula en el seno de un fluido. El movimiento browniano sigue la ecuacin de Langevin, que puede resolversepara diferentes perturbaciones estocsticas, mediante resultados promediados. Sin embargo, como alternativa a esteprocedimiento, puede usarse la ecuacin de Fokker-Planck y considerar una densidad de probabilidad en lavelocidad y el tiempo, . Esta distribucin de probabilidad dependiente del tiempo puede an depender deun conjunto de N macrovariables , de tal manera que el movimiento browniano en cuestin puede serrepresentado por una ecuacin de Fokker-Planck de la forma:

Ecuacin de Fokker-Planck 19

donde:es el trmino de arrastre, que viene dado por un vector.es el trmino difusivo, que viene dado por una matriz.

Relacin con las ecuaciones diferenciales estocsticasLa ecuacin de FokkerPlanck puede usarse para calcular la densidad de probabilidad asociada a una ecuacindiferencial estocstica. Por ejemplo, a la ecuacin diferencial de It:

donde:

es el estado del sistema.caracteriza un proceso de Wiener estndar M-dimensional.

Si la distribucin inicial viene dada por , entonces la densidad de probabilidad del estadoviene dada por la ecuacin de FokkerPlanck con el trmino de arrastre y el trmino de difusin dados por:

EjemplosUn proceso de Wiener escalar generado por la ecuacin diferencia estocstica:

que tiene un trmino de arrastre nulo, un trmino y una matriz de difusin dada por el coeficiente 1/2, tiene unadensidad de probabilidad dada por la siguiente ecuacin de Fokker-Planck:

que resulta ser precisamente la forma ms sencilla posible de la ley de Fick para la difusin.

Vase tambin Ecuacin retardada de Kolmogrov

Referencias[1] Leo P. Kadanoff (2000). Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization (http:/ / books. google. com/ books?id=22dadF5p6gYC&

pg=PA135& ots=_yDpXsrPqY& dq=FokkerPlanck& sig=OgjxJK7nfTYTVDAmAhkP3bpqviU#PPA134,M1). World Scientific. ISBN9810237642. .

Bibliografa Hannes Risken, "The FokkerPlanck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer

Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X. Crispin W. Gardiner, "Handbook of Stochastic Methods", 3rd edition (paperback), Springer, ISBN

3-540-20882-8.

Ecuacin de Fokker-Planck 20

Enlaces externos FokkerPlanck equation (http:/ / members. aol. com/ jeff570/ f. html) en Earliest known uses of some of the

words of mathematics (http:/ / members. aol. com/ jeff570/ mathword. html)

Andri Kolmogrov

Andri Kolmogrov.

Andri Nikolyevich Kolmogrov ( ) (Tambov, 25 de abril de 1903 - Mosc, 20 de octubre de1987) fue un matemtico ruso que hizo progresos importantes en loscampos de la teora de la probabilidad y de la topologa. En particular,desarroll una base axiomtica que supone el pilar bsico de la teorade la probabilidad a partir de la teora de conjuntos. Trabaj alprincipio de su carrera en lgica constructivista y en las series deFourier. Tambin trabaj en turbulencias y mecnica clsica.Asimismo, fue el fundador de la teora de la complejidad algortmica.Obtuvo su doctorado en la Universidad Estatal de Mosc bajo ladireccin de Nikoli Luzin en 1929.

Biografa

Primeros aosSu madre, Mara Ykovlevna Kolmogrova, muri en el parto y su padre, el agrnomo Nikoli MatvyevichKatyev, lo abandon primero y luego pereci en 1919, en plena guerra civil rusa, durante la ofensiva del generalblanco Antn Denikin. Fue adoptado y criado por su ta Vera Ykovlevna Kolmogrova, la hermana de su madre, enTunoshna, cerca de Yaroslavl, en la hacienda de su abuelo, un noble rico.Kolmogrov fue educado en la escuela del pueblo de su ta, y sus primeros esfuerzos literarios y trabajosmatemticos fueron impresos en el peridico escolar. En su adolescencia dise mquinas de movimiento perpetuo,ocultando sus (necesarios) defectos de forma tan inteligentemente que sus profesores de enseanza secundaria nopudieron descubrirlos.En 1920, Kolmogrov comenz a estudiar en la Universidad Estatal de Mosc y en el Instituto Tecnolgico deQumica. Kolmogrov gan una gran reputacin por su erudicin de amplio alcance. Como estudiante, particip enlos seminarios del historiador Sergui Bajrushin, y escribi su primer trabajo de investigacin, que vers sobre lasprcticas de tenencia de la tierra en la Repblica de Nvgorod en los siglos XV y XVI. [1] Al mismo tiempo(1921-1922), Kolmogrov obtuvo sus primeros resultados en la teora de conjuntos y en la teora de series de Fourier(series trigonomtricas).

