LIBRO DE FSICA

LIBRO DE FSICA

SEP SEIT DGITInstituto tecnolgico de AcapulcoLIBRO DE FSICAIng. BioqumicaM.C. Salvador lvarez Hernndez01/01/2013

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICASECRETARA DE EDUCACIN E INVESTIGACIN TECNOLGICADIRECCIN GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLGICOSINSTITUTO TECNOLGICO DE ACAPULCO

FSICA

INGENIERA BIOQUMICA

M. C. Salvador Alvarez Hernndez

Enero/2013ndice Pgina

Presentacin5Dedicatorias6Introduccin7Prologo8Sugerencias didcticas y de Evaluacin9

U-IIntroduccin10

1.1. Antecedentes histricos y filosofa de la fsica.101.2. Aplicacin de la Fsica en Ingeniera.131.3. Sistema de unidades.13 1.3.1. Dimensiones fundamentales y derivadas.15 1.3.2. Sistemas de unidades: CGS, MKS, SI, Ingls15 1.3.3. Conversiones de unidades.181.4. Homogeneidad dimensional.201.5. Mediciones: Precisin y cifras significativas. Notacin cientfica.22 Taller no. 127 Bibliografa de la U-I28

U-IIEsttica29

2.1. Esttica de la partcula.29 2.1.1. Conceptos bsicos.29 2.1.2. Resultante de fuerzas coplanares.31 2.1.3. Descomposicin de fuerzas en componentes rectangulares y vectores unitarios.32 2.1.4. Equilibrio de partculas y primera ley de Newton.43 2.1.5. Fuerzas en el espacio (tres dimensiones).49 2.1.6. Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio.49 2.1.7. Resultante de fuerzas concurrentes en el espacio.50 2.1.8. Equilibrio de fuerzas en el espacio.552.2. Esttica del cuerpo rgido Introduccin.61 2.2.1. Introduccin61 2.2.2. Cuerpos rgidos y principio de transmisibilidad.62 2.2.3. Producto vectorial.63 2.2.4. Momento de una fuerza con respecto a un punto y a un eje.64 2.2.5. Equilibrio de cuerpos rgidos en dos dimensiones.66 2.2.6. Reacciones en puntos de apoyo y en conexiones.69 2.2.7. Diagrama de cuerpo libre y aplicacin de las condiciones de equilibrio.71 Taller no. 273Bibliografa de la U-II75

U-IIIDinmica76

3.1. Cinemtica76 3.1.1. Conceptos bsicos.77 3.1.2. Movimiento rectilneo.77 3.1.3. Desplazamiento, velocidad y aceleracin.793.2. Movimiento uniforme y uniformemente acelerado.803.3. Movimiento relativo.873.4. Cuerpos en cada libre.903.5. Movimiento curvilneo.94 3.5.1. Componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleracin.94 3.5.1.1. Movimiento de proyectiles.97 3.5.1.2. Componentes tangencial y normal de la velocidad y la aceleracin.101 3.5.2. Movimiento de traslacin.104 3.5.3. Movimiento alrededor de un eje.1073.6. Cintica de la partcula.109 3.6.1. Conceptos bsicos.110 3.6.2. Segunda ley de Newton aplicada al movimiento.112 3.6.3. Ecuaciones de movimiento.113 3.6.4. Aplicaciones al movimiento rectilneo.1183.7. Aplicaciones al movimiento curvilneo.126Taller no. 3131Bibliografa de la U-III136

U-IVptica137

4.1. Leyes de la reflexin y refraccin.1384.2. Ley de la reflexin.139 4.2.1. Lentes delgadas.141 4.2.2. Concepto de lente delgada.142 4.2.3. Lentes delgadas convergentes y divergentes.143 4.2.4. Imagen real y virtual.144 4.2.5. Foco y distancia focal de una lente.147 4.2.6. Tipo de imagen que forma la lente convergente y la lente divergente.149 4.2.7. Ecuacin de las lentes delgadas.150 4.2.8. Aplicaciones de las lentes.152 4.2.9. Reflexin total interna La fibra opaca.1564.3. Ley de la refraccin.160 4.3.1. ndice de refraccin.161 4.3.2. Dispersin El prisma.166 4.3.3. Atenuacin de un rayo luminoso al pasar a travs de un medio material.167Taller no. 4169Bibliografa de la U-IV171BibliografaGeneral171Presentacin

Los objetivos que cubren la elaboracin del libro de texto de Fsica para la nueva retcula por competencias de la carrera de Ingeniera Bioqumica son los siguientes:

1. Para el Sistema Nacional de Educacin Superior Tecnolgica (SNEST), este libro de texto puede ser utilizado como una fuente de informacin para las especialidades que estn llevando la materia de Fsica Clsica, sobre todo para el rea de Ingeniera Bioqumica que se estn llevando en otros tecnolgicos del pas.

2. Para el Instituto Tecnolgico de Acapulco se utilizar como un texto de consulta para las diferentes reas de Ingeniera que lleven temas especficos de Esttica y Dinmica.

3. Para la carrera de Ingeniera Bioqumica en su nueva retcula por competencias, ser un libro de texto donde se vern los temas de Esttica (primera y segunda condicin de equilibrio) aplicada a la primera ley de Newton. En la parte de la Dinmica, se vern los temas que involucren al movimiento rectilneo uniformemente acelerado, donde se aplicaran problemas de movimiento; se ver tambin la segunda ley de Newton aplicando problemas que involucren a la friccin y en la parte final del texto se vern temas interesantes donde aplicarn la ptica Geomtrica.

Acapulco; Guerrero, Enero del 2013

M.C. Salvador lvarez HernndezTitular de la materia de Fsica (Ingeniera Bioqumica)

Dedicatorias

Dedico la elaboracin de este libro de FSICA, a la memoria de mis padres: Francisco lvarez Cervantes y Gloria Hernndez Orozco, que en lugar donde se encuentren, me siguen orientando por el buen camino de la vida.

A mi esposa Dra. Leticia Santiago Paloalto, que en estos veintiocho aos que llevamos de casados, siempre he recibido su apoyo moral econmico y espiritual, en forma incondicional.

A mi hija Tania Leticia, que es toda una profesional y que tambin he recibido y aceptado sus consejos que me ha dado.

A todos mis hermanos: Narcedalia, Glora, Francisco, Paul, Ral y sobre todo a mi hermano menor Jorge, que ha pasado por una amarga experiencia, pero s que es, lo suficientemente fuerte para salir de este mal momento.

A mi suegra, cuados, cuadas, sobrinos y sobrinos nietos, a la familia en general.

A todos mis amigos, en especial a Adolfo Galeana Gmez por su gran fortaleza de salir adelante de todos sus problemas.

A mis compaeros maestros, que siempre estn orientndome en todos mis proyectos.

A mis compaeros Alumnos, que tambin de ellos se aprende.

Con mucho cario:Salvador lvarez Hernndez.

Introduccin

El conocimiento de la Fsica resulta esencial para comprender nuestro mundo. Ninguna otra ciencia ha intervenido en forma tan activa para revelarnos las causas y efectos de los hechos naturales. Basta dar un vistazo al pasado para percibir que la continuidad entre la experimentacin y el descubrimiento abarca desde las primeras mediciones de la gravedad, hasta las ltimas conquistas de la era espacial. Por medio del estudio de los objetos en reposo y en movimiento, los cientficos han encontrado leyes fundamentales que tienen amplias aplicaciones en ingeniera mecnica. La investigacin acerca de la electricidad y el magnetismo produjo nuevas fuentes de energa y mtodos novedosos para distribuirla, con la finalidad de que la aproveche el ser humano. La compresin de los principios fsicos que rigen la produccin de calor, luz y sonido nos ha aportado innumerables aplicaciones que nos permiten vivir con ms comodidad y aumentan nuestra capacidad para adaptarnos a nuestro entorno.

Es difcil imaginar siquiera un producto, de los que disponemos hoy en da, que no sea una aplicacin de algn principio fsico. Esto significa que, independientemente de la carrera que se haya elegido, siempre es necesario entender la fsica, por lo menos hasta cierto punto. Aun cuando resulta claro que algunas ocupaciones y profesiones no requieren una compresin tan profunda como la que exigen las aplicaciones de ingeniera, la verdad es que en todos los campos de trabajo se usan y aplican estos conceptos.

Dotado de slidos conocimientos de mecnica, calor, sonido y electricidad, el lector contar con elementos necesarios para cimentar casi cualquier profesin. Adems, si antes o despus de graduarse le fuera necesario cambiar de carrera, sabr que cuenta con un conocimiento bsico de ciencias y matemticas en general. Si usted toma con seriedad este curso y dedica a su estudio una dosis especial de tiempo y energa, tendr menos problemas en el futuro. As en los cursos posteriores, y en el trabajo, podr viajar sobre la cresta de la ola en lugar de mantenerse simplemente a flote en un mar tormentoso. Paul E. Tippens

Prologo

El texto est integrado por 4 Unidades, correspondiente a la Fsica clsica, de tal forma que proporcionen los conocimientos bsicos de la materia, necesarios para el alumnado que cursa la carrera de Ingeniera Bioqumica, modelo por competencias del Instituto Tecnolgico de Acapulco; por ello en la Unidad I se contemplan los diferentes sistemas de unidades as como los principios bsicos de la materia, as mismo en la Unidad II se plantean los conceptos generales de la esttica.

En la Unidad III, se aborda los temas relacionados con la cinemtica concerniente al movimiento. Mientras que en la Unidad IV se recapitulan las bases del conocimiento de la ptica geomtrica.

