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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE I NGENI ERA MECNICA- ENERGA
PROYECTO DE INVESTIGACION
ELABORACION DE UN LIBRO TEXTO DE
MECNICA DE FLUIDOS II
JEFE DEL PROYECTO
ING. JAIME GREGORIO FLORES SANCHEZ
CRONOGRAMA
(31-01-2001 Al 30-01-2003)
RESOLUCION RECTORAL
094-2001-R
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INDICE
RESUMEN
INTRODUCCIN
Capitulo I CONCEPTOS FUNDAMENTALES.
1.1 Tipos de Flujo. 1
1.1.1 Flujo Uniforme. 1
1.1.2 Flujo Permanente o Estacionario. 1
1.1.3 Flujo No Permanente o No Estacionario. 2
1.1.4 Flujo Ideal. 2
1.1.5 Flujo Real. 2
1.1.6 Flujo Interno. 3
1.1.7 Flujo Externo. 3
1.1.8 Flujo Rotacional. 3
1.1.9 Flujo Irrotacional. 4
1.1.10 Flujo Isoentrpico. 4
1.1.11 Flujo Adiabtico. 4
1.1.12 Flujo Unidimensional. 4
1.1.13 Flujo Tridimensional. 5
1.1.14 Flujo Laminar. 5
1.1.15 La Divergencia. 5
1.1.16 El Reynold Crtico. 6
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1.2 Movimiento de un Elemento Fluido. 6
1.2.1 Cinemtica de una Partcula Fluida. 6
1.2.2 Rotacin. 9
1.2.3 La Circulacin. 12
1.2.4 Deformacin Angular de un Fluido. 13
1.2.5 Velocidad de Deformacin Volumtrica (Estiramiento). 14
1.2.6 Velocidad y Aceleracin en Coordenadas de Lneas
de Corriente. 15
1.3 La Funcin de Corriente. 17
1.4 Potencial de Velocidades. 20
Capitulo II FLUJOS NO VISCOSOS Y VISCOSOS.
2.1 Relaciones Diferenciales para una Partcula Fluida. 24
2.1.1 Conservacin de Masa. 24
2.1.2 Cantidad de Movimiento. 27
2.2 Flujo Incompresible No Viscoso. 30
2.3 Flujo Incompresible Viscoso. 34
2.3.1 La Ley de Viscosidad de Navier Stokes. 37
Capitulo III ANLISIS DIMENSIONAL Y TEORA DE MODELOS.
3.1 Anlisis Dimensional. 41
3.1.1 Definicin. 41
3.1.2 Mtodos. 41
3.1.3 Metodologia del Metodo de Buckingham.
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3.2 Teoria de Modelos o Similitud 45
3.2.1 Modelo. 45
3.2.2 Prototipo. 45
3.2.3 Escala. 45
3.2.4 Tipos de Similitud. 46
3.2.4.1Similitud Geomtrica. 46
3.2.4.2Similitud Cinemtica. 46
3.2.4.3Similitud Dinmica. 47
3.2.5 Principakes Grupos Adimensionales. 48
3.2.6 Grupos Adimensionales en Turbmaquinas 49
3.2.7 Coeficientes Adimensionales 50
Capitulo IV ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE.
4.1 Flujo Laminar y Turbulento. 51
4.2 Flujo Interno y Corriente Exterior. 54
4.3 Aplicaciones de las Ecuaciones de Navier-Stokes al Flujo Laminar
Completamente Desarrollado. 56
4.3.1 Placas Planas sin Movimiento. 56
4.3.2 Placa Superior Movindose con Velocidad Constante. 58
4.3.3 Ambas Placas Movindose con Velocidad U en Sentidos
Opuestos. 61
4.3.4 Ambas Placas Movindose con Velocidad U en Sentidos
Iguales. 62
4.3.5 Flujo Laminar en Tuberas Circulares. 63
4.3.5.1Seccin Anular. 66
4.3.5.2En Placas Planas Paralelas. 67
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4.4 Correlaciones Semiempiricas de los Esfuerzos Turbulentos y =
constantes. 684.4.1 Media Temporal de Reynolds. 68
4.4.2 Flujo Turbulento Cerca de la Pared. 70
4.4.3 Ley de la Capa Logartmica. 70
4.4.4 Efectos de la Rugosidad en la Pared. 75
4.4.5 Diagrama de Moody : Diagrama de Perdidas de Carga. 76
4.5 Prdidas de Energa. 78
4.5.1 Perdidas Primarias. 78
4.5.2 Perdidas Secundarias. 79
4.5.3 Dimetro Equivalente. 80
4.5.4 Sistema de Tuberas. 81
4.5.5 Esquema Bsico de un Sistema de Bombeo. 82
4.5.6 Envejecimiento de Tuberas. 84
4.5.7 Tuberas Ramificadas (Depsitos Interconectados). 86
4.5.8 Perdidas por Friccin en Elementos de Tuberas. 88
4.5.8.1Procedimiento Iterativo para Calcular (w)
y Descargas (
i) 89
Capitulo V TEORA DE LA CAPA LMITE.
5.1 La capa Lmite. 94
5.1.1 Espesor de la Capa Limite Real. 95
5.1.2 Espesor de la Capa Limite Aparente o Aproximado. 95
5.1.3 Sub- Capa Lmite. 95
5.1.4 Razn de Crecimiento de la Capa Lmite. 96
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Capitulo VII FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCION
VARIABLE.
7.1 Flujo compresible. 140
7.2 Flujo isoentrpico. 142
7.2.1 Propiedades de estancamiento 142
7.2.2 Relaciones entre las propiedades de estancamiento y las
propiedades estticas. 144
7.2.3 Condicin critica. 145
7.2.3.1 Relaciones crticas. 145
7.3 Ductos de seccin variable. 146
7.3.1 Toberas. 146
7.3.2 Difusor. 147
7.3.3 Ducto convergentedivergente. 148
7.3.4 Tobera convergente - divergente. 148
7.3.5 Relaciones entre A* y A. 149
7.3.6 Relaciones entre flujo masico y bloqueo. 149
7.4 Flujo en una tobera convergente 150
7.5 Flujo en una tobera convergentedivergente. 154
Capitulo VIII FLUJO EN DUCTOS DE SECCION CONSTANTE SIN
TRANSFERENCIA DE CALOR
8.1 Flujos en ductos de seccin constante con friccin. 159
8.1.1 Ecuaciones bsicas para flujo adiabtico. 159
8.2 Flujo Fanno. 161
8.2.1 Lneas de Fanno. 161
8.2.2 Estados de referencia en flujo Fanno 162
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8.2.3 Longitud mxima o longitud critica. 164
8.2.4 Relaciones bsicas para el flujo Fanno. 165
Capitulo IX FLUJO EN DUCTOS DE SECCION CONSTANTE CON
TRANSFERENCIA DE CALOR
9.1 Estudio del flujo Rayleigh. 166
9.2 Lnea de Rayleigh. 166
9.2.1 Parmetros de referencia. 167
9.2.2 Comentarios. 169
9.3 Relaciones bsicas para el flujo Rayleigh. 170
9.4 Ondas de choque. 172
9.4.1 Ondas de choque normal. 173
9.4.2 Relaciones para ondas de choque normal. 174
Capitulo X INTRODUCCION A LA AERODINAMICA
10.1 Definicin. 179
10.1.1 Analtica. 179
10.1.2 Descriptiva. 179
10.1.3 Experimental. 179
10.2 Por qu vuela un avin? 180
10.3 Qu es la sustentacin? 181
10.4 Aplicaciones de la Aerodinmica con respecto a la Mecnica de
Fluidos. 183
10.4.1 Fuerzas y momentos que actuan sobre la aeronave. 184
10.4.1.1 Peso. 185
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10.4.1.2 Levantamiento o sustentacin. 186
10.4.1.3 Resistencia o resistencia al avance. 187
10.4.1.4 Traccin o empuje. 188
10.4.2 Interaccin de las fuerzas. 188
10.4.2.1 Centro de gravedad. 190
10.4.3 Ejes de vuelo. 192
10.4.4 Estabilidad de vuelo. 193
10.4.5 Elementos de control de vuelo. 194
10.5 Los perfiles de ala. 198
10.5.1 Geometra de los perfiles. 199
10.5.2 Definiciones utilizadas para los perfiles. 201
10.5.3 Utilizacin de los catlogos de perfiles. 203
10.5.3.1 La sustentacin. 204
10.5.3.2 La resistencia al avance y sus consecuencias. 205
10.5.3.3 La relacin CZ/ CX. 205
10.5.3.4 El desplazamiento del centro de empuje. 206
Capitulo XI FLUJO EN CANALES ABIERTOS
11.1 Introduccin. 211
11.2 Consideracin del perfil de velocidad. 211
11.3 Flujo normal. 212
11.4 Flujo normal: Mtodos modernos. 218
11.5 Seccin hidrulicamente optima. 22111.6 Ondas gravitacionales. 222
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11.7 Energa especifica: flujo critico. 225
11.8 Flujo variado en canales rectangulares. 233
11.9 Flujo gradualmente variado sobre canales largos. 238
11.10 Clasificacin de los perfiles superficiales para flujos gradualmente
variados 244
11.11 Flujo rpidamente variado; el resalto hidrulico. 250
METODOS Y MATERIALES
RESULTADOS
DISCUSION
BIBLIOGRAFIA
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RESUMEN
Los temas tratados en este libro texto se dan en orden lgico de acuerdo a los
contenidos de Mecnica de Fluidos II impartidos en nuestra facultad. En el primer
capitulo se aclara los principales conceptos fundamentales, luego un enfoque
detallado del anlisis diferencial de las ecuaciones de continuidad y de cantidad de
movimiento, para obtener la aplicacin de la ecuacin de Navier-Stokes.
