libro trazos de geometría
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
1/42
GEOMETRA
ELEMENTAL PARA TRAZOS No hay duda de que las grficas computarizadas pueden mejorarla enseanza y el entendimiento de la mayora de los tpicos geomtricos;no se requiere introducir nuevos tpicos para hacer uso de estas nuevas herramientas.En mi opinin, los viejos tpicos vistos desde un ngulo contemporneo pueden ser tan
frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. Y son muchos! En muchospases hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseanzade la ciencia ha sido ms bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemtica.
Por el cual pongo en lnea este folleto. Para los que gusten de geometra.
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
2/42
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
3/42
Aplicacin 2hallar x en:
x
Solucin B
A C
D
O 60-
60
x
Primero: El DAB DOC (caso L-L-L)
Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia lamedida del ACB = 60 -Por ltimo, en el ABC Por teorema
x + ( + 60) + 60 - = 180x = 60
APLICACIONES DE CONGRUENCIA
O n
b
a
m
B
M
A
Si: OM es bisectriz
Teorema de la bisectriz
a = b m = n
O
A B
b a
Teorema de la mediatrizDe un segmento
De un ngulo
a = b
Es decir el AOB es
issceles de base AB
B
A C
O
El AOC es issceles
donde: AO = OC
El AOB COB
Caso: L-L-L
A
B
CX
am n
m n
M N
y
Teorema de la base media
= y (por que MN AC)
x = 2a
En:
Si:
X
am
n
Corolario:
n = m
x = 2a
75 15
4a
6 2 aa
Notables aproximados:
53/2
5a 5
37
53
3a
4a
aa
2a
10a
37/2
3a
a
25a 74
16
7a
24a
8
81
7a
2a5
a
17a
14
76
a
4a
TRAZOS Y PROPIEDADESObservacin: Se realizar las demostraciones ms complicadas alas necesarias.
1) Qu hacer en caso del siguiente ?B
A C2
1 Trazo interior:ro Se trata BM, interior y M AC formandom AMB = 2 . En consecuencia se tiene:
2 2
B
A C
C
M
2 Trazo exterior:do Anlogamente al exterior se traza BM
2M
B
3 Trazo especial:ro Para ello es necesario hacer un cambio devariable: = 2
Es decir:
4 2
Resulta:
3
Primertrazo
Cevianaexterior
Civianainterior
Segundotrazo
Se trazo
2) Qu hacer en un de la siguiente forma?
2
Resulta:
2
x = 60
Aplicacin 1hallar x en:
x
x
x
Solucin:
x
x
x
a
b
x
a
A
B
E D
C
Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x(En el EBC issceles)Luego se deduce que m CED =Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, elcual da como consecuencia un EBC equiltero.
CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA
Congruencia en tringulos rectngulos
32 2
A
B
C
M
N
a
y
Observacin:
2a
Notables:
Teorema de la mediana relativaa la hipotenusa
m m
x
x = m
a
MN no esparalelo aAC
45
45
60
30
a n
a
2n
n3
a 2
6 2 a
7 8
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
4/42
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
5/42
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
6/42
120x
60 A
Si:
120 2
90-3
x
x =
Demostracin: Recuerde que los pasos son los mismos a losproblemas anteriores.
2
90-3
90
-
2
x =
90- x
b
Si:
xA
B
D
C
E
2
a
a
x = 2
a = b
Demostracin:
2
9
0-
90-90
+ 90+
a b
El ADB CEB (Caso L-A-L)
x = 2 a = b
x
B
A N
P
C
x
a
Si: x = 2
a = b
b
a
2
90-
Demostracin: Los trazos son especificados en mismo volumen;pues son trazos conocidos.
a
2
2
90-
90-a
b
El ABN CNP(Caso L-A-L)
Propiedad: Resulta un rectngulo
x y
x=y=9 0 a = b
y
Demostracin:
a
bA D
CB
El DAB BCD (Caso L-A-L)
( - - )