En el trabajo se incluyen para cada Unidad una serie de ejercicios a manera de talleres en aula y extra-clase que pretenden reforzar los conocimientos adquiridos.

Al trmino de cada unidad, se sugiere una autoevaluacin con la finalidad de retroalimentar al estudiante en su proceso de aprendizaje y para que el profesor tenga evidencias claras de que sus alumnos han adquirido los aprendizajes propuestos. Por lo tanto, se sugiere que el profesor deje como actividad extraclase la resolucin de dicha evaluacin, ya sea toda o bien algunas preguntas que considere ms relevantes, para que despus, en el saln de clases, promueva la participacin individual y grupal, para discutir las respuestas que se dieron al cuestionario y, en caso de dudas de carcter general, redisee sus estrategias de enseanza-aprendizaje, de tal manera que el resultado sea un xito.

Si al finalizar el curso sus alumnos comprenden la Fsica, muchas felicidades, estimado(a) maestro(a) sus alumnos lo recordarn siempre con afecto, reconocimiento y gratitud por haberlos ayudado a aprender a aprender. Prez Montiel

Sugerencias Didcticas.

1. Realizar talleres de ejercicios de cada Unidad.2. Desarrollar investigaciones de campos de aplicacin de cada Unidad del curso.3. Utilizar material audiovisual (videos, acetatos, etc.) para el desarrollo de los temas.4. Apoyar las prcticas en laboratorio virtual de ciencias bsicas.

Sugerencias de Evaluacin.

1. Aplicar un examen escrito por cada Unidad.2. Considerar una ponderacin de la evaluacin a los ejercicios desarrollados y terminados en los talleres.3. Considerar evaluativo la participacin en clase.4. Asistencia al aula.

UNIDAD lINTRODUCCIN

OBJETIVO

Aplicar correctamente los diferentes sistemas de unidades; realizar conversiones de unidades; as como determinar la consistencia dimensional de las ecuaciones.

1.1 Antecedentes histricos y filosofa de la FsicaL-2.

A medida que el hombre primitivo desarroll su inteligencia, sinti la necesidad de explicarse el porqu de las cosas que sucedan a su alrededor y encontrar respuestas a las siguientes interrogantes: Por qu el da y la noche? Por qu el fro y el calor? Por qu llueve? Qu son los truenos? Qu es el viento? Por qu vuelan los pjaros? Qu es la Luna? Qu es el Sol? Por qu tiembla? Qu son los eclipses? Qu son las estrellas? Estas y otras interrogantes eran un verdadero misterio antes de que la Fsica contribuyera, gracias a su estudio, a dar respuesta a las mismas. Sin embargo, no todo est resuelto, pues an en nuestros das no se tiene absoluta certeza sobre: Qu es la materia? Qu es la luz? Existe vida en otros planetas? Qu somos? De dnde provenimos? A dnde vamos? Existe vida despus de la muerte? Pero confiamos que con los avances de la Fsica y de la ciencia en general algn da el hombre podr responder satisfactoriamente estas preguntas.

Para comprender el desarrollo de la Fsica es necesario mencionar brevemente algo de su historia:

La Fsica tiene sus orgenes con los antiguos griegos, quienes trataron de explicar el origen del Universo y el movimiento de los planetas. Quinientos aos antes de la era cristiana, mientras Leucipo y Demcrito pensaban que todas las cosas que nos rodean, es decir, la materia, estaban constituidas por pequeas partculas, otros explicaban que la materia estaba constituida por cuatro elementos bsicos: tierra, are, fuego y agua.

Hacia el ao 300 a.C., Aristarco ya consideraba el movimiento de la tierra alrededor del Sol; sin embargo, durante cientos de aos predomin la idea de que la Tierra, carente de movimiento, era el centro del Universo con todos los planetas y estrellas girando en torno a ella.

Hasta el ao 1500 de nuestra era se desarroll un gran inters por la ciencia. Galileo Galilei, cientfico italiano, lleg a comprobar que la Tierra giraba alrededor del Sol tal como sostena Coprnico, astrnomo polaco. Adems, Galileo construy su propio telescopio y demostr que las estrellas estaban a distancias fabulosas y debido a ello la mayora resultaba invisible al ojo humano. Tambin descubri manchas en el Sol, las cuales, al desplazarse lentamente, demostraron el giro de ste sobre su propio eje. Sin embargo, en Roma, la Santa Inquisicin oblig a Galileo a retractarse de estas afirmaciones, pues chocaban completamente con las ideas religiosas contenidas en las Sagradas Escrituras, deduciendo la famosa frase Ms sin embargo se mueve. Galileo pas sus ltimos das en el retiro y muri en 1642, ao del nacimiento de otro gran cientfico ingls Isaac Newton.

Newton, cientfico ingls, describi el movimiento de los cuerpos celestes por medio de su Ley de la Gravitacin Universal. Explic que la fuerza de atraccin llamada gravedad, existente entre dos cualesquiera, ocasiona la cada de las cosas al suelo y su permanencia sobre l, de la misma forma como el Sol retiene a los planetas girando a su alrededor en lugar de permitirles flotar en el espacio.

En el siglo XVIII se inicia el desarrollo de la Termodinmica, rama de la Fsica que se encarga del estudio de la transformacin del calor en trabajo, y viceversa. Benjamn Thompson, propuso que el calentamiento causado por la friccin se deba a la conversin de la energa mecnica en trmica.

En 1820, el fsico dans Hans Christian Oersted descubri que cuando una corriente elctrica circula por un conductor a su alrededor se genera una fuerza parecida a la de un imn, es decir, un campo magntico. Este hecho dio el nacimiento al electromagnetismo, mismo que estudia las relaciones mutuas entre la electricidad y el magnetismo. En 1831, el fsico y qumico ingls Michael Faraday descubri las corrientes elctricas inducidas, que son aquellas que se producen cuando se mueve un conductor en sentido transversal (perpendicular) a las lneas de flujo de un campo magntico. Faraday enunci el siguiente principio: La induccin electromagntica es el fenmeno que provoca la produccin de una corriente elctrica inducida, como resultado de la variacin del flujo magntico debido al movimiento relativo entre un conductor y un campo magntico. En la actualidad, casi toda la energa que se consume en nuestros hogares, comercios, fbricas, escuelas y oficinas, se obtiene debido al fenmeno de la induccin electromagntica. En todo el mundo existen generadores movidos por agua en estado lquido o en forma de vapor, en los cuales enormes bobinas giran entre los polos de potentes imanes y generan grandes cantidades de energa elctrica.

A principios del siglo XIX, John Dalton consider que todas las cosas estaban formadas por pequeas partculas llamadas tomos, idea que fue aceptada por otros cientficos, construyndose la teora atmica; consideraron tambin que los tomos se combinan para formar molculas.

A mediados del siglo XIX, el ingls James Prescott Joule, industrial cervecero, despus de continuar los estudios de Thomson, comprob que siempre que se realiza cierta cantidad de trabajo se produce una cantidad equivalente de calor. Joule estableci el principio llamado equivalente mecnico del calor. Este principio hizo posible establecer la Ley de la Conservacin de la Energa, misma que seala que la energa existente en el Universo es una cantidad constante que no se puede crear ni destruir, slo se puede trasformar.

Tambin a mediados del siglo XIX, el fsico escocs James Clerk Maxwell fue el primero en proponer que la luz est formada por ondas electromagnticas, las cuales se pueden propagar aun en el vaco sin necesidad de un medio material. Hoy sabemos que la diferencia bsica entre los diferentes tipos de radiacin que constituyen el llamado espectro electromagntico se debe a su frecuencia y a su longitud de onda.

A finales del siglo XIX, el fsico francs Enrique Becquerel descubri, en 1896, la radiactividad, al observar que los tomos del elemento uranio desprendan partculas ms pequeas, por lo cual se pens que el tomo no era la partcula ms pequea, sino que estaba constituido por otras partculas. Esto motiv la realizacin de ms experimentos atmicos, como los de Thomson, Rutherford y Bohr, quienes concluyeron en describir al tomo como un pequeo Sistema Solar. As como los planetas giran alrededor del Sol, en el tomo los electrones de carga negativa giran alrededor del ncleo, el cual est compuesto de protones con carga positiva y neutrones sin carga elctrica.

Los descubrimientos de la radiactividad abrieron un nuevo campo: la Fsica Atmica, encargada de estudiar la constitucin del tomo. Aparecieron las teoras: Cuntica de Planck, de la Relatividad de Einstein y de la Mecnica Ondulatoria de De Broglie. Actualmente, el descubrimiento de nuevas partculas de vida media muy corta ha originado la Fsica Nuclear, cuyo objetivo es descubrir totalmente la constitucin del ncleo atmico.

Concepto de Fsica:La palabra Fsica proviene del vocablo griego Physike, que significa Naturaleza. La Fsica es una de las ciencias naturales que el hombre ha venido estudiando e investigando, a fin de explicarse muchos de los fenmenos que suceden a su alrededor.

El estudio de la Fsica es importante para todo ser humano interesado en conocer el medio en el cual vive y quiera explicarse el porqu de los mltiples fenmenos que se le presentan. Todo fenmeno de la naturaleza, ya sea simple o complejo, tiene su fundamento y explicacin en el campo de la Fsica; por lo tanto, en la medida que esta ciencia se vaya desarrollando, se tendr mejores posibilidades para que el hombre pueda avanzar hacia un mayor conocimiento del Universo y un mejor nivel de vida.

