UNED UCR MEP ITCR UNAProblemas de preparacion para las olimpiadascostarricenses de matematica

Recopilacion y edicion:Comision de OlimpiadasCostarricenses de MatematicasOLCOMAEUNEDEDITORIAL UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

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PresentacionEl proyecto olimpiadas es una actividad academica que intenta realizar un aporte en lacreacion de medios que permitan hacer atractivo el estudio de las matematicas y despertar enlos jovenes no solo el espritu de investigacion sino una sana competitividad. Su propositoes permitir a los estudiantes de secundaria desarrollar el interes y habilidades por estadisciplina, as como proporcionar a los docentes un recurso mas que fortalezca su quehaceracademico.El banco de problemas que aparece en este folleto constituye una recopilacion de ejer-cicios de olimpiadas anteriores, realizadas tanto en nuestro pas como en otros pases dondese llevan a cabo este tipo de certamenes as como una coleccion de nuevos problemasaportados por profesionales en el campo.El proposito de estos ejercicios es que sirvan de base para la preparacion de los es-tudiantes que participan en las distintas eliminatorias, de los diferentes niveles, de lasOlimpiadas Costarricenses de Matematica. Esperamos que tanto los estudiantes como losprofesores que los preparan obtengan el maximo provecho del material.En la primera parte de este trabajo se propone una lista de ejercicios; son mas de cienejercicios para cada uno de los tres niveles A, B y C en que se divide la competencia.Estos ejercicios estan propuestos en las modalidades de seleccion y desarrollo. Debemosrecordar que las eliminatorias de la Olimpiada Nacional contemplan estas dos modalidades:la primera esta constituida solamente por ejercicios de seleccion, la segunda tiene parte deseleccion y parte de desarrollo, la tercera (final) esta conformada unicamente por problemasde desarrollo. Estos ejercicios que aqu se proponen tienen diferentes grados de dificultadcon el proposito de que sirvan de entrenamiento para las tres eliminatorias. Debemos agregarque la clasificacion de los ejercicios por niveles esta hecha tomando en cuenta la tematica dela que tratan y la dificultad de los mismos; sin embargo, esto no excluye que los estudiantespuedan resolver, tambien, muchos de los ejercicios que corresponden a niveles diferentes delsuyo.En la segunda parte del material se proporcionan las seis pruebas de la OlimpiadaNacional del ano 2000; las tres eliminatorias de los dos ciclos en que se dividio esta com-petencia. Esta es otra buena cantidad adicional de problemas que puede ayudar en elentrenamiento.Se incluye un esquema de solucion a los ejercicios planteados, tanto de los problemaspropuestos en la primera parte como de los problemas de las seis pruebas de la Olimpiadadel ano 2000. Cabe destacar que las soluciones oficiales que se presentan no son los unicos

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4caminos para llegar a la respuesta. Conociendo el interes de los estudiantes participantesen estos eventos academicos competitivos y sabiendo la capacidad de estos jovenes, estamosseguros de que los mismos podran obtener otras soluciones interesantes a los problemasplanteados. Como notara el lector, los problemas que aqu aparecen no son ejercicios rutina-rios a los que se les aplica directamente los conocimientos que se adquieren en secundaria,mas bien requieren de una buena dosis de ingenio para ser resueltos. Como en todos losaspectos del aprendizaje de las matematicas, el esfuerzo individual y el enfrentamiento so-litario con los problemas son importantes, pero tambien es muy importante la discusion conlos companeros y los profesores.Hemos agregado tambien un pequeno resumen que contiene algunos conceptos y resul-tados que pueden ser utiles en la resolucion de este tipo de ejercicios. Algunos de estosconceptos no son necesariamente parte de los programas de matematicas de la ensenanzamedia, pero son basicos y de relativamente facil comprension.Al final hemos incluido los temas que abarca cada nivel. Esta tematica esta relacionadacon los programas oficiales del Ministerio de Educacion, pero no los siguen en forma estricta,dada la manera en que esta dividida la competencia. Como pueden ver, algunos temas sonpracticamente los mismos en los tres niveles, en estos casos, desde luego, lo que hace ladiferencia es la profundidad de los temas y el grado de dificultad de los ejercicios.La Comision de Olimpiadas Costarricenses de Matematicas espera que este material seade utilidad en la preparacion previa a la competicion y agradece su participacion en lasolimpiadas costarricenses de matematica.

ContenidoPresentacion 3Ejercicios propuestos 7NIVEL A 7NIVEL B 27NIVEL C 45Eliminatorias del ano 2000 67Primera eliminatoria 67III ciclo (7, 8, 9) 67IV ciclo (10, 11, 12) 73Segunda eliminatoria 80III ciclo (7, 8, 9) 80IV ciclo (10, 11, 12) 83Tercera eliminatoria (final) 87III ciclo (7, 8, 9) 87IV ciclo (10, 11, 12) 88Solucion de los ejercicios propuestos 91NIVEL A 91NIVEL B 116NIVEL C 155Solucion de las eliminatorias del ano 2000 205Primera eliminatoria 205III ciclo 205IV ciclo 210Segunda eliminatoria 217III ciclo 217IV ciclo 221Tercera eliminatoria (final) 226III ciclo 226IV ciclo 229

6Conceptos y resultados utiles 235Simbologa 245Temario de la Olimpiada 247

Ejercicios propuestosNIVEL ASELECCION1. Cuando el numero 111222333444555666777888999 se divide entre 111, se obtiene unnumero cuya cantidad de dgitos esa) 8 c) 17b) 9 d) 252. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes, AB = 10 cm y G es elcentro del cuadrado ABCD.

EF

GH B

CD

A

Entonces, el area de la region del plano cubierta por la figura esa) 175 cm2 c) 100 cm2b) 150 cm2 d) 75 cm23. Juan tiene con Carlos el mismo parentesco que Antonio tiene con el hijo de Carlos.Carlos tiene con Antonio el mismo parentesco que Antonio tiene con Juan. De lassiguientes proposiciones, puede ser cierto que:a) Carlos es el nieto de Juanb) Carlos es el padre de Juanc) Juan es el nieto de Carlosd) Juan es le padre de Carlos7

84. Sean b, p, q, x , y, z numeros naturales con b 6= 1 y tales que p = bx , q = by,b4 = (pyqx )z , entonces el producto xyz es igual aa) 4 c) 2b) 3 d) 15. La siguiente figura consta de siete cuadrados iguales, el area de esta figura es 112cm2.

Entonces el permetro de la figura esa) 64 cm c) 48 cmb) 88 cm d) 28 cm6. Si 3x4x 1 = ( 111)1, entoncesa) 0 x 34 c) 32 < x 2b) 34 < x 32 d) x > 27. El porcentaje de aciertos de un jugador de baloncesto en un partido fue exactamente65 %, entonces el menor numero de lanzamientos que el jugador debio realizar en esepartido fuea) 20 c) 65b) 30 d) 1008. Un Hotel tiene planta baja (piso 0) y 1000 pisos. De la planta baja parten 5 ascensores.El ascensorA para en todos los pisosB para en los pisos 0, 5, 10, 15, ...C para en los pisos 0, 7, 14, 21, ...D para en los pisos 0, 17, 34, 51, ...E para en los pisos 0, 23, 46, 69, ...El numero de pisos en los que paran exactamente 4 ascensores es igual aa) 5 c) 4b) 8 d) 2

99. El numero de parejas de numeros naturales p y q que verifican que el mnimo comunmultiplo de p y q es igual a 80, esa) 9 c) 27b) 3 d) 54

10. El senor Villanueva, el senor Becerra y el senor Espinoza viven en la casa de huespedesde Nana Pancha. Uno de ellos es panadero, el otro es taxista y el tercero es bombero.Sabiendo que:El senor Villanueva y el senor Becerra juegan ajedrez todas las nochesEl senor Becerra y el senor Espinoza van juntos a los juegos de beisbolEl taxista colecciona monedas, el bombero soldaditos de plomo y el panadero,sellos postalesEl taxista nunca ha ido a un juego de beisbolEl senor Espinoza nunca ha odo hablar de sellos certificados

Entonces, en lo que trabaja el senor Becerraa) es de panaderob) es de taxistac) es de bomberod) no es posible determinarlo11. En la figura, ABCD es un rectangulo con AB = 20, CB = 16, M y N son puntosmedios de DC y BC respectivamente.

A B

CD MN

El area del cuadrilatero ANCM es igual aa) 80 c) 160b) 120 d) 24012. Si la expresion ab ba se puede descomponer en dos factores cuya suma es igual aab + ba , entonces esos factores sona) 1+ ba y abab c) a+ba y abbb) baa y abb d) a+bb y aba

1013. De acuerdo con la informacion que se proporciona en la figura adjunta el segmentode mayor longitud es

AB

DC60

70 55

60

a) BD c) ACb) BC d) CD14. Sea m = 313 + 513, el menor numero primo p que divide a m esa) p = 3 c) p = 5b) p = 2 d) p = 1315. Los senores Trujillo, Lara, Bolvar y Sucre son de los lugares llamados Trujillo, Lara,Bolvar y Sucre; pero en ningun caso el apellido coincide con el nombre del lugar denacimiento. El nacido en Trujillo no tiene el mismo apellido que el nombre del lugarde nacimiento del senor Bolvar. El nacido en Lara no es el senor Sucre, ni tiene comoapellido el nombre del lugar de nacimiento del senor Lara. Entonces podemos afirmarque el que nacio en Sucre es el senora) Lara c) Bolvarb) Trujillo d) Sucre16. Se tienen cuatro numeros enteros consecutivos ordenados de menor a mayor. Si alcubo del cuarto numero se le resta el cubo del tercero, a este resultado se le suma elcubo del segundo y a esto se le resta el cubo del primero, entonces, sobre el numeroobtenido podemos asegurar quea) es divisible por 2 pero no por 3b) es divisible por 6c) es divisible por 3 pero no por 2d) no es divisible ni por 2 ni por 317. Los angulos de un triangulo estan en razon 2 : 3 : 4, entonces la suma de las medidasde los dos angulos menores es igual aa) 80 c) 100b) 90 d) 12018. Varios bailarines estan bailando en crculo acomodados uno frente a otro, es decir,diametralmente opuestos como se muestra en la figura.

1120

53

1

Si los numeramos consecutivamente comenzando con el 1 y si ademas sabemos queel bailarn numero 20 esta exactamente enfrente del numero 53, entonces el numerode bailarines que hay esa) 58 c) 64b) 100 d) 6619. Un cubo de madera de 4 cm de lado esta pintado en toda su superficie exterior decolor azul. Realizando cortes horizontales y verticales se obtienen 64 cubitos de 1 cmde lado. El numero total de cubitos que no tienen ninguna de sus caras pintadas deazul es igual aa) 24 c) 16b) 8 d) 3220. Sean a y b numeros naturales con a > b. Entonces del entero positivo m definidopor m = (2a+ 1)2 (2b+ 1)2 se puede afirmar que es divisible pora) 3 c) 16b) 8 d) 921. Sean a, b,m numeros reales con a + m 6= 0. La condicion que debe cumplirse paraque se verifique la igualdad

a2 m2 + 2ab+ b2a2 m2 + ab+mb = a+ b+ma+mes quea) a+ bm 6= 0 c) a b+m 6= 0b) a bm = 0 d) a+ b+m = 0

22. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y CE = DE = 5 cm.

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B A

DC

E

Entonces la medida de AE esa) 10 cm c) 115 cmb) 101 cm d) 109 cm23. Si a, b, c son numeros tales que a+ b = 2c, entonces el valor de la expresion[(2ab)b (2bc)ca(2c+b)cb] 1c

esa) 1 c) 4b) 2 d) 824. Oscar, Carlos, Antonio y Ruben son candidatos a ocupar un cargo. Los requisitos son:astucia, alta inteligencia y firmeza. Solamente uno de ellos reune todos los requisitospara ser elegido. Se sabe que:i) Cada uno de ellos posee, al menos, uno de los requisitos.ii) Solamente tres de ellos son astutos, solamente dos son altamente inteligentesy solamente uno es firme.iii) Oscar y Carlos tienen igual grado de inteligencia. Carlos y Antonio son igual-mente astutos. Antonio y Ruben no son, ambos, astutos.