x = 90 ; a = b m DBC =
5. Como trazar en el siguiente caso?
5k
23
1ero nos damos cuenta de que la medida del ngulo termina en 3 yun lado es como 5 el cual nos hace razonar con el siguiente
Notable aproximado:
5k
53
37
4k
3k
Entonces el trazo ser de la siguiente manera:
5k
23
302n
n
P
Punto cualquiera
PROBLEMA11 -Hallar x en: PROBLEMA12 -Hallar x en:
PROBLEMA13 -Hallar x en: PROBLEMA14 -Hallar x en:
23 x
5k
8k
x44
48k
25k
Por ltimo: el ABN DCN (Caso L-A-L)
20 x
60
A
N
DCB
100 100
x = 20
SOLUCIN 10:Recordemos el trazo general:
2
90-
2
90-
2
90-
Sandra
Quispe
18
81
x
81
18
B
A E
D
C
18 x
B
A E
D
C
El ABE ECD:
x = 18
EN FORMAGENERALDEMUESTRA
60-
2 90-3
x
Si:
x =
x = 2 a = b
Demostracin: Solo se realizara las consecuencias ya que lospasos fueron realizadas en cada problema
60-
2 90-3
x
x =
60
90-
90-
2
60
x 21
3011 17 25
29x
SOLUCIN 11:
x
5k
8k
23
30 53
37
5k
37
53
4k
3k
x
5k
8k
23
30
37
8k
30
60
4k
4k
4k
4k
60
13 14
Geometra
Milton Cucho
Anglica Tomayro
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
7/42
x
8k
23
30
4k
4k
60
4k 4k 4k 4k
x + 60 = 90
x = 30
SOLUCIN 12:
x44
48k
25k
30
24k
25k
74
24k
x44
48k
25k
30
24k
60
24k
48k
30
24k
60
x44
48k
25k
30
24k
60
24k
24k
x + 60 = 90
x = 30
24k 24k 24k
SOLUCIN 13:
x 21
30=5(6)11
16
53
3(6)=18
74
4(6)=24
37
18
53
24
30
x 21
30
16
53
74
24
74
24
16
7
11
11
74
7
x = 74
SOLUCIN 14:
x 29
2517
45
16
45
716
7
74
24
25
45
x 29
2517
45
16
7745
45
45
7
17
7
45
x = 45
TRAZOS6. Como trazar en el siguiente caso?
Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un tringulo
issceles.
7. Qu trazo se debe realizar en el siguiente caso?
Recordar:
n
n
Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un issceles.
1ero
nn
Finalmente se obtiene:
nn
8. Cules son las construcciones en este tipo de tringulo?30
; < 30
1 tipo de trazo:er Se construye un tringulo equiltero en funcindel lado mayor.
3030
Recuerda:
Finalmente se obtiene:
3030
Observacin: En la solucin de los problemas; se aplicar el casofinal, por que ya se demostr de donde viene el grfico final.
15 16
Geometra
YenyHuyhua
Aurelia
Diaz
Wilykiwy
Cesar Flores
FlorArons
Maria LuzCusi
JalachaTomayro
Lucia
CaboFlores
WalterJanampa
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
8/42
2 tipo de trazo:do Se construye un tringulo rectngulo, de talmanera que el lado mayor se transforma en hipotenusa.
302n
n
3 tipo de trazo:er Se construye un tringulo equiltero en funcindel lado menor.
30
30
A
C
B
N
Luego completamos el segmentoAN para obtener un tringuloisscelesANC
30
30
A
C
B
9. Qu hacer en este tipo de tri ?ngulo
60+
30
B
C
A
Se construye el ANB equiltero
60A
C
N
B
3030
60A
C
N
B
3030
Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el ANCissceles..
60
10. Qu hacer en este caso?
60-2A
B
C
D
Primero construimos el ABN equiltero, y por ltimo trazamosBC y ND del cual:
ABC AND (Caso L-A-L)
60-2A
N
B
C
D
PROBLEMA15 -Hallar x en: PROBLEMA16 -Hallar x en:
PROBLEMA17 -Hallar x en: PROBLEMA18 -Hallar x en:
20
x
+10
x +40
3
50
30
x
PROBLEMA19 -Hallar x en: PROBLEMA20 -Hallar x en:
x30
PROBLEMA21 -Hallar x en: PROBLEMA22 -Hallar x en:
PROBLEMA23 -Hallar x en: PROBLEMA24 -Hallar x en:
20
60-2
PROBLEMA25 -Hallar x en: PROBLEMA26 -Hallar x en:
10
x
PROBLEMA27 -Hallar x en: PROBLEMA28 -Hallar x en:
x
80
2030 20
x
20+
x +20
20
10
3
10
20
30x
20
10 x70
30 20
1040
70x
10
x
40
60-2
x
60-2
60+
x
20
SOLUCIN 15:Recuerda:
+
nn
+
+
Trazamos DE para formar el issceles del BDE.