Andri Kolmogrov 21

MadurezEn 1922 Kolmogrov public sus primeros resultados en la teora de conjuntos y un ao ms tarde, construy unaserie de Fourier que diverge en casi todas partes,[1] obteniendo un notable reconocimiento internacional. Alrededorde este tiempo, decidi dedicar su vida a la matemtica y public ocho trabajos sobre la teora de la integracin,anlisis de Fourier y sobre la teora de probabilidad.En 1929 obtuvo su ttulo de Doctor en Filosofa, Ph.D., de la Universidad Estatal de Mosc. Desde ese ao, y hastala muerte del tambin matemtico Pvel Aleksndrov, fue su pareja.[2] Juntos participaron en 1936 en la persecucinpoltica del maestro de ambos, en el llamado caso Luzin. Kolmogrov (junto con A. Khinchin)En 1930, Kolmogrov hizo su primer viaje largo al extranjero, a Gttingen y Mnich, Alemania, y despus a Pars,Francia. Su trabajo pionero sobre los mtodos de anlisis de la Teora de la Probabilidad se public en alemn en1931, ao en que se convirti en profesor en la Universidad de Mosc. En 1933, Kolmogrov public el libro Losfundamentos de la Teora de la Probabilidad, en el que establece las bases modernas de la teora axiomtica de laprobabilidad y gracias al cual adquiera reputacin como uno de los mayores expertos del mundo en este campo. En1939, fue elegido miembro de nmero de la Academia Rusa de Ciencias. En un documento del 1938, Kolmogrovpublica "establecido los teoremas bsicos de alisado y de la prediccin de procesos estocsticos estacionarios" - undocumento que tendra importantes aplicaciones militares durante la Guerra Fra por venir. [2]En su estudio de los procesos estocsticos (procesos al azar), especialmente en los procesos de Markov, Kolmogrovy el matemtico britnico Sydney Chapman desarrollan de forma independiente el conjunto de ecuacionesfundamentales en el campo, las ecuaciones de Chapman-Kolmogrov.

Kolmogrov (izquierda) trabaja en su charla (Tallin, RSS de Estonia,1973).

Kolmogrov preparando su charla en el Simposiosovitico de teora de la informacin (ttulo no

exacto) de 1973.

Ms tarde, cambi de Kolmogrov intereses deinvestigacin en la zona de turbulencia, donde suspublicaciones a partir de 1941 tuvieron una influenciasignificativa en el campo. En la mecnica clsica, l esms conocido por el Teorema deKolmogrov-Arnold-Moser (presentado por primeravez en 1954 en el Congreso Internacional deMatemticos). En 1957 se resolvi el problemadecimotercero de Hilbert (un trabajo conjunto con suestudiante V.I. Arnold). Fue fundador de la teora de lacomplejidad algortmica, a menudo llamada teora de lacomplejidad de Kolmogrov, que comenz adesarrollar alrededor de este tiempo.

Kolmogrov se cas con Anna Dmtrievna Yegrova,amiga de la infancia, en 1942. Se aplic una fuerterutina de la enseanza durante toda su vida, no slo enel nivel universitario, sino tambin con nios mspequeos, ya que particip activamente en el desarrollode una pedagoga para los nios superdotados, en laliteratura y la msica, as como en las matemticas. Enla Universidad Estatal de Mosc, Kolmogorov ocupdiferentes posiciones, incluyendo la direccin dediversos departamentos: probabilidad, estadstica, y losprocesos de azar, la lgica matemtica, y tambin sedesempe como decano de la Facultad de laUniversidad Estatal de Mosc de Mecnica y Matemticas.

Andri Kolmogrov 22

En 1971, Kolmogrov se uni a una expedicin oceanogrfica a bordo del buque de investigacin DmitriMendelyev. Escribi una serie de artculos para la Gran Enciclopedia Sovitica. En sus ltimos aos dedic granparte de su esfuerzo a la relacin matemtica y filosofa entre la teora de probabilidades en las zonas abstracta yaplicada. [3]

CitasUna cita que se le atribuye: "Todo matemtico cree que est por delante de todos los dems. La razn por la que nolo dicen en pblico, es porque son gente inteligente".

BibliografaUna bibliografa de sus obras aparec en "Publications of A. N. Kolmogorov". Annals of Probability, 17 (3):945-964. Juliol de 1989. doi: 10.1214/aop/1176991252. Kolmogorov, Andrey (1933) (en alemn). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berln: Julius

Springer.o Traducci: Kolmogorov, Andrey (1956). Els fonaments de la Teoria de la Probabilitat (2 ed.). NovaYork: Chelsea. ISBN 0-8284-0023-7. http:/ / www. mathematik. com/ Kolmogorov/ index. html.

1991-93. Obres escollides de A.N. Kolmogorov, 3 vols. Tikhomirov, V. M., ed., Volosov, V. M., trad. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers. ISBN 90-277-2796-1

1925. "Al principi del tercer excls" de Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic,1879-1931. Harvard Univ Press. Prensa: 414-37.