Encontrar una definicin clara y precisa acerca de qu es la Fsica no es sencillo, toda vez que abarca el estudio de mltiples fenmenos naturales; sin embargo, podemos definir a la Fsica: como la ciencia que se encarga de estudiar los fenmenos naturales, en los cuales no hay cambios en la composicin de la materia.

Clasificacin de la Fsica:La Fsica para su estudio, se clasifica en dos grandes grupos: Fsica Clsica y Fsica Moderna. La primera estudia todos aquellos fenmenos en los cuales la velocidad es muy pequea comparada con la velocidad de la luz. La segunda se encarga de todos aquellos fenmenos que se producen a la velocidad de la luz o con valores cercanos a ella.

1. Fsica Clsica1. Mecnica2. Termodinmica3. Ondas4. ptica5. Electromagnetismo

1. Fsica Moderna1. Atmica2. Nuclear

1.2 Aplicacin de la Fsica en IngenieraL-2.

La Fsica ha tenido un gran desarrollo gracias al esfuerzo de notables investigadores y cientficos, quienes al inventar y perfeccionar instrumentos, aparatos y equipos han logrado que el hombre agudice sus sentidos a detectar, observar y analizar muchos fenmenos y acontecimientos presentes en el Universo, mismos imposibles de estudiar sin su ayuda.

Los telescopios, radiotelescopios, radares, microscopios electrnicos, aceleradores de partculas y computadoras, entre otros dispositivos, han permitido importantes aportaciones de la Fsica a otras ciencias, entre las cuales se encuentran la Medicina, la Biologa, la Qumica, la Astronoma y la Geografa, as como la tecnologa.

Las aportaciones de la Fsica han permitido la construccin de puentes, carreteras, edificios, complejos industriales, aparatos utilizados en la medicina (como rayo lser que se utiliza como un bistur electrnico para cirugas de ojos, corazn e hgado), aparatos de radio telecomunicaciones, computadoras y lo que actualmente nos maravilla: la exploracin del Universo mediante las naves espaciales.

1.3 Sistemas de UnidadesL-2.

Desde tiempos muy remotos, el hombre ha tenido la necesidad de medir, es decir, saber cul es la magnitud de un objeto comparndolo con otro de la misma especie, que le sirve de base o patrn. Pero el problema ha sido encontrar el patrn de medida. Por ejemplo, se habl de codos, varas, pies, cuarta (distancia entre el dedo ndice y pulgar estirada la mano) para medir la longitud. Cuarterones, arrobas, quintales, cargas; para medir masas. Lunas, soles, lustros; para medir tiempo.

Antiguamente, los egipcios haban encontrado un patrn para medir la longitud, mediante las dimensiones de un hombre con los brazos extendidos (brazada), sin embargo, pronto la eleccin de la medida de longitud se convirti en una cuestin de prestigio, ya que era inconcebible que una nacin utilizara la medida de alguna parte del cuerpo del soberano de otro pas. Por lo tanto, cada vez se crearon ms unidades diferentes y los pases grandes y ricos establecieron nuevas medidas y propias para demostrar su podero y autonoma. Esto dio como resultado, un serio obstculo para el comercio entre los pueblos.

La Fsica es por excelencia la ciencia de la medicin, ya que cuando el hombre logra medir un fenmeno, se acerca notablemente a la comprensin del mismo y tiene la posibilidad de utilizar esos conocimientos para lograr un mejor nivel de vida; facilitndose la realizacin de pequeas y grandes obras que de otra manera, serian imposibles.

La aplicacin de la Fsica, ya sea en el taller o en un laboratorio tcnico, requiere siempre algn tipo de mediciones. Un mecnico automotor puede medir el dimetro de un cilindro de motor. Los tcnicos de refrigeracin tal vez necesitan hacer mediciones de volumen, presin y temperatura. Los electricistas usan instrumentos para medir la resistencia elctrica y la corriente, y los ingenieros mecnicos se interesan en los efectos de fuerzas cuyas magnitudes deben ser determinados con precisin. En realidad, es difcil imaginar una ocupacin en la que no se requiera la medicin de alguna cantidad fsica.

La unidad es la magnitud especfica, adoptada por convencin, utilizada para expresar cuantitativamente magnitudes que tengan la misma dimensin; y medicin es el conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de una magnitud.

Las leyes de la Fsica se expresan en trminos de cantidades fsicas que requieren una definicin clara, como la fuerza, tiempo, velocidad, densidad, temperatura, carga, susceptibilidad magntica y otras, ya que el significado que se les da puede ser vago o diferente a su significado cientfico.

Un criterio aceptado es que la definicin de una cantidad fsica queda establecida cuando se estipulan los procedimientos para medir esa cantidad. Este criterio se llama punto de vista operacional. Dichas operaciones pueden incluir clculos aritmticos o algebraicos.

Las cantidades fsicas se pueden dividir en:

1. Cantidades Fundamentales: Aquellas que no se definen en funcin de otras cantidades fsicas.2. Cantidades Derivadas: Aquellas cuyas operaciones de definicin se basan en el uso otras cantidades fsicas.

El nmero de cantidades fundamentales es el mnimo nmero que se necesita para dar una descripcin coherente y sin ambigedades de todas las cantidades de la Fsica y sus definiciones operacionales incluyen dos pasos: primero, escoger un patrn, y segundo establecer mtodos para obtener mltiplos y submltiplos. Un patrn tiene dos caractersticas: es accesible e invariable. 1.3.1 Dimensiones fundamentales y derivadasL-2.

Existen 7 magnitudes, que por servir de base para obtener las dems magnitudes, que la fsica utiliza, reciben el nombre de magnitudes fundamentales. Estas son: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente elctrica, intensidad luminosa y cantidad de substancia. (Ver tabla 1.1)

UnidadSmboloMagnitud

MetromLongitud

KilogramokgMasa

SegundosTiempo

AmperioAIntensidad de corriente elctrica

KelvinKTemperatura

CandelaCdIntensidad de luz

molmolCantidad de materia

Tabla 1.1Magnitudes Fundamentales del S.I.

Magnitud: Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido. La longitud de un cuerpo (ya sea largo, ancho, alto, su profundidad, su espesor, su dimetro externo o interno), la masa, el tiempo, el volumen, el rea, la velocidad, la fuerza, etc., son ejemplos de magnitudes. Los sentimientos como el amor, el odio, la felicidad, la ira y la envidia no pueden ser medidos; por tanto, no son magnitudes.

En la mayor parte de los ejemplos y ejercicios de este libro de Fsica se vern nicamente las tres primeras magnitudes: longitud, masa y tiempo, las que al multiplicarse o dividirse entre s, nos darn como resultado, algunas de las magnitudes llamadas derivadas, precisamente porque se derivan de las fundamentales.

1.3.2 Sistemas de unidades: CGS, MKS, SI, InglsL-2.

Introduccin:Desde tiempos muy remotos el hombre ha tenido la necesidad de medir, es decir, saber cul es la magnitud de un objeto comparndolo con otro de la misma especie que le sirva de base o patrn, pero el problema ha sido encontrar el patrn de medida. Por ejemplo, se habl de codos, varas, pies y jemes (distancia entre el dedo ndice y pulgar al estar estirada la mano) para medir longitud; cuarterones, arrobas, quintales y cargas para medir masa; lunas, soles y lustros para medir tiempo. Los pases grandes y ricos establecieron nuevas medidas propias para demostrar su podero y autonoma, dando como resultado un serio obstculo para el comercio entre los pueblos debido a la diversidad de unidades de medida.

Durante el siglo II a. C. y hasta el siglo IV de nuestra era, a causa del dominio que ejerca el Imperio Romano y al deseo de unificar las unidades empleadas, implantaron la libra como unidad de masa y la barra de bronce, llamada pie, como unidad de longitud. En la edad media, siglo V al siglo VI d. C; vuelve la anarqua en las unidades de medida. En 1795 se implanta el Sistema Mtrico Decimal como resultado de la Convencin Mundial de Ciencia efectuada en Francia. Las unidades fundamentales fueron: el metro, el kilogramo-peso y el litro. En 1881 se adopta el Sistema Cegesimal o CGS propuesto por el fsico alemn Karl Gauss en el congreso internacional de los Electricistas realizado en Pars, Francia. Las unidades fundamentales fueron: centmetro, gramo-masa y segundo. En 1935 se adopta el Sistema MKS propuesto por el ingeniero italiano Giovanni Giorgi en el Congreso de los Electricistas realizado en Bruselas, Blgica. Las unidades fundamentales fueron: metro, kilogramo-masa y segundo. En 1960 en Ginebra, Suiza, el mundo cientfico adopta el Sistema Internacional de Unidades (SI) que se apoya en el MKS y cuyas unidades fundamentales son: metro (m) para medir longitud, kilogramo (kg) para masa, segundo (s) para tiempo, kelvin (K) para temperatura, ampere (A) para intensidad de corriente elctrica, candela (cd) para intensidad luminosa y mol (mol) para cantidad de sustancia. El Sistema Internacional que Mxico, junto con otros pases, acept y adopt es el que esperamos se use en todo el mundo, evitando as la problemtica histrica de batallar con mltiples unidades de medida para una misma magnitud fsica; la de tener que convertirlas de un sistema a otro para poder interpretarlas correctamente.

Actualmente existe dos sistemas de unidades de medida: el sistema ingls, que se aplica en Estados Unidos, Inglaterra y Australia, y el sistema mtrico decimal, que se utiliza en el resto del mundo. En aos recientes, los tratados de libre comercio de todo el mundo han favorecido el uso del sistema mtrico decimal.

Cada uno de los sistemas tienen sus estndares de longitud, masa y tiempo, a estas unidades se les denomina fundamentales porque casi todas las dems pueden medirse en funcin de ellas.