El elegido esa) Oscar c) Carlosb) Antonio d) Ruben25. La cantidad de numeros de cuatro cifras que podemos formar con la condicion deque la suma de los cuadrados de las cifras de los extremos sea 13 y la suma de loscuadrados de las cifras del medio sea 85 es

13a) 2 c) 4b) 3 d) 8

26. La siguiente distribucion de numeros enteros positivos esta formada de tal maneraque: 1 es el padre de 2, 3 y 4; 2 es el padre de 5, 6 y 7; 3 es el padre de 8, 9 y 10; 4es el padre de 11, 12 y 13; 5 es el padre de 14, 15 y 16; y as sucesivamente12 3 45 6 7 8 9 10 11 12 1314 ...

Entonces, el padre de 2000 esa) 2001 c) 665b) 667 d) 199627. En un restaurante, un hombre encarga que reserven una mesa para cenar variaspersonas que son un padre, una madre, un to, una ta, un hijo, una hija y dos primos.El numero mnimo de personas que pueden asistir al restaurante, para que se satisfagael enunciado, esa) 8 c) 4b) 6 d) 328. Considere un triangulo ABC tal que AB = BC = 10 cm, AC = 16 cm. Los segmentosBD y AE son medianas del triangulo ABC , trazadas sobre los lados AC y BC res-pectivamente. El punto F es punto de interseccion de los segmentos AE y BD tal queBF = 23BD. El area del triangulo ADF esa) 24 cm2 c) 16 cm2b) 8 cm2 d) 48 cm229. En la figura, ABCD es un cuadrado, 4ABE es isosceles; CF = FB.

A B

CD EF

La medida del angulo EFB es igual aa) 45 c) 60b) 135 d) 125

1430. En la siguiente tabla: 1440 720 240 60 xel valor de x esa) 12 c) 6b) 40 d) 831. Las longitudes de los lados de un triangulo son b+ 1, 7 b y 4b 2. El numero devalores de b para los cuales el triangulo es isosceles esa) 0 c) 2b) 1 d) 332. Se escribe 1998 = (n 1)nn (10n+ c). Si n y c son enteros positivos entonces c esigual aa) 7 c) 9b) 3 d) 3733. En la figura, el angulo COB mide 120 y el angulo COD mide la mitad del anguloBOA.

D AC

OB

Entonces, la medida de BOA esa) 90 c) 20b) 60 d) 4034. Si N es un numero de cinco dgitos de la forma 3a42b (con a y b dgitos), entoncesel numero de maneras en que se puede elegir a y b para que N sea divisible por 6es igual aa) 2 c) 17b) 19 d) 635. En un cuadrado ABCD de lado 1, E es el punto medio de la diagonal BD y F es elpunto medio de ED. Entonces el area de 4CFD esa) 38 c) 12b) 112 d) 18

1536. La siguiente figura se puede doblar de manera que se forme un cubo.

AB C

D E

xAl formar dicho cubo la letra que corresponde a la cara opuesta de la cara marcadacon x esa) B c) Db) C d) E

37. En la figura, ABEF es un rectangulo y 4CDE es isosceles. AB = 100 cm; AF es eltriple de AB, BC es el doble de AB y el permetro de la figura es 9, 41 m.

A F

DCB E

Entonces CD es igual aa) 1, 41 m c) 0, 41 mb) 2, 41 m d) 3, 41 m38. La suma de todos los dgitos del numero 1099 99 esa) 873 c) 879b) 874 d) 89939. En la siguiente figura, los lados grandes son iguales entre s y los lados pequenosson iguales entre s. Ademas, los lados pequenos miden la mitad de los lados grandes.Todos los angulos son rectos y el area de la figura es 200.

16Entonces el permetro de la figura esa) 20 c) 60b) 40 d) 80

40. En la siguiente figura, el numero de caminos que hay para ir de la casilla 1 a lacasilla 7 si solo se permite moverse de una casilla a otra adyacente marcada con unnumero mayor es1

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45

67

a) 8 c) 12b) 11 d) 1341. En la figura, el cuadrilatero ABCD es un rectangulo; M y N son los puntos medios delos lados AD y BC respectivamente. P y Q son los respectivos puntos de interseccionde AC con BM y con ND.

B

A D

C

M

NP Q

Si AD mide 5 cm y AB mide 3 cm, entonces el area del cuadrilatero MPQD esa) 9 cm2 c) 7, 5 cm2b) 5, 5 cm2 d) 3, 75 cm242. Una senora tiene tres hijas. El producto de las edades de la madre y sus hijas es16555. Entonces la diferencia entre la edad de la hija mayor y la edad de la hija menores igual aa) 6 c) 5b) 12 d) 3243. El lado AC de un triangulo ABC se divide en 8 partes iguales. Siete segmentos derecta paralelos a BC se dibujan desde los puntos de division.

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C A

B

Si BC = 10, entonces la suma de las longitudes de los 7 segmentos es igual aa) 35 c) 40b) 45 d) 3244. Con vertices en los puntos de la figura,

el numero de cuadrilateros que se puede dibujar esa) 4 c) 24b) 16 d) 3645. Se tiene una fila de 5 sillas numeradas del 1 al 5. Suponga que usted esta sentado enalguna de esas sillas. Un movimiento consta de pasarse a una de las sillas que estena su lado. Si usted esta en la silla 1, solo puede pasarse a la silla 2, analogamente,si usted esta en la silla 5, solo puede pasarse a la 4, pero si esta en cualquier otrasilla usted tiene dos posibilidades para pasarse. Suponga que usted esta sentadoinicialmente en la silla 1, luego realiza 19 movimientos, despues elimina la silla 1 yla silla 5 y, finalmente, hace 99 movimientos mas. En que silla terminara sentado?a) 2 c) 4b) 3 d) no se puede determinar46. El numero de triangulos que hay en la siguiente figura es

a) 22 c) 18b) 20 d) 14

1847. Se tiene que completar la siguiente cuadrcula con los numeros del 1 al 5, de tal formaque cada numero aparezca unicamente una vez en cada columna y en cada renglon.

3 4 1 52 2 31 5 4Entonces, el numero que va en el centro de la cuadrcula esa) 1 c) 4b) 2 d) 548. En una clase hay 25 alumnos. Entre ellos, 17 alumnos son ciclistas, 13 nadadores y 8futbolistas. Ningun alumno hace tres deportes. Los ciclistas, nadadores y fultbolistassacaron 90 en matematicas. Seis alumnos de la clase sacaron 60 en matematicas.Entonces, el numero de nadadores que juegan futbol esa) 2 c) 6b) 4 d) 10

49. En la figura, ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC . Trazamospor P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los ladosdel paralelogramo en los puntos indicados en la figura.

D C

BA

M

R

N QP

Sabiendo que (ABCD) = 40 cm2, entonces (RQMN) es igual aa) 40 cm2 c) 20 cm2b) 10 cm2 d) 18 cm250. Para subir de una primera a una segunda planta hay que subir en total 10 gradas.Una persona puede subir las gradas de una en una o de dos en dos o combinandoestas posibilidades sin regla alguna (nunca de tres en tres o mas gradas a la vez). Elnumero de maneras que dicha persona puede subir de la primera a la segunda planta,pisando obligatoriamente la sexta grada, esa) 19 c) 18b) 13 d) 65

1951. Sea y = a + bx , x 6= 0, con a y b constantes. Si y = 1 cuando x = 1 y y = 5cuando x = 5, entonces a+ b es igual aa) 1 c) 11b) 0 d) 1052. En la figura, ABCD es un paralelogramo de area 10 cm2, AB = 3 cm y BC = 5cm. E , F y G son puntos en los lados AB, BC y AD respectivamente, tales queAE = BF = AG = 2 cm. Sea H el punto de interseccion del segmento CD con lalnea paralela a EF que pasa por G.

A D

CBEG

HF

2 3

2 3

Entonces el area del cuadrilatero EFHG esa) 4 cm2 c) 5 cm2b) 4, 5 cm2 d) 5, 5 cm2DESARROLLO1. En un colegio hay clubes de jardinera, teatro y pintura. De 93 alumnos de setimo anode ese colegio, 7 estan al menos en el club de jardinera, 27 estan al menos en el clubde teatro, 40 al menos en el club de pintura, 7 al menos en jardinera y teatro a lavez, 4 al menos en jardinera y pintura, 19 al menos en teatro y pintura y, finalmente,hay 4 que estan en los tres clubes. Determine cuantos estudiantes estan solamenteen el club de jardinera, cuantos solamente en el de teatro, cuantos solamente en elde pintura y cuantos no estan en ningun club.

2. Un hombre distribuyo dinero entre sus hijos de la siguiente manera: primero le dioal menor C// 1000 mas 110 de lo que restaba, luego dio al segundo C// 2000 mas 110del restante, despues al tercero le dio C// 3000 mas 110 de lo que hasta ese momentoquedaba y as sucesivamente hasta llegar al ultimo hijo. Al final cada hijo recibio lamisma cantidad de dinero. Cuantos hijos tiene el hombre y cuanto dinero repartio?3. Pruebe no existe ningun numero entero positivo n tal que N = n2 + 1 sea divisiblepor 3.4. En el alfabeto de la tribu UAU hay solo dos letras: U y A. Ademas esta lengua poseelas siguiente propiedades: si de una palabra quitamos UA (es decir la letras U y A queestan juntas), entonces el significado de la palabra no vara; el sentido de la palabra

20tampoco vara al adicionar en cualquier lugar de la palabra la combinacion de letrasAU o UUAA. Usando solamente estas operaciones se puede afirmar que las palabrasUAA y AUU tienen el mismo significado?

5. Pruebe que si n es un entero positivo par, entonces el numero N = n3 + 20n esdivisible por 48.6. Dados los numeros reales positivos x, y, z, x , y, z tales quexx = yy = zz ,

demostrar que (x + y+ z) (x + y + z) = xx +yy +zz.7. En la siguiente suma, cada letra representa un dgito distinto; letras iguales repre-sentan el mismo valor: A M L P T +A O M AL DM E TC O M I I T

Sabiendo, ademas, que se verifican las igualdades: M = 23A; T = 23M ; M + I = A;E < P , determine que palabras determinan los numeros 053683979; 6942694319.8. Sean ab y cd fracciones irreducibles positivas cuya suma es un numero entero. Probarque b = d.9. Un grillo salta en lnea recta, la primera vez que salto, su salto fue de 1 cm en algunadireccion (hacia adelante o hacia atras), la segunda vez salto 2 cm en cualquierdireccion (hacia adelante o hacia atras), la tercera vez salto 3 cm y as sucesivamente.Pruebe que el grillo no puede volver a su posicion inicial en 1985 saltos realizadosde la manera indicada.

10. Utilizando exclusivamente los dgitos 2 y a se forma el siguiente numero de 90 cifras:2a22a222a2222a . . . 22 . . . 2a.

Si este numero es multiplo de 9, cuales son los posibles valores de a?11. Cada integrante de un grupo de 10 ninos es amigo de exactamente 7 ninos del grupo(la amistad es mutua). Pruebe que no es posible dividir al grupo en tres equipos detal manera que en cada uno de los tres equipos no haya un par de amigos.

2112. En un tablero de 1010, una ficha se desplaza de acuerdo con la jugada del camellola cual consiste en que la ficha se desplaza inicialmente a una casilla vecina (doscasillas son vecinas si comparten un lado) y luego se desplaza tres casillas mas ensentido perpendicular. Se puede, aplicando varias veces la jugada del camello, llevaruna ficha de alguna casilla inicial a una casilla vecina?13. Desde un punto D sobre la hipotenusa de un triangulo rectangulo ABC , se trazanperpendiculares DE y DF a los lados CA y AB respectivamente. Determine el puntoD para el cual EF tiene longitud mnima.14. En una reunion de 10 personas hay exactamente 19 pares de personas que se conocanentre s. Pruebe que existe una persona que conoca como maximo a 3 personas.15. Se tiene un tablero de 25 25 casillas. En cada casilla esta escrito alguno de losnumeros 1, 2, 3, . . ., 25. Ademas, en dos casillas cualesquiera, simetricas con respectoa la diagonal principal, estan escritos numeros iguales; en ninguna fila hay escritosdos numeros iguales; en ninguna columna hay escritos dos numeros iguales. Probarque todos los numeros en la diagonal principal son diferentes.16. Sean a, b, c, d, e numeros naturales consecutivos tales que a+ b+ c + d+ e es uncubo perfecto y b+ c + d es un cuadrado perfecto. Calcular el mnimo valor posiblede c.17. En cada escalon de una escalera de 10 peldanos hay una rana. Cada una de ellaspuede, de un salto, colocarse en otro escalon, pero cuando lo hace, al mismo tiempo,otra rana saltara la misma cantidad de escalones en sentido opuesto: una sube y otrabaja. Conseguiran las ranas colocarse todas juntas en el mismo escalon?18. El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a 0 y los numeros deveces que aparecen las demas cifras:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9estan en la razon 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9respectivamente. Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

19. En un libro de 2108 paginas se tuvieron que reescribir todos los numeros de laspaginas. Cuantos ochos se reescribieron?20. Hallar el menor numero natural terminado en 88, divisible por 88 y con la suma desus cifras igual a 88.21. Las piezas de un rompecabezas rectangular son 9 cuadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10,14, 15 y 18. Como deben ubicarse las nueve piezas para armar el rompecabezas?