Vase tambin Axiomas de Kolmogrov Complejidad de Kolmogrov Espacio de Kolmogrov Prueba de Kolmogrov-Smirnov Teorema de Kolmogrov-Arnold-Moser Ley cero-uno de Kolmogrov Ecuacin de Chapman-Kolmogrov Escala de Kolmogrov

Referencias[1] Une srie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout (http:/ / matwbn. icm. edu. pl/ ksiazki/ fm/ fm4/ fm4127. pdf). Consultado el 19

de enero de 2011.[2] Masha Gessen: Perfect Rigor: A Genius and the Mathematical Breakthrough of the Century, Houghton Mifflin Harcourt, 2009

Enlaces externos O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Biografa deAndri Kolmogrov (http:/ / www-history. mcs.

st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Kolmogorov. html) (en ingls), MacTutor History of Mathematics archive,Universidad de Saint Andrews.

The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov (http:/ / www. kolmogorov. com/ ) (en ingls)

Complejidad de Kolmogrov 23

Complejidad de Kolmogrov

Detalle de una parte del conjunto de Mandelbrot. Almacenar esta imagen sin msen color de calidad 24-bit requerira 1,62 millones de bits; sin embargo, unapequeo programa informtica puede reproducir estos 1,62 millones de bits,

usando la definicin del conjunto de Mandelbrot. Por esa razn, la complejidad deKolmogrov, es de hecho mucho menor que 1,62 millones de bits.

En la teora de la computacin, lacomplejidad de Kolmogrov es unamedida de la cantidad de recursoscomputacionales necesarios para describiruna cierta cantidad de informacin, debe sunombre a Andri Kolmogrov. Lacomplejidad de Kolmogrov tambin sedenomina complejidad descriptiva ocomplejidad de Kolmogorv-Chaitin,complejidad estocstica, o entropaalgortmica.

Para definir la complejidad de Kolmogrov,primero debe especificarse un lenguajedescriptivo para las secuencias o cadenas.Tal lenguaje puede basarse en cualquierlenguaje de programacin como Lisp oPascal. Si P es un programa que generacomo outputs secuenciaas de tipo x,entonces P es una descripcin del conjuntode x. La longitud de la descripcin es la longitud de P como secuencia de caracteres. Para determinar la longitud deP, debe darse cuenta de las longitudes de todas las subrutinas empleadas en P. La longitud de cualquier nmeroentero n que aparezca en el programa P es la cantidad de bits requeridos para representar n, esto es, log2n.

Teora de la computacin 24

Teora de la computacinLa teora de la computacin es una rama de la matemtica y la computacin que centra su inters en laslimitaciones y capacidades fundamentales de las computadoras. Especficamente esta teora busca modelosmatemticos que formalizan el concepto de hacer un cmputo (cuenta o clculo) y la clasificacin de problemas.

Principales subramas

Teora de autmatasEsta teora provee modelos matemticos que formalizan el concepto de computadora o algoritmo de manerasuficientemente simplificada y general para que se puedan analizar sus capacidades y limitaciones. Algunos de estosmodelos juegan un papel central en varias aplicaciones de las ciencias de la computacin, incluyendo procesamientode texto, compiladores, diseo de hardware e inteligencia artificial.Los tres principales modelos son los autmatas finitos, autmatas con pila y mquinas de Turing, cada uno consus variantes deterministas y no deterministas. Los autmatas finitos son buenos modelos de computadoras quetienen una cantidad limitada de memoria, los autmatas con pila modelan los que tienen gran cantidad de memoriapero que solo pueden manipularla a manera de pila (el ltimo dato almacenado es el siguiente ledo), y las mquinasde Turing modelan las computadoras que tienen una gran cantidad de memoria almacenada en una cinta. Estosautmatas estn estrechamente relacionados con la teora de lenguajes formales; cada autmata es equivalente a unagramtica formal, lo que permite reinterpretar la jerarqua de Chomsky en trminos de autmatas.Existen muchos otros tipos de autmatas como las mquinas de acceso aleatorio, autmatas celulares, mquinasbaco y las mquinas de estado abstracto; sin embargo en todos los casos se ha mostrado que estos modelos no sonms generales que la mquina de Turing, pues la mquina de Turing tiene la capacidad de simular cada uno de estosautmatas. Esto da lugar a que se piense en la mquina de Turing como el modelo universal de computadora.

Teora de la computabilidadVase tambin: IndecidibilidadEsta teora explora los lmites de la posibilidad de solucionar problemas mediante algoritmos. Gran parte de lasciencias computacionales estn dedicadas a resolver problemas de forma algortmica, de manera que eldescubrimiento de problemas imposibles es una gran sorpresa. La teora de la computabilidad es til para no tratar deresolver algoritmicamente estos problemas, ahorrando as tiempo y esfuerzo.Los problemas se clasifican en esta teora de acuerdo a su grado de imposibilidad: Los computables son aquellos para los cuales s existe un algoritmo que siempre los resuelve cuando hay una

solucin y adems es capaz de distinguir los casos que no la tienen. Tambin se les conoce como decidibles,resolubles o recursivos.

Los semicomputables son aquellos para los cuales hay un algoritmo que es capaz encontrar una solucin si esque existe, pero ningn algoritmo que determine cuando la solucin no existe (en cuyo caso el algoritmo paraencontrar la solucin entrara a un bucle infinito). El ejemplo clsico por excelencia es el problema de la parada.A estos problemas tambin se les conoce como listables, recursivamente enumerables o reconocibles, porque sise enlistan todos los casos posibles del problema, es posible reconocer a aquellos que s tienen solucin.