Las unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI), al igual que para el resto de sistemas de unidades, se definen de acuerdo con patrones avalados internacionalmente.

El Sistema Ingls utiliza como unidad fundamental de longitud al pie (ft), la libra (lb) como unidad de masa y el segundo (s) como unidad de tiempo.

El Sistema mtrico decimal fue creado en Francia en 1795. Es generalmente utilizado por los cientficos y se divide en dos sistemas de unidades el primero se vale del centmetro para longitud, del gramo para la masa y segundo para el tiempo; se le conoce como sistema centmetro-gramo-segundo se abrevia C.G.S. Actualmente, se ha sustituido por el sistema de unidades, donde la unidad de longitud es el metro; la de la masa el kilogramo, y la de tiempo, el segundo; tambin se le conoce como sistema Metro-Kilogramo-Segundo o MKS.

Adems de los tres Sistemas de Unidades Absolutos anteriormente sealados, existen los llamados Sistemas de Unidades Tcnicos, tambin llamados gravitacionales o de ingeniera, mismos que se caracterizan porque utilizan el peso como magnitud fundamental y la masa la consideran una magnitud derivada.

Los sistemas ms utilizados son el MKS tcnico o gravitacional (MKSg) y el sistema Britnico Gravitacional (Sbg) o Sistema Ingls Tcnico. Ambos tienden a desaparecer por ser complejos en su manejo, dando paso al Sistema Internacional de Unidades (SI) de cuyas ventajas cada da se convencen ms los britnicos y los estadounidenses, quienes aun no lo adoptan totalmente.

Como resumen se puede decir, que actualmente, se ha buscado establecer un slo sistema de unidades que sea utilizado por todos los pases. En 1960, cientficos y tcnicos de todo el mundo se reunieron en Ginebra, Suiza y acordaron adoptar el llamado: Sistema Internacional de Unidades (SI).

Este sistema se basa en el que llamamos MKS, iniciales que corresponden a Metro, Kilogramo, y Segundo. No obstante, aun siguen utilizndose el sistema Ingles (Pie, Libra y Segundo) y el sistema cegesimal o CGS (Centmetro, Gramo y Segundo). Adems de los llamados sistemas gravitacionales o de ingeniera que en lugar de masa, se refiere al peso.

En la tabla 1.2, tenemos algunas magnitudes y sus unidades en el Sistema Internacional (SI), Sistema C.G.S. y Sistema Ingls. Estos tres sistemas reciben el nombre de Sistemas de Unidades Absolutos, toda vez que usan como unidades fundamentales la longitud, masa y tiempo. (Ver tabla 1.2)

MagnitudS.I. C.G.S.Ingls

Longitudmetro (m)centmetro (cm)pie

Masakilogramo (kg)gramo (g)libra (lb)

Tiemposegundo (s)segundo (s)segundo (s)

rea Superficie

Volumen

Velocidad

Aceleracin

Fuerza

Trabajo y Energa

Presin

Potencia

Tabla 1.2Sistemas de Unidades Absolutos

1.3.3 Conversiones de unidadesC-1.

En virtud de la existencia de varios sistemas de unidades, todos ellos en uso actualmente, es necesario con mucha frecuencia, convertir unidades de un sistema a otro, para ello, es indispensable tener presente entre otras, las siguientes equivalencias:

=

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=

=

=

=

=

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=

=

Procedimiento para conversin de Unidades de un sistema a otro.1. Escriba la cantidad que desea convertir.2. Defina cada una de las unidades incluidas en la cantidad que va a convertir, en trminos de la unidad o las unidades buscadas.3. Escriba dos factores de conversin para cada definicin, uno de ellos reciproco del otro.4. Multiplique la cantidad que desea convertir por aquellos factores que cancelen todas las unidades, excepto las buscadas.

Para convertir unidades de temperatura de un sistema otro, tenemos las siguientes expresiones:

1. De grados centgrados a grados Kelvin:2. De grados Kelvin a grados centgrados:3. De grados centgrados a grados Fahrenheit:4. De grados Fahrenheit a grados centgrados:

Todas las medidas pueden expresarse en funcin de las magnitudes fundamentales: longitud (L), tiempo (T) y masa (M), que son la base del sistema de unidades. La dimensin de una cantidad Fsica es la combinacin algebraica de L, T y M, a partir de las cuales se forma la cantidad. No confundir la dimensin de una cantidad con las unidades en las cuales se mide. Por ejemplo la velocidad se puede medir en m/s, millas/hora, km/hora, etc., pero todas estas unidades tienen la dimensin de L/T y cualquier cantidad Fsica tiene dimensiones que son combinaciones algebraicas de las dimensiones primarias L, T y M (dimensiones consistentes), con las que se hace el anlisis dimensional, mediante el cual se establece que las dimensiones del primer miembro de una ecuacin deben ser las mismas que las del segundo miembro de esa ecuacin.

Ejemplos de conversiones:

1. Convertir

Resultado,

2. Convertir

Resultado,3. Convertir

Resultado,

4. Convertir

Resultado,

5. Convertir

Resultado,

6. Convertir

Resultado,

Ejercicios para resolver en clases:

Convertir:Respuestas:

1.4 Homogeneidad dimensionalL-2.

Como sabemos las cantidades fsicas se definen de acuerdo con el sistema de unidades que se utilice. Pero como ya pudimos observar, existen diferentes sistemas de unidades, por lo que cualquier cantidad fsica puede expresarse en distintas unidades, dependiendo de la escala en que est graduado el instrumento de medicin. As tenemos que una distancia se puede expresar en metros, kilmetros, centmetros o pies. Sin importar cul sea la unidad empleada para medir a la cantidad fsica distancia, todas ellas se refieren a una dimensin fundamental llamada longitud, representada por L. De igual manera, para expresar cantidad de materia se puede utilizar al g, kg o libra, pero todas estas se refieren a la dimensin fundamental llamada masa, representada por M. la otra dimensin fundamental que se utiliza para el estudio de la mecnica es el tiempo, representada por T. La combinacin de estas dimensiones fundamentales nos lleva a la obtencin de las llamadas dimensiones derivadas.

El buen manejo de las dimensiones de las cantidades fsicas en una ecuacin o frmula fsica, nos permite comprobar que stas son correctas y que se trabajaron debidamente. Al aplicar una ecuacin o frmula fsica, debemos recordar dos reglas:

1. Las dimensiones de las cantidades fsicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas.

2. Slo pueden sumarse o restarse cantidades fsicas que sean de la misma dimensin.

Partiendo de las dimensiones: longitud (L), masa (M) y tiempo (T), obtendremos las ecuaciones dimensionales de algunas cantidades fsicas.

a) Ecuacin dimensional para el rea.

b) Ecuacin dimensional para el volumen.

c) Ecuacin dimensional para la velocidad.

d) Ecuacin dimensional para la aceleracin.

e) Ecuacin dimensional para la fuerza.

f) Ecuacin dimensional para el trabajo y la energa.

Si conocemos las dimensiones de una cantidad fsica, podemos trabajar las unidades correspondientes segn el sistema de unidades que se quiera emplear.

Para el sistema SI, sabemos que las dimensiones para la fuerza son , lo que indica que mara M utilizaremos el kilogramo, para L el metro y para T el segundo, entonces nos queda:

El Newton es la unidad de fuerza en el SI y se define de la siguiente manera: se aplica una fuerza de un Newton, cuando a un cuerpo cuya masa es de un kilogramo se le imprime una aceleracin de un metro por segundo al cuadrado.

Para el sistema C.G.S. tenemos:

La Dina es la unidad de fuerza en el sistema C.G.S. y se define de la siguiente manera: se aplica una fuerza de una Dina, cuando a un cuerpo cuya masa es de un gramo se le imprime una aceleracin de un centmetro por segundo al cuadrado.

Demostrar que la frmula es dimensionalmente vlida.

Solucin:Substituyendo las cantidades fsica por sus dimensiones tenemos que:

Dimensionalmente la frmula es correcta, ya que se cumplen las dos reglas antes sealadas.

1.5 Mediciones: Precisin y cifras significativas. Notacin cientficaL-3.

Cifras Significativas

En la clase de Fsica es frecuente que un alumno que est resolviendo un problema numrico pregunte por el nmero de decimales que debe escribir como resultado de una operacin aritmtica.El principal objetivo que se plantea es recordar las reglas que permitan cumplir con una correcta utilizacin de las cifras significativas de un nmero cuando se realizan operaciones matemticas.

Las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna informacin. Toda medicin experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milmetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como:

Longitud (L) = 85.2 cm

No es esta la nica manera de expresar el resultado, pues tambin puede ser:

L = 0.852 mL = 8.52 dmL = 852 mmEtc

Cuando un nmero se expresa con sus cifras significativas, la ltima cifra es siempre incierta.

Asumiendo que cualquier problema de Fsica de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos nmeros con sus cifras significativas correspondientes. Es lo que veremos ms adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos.Reglas para establecer las cifras significativas de un nmero dado.