2222. Encuentre (si es que existe) el mayor entero positivo n menor que 2300 tal quen = p6q, donde p y q son numeros primos y q > 10.23. En la siguiente figura, para llegar del punto A al punto B, solamente se puedenrecorrer caminos en la direccion que indican las flechas. Cuantos de estos caminosdistintos se pueden recorrer?

A B2 3 4 5 6 7 8 924. Sean a y b numeros reales tales que

2a2 + 2b2 = 5ab.Determine los posibles valores para a+ ba b .25. Se dan en el plano unos cuantos puntos rojos y unos cuantos puntos azules. Algunosde los puntos estan unidos por segmentos. Un punto se llama punto especial si masde la mitad de los puntos unidos a el tienen color diferente al suyo. En cada paso seelige un punto especial y se le cambia el color. Pruebe que al cabo de varios pasosno queda ningun punto especial.

26. Un terreno triangular limita con tres terrenos cuadrados, cada uno de los cuales tieneun lado comun con el triangulo. Las superficies de los terrenos cuadrados son 505, 233y 52 hectareas. Determine la superficie del terreno triangular.27. Cierta familia tiene hijos e hijas; cada hija tiene el mismo numero de hermanas quede hermanos y cada hijo tiene el doble de hermanas que de hermanos, cuantas hijasy cuantos hijos hay en esta familia?28. Tres diarios cubren la informacion de una carrera de solamente tres participantes:X , Y , Z . Extraemos dos afirmaciones de cada uno de ellos, una es falsa y la otraverdadera:

Diario A: { El ganador no fue XEl ganador no fue YDiario B: { Y llego ultimoX llego antes que ZDiario C: { Y llego antes que ZZ llego antes que XEs posible asegurar en que orden llegaron los participantes? Justifique.

2329. En la figura, ABCD es un trapecio de bases AB = 10 y CD = 6. La altura h mide4. Sea P el punto medio del lado AD y Q el punto medio de PB. Determinar el areadel triangulo PQC .

A B

CDP

Q30. Sea Sn = 1 2 + 3 4 + 5 + + (1)n1n, para n = 1, 2, 3, .... Calcule el valor deS57 + S69 S60.31. En el rectangulo ABCD de la figura; M , N , P y Q son los puntos medios de los lados.

D

A B

CQ N

P

M

Si el area del triangulo sombreado es 1 cm2; determine el area del rectangulo ABCD.32. Determine el valor numerico de la diferencia b a, con b > a, si las medidas sondadas en la figura, en la que x es una constante positiva mayor que 2.

A C

B

a bx 1 x + 1

x33. Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro(no se especifica cuantas hay con el lado rojo hacia arriba o con el lado negro haciaarriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en su turno hace una delas siguientes dos cosas:

24a) Retirar cualquier numero de fichas, con la condicion de que todas las fichas retiradastengan el mismo color hacia arriba.b) Voltear cualquier numero de fichas, con la condicion de que todas las fichas vol-teadas tengan el mismo color hacia arriba.Gana el que retira la ultima ficha. Cual jugador puede asegurar que ganara, el primeroen jugar o el segundo?

34. Encuentre todos los enteros positivos a, b tales quea+ b1a1 + b = 13 y a+ b 80.

35. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado y DEF un triangulo equilatero con ACparalelo a EF . Si DG es la prolongacion de DE , determine la medida del anguloDGC .

AB

CDE F

G

36. Con 40 fosforos se forma la siguiente figura

Esta figura tiene 16 cuadrados de 1 1, 9 cuadrados de 2 2, 4 cuadrados de 3 3y un cuadrado de 4 4. Determinar el mnimo numero de fosforos que hay que quitarpara que la figura resultante no tenga ningun cuadrado de ningun tamano.37. En un triangulo isosceles ABC con AB = AC se toman D, E y F puntos sobre loslados BC , CA y AB, respectivamente, de manera que el triangulo DEF es equilatero.

25Si a = mBDF , b = mEFA y c = mDEC , pruebe que

a = b+ c2 .38. La tabla

se va a llenar con numeros, de la siguiente manera:La primera fila se completa con los numeros del 1 al 10 en ese orden. La segundafila se completa con los numeros del 1 al 10 en cualquier orden. En cada casilla dela tercera fila se escribe la suma de los dos numeros escritos en las dos casillas quequedan arriba de ella. Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo quelas cifras de las unidades de los numeros de la tercera fila sean todas distintas?39. Encontrar todos los numeros de dos cifras tales que al sumarles el numero escrito conlas mismas cifras pero en orden inverso, dan un cuadrado perfecto.40. En una cuadrcula de 8 8 se han escogido arbitrariamente 10 cuadritos y se hanmarcado los centros de estos. El lado de cada cuadrito mide 1. Demuestre que existenal menos dos puntos marcados que estan separados una distancia menor o igual que2, o que existe al menos un punto a una distancia 12 de una orilla de la cuadrcula.41. En la siguiente figura AB = AD = 130 y BEDC es un cuadrado cuya area es iguala la de 4AEB. Determinar el area del cuadrado BEDC .

AD

BCE

42. Pruebe que la suma de cuatro numeros enteros positivos consecutivos no puede serun cuadrado perfecto.43. Sea un numero natural de cuatro dgitos, P = abcd (a, b, c, d son dgitos, con a 6= 0),si se invierten sus cifras se obtiene el numero P = dcba y ademas P + P = 6435.Cuantos numeros P satisfacen esta propiedad?44. Determine tres numeros enteros positivos tales que la resta del tercero menos elsegundo es 2 y la resta del segundo menos el primero tambien es 2 y ademas la sumade los cuadrados de los tres numeros es igual a un numero de cuatro cifras iguales.

2645. Sea P un numero entre 1 y 16000 tal que es a la vez un cubo y el doble de uncuadrado. Determine todos los valores de P .46. Si a, b, c, d son dgitos tales que 0 a < b < c < d, cuantos numeros de la forma1a1b1c1d1 son multiplos de 33?47. Determine para que enteros positivos j el numero 22 +25 +2j es un cuadrado perfecto.48. Sea ABC un triangulo tal que ]ABC es agudo y m]ABC = 2 m]ACB; se traza laaltura correspondiente al vertice A que corta a BC en D. Sea E en la prolongaciondel lado AB tal que BE = BD. La recta que pasa por E y D corta al lado AC en F .Determine el valor de DFAC .49. Un numero de tres cifras es equilibrado si una de sus cifras es el promedio de lasotras dos, por ejemplo el numero 258 es equilibrado pues 5 = 2+82 . Cuantos numerosequilibrados de tres cifras hay?50. Pruebe que si n es un entero positivo entonces los numeros n(n+ 1)(2n+ 1) yn(n+ 1)(4n+ 5)son divisibles por 6.51. Decidir si es posible o no distribuir los 16 numeros del 1 al 16 en los triangulitos dela figura, de modo que la diferencia entre los numeros colocados en los triangulitosvecinos valga 1 o 2 (triangulitos vecinos son los que tienen un lado en comun).

52. Sea ABC un triangulo escaleno de area 1999. Sea A1 un punto del lado BC y seanB1 y C1 puntos sobre las rectas AC y AB respectivamente, tales que AA1, BB1 y CC1son paralelas. Determine el area del triangulo A1B1C1.53. Escribir el numero 1999 como la suma de numeros enteros positivos, de tal maneraque el producto de dichos numeros sea el mayor posible.54. Los numeros del 1 al 12 se colocan, sin repetir, en los crculos del siguiente arreglotriangular:

27

i) Muestre que no existe una forma de acomodarlos de modo que las sumas de losnumeros que estan en cada uno de los lados del triangulo sea 27.ii) Pruebe que s existe un acomodo en que, en cada uno de los lados del triangulo,la suma sea igual a 28.NIVEL BSELECCION

1. Sea A un angulo agudo tal que tan A = 512 . El valor numerico de la expresion sen A1 + cos Aesa) 2/3 c) 1/5b) 5/13 d) 52. N es un numero de tres dgitos tal que al restarle 8 el resultado es divisible entre 8,si a N se le agrega 9 el resultado es divisible por 9 y si a N se le resta 7, el resultadoes divisible por 7. El residuo que se obtiene al dividir N entre 5 esa) 4 c) 2b) 3 d) 13. Si A y B son cifras, distintas de cero, entonces el numero de cifras (no necesariamentediferentes) de la suma 9876 + A32 + B1esa) 4 c) 6b) 5 d) faltan datos4. El mayor numero de cuatro dgitos que aparece en la progresion aritmetica

1, 4, 7, 10, 13, 16, . . .esa) 9998 c) 9997b) 9999 d) 9996

285. En la figura, el paralelogramo ABCD esta formado por cuatro triangulos equilaterosde lado 1.

A B

CD1

Entonces, la longitud de la diagonal AC esa) 3 c) 7b) 5 d) 46. Un grupo de personas salio a almorzar a un restaurante. Se gastaron C 7 200, el gastose repartio por partes iguales entre todas las personas del grupo, pero posteriormen-te se decidio que tres personas no pagaran por lo que cada uno de los restantespago C 400 mas. El numero de personas que haba en el grupo esa) 6 c) 7b) 8 d) 97. Cuantos numeros hay entre 9992 y 10002, sin incluir estos dos numeros?a) 999 c) 1998b) 1000 d) 19998. En la figura, las dos rectas l y m son paralelas, entonces x es igual a

40100x

l

m

E

B

D

AC

a) 120 c) 140b) 130 d) 1509. El entero positivo 403 puede ser escrito en la forma 403 = p+ q, con p y q numerosprimos tales que p < q, dea) una manera c) cinco manerasb) dos maneras d) cuatro maneras10. En el triangulo de la figura adjunta se tiene que AHBC , BC = 6m, AH = 4 m.

29

C B

A

M N

R QHEntonces el cuadrilatero MNQR es un cuadrado de ladoa) 4, 16 m c) 2, 8 mb) 2, 4 m d) 4 m

11. El numero de enteros positivos comprendidos entre 74 y 47, que son cuadrados perfectoses igual aa) 76 c) 80b) 78 d) 8212. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor, tal que BC = 10 cm, CD = 19cm y las medidas de los angulos A, B, C , son respectivamente 30, 150, 120. EntoncesAD es igual aa) 48 cm c) 28 cmb) 38 cm d) 24 cm13. Se quiere alumbrar el permetro de un terreno de forma trapezoidal cuyos lados miden140 m, 133 m, 210 m y 182 m. Se desea que en cada uno de los vertices del terrenoquede un poste. Ademas, que dos postes consecutivos guarden la misma distancia yque dicha distancia sea la mayor posible. El numero de postes que se necesitan paraalumbrar el terreno esa) 95 c) 92b) 94 d) 9114. El numero de maneras en que se puede descomponer el numero 1999 como la sumade un numero impar positivo mas el cuadrado de un numero par positivo, esa) 10 c) 26b) 20 d) 2215. Cierto vehculo viaja a 60 km/h si va cuesta arriba, a 90 km/h si va cuesta abajo y a72 km/h en los demas casos. Si el vehculo tarda 5 horas para ir de A a B y 4 horaspara regresar de B a A, entonces la longitud del camino entre A y B es

30a) 300 km c) 324 kmb) 360 km d) 348 km

16. En la sucesion 1, 3, 2, . . ., cada termino, despues de los dos primeros, es igual a ladiferencia del precedente y el precedente del precedente. La suma de los primeros2001 terminos de la sucesion esa) 0 c) 4b) 1 d) 617. El numero de 4 cifras 8xy9 es un cuadrado perfecto. Entonces x + y es igual aa) 10 c) 1b) 9 d) 518. Sea n N, n > 1. Un numero real equivalente a

n 12n(4n + 1)8n 3n + 6nesa) n4 c) n 23b) 2 d) 319. En la figura, los triangulos BFC y BAE son triangulos equilateros.