Los incomputables son aquellos para los cuales no hay ningn algoritmo que los pueda resolver, no importandoque tengan o no solucin. El ejemplo clsico por excelencia es el problema de la implicacin lgica, que consisteen determinar cundo una proposicin lgica es un teorema; para este problema no hay ningn algoritmo que entodos los casos pueda distinguir si una proposicin o su negacin es un teorema.

Teora de la computacin 25

Hay una versin ms general de esta clasificacin, donde los problemas incomputables se subdividen a su vez enproblemas ms difciles que otros. La herramienta principal para lograr estas clasificaciones es el concepto dereducibilidad: Un problema se reduce al problema si bajo la suposicin de que se sabe resolver el problema

es posible resolver al problema ; esto se denota por , e informalmente significa que el problema no es ms difcil de resolver que el problema . Por ejemplo, bajo la suposicin de que una persona sabe

sumar, es muy fcil ensearle a multiplicar haciendo sumas repetidas, de manera que multiplicar se reduce a sumar.

Teora de la complejidad computacionalVase tambin: Clase de complejidadAun cuando un problema sea computable, puede que no sea posible resolverlo en la prctica si se requiere muchamemoria o tiempo de ejecucin. La teora de la complejidad computacional estudia las necesidades de memoria,tiempo y otros recursos computacionales para resolver problemas; de esta manera es posible explicar por qu unosproblemas son ms difciles de resolver que otros. Uno de los mayores logros de esta rama es la clasificacin deproblemas, similar a la tabla peridica, de acuerdo a su dificultad. En esta clasificacin los problemas se separan porclases de complejidad.Esta teora tiene aplicacin en casi todas las reas de conocimiento donde se desee resolver un problemacomputacionalmente, porque los investigadores no solo desean utilizar un mtodo para resolver un problema, sinoutilizar el ms rpido. La teora de la complejidad computacional tambin tiene aplicaciones en reas como lacriptografa, donde se espera que descifrar un cdigo secreto sea un problema muy difcil a menos que se tenga lacontrasea, en cuyo caso el problema se vuelve fcil.

Otras subramas Modelos de cmputo Estudia abstracciones de hacer un cmputo. Aqu se incluyen los clsicos modelos de la

teora de autmatas adems de otros modelos como funciones recursivas, clculo lambda e inclusive lenguajes deprogramacin.

Teora algortmica de la informacin Centra su atencin en la complejidad para describir algoritmicamente unasecuencia de datos (cadena); aqu la complejidad est medida por la longitud de su descripcin ms pequea.

Especificacin y verificacin formal Busca metodologas para garantizar que un problema est correctamentemodelado y sistemas formales para validar la correccin de la solucin algortmica.

La Teora del aprendizaje computacional busca algoritmos que hagan que las computadoras modifiquen suscomportamientos de manera autnoma con base en datos empricos, y concretamente en ejemplos ycontraejemplos. A este tipo de aprendizaje se le llama aprendizaje supervisado. De forma anloga a la teora dela complejidad computacional, en esta teora las funciones se clasifican por su grado de dificultad de seraprendidas.

Teora de tipos Busca la clasificacin de enunciados de acuerdo a los tipos de valores que calculan utilizandoherramientas de teora de lenguajes formales.

HistoriaVanse tambin: Entscheidungsproblemy Tesis de Church-TuringLa teora de la computacin comienza propiamente a principios del siglo XX, poco antes que las computadoraselectrnicas fuesen inventadas. En esta poca varios matemticos se preguntaban si exista un mtodo universal pararesolver todos los problemas matemticos. Para ello deban desarrollar la nocin precisa de mtodo para resolverproblemas, es decir, la definicin formal de algoritmo.Algunos de estos modelos formales fueron propuestos por precursores como Alonzo Church (clculo Lambda), Kurt Gdel (funciones recursivas) y Alan Turing (mquina de Turing). Se ha mostrado que estos modelos son

Teora de la computacin 26

equivalentes en el sentido de que pueden simular los mismos algoritmos, aunque lo hagan de maneras diferentes.Entre los modelos de cmputo ms recientes se encuentran los lenguajes de programacin, que tambin hanmostrado ser equivalentes a los modelos anteriores; esto es una fuerte evidencia de la conjetura de Church-Turing, deque todo algoritmo habido y por haber se puede simular en una mquina de Turing, o equivalentemente, usandofunciones recursivas. En 2007 Nachum Dershowitz y Yuri Gurevich publicaron una demostracin de esta conjeturabasndose en cierta axiomatizacin de algoritmos.[1]

Uno de los primeros resultados de esta teora fue la existencia de problemas imposibles de resolveralgoritmicamente, siendo el problema de la parada el ms famoso de ellos. Para estos problemas no existe ni existirningn algoritmo que los pueda resolver, no importando la cantidad de tiempo o memoria se disponga en unacomputadora. Asimismo, con la llegada de las computadoras modernas se constat que algunos problemas resolublesen teora eran imposibles en la prctica, puesto que dichas soluciones necesitaban cantidades irrealistas de tiempo omemoria para poderse encontrar.....