20+
x 20
20+
B
AD
C
E
Del grfico tenemos como consecuencia:
x 20
B
AD
C
E
ABD DEC (Caso L-A-L)
x = 20
Solucin 16:
n nn+ n+ n
Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m BDE
= m BED = 10 + , entonces BDE issceles.
x
+10 +20
10
+10
B
AD
C E
x
+10 +20
10
+10
B
AD
C E
Del grfico el ABD EBC (Caso L-A-L)
x = 10
Geometra
EdelizaTomayro
Maria SoledadSalcedo
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)1817
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
9/42
3
30
x
10
3
50
30
x
B
A C
N
M
50
50
50
De la construccin se tiene:ABC ACM (Caso A-L-A)
X = 3
3
50
B
A C50
x
x
A
M
50
50
3
C
x = 40
Solucin 19:Primero trazamos la altura relativa a la base.
x
10 30
Recuerde:
3030
2n
x
10 30
n n
n n2n
n
x
10n nD
n
B
CA
E
40
= 40 Por que el ABD LEAPor lo que: 40 =Por ltimo: + x + 10 = 90
40 + x + 10 = 90
L
Solucin 20:
20
30x
20
60-x30
60-x x
B
A
D
C
MDel grfico se deduce que el ABC ADM (Caso L-A-L)
x = 40
x = 60 - x = 20
Solucin 17:
Solucin 18:
3030
Solucin 21:Realizamos el trazo conocido y mencionado.Constituimos el ABN equilatero
+40
C
Trazamos:
+40C
+20
n n
m
n+m
M
+40C
+20
M
30
x
20
A
B
x
20
A
B
20
x
20
A20
B
El ABN MAC (Caso L-A-L)
X = 20
30
10
60
30
10
Ax
20
50
10
N
B
10
60
30
10
Ax
20
50
10
N
B
10
60
30
10A
x
20
50
10
N
B
X = 10
Geometra
NorisChavez
YovanaPalomino
YessicaFlores
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)2019
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
10/42
Geometra
Se obtiene lo siguiente:
B
CA
4010
1010
10
X60
60
10
D
E
RoxanaLa Catalinita
JhonnyMeza
2
Recordar:
Recordar:
230 -
120-2
30
Aplicando la propiedad sealada:
Consecuencia:
X 30=
Solucin 22 Solucin 23 Solucin 24
C
B
A
40
10 10
X70
70
60+
30
60+
30
30
30
30
30
Reordar:
Roci lvaro
Se construye el ABE equiltero.
C
B
A
40
1010
10
X60
60
10
D
E
DA C AEC.
20
20
10
10 10
x
x
40
40
40
50
50 50
50
110
E L AB C B CD
x = 40
x = 30
x =
A
D
B
C
60-
60+60-
60+
60+2
60-2
1) 2)
60-2
_
Rubn Tomayro
Anabela Alca
60-2
_
60
60
60-2
2
x
x
x
x
x
60-2
2
60+2
60-2
x
60-2
Haciendo la construccin se obtiene:
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)2221
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
11/42
Geometra
D B
60-2
E
A C
Solucin: 25Se construye el EBC equiltero
X X=
E
D B
A C
X =30
X
X
X
Solucin 26 Solucin 27
C
C
A
A
A
B
B
B
30
30-
x
10
10
20
20
20
20
20
60
60
30
30
40
40
60
60
D
D
D
N
N
E
E
Despus de construir el ACEequiltero. luego el
ACB ECD (L-A-L)
ACD EAD (L- L- L)Como el
BCD ECA
x
x
x
A
A
D
D
C
C
B
B
E
E
C
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
40
40
40
20
20
20
60
60
x
80
A
B
D
Delcual 2X =60.
X= 30
Solucin 28
Como el ABC ACD (L-A-L)En consecuencia se obtiene.
Se construye el ACD equiltero.