Regla 1. En nmeros que no contienen ceros, todos los dgitos son significativos. Por ejemplo:

3.14159seis cifras significativas 3.14159

5.694cuatro cifras significativas5.694

Regla 2. Todos los ceros entre dgitos significativos son significativos. Por ejemplo:

2.054cuatro cifras significativas2.054

506tres cifras significativas506

Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dgito que no es cero sirven solamente para fijar la posicin del punto decimal y no son significativos. Por ejemplo:

0.054dos cifras significativas0.054

0.0002604cuatro cifras significativas0.0002604

Regla 4. En un nmero con dgitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Por ejemplo:

0.0540tres cifras significativas0.0540

30.00cuatro cifras significativas30.00

Regla 5. Si un nmero no tiene punto decimal y termina con uno o ms ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el nmero de cifras significativas, se requiere informacin adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el nmero en notacin cientfica, no obstante, tambin se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por ejemplo:

1200dos cifras significativas1200

1200.cuatro cifras significativas1200

Regla 6. Los nmeros exactos tienen un nmero infinito de cifras significativas.Los nmeros exactos son aquellos que se obtienen por definicin o que resultan de contar un nmero pequeo de elementos. Ejemplos:

Al contar el nmero de tomos en una molcula de agua obtenemos un nmero exacto: 3. Al contar las caras de un dado obtenemos un nmero exacto: 6. Por definicin el nmero de metros que hay en un kilmetro es un nmero exacto: 1000. Por definicin el nmero de grados que hay en una circunferencia es un nmero exacto: 360.

Exactitud y PrecisinL-3

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisin. La exactitud se refiere a qu tan cercano est el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisin se refiere a qu tan cercano est un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

Estos conceptos se pueden ilustrar grficamente usando una analoga de una diana de prcticas para tiro. Los agujeros en cada blanco de la figura 1.3 se pueden imaginar como las predicciones en una tcnica numrica, mientras que el centro del blanco representa la verdad. La inexactitud (conocida tambin como sesgo) se define como un alejamiento sistemtico de la verdad. Por lo tanto, aunque los disparos en la figura 1.3 c) estn ms juntos que los de la figura 1.3 a), los dos casos son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La imprecisin (tambin llamada incertidumbre), sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los disparos. Por lo tanto, aunque las figuras 1.3 b) y 1.3 d) son por igual exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la ltima es ms precisa, ya que los disparos estn en un grupo ms compacto.

Figura 1.3Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisin.a) Inexacto e impreciso, b) exacto e impreciso, c) inexacto y preciso, d) exacto y preciso.

Notacin Cientfica.El trabajo cientfico es muy frecuente encontrarse con nmeros muy grandes o muy pequeos.

La notacin cientfica y la potencia de base 10 son especialmente necesarias cuando se trabaja con unidades mtricas.

Ejemplos de cifras significativas:

Expresar las siguientes cantidades con las cifras significativas que se indican, utilizando la potencia de base 10.

CantidadCifras Significativas (D)Potencia de base 10

1D

2D

1D

1D

2D

1D

2D

0.0001352D

3D

4D

Operaciones utilizando potencias de base 10

Multiplicacin.

Divisin.

Suma y resta.

Ecuacin de un exponente.

Raz cuadrada.

Taller no. 1

Realice las siguientes conversiones:

1. Convierta un volumen de 8.50 pulgadas cbicas a metros cbicos.

2. Un terreno rectangular tiene 100 pies (ft) por 150 pies (ft). Determine el rea del terreno en metros cuadrados.

3. Un objeto en forma de paraleleppedo rectangular mide 2.0 pulg x 3.5 pulg x 6.5 pulg. Determine el volumen del objeto en metros cbicos.

4. Un caracol se mueve a razn de 5 estadios por quincena. Dado que el 1 estadio = 220 yardas y 1 quincena = 14 das, determine la rapidez del caracol en centmetros por minuto.

5. Una seccin de tierra tiene un rea de 1 milla cuadrada y contiene 640 acres. Determine el nmero de metros cuadrados que hay en 1 acre.

6. Un contenedor de helado, de un cuarto de galn esta hecho en forma de un cubo. Cul ser la longitud de un lado en centmetros?

Bibliografa para la Unidad I

L-1Tippens, Fsica conceptos y aplicaciones, 6 edicin, Ed. Mc Graw Hill, (2001)L-2Perez Montiel, Fsica General, 3 edicin, Publicaciones culturales, (2006)L-3Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, Mtodos Numricos, 3 edicin, Ed. Mc Graw Hill, (1999)C-1Curso de homogeneizacin de Fsica, Tecnolgico de Acapulco, Ciencias Bsicas

UNIDAD lIESTTICA

OBJETIVO

Comprender los fundamentos de la mecnica y la importancia de esta rea de la fsica en la solucin de problemas relacionados con la ingeniera. Aplicar los principios de la esttica y los diferentes mtodos para analizar el equilibrio de partculas. Comprender el concepto formal del momento de una fuerza y analizar los fundamentos para estudiar el equilibrio de los cuerpos rgidos en dos dimensiones.

2.1Esttica de la partculaL-1.

Introduccin: Las fuerzas pueden actuar de tal forma que causen el movimiento o lo eviten. Los grandes puentes deben disearse de modo que el esfuerzo global de las fuerzas evite el movimiento. Las armaduras, vigas, trabes y cables, en conjunto, deben estar en equilibrio. Es decir, las fuerzas resultantes que actan en cualquier punto de la estructura, deben estar equilibradas. Las plataformas, montacargas, ganchos, cables elevadores e incluso los grandes edificios, deben construirse de tal manera que se conozcan y se controlen a fondo los efectos de las fuerzas. En esta unidad se estudiaran las fuerzas en relacin con los cuerpos en reposo. La fuerza de friccin, que es tan importante para el equilibrio en mltiples aplicaciones, se analizar tambin en esta unidad.

2.1.1Conceptos bsicosC-1.

La palabra esttica se deriva del griego Statiks que significa inmvil. En virtud de que la dinmica estudia las causas que originan el reposo o movimiento de los cuerpos, tenemos que la esttica queda comprendida dentro del estudio de la dinmica y analiza la situacin que permiten el equilibrio de los cuerpos. Los principios de la esttica se sustentan en las leyes de Newton.

En general, la Esttica estudia aquellos casos en que los cuerpos sometidos a la accin de varias fuerzas no se mueven, toda vez que estas se equilibran entre s.Tambin considera los casos en que la resultante de las fuerzas que actan sobre un cuerpo en movimiento es nula y el cuerpo sigue desplazndose con movimiento rectilneo uniforme.

En esta unidad nos ocuparemos del estudio del equilibrio de los cuerpos rgidos, aquellos cuya deformacin provocada por una fuerza es mnima al compararla con su tamao. Ejemplos: vigas de madera, armaduras de acero o hierro colado, bolas de acero o vidrio, herramientas metlicas, cascos de ftbol americano, bicicletas y motocicletas, entre otros.Cantidades BsicasE-1: Las cuatro cantidades siguientes se utilizan en el equilibrio:

Longitud: La longitud es necesaria para ubicar un punto en el espacio y de esta forma describir el tamao de un sistema fsico. Una vez que se define una unidad estndar de longitud, puede definirse cuantitativamente distancias y propiedades geomtricas de un cuerpo como mltiplos de esa unidad de longitud.

Tiempo: El tiempo se concibe como una sucesin de eventos. Aunque los principios de la Esttica son independientes del tiempo, esta cantidad definitivamente juega un papel importante en el estudio de la Dinmica.

Masa: La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la accin de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atraccin gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia que presenta la materia al cambio de velocidad.

Fuerza: En general, la fuerza es considerada como un jaln o tirn ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interaccin puede ocurrir cuando existe un contacto directo entre los cuerpos, por ejemplo, una persona empujando sobre una pared. Puede presentarse tambin a lo largo de una distancia determinada cuando los cuerpos se separan fsicamente. Como ejemplos de este ltimo caso estn incluidas las fuerzas elctricas, magnticas y gravitacionales. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por su magnitud, direccin y punto de aplicacin. Idealizaciones: Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibrio con la finalidad de simplificar la aplicacin de la teora. Se definir algunas de las idealizaciones ms importantes.

Partcula: Una partcula posee masa pero de tamao poco significativo. Por ejemplo, el tamao de la Tierra es insignificante comparado con el tamao de su rbita, y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partcula cuando se estudia su movimiento orbital en un modelo. Cuando un cuerpo se idealiza como una partcula, los principios de la Mecnica se simplifican de manera importante, debido a que la geometra del cuerpo no se tomar en cuenta en el anlisis del problema.

Cuerpo Rgido: Un cuerpo rgido puede ser considerado como un conjunto formado por un gran nmero de partculas que permanecen separadas entre s por una distancia fija antes y despus de aplicar la carga. Como resultado, las propiedades del material de que est hecho cualquier cuerpo que se suponga rgido no se tendr que considerar cuando se analicen las fuerzas que actan sobre ste. En la mayora de los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, mquinas, mecanismos, etctera, son relativamente pequeas, y la suposicin de cuerpo rgido es apropiada para efectos de anlisis.

Fuerza Concentrada: Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga la cual se supone que acta en algn punto de un cuerpo. Podemos representar este efecto por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el rea sobre la cual se aplica la carga sea relativamente pequea comparada con el tamao del cuerpo.

2.1.2Resultante de fuerzas coplanaresC-1.

Concepto de vectores y escalares.

Magnitud Vectorial: Es una magnitud cuya determinacin exige el conocimiento de un mdulo, una direccin y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales: Desplazamiento, velocidad, aceleracin, fuerza, etc.

Magnitud Escalar: Es una magnitud cuya determinacin solo requiere el conocimiento de un nmero, y la correspondiente unidad. Ejemplos de magnitudes escalares: Longitud, masa, tiempo, temperatura, trabajo, energa, etc.

Cualquier magnitud vectorial, puede ser representada grficamente por medio de una flecha que recibe el nombre de vector. Grficamente un vector es un segmento de recta dirigido.