Referencias[1] Nachum Dershowitz & Yuri Gurevich (2008). A natural axiomatization of computability and proof of Church's Thesis (http:/ / research.

microsoft. com/ en-us/ um/ people/ gurevich/ Opera/ 188. pdf). Bulletin of Symbolic Logic 14 (3). ISSN 10798986, 299-350. .

Sipser, Michael (http:/ / www-math. mit. edu/ ~sipser/ ) (2005). Introduction to the Theory of Computation (2edicin). Course Technology. ISBN 978-0534950972.

Kelley, Dean (http:/ / krypton. mnsu. edu/ ~kelled/ ) (1995). Teora de Autmatas y Lenguajes Formales. PrenticeHall. ISBN 978-0-691-13382-9.

Boolos, George; Burgess, John; & Jefrey, Richard (2007). Computability and logic. Cambridge. ISBN978-0-521-70146-4.

S. Barry Cooper (2004). Computability theory. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-237-9. Seccin 68Qxx, Theory of computing de American Mathematical Society. 2010 Mathematics Subject

Classification. (http:/ / www. ams. org/ mathscinet/ msc/ pdfs/ classifications2010. pdf). Consultado el 7 demarzode 2010.

Teora de autmatas 27

Teora de autmatasLa teora de autmatas es una rama de lasciencias de la computacin que estudia lasmquinas abstractas y los problemas questas son capaces de resolver. La teora deautmatas est estrechamente relacionadacon la teora del lenguaje formal ya que losautmatas son clasificados a menudo por laclase de lenguajes formales que son capacesde reconocer.

Un autmata es un modelo matemtico parauna mquina de estado finita (FSM sussiglas en ingls). Una FSM es una mquinaque, dada una entrada de smbolos, "salta" atravs de una serie de estados de acuerdo auna funcin de transicin (que puede serexpresada como una tabla). En la variedad comn "Mealy" de FSMs, esta funcin de transicin dice al autmata aqu estado cambiar dados unos determinados estado y smbolo.

La entrada es leda smbolo por smbolo, hasta que es "consumida" completamente (piense en sta como una cintacon una palabra escrita en ella, que es leda por una cabeza lectora del autmata; la cabeza se mueve a lo largo de lacinta, leyendo un smbolo a la vez) una vez la entrada se ha agotado, el autmata se detiene.Dependiendo del estado en el que el autmata finaliza se dice que este ha aceptado o rechazado la entrada. Si stetermina en el estado "acepta", el autmata acepta la palabra. Si lo hace en el estado "rechaza", el autmata rechaz lapalabra, el conjunto de todas las palabras aceptadas por el autmata constituyen el lenguaje aceptado por el mismo.

VocabularioLos conceptos bsicos de smbolos, palabras, alfabetos y strings son comunes en la mayora de las descripciones delos autmatas. Estos son:Smbolo

Un dato arbitrario que tiene algn significado a o efecto en la mquina. A estos smbolos tambin se les llama"letras" o "tomos".[1]

PalabraUna cadena finita formada por la concatenacin de un nmero de smbolos.

AlfabetoConjunto finito de smbolos. Un alfabeto se indica normalmente con , que es el conjunto de letras en unalfabeto.

LenguajeUn conjunto de palabras, formado por smbolos en un alfabeto dado. Puede ser infinito.

Clausura de KleeneUn lenguaje se puede considerar como un subconjunto de todas las posibles palabras. El conjunto de todas las palabras puede, a su vez, ser considerado como el conjunto de todas las posibles concatenaciones de cadenas. Formalmente, este conjunto de todas las cadenas se llama en ingls free monoid. Se indica como , y el

Teora de autmatas 28

superndice * se llama la estrella de Kleene.

Autmatas finitosFormalmente, un autmata finito (AF) puede ser descrito como una 5-tupla .Existen tres tipos de autmatas finitosAutmata finito determinista (AFD)

Cada estado de un autmata de este tipo tiene una transicin por cada smbolo del alfabeto.

AFD.

Autmata finito no determinista (AFND)Los estados de un autmata de este tipo pueden, o no, tener una o ms transiciones por cada smbolo delalfabeto. El autmata acepta una palabra si existe al menos un camino desde el estado q0 a un estado final Fetiquetado con la palabra de entrada. Si una transicin no est definida, de manera que el autmata no puedesaber como continuar leyendo la entrada, la palabra es rechazada.

Autmata finito no determinista con transiciones (AFND-)Adems de ser capaz de alcanzar ms estados leyendo un smbolo, permite alcanzarlos sin leer ningnsmbolo. Si un estado tiene transiciones etiquetadas con , entonces el AFND puede encontrarse en cualquierde los estados alcanzables por las transiciones , directamente o a travs de otros estados con transiciones .El conjunto de estados que pueden ser alcanzados mediante este mtodo desde un estado q, se denomina laclausura de q.