C
C
B
B
A
A
D
D
E
E
X
X
X =20
60 +
60
60
60 +
2 2
60
60
30
20 10
60 60
*
*YosmilEspilco
20
20
30
30
30
30
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)23 24
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
12/42
Primero construimos el ABN equiltero por tanto:
Trazo Especial:
Luego prolongamos BC en K de tal manera que m
B
B
A
A
C
C
30
B
C
N
3030
A
Tener presente el siguiente
B
Recordar
30
30
K
B
A
C
N
30
CONSECUENCIA
Ada LuzOr
3030 3030
30+X30+X60
30-X
_ _
Nelson Mndez
De lo mensionado, trazamos KN del cual trae comoconsecuencia el AKN issceles y m KAM=30-X
-
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)2625
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
13/42
B
N
30
30
K
A
C
30
30-X
30-X
Ahora construimos el AKM equiltero y comoconsecuencia la m BAM=30-X
B
N
30
30
K
A
C
30
30-X
30-X
30-X
M
Despus de hacer el trazo MB se verifica que:(caso L-A-L), por tanto todos los datos que se
cumple en el tienen que cumplirse en el
osea quiere decir que el E es tambin issceles el cualse especificar en el otro grfico.
M ABKAN
K AN M AB
M AB
B
N
30
30
K
A
C
30
30-X
30-X
30-X
M30-
X
Como L es punto medioadems AC es mediatrizdel segmento MK.
B
N
30
30
K
A
C
30
30-X
30-X
3
0-X
M30-
X
--
--
L
60-X
Victor Pillaca Quispe
RecordandoM
K
30
30
LA
30
30
L
=
=
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)27 28
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
14/42
=
=CA
M
K
=
= C
Carlos Contea
A
M
K
Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusinde que el ACK es issceles (MC=CK). Por ltimo; mMCB=120-X
B
N
30
30
K
A
C
30
30-X
30-X
30-X
M30-
X
----L
60-X
120-
X60-X
PROBLEMAS
30X
54
X
24
30
54 X30
X 84
42
Problema 29
Problema 30
Problema 31
Problema 32
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)3029
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
15/42
N
30
30
30
30
Sonia Navarro
30X
30
30-x
A C
B
K30
N
30
-x
Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazoanterior, entonces construimos el BCN equiltero. Y siobservamos la prolongacin del CK en A cumple el requisitoque la m KBA=30 y la medida del ABN es igual a 30-x(m ABN=30-x.)
-
30X
30
30-x
AC
B
K30
N
Ahora construimos el ABM equiltero y luego letrazamos el MC del cual observamos que: el ABN MBC(caso L-A-L). Quiere decir:
-
--
--
3030
30
30
B M
AK
B
M
A
K
Consecuentes
Entonces ellolo aplicamos.
30X
30
30-x
A C
B
K30
N
30
-x
M
30
-x
Como nos habamos
anticipado en el casoanterior entonces lessealamos los nuevosdatos.Construimos MK yluego aplicamos elteorema de labisectriz interior.
( AK )= MK
60-x
60-x=
Ana Artiaga30
X
30
30-x
A C
B
K 30
N
30
-x
M
30-x
30-x----60-X
Walter Palomino
Solucin 29
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)31 32
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
16/42
C
30X
30
30-x
A
B
K 30
N
3
0-x
M
30-x
30-x
--
--60-X
60-X
120-2X
M
K
C
120-2X
120-2X
60-X
Para apreciar mejor lasolucin nosconcentramos en el
MCK: issceles.
LitoAlca
(120-2X)+(120-X)+(60-X)=180X=24
24
30
A
B
C
Primero observamos el siguiente acontecimiento:
24
30
A
B
C
30
N
Construimos el equiltero ABN.
6
30
A
B
C
30
N
6
30
A
B
C
30
N
6
KarinaCrdenas C.
Solucin 30
Geometra
Consecuenciafinal del trazo:ver pginas25-35.
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)3433
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
17/42
3030
3030
CarlosTorres
24
30
A
B
C
30
N
30
6
6
K
Prolongamos AC en K tal que m CAK=30.-
Se construye el
Luego se traza MB tal que:
AKM equil tero
ABM NAK(caso L-A-L).
=
A
B
N
6
6
K
6
M
Carlos Rupire
24
30
A
B
C
30
N
30
6
6
K
6
M
24
30
A
B
C
30
N
30
6
6
K
6
M
36
6
Primero nos damos cuenta que el.KMB is sceles,
que en consecuencia: m MKC=36
=
=36
=
=36
36M
C
K
M
C
K
Hctor Suyca
KMC is sceles.
72
Miguel ngel Molina
36
=72
24
30
A
B
C
30
N
30
6
6
K
6
M
36
6
72
72
Se concluye que:BC=AK=KN.