Seguido se estudia el anlisis dimensional y la teora de modelos con suaplicacin en la determinacin de ciertos parmetros de diseo. En lo
concerniente a flujo interno incompresible se analiza con todas las prdidas
usando ms las ecuaciones analticas que servirn para resolver problemas con
ayuda del computador, sobre todo en tuberas en serie, paralelo y redes.
En la teora de la capa lmite trata los principales casos y como retardar su
desprendimiento; que es el punto anterior para el anlisis de cuerpos sumergidos,
con sus casos ms resaltantes. Con el estudio de flujo compresible tanto desdeflujo isentrpico hasta las ondas de choque normal, pasando por el flujo en
tuberas de seccin constante adiabticas y diabticas.
En la parte de aplicacin de cuerpos sumergidos enfoco los principios de la
aerodinmica, para finalmente concluir con el estudio de flujo en canales abiertos.
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INTRODUCCIN
La forma en que se desarrolla el libro texto es en forma simple, clara y con
conceptos de lgica correlacin para que el estudiante o profesional pueda
analizar sin mucha dificultad, es decir encontrar un material de apoyo acadmico
que le facilitar las aplicaciones de la mecnica de los fluidos.
El presente libro texto llena los vacos que se tiene en la literatura variada y muy
buena pero que en ciertos aspectos dejan en la duda al lector; en el presente
encontrarn los conceptos, ecuaciones y sus aplicaciones en la ingenieramecnica.
En el sylabus de nuestra currcula actual se toca todo el contenido temtico con la
suficiente amplitud, profundidad y el rigor exigido, expuestas de una manera
bastante sencilla e interesante, acadmica como tecnolgicamente. Los alumnos
que cursan la asignatura de Mecnica de Fluidos I y II sern capaces de resolver
problemas tcnicos en las diferentes aplicaciones que se presentan en nuestro
medio, sobre todo en lo que es instalacin de bombas hidrulicas, turbinashidrulicas, as como redes de tuberas en una ciudad o en una fabrica en
particular.
Podr aplicar sus conocimientos en la rama de ingeniera aeronutica; la
identificacin de perfiles aerodinmicos, las principales fuerzas que se presentan
en aviones, helicpteros, alas, etc. campo que es muy importante para el futuro
Ingeniero Mecnico, tanto profesionalmente como econmicamente.
La parte de termodinmica aplicada es complementada con los flujos
compresibles, en sus mltiples aplicaciones en toberas, difusores, ductos de
seccin constante con y sin friccin, con transferencia de calor o no y el fenmeno
de la onda de choque que ocurre frecuentemente cuando se supera la velocidad
snica.
La parte de las aplicaciones prcticas se presentarn en el trabajo de investigacin
posterior, que servir de complemento a toda la exposicin terica descrita, como
parte fundamental aplicativa tanto en lo acadmico como en lo tecnolgico-
industrial.
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CAPITULO I
CONCEPTOSFUNDAMENTALES
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA
Ing. Jaime Flores Snchez1
1.1 TIPOS DE FLUJO
1.1.1 FLUJO UNIFORME.- Es aquel en donde la velocidad del fluido enmagnitud, direccin y sentido no varia de un punto a otro, es decir el
desplazamiento no tiene un perfil de velocidad del tipo cuadrtico; por
ejm. el desplazamiento del aire en el medio ambiente sin la presencia de
ningn cuerpo extrao. Cualquier propiedad del fluido con respecto al
desplazamiento se mantiene constante, es decir:
0.
.
S
V V
1.1.2 FLUJO PERMANENTE O ESTACIONARIO.- Es aquel en donde la
velocidad del fluido no cambia con respecto al tiempo t, es decir no hay
variacin de velocidad con respecto al tiempo que la aceleracin del
fluido respecto al tiempo es igual a cero. Cualquier propiedad del fluido
permanece constante, con respecto al tiempo.
Vpara........
El perfil de velocidades es el
mismo para el tiempo t para el t2,
tn
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Ing. Jaime Flores Snchez2
1.1.3 FLUJO NO PERMANENTE O NO ESTACIONARIO.- Es aquel en
que existe variacin de velocidad de fluido respecto al tiempo, es decir
existe aceleracin; ejemplo el flujo de liquido a travs de tuberas en una
instalacin industrial para diferentes regimenes de carga.
1.1.4 FLUJO IDEAL.- Es aquel donde no se considera el efecto de la
viscosidad, por lo tanto no existen prdidas para el transporte del fluido,no se considera equipo de bombeo para transportar el fluido de un punto a
otro.
=0
1.1.5 FLUJO REAL.- Es aquel en donde se toma en cuenta el efecto de la
viscosidad mediante el cual el fluido tiende a adherirse o pegarse a la
pared de cualquier cuerpo. Se presenta en todos los casos de la mecnica
de los fluidos, porque la viscosidad como propiedad puede ser grande
(aceites) o muy pequeas (aire).
o
Para el tiempo
Perfil de velocidadesPara el tiempo t1
Perfil de velocidadest
2
V para t1
V para t2
V para t3
V
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Ing. Jaime Flores Snchez3
V2
1
0 VrotVrot
Vo
ALA DEAVIN
Vo
1.1.6 FLUJO INTERNO.-Cuando se considera al fluido en su desplazamiento
encerrado entre paredes; ejemplo. Agua en sistema de tuberas, agua y
aceite en intercambiadores de calor, aire en dctos de aire acondicionado.
1.1.7 FLUJO EXTERNO.- Cuando el fluido que se desplaza envuelve a un
cuerpo o cuando el cuerpo se desplaza dentro de un flujo. Ejemplo. Los
aviones en el aire, submarinos y barcos en el agua.
1.1.8 FLUJO ROTACIONAL.-Cuando las partculas del fluido tienen un giro
o rotacin alrededor de un eje que pasa por un centro de gravedad,trayendo como consecuencia choques entre las partculas de fluido
ocasionando prdida de energa; ejemplo: agua que ingresa a una bomba y
sale para pasar por una tubera.
Se tiene:
; donde
Lnea de Corriente
V=0
V=Vmax
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Ing. Jaime Flores Snchez4
1.1.9 FLUJO IRROTACIONAL.- Cuando no se consideran el efecto de la
velocidad angular en la rotacin que tiene la partcula alrededor de su eje,
es decir la velocidad angular es cero.
0 0Vrot
Se tiene: 0 zyx www
0
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w (1.1)
1.1.10 FLUJO ISOTRMICO.- Cuando en el flujo de fluido se mantiene la
misma temperatura; proceso isotrmico; T=cte.
1.1.11 FLUJO ADIABTICO.- Donde no existe transferencia de calor desde el
fluido al medio ambiente o viceversa; se coloca un material aislante de las
tuberas, mquinas, etc.; ejemplo. Vapor circulando por una tubera, en
una planta de vapor.
1.1.12 FLUJO UNIDIMENSIONAL.- Cuando se considera la trayectoria de
una partcula de fluido en una sola dimensin, con determinada direccin y
sentido, es decir a travs de una lima de corriente.
V=u ; v=0
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Ing. Jaime Flores Snchez5
1.1.13 FLUJO TRIDIMENSIONAL.- Es aquel en el cual se considera la
trayectoria de la partcula con respecto a sus tres dimensiones y al tiempo.
1.1.14 FLUJO LAMINAR (Re < 2300).-
1.1.15 LA DIVERGENCIA.-se llama as al producto escalar del operador con
la velocidad del fluido.
VDivV para fluidos incompresibles 0DivV
NOTAS:
a)El flujo es:
IRROTACIONAL: 0 V
PERMANENTE: 0t
V
INCOMPRENSIBLE: ctte ;
ISOTRMICO: ctte
UNIFORME: 0s
V
Lneas decorriente
Y
Z
r
V
twvufV ,,,
X
y
V
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Ing. Jaime Flores Snchez6
b)RELACIONES MATEMTICAS:
zw
yv
xuV
. (1.2)
kz
Vj
y
Vi
x
VV
. (1.3)
2
2
2
2
2
22 .
z
V
y
V
x
VV
(1.4)
tV
VVt
V
z
V
wy
V
vx
V
uDt
VD
.. (1.5)
1.1.16 EL REYNOLDS CRITICO (Recr= 23002500).- Es el valor en el cual
se observa la infraccin del movimiento laminar para poco a poco
convertirse en movimiento turbulento.
A condiciones especiales se ha llegado a obtener flujos laminares con
Re =4x104; para gases: Re cr=5x105.106
1.2 MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE FLUIDO
1.2.1 CINEMTICA DE UNA PARTCULA DE FLUIDO
El movimiento de un fluido debe considerarse velocidad, aceleracin,
rotacin y deformacin. Consideremos una partcula cbica pequea de un
fluido en un flujo bidireccional, bidimensional y no estacionario.