A

B

C

E FO

La medida, en grados, del angulo AOC , esa) 60 c) 120b) 135 d) 4520. Se divide un rectangulo en rectangulos mas pequenos, como se muestra en la figura.

31

A B

CDx1 23 4

16

Las areas de los rectangulos pequenos son las indicadas en la figura. El area x delrectangulo ABCD esa) x = 7 c) x = 6b) x = 8 d) x = 921. Dado el sistema x + y 1x y+ 1 = ay x 1x + y+ 1 = b

,entonces x + y es igual aa) 2b ab 1ab+ 1 c) ba+ a+ 21 abb) 1 abab+ 1 d) ba+ 11 ab22. En la figura, ABCD es un cuadrado cortado por dos segmentos perpendiculares entres: EF y GH .

D C

BA E

FG

H

Si EF = 10 cm, entonces HG midea) 15 cm c) 20 cmb) 10 cm d) 25 cm

3223. En una fiesta haba distintos tipos de cajas de galletas de tal modo que los asistentespudieron establecer las siguiente conclusiones:i. De cada caja de galletas comieron exactamente 3 personas.ii. Cada persona escogio galletas de exactamente 2 cajas distintas.iii. Por cada par de cajas hubo exactamente una persona que comio de ambas.El mnimo numero de personas que comieron galletas esa) 6 c) 8b) 4 d) 1224. Efectuando el producto 999 . . . 9 555 . . . 5 (donde el primer numero tiene 95 nuevesy el segundo numero tiene 95 cincos), se obtiene un numero cuya suma de las cifrases igual aa) 846 c) 855b) 945 d) 95425. Fernando pensaba vender sus postales en 1000 colones. Despues de vender 8 postalesperdio la cuarta parte de las que le quedaban y solo pudo obtener 850 colones enla venta total. Si vendio todas las postales al mismo precio, entonces el numero depostales que tena esa) 85 c) 24b) 50 d) 2026. Un numero de dos cifras es el doble del producto de sus cifras. La suma de las cifrasde dicho numero esa) 6 c) 8b) 7 d) 927. La suma de los dgitos en base 10 del numero (101999n2+2 + 1)2, donde n es un enteropositivo esa) 4 c) 1999n2b) 4n d) 1999n2 + 228. En la figura, ABDC es un rectangulo.

C D

BAO

33El porcentaje del area del rectangulo que corresponde al area de la region sombreadaesa) 20 c) 25b) 30 d) faltan datos29. Se comienza con el numero 1. Una operacion consiste en multiplicar el numero por3 y sumarle 5. La cifra de las unidades del resultado obtenido despues de aplicar laoperacion 1999 veces esa) 1 c) 8b) 2 d) 930. La cantidad de numeros enteros positivos n que satisfacen la desigualdad25 < n17 < 1113esa) 6 c) 8b) 10 d) 531. Se escriben los numeros 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23, uno en cada uno de los circulitos dela siguiente figura, de manera que la suma de los tres numeros en cada lnea sea elmismo numero primo.

El numero que queda en el circulito del centro de la figura esa) 7 c) 13b) 11 d) 1732. En la siguiente figura, los segmentos AY y BX son perpendiculares a los segmentosBC y AC respectivamente.

A

B CYXT

34Si mABC = 50 y mBAC = 60 entonces la medida de BTY es igual aa) 60 c) 80b) 70 d) 50

33. Si (1 + 1n) (1 1m) = 1, entonces m es igual aa) n 1 c) 2nb) n+ 1 d) n2 + 134. Si los numeros a, b, c satisfacen las siguientes igualdades:1a + 1b + 1c = 1,1a 1b + 1c = 13 ,1a + 1b 1c = 0,entonces a+ 2b+ 3c es igual aa) 6 c) 18b) 12 d) 2435. Si A y B son numeros naturales tales queA7 + B5 = 3135entonces A es igual aa) 1 c) 3b) 2 d) 436. En un triangulo equilatero XYZ se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemosa las divisiones A, B, C, D, E, F como se muestra en la figura.

Y Z

XA

BC D

EF

Si el area de 4XYZ es igual a 18, entonces el area de la region sombreada es igualaa) 12 c) 9b) 10 d) 8

3537. La suma de cinco numeros enteros es 146. Si m es el mayor de los cinco mumeros,entonces el menor valor que puede tener m esa) 35 c) 27b) 41 d) 3038. En la siguiente figura se tiene que

AD = 2DB y AEEC = 23 .

A

B

C

D

ESi el area de 4ADE es 8, entonces el area de 4ABC esa) 20 c) 28b) 24 d) 30

39. El entero positivo mas pequeno n que satisface la ecuacion n3 +2n2 = b, donde b esel cuadrado de un numero impar, esa) b 1 c) 15b) 7 d) b 540. La cantidad de numeros a, menores que 1500 y tales que (5a+ 1)(3a+ 2) es divisiblepor 15 esa) 98 c) 100b) 99 d) 10141. El numero entero positivo equivalente al numero naturaln = 65743 5438 + 34257 4562+65743 4562 + 34257 5438

esa) 109 c) 34257 104b) 65743 104 d) 102042. Se dan los numeros ar, ar2, ar3, . . ., ar10 (donde a y r son numeros reales no nulos).Si la suma de esos numeros es 18 y la suma de los recprocos es 6, entonces elproducto de los numeros es igual a

36a) 216 c) 81b) 94 d) 243

43. Un rectangulo se divide en nueve subrectangulos, como muestra la figura. En el interiorde algunos de los rectangulos esta escrito su permetro.

1284 66

Entonces el permetro del rectangulo grande es igual aa) 56 c) 72b) 36 d) 2844. Si n es un entero positivo entonces la fraccion n2 + n 1n2 + 2n es irreducible paraa) ocho valores de nb) cuatro valores de nc) diez valores de nd) infinitos valores de n45. En un rectangulo que mide 120 de largo y 100 de ancho se traza un triangulo en suinterior como en el dibujo.

C

AB

bh

Si la base del triangulo es b = 125, entonces la altura h del triangulo midea) 96 c) 60b) 90 d) 75

3746. Se tiene un numero x de tres cifras, x = abc, donde a, b, c son cifras diferentes entres y diferentes de cero y un numero y = bca. La resta x y es un numero de doscifras que es un cuadrado perfecto; entonces la cantidad de numeros x que cumplenestas condiciones es igual aa) 7 c) 11b) 9 d) 1347. En las siguientes expresiones, a, b, c representan numeros reales distintos de cero:xyx + y = a, xzx + z = b, zyy+ z = c.

Suponiendo que las expresiones estan bien definidas, entonces x en terminos de a, b,c es igual aa) abcab+ac+bc c) 2abcab+acbcb) 2abcab+ac+bc d) 2abcac+bcab48. Considere la secuencia 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ... cuyos terminos sonenteros positivos consecutivos en orden creciente y el entero n aparece n veces. Aldividir entre 5 el termino numero 1993 de esta secuencia, se obtiene como restoa) 0 c) 3b) 4 d) 249. En la siguiente figura se tiene que AB = BD = 2, m]DBC = 30

A C

D

B 30Entonces AD es igual aa) 6 +2 c) 6 +3b) 23 d) 3250. Sean a, b, c numeros reales positivos tales queb < a < c < a+ b y defnaseA = caca , B = a+bab , C = aabb , entonces podemos asegurar quea) C < A < B c) A < B < Cb) B < A < C d) C < B < A

3851. Si las medidas de las medianas en un triangulo rectangulo, trazadas a partir delos vertices de los angulos agudos, miden 5 cm y 40 cm; entonces la medida encentmetros de la hipotenusa del triangulo rectangulo esa) 213 c) 13b) 20 d) 5252. La suma de todas las fracciones de la forma ab tales que a y b son enteros positivos,menores o iguales que 1000, con a b esa) 250 750 c) 190 850b) 320 840 d) 380 940

DESARROLLO1. Si A es un numero real, el smbolo [A] se llama la parte entera de A y correspondeal mayor numero entero que es menor o igual que A. Determine todos los numerosenteros x , tales que [x2]+ [x3] = 15.2. Determinar los valores reales del parametro m de manera que el sistema{ mx + 2y = a7x + 5y = btenga una solucion en numeros enteros (x, y) para cualesquiera sean los valores delos enteros a y b.3. Pruebe que si la suma k + m+ n de tres numeros enteros positivos es divisible por6 entonces k3 +m3 + n3 tambien es divisible por 6.4. Un polinomio P(x) tiene coeficientes enteros y para cierto numero entero a se verificaque P(a) = P(a+ 1) = P(a+ 2) = 1,existe algun entero k tal que P(k) = 8?5. Sea T un triangulo cuyos lados son enteros consecutivos y cuya area es un entero.Muestre que una de sus alturas divide al triangulo en dos triangulos rectangulospitagoricos, es decir, con lados enteros. Ademas muestre que esta altura divide a labase en dos segmentos cuyas longitudes difieren en 4 (salvo en el caso del triangulo3 4 5).6. Un escolar gasto cierta suma de dinero para comprar un cuaderno, un lapicero y unlapiz. Si el cuaderno hubiera costado 15 de lo que costo, si el lapicero hubiera costadola mitad de lo que costo y si el lapiz hubiera costado 25 de lo que costo, entonces elgasto total habra sido de 80 colones. Si el cuaderno hubiera costado la mitad de lo

39que costo, el lapicero la cuarta parte de lo que costo y el lapiz la tercera parte de loque costo, entonces el gasto habra sido de 120 colones. Determine cual fue el gastode la compra y determine si el cuaderno es mas caro que el lapicero o al reves.

7. De la ciudad A parten simultaneamente una motocicleta, una bicicleta y un automovil,hacia una ciudad B. Cuando el automovil llega a B, regresa a A y de regreso seencuentra a la motocicleta a x kilometros de B y luego se encuentra a la bicicleta a ykilometros de B. Cuando la motocicleta llega a B regresa y encuentra a la bicicleta a zkilometros de B. Determine, en terminos de x , y, z, la distancia entre ambas ciudades,suponiendo que cada vehculo viajaba a velocidad constante.8. Determinar todas las parejas de numeros reales (x, y) que satisfacen

2x21 + x2 = y2y21 + y2 = x9. En un paralelogramo ABCD se tiene que AB = 10, BC = 5 y el angulo agudo entrelas diagonales mide 60. Determine la altura sobre el lado AB.

10. Dado que0 = (x + y)2 + (x + 3y)210(x + 3y) 4(x + y) + 29,

determine el valor de la expresion 2y2 + xy.11. Sean x , y numeros reales tales que(x +x2 + 1)(y+y2 + 1) = 1.

Calcule el valor numerico de x + y.12. Tres recipientes A, B y C tienen inicialmente los siguientes contenidos: A, 2 litros deaceite de soya; B, 3 litros de aceite de maz y C , 4 litros de aceite de girasol. Luegose pasa 1 litro del recipiente A al recipiente B; despues se mezcla bien y se pasa 1litro del recipiente B al recipiente C. Este se mezcla bien y se pasa 1 litro de C alrecipiente B. Finalmente, bien mezclado el contenido de B se pasa 1 litro de este alrecipiente A. Despues de completada la operacion, que porcentaje de cada aceite hayen el recipiente A?13. En una reunion hay 31 hombres y 31 mujeres sentados alrededor de una mesa redonda.Pruebe que los vecinos de al menos una persona son dos hombres.