Geometra
-
36
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)35 36
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
18/42
24
30
54 24
X
P
B
A C
Se traza BP (P en la prolongacin de CA). De tal forma que observamos el
PBC esissceles PB=BC.Adem s m APB=m ACB=24 ABPdel cual ya anunciamos sus trazos.
- -
Es decir llegamos a la siguiente conclusin:(ver pag. 34-36.)
6
N
30
6
6
6
24
30
54 24
X
P
B
A C
36
72
72
36
24+x
30
M
Extraemos los ngulos PBN y ABM, para comparar que:BAM. (caso L-A-L)NPB
54
30
P
B
N
54 24+XMA
B
30=24+X
X=6
Solucin 30 Solucin 31
Geometra
Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos)
24
30
54 XR
B
M La
ab
24
30
6
30
6
6
6
24
30
36
72
72
36
30
N
6
30
6
6
6
24
30
54 XP
B
M L
36
72
72
36
30
30
N
54
bb
a
a96
C
El PBN ABM (caso A-L-A)Es decir: (96 )-(--)-(54 ).Entonces a = bY si a = b el R
BL es issceles(RB=BL=a=b).
X=24
A
96
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)3837
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
19/42
Despusdeconstruccn
:(verpag.34-36)
El
CB
(casoL-A-L)
Es
decir:(--)-(126
)-(--).
A
DEB
.
X=30
Geometra
Solucin 32
126
54
54
54
36
72
84
84
54
54
54
54
42
6
6
6
30
24
24
30
30
3
0
126
12
6
X
X
Adem
s:
A
C
E
D
B
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)39 40
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
20/42
X
60
60
60
60-
A
L
B
C
M
D
Propiedad 01
Demostracin:
En consecuencia:NCA (Caso: L-A-L)
del cul LA=NA=Tambin: x + = + 60
LBA
Primero construimos elABC equiltero y luego elMNC tambin equil
tero.
De la ecuacin
Ahora trazamos MA para identificar el(Caso: L-L-L) del cual se deduce que = --------------
ALM ANM
Geometra
X
60
60
60
60-
X
60- X = 60
I
I
A
L
B
C
M
D
II
II = =X + = + 60
=X + + 60
X = 60
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)4241
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
21/42
Propiedad: 03
2
X=120-
DemostracinDemostracin
2 2
90-
90-
Trazamos BD para obtener elABD IS SCELES-
Realizamos el trazo en forma anloga a la demostracin anterior, yaplicamos la propiedad.
2
B
A
C
90-
90-
D
Geometra
Propiedad: 02
Propiedad:
120-2
60
X=2
x
120-2
x
y XX 2y = 2=
X 2=
Jhon Quispe
Edson Palomino
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)43 44
G t
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
22/42
Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz.Luego DH aBC--
-
---
Trazamos DH BC, para formar: DHC AMD-----
B
A
C
90-
90-
D
M
-
-
90-
B
A
C
90-
90-
D
M
-
-
-
H
=
=90-
30
2a
Por ltimo observamos que el DBH es notable de 30-60.B
A
C
90-
90-
D
M
-
-
-
H
=
=90-
30
Finalmente: X=(90- )+30X=120-
X = 60
Geometra
Estefh Cusi
Propiedad adicional:
2
2
X
X30 30-
90-
X = 30- + 30 +
30-
90-
X = 60
Demostracin
Consecuencia120-2
120-2
2
2 30
2
90 -
90 -
30 -
Recordar:
Leonardo Tomayro
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)4645
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
23/42
2
2 90-
90-
Ruth Cuenca
Demostracin
Propiedad: 04
X=
2
120-
2
90- 3
0
90-
A
B
C
D
Primero trazamos BD de tal modoque m ABD = m ADB=90-
-
Marco Alfaro
-
---
B
90-30
90-
A
C
D
M
-
-
90-30
90-
A
B
C
D
M
-
-
H
90-30
90-
A
B
C
D
M
-
-
H
Trazamos AM BD ybisectriz, mediana ymediatriz.