Caractersticas de un vector:

a) Punto de aplicacin u origen.b) Magnitud, intensidad mdulo del vector. Indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional.c) Direccin: Seala la lnea sobre la cual acta, puede ser horizontal, vertical u oblicua.d) Sentido: Indica hacia dnde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha a la izquierda. Queda sealado por la punta de la flecha. (Ver figura 2.1)

Figura 2.1Ejemplo de Vector

2.1.3Descomposicin de fuerzas en componentes rectangulares y vectores unitariosL-1.

El tratamiento grfico de los vectores es conveniente para visualizar las fuerzas, pero con frecuencia no es muy preciso, su resultado es aproximado por tratarse de un grafico. Un mtodo mucho ms til consiste en aprovechar la trigonometra del tringulo rectngulo simple, procedimiento que en gran medida se ha simplificado, gracias a las calculadoras actuales. El conocimiento del teorema de Pitgoras y cierta experiencia en el manejo de las funciones seno, coseno y tangente es todo lo que se requiere para el estudio de este tema.

Los mtodos trigonomtricos pueden mejorar la precisin y la rapidez al determinar el vector resultante para encontrar las componentes rectangulares de un vector. En la mayora de los casos, es til utilizar ejes x y y imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analtica. Cualquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de esas lneas imaginarias. Las componentes del vector pueden verse como efectos a lo largo de los ejes x y y.

Componentes vectoriales en dos dimensionesL-2.

Si el vector U lo referimos a un sistema coordenado cartesiano de modo que U sea paralelo al plano (x, y), podemos descomponerlo en componentes vectoriales paralelas a los ejes x y y, entonces nos queda que:

Entonces, si incluimos un vector unitario i que seale en la direccin positiva del eje x y un vector unitario j que seale en la direccin positiva del eje y, podemos expresar el vector U en la forma:

Los escalares se llaman componentes escalares vectoriales de U.

Llamaremos componentes x y y de U.Las componentes de un vector especifican tanto sus direcciones relativas al sistema coordenado cartesiano como sus magnitudes. En el tringulo rectngulo formado por el vector U y sus componentes vectoriales, se observa que la magnitud de U est dada en trminos de sus componentes por el teorema de Pitgoras, y nos queda:

Con esta ecuacin se podr determinar la magnitud de un vector cuando se conozcan sus componentes. (Ver figura 2.2)

Figura 2.2

Las componentes vectoriales escalares del vector resultante U, se pueden expresar en funcin de i y j.

Vectores unitarios

Un vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Un vector unitario especifica una direccin y permite expresar en forma conveniente un vector que tiene una direccin particular. Si un vector unitario e y un vector U tienen la misma direccin, podemos escribir U como el producto de su magnitud |U| y el vector unitario e. (Ver figura 2.3).

Dividiendo ambos miembros de esta ecuacin entre |U|, nos queda:

Observamos que al dividir cualquier vector U por su magnitud se obtiene un vector unitario con la misma direccin.

Figura 2.3Como U y e tienen la misma direccin, el vector U es igual al producto de su magnitud y e.

Vectores de posicin dados por sus componentes en dos dimensiones.

El vector de posicin de un punto relativo a otro punto se puede expresar en funcin de las coordenadas cartesianas de ambos puntos. Sean los puntos y . Sea el vector que especifica la posicin de B en relacin de A. (ver figura 2.4a). Es decir, por medio de denotamos el vector que va de un punto A al punto B. Se observa (ver figura 2.4b) que est dado en funcin de las coordenadas de los puntos A y B.

Entonces se tiene que:

Figura 2.4

(a)Puntos A y B y el vector de posicin de A a B.

(b)Las componentes de se pueden determinar a partir de las coordenadas de los puntos A y B.

En los siguientes ejemplos mostraremos como calcular las componentes vectoriales de un vector resultante, as como el ngulo que forma la fuerza resultante con respecto al eje x positivo. Tambin demostraremos la aplicacin del teorema de Pitgoras.

Ejemplo 1El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza F de 800 N sobre la parte superior de la torre de la televisin mostrada en la siguiente figura. Separe F en sus componentes rectangulares usando el sistema coordenado que se indica en la figura 2.5

Figura 2.5Se determinar las componentes de F de tres maneras distintas:

Primer mtodo.

Con las dimensiones dadas podemos determinar el ngulo entre F y el eje y (ver figura 2.6a), y luego podemos determinar las componentes con ayuda del tringulo rectngulo formado por el vector F y sus componentes.

Figura 2.6aComponentes vectoriales de F

Calculando el ngulo se tiene:

Ahora con este ngulo calculado procederemos a calcular sus componentes rectangulares , entonces tenemos:

Como seala en la direccin x positiva y en la direccin y negativa, entonces la fuerza F es:

Nota: No confundir la fuerza vectorial F, con la magnitud de la fuerza vectorial , que son muy diferentes.

Segundo mtodo.Los tringulos rectngulos formados por F y sus componentes son similares al tringulo OAB (ver figura 2.6b). Se pude determinar las componentes de F usando las proporciones entre los lados de esos tringulos similares.

Figura 2.6b)

Vector de A a B

Primeramente vamos a calcular la longitud del cable AB.

Como el tringulo OAB de la figura a) es semejante al tringulo formado por F y sus componentes vectoriales, entonces vamos a proceder a calcular

Es as como se obtiene el mismo resultado del primer mtodo de solucin.

Tercer mtodo.

De las dimensiones dadas podemos determinar las componentes vector que va del punto A al punto B. Dividiendo este vector entre su magnitud, obtenemos un vector unitario con la misma direccin que F (ver figura 2.6c) y luego obtenemos F en funcin de sus componentes expresndolo como producto de su magnitud y .

Figura 2.6c)

El vector unitario seala de A a B

Primeramente se va a calcular el vector con la siguiente frmula:

Ahora se va a dividir este vector entre su magnitud para obtener un vector unitario que tiene la misma direccin que la fuerza F. (ver figura 2.6c)

La fuerza F vectorial, es igual al producto de su magnitud y , entonces se tiene:

Con estas componentes calculadas, vamos a demostrar que la tensin , aplicando el teorema de Pitgoras, entonces tenemos que:

Ejemplo 2

Determine analticamente las componentes de una fuerza de 200 N, formando un ngulo con la horizontal del eje x positivo de 60 . (Ver figura 2.7)

Figura 2.7

Solucin:DatosFrmulas

Desarrollo

Resultado

Ejemplo 3

Un nio se encuentra sobre un trineo y es jalado por una fuerza de , con un ngulo , determine analticamente sus componentes rectangulares para desplazar el trineo en forma horizontal. (Ver figura 2.8)

Figura 2.8

Primeramente se traza un diagrama vectorial del trineo.

DatosFrmula

Desarrollo

Resultado

Con los resultados de las componentes obtenidas, vamos a demostrar a travs del teorema de Pitgoras que la fuerza resultante es de

Tambin vamos a demostrar que su ngulo de la fuerza resultante con respecto al eje x positivo es de 40.

Ejemplo 4Una cortadora de csped se empuja hacia abajo con una fuerza de 40 N, en un ngulo de 50 con respecto a la horizontal, Cul es la magnitud del efecto horizontal de esta fuerza? Ver figura 2.9

Figura 2.9

Datos del problemaFormulas

Desarrollo

Calculando sus componentes se tiene:

Resultado

Con los resultados de las componentes obtenidas, vamos a demostrar a travs del teorema de Pitgoras que la fuerza resultante es de

Tambin vamos a demostrar que el ngulo de la fuerza resultante con respecto al eje x positivo es de 310.

Entonces tenemos que:

2.1.4Equilibrio de partculas y primera Ley de newtonL-1.

Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento puede estar desplazndose de un punto a otro, girando sobre su propio eje, o bien, realizando ambos movimientos. Por ejemplo cuando vemos pasar un autobs, los pasajeros efectan un movimiento de traslacin, En general, cualquier movimiento por complejo que sea puede ser seducido para su estudio a los dos tipos de movimientos: de traslacin o de rotacin.Primera ley de Newton.

Un cuerpo permanece en estado de reposo de movimiento rectilneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada acte sobre l. Newton llam inercia a la propiedad de una partcula que permite mantenerla en un constante estado de movimiento o de reposos, Su primera ley a veces se conoce como ley de inercia.

Primera condicin de equilibrio (Traslacin)

Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo en equilibrio, ya sea que se encuentre en reposo o con movimiento rectilneo uniforme, de acuerdo con la segunda ley de Newton, le provocar una aceleracin, misma que ser mayor mientras mayor sea la fuerza. Por tanto para que un cuerpo est en equilibrio de traslacin la fuerza neta o resultante de todas las fuerzas que actan sobre l debe ser igual a cero. En otras palabras, la suma de todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo en el eje de las ordenadas y en el eje de las abscisas debe ser cero.

Con lo anteriormente expuesto podemos establecer la primera condicin de equilibrio que nos dice: Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si, y slo si, la suma vectorial de las fuerzas que actan sobre l es igual a cero

En trminos matemticos esto se puede expresar de la siguiente manera:

Ejemplo 1Una pelota de 200 N cuelga de una cuerda unida a otras dos cuerdas, como se observa en la figura 2.10. Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B y C.

Figura 2.10 Diagrama de cuerpo libre

Utilizando el diagrama de cuerpo libre se van a calcular las componentes rectangulares de los vectores A y B, entonces se tiene que:

Aplicando la primera condicin de equilibrio, entonces tenemos que:

Sustituyendo la Ec. (1) en la Ec. (2) se tiene que:

Sustituyendo la el valor de A en la Ec. (1) se tiene que:

Para comprobar si el sistema se encuentra en equilibrio se tiene que:

De igual forma se comprueba en la sumatoria de y,

Nos da un valor aproximadamente igual a cero, Lo que indica que el sistema se encuentra en equilibrio.