Sin embargo, puede observarse que todos estos tipos de autmatas pueden aceptar los mismos lenguajes. Siemprese puede construir un AFD que acepte el mismo lenguaje que el dado por un AFND.

Teora de autmatas 29

AFND con transiciones vacas.

Extensiones a los autmatas finitosLos lenguajes aceptados por los autmatas descritos ms arriba se denominan lenguajes regulares. Autmatas mspotentes pueden aceptar lenguajes ms complejos. Algunos de estos autmatas son:Autmata con pila

Son mquinas idnticas a los AFD (o AFI), exceptuando el hecho de que disponen de una memoria adicional,haciendo uso de una pila. La funcin de transicin ahora depender tambin de los smbolos que seencuentren al principio de la pila. Esta funcin determinar como cambia la pila en cada transicin. Este tipode autmatas aceptan los lenguajes independientes del contexto.

Autmata linealmente acotadoSe trata de una mquina de Turing limitada.

Mquina de TuringSon las mquinas computacionales ms potentes. Poseen una memoria infinita en forma de cinta, as como uncabezal que puede leer y cambiar esta cinta, y moverse en cualquier direccin a lo largo de la cinta.

Teora de autmatas 30

Vase tambin Sistema combinacional Autmata finito Autmata con pila Mquina de Turing

Enlaces externos JFLAP [2]

dk.brics.automaton [3]

Exorciser (en Alemn) [4]

Referencias[1] page 81 of (http:/ / ozark. hendrix. edu/ ~burch/ socs/ written/ text/ v1. pdf)[2] http:/ / www. jflap. org[3] http:/ / www. brics. dk/ automaton[4] http:/ / www. swisseduc. ch/ informatik/ exorciser/ index. html

Autmata finitoUn autmata finito (AF) o mquina deestado finito es un modelo computacionalque realiza cmputos en forma automticasobre una entrada para producir una salida.

Este modelo est conformado por unalfabeto, un conjunto de estados y unconjunto de transiciones entre dichosestados. Su funcionamiento se basa en unafuncin de transicin, que recibe a partir deun estado inicial una cadena de caracterespertenecientes al alfabeto (la entrada), y queva leyendo dicha cadena a medida que elautmata se desplaza de un estado a otro,para finalmente detenerse en un estado finalo de aceptacin, que representa la salida.

La finalidad de los autmatas finitos es la de reconocer lenguajes regulares, que corresponden a los lenguajesformales ms simples segn la Jerarqua de Chomsky.

Autmata finito 31

Historia

El modelo neuronal de McCulloch-Pitts tambinutiliza diagramas con estados y transiciones, adems

de los conceptos de entrada y salida.

El origen de los autmatas finitos probablemente se remonta a suuso implcito en mquinas electromecnicas, desde principios delsiglo XX.[1] Ya en 1907, el matemtico ruso Andri Mrkovformaliz un proceso llamado cadena de Markov, donde laocurrencia de cada evento depende con una cierta probabilidad delevento anterior.[2] Esta capacidad de "recordar" es utilizadaposteriormente por los autmatas finitos, que poseen una memoriaprimitiva similar, en que la activacin de un estado tambin dependedel estado anterior, as como del smbolo o palabra presente en lafuncin de transicin.

Posteriormente, en 1943, surge una primera aproximacin formal delos autmatas finitos con el modelo neuronal de McCulloch-Pitts. Durante la dcada de 1950 prolifera su estudio,frecuentemente llamndoseles mquinas de secuencia; se establecen muchas de sus propiedades bsicas, incluyendosu interpretacin como lenguajes regulares y su equivalencia con las expresiones regulares.[1] Al final de esta dcada,en 1959, surge el concepto de autmata finito no determinista en manos de los informticos tericos Michael O.Rabin y Dana Scott.[3]

En la dcada de 1960 se establece su conexin con las series de potencias y los sistemas de sobreescritura.[4]

Finalmente, con el desarrollo del sistema operativo Unix en la dcada de 1970, los autmatas finitos encuentran sunicho en el uso masivo de expresiones regulares para fines prcticos, especficamente en el diseo de analizadoreslxicos (comando lex) y la bsqueda y reemplazo de texto (comandos ed y grep).[5] A partir de ese tiempo, losautmatas finitos tambin se comienzan a utilizar en sistemas dinmicos.[1]

Definicin formalFormalmente, un autmata finito es una 5-tupla (Q, , q0, , F) donde:

[6]

es un conjunto finito de estados; es un alfabeto finito; es el estado inicial; es una funcin de transicin; es un conjunto de estados finales o de aceptacin.

El esquema general es el de una cinta lectora que avanza slo haciadelante y de a una celda, segn la funcin de transicin.

Funcionamiento

En el comienzo del proceso de reconocimiento de unacadena de entrada, el autmata finito se encuentra en elestado inicial y a medida que procesa cada smbolo dela cadena va cambiando de estado de acuerdo a lodeterminado por la funcin de transicin. Cuando se haprocesado el ltimo de los smbolos de la cadena deentrada, el autmata se detiene en el estado final delproceso. Si el estado final en el que se detuvo es unestado de aceptacin, entonces la cadena pertenece allenguaje reconocido por el autmata; en caso contrario,la cadena no pertenece a dicho lenguaje.