4014. Sea k un numero entero mayor o igual que 1, tal que k(k+1)2 es un cuadrado perfectoN2, con N < 100. Determine todos los k que satisfagan las condiciones dadas.15. En un triangulo ABC , se tiene que BD y BE trisecan al angulo B, y CD y CE trisecan al angulo C . Sea D la interseccion de BD con CD y E la interseccion deBE con CE , con E mas cercano que D al lado BC . Pruebe que los angulos BDE yEDC son iguales.16. Se considera la ecuacion

x2 (5m+ a) x + 6m2 + 5m 4 = 0,donde a y m son parametros (la incognita es x). Determine que valores debe tomara para que la ecuacion tenga soluciones reales para cualquiera que sea el valor delparametro m.17. Demostrar que para cualquier numero entero positivo n es valida la desigualdad19 + 125 + + 1(2n+ 1)2 < 14 .

18. En el plano se traza un polgono con a+b vertices; a de los vertices se designan conla letra A y los otros b vertices se designan con la letra B. Sobre cada uno de loslados del polgono se hace lo siguiente: si los dos vertices del lado estan denotadoscon la letra A, sobre ese lado escribe el numero 2; si los dos vertices del lado estandenotados con la letra B, sobre ese lado escribimos el numero 12 ; si uno de los verticesdel lado corresponde a la letra A y el otro corresponde a la letra B, sobre ese ladoescribimos el numero 1. Determine el producto de todos los numeros escritos.19. Se tiene una cuadrcula de 4 4 y se quiere llegar del cuadrito inferior izquierde alcuadrito superior derecho. Si solamente se puede ir hacia arriba, o hacia la derechao en diagonal hacia arriba y a la derecha, de cuantas maneras se puede hacer?20. Determine todos los numeros enteros n para los cuales 2n3 1 es multiplo de 1999.21. Sea AL la bisectriz del angulo A de un triangulo acutangulo ABC . Sean M un puntoen el lado AB y N un punto en el lado AC de modo que mMLA = mABC ymNLA = mACB. Si D es el punto de interseccion de AL y MN , pruebe queAL3 = AB AC AD.22. Sea ABC un triangulo y D, E , F puntos sobre los lados BC , AC y AB respectivamente,tales que AD, BE y CF concurren en un punto G. Trazamos DF , DE y por G unaparalela a BC que corta a DF y DE en H e I respectivamente. Pruebe que HG = GI .23. Se tienen 10 numeros enteros positivos no necesariamente diferentes. Se realizan lassiguientes operaciones: se descarta el primero y se suman los nueve restantes; luegoel que se descarta es el segundo y se suman los nueve restantes; se continua de esa

41manera hasta que finalmente se descarta el ultimo y se suman los otros nueve. Deesta forma se obtiene solo nueve resultados diferentes que son: 86, 87, 88, 89, 90, 91,92, 93 y 96. Hallar los diez numeros iniciales.

24. Suponga que los numeros reales x, y, z, t satisfacen las siguientes condiciones:x + y+ z + t = 0x2 + y2 + z2 + t2 = 1

Pruebe que 1 xy+ yz + zt + tx 0.25. En un trapecio ABCD de bases AB y CD, M es el punto medio de DA. Si BC = a,MC = b y el angulo MCB mide 150, hallar el area del trapecio ABCD en funcionde a y b.26. Sea a un entero positivo impar mayor que 17, tal que 3a 2 es un cuadrado perfecto.Demostrar que existen enteros positivos distintos b y c tales que a+ b, a+ c, b+ cy a+ b+ c son cuatro cuadrados perfectos.27. Siendo a, b, c, d numeros reales, probar que

48a2 + 16b2 + 4c2 + d2 32ab+ 16ac + 8ad.28. En un 4ABC se tiene BC = 2, AB > AC . Se traza la altura AH , la mediana AM y labisectriz interior AL. Se dan ML = 23 y MH = 12 .

a) Calcular (AB)2 (AC )2 y la razon de los lados AB y AC .b) Hallar las longitudes AB, AC y AM .c) Calcular los angulos del triangulo ABC .29. Pruebe que 299998 13 es un numero entero.30. Determine todos los numeros primos que se pueden escribir como una suma de dosnumeros primos y que tambien se pueden escribir como una diferencia de dos numerosprimos.31. Se tienen tres mezclas compuestas de tres elementos A, B y C. La primera mezclaconsta solo de los elementos A y B en razon de peso 3 : 5, la segunda mezcla contienesolamente los elementos B y C en razon de peso 1 : 2, en la tercera mezcla aparecensolo los elementos A y C en razon de peso 2 : 3. En que proporcion se deben tomarestas mezclas para que la mezcla obtenida contenga los ingredientes A, B y C enrazon de peso 3 : 5 : 2?

4232. Sean a, b, c numeros racionales no nulos tales que 1a + 1b + 1c = abc. Demuestre queel numero (a2b2 + 1)(b2c2 + 1)(c2a2 + 1)

es el cuadrado de un numero racional.33. Sea ABC un triangulo equilatero de lado a, D punto medio de BC , E un punto enAB, de modo que DE es perpendicular a AB, F un punto en AC , de modo que DF esperpendicular a AC . Calcular el area de 4DEF .34. Sean x , y, z numeros reales tales que:(y z)2 + (z x)2 + (x y)2 = (y+ z 2x)2 + (z + x 2y)2 + (x + y 2z)2Probar que x = y = z.35. Sea ABC un triangulo rectangulo, con angulo recto en C ; D y E son puntos sobrela hipotenusa tales que CD = m, CE = n y se verifica que m2 + n2 = 1. AdemasBD = DE = EA. Comprobar que la hipotenusa de 4ABC es AB = 355.36. Sean a1, a2, . . ., an numeros enteros tales que:i) a1 a2 an = nii) a1 + a2 + + an = 0Pruebe que 4 divide a n.37. Determinar todos los enteros n 1 para los cuales es posible construir un rectangulode lados 15 y n, con piezas congruentes a:

Nota: las piezas no deben superponerse ni dejar huecos; los cuadritos de las piezasson de lado 1.38. Observe la siguiente sucesion de fracciones:

15 , 145 , 1117 , 1221 , 1357 , ...Determine una ley de formacion para esta sucesion y calcule la suma de los 13primeros terminos.

4339. En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo y DX = BY . Si el permetro deltriangulo BCE es a + 2b, el permetro del triangulo CDX es b 2a (b > 2a) y elpermetro del triangulo CFY es p, determine p en terminos de a y b.

A E

CFX

Y B

D

40. Hallar un numero menor que 1000 tal que el cubo de la suma de sus cifras es iguala su cuadrado.41. Se da un cuadrado de lado a y un triangulo equilatero de lado a, como en la figura.Determine el area de la region sombreada.

42. Pedro y Cecilia participan en un juego con las siguientes reglas: Pedro elige un numeroentero positivo a y Cecilia le gana si encuentra un numero entero positivo b, primocon a, tal que en la descomposicion en factores primos de a3 + b3 aparecen por lomenos tres factores primos distintos. Demostrar que Cecilia siempre puede ganar.43. Encuentre las soluciones enteras positivas del sistemaw + x = yzy+ z = wx

44. Un grupo de 15 amigos que estan sentados en fila inician el siguiente juego. El primerode ellos entrega al segundo cierta cantidad de dinero y este al recibirla duplica lacantidad recibida y le agrega d colones mas, se la entrega al siguiente quien a suvez hace lo mismo y as sucesivamente. Si el primer amigo entrego C 5 y el decimorecibio C 1 917, 50, cuanto dinero recibe el ultimo?

4445. El angulo A de un triangulo isosceles ABC mide 25 de un angulo recto, siendo con-gruentes sus angulos B y C . La bisectriz del angulo C corta al lado opuesto en elpunto D. Calcule las medidas de los angulos del triangulo BCD. Exprese la medida adel lado BC en funcion de la medida b del lado AC , sin que en la expresion aparezcanrazones trigonometricas.46. Pruebe que si p y q son numeros primos tales que p2 + q2p+ q es entero, entonces p = q.47. Encontrar todos los numeros naturales de tres dgitos abc (a 6= 0), tales que

a2 + b2 + c2es divisor de 26.

48. Si a, b, c son numeros positivos tales que a+ b+ c = 2, pruebe quea2a+ b + b2b+ c + c2c + a 1.

49. Durante cierto ano (no bisiesto), una pequena librera que abra los siete das de lasemana vendio en total 600 libros. Cada da vendio al menos un libro; pruebe queexiste un perodo de das consecutivos en el que vendieron 120 libros en total duranteese perodo.50. Determine todas las secuencias finitas de numeros naturales consecutivos que sumen2000.51. Sea ABCD un cuadrado y sea M punto medio de BC y N el punto medio de AB. SeaP la interseccion de AM con DN , demuestre que el angulo APN es recto.52. Sea xm el numero que resulta de multiplicar las cifras del entero positivo m. Halle lasuma de todos los xm tales que m tiene n cifras.53. Pruebe que si a y b son tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado perfectoentonces, existe un c tal que la suma de los cuadrados de a, b y c tambien es uncuadrado perfecto.54. Sea ABC un triangulo tal que AB = 11, AC = 10, BC = 9. Se marca un punto Men el lado AB y un punto N en el lado AC de manera que el permetro del trianguloAMN sea igual al permetro del cuadrilatero MNCB y el area del triangulo AMNsea igual al area del cuadrilatero MNCB, calcule el valor de 1AM + 1AN .55. Por el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectangulo se traza una rectaque corta al cateto mayor con un angulo de 45. Si la hipotenusa mide h, calcule,en terminos de h, la suma de los cuadrados de los segmentos determinados de estamanera en ese cateto.

4556. Determine los numeros naturales a, b, c tales que:

a3 b3 c3 = 3abc y a2 = 2(b+ c)57. Si m y n son enteros positivos tales que m = 3n1, demostrar que mn + 54mn < 14.58. En la siguiente figura se tiene que AP = PQ = QB y AM = MN = NC , determinarel area de 4DMN en terminos del area de 4ABC .

B C

AP N

MQ D

59. En el triangulo acutangulo ABC , mb y ma denotan las medianas de los lados BA yCA respectivamente. Suponga que mamb. Muestre que cotB + cotC 23 .60. Se escriben los numeros 1, 2, 3, ..., 20 en la pizarra. Se permite borrar cualesquierados numeros a, b y en lugar de ellos escribir el numero ab + a + b, que numeroquedara escrito despues de 19 de estas operaciones?61. Pruebe que para todo numero entero positivo n, se tiene que el numero 11 . . . 11 n veces 22 . . . 22 5n+1 veceses un cuadrado perfecto.62. Los smbolos (a, b, ..., g) y [a, b, ..., g] denotan respectivamente el maximo comundivisor y el mnimo comun multiplo de los enteros positivos a, b, ..., g. Por ejemplo:(3, 6, 18) = 3, [6, 15] = 30. Pruebe que[a, b, c]2[a, b] [b, c] [c, a] = (a, b, c)2(a, b) (b, c) (c, a)

NIVEL CSELECCION1. La funcion f es tal que, para cada numero real x , se cumple que

f (x) + f (x 1) = x2.Si f (1) = 1, entonces f (10) es igual aa) 10 c) 55b) 1 d) 385

462. Al simplificar la expresion

1x + 2x 1 + 1x 2x 1para 1 < x < 2, se obtiene como resultadoa) 2x 1 c) 22 xb) x 1x + 2 d) 2 xx + 13. Existe un numero de dos cifras tal que si se le agrega 1 el resultado es un cuadradoy si se le agrega 1 a su mitad se obtiene tambien un cuadrado. La suma de las cifrasde ese numero esa) 13 c) 9b) 10 d) 12

4. En la figura, ABCDEF es un hexagono regular y C es un crculo con centro en B.

D CB

AFE P H

La razon del area sombreada entre el area del hexagono esa) 13 c) 34b) 23 d) 455. La cantidad de numeros naturales de cuatro dgitos de la forma X2YZ (donde X, Y ,Z son cifras, X 6= 0) que son divisibles por 30 esa) 51 c) 40b) 30 d) 216. En la figura: m]ABC +m]BCA = 5m]BAC ;O es el punto de interseccion de las bisectrices de los angulos internos de 4ABC .