Ejemplo 2Una pelota de 100 N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ngulo de 30 con el muro vertical. Encuentre las tensiones en las cuerdas A y B. (ver figura 2.11)

Figura 2.11Diagrama de cuerpo libre

Utilizando el diagrama de cuerpo libre se van a calcular las componentes rectangulares de los vectores A y B, entonces se tiene que:

Aplicando la primera condicin de equilibrio, entonces tenemos que:

Sustituyendo el valor de A en la Ec. (1) se tiene que:

Para comprobar si el sistema se encuentra en equilibrio se tiene que:

De igual forma se comprueba en la sumatoria de y,

Nos da un valor aproximadamente igual a cero, Lo que indica que el sistema se encuentra en equilibrio.

Segunda condicin de equilibrio (Rotacin)

Existe equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actan sobre un objeto no tienen un punto de aplicacin comn. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecnico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fuerzas de torsin que tienden a arrancar una viga en la pared. El volante de un automvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un punto de aplicacin comn.

En casos como stos, puede haber una tendencia a girar que se define como momento de torsin. Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsin producidos por ciertas fuerzas, ser posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotacin, es preciso que no haya ningn momento de torsin resultante. Esto conduce en forma natural a la condicin de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y en ingeniera.

Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslacin si la resultante de las fuerzas que actan sobre l es cero. Sin embargo, puede girando sobre su propio eje.Para que un cuerpo este en equilibrio de rotacin, debe aplicarse la segunda condicin, que dice:

Para que un cuerpo este en equilibrio de rotacin, la suma de los momentos o torques de las fuerzas que acta sobre el respecto a cualquier punto debe ser igual a cero.

Esta segunda condicin lo veremos con ms detalle en el punto 2.2.5 equilibrio de cuerpos rgidos en dos dimensiones.

2.1.5Fuerzas en el espacio (Tres dimensiones)L-2

En ingeniera muchas aplicaciones requieren la descomposicin de vectores en sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. Aqu explicaremos cmo hacerlo y cmo operar con vectores en tres dimensiones.Primero vamos a ver como se dibujan cuerpos en tres dimensiones. Consideremos un cuerpo tridimensional, por ejemplo un cubo. (Ver figura 2.12)Figura 2.12(a) Cubo visto con la visual perpendicular a una cara. (Dos dimensiones)(b) Vista oblicua del cubo. (Tres dimensiones)(c) Sistema coordenado cartesiano alineado con los bordes del cubo.

2.1.6Componentes rectangulares de una fuerza en el espacioL-2.

Podemos separa un vector U en componentes vectoriales paralelas a los ejes x, y, z

Si hacemos que los vectores unitarios i, j, k apunten hacia las direcciones positivas x, y, z podemos expresar U en funcin de componentes escalares de la siguiente manera:

Los escalares se denominarn componentes x, y, z del vector U. (Ver figura 2.13)

Figura 2.13

Un vector U y sus componentes vectoriales

2.1.7Resultante de fuerzas concurrentes en el espacioL-2.

La magnitud de un vector U est dada, en funcin de sus componentes en tres dimensiones (Ver figura 2.13), y est dada por la expresin siguiente:

Aparte de su magnitud del vector U, vamos a conocer tambin los ngulos de las componentes , que se forman con respecto a la resultante del sistema.A estos ngulos se les llaman cosenos directores.

Cosenos directores.

Una manera de describir la direccin de un vector en tres dimensiones es especificar los ngulos entre el vector resultante y los ejes coordenados positivos. (Ver figura 2.14)

Figura 2.14

La figura (a), nos muestra un vector U y los ngulos

Figura 2.15

Las figuras (b), (c), (d) nos muestran los ngulos y las componentes vectoriales de U

En la figura 2.15 (b),(c),(d), demostraremos que las componentes del vector U estn dadas, en funcin de los ngulos , por:

Las cantidades se llaman cosenos directores de U.Los cosenos directores de un vector U no son independientes. Si sustituimos las ecuaciones (Ec. 2) en la magnitud del vector U (Ec. 1), encontramos que los cosenos directores satisfacen la relacin.

Supongamos que e es un vector unitario con la misma direccin de U, entonces:

En funcin de sus componentes, esta ecuacin es:

Entonces, las relaciones entre las componentes de U y e son:

Comparando las ecuaciones (Ec. 4) con las ecuaciones (Ec. 2) nos queda:

Los cosenos directores de cualquier vector U son las componentes de un vector unitario que tiene la misma direccin que U.

En los siguientes ejemplos llevaremos a cabo operaciones vectoriales en trminos de componentes en tres dimensiones. El primer ejemplo muestra que las operaciones vectoriales no son ms difciles en tres dimensiones que en dos cuando se conocen las componentes de los vectores y determinar sus componentes es un poco ms complicado en tres dimensiones. Presentaremos ejemplos que ilustran el uso de los cosenos directores y otros mtodos para especificar las direcciones de vectores en tres dimensionesL-2.

Ejemplo 1

Consideremos dos vectores, a) Cul es su magnitud de U?b) Determine los ngulos por medio de la Ec. 2c) Cul es la magnitud del vector ?

a) Aplicando la Ec. 1 se va a determinar su magnitud del vector U:

b) Ahora, procederemos a calcular los cosenos directores del vector U aplicando la Ec. 2

c) El vector R es:

Y su magnitud es de:

Ejemplo 2El cable del globo de la siguiente figura, ejerce una fuerza F de 800 N sobre el gancho en O. La lnea vertical AB interseca el plano x-z en el punto A. El ngulo entre el eje z y la lnea OA es de 600 y el ngulo entre la lnea OA y F es de 450.Exprese F en funcin de sus componentes escalares. (Ver figura 2.16)

Figura 2.16

Solucin:En la figura 2.16a, descomponemos F en su componente Fy y en su componente Fh paralela a OA. Entonces la magnitud de Fy es:

Figura 2.16aDescomposicin de F en componentes vectoriales paralelas a OA y OBEntonces la magnitud de Fy y Fh, se tiene:

De la figura 2.16b, descomponemos Fh en las componentes vectoriales Fx y Fz.

Figura 2.16bDescomposicin de Fh en componentes vectoriales paralelas a los ejes.

Calculando la magnitud de Fx y de Fz, se tiene:

Las componentes vectoriales apuntan en las direcciones positivas de los ejes, por lo que las componentes escalares de F son positivas:

Vamos a comprobar que las componentes calculadas son verdaderas, aplicando la Ec 1 se tiene:

Lo que demuestra que las componentes calculadas son correctas.

2.1.8Equilibrio de fuerzas concurrentes en el espacioL-2.

Las situaciones de equilibrio que hemos considerado hasta ahora implicaron slo fuerzas coplanares (en dos dimensiones). Cuando el sistema de fuerzas externas que actan sobre un cuerpo en equilibrio es tridimensional, podemos expresar la suma de las fuerzas externas como:

Esta ecuacin se cumple si y slo si:

Las sumas de las componentes x, y y z de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo en equilibrio deben ser igual a cero.

Ejemplo 3Un cilindro de 1000 lb pende del techo por un sistema de cables sostenidos en los puntos B, C y D, como se muestra en la figura 2.17. Cules las tensiones en los cables AB, AC y AD?

Figura 2.17Estrategia de solucin:

Las tenciones se determinan con el mtodo usado para problemas bidimensionales similares. Aislando parte del sistema de cables cerca del punto A, obtenemos un diagrama de cuerpo libre sometido a las fuerzas causadas por las tensiones en los cables. Como cada suma de las componentes x, y y z de las fuerzas externas deben ser igual a cero, se obtienen tres ecuaciones para las tres dimensiones.

Solucin:

Aislamos parte del sistema de cables cerca del punto A (ver figura 2.17a y completamos el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas ejercidas por las tensiones en los cables (ver figura 2.17b. Las magnitudes de los vectores son las tensiones en los cables AB, AC y AD respectivamente-

Figura 2.17aFigura 2.17bAislamiento de una parte del sistemaEl diagrama de cuerpo libreDe cablescompleto muestra las fuerzasEjercidas por las tensionesEn los cables

Aplicacin de las ecuaciones de equilibrio: La suma de las fuerzas externas que actan en el diagrama de cuerpo libre es:

Para despejar, de estas ecuaciones, las tensiones en los cables, necesitamos expresar los vectores en funcin de sus componentes.

Primeramente se va a determinar las componentes de un vector unitario que apunte en la direccin del vector . Sea el vector de posicin de A a B (ver figura 2.17c

Figura 2.17c

Vector de posicin

Para calcular la tensin se tiene que:

, donde:

, entonces:

Dividiendo por su magnitud, obtenemos un vector unitario que tiene la misma direccin que .

Podemos ahora escribir el vector , como el producto de la tensin en el cable AB y , entonces tenemos que:

De la misma forma se va a determinar el vector

, donde:

, entonces:

Dividiendo por su magnitud, obtenemos un vector unitario que tiene la misma direccin que .

Podemos ahora escribir el vector , como el producto de la tensin en el cable AC y , entonces tenemos que:

De la misma forma se va a determinar el vector

, donde:

, entonces:

Dividiendo por su magnitud, obtenemos un vector unitario que tiene la misma direccin que .

Podemos ahora escribir el vector , como el producto de la tensin en el cable AD y , entonces tenemos que:

Con estas expresiones escribimos la suma de las fuerzas externas en funcin de las tensiones .