X
YY
TRASLACION ROTACION O GIRO
X
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Ing. Jaime Flores Snchez7
t
V
z
V
wy
V
vx
V
uaDt
VDP
El campo de velocidad est dado por: tzyxVV ,,,
kt,z,y,xwjt,z,y,xvit,z,y,xut,z,y,xVV (1.6)
En el tiempo t es: t,z,y,xV)V tP
En el tiempo t + t la partcula se mueve a una nueva posicin con
coordenadas: x+dx, y+dy, z+dz.
Y su velocidad es dtt,dzz,dyy,dxxV)V dttP luego:
dtt
Vdz
z
Vdy
y
Vdx
x
VV pppP
La aceleracin total de la partcula esta dada:
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
a
pppP
P
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vu
dt
Vda
PP
La derivada sustancial o material de la partcula:
(1.7)
X
Y Y
ESTIRAMIENTO ODEFORMACION LINEAL
DEFORM. ANGULAR O DEFOR.POR ESFUERZO
X
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Ing. Jaime Flores Snchez8
Donde:
tV
zVw
yVv
xVuac
La aceleracin
convectiva
t
VaL
La aceleracin local
Aceleracin local ( la ): es aquella que sufre una partcula de
fluido como consecuencia de la variacin del tiempo. Si el flujo es
permanente la aceleracin local es igual a cero.
Aceleracin convectiva (ac): es aquella que sufre una
partcula de fluido como consecuencia de su variacin de posicin
en el espacio. Si el flujo es uniforme su valor es cero.
Si un campo de flujo es INESTABLE, una partcula de fluido
experimentar una aceleracin local adicional, debida a que el campo develocidades funcin de t.
Empleando la notacin vectorial:
t
VV..Va
Dt
VDP
(1.8)
Para un flujo bidimensional: tyxVV ,, se reduce a:
t
V
y
Vv
x
Vu
Dt
VD
(1.9)
Para un flujo UNIDIMENSIONAL, ejemplo en X: txVV ,
t
V
x
Vu
Dt
VD
(1.10)
Para un flujo ESTABLE en tres dimensiones se transforma en:
z
Vw
y
Vv
x
Vu
Dt
VD P
(1.11)
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Ing. Jaime Flores Snchez9
En componentes escalares (componentes rectangulares) se tiene:
tu
zuw
yuv
xuu
DtDua XP
t
v
z
vw
y
vv
x
vu
Dt
DvaYP
(1.12)
t
w
z
ww
y
wv
x
wu
Dt
DwaZP
Es una descripcin Euleriana.
1.2.2 ROTACIN ()
La rotacin de una partcula de fluido es la velocidad angular promedio
de dos cuales quiera elementos de lnea mutuamente perpendiculares de la
partcula. Una partcula que se mueve en un campo de flujo tridimensional
puede rotar alrededor de los tres ejes de coordenadas.
En general:kji ZYX (1.13)
Las dos lneas mutuamente perpendiculares, oay obrotan a las posiciones
mostradas durante el intervalo t, solo si las velocidades en los puntos a y
b son diferentes a la velocidad en o.
Y
X
aa
b
b
x
y
O
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Ing. Jaime Flores Snchez10
Consideremos la rotacin de la lnea oa, de longitud x, la rotacin de sta lnea
se debe a las variaciones de la componente y de la velocidad. Si sta
componente en el punto o se toma como vo, entonces la componente y de la
velocidad en el punto a puede escribirse (serie Taylor) xx
vvv
0
La velocidad angular de la lnea oaest dada por:
t
x/
t limlim 0totoa
; Como txx
v
xv
tx/txx/v oa
0toa lim
La rotacin de la lnea ob, de longitud y, es producto de las variaciones de la
componente x de la velocidad, luego anlogamente
yy
uuu 0
La velocidad angular de la lnea ob est determinada por:
t
y/
t limlim 0totob
; Puesto que tyy
u
Se tiene:
y
u
t
y/tyy/uob
0tob lim
Segn nuestra convencin de signos, la rotacin antihorario es positiva.
La rotacin de un elemento de fluido alrededor del eje Z es la velocidad
angular promedio de dos elementos de lnea mutuamente perpendiculares, oa y ob
en el plano x-y
Entonces
y
u
x
v
2
1Z (1.14)
Y en los planos y-z y en x-z se tiene:
z
v
y
w
2
1
X (1.15)
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Ing. Jaime Flores Snchez11
x
w
z
u
2
1Y (1.16)
Finalmente:
kji ZYX
y
u
x
vk
x
w
z
uj
z
v
y
wi
2
1 (1.17)
El valor entre parntesis es el VWVVrot
2
1 (1.18)
Como el esfuerzo cortante es proporcional a la relacin de deformacin angular,
entonces una partcula que se encuentra inicialmente sin rotacin no desarrollar
una rotacin sin una deformacin angular mediante la viscosidad. La presencia de
fuerzas viscosas significa que el flujo es ROTACIONAL.
La condicin de IRROTACIONALIDAD puede ser una suposicin vlida para
aquellas regiones de un flujo en la que se desprecia las fuerzas viscosas.
Definimos VORTICIDAD como el doble de la rotacin.
VW 2 (1.19)
Es una medida de la rotacin de un elemento de fluido conforme esto se mueve en
el campo de flujo.
En un flujo tridireccional y tridimensional, la velocidad angular y la vorticidad
tienen tres componentes.
z
v
y
w2 XX
x
w
z
u2 YY
(1.20)
y
u
x
v2 ZZ
Un flujo en el cual la velocidad angular y la vorticidad son CERO se
denomina FLUJO IRROTACIONAL.
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Ing. Jaime Flores Snchez12
1.2.3 LA CIRCULACIN () se define como la integral de lnea de la
componente de la velocidad tangencial alrededor de una curva cerrada fija
en el flujo, c
sdV.
Donde sd es un vector elemental, de longitud sd tangente a la curva.
Un sentido positivo corresponde a una trayectoria de integracin alrededor
curva en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
La figura anterior lo redibujamos.
Las variaciones de la velocidad indicados son congruentes con las
utilizadas al determinar la rotacin del fluido.
En la curva cerrada oacb:
yvxyy
uuyx
x
vvxud
.
yxWdyxyu
xvd Z
2
A Zc
dAWsdV 2. A ZdAV (1.21)
Enunciado del teorema de Stokes en dos dimensiones
NOTA.- Un flujo irrotacional se cumple cuando 0
0 V , y se cumple: 0 yu
xv
xw
zu
zv
yw (1.22)
o a
b c
y
x
yy
uu
xx
vv
u
v
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Ing. Jaime Flores Snchez13
Sabiendo que kji ZYX , en la ecuacin (1.17)
En coordenadas CILNDRICAS. La condicin de irrotacionalidad
0V
r
1
r
rV
r
1
r
V
z
V
z
VV
r
1V rZrZ
(1.23)
1.2.4 DEFORMACIN ANGULAR DE FLUIDO.-
La deformacin angular de un elemento del fluido implica cambios en el
ngulo entre dos lneas mutuamente perpendiculares
La relacin de deformacin angular est dada por:
dt
d
dt
d
dt
d (1.24)
Sabiendo que:
dt
d
x
v
t
xtxdxdv
t
x
tdt
d
ttt
1
000
///limlimlim
dt
d
y
u
t
ytydydu
t
y
tdt
d
ttt
2
000
///limlimlim
Luego la deformacin angular en el plano x y es
y
u
x
v
dt
d
dt
d
dt
d
(1.25)
aa
b
b
x
y
Y
X
O
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Ing. Jaime Flores Snchez15
Anlogamente
yy
v
dt
yd
.
(1.28)
Luego la velocidad de deformacin volumtrica es:
y
v
x
u
dt
Vd.
V
1
(1.29)
Para un flujo tridimensional y tridimensional: Dilatacin volumtrica
z
w
y
v
x
u
dt
Vd.
V
1
(1.30)
Vectorialmente:
Vdt
Vd
V..
1
(1.31)
1.2.6 VELOCIDAD Y ACELERACIN EN COORDENADAS DE
LNEAS DE CORRIENTE
Tomemos un flujo bidimensional y bidireccional. En un sistema de
coordenadas intrnsecas, las coordenadas son las lneas de corriente del
flujo y un sistema de lneas normales a ellas. Las lneas coordenadas son
las lneas (s) y las lneas normales (n). Las lneas n son perpendiculares a
los de corriente y apuntan haca su centro de curvatura.
La ventaja principal del sistema de coordenadas s-n es que en cualquier
punto la velocidad. Siempre es paralela a la direccin s
sVnVsVV snS (1.32)
Lneas sLC
Y
X
V
S
Y
X
Lneas n
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Ing. Jaime Flores Snchez16
Ya que si el flujo es estacionario, cualquier partcula de fluido se mueve
siempre a lo largo de la misma lnea s. entonces 0Vn
(paralelas a S)
La aceleracin en la direccin s es:Dt
DVa SS (1.33)
dt
dn
n
V
dt
ds
s
V
t
Va SSSS y t,n,sVV......y....t,n,sVV nnSS
Tambin: SVdt
ds y 0 nV
dt
dnpor lo tanto
s
VV
t
Va SS
SS
(1.34)
Si Vn = o,(en un instante), no se desprende que ansea cero, debido a
que la direccin n puede cambiar con el tiempo o con el movimiento a lo
largo de una lnea de corriente; la aceleracin en la direccin n es:
Dt
DVa nn
dt
dn
n
V
dt
ds
s
V
t
Va nnnn
s
VV
t
Va nS
nn
(1.35)
Si examinamos la figura, para una lnea de corriente en flujo estacionario
la ecuacin anterior (1.35 ) se puede simplificar ms.