47

AB

CG

Entonces la medida de ]BOC es igual aa) 135 c) 105b) 115 d) 1507. Si F (x) es la suma de los dgitos impares del numero x , entonces el resultado de lasuma F (1970) + F (1971) + + F (2001)esa) 1970 c) 769b) 2001 d) 5368. En un prisma rectangular, las areas de tres de sus caras laterales son 72 cm2, 32 cm2,144 cm2. Si las medidas de los lados son numeros enteros, entonces uno de los ladosdel prisma midea) 16 cm c) 18 cmb) 2 cm d) 6 cm9. Si logab a = 4, entonces logab 3ab es igual aa) 156 c) 178b) 176 d) 19810. Existen dos triangulos, uno con medidas 10, 10, 12 y otro con medidas 10, 10, x talesque tienen igual area. Entoncesa) 8 x < 12 c) 14 < x 17b) 12 < x 14 d) 17 < x 2011. En la tabla que se muestra abajo, n es el numero de la casilla en la cual, por primeravez, el numero de la fila inferior es mayor que el numero en la fila superior:

1 2 3 4 n1000 1004 1008 1012 20 27 34 41 La suma de las cifras de n es igual a

48a) 10 c) 12b) 11 d) 13

12. En el cuadrado ABCD, M es el punto medio de CD, MR = 4 RA y AD = 10.A

BC

DM

R

Entonces, la distancia de R al lado CB esa) 9 c) 7, 5b) 8 d) 713. Si k es un numero positivo y f es una funcion tal que para todo numero positivo nse cumple [f (n2 + 1)]n = k , entonces para todo numero positivo m, la expresion[f (9 + m2m2

)] 12m es igual aa) k c) kkb) 2k d) k2

14. En la siguiente figura, C es un punto en la recta m tal que BC < AB; ademas, si Des el punto interseccion de AB con m, entonces BD 6= AB.

A B mC

El numero de puntos E que podemos encontrar en la recta m tal que el trianguloABE es isosceles esa) 5 c) 3b) 4 d) infinito15. El triangulo ABC es equilatero y sus lados AC y BC son tangentes al crculo cuyocentro es O y cuyo radio es 3.

49A

OB

C

El area del cuadrilatero AOBC es:a) 23 c) 2pib) pi3 d) 3316. El numero de soluciones enteras de la ecuacion 23+x + 23x = 65 esa) 3 c) 1b) 2 d) 017. En la siguiente figura, la suma u+ v + w es igual a

v

uw

a) 3u c) 360b) 180 d) no se puede saber18. En la siguiente figura, si el area del hexagono regular es H , entonces el area deltriangulo ABC es

A B

C

50a) H2 c) H6b) H4 d) H8

19. El numero de tripletas de numeros reales (x, y, z) que satsifacen el sistema de ecua-ciones { x + y = 2xy z2 = 1esa) 0 c) 2b) 1 d) 3

20. Los lados de un hexagono equiangulo miden x , y, 10, 6, 12 y 14, en ese orden. Elpermetro del hexagono esa) 60 c) 84b) 72 d) 9621. Sea N = 1 + 2 + 3 + + 1011. El numero de veces que aparece el factor 2 en ladescomposicion prima de N esa) 8 c) 10b) 9 d) 1122. El numero de tripletas de numeros enteros positivos (r, n, x), con x > 1, n > 1, quesatisfacen la ecuacion x2n+1 = 2r + 1 esa) 0 c) 3b) 2 d) infinito23. En una conferencia internacional se reunen 15 delegados de Africa, America, Asia yEuropa. Cada continente enva un numero diferente de delegados y cada uno esta re-presentado, por lo menos, por un delegado. America y Asia envan un total de 6delegados, Asia y Europa envan un total de 7 delegados. El continente que enva 4delegados esa) Asia c) Americab) Europa d) Africa24. Sea ABC un triangulo isosceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera dellado BC diferente de los puntos extremos. Por P se trazan: una paralela a AC quecorta a AB en Q y una paralela a AB que corta a AC en R .

51

B C

A

PR

Q

El permetro del cuadrilatero AQPR esa) 34 cm c) 51 cmb) 17 cm d) 144 cm25. En una cuadrcula 3 3 se colocan, de alguna manera, los numeros del 1 al 9. Acada segmento interior de longitud 1 de la cuadrcula, se le asigna el numero queresulta de sumar los dos numeros de los cuadrados que tienen al segmento en comun,por ejemplo, en la cuadrcula adjunta, al segmento entre los dos puntos se asigna elnumero 13 = 6 + 7.

6 7

Sea S la suma de los doce numeros asignados a los segmentos interiores. Entre todaslas formas posibles de colocar los nueve numeros en las cuadrculas, el valor maximode S esa) 224 c) 180b) 128 d) 13426. El numero de primos p tales que 2p+ 1 es un cubo esa) uno c) tresb) dos d) infinito27. Si r, s, t son numeros reales positivos tales que tx+r = 2 y trx = 3, entonces se tienequea) r < t < x c) x < r < tb) r < x < t d) t < x < r

5228. La coleccion infinita de numeros

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, ...,se forma de la siguiente manera: se coloca el primer impar (1), luego los dos siguientespares (2 y 4), luego los tres impares siguientes (5, 7 y 9), luego los cuatro pares quele siguen al ultimo impar colocado, luego los cinco impares que le siguen al ultimopar colocado y as sucesivamente. El numero par mas cercano a 2000 que aparece enesta coleccion esa) 2002 c) 1996b) 2026 d) 2030

29. Sea ABC un triangulo y sea P un punto en el segmento AB. Sea D un punto en unaparalela a AB que pasa por C tal que AB = CD. Entonces podemos asegurar quea) AC = PD c) (ABC ) = (CDP)b) m]CAB = m]PDC d) PC = CB30. El numero 2 +3 es igual a

a) 32 +12 c)

32 +2b) 62 +22 d) 2 +331. En la siguiente figura ADCB es un cuadrado de lado 1, 4CMN es equilatero.

A B

CDM

NEl area (CMN) es igual aa) 38 c) 12b) 23 1 d) 12332. En una fiesta haba distintos tipos de cajas de galletas de tal modo que los asistentespudieron establecer las siguientes conclusiones:

i) De cada caja de galletas comieron exactamente tres personas.ii) Cada persona escojio galletas de exactamente dos cajas distintas.

53iii) Por cada par de cajas hubo exactamente una persona que comio de ambas.

El numero mnimo de personas que comieron galletas esa) 6 c) 8b) 4 d) 1033. En la figura adjunta el cuadrilatero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm,AC = 24 cm y la altura es 12 cm.

A C

DE

B

O

Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el area del cuadrilatero OBCD esa) 234 cm2 c) 32 cm2b) 163 cm2 d) 112 cm234. En un crculo de radio R se inscribe un triangulo equilatero, dentro del triangulo uncrculo y dentro de este, otro triangulo equilatero, y as sucesivamente, entonces elarea del crculo numero n es igual aa) piRn32 c) piR2

(14)n1

b) piR2(34)n1 d) piRn2

35. La suma de los dgitos del numero 22n+1 52n+3 1 (con n N) es igual aa) 4n+ 3 c) 18n+ 15b) 2n+ 4 d) 18n+ 936. Sean a, b, c, d numeros reales distintos tales que a y b son las races de la ecuacioncuadratica x2 3xc 8d = 0; c y d son las races de x2 3ax 8b = 0. Entoncesa+ b+ c + d es igual aa) 64 c) 32b) 96 d) 8037. En la figura adjunta BC une los centros de los crculos. AB es perpendicular a BC .BC = 8 y AC = 10. Entonces el permetro del crculo pequeno es igual a

54A

B C

a) 2pi c) 6pib) 4pi d) 8pi38. Se tienen dos angulos A y B, ambos entre 0 y 90. Si

sin A sinB = 32 ,cos A+ cosB = 12 ,entonces A+ B es igual aa) 60 c) 120b) 90 d) 45

39. En la figura, ABCD es un cuadrado y CEF es un triangulo equilatero de area 3cm2, entonces el area del cuadrado es

A B

CD

F

E

a) 4 cm2 c) 1 +3 cm2b) 2 +3 cm2 d) 2 cm240. En la siguiente figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes, CD y DAson diametros de las circunferencias menores, el punto B esta en la semicircunferenciamayor y el segmento BD es perpendicular al diametro CA.

55

D

B

C AEntonces el area sombreada es igual aa) pi4 CB AB c) pi2BD2b) pi2 CB AB d) pi4BD241. La cantidad de enteros positivos de la forma 4a8b2 (a, b son cifras) que son divisiblesentre 72 es igual aa) 2 c) 4b) 6 d) 1342. La suma

S = sin 1cos 0 cos 1 + sin 1cos 1 cos 2 + + + sin 1cos 1998 cos 1999es igual aa) tan 0 c) tan 1998 tan 1999b) tan 1999 d) 2 tan 199943. En la figura, la recta T es tangente al crculo y paralela al segmento DE .

B

A

C

EDTR

Si AD = 6, AE = 5, CE = 7, entonces BD es igual aa) 3, 5 c) 5b) 4 d) 5, 544. En una circunferencia se consideran cuatro puntos distintos A, B, C, D tales que ADes diametro. Se traza la recta L tangente a la circunferencia en D. Sea P el punto

56interseccion de L con AB y Q el punto interseccion de L con AC . Si AB = 46, 08,AC = 28, 8 y BP = 3, 92, entonces la medida del segmento CQ es igual aa) 31, 2 c) 51, 2b) 41, 2 d) 61, 245. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm, donde AMPQ se ha obtenidode ABCD al girar este cuadrado 45 sobre el vertice A.

A D

CBQ

P

M45

Entonces el area sombreada, en centmetros cuadrados, esa) 22 c) 2 1b) 2 + 1 d) 3 + 2246. En la figura, el area del crculo mayor es 1 m2. El crculo menor es tangente inter-namente al crculo mayor y tambien es tangente a los lados del angulo inscrito quemide 60.

C

BA 60

Entonces el area del crculo menor esa) 49 c) 29b) 49pi d) 29pi47. El valor de n N, para el cual 932 65 930 + 3n, es cuadrado perfecto, se encuentraen

57a) ]0,10[ c) ]23,54[b) ]11,17[ d) ]61,67[48. Dado ABCD un cuadrilatero, construyase el cuadrilatero A1B1C1D1 que une los puntosmedios de AB, BC , CD y DA; el cuadrilatero A2B2C2D2 que une los puntos medios deA1B1, B1C1, C1D1 y D1A1 y as sucesivamente. Entonces el area (AnBnCnDn) es igualaa) (ABCD)n c) (ABCD)(1/2)nb) (ABCD)n d) (ABCD)2n

DESARROLLO1. Sea f una funcion de R en R definida porf (x) = 12x

((x + 1)2 (x 1)2)si x 6= 0 y f (0) = 1. Determinar el ambito de f .2. Considere 109 enteros a1, . . ., a109 tales que 0 < a1 < a2 < . . . < a109 < 1999.Muestre que entre los valores

di = ai+1 ai, i = 1, . . . , 108,hay un valor que se repite 4 o mas veces .Encuentre un ejemplo de enteros0 < a1 < a2 < . . . < a109 1999donde ninguna diferencia di = ai+1 ai se repita mas de tres veces.3. Demuestre que para cualquier numero real x , es valida la desigualdad4 sin 3x + 5 4 cos 2x + 5 sin x.

4. Se tienen dos secuencias de numerosa) 3, 7, 11, 15, . . . , 1147b) 2, 9, 16, 23, . . . , 2004

Determine cuantos numeros pertenecen a la vez a ambas secuencias.5. En una circunferencia esta inscrito un rectangulo ABCD, con AB = a. Sea KP eldiametro de la circunferencia que es paralelo al lado AB. Si la medida de BKC es, calcule el radio de la circunferencia en terminos de a y de .

586. Resuelva el sistema de ecuaciones{ x y = x +xy(x + y)2 = 2(x y)27. Se tiene un cuadrado ABCD, una recta pasa por el centro de este cuadrado e intersecaal lado AB en un punto N , tal que ANNB = 12 . En esta recta se toma un punto arbitrarioM que se encuentra dentro del cuadrado. Probar que las distancias de M a los ladosAB, AD, BC , CD, tomados en el orden indicado, forman una progresion aritmetica.8. Determine los valores de x (en terminos de a) que resuelven la ecuacion

loga (ax) logx (ax) = loga2 ( 1a) ,

donde a > 0, a 6= 1.9. El radio de la base de un cono circular recto es R y su altura es H . Determine, cualde los cilindros inscritos en este cono tiene la mayor superficie lateral.