-----
Trazamos DH a BC
donde se forma elBHD notable de: 30-60 (DH=a)
-----
30
2a
2
DemtrioJanampa
Daniel Conde
-
-
-
-
Del grfico el AMD= DHCpor tanto: X=
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)47 48
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
24/42
Demostracin:
120-
A
B
C
D
Propiedad: 05
X=2
=+ +
120-
A
B
C
D
120+X
Trazamos L // L que en consecuencia se obtiene m ADN=X1 2
120-
A
B
C
D
120X
60
L2
L1
N
A
B
A
B L4
L3D
=
TRAZAMOS L //L3 4
TRAZAMOS L //L3 4
Godelina Chavez
Recordar:
Consecuencia
Recordar:
Observando el caso anterior trazamos BM//AD y enconsecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X
--
Geometra
Justiniano Tomayro
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)5049
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
25/42
120-
A
B
C
D
120
X60
L2
L1
N
MX
6060
60
60
Fnix Garca
MarleniOr
Recordar:
Recordar:
C
120-
A
B
D
120X
60
L2
L1
N
M
X
Trazamos MC tal que seforme elMCD equil tero.
-
Trazamos BD y aplicamos lapropiedad mensionadopanteriormente
-
A
B
C
D
120X 60
L2
L1
N
M
X
X=2
52
Geometra
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)51
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
26/42
Demostracin:
90-
Yolanda Flores
-
-
-
-
Recuerda:
A
B
C
D
90-
=
=H
M
30
3
0-
X=90- +30- X=120-2
A
B
C
D
X90-
90-
=
=H
M
Prolongamos CD en M tal que se forma el MBC HDA,por lo tanto: HD=BM=a.
-
X
2a
MirasolDaz
X=30
Del MBD (notablede 30-60) por loque m MDB=30.
A
B
C
D
90-
=
=
HM
30
Geometra
90-
Elmer C.CH.
2
A
B
C
D
X
90-
90-
=
=H
=
=
Recordar:
Recordar:
Propiedad: 06
B
AC
D
X=120-2
2
X
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)5453
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
27/42
Propiedad: 07
120-2
2
Si: X=
Figura:
Primer trazo
Segundo trazo
Javier Flores
120-2 120-260
60-60
120-2
60
Demostracin:Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura:
120-2
60
60
B N
C
D
A
Trazamos AN y aplicamosel trazo conocido (ABNC:equilatero)
-
Recuerda tambin; el siguiente trazo:
Estefany T.F
-
--- --
=
=
120-2
60
60
B N
C
D
A
=
=
Aplicamos lo mensionado en el grfico puesto que se presenta lascondiciones:
Recuerda:
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)55 56
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
28/42
A
Recordar:
2
X
Ana Or
X=
120-2
60
60
B N
C
D
=
=
X=
2
Problema 35
Problema 33 Problema 34
Problema 36
Problema 37 Problema 38
2040
X
323
4X 3X
5X
X
3 2
3X 2X
X
30 40 X
Problema 39 Problema 40
10040 X
2020
4040
10 X
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)5857
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
29/42
Solucin 33Problema 41 Problema 42
Problema 43 Problema 44
-
7
--
X2
60
X2X
3XX
20X
100
5X
X
3X
24
54 X- -
45 X
60
2
2XX
2
X
2
2X
Problema 45 Problema 46
Problema 47 Problema 48
2
2
x
A C
P
B
N
Recordar:
x
X =120-
Thania Flores
Primero construimos el ABC ANC.
X
120-
2
A
N
C
P
B
En el APC
3 120-
+ =180
= 15
+2
Pero X = 120 -X = 120 - 15
X = 105
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)59 60
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
30/42
Solucin 35
Del grfico observamos:BN = a +b.Por lo tanto:MC = a +b.Que en consecuenciatenemos MN = a.
Aplicamos la construccinmencionado en NBC.