La variacin de velocidad normal nV , debido al movimiento a lo largo
de la lnea de corriente desde s a s+s es ssn VVV tan
Se puede escribir R
ss
s
VV nn
VS
V(S+s)
R+RR
Vn
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Ing. Jaime Flores Snchez17
Cambiando las ecuaciones anteriores
RV
sV sn
, luego en (1.35):
R
V
R
VV
s
VV ssS
n
s
2
;en limite cuando 0Ss la aceleracin
normal es:
R
V
t
Va snn
2
(1.36)
1.3 LA FUNCIN DE CORRIENTE ()
Es un dispositivo matemtico que relaciona las lneas de corriente y la de
velocidades en un flujo; nos permite eliminar la ecuacin de continuidad y
resolver la ecuacin de la cantidad de movimiento directamente para una nica
variable .
Es aplicable solo si la ecuacin de continuidad se puede reducir a dos sumandos;
consideremos flujo estacionario: 0t
; se tiene para un flujo bidimensional en
el plano x-y; y a la vez incompresible:
0
y
v
x
u (1.37)
Teniendo que: es funcin de (x,y,t) ),,( tyxuu , ),,( tyxvv
Definimos:y
u
;x
v
(1.38)
La ecuacin de continuidad (1.37) satisface exactamente:
022
yxyxy
v
x
u
xjyiV
; truco matemtico para reemplazar variables (u,v) por
una nica funcin .
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Ing. Jaime Flores Snchez19
Considerando el elemento de superficie de control ds de profundidad unitaria.
ddyy
dxx
Vd
122
121
2
121 dVdAn.VV
(1.45)
En coordenadas cilndricas:
0
tz
)V(V
r
1
r
Vr
r
1 zr
(1.46)
Para flujo incompresible: Vz= 0 , = cte
0)()(
0)(1)(1
rr
Vr
rVrr r
Donde finalmente:
(1.47)
r
dr
dzV rV
o
ZV
z
r
Vr1
rV
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Ing. Jaime Flores Snchez20
Para flujo incompresible AXISIMETRICO:
Sin variaciones circunferenciales: 0 V , que al final se obtiene:
0)rV(z
)rV(r
0)V(z
)rV(rr
1zrzr
(1.48)
Por analoga: 0
rzzr
, Donde:
rrV
zrV
Z
r
1
1
(1.49)
1221o
2 (1.50)
Para flujo bidimensional compresible estable:
-v;xy
u
(1.51)
1.4 POTENCIAL DE VELOCIDADES
La irrotacionalidad da lugar a una funcin escalar ; es decir se tiene que un
vector con ROTACIONALIDAD NULO es el GRADIENTE DE UNA
FUNCIN ESCALAR; si 0 V , se tiene: V
Donde ),,,( tzyx , denominado potencial de velocidades, con
xu
;y
v
;z
w
(1.52)
Las lneas o superficies constantes se denominan LNEAS POTENCIALES
DEL FLUIDO; es tridimensional y no esta limitada a dos coordenadas.
En coordenadas cilndricas; si
z
k
r
e
r
er
1
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Ing. Jaime Flores Snchez21
Donde:
rV
1 ;
rVr
;z
Vz
(1.53)
NOTAS:
la funcin de corriente , satisface la ecuacin de continuidad para flujo
incompresible.
La funcin de corriente no esta sujeta a la restriccin de flujo
irrotacional.
Sustituyendo: xu
; yv
; yu
; xv
(1.54)
En la condicin de irrotacionalidad: 0
y
u
x
v , obtenemos:
02
2
2
2
yx..................Ec. de LAPLACE (1.55)
Y en la condicin de continuidad: 0
y
v
x
u , resulta:
02
2
2
2
yx
......................Ec. de LAPLACE (1.56)
Si un flujo es IRROTACIONAL y en dos coordenadas, existen tanto la funcin de
corriente como el potencial de velocidades y las lneas de corriente y
equipotenciales son ortogonales, excepto en los puntos de remanso; es decir:
yxv
xyu
..............Ec. de CAUCHY-RIEMANN (1.57)
Una lnea constante ser tal que a lo largo de ella el cambio de es NULO:
De donde: CteCte dxdyv
u
dx
dy
/
1
, condicin de ortogonalidad.
vdyudx0dyy
dxx
d
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Ing. Jaime Flores Snchez22
NOTA:
Cualquier funcin de que satisface la ecuacin de LAPLACErepresenta un posible campo de flujo bidimensional, irrotacional e
incompresible.
Toda funcin que satisfaga la ecuacin de LAPLACE es un caso posible
de flujo IRROTACIONAL de un fluido.
En la ecuacin de continuidad tenemos:
(1.58)
Las funciones correspondientes a cinco flujos bidimensionales
elementales que se tienen son:
a) Flujo Uniforme: de V = cte. paralelo al eje x, satisface la ec. De
continuidad e irrotacionalidad. Para un flujo con V = cte. y que forma un
ngulo con el eje x:
= (VCos )y-(VSen )x (1.59)
= - (VSen )y-(VCos )x (1.60)
b) Fuente Simple: es un patrn de flujo en el plano xy, con el flujo
desplazndose radialmente hacia fuera a partir del eje z y simtricamente
en todas direcciones. La intensidad qde la fuente es la relacin de flujo
volumtrico por unidad de profundidad. A cualquier r, la velocidad V= 0
y la velocidad radialr
qVr2
(1.61)
c) Sumidero Simple: el flujo se desplaza radialmente hacia dentro, un
sumidero es una fuente negativa, las funciones son las negativas de
las funciones correspondientes para un flujo de fuente.
El origen de una fuente o sumidero es un punto singular, puesto que la
velocidad radial se aproxima a infinito conforme el radio se acerca a
CERO.
00 22
2
2
2
2
2
V
zyx
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CAPITULO II
FLUJOS NOVISCOSOS YVISCOSOS
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Ing. Jaime Flores Snchez24
2.1 RELACIONES DIFERENCIALES PARA UNA
PARTICULA FLUIDA
2.1.1. CONSERVACIN DE MASA
Por la ecuacin de conservacin de masa
cvENTSAL
iAiViiAiViVdt
0 (2.1)
Como el elemento es tan pequeo se reduce al trmino diferencial:
cv
dzdydxt
Vdt
..
(2.2)
Apareciendo en la seis caras los trminos de flujo msico y haciendo uso del
trmino de CONTINUO (las propiedades fluidas se consideran descritas por
funciones que varan uniformemente con el tiempo y la posicin), por ejemplo: =(x, y, z, t)
V.C
x
y
z dx
dydz
udydz dydzdxu
xu
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Ing. Jaime Flores Snchez26
EN COORDENADAS CILINDRICAS:
La divergencia de cualquier vector tzrQ ,,, se obtiene haciendo la
transformacin de coordenadas:
22 yxr ;x
yarctan , z = z reemplazando se tiene:
z
QQ
rr
rQ
rQV Zr
11.
Siendo la ecuacin de continuidad la siguiente:
011 zVVrrVrrtZr
(2.6)
Simplificando:
a.- Flujo Compresible Estacionario
00/
z
w
y
v
x
ut
(2.7)
Se sabe:
0
11
z
VV
rr
Vr
r
Zr
(2.8)
ELEMENTOINFINITESIMAL
TIPICO
PUNTO(r,,z)Vr
V
Vz
LINEA DE REFERENCIA
d
r
dzdr
Z
EJE DEL CILINDRO
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Ing. Jaime Flores Snchez28
yz
yy
xy
xzzy2
dx
x
xx
xx
2
dx
x
xx
xx
2
dz
z
zx
zx
2
dy
y
yx
yx
zz
2
dy
y
yx
yx
2
dz
z
zx
zx
Luego en (2.11) se tiene:
Vw
zVv
yVu
xV
tdxdydzF (2.12)
que se simplifica:
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
VV
tVVw
zVv
yVu
xV
t
).(
Luego en (2.12) se convierte en:
Donde las fuerzas msicas es la gravedad kggdxdydzgFd B (2.14)
Las fuerzas de superficie son debidas a los esfuerzos en las caras de la superficie
de control, siendo estos esfuerzos la suma de la presin hidrosttica y de los
esfuerzos viscosos ij:
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
p
p
p
(2.15)
dxdydzt
VF
(FuerzasMsicas y Superficiales) (2.13)
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Ing. Jaime Flores Snchez29
dxdydz
zdxdy
dz
zdxdz
dy
y
dxdzdy
ydydz
dx
xdydz
dx
xdF
zxzx
zxzx
yx
yx
yx
yxxx
xxxx
xxx
222
222
No son estos esfuerzos, sino sus gradientes o diferencias los que originan una
fuerza neta sobre la superficie total del volumen de control infinitesimal.
Si los esfuerzos en el centro del elemento diferencial se toman como xx, yx, zx
luego en la direccin x, sobre cada cara del elemento diferencial se tiene:
Eje x:
Simplificando:
dxdydzzyx
dF zxyxxx
x
(2.16)
La fuerza neta en la direccin x tomando las fuerzas msicas:
dxdydzzyx
gdF ZXYXXXXX
dxdydzzyx
gdF ZYYYXYYy
(2.17)
dxdydzzyx
gdF ZZYZXZZz
Reemplazando en (2.13):
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
zyxg
x
p ZXYXXXX
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
zyxg
y
p ZYYYXYY (2.18)
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
zyx
gd
z
p ZZYZXZZ
SXBXX dFdFdF
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Ing. Jaime Flores Snchez30
Vectorialmente:Dt
VDpg ij (2.19)
Fuerza gravitatoria por unidad de volumen + fuerza de presin por unidad de
volumen + fuerza viscosa por unidad de volumen = densidad x aceleracin.