10. Determine todas las parejas (x, y) de numeros reales tales que{ y = x3 3xx = y3 3y11. Sean a y b numeros reales y sea

f (x) = 1ax + b.Determine las condiciones que deben cumplir a y b para que haya tres numeros realesdistintos x1, x2, x3 tales que f (x1) = x2, f (x2) = x3, f (x3) = x1.

12. Sea ABCD un cuadrado de lado 1 y sean E, F, G, H puntos sobre los lados AB, BC ,CD, DA respectivamente. Muestre que el permetro del cuadrilatero EFGH es mayoro igual a 22.13. Sean a y b numeros reales tales que a+ b = 2. Pruebe que a4 + b4 2.14. Determinar todos los numeros enteros x tales que existen enteros p y q con

x = 3p+ 1x = 4q+ 2

5915. Encontrar todos los numeros reales x1, x2, . . ., x1999 tales que

1 + x21 = 2x2,1 + x22 = 2x3, 1 + x21998 = 2x1999,1 + x21999 = 2x1.16. Seis circunferencias tienen un punto en comun. Pruebe que hay una de ellas quecontiene al centro de otra de las circunferencias.17. Determinar todos los valores del parametro a de manera que el sistema{ x2 + y2 = zx + y+ z = a

tenga solucion unica.18. Considere los numeros del 1 al 14 y un tetraedro, se desea asignar uno de esos numerosa cada una de las 4 caras, un numero a cada uno de los 4 vertice y un numero a cadauna de las seis aristas del tetraedro de manera que el numero asignado a cada aristasea igual al promedio de los numeros asignados a los vertices que la determinan eigual al promedio de los numeros asignados a las caras que la comparten. Determinesi es posible o no realizar lo indicado.19. Una circunferencia C tiene radio 5 y dos cuerdas AB y CD, que no se intersecan nison paralelas y AB = 8, CD = 6. Sea M el punto medio de AB y Q la interseccion,en el interior de C , de DB y AC . Pruebe que QMDC .20. Determinar todos los enteros no negativos x , y, z tales que 2x + 3y = z2.21. Un trapecio inscrito en una circunferencia de radio r tiene tres lados de longitud sy el cuarto de longitud r + s, con s < r. Determine las medidas de los angulos deltrapecio.22. Pruebe que el numero 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas enla forma 1 = 15 + 1a1 + + 1an ,donde n y a1, a2, . . . , an son enteros positivos y 5 < a1 < a2 < . . . < an.23. Un numero es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras y repetir esta operacionsuficientes veces obtenemos el numero 1. Por ejemplo 1900 es suertudo: la suma delos cuadrados de las cifras de 1900 es 82, la suma de los cuadrados de las cifras de

6082 es 68, la suma de los cuadrados de las cifras de 68 es 100 y, finalmente, la sumade los cuadrados de las cifras de 100 es 1.Determine una infinidad de parejas de numeros enteros consecutivos, donde ambosnumeros sean suertudos.24. En un tablero de 59, se realiza el siguiente juego. Inicialmente, un numero de discosse colocan aleatoriamente en algunas de las casillas, no mas de un disco por casilla.En cada turno, todos los discos se mueven de acuerdo con las siguientes reglas:

a) Cada disco se puede mover una casilla arriba, o una abajo, o una a la izquierdao una a la derecha.b) Si un disco se mueve arriba o abajo en un turno, dicho disco se debe mover a laizquierda o a la derecha en el turno siguiente, y viceversa: si un disco se muevea la izquierda o a la derecha en un turno, debe morverse hacia arriba o haciaabajo en el turno siguiente.c) Al final de cada turno, ninguna casilla debe contener 2 o mas discos.El juego finaliza si es imposible completar otro turno. Probar que si inicialmente secolocan 33 discos en el tablero, entonces el juego finalizara despues de cierto numerode turnos. Probar tambien que se puede ubicar 32 discos en el tablero de tal maneraque el juego se pueda continuar indefinidamente.25. (a) Pruebe la identidad cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x(b) Haciendo uso de la formula en (a), pruebe que

sin 18 = 1 +54 .26. Pruebe que si a es un entero positivo que no tiene factores comunes con 240, entonces240 divide a a4 1.27. Sean a, b y c numeros reales no nulos, con suma no nula, tales que1a + 1b + 1c = 1a+ b+ c .

Pruebe que tambien se verifica que1a1999 + 1b1999 + 1c1999 = 1a1999 + b1999 + c1999 .28. Determinar todos los numeros enteros positivos x , y, z, tales que x < y < z y, ademas,xy+ 1z , yz + 1x , zx + 1y sean enteros.

6129. Encuentre los valores de x , y, z tales que x

yz = 42yxz = 6z xy = 3030. En un triangulo ABC , los segmentos BN , BL y BM son, respectivamente (y en eseorden de izquierda a derecha), altura, bisectriz del angulo ABC y mediana del triangulo.Sabiendo que los angulos ABN , NBL, LBM , MBC son congruentes, determine lasmedidas de los angulos internos del triangulo.31. Calcular el valor de N , donde N es igual a(104 + 324)(224 + 324)(344 + 324)(464 + 324)(584 + 324)(44 + 324)(164 + 324)(284 + 324)(404 + 324)(524 + 324)32. En un triangulo isosceles su base mide a y sus lados congruentes miden b, el angulono congruente mide 20. Probar quea3 + b3 = 3ab2.33. Para un triangulo ABC con circuncentro O, considere H la interseccion de las alturasBE y CF y M el punto de interseccion de AO con CH . Pruebe que si FM = EH ,entonces el triangulo es isosceles.34. Determine todas la tripletas (x, y, z) de numeros reales que son solucion del sistema

x3 + y3 + z3 = 8x2 + y2 + z2 = 221x + 1y + 1z = zxy35. Suponga que f es una funcion tal que

2f (x) + 3f (2x + 29x 2) = 100x + 80.

Calcule f (3).36. Pruebe que si se seleccionan siete enteros positivos distintos de entre los numeros 1,2, ..., 126, existiran dos de ellos x e y tales que 1 < xy 2.37. Sea a una constante real. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:{ x sin + y cos = 2a sin 2x cos y sin = a cos 2determine una relacion entre x e y, en la que no aparezca .

6238. Sea f una funcion definida en el conjunto de los numeros reales tal que existe k

R {0} fijo cona) f (x + y) f (x y) = 4k xy, para todo x, y Rb) f (xy) = kf (x)f (y), para todo x, y RDetermine f (x).39. Determine todos los numeros reales x tales que1 + sin3 x + cos3 x = 32 sin 2x.40. Determine todas las funciones f , definidas en el conjunto de los numeros enteros nonegativos, tales que para cualesquiera x, y; con x y, se satisfacef (x + y) + f (x y) = f (3x).

41. Dado a > 0, resolver el sistema de ecuaciones (incognitas x1, x2, . . ., xn):x1 x2 = a;x2 x3 = a;. . . ;xn1 xn = a;xn x1 = a.42. Sea el polinomio f (x) = xn + a1xn1 + a2xn2 + + an1x + an,donde a1, . . ., an son numeros enteros. Suponga que existen cuatro numeros enterosdiferentes a, b, c, d tales quef (a) = f (b) = f (c) = f (d) = 5.Pruebe que no existe ningun numero entero k tal que f (k) = 8.43. Considere un triangulo isosceles. Si los radios de las circunferencias circunscrita einscrita al triangulo miden, respectivamente, 9 cm y 4 cm, halle la distancia entre loscentros de las dos circunferencias.44. Sea f (x) = 125x4 5logx 5. Determine para que valores en el dominio de f se tieneque f (x) 0.45. Encuentre todos los enteros que se escriben como1a1 + 2a2 + + 9a9donde a1, a2, . . ., a9 son dgitos distintos de 0 que pueden repetirse.

6346. Sea f una funcion tal que existe un numero real a con

f (x + a) = 12 +f (x) [f (x)]2.Pruebe que f (x + 2a) = f (x).

47. Sea n un numero entero positivo par. Determine todas las tripletas de numeros reales(x, y, z) tales que xny+ ynz + znx = xyn + yzn + zxn48. Sea ABCDE un pentagono convexo (las diagonales quedan dentro del pentagono).Sean P , Q, R y S los baricentros de los triangulos ABE , BCE , CDE y DAE respec-tivamente. Demostrar que PQRS es un paralelogramo y que su area es igual a 29 delarea del cuadrilatero ABCD.49. Sea ABC un triangulo acutangulo. C1 y C2 son circunferencias que tienen a los ladosAB y CA como diametros, respectivamente. C2 corta al lado AB en el punto F (conF 6= A) y C1 corta al lado CA en el punto E (con E 6= A). Ademas, BE corta a C2 enP y CF corta a C1 en Q. Demostrar que AP = AQ.50. Sean ABCD un cuadrado de lado 1, P, Q puntos sobre los lados BC, CD respecti-vamente, con mPAQ = 45 y E, F los lados de interseccion de PQ con AB y ADrespectivamente.a) Muestre que PQ es tangente a la circunferencia de centro A y radio 1.b) Muestre que AE + AF 22.51. En la figura se tiene que ABCD es un cuadrado. El radio del crculo menor es 1 yel del crculo mayor es 1 + 2. Los crculos son concentricos. Calcule el area delcuadrado.

AB C

DO

52. Encontrar un numero N de cinco cifras diferentes y no nulas que sea igual a la sumade todos los numeros de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifrasde N .

6453. Hay cierto numero n (con n > 80) de personas a la orilla de un ro. Sus pesos enkilogramos son a1 a2 ... an1 an. Estas personas deben atravesar el ro ysolo disponen de un bote; en el bote caben a lo mas dos personas y el peso maximoque puede llevar en cada viaje es an+a80. En cada viaje tanto de ida como de regresoel bote debe ser conducido por alguna de las n personas. Si el bote debe atravesarel ro al menos 355 veces, cuantas personas hay?54. En un tablero de 88 estan escritos ordenadamente los numeros del 1 al 64; como seve en la figura. 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 3233 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 5657 56 57 58 59 60 61 64Luego se coloca un signo + o un delante de cada numero de manera que al finalqueden 4 numeros positivos y cuatro numeros negativos en cada fila y queden cuatronumeros positivos y cuatro negativos en cada columna. Se suman los 64 numerosas obtenidos. Determine todos los posibles resultados de esta suma.55. En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo tal que AB = 1, BC = 2 y ABCes obtuso. Tambien BMDN es un paralelogramo tal que MBBC y NDDA. Si losdos paralelogramos indicados son semejantes, determine el area de ABCD.

A DCB

M

N56. Sean A y B dos puntos cualesquiera dentro del crculo, C. Determine las condicionesmas generales bajo las cuales se pueda trazar un triangulo rectangulo, inscrito alcrculo, tales que A y B estan sobre los catetos del triangulo.57. Sea el polinomio

f (x) = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x 7

65donde a1, ..., a4 son numeros enteros. Suponga que existen cinco enteros diferentes a,b, c, d, e tales que f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = f (e) = 5. Hallar el valor numerico de166(abcde) + 8.58. Muestre que si n 1, entonces la suma de todos los divisores de n es menor o igualque nn.59. Probar que

3 < 12 +5 + 18 +11 + 114 +17 + + 1596 +59960. Si en un triangulo ABC , tenemos quesin A+ sinB + sinCcos A+ cosB + cosC = 3 (1)entonces al menos uno de los angulos mide 60.61. Encontrar todas las funciones f de R en R tales que, para cualesquiera numerosreales x1, ..., x2000, se tienef (x1) f (x2) f (x2000) = f (x1) + f (x1 + x2) + + f (x1 + x2 + + x2000)62. Suponga que f es una funcion que cumple f (x + y) = f (xy) para todo numero realestrictamente positivo. Pruebe que f es una funcion constante.63. Demuestre que en un polgono regular la suma de las distancias de un punto sobrecualquiera de los lados a los demas lados es constante.64. Dado untriangulo 4ABC ,con ortocentro O. Entonces si R esta sobre la perpendiculara AB por O y es tal que la distancia de R a AB es igual que la distancia de O aAB; P esta sobre laperpendicular a BC por O y es tal que la distancia de P a BCes igual que la distancia de P a BC y Q esta sobre la perpendicular a AC por O yes tal que la distancia de Q a AC es igual que la distancia de Q a AC . Demuestreque O es el incentro del 4PQR .65. Una funcion f (n) esta definida para todos los numeros enteros positivos y toma valoresno negativos. Ademas, para todo par de enteros m, n, se tiene quef (m+ n) f (m) f (n) es igual a 0 o a 1,f (2) = 0, f (3) > 0 y f (9999) = 3333.Pruebe que para todo entero k , con 1 k 3333, se tiene que f (3k) = k .66. Pruebe que para cualesquiera numeros reales a, b, p, q con a 0, b 0, p > q > 0,se cumple la desigualdad

(ap + bp)1/p (aq + bq)1/q .