120 - 4x8x +120 - 4X = 180
X = 15
3X X2X
2X
X X
b
aa
b
8X
4X
4X
X
X
2X
2X
4XA
C
B
L
NM
a
b
b
a8X
4X
X
X
2X4XA
C
B
L
NM
a
a
a
Solucin 34
Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura:
Trazamos AN para formar el N issceles. AB
3X8X
4X
4XX
4XA
C
B
L
NM
Pilar Linares
70
70
70
X
X
40
40
2(10)
40
X = 10
30
30
90-90- 22 2
90-
Recuerda:
Aplicamos el trazo y vemos queSe construye el caudriltero
KarinaFlores
100 = 120 - 20
=
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)6261
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
31/42
2X3X 3X
X
A
B
CD
2X2X
2X
X
A
B
CD
2X
120-2X
Solucin:36
Construimos el ANDcongruente al BCD. Yobservamos el ABDN
Luego nos fijamos en el ABD3X+ +3X Como: 120-2X
=
=180
=
=180
3X+120-2X+3X X 15
X
X
Solucin:37
X
A
B
C
D
22
23
-
-
N
2
X=120-2
A
B
N
C
Mara SoledadChipana
Luis Beltran
X
A
B
C
D
22
23
-
-
N
120-2
Ahora en el ABC
3 +X+2 =180
120-2
=20Como: X=120-2
X=120-2(20)
X=80
Construimos el ANC ADC
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)63 64
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
32/42
Solucin:38
Primero anotamoslas primeras
consecuencias
2 2
Ivan Jessa
Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de cevianaexterior, lo aplicamos:
Recordar:
120-X X
40 2020+X
A
B
CD
Construimos el AMD NAB
120-X X
20 2020
A
B
CD
20
N
M
20 X
=2X
Elizabeth Or
120-XRecordar:
En la figura observamos el cuadriltero ABDM cncavo con las condicionespara aplicar la propiedad:
120-X X
20 2020
A
B
CD
20
N
M
20 X
Luego: 20=2XX=10
120-X X
40 2020+X
A
B
CD
20
N
20
20
20
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)6665
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
33/42
Solucin:39
2 90-2 90- 2
90-
Ana Torres
40 80
X10
40 40
70
A
B
C
D
40 80
X10
40 40
70
A
B
C
D
40
70 80
N
Finalmente; en el cudrilterocncavo NACD.(80=120-(20)) cumple lacondicin de los cncavos:
X=40/2
X=20
Solucin:40
Primero hacemos la siguiente construccin y los datosconsecuentes de los mismos.
B80
100
40
8040
-X
20
20
N
A C
D
X
=2X
Elezabeth Cusi
120-X
B80
100
40
80 40-X
20
20
N
A C
D
X
120-XAplicamos la propiedad en el
cuadriltero sombreado:
20=2XX=10
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)67 68
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
34/42
Solucin:41
5X
3X
X
3X
5X
X
3X
5X
A
B
C
D N
Primero colocamos los valores de los ngulos que parten como consecuenciade los datos.Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes
5X
3X
X
3X
5X
X
2X
4X
A
B
C
D N
M
X
X
Construimos el CMN ABC
5X
3X
X
3X
5X
X
2X
4X
A
B
C
D N
M
X
X
12-2X
Solucin:42
2
Nelson
2 2
Luego de hacer el trazo (DM) se trazaDB y se verifica que: ABD MDCEn consecuencia: el ABD es issceles(m ABD=X )
AD=BD
-
-
=+ +
CrisantoRojas
X
X
2X X3X
5X
A
B
CM
D
2X
X
Aplicamos la propiedad (m BDC=5X)
En el caudriltero DCMN cncavo m CDN=120-2X (Propiedad)Ahora 3X+5X+120-2X=180
X=10 A M
Construimos DPC
ADB
Luego en el DBC:
5X+120-2X+3X=180
X
X
2X X
2X
4X
B
C
D
2X
X
X
X P
1202X ( )Propiedad de cncavo
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)7069
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
35/42
Solucin:43
7
60
F
D
60+
B
E
CA X
=60
Jos Molina
60+
60
F
D
60+
B
E
CA X
60+
7
Construimos el AFC ADC
Recordar:
Por lo expuesto m EAF=60
Segun la figura el AEC esissceles (m SEAC=m AEC)
X=7
Solucin:44
X60
20
100
80 B
A
D
C
2 90-2 90- 2
90-
SegundinoMeza
X60
20
100
80 B
A
D
C
20
N
80
Construimos segn loexpuesto de la siguiente
120-2 X=2X
Jess Linares
2
Construimos ahora el ABM ADC
60
Recordar:
Recuerde:
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)71 72
B
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
36/42
Solucin:46
45 X
6045
45
60
A
B
CD
E
2
45 X
6045
45
60
A
B
CD
E
2
60
60
60
60
60Erica T.F.
Primero construimos el BED (notable de 45-45)
Yuliza Linares
X
45 X
6045
45
60
A
B
CD
E
2
60
Aplicando la propiedad: X=90/2
X=45
Observacin: formas de reconocer al notables
2n
2
2n
60
30
22n
3
60
303
45
452
22
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)7473
S l i
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
37/42
X
60
20100
80B
A
D
C
20
N
80
20
100
X
M
Extrayendo la siguiente figuranotamos que es factible aplicar
la propiedad de los cuadrilteroscncavos.