2.2. FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO (SIN
FRICCIN)
Para un fluido no viscoso en movimiento, el esfuerzo normal en un punto es elmismo en todas direcciones; es cantidad escalar, es el negativo de la presin
termodinmica, pnn . No hay los esfuerzos de corte.
Las ecuaciones de movimiento para flujos sin friccin; denominadas ecuaciones
de EULER, pueden obtenerse de las ecuaciones generales de movimiento (ec.
2.23), puesto que en un flujo sin friccin, no puede haber esfuerzos cortante y el
esfuerzo normal es el negativo de la presin termodinmica, entonces se tiene:
EC. DE MOVIMIENTO PARA UN FLUJO SIN FRICCIN.
Ecuacin de Euler
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
pg x
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
y
pg y (2.20)
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
pg z
como ecuacin vectorial tenemos:
z
wy
vx
ut
pg
Dt
VDpg (2.21)
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA
Ing. Jaime Flores Snchez31
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
z
pg
r
VV
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
pg
r
V
z
V
V
V
r
V
r
V
Vt
V
ar
p
g
zz
zzr
zzZ
rzr
r
z
rr
r
r
rr
1
1
12
Si Z se dirige verticalmenteZZ gkggk
La ecuacin de EULER se escribe:
VVt
V
Dt
VDpg Z
.
1
(2.22)
En coordenadas Cilndricas:
(2.23)
Como el eje Z se dirige hacia arriba, gr= g= 0 y gz= -g
La ecuacin de EULER, para una partcula que se encuentra sobre una lnea de
corriente.
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Ing. Jaime Flores Snchez32
Consideremos flujo bidimensional y bidireccional y = 0
a) En la direccins(a lo largo de la lnea de corriente)
Sabemos: xnsVddmadmdF SS . (2.24)
Tambin: xnss
VV
t
Va.m
s
VV
t
Va SS
SSS
SS
(2.25)
Si despreciamos el , las nicas fuerzas que actan sobre la partcula son la
de presin y de la gravedad; y de la figura se tiene:
WSenxns
s
ppxn
s
s
ppdFS
22 (2.26)
donde xnsggdmW (2.27)
En (2.26): xnsgSens
pdFS
(2.28)
Reemplazando (2.26) y (2.28) en (2.24), dividiendo entre s.n.x y en el
limite cuando n, s y x se aproximen a cero se obtiene:
s
VV
t
VgSen
s
p SS
S
(2.29)
De la figura sSenz en el limite:
Sensz
, luego en (2.29)
s
zg
s
p
s
VV
t
V SS
S
1
(2.31)
Ecuacin de EULER, en direccin de lalnea de corriente. ( = 0)
s
VV
t
VgSen
s
p SS
S
1
01
s
zg
s
p
s
VV
t
V SS
S
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Ing. Jaime Flores Snchez33
01
01
2
n
zg
n
p
R
V
s
zg
s
p
s
VV
S
SS
b) Para la direccin n:
nn dmadF (2.32)
Tambin sabemos queR
V
t
Va Snn
2
(2.33)
luego: ndF de la presin: xsn
n
pp
n
n
ppdFn
22
xsnn
pdFn
(2.34)
La fuerza de la gravedad: sxngCosWCosWn (2.35)
Reemplazando (2.33), (2.34) y (3.35) en (2.32) y haciendo las simplificaciones
respectivas; se obtiene:
R
V
t
VgCos
n
p Sn2
012
gCos
np
RV
tV Sn
De la figura: Cosn
z
n
z
n
0lim
Finalmente se tiene:
012
n
zg
n
p
R
V
t
V Sn
(2.36)
Ecuacin de Newton en direccin normal a la lnea de corriente ( =0).
Para flujo ESTACIONARIO NO VISCOSO, las ecuaciones de EULER en
coordenadas de lneas de corriente:
(2.37)
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Ing. Jaime Flores Snchez35
dydxdz
zRF
dydxdzx
RF
dydxdzy
RF
zznz
xxnx
yy
ny
En el cubo diferencial anterior:
a. Calculamos la resultante de las fuerzas normales:
dzdxdzdxRF yyyyny
Pero yy= + dydxdzy
dzdxdzdxdyy
yy
yyyy
yy
yyyy .
dzdxdydxdz
y
dzdxRFyy
yy
yyny
anlogamente:
(2.42)
z
x
dz
d
dx
zz
yy
xx
2
dy.
y
yx
yx
2
dy.
y
yz
yz
2
dx.
x
yx
yx
2
dx.
x
xzxz
2
dz.
z
zy
zy
2
dy.
y
yz
yz
2
dz.
z
zxzx
2
dy.
y
yz
yz
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Ing. Jaime Flores Snchez36
Calculamos la resultante de las fuerzas tangenciales: eje x,y,z
zyxyy RFRFRF
dxdydxdydzdydzdyRFyzzyyxxyy
Pero: dxx
xy
yxxy
y dzz
zy
yzzy
luego:
dxdydxdydzzdzdydzdydxxRF yzzy
yzyx
xy
yxy
anlogamente:
dzdxdyydxdydzxRF
dzdxdyz
dxdzdyy
RF
dzdxdyz
dxdydzx
RF
yxxz
z
zxyx
x
xyxy
y
(2.43)
z
x
dz
dy
dx
yz
yx
xy
zy
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Ing. Jaime Flores Snchez37
reemplazando (2.43) y (2.42) en (2.41) :
V).V(
tVdxdydzddxdydz
zdxdydz
xdxdydz
ydxdydzF
y
y
zyxyyy
By
Por unidad de volumen:
VV
t
Vd
zxyF
y
y
zyxyyy
By ).(
V).V(t
VdzyxF
xxzxxy
xxBx (2.44)
V).V(t
Vd
yxzF zz
yzxzzzBz
2.3.1 LA LEY DE LA VISCOSIDAD DE NAVIER-STOKES
Relaciona el campo de velocidades con la magnitud de la rapidez de deformacin
angular. Asume este modelo matemtico: que la deformacin es consecuencia
principalmente del desplazamiento de una partcula por efecto de una fuerza
cortante la cual es proporcional al gradiente de velocidades.
Es una ecuacin bidimensional.
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CAPITULO III
ANLISISDIMENSIONAL Y
TEORIA DEMODELOS
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Ing. Jaime Flores Snchez41
3.1 ANLISIS DIMENSIONAL
3.1.1 DEFINICIN
Se denomina as al proceso que permite evaluar un determinado fenmeno,
con una reduccin de las variables que hacen posible su ocurrencia;
bsicamente consiste en agrupar convenientemente todas las variables
principales, presentes en un fenmeno.
Es un procedimiento algebraico que permite agrupar variables
independientes en grupos adimensionales los cuales hacen que el tiempo
de manipulacin de datos se reduzca y el tratamiento del fenmeno sea
ms fcil. El anlisis dimensional tiene dos desventajas:
a) Para aplicar se requiere el conocimiento previo del fenmeno a
realizarse, ello permite seleccionar adecuadamente las variables
importantes para la ocurrencia del fenmeno.
b) El anlisis dimensional no permite conocer directamente el tipo de
funcin que relaciona a dos o mas grupos adimensionales, ello soloes posible mediante la experimentacin.
3.1.2 METODOS
Para hallar los grupos adimensionales existen dos mtodos
1.-METODO DE ROLLY
2.-METODO DE BUCKINGHAM O GRUPOS ():
Permite hallar los denominados grupos adimensionales (NUMEROS).
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Ing. Jaime Flores Snchez42
3.1.3 METODOLOGA DEL METODO DE BUCHINGHAN
1.- Se seleccionan adecuadamente las variables, que a nuestro criterio seanlas ms importantes, en la ocurrencia del fenmeno.
Supongamos las variables: V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7.
2.-Se elige el sistema de magnitudes fundamentales, en funcin del
fenmeno que se estudia, como por ejemplo:
MLT, FLT, MLT, MLTQ, MLTQS.
En fluidos se toman generalmente las dimensiones MLT y FLT
3.- Se calcula el numero de grupos adimensionales a obtenerse mediante la
relacin:
= mn .
:Numero de grupos adimensionales.
m :Numero de variables seleccionadas. = 8
n :Numero de magnitudes fundamentales. = 3
= 83 = 5
4.- Se escriben las ecuaciones dimensinales de las variables
seleccionadas:
[V1 ] = Ma1 Lb1 Tc1 .
[V2 ] = Ma2 Lb2 Tc2 .
[V3 ] = Ma3 Lb3 Tc3 .
.
.
[V8 ] = Ma8 Lb8 Tc8 .
5.- Se construye la matriz dimensional del sistema de la siguiente manera:
En la columna vertical las magnitudes fundamentales; en la lnea
horizontal las variables seleccionadas y se rellena con los exponentes.
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Ing. Jaime Flores Snchez44
Resolviendo se tiene:
X1 = 1
Y1 = 1 1 = 2731111 VVVV
Z1 = 1
De la misma manera se tiene:
2 = 4731222 VVVV
3 = 5731333
VVVV
4 = 6731444 VVVV
5 = 8731555 VVVV
NOTA: Los nmeros 1,2,3,4,5. son independientes de un sistema
particular de unidades, razn por la cual se les puede multiplicar, dividir y
elevar a cualquier potencia, para dar la forma que uno requiere.