6667. Sean O1, O2, O3 los vertices de un triangulo equilatero de lado d. Se dibujan cir-cunferencias congruentes de radio r (con d2 < r < d) con centros en cada unode los tres vertices, como lo muestra la figura. A, B, C son los puntos de inter-seccion entre los crculos que quedan en el interior de 4O1O2O3. D, E , F son lospuntos de interseccion de los tres crculos en el exterior de 4O1O2O3. Pruebe que4O1O2O3 4ABC 4DEF .

O1 O2

O3

BCADE

F

Eliminatorias del ano 2000Primera eliminatoriaIII ciclo (7,8,9)1. Se tienen tres cofres: uno de oro, otro de plata y el ultimo de plomo. Cada uno deellos contiene la siguiente inscripcion:

PlataEl retratono esta eneste cofreOroEl retratoesta en estecofre

PlomoEl retratono esta en elcofre de oroSi solamente una de las inscripciones es verdadera podemos afirmar que:(a) El retrato esta en el cofre de plomo(b) El retrato esta en el cofre de plata(c) El retrato esta en el cofre de oro(d) No es posible determinar en cual esta2. Hay cuatro botes en una de las orillas de un ro, sus nombres son Ocho, Cuatro, Dos yUno, porque esa es la cantidad de horas que tarda cada uno de ellos en cruzar el ro.Se puede atar un bote a otro, pero no mas de uno, y entonces el tiempo que tardanen cruzar es el del mas lento de los dos botes. Un solo marinero debe llevar todos losbotes a la otra orilla. La menor cantidad de tiempo que se necesita para completar eltraslado es(a) 12 horas (c) 16 horas(b) 15 horas (d) 14 horas

3. Si 2a = 5b = 10 entonces 1a + 1b es igual a(a) 110 (c) 10(b) 12 + 15 (d) 1 67

684. El jefe de unos bandidos deca a sus hombres: hemos robado unas piezas de tela. Sicada uno de nosotros toma seis piezas quedaran cinco piezas. Pero si cada uno denosotros quiere siete piezas, nos faltaran ocho piezas. El numero de piezas robadases(a) 78 piezas (c) 83 piezas(b) 15 piezas (d) 18 piezas.5. Mara tiene 24 anos. Tiene dos veces la edad que Ana tena cuando Mara tena lamisma edad que Ana tiene ahora. La edad de Ana esta entre(a) 10 y 12 anos (c) 16 y 18 anos(b) 13 y 15 anos (d) 19 y 21 anos.6. Una asamblea esta constituida por profesores, estudiantes y administrativos. Si elnumero de profesores en la asamblea es de 570, el numero de estudiantes constituyeun quinto del total de la asamblea y el numero de admimistrativos constituye un sextodel total de la asamblea, entonces el total de asambleistas es(a) 900 (c) 521(b) 697 (d) 5407. El numero mas grande que se puede escribir usando cuatro treses y potencias es(a) 3333 (c) 3333(b) 3333 (d) 3333.8. Si en la figura adjunta los segmentos AC y EF son paralelos y m(ABG) = m(BGE).

D

A CG

E F

B

Se tienea) mEGF = 12mBFEb) mGEF = 12mBFEc) mGEF = 12mEFGd) mGFE = 12mEGF9. El numero 555 555 puede descomponerse como producto de dos factores de tres dgitosen(a) una manera (c) tres maneras(b) dos maneras (d) ninguna manera

6910. Si el numero 1a1b1c1d1 con a, b, c y d dgitos distintos no cero, es divisible por 11,la cantidad de valores distintos que pueden tomar a, b, c y d es(a) 240 (c) 10(b) 40 (d) 16011. Si el promedio de tres numeros es 85 y el promedio de otros dos es 95, entonces elpromedio de los cinco es(a) 88 (c) 90(b) 89 (d) 9112. Cada movimiento en un juego consiste en invertir dos flechas adyacentes, la posicioninicial es y la posicion final es el numero mnimo de movimientospara llegar a la posicion final es(a) 1 (c) 4(b) 2 (d) 313. La suma de los dos ultimos dgitos de 72000 es igual a(a) 1 (c) 13(b) 7 (d) 1114. La cifra que ocupa el lugar 2000 en la expresion decimal del numero racional 4101 es(a) 9 (c) 0(b) 6 (d) 315. Con seis varillas se construye una estructura como se muestra en la figura adjunta

Las tres varillas exteriores son congruentes entre s y las tres varillas interiores soncongruentes entre s.Se desea pintar cada varilla de un solo color de modo que en cada punto de union,las tres varillas que llegan tengan distinto color. Las varillas solo se pueden pintar deazul, blanco, rojo o verde. El numero de maneras en que se puede pintar la pieza esigual a(a) 4 (c) 16(b) 12 (d) 15

7016. La cantidad de numeros que hay del 1 al 1000 que pueden escribirse en la forma abcon a, b enteros mayores que 1, es(a) 43 (c) 49(b) 40 (d) 5017. En la selva, la hiena miente los lunes, martes y miercoles; la zorra miente los jue-ves, viernes y sabado. En los das que no mienten, ellas dicen la verdad. Un da seencontraron la hiena y la zorra y sostuvieron un dialogoHiena: Hola zorra!ayer yo mentZorra: Hola hiena!Yo Tambien ment ayer.Entonces el da en que sucedio este encuentro es:(a) lunes (c) jueves(b) martes (d) nunca pudo suceder18. Llegan 4 ninos a una fiesta y hay 6 gorros; tres verdes y tres rojos. A cada nino se lecoloca su gorro respectivo con los ojos vendados, se sientan a una mesa circular demanera que cada nino ve los gorros de los otros tres. Empezando por el nino numerouno y en el sentido contrario a las manecillas del reloj a cada nino se le hace lapregunta Sabes ya de que color es tu gorro? y todos escuchan la respuesta hastaque alguien contesta afirmativamente. Ademas el primer nino dice que no. El primerode estos ninos que contesta afirmativamente, es(a) ninguno (c) el tercero(b) el segundo (d) el cuarto19. En el pas de la maravillas hay 10 duendes encantados, numerados del uno al diez, quecambian de color entre rojo y verde. En la primera semana todos son rojos, la segundasemana los multiplos de dos cambian a verde, la tercera semana los multiplos de 3cambian al color rojo, y as alternadamente hasta que la decima semana los multiplosde 10 cambian al color verde. De los diez duendes, los que quedaron pintados de rojoal final son los numerados por(a) impares (c) pares(b) divisores de 10 (d) multiplos de 10.20. Construimos una secuencia de triangulos isosceles empezando con AB = BC, luegoBC = CD, y as sucesivamente.

AB

CD

71Si la mBAC = 17, el numero de triangulos isosceles que podemos dibujar es(a) 2 (c) 4(b) 3 (d) 5

21. El numero de enteros positivos n que hacen que la expresion 2000n+ 19 sea entera es(a) 15 (c) 12(b) 20 (d) 1322. Los enteros mayores que uno se ordenan en cinco columnas como se indica a conti-nuacion:A B C D E2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14. . . . . . . . . . . . . . .

El entero 1993 queda en la columna(a) E (c) B(b) A (d) C23. Un rectangulo con permetro 176 cm esta dividido en cinco rectangulos congruentescomo se muestran en la figura

El permetro de cada uno de los rectangulos congruentes es igual a(a) 72 cm (c) 40 cm(b) 80 cm (d) 88 cm24. Susana tiene un quinto de la edad de su madre. La edad de su madre es menor quecien y cuando es dividida por dos, por tres, por cuatro, por seis y por ocho, el residuoes uno. Cuando es dividida por cinco el residuo es cero. La suma de las edades deSusana y de su madre es igual a(a) 30 (c) 36(b) 24 (d) 42

7225. Si x, y son numeros tales que 2x2 x + 14 = 20 y x2 x2 + 7 = y, entonces 5y2 3es igual a(a) 402 (c) 497(b) 396 (d) 45226. En la figura se tiene: AOB es obtuso, OC OA, OD es bisectriz de AOB, OE esbisectriz de BOC.

O

A DC E

BEntonces el angulo DOE mide(a) 25 (c) 45(b) 30 (d) 4027. Se colocan los numeros enteros positivos en la siguiente manera

fila 1 1 2 3 4fila 2 5 6 7 8fila 3 9 10 11 12fila 4 13 14 15 16. . . . . . . . . . . . . . .Entonces la suma de los terminos en la fila 50 igual a(a) 986 (c) 810(b) 794 (d) 57628. En cierto ano, el mes de enero tuvo exactamente cuatro martes y cuatro sabados. Eseano el da 23 de enero cayo en(a) lunes (c) miercoles(b) domingo (d) jueves29. Un numero entero M , diferente de cero, es el cuadrado de un cuadrado y tiene a 6como factor, entonces el menor valor de M6 es(a) 216 (c) 36(b) 1296 (d) 630. La suma 12 + 23 + + 19992000 + 12 + 13 + + 12000 es igual a(a) 39982000 (c) 2000(b) 35001000 (d) 1999

73IV ciclo (10,11,12)

1. Sean a, b, c, d numeros numeros reales positivos tales que ab = cd , entoncesa) abcd = abcd2b) abcd = ad + bc2c) ac + bd = abcd2d) ac + bd = ad + bc22. Se tienen tres cofres, uno de oro, otro de plata y el ultimo de bronce, cada uno deellos tiene una inscripcion:

PlataEl retratono esta eneste cofreOroEl retratoesta en estecofre

PlomoEl retratono esta en elcofre de oroSi solamente una de las inscripciones es verdadera podemos afirmar quea) El retrato esta en el cofre de plomob) El retrato esta en el cofre de platac) El retrato esta en el cofre de orod) No es posible determinar en que cofre esta el retrato.3. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 4 cm, E es el punto medio de BC .

A D

CB E

FEl triangulo FED tiene area igual a 7 cm2, entonces la medida de AF es igual aa) 1 cm c) 1, 5 cmb) 2 cm d) 0, 5 cm

4. Si 2a = 5b = 10 entonces 1a + 1b es igual aa) 110 c) 10b) 12 + 15 d) 1

745. El numero de parejas de enteros positivos impares que tienen suma 1998 es igual aa) 503 c) 499b) 500 d) 9996. El total de numeros de cuatro cifras que son divisibles por 30 es igual aa) 333 c) 300b) 297 d) 3217. En el siguiente arreglo cuadrangular

67 a 43b c de 73 xLa suma de los elementos en las filas, las columnas y las diagonales es una constante.El valor de x esa) x = 37 c) x = 31b) x = 13 d) x = 78. Si el valor de la expresion(1 14

)(1 19) (1 1n2

)es 21 + 20001, entonces el valor de n esa) 1000 c) 1001b) 2000 d) 20019. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro, la razon entre el lado delcuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 25 .

Entonces la razon entre el area sombreada y el area del cuadrado mayor esa) 110 c) 23100b) 18 d) 21100

7510. La cifra que ocupa el lugar numero 2000, despues de la coma, en la expresion decimaldel numero racional 4101 esa) 9 c) 0b) 6 d) 311. Construimos una secuencia de triangulos isosceles empezando con AB = BC , luegoBC = CD, y as sucesivamente tal como lo muestra la figura.

AB

CD

Si m]BAC = 17, el numero de triangulos isosceles que podemos dibujar esa) 2 c) 4b) 3 d) 5

12. Sea un numero de tres dgitos diferentes P = abc, donde a, b y c pueden ser 1 o unnumero pri