X=10
120-2(10)
20
100
2(10)
N
B
M
Solucin:45B
A D C
2XX
2X
E
=
2
=
Se prolonga el BD para trazarle AE//BCde cual el ADE DBC
AE= BD=DE
- - -
B
A D C
2XX
2X
E
=
2
=2
N
X
X
Luis Dueas
Recuerda:
2
2
45
45
Extraemos el ABC queresulta como consecuenciade los trazos.
Despues de construir del AEN issceles
X=45
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)75 76
S l i
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
38/42
Solucin:47
Trazamos AM//BC del cual el ADM BDC --
2
2n
3
60
303
Jaime Rayme
3
A
B
CD
M
2X
X
2X
3
A
B
M
2X
X
3
A
B
M
2X
X
30
60
2
X=30
Recuerda:
Aplicamos la propiedad ABM
Solucin:48
30
24
64 X- -
30
24
30
24
78
30
6
36
=
=
6
6
30
6
72 36
Yenito Chipana
30
24
78
30
636
=
=
6
6
30
6
72 36
X608454
60
A
B
CD
Despues de realizar la construccin se observaque el triangulo BCD issceles (BD=BC)
X=84
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)7877
Ej i iGeometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
39/42
a)
b)y
X
8
5
23
c) y
X
48
25
44
d)
e)y
X
75
35
21
f)
g)
h)y
x16
15
20
i)
j)
y
x5
8
23
y
X
25
29
27
y
x
2
15
2
y
X
4
45
6 22 +
X 44
753
48-7
X 23
3-3
4 35
k)
X15
63 - 1
l)
X8
212 3
a)
X
20
b)
X
10 +
10
c)
X
20 +
20
D)X 21 +
21
X
Ejercicios1.- Hallar x e y
2.- Hallar x
a) X
1020
b) X
2142
c)
X
12
24
4 Hallar x y a
a)
X6942
3 a
b)X
6158
10 a
c)
X
66
48
7
a
d)
X
62
56
4 a
4
5 Hallar x en:
b)X
63
34
18
26
a)X
66
28
16
32
3 Hallar x
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)79 80
c)
7 H ll X
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
40/42
f)
X
120
7
120
2
390
x
c)
2X 90 - 3 x
35
1025
d)
2X 90 - 3 x33
527
a)
X
12018
63
c)
2X
120
10
90 - 3x
120
d)
2X
120
5
90 - 3x
120
e)
X
120
6
120
2
390
x
e)
X 90 - 3x/2
28
632
f)
X 90 - 3x/2
37
723
6 Hallar x
b
X120
18
63
b)
X120
18
63
7 Hallar X en:
10
10
40
70
9
42
69
20
120
20
80
5
50
65
6
6
48
66
40
20
12
24
34
20
10
6
12
17
40
50
54
48
43
20
40
48
36
26
X
X
X
X
X
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)8281
8 Hallar x9 Hallar x 10 Hallar x
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
41/42
5
8
10
20
21
5
8
10
20
21
95
98
100
110
111
X
X
X
X
X
10
12
18
14
21
18
12
16
9
20
18
12
50
48
46
46
39
X
X
X
X
X
a)
b)
c)
d)
e)
9 Hallar x
a)
a)
c)
d)
e)
+ 10 + 10
+ 15 + 15
+ 20 + 20
+ 30 + 30
a a
a a
7 7
7 7
15 15
x x
x x
+ 26 + 26+ 13 + 13
a a
a a
a a
20 20
8 8
9 9
x x
x x
X X
2X 2X3X 3X
3 32 2
10 Hallar x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)83 84
Hallar X en:11 12Hallar x Hallar x 13 14 Hallar x
Geometra
-
8/12/2019 Libro Trazos de Geometra
42/42
27 3
X
10 2
0
X
21 9
X
18 1
2
X
25 5
X
Hallar X en:
20
30
X
30
30
X
40
30
X
2830
X
51
30
X
20
10
50
X
14
7
53
X
18
9
51
X
10
50
30X
12
48
30X
6
54
30X
18
42
30X
a) a)a)a)
b) b)b)
b)
c) c)c)
c)
d) d)d)
e) e)e)
11 12a a Hallar x 13 14 Hallar x
25
35
30
X
85 86El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)