NOTAS :
1.-El anlisis dimensional (mtodo ) solo se aplica cuando se tiene 5 o
ms variables en estudio.
2.-El Anlisis Dimensional no permite conocer el tipo de funcin que
relaciona a los grupos adimensionales; para reconocer el tipo se requiere la
experimentacin.
3.-La mayor desventaja de Anlisis Dimensional radica en que la
seleccin de las variables depende exclusivamente del conocimiento que
se tenga del fenmeno.
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Ing. Jaime Flores Snchez45
3.2 TEORIA DE MODELOS O SIMILITUD
Es aquella que establece los puntos que relacionan los fenmenos de un modelo ylos de un prototipo.
El Anlisis Dimensional es una herramienta que emplea la TEORIA DE
MODELOS para conocer a priori las magnitudes de las propiedades que a travs
de la escala son trasladadas al prototipo.
3.2.1 MODELO
Es una reproduccin a escala adecuada del prototipo (no solo el modeloesta referido a la reproduccin de objetos sino tambin a la reproduccin
de fenmenos, todo ello mediante la simulacin).
3.2.2 PROTOTIPO
Es la reproduccin a escala 1:1 del objeto que ser sometido a condiciones
reales de trabajo.
3.2.3 ESCALA
Se denomina as a la relacin que existe entre la magnitud de una misma
propiedad en el modelo y en el prototipo.
Existen escalas de longitudes, superficies, volmenes, velocidades,
fuerzas, etc.
Vm Vp
Fm Fp
gm gp
am
ap
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Ing. Jaime Flores Snchez48
3.2.5 PRINCIPALES GRUPOS ADIMENSIONALES
a)Numero de Reynolds.- Todo tipo de Flujo
Re =Viscocidad
Inercia=
LV=
LV
b)Numero de Mach.- Flujos compresibles
M =SonidodeVelocida
FlujodeVelocidad=
C
V
C =
PETRK
c)Numero de Froude.- Flujos con superficie libre
Fr =gravedad
Inercia=
gL
V
2
d)N de Weber.- Para flujo en superficie libre
We =lSuperficiaTencion
Inercia=
LV 2
e)Numero de Euler.- Para pruebas aerodinmicas, cuando existe
cavitacin
Eu =Inercia
esionPr=
2V
P
f)Numero de Eckert.- Para disipacin
Ec =
Entalpia
CineticaEnergia=
ToCp
V
2
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Ing. Jaime Flores Snchez50
3.2.7 COEFICIENTES ADIMENSIONALES
a) Coeficiente de Resistencia.-
CD=AV
2
1
F
2
A
b) Coeficiente de Sustentacin.-
CS=AV
2
1
F
2
S
c) Coeficiente de Presin
CP=2V
2
1
P
d) Coeficiente de Friccin.-
Cf=2
w
V2
1
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CAPITULO IV
ESTUDIO DEL FLUJOINTERNO
INCOMPRESIBLE
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Ing. Jaime Flores Snchez52
Las fluctuaciones y valores entre 1 y 20 % de la velocidad media, no son
estrictamente peridicas, sino aleatorios y distribuidos en un amplio rango de
frecuencias. En un tnel aerodinmico tpico a altos Re el rango de frecuencia va
de 1 a 10000 HZ y el de longitudes de onda de 0.01 a 400 cm.
Los flujos con perdida libre la turbulencia es observada directamente, en la figura
el chorro de agua a la salida de un tubo a bajo Re es suave y laminar y alto Re es
no estacionario e irregular, pero estacionario y predictible en medir.
Si
ULRe , donde U = velocidad media
L = ancho o longitud caracterstica transversal, de la capa
de cortadura
Tenemos:
0
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Ing. Jaime Flores Snchez55
En la figura las capas limites viscosas crecen aguas abajo, frenando el flujo axial
u(r,x) en la pared y acelerando el ncleo central para mantener el requisito de
continuidad, que en un flujo incompresible es :
constanteudAV (4.3)
A una distancia finita de la entrada, las capas limites se unen y el ncleo no
viscoso desaparece, el flujo en el tubo es entonces completamente viscoso y la
velocidad axial se va ajustando hasta x = Le en que ya no cambia prcticamente
con x, se dice que el flujo esta totalmente desarrollado u u( r) .
El anlisis dimensional indica que el Re es el nico parmetro que determina la
longitud de entrada. Si Le=f(d,v,,) de donde :
RegdV
gd
Le
(4.4)
Para flujo laminar, la correlacin aceptada es:
Re06.0dLe (4.5)
La longitud mxima de entrada de entrada, a ReCR=2300 es Le=138d que es la
mxima posible.
En flujo turbulento las capas limites crecen mas de prisa y Le es relativamente
mas corto, siguiendo la expresin:
6/1Re4.4dLe (4.6)
teniendo en cuenta algunas longitudes de entrada
Re 4000 104 105 106 107 108
Le/d 18 20 30 44 65 95
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Ing. Jaime Flores Snchez56
Una longitud corta puede ser til si se desea mantener un ncleo no viscoso. Por
ejemplo un tnel aerodinmico largo seria ridculo ya que el flujo seria viscoso
en todas partes, lo que invalida la simulacin de condiciones de corriente libre.
Uno tpico mide 1m y 5m de largo, hasta la seccin de ensayos con V= 30m/s,
tomando smx /1051.1 25 Re= 1.99x106 y de la ecuacion (4.6), laseccin de ensayos esta a L/d=5 que es mucho menor que la longitud de entrada.
4.3 APLICACIN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER
STOKES AL FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE
DESARROLLADO
4.3.1 PLACAS SIN MOVIMIENTO
Cuando el espacio entre placas es bastante pequeo, el campo de
velocidades resultante se puede suponer como si fuera el que se da entredos placas paralelas infinitas.
Consideraciones:
1. Se consideran constantes las propiedades del fluido en la direccin z
2. El flujo es estacionario e incompresible = constante = constante.
3. No existe componente de la velocidad en las direcciones y o Z.
4. La velocidad solo es funcin deY y no de X , por que el flujo es
completamente desarrollado.
5. Las fuerzas volumtricas se desprecian.
hdy
dx
VC
Y
X
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Ing. Jaime Flores Snchez61
4.3.5 AMBAS PLACAS MOVIENDOSE CON VELOCIDAD U EN
SENTIDOS OPUESTOS
Condiciones de contorno:
Si y = 0 u = -U
Si y = h u = +U
2
m
2
m
3
h
LV12p
12
h.
x
pV
12
bh.
x
pV
2
1
h
y
x
phh
U2
1h
y
2
yh
x
p
2
1
h
yU2u
h
U
UX
Y
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Ing. Jaime Flores Snchez63
4.3.5 FLUJO LAMINAR EN TUBERAS CIRCULARES
Aqu el flujo es AXISIMETRICO, por lo tanto trabajamos
convenientemente en coordenadas cilndricas, siendo el .C. el anillo
diferencial, consideremos flujo estable. Sabemos que las fuerzas normales
(f. de presin) actan sobre los extremos izquierdo y derecho del .C.
mientras que las tangenciales (f. corte) actan sobre las superficies
cilndrica interior y exterior.
En el lado izquierdo la fuerza de presin es:
En el extremo derecho la fuerza de presin es:
La fuerza cortante sobre la superficie cilndrica interior es:
La fuerza cortante sobre la superficie cilndrica exterior es:
y
x
R
dr
rx
dx
r
dr
Volumen de controlanular
rdrx
x
pp 2.
2
rdrx
x
pp 2.
2
dxdr
rdr
rrx
rx
2
2.2
dxdr
rdr
rrx
rx
2
2.2
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Ing. Jaime Flores Snchez64
La suma de las componentes de la fuerza que acta sobre el .C. debe ser
cero:
Dividiendo entre 2rdrdx se obtiene:
entonces
(a)
Como rx es funcin de rentonces la ecuacin (a) se cumple para toda r y
xsolo si cada lado de (a) es constante., luego podemos escribir:
Integrando:
Como
Finalmente:
(b)
Condiciones de frontera: r = R u = 0, Sabemos que en r = 0 la
velocidad es finita, luego para que se cumpla esto c1= 0
, para r = R u = 0
Luego tenemos:
(c)
0222
rdrdx
rdrdxrdrdx
x
p rxrx
dr
d
rx
p rxrx
dr
rd
rx
p rx )(1
x
pr
dr
rdcte
x
p
dr
rd
rrxrx
)(
.)(1
rx
pr
x
prr
cc rxrx
1
1
2
2
2
rx
pr
dr
du
dr
du crx
1
2
cc r
x
pru
2
1
2
ln4
x
pR
x
pRcc
4
40
2
22
2
2222
4
1
44Rr
x
pu
x
pR
x
pru
cx
pru
2
2
4
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Ing. Jaime Flores Snchez68
4.4 CORRELACIONES SEMIEMPIRICAS DE LOS
ESFUERZOS TURBULENTOS y = Constantes.Por la ecuacin de continuidad:
y cantidad de movimiento
(4.7)
Sin efectos trmicos y sujetos a la condicin de no deslizamiento en la pared y
condicin de entrada y salida conocidas.