Autmata finito 32

Note que el estado inicial de un autmata finito siempre es nico, en tanto que los estados finales pueden ser msde uno, es decir, el conjunto puede contener ms de un elemento. Tambin puede darse el caso de que un estadofinal corresponda al mismo estado inicial.

Representacin como diagramas de estados

Este autmata finito est definido sobre el alfabeto ={0,1}, poseedos estados s1 y s2, y sus transiciones son (s1,0)=s2, (s1,1)=s1,(s2,0)=s1 y (s2,1)=s2. Su estado inicial es s1, que es tambin su

nico estado final.

Los autmatas finitos se pueden representar mediantegrafos particulares, tambin llamados diagramas deestados finitos, de la siguiente manera:

Los estados se representan como vrtices,etiquetados con su nombre en el interior.

Una transicin desde un estado a otro, dependientede un smbolo del alfabeto, se representa medianteuna arista dirigida que une a estos vrtices, y queest etiquetada con dicho smbolo.

El estado inicial se caracteriza por tener una aristaque llega a l, proveniente de ningn otro vrtice.

El o los estados finales se representan mediantevrtices que estn encerrados a su vez por otracircunferencia.

Representacin como tabla de transiciones

Otra manera de describir el funcionamiento de un autmata finito es mediante el uso de tablas de transiciones omatrices de estados. Dos posibles tablas para el ejemplo de la imagen anterior podran ser las siguientes:

salidaq Q

smbolo

llegada(q,) Q

s1 0 s2s1 1 s1s2 0 s1s2 1 s2

0 1

*s1

s2 s1

s2

s1 s2

La primera representa explcitamente los parmetros y el valor que toma cada ocurrencia de la funcin detransicin.[7] La segunda es ms compacta, y marca con una flecha el estado inicial, y con un asterisco los estadosfinales.

Generalizacin de la funcin de transicinSi es un alfabeto, entonces se denota * al conjunto de todas las cadenas de caracteres o palabras que se puedenconformar con dicho alfabeto.Una funcin de transicin se puede generalizar a una funcin *, que opera sobre estados y secuencias desmbolos, en lugar de smbolos individuales del alfabeto. As, esta nueva funcin de transicin se define

, permitiendo caracterizar los autmatas de manera ms abreviada y sin perder expresividad.[6]

La funcin * puede expresarse tambin de manera recursiva, definiendo para toda cadena x *, todo smbolo a , y un estado q Q:[6]

, que es la base inductiva, siendo la cadena vaca, y

Autmata finito 33

, que es la induccin propiamente tal.Se llama configuracin de un autmata finito a un "instante" en el cmputo de la mquina; es decir, al estado actualen que se encuentra dicho cmputo, junto con la palabra que ha sido procesada hasta ese momento. Formalmente, sedefine como un par ordenado (q, x) Q *. De este modo, se puede definir adems la configuracin inicial delautmata, como el par (q0,x), donde x es la entrada; y la configuracin final, como el par (q,), con q F.De este modo, el lenguaje regular aceptado por un autmata finito A puede denotarse como L(A) = {w; *(q0,w)F}, es decir, como el conjunto de todas las configuraciones iniciales que conllevan a estados finales.

Autmata finito determinista

AFD que reconoce el lenguaje regular conformadoexclusivamente por las cadenas con un nmero par de ceros y par

de unos.

Un autmata finito determinista (abreviado AFD) es unautmata finito que adems es un sistema determinista; esdecir, para cada estado q Q en que se encuentre elautmata, y con cualquier smbolo a del alfabetoledo, existe siempre a lo ms una transicin posible(q,a).

En un AFD no pueden darse ninguno de estos dos casos: Que existan dos transiciones del tipo (q,a)=q1 y

(q,a)=q2, siendo q1 q2; Que existan transiciones del tipo (q,), salvo que q

sea un estado final, sin transiciones hacia otrosestados.

Un ejemplo interesante de autmatas finitos deterministasson los tries.

Autmata finito no determinista

AFND con transiciones (q0,b)=q0 y (q0,b)=q1, que acepta ellenguaje regular sobre el alfabeto {a,b} conformado por todas laspalabras que terminan en b; es decir, que equivale a la expresin

regular (a|b)*b+.

Un autmata finito no determinista (abreviadoAFND) es aquel que, a diferencia de los autmatasfinitos deterministas, posee al menos un estado q Q,tal que para un smbolo a del alfabeto, existe msde una transicin (q,a) posible.

Haciendo la analoga con los AFDs, en un AFNDpuede darse cualquiera de estos dos casos: Que existan transiciones del tipo (q,a)=q1 y

(q,a)=q2, siendo q1 q2; Que existan transiciones del tipo (q,), siendo q un

estado no-final, o bien un estado final pero contransiciones hacia otros estados.

Autmata finito 34

AFND- a cuyo estado 2 se puede accederpasando por el estado 3, sin procesar smbolos de

entrada.