4.4.1 MEDIA TEMPORAL DE REYNOLDS
En un flujo turbulento, debido a las fluctuaciones cada trmino de presin
o velocidad (a) varia rpida y aleatoria mente en funcin de la posicin y
del tiempo, con valores promedios de: V, p,, etc.
La media temporal u de una funcin turbulenta u(x, y, z, t) se define
como:
(4.8)
donde: T = es un periodo promedio que debe ser mayor que cualquier
periodo significativo de las fluctuaciones, ver Figura
Para flujos turbulentos como agua o gases en T=5s es un principio
adecuado.
p = p + pu
(a)(a)
u
t
p
p
t
pu = u + uu
fi ura 4.3 variacin de la velocidad
0
z
w
y
v
x
u
Vgpdt
Vd
2
T
udtT
u0
1
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Ing. Jaime Flores Snchez69
La fluctuacin use define como la desviacin de u de su valor medio:
u = u u (4.9)
Por definicin la media de la fluctuacin es cero
(4.10)
Sin embargo la media del cuadrado de la fluctuacin no es cero y es una
medida de la INTENSIDAD de la turbulencia
(4.11)
En general ninguno de los productos de la forma uv y up es CEROen un flujo turbulento.
Reynolds separ cada propiedad en sus medias ms las fluctuaciones, es
decir:
(4.12)
Si sustituimos en (4.7) y tomamos los medios temporales, la ecuacin de
continuidad se reduce a:(4.13)
Idntica a la expresin laminar:
En flujos, en conductos y en capas lmite la ecuacin de cantidad de
movimiento longitudinal puede ser aproximada con finalidad por:
(4.14)
donde:
(4.15)
01
'0
uudtuuTuT
01
'0
22 T
dtuT
u
',',',' pppwwwvvvuuu
0
z
w
y
v
x
u
yg
x
p
dt
udX
turblamvuy
u
''
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Ing. Jaime Flores Snchez71
Para la regin interior Prandtl dedujo que u deba ser independiente del
espesor de la capa lmite.
u =f(, w,, y) (4.16)
Por anlisis dimensional esto equivale a:
(4.17)
La ecuacin (4.17 ) es denominada LEY DE LA PARED
u* es una VELOCIDAD DE FRICCIN porque tiene dimensiones LT-1
aunque no es realmente una velocidad.
VON KARMAN dedujo que en la regin exterior u debe ser
independiente de la y en diferencia con la velocidad de corriente libre U
deba depender del espesor y de las otras propiedades:
que por anlisis dimensional se llega a :
(4.18)
La ecuacin (4.18) se denomina LEY DEL DEFECTO DE LA
VELOCIDAD para la regin exterior.
En la subcapa intermedia MILLIKAN demostr que la velocidad vara
logartmicamente cony:
(4.19)
donde: k=0.41, B=5
En la fig. (4.4) los cuatro perfiles de la regin exterior tienden suavemente
a la subcapa logartmica y la diferencia entre ellos resulta de diferencias en
el gradiente de presiones exteriores.
La ley de pared es nica y obedece a la relacin:
(4.20)
2/1
**
*,
wu
yuF
u
uu
yguU wext ,,,
yG
u
uU*
B
yu
ku
u
*
* ln
1
yyu
u
u
u
*
*
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Ing. Jaime Flores Snchez73
Usando la ley logartmica, para y=R-r , y que la ec. (4.19) represente
fiablemente el perfil de velocidad medida u(r) a travs del conducto:
(4.21)
la velocidad media ser:
(4.22)
Introduciendo k=0.41 ,B=5 obtenemos:
(4.23)
Vm/u* se relaciona directamente con el coeficiente de DARCY
(4.24)
Tambin el gradiente del logaritmo es
(4.25)
(4.24) y (4.25) en la ecuacin (4.23) , cambiando a base decimal el
logaritmo y ordenando se tiene:
(4.26)
Prandtl tambin dedujo la ecuacion (4.26) variando ligeramente las
constantes, en los datos experimentales:
(4.27)
expresin para ductos de paredes lisas.
Re 4000 104 105 106 107 108
f 0.0399 0.0309 0.018 0.0116 0.0081 0.0059
BurR
ku
ru
*
*
)(ln
1)(
rdrBurR
ku
RA
VV
R
m
2)(
ln11 *
0
*
2
34.1ln44.2*
*
Ru
u
Vm
2/12/12
*
8
f
V
u
V
w
mm
2/1**
8Re
2
1.
2
1
fudV
Ru m
021)log(Re9911
.f.f
8.0)log(Re21
ff
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Ing. Jaime Flores Snchez74
Tambin:
(4.28)
NOTAS:
Para un V dado, la p disminuye con el d ms aun en REGIMEN
LAMINAR.
Para reducir ms la presin de bombeo es poner tubos de mayor d,
aunque los costos se eleva.
Duplicando el d, p disminuye, en aproximadamente un factor de
27.
La velocidad mxima en flujo turbulento en conducto viene dada por
ecuacin (4.21), particularizada en r =0
(4.29)
Combinando esta ecuacin En (4.24), obtenemos la relacin:
(4.30)
(4.31)
Para flujo LAMINAR:
(a)
(b)
BLASIUS10Re4000;316.0
54/1
Rf
(1974)WHITEF.)(log02.1 5.2 Rf1.75
4/14/3 V241.0
LP
BRu
ku
u
*
*
max ln1
1
max
)33.11( fu
Vm
)rR(gzp
dx
d
4
1u:NOTA 22
)(
4
2
max gzpdx
dRu
)(8
2
1V
22
max gzpdx
dRRu
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Ing. Jaime Flores Snchez76
(4.35)
(4.36)
4.4.5 DIAGRAMA DE MOODY: DIAGRAMA DE PRDIDAS DE
CARGAS.
Formas alternativas.- se presentas los casos:
a. Dados D, L, V , , y g, calcular las perdidas de carga hf
(MOODY).
b. Dados D, L, hf, , y g, calcular V o .
c. Dados , L, hf, , y g, calcular el D del tubo.
a)Diagrama modificado de MOODY (calculo deV )
Supongamos que nos piden calcular V eliminamos V de f Re,
luego
(a)
Al introducir el valor de en la ecuacin de Colebrook, se tiene:
(b)
La ecuacin De HAGEN-POISEUILLE se convierte en:
(c)
2.3ln44.2*
D
u
Vm
7.3
/log2
1 D
f
2
3
2Re.2
1
L
hgDf
f
251.2
7.3/log8Re D
32Re
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Ing. Jaime Flores Snchez77
b)Diagrama modificado de MOODY (calculo del D)
Tambin:
Eliminando D se tiene: (d)
Tambin: quedando
Para paredes LISAS: (e)
c)Para conductos no circulares: se toma el radio dimetro
hidrulico;
(f)
d)En placas paralelas:
(g)
(h)
donde: h = distancia entre placas
Luego:
Tambin: (i)
DH = 2h
Esta ecuacin (i) en tubos se convierte:
(j)
DV4Re.Re:De
DV
2
5
f
2
2
V
Dgh
8f
.2
L
LV
Dghf f
2/1
53
3
f1/25 V128gh)Re(
Lf
Re./.4
D
V
416.043.1Re
moj
Th
moj
Th
P
AD
P
AR
4;
h
w fVhV
fRe
48
4882
hDh 2
H
pppp fVh
fRe96
296
19.1)log(Re21 2/1
2/1 f
f DH
8.0)Re64.0log(21
f
f
DH
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Ing. Jaime Flores Snchez78
4.5 PERDIDAS DE ENERGA
4.5.1 LAS PRDIDAS PRIMARIAS:
El factor de friccin se determina mediante las siguientes ecuaciones
analticas
1.- Si el flujo es laminar, con Re < 2300.
Re
64f Ec. De Hagen - Poiseuille
2.- Si la tubera es lisa y un rgimen turbulento, 2300 < Re < 105
4/1Re
316.0f Ec. De BLASIUS
3.- Para la tubera lisa con Re > 105
4/1Re
316.0f Ec. De PRANDT-KARMAN
4.- Para tubera lisa, con Re > 105
0032.0Re
221.0237.0
f Ec. De Nikuradse
5.- Para tubera lisa, con rgimen turbulento: 7*104< Re < 2*106
8.0Re
396.00054.0 f Ec. de HERMANN
6.- Para la zona de Transicin e inicio del flujo turbulento (Valores
confiables)
Re
51.2
71.3log2
1
f
E
f Ec. De ColebrokWhite ;
HD
EE
7.- Para tuberas altamente rugosas
74.1log21
HR
f
Comentario de la ecuacin de COLEBRQQK- WHITE
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Ing. Jaime Flores Snchez79
a) S el sumado (A) tiende a cero significa que el acabado superficial
interno de la tubera es muy buena, en consecuencia el factor de
friccinsolo depende de Re.
b) Si el sumando (B) tiende a cero significa que el Re, es muy grande
entonces el factor de friccin depende de la rugosidad relativa, para
flujos plenamente desarrollados, Re 106.
8.- Para flujos con Re 5x103 >2 x 108
74.1log21
HR
f Ecuaciones de SWAMEE Y JAIN
STANTON DIAGRAMA DE MOODY se muestra el apndice.
4.5.2 PRDIDAS SECUNDARIAS
Son todas aquellas que se originan cuando el fluido pasa a instrumentos de
medida, cambios de seccin, cambios de direccin, etc. Su magnitud se
calcula mediante la siguiente expresin:
g
VKhs
2
2
En unidades de longitud
Donde K =Coeficiente de perdidas del accesorio, Depende de la geometray el acabado Superficial interno del accesorio.
Una manera de evaluar con relativa facilidad la magnitud de una perdida
secundaria en una red de tuberas es aplicando el concepto de longitud
equivalente: es la longitud de una tubera de seccin circular que genera la
misma cada de presin que un accesorio, asumiendo igual fluido e igual
velocidad promedio.
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Ing. Jaime Flores Snchez81
Tambin: hp
=gD
Vlf
H2
. 2 V = Q/A V = Q/a2
DH= 4/pm = 4 a2/ 4a = a DH = a.
Luego:
hp
=ga
Qlf
2
)(5
2
( b )
De a y b :gDo
Qlf o
2
852
2
=
ga
Qlf
2
)(5
2
16a5= 2 Do5
Do =5/1
2
516
a Do = Deq = a. 5 2
16
4.5.4 SISTEMAS DE TUBERAS
A.- Sistema en serie
Caractersticas: a) V1 =V2 =V3
b) hp AB= hp tot= hp1 + hp2+... hpn
B.- Sistema de tubera en Paralelo
Caractersticas: a)321
VVVVVBA
b) 321 hphphphpAB
1 2
1
3
A B
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Ing. Jaime Flores Snchez83
CCST = una caracterstica del sistema de tuberas
Potencia Hidrulica: Potencia al Eje:
B
EJEnCTE
HVPot
CTE
HVPot
H
donde:
KWPotCTE
CVPotCTE
HPPotCTE
mH
smV
mKgf
102
75
76
3
3
Nota: existe una relacin emprica que ese emplea mucho en el mbito
industrial, la formula de HAZEN- WILLIAMS, para sistemas de agua con
dimetro mayores a 2 y menores de 6 pie, con velocidades de flujos
mayores de 10 pies/s.
1V
2V
hP1hP2
V
CCST
hg
2
1
NN
H2
H1
Punto de Operacin
2VKhgH
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Ing. Jaime Flores Snchez84
En el sistema Britnico: = 1.32 CRH0.36S0.54 (4.38)
Donde: = velocidad promedio de flujo (pies / s)C = coeficiente de HAZEN- WILLIAMS
RH= radio hidrulico (pies)
S = Coeficiente hp/L: perdida de energa entre longitud.
Los conductos ms lisos tienen valores ms altos de C, en comparacin
con los ms rugosos.
4.5.6 ENVEJECIMIENTO DE TUBERAS
A travs de los aos una tubera de agua puesta en servicios sufre el
fenmeno de las incrustaciones de los slidos en suspensin, razn por la
cual es necesario tener en cuenta el efecto corrosivo para recalcular las
perdidas, debido a que la seccin se reduce y para un mismo caudal la
velocidad aumenta y en consecuencia la perdida tambin.
f = Rugosidad final(m)
o= Rugosidad inicial (m)
= esta en funcin de ph de la sustancia Tasa de incrustaciones (m / Ao)
t = tiempo de servicio (ao)
tf .0
f
0
Incrustaciones (caliche)
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Ing. Jaime Flores Snchez94
5.1 LA CAPA LIMITE
La capa lmite es aquella zona adyacente a un contorno slido, en donde los
efectos viscosos resultan importantes; fuera de ella el efecto viscoso es
despreciable y el fluido puede considerarse como no viscoso.
La capa limite es el lugar geomtrico (en volumen) que ocupan cierta cantidad de
fluido, en las cercanas de un contorno slido, como consecuencia del efecto
viscoso; es en esta regin en donde el gradiente de velocidad es diferente de
CERO; tambin no existe un valor nico para el Re correspondiente a la transicin
del flujo LAMINAR A TURBULENTO en la Capa Limite, el cual se ve afectado
por: el gradiente de presin, , transferencia de calor , fuerzas volumtricas y las
perturbaciones existentes en la corriente libre.
V
21
V
0x
V
T
0
L
Contorno dela capa limite
SUB-CAPALAMINAR
T>L
x2x1
C.L. DETRANSICION
C.L. TURBULENTAC.L. LAMINAR
LOCALx0
5/1
0
2/1 ReRe:LISATUBERIAS:SiRe,Re xT
xL k
x
Sk
x
S
0x
V
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Ing. Jaime Flores Snchez117
Nota: para un avin :
6.2.2 FUERZA DE SUSTENTACIN
Joukowsky)-Kuttade(TeoremaVbF 0S
Una circulacin (rotacin) origina una fuerza de sustentacin perpendicular a la
direccin del flujo y con sentido (en este caso) hacia arriba conforme se muestra
en el esquema debido al sentido de rotacin.
2
r2
W.rV
1)(Para
.V:NCIRCULACIO
bbrdds
ds
r
r
dsd
V
AterrizajeWFs
HorizontalVelocidadWFs
DespegueWFs
PS
PSS
AVCW
AVCF
2
2
2
12
1
W
FS
Ancho unitariob = 1
VS>VL EfectoPS
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Ing. Jaime Flores Snchez123
NOTA: El coeficiente de arrastre viscosa para cualquier cuerpo en un flujo a un
Remuy bajo es una CONSTANTE y solo depende de la forma del cuerpo.
En la siguiente tabla se muestran los CDpara diferentes cuerpos.
Tabla 6.1 Coeficiente de resistencia viscosa para flujos a muybajos nmeros de Reynolds (validos para Re < 1)
Tabla 6.2 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos tridimensionales
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Ing. Jaime Flores Snchez124
Tabla 6.3 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos bidimensionales
Tabla 6.4 Coeficientes de resistencia para objetos con simetra
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Ing. Jaime Flores Snchez126
La Fuerza de arrastre se presenta en todos los flujos externos y la sustentacin
solo se presenta si existe ASIMETRA. En general (no siempre) la resistencia
es indeseable y lleva a aumentar el consumo de combustible en los vehculos:
la carga del viento sobre las estructuras y fenmenos parecidos.
La sustentacin es beneficiosa, por ejemplo en las alas de un avin; le permite
volar. La Fuerza de sustentacin tambin realizan la mayor parte del trabajo
til en el flujo sobre las palas o alabes de hlices de propulsin, compresores,
turbinas.
CD
Figura 6.7 Coeficiente de resistencia para cuerpos asimtricos
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Ing. Jaime Flores Snchez137
Figura 6.22 Coeficiente de sustentacin y resistencia para dos formas deperfiles NACA: (a) perfil 2415; (b) perfil 632 - 615
Figura 6.23Efecto de larelacin de aspecto
sobre loscoeficientes desustentacin yresistencia sobre unala tpica. Todas lasalas tienen lamisma forma deperfil (perfilaerodinmico)
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Ing. Jaime Flores Snchez138
Figura 6.24 Curva polar para un ala con alargamiento 5.
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Ing. Jaime Flores Snchez139
Figura 6.25 Curva polar para el perfil de ala rectangular Y de Clark de 6 piesde cuerda y 36 pies de envergadura.
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Ing. Jaime Flores Snchez141
donde:
T : temperatura absoluta
R : constante particular del gas M
RuR
Ru : constante universal de los gases
Para el aire: K = 1.4
Cp = 6010 22
s.pie
R = 1005.03 2
2
s.m
K
Cv = 4293 22
s.pie
R = 716.5
K.JKg
R = 1717 22
s.pie
R = 287
K.JKg
C = 49 R)(T s
pies = 20.04 K)(T s
m
Para gases:
Monoatmicos:3
5K ;
M
RuCp 5.2
Diatmicos:5
7K ;
M
RuCp 5.3
Poliatmicos:M
RuCp 4
Ru = 1.986K.Kmol
Kcal = 49720 22
s.pie
R = 8.3143
K.KJ
Kmol
En un flujo isoentrpico :
1
1
2
1
1
2
1
2
KK
K
P
P
T
T
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Ing. Jaime Flores Snchez144
7.2.2 RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DE
ESTANCAMIENTO Y LAS PROPIEDADES ESTTICAS
a) Relacin entre T0 y T
Recordamos :
TCp
V
T
T
T
T 1
2
2
0
RKT2
)1(1
2
0 KV
T
T como : TRKC
tenemos que :2
20
C2
)1(1 KVT
T pero :C
VM
entonces :2
M)1(1
2
0 K
T
T (7.5)
b)Relacin entre P0 y P
Recordamos:
1
1
0
1
0
K
K
T
T
P
P
100
K
K
T
T
P
P
entonces:12
0
2
M)1(1
K
K
K
P
P (7.6)
c) Relacin entre 0 y
Recordamos :
1
1
2
1
2
K
T
T
01
1
0
K
T
T
entonces :1
12
0
2M)1(1
K
K (7.7)
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Ing. Jaime Flores Snchez146
7.3 DUCTOS DE SECCIN VARIABLE
7.3.1 TOBERAS
Se denomina as a los dispositivos o ductos de cortos de seccin variable
que transforma la energa entlpica en energa cintica, es decir es un
acelerador de flujo. Todos los procesos de expansin estn asociados a
este dispositivo existiendo toberas subsnicas y supersnicas e inclusive la
snica.
NOTA
El mximo numero de Mach que se puede obtener a la salida de una tobera
subsnica es 1, jamas un valor superior a este.
Cuando el Mach a la salida de la tobera es igual a 1, se dice que la tobera