Cuando se cumple el segundo caso, se dice que el autmata es unautmata finito no determinista con transiciones vacas otransiciones (abreviado AFND-). Estas transiciones permiten alautmata cambiar de estado sin procesar ningn smbolo de entrada.

Formalmente, se distingue de la 5-tupla que define a un autmata finitodeterminista en su funcin de transicin. Mientras en un AFD estafuncin se define de la siguiente manera:

en un AFND se define como:

Para el caso de los AFND-, se suele expresar la funcin de transicinde la forma:

donde P(Q) es el conjunto potencia de Q.Esto significa que los autmatas finitos deterministas son un caso particular de los no deterministas, puesto que Qpertenece al conjunto P(Q).

La interpretacin que se suele hacer en el cmputo de un AFND es que el automta puede estar en varios estados a lavez, generndose una ramificacin de las configuraciones existentes en un momento dado. Otra interpretacin puedeser imaginar que la mquina "adivina" a qu estado debe ir, eligiendo una transicin entre varias posibles.Note finalmente que en un autmata finito no determinista podemos aceptar la existencia de ms de un nodo inicial,relajando an ms la definicin original.

Equivalencias entre autmatas finitosSe dice que dos autmatas finitos son equivalentes, si ambos reconocen el mismo lenguaje regular.Toda expresin regular (que define a su vez un lenguaje regular) puede ser expresada como un autmata finitodeterminista,[8] y viceversa.[9] Dada una expresin regular, es posible construir un AFND- que reconozca dicholenguaje, por ejemplo mediante el algoritmo de Thompson. Luego, todo AFND- puede transformarse en un AFNDequivalente, as como todo AFND puede transformarse en un AFD equivalente, mediante el mtodo llamadoconstruccin de conjunto potencia. As, por transitividad, para cualquier autmata finito no determinista siempreexiste un autmata finito determinista equivalente, y viceversa.[3]

Normalmente en el diseo de autmatas finitos, lo primero que se hace es construir un AFND-, que es el mssencillo de construir, por poseer menos restricciones en su funcin de transiciones. Luego dicho autmata se reduce aun AFND, y finalmente a un AFD, el cual por sus caractersticas deterministas ya puede ser implementado sinproblemas utilizando un lenguaje de programacin.

Autmata finito 35

Conversin de un AFND- a un AFNDLa conversin de un AFND- en un AFND se basa en el concepto de clausura-, que corresponde a una clausuratransitiva contextualizada en la teora de autmatas.Dado un estado q, se llama clausura-(q) al conjunto de todos los estados a los que se puede acceder a partir de q,procesndose a lo ms un nico smbolo de la entrada. Puede definirse recursivamente de la siguiente manera:[10]

(Base inductiva) Para todo estado q, q clausura-(q). (Induccin) Dados dos estados p y r, si p clausura-(q) y r (p,), entonces r clausura-(q).El algoritmo para eliminar las transiciones vacas es el siguiente:1. Se calcula la clausura- del estado inicial, formndose un conjunto A que corresponder al estado inicial del

nuevo autmata.2. Para cada smbolo del alfabeto, se verifican los estados alcanzables a partir de algn estado contenido en A, y se

calcula la clausura- de dichos estados alcanzables. Si dichas clausuras producen nuevos conjuntos distintos de A,estos sern nuevos estados a los que se acceder a partir de A y del smbolo correspondiente.

3.3. Se repite lo anterior para cada nuevo conjunto, hasta que no existan transiciones posibles para ningn smbolo delalfabeto.

EjemploEliminacin de las transiciones vacas de un AFND-.

AFND- inicial.

En este caso se obtiene un AFD, que es un caso particular de AFND.En el ejemplo de la figura, se tendr inicialmente:

clausura-(1) = {1,2,3,4,6} = APara A:

Para el smbolo a: 4 va a 5, y clausura-(5) = {5,7} = B.Para el smbolo b: no existen transiciones posibles.

Para B:Para el smbolo a: no existen transiciones posibles.Para el smbolo b: 5 va a 6, y clausura-(6) = {6} = C.

Para C:Para el smbolo a: no existen transiciones posibles.Para el smbolo b: no existen transiciones posibles.

Con esto concluye el algoritmo y se obtiene el autmata de la figura.En algunos casos puede ocurrir que al quitar las transiciones psilon obtengamos directamente un AFD, pues lanica razn de no-determinismo era justamente la presencia de dichas transiciones.

Autmata finito 36

Conversin de un AFND a un AFDConversin de un AFND a un AFD.

AFND inicial.

Proceso de conversin.

AFD final.Todo AFND (QN, , q0, N, FN) puede convertirse en un AFD (QD, , q0, D, FD) equivalente, que mantiene elalfabeto y el estado inicial q0 originales. La conversin implica pasar por un AFD intermedio con estados ytransiciones redundantes, que al no ser accesibles a partir del estado inicial, son eliminados para obtener el AFDdefinitivo.Para definir el AFD intermedio, se deben seguir los siguientes pasos:1. Primero se redefine el conjunto de estados QN = {q0,