Cada una de las fuerzas en las direcciones x, y y z debe ser igual a cero.

Ahora nos queda 3 ecuaciones con tres incgnitas, la solucin de este sistema lo pueden resolver por los mtodos de Gauss-Jordan, Eliminacin Gaussiana, Matricial, Cramer, etc. El mtodo a utilizar es opcional.

Este ejercicio en particular se va a resolver utilizando el mtodo de Cramer. Entonces ponemos el sistema en forma matricial:

Solucin:

Comentario final: Observe que en la solucin de este ejemplo en particular, usamos varios de los procedimientos vistos en el tema anterior sobre vectores unitarios. En particular, se tuvo que determinar las componentes de un vector de posicin, dividir este vector por su magnitud para obtener un vector unitario con la misma direccin que una fuerza particular, y expresar la fuerza en funcin de sus componentes escribindola como el producto del vector unitario y la magnitud de la fuerza.

2.2Esttica del cuerpo rgidoL-2.

Los efectos de las fuerzas dependen no slo de sus magnitudes y direcciones, sino tambin de los momentos que ejercen. El momento de una fuerza es una medida de su tendencia a causar giros. Los momentos causan el giro de maquinaria como la manivela de un barco de vela, las ruedas de un vehculo, los cigeales y las turbinas. Aun as, la suma de las fuerzas que actan sobre un cuerpo es nula, stas pueden ejercer un momento que se denomina par. Si un cuerpo est en equilibrio, la suma de los momentos respecto a cualquier punto debido a las fuerzas externas y pares actuantes en l, es igual a cero.

Es aqu donde se aplicar la segunda condicin de equilibrio de la primera ley de Newton. Que dice lo siguiente: La de todos los momentos de torsin respecto a cualquier punto es igual a cero.

2.2.1 Introduccin.L-1En la primera condicin de equilibrio, nos hemos referido a las fuerzas que actan en un solo punto. Existe un equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actan sobre un objeto no tienen un punto de aplicacin comn. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecnico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fuerzas de torsin que tienden a arrancar una viga en la pared. El volante de un automvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un punto de aplicacin comn.

En casos como stos, puede haber una tendencia a girar que se define como momento de torsin. Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsin producidos por ciertas fuerzas, ser posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotacin, es preciso que no haya ningn momento de torsin resultante. Esto conduce en forma natural a la condicin de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y de ingeniera.

2.2.2 Cuerpos rgidos y principio de transmisibilidad.L-1

Cuando un cuerpo est en equilibrio, debe encontrarse en reposo en estado de movimiento rectilneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo nico que puede cambiar dicha situacin es la aplicacin de una fuerza resultante. Si todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo tienen un solo punto de interseccin y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema se encuentra en equilibrio.

Cuando sobre un cuerpo actan fuerzas que no tienen una lnea de accin comn, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quiz no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicacin de cada fuerza adems de su magnitud.

Es obvio que se requiere una segunda condicin de equilibrio que explique el movimiento rotacional.

Definiciones de algunos conceptos elementales:

Lnea de accin de una fuerza: es una lnea imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.

Brazo de palanca de una fuerza: es la distancia perpendicular que hay de la lnea de accin de la fuerza al eje de rotacin.

Principio de transmisibilidad: Este principio nos dice, que el efecto externo de una fuerza no se modifica cuando se traslada en su misma direccin, es decir, sobre su propia lnea de accin.

La figura 2.18, se observa algunos ejemplos de rotacin, si la fuerza F tiende a producir una rotacin contraria a la de las manecillas con respecto a un eje, el momento de torsin se considera positivo. El momento de torsin en el sentido de las manecillas del reloj se considerarn negativos. En la figura 2.18, todos los momentos de torsin son positivos, excepto el correspondiente a la figura (a).

Figura (2.18)Ejemplos rotacionales de brazos de palanca

2.2.3 Producto vectorialL-2.

El producto vectorial producto cruz de dos vectores tiene muchas aplicaciones, entre otras la determinacin de la velocidad de rotacin de una partcula de fluido y el clculo de la fuerza ejercida sobre una partcula cargada por un campo magntico. Debido a su utilidad en el clculo de momentos de fuerzas, el producto vectorial es una herramienta indispensable en la mecnica.

Definicin: Consideremos dos vectores U y V (ver Figura a). El producto vectorial producto cruz, denotado por U x V, se define como:

Veamos un ejemplo donde se pueda aplicar esta frmula del producto vectorial.

EjemploEn la siguiente figura, la magnitud de la fuerza F es de 100 lb La magnitud del vector r del punto O al punto A es de 8 pies. (Ver figura 2.19)Use la definicin del producto vectorial para determinar r x F

Figura 2.19

Usando la definicin del producto cruz producto vectorial se tiene:

Como e se define perpendicularmente entre r y F, y se considera como un vector unitario, entonces e es igual al vector unitario k, entonces su resultado es:

Este procedimiento del producto vectorial producto cruz es el que vamos a utilizar cuando estemos viendo el tema de la segunda condicin de equilibrio, o sea cuando estemos resolviendo problemas de momento de torsin.

2.2.4 Momento de una fuerza con respecto a un punto y a un ejeL-1.

Se ha definido a la fuerza como un tirn o un empujn que tiende a causar un movimiento. El momento de torsin M0, se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional, tambin se le llama momento de una fuerza. Como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de una fuerza F como por su brazo de palanca r. Por lo tanto, definiremos el momento de torsin como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.

Momento de torsin = fuerza x brazo de palanca

Donde;

Ejemplo 1Un mecnico ejerce una fuerza de 20 lb en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se observa en la figura 2.20. Si este tirn forma un ngulo de 600 con el mango de la llave, cul es el momento de torsin producido en la tuerca?Se va a dar solucin de dos maneras distintas, primeramente aplicando el mtodo principio de transmisibilidad y despus por componentes rectangulares.

Mtodo principio de transmisibilidad.

Figura 2.20 Figura 2.20a Diagrama vectorialpor principio de transmisibilidad

Del diagrama vectorial de la figura 2.20a, vamos a calcular el brazo de torsin r.

Calculando el momento de torsin nos queda:

Nota: Es un momento positivo porque la fuerza de torsin est en contra de las manecillas del reloj.

Mtodo por componentes rectangulares.

Figura 2.20bDiagrama vectorial por componentes rectangulares

Del diagrama vectorial de la figura 2.20b, vamos a calcular el brazo de torsin r.

Primeramente vamos a calcular las componentes rectangulares , entonces tenemos que:

Observe que la lnea de accin de la fuerza pasa por el eje de rotacin, de tal forma, que no se produce ningn momento de torsin porque su brazo de palanca es cero. Por lo tanto, el momento de torsin total se debe a la componente , que es perpendicular al mango. Entonces el momento de torsin es de:

2.2.5 Equilibrio de cuerpos rgidos en dos dimensionesL-1.

Ahora estamos listos para analizar la condicin necesaria para el equilibrio rotacional. La condicin para el equilibrio traslacional qued establecida en forma de ecuacin como:

Si se desea asegurar que los efectos rotacionales tambin estn equilibrados, es preciso estipular que no hay momento de torsin resultante. Por lo tanto, la segunda condicin de equilibrio es:

La segunda condicin de equilibrio simplemente nos indica que los momentos de torsin en el sentido de las manecillas del reloj estn exactamente equilibrados por los por los momentos de torsin opuestos al avance de las manecillas. Ms an, puesto que la rotacin no ocurre respecto a ningn punto, podemos elegir cualquier punto como eje de rotacin. Mientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el momento de torsin resultante ser de cero. Los problemas se simplifican si se elige el eje de rotacin en el punto de aplicacin de una fuerza desconocida. Si una fuerza particular tiene un brazo de palanca de cero, no contribuye al momento de torsin, independientemente de su magnitud.

Estrategia para resolver problemas de equilibrio rotacional.

1. Trace y marque un bosquejo con todos los datos.2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre (si es necesario), indicando las distancias entre las fuerzas.3. Elija un eje de rotacin en el punto donde se tenga menos informacin, por ejemplo, en el punto de aplicacin de una fuerza desconocida.4. Sume los momentos de torsin correspondientes a cada fuerza con respecto al eje de rotacin y establezca el resultado igual a cero.

5. Aplique la primera condicin de equilibrio para obtener dos ecuaciones adicionales.

6. Calcule las cantidades que no se conocen

Ejemplo 1Un puntal uniforme de 200 lb de peso y 24 ft de longitud est sostenido por un cable, como se observa en la figura 2.21. El puntal se apoya en la pared y el cable forma un ngulo de 300 con respecto al puntal, que est en posicin horizontal. Si una carga de 500 lb se cuelga del extremo derecho, cul es la tensin T del cable? Cules son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote?Cul es el esfuerzo resultante que se ejerce sobre el pivote y su ngulo que se forma con respecto al eje x positivo?

Figura 2.21

a) Fuerzas que actan sobre un soporte horizontal.b) Diagrama vectorial para determinar la tensin.c) Diagrama vectorial para determinar la fuerza resultante que ejerce el pivote

Es posible determinar la tensin del cable a partir de la segunda condicin de equilibrio.

Del diagrama vectorial de la figura 2.21b, se va a calcular la tensin en el eje y.

Sustituyendo la Ec. (2) en la Ec. (1), se tiene que:

Calculo de las componentes horizontal y vertical de la figura 2.21c, aplicando la primera condicin de equilibrio , se tiene que:

Teniendo calculadas las componentes horizontal y vertical, vamos a proceder a calcular la fuerza resultante que se est ejerciendo en el pivote de la figura 2.21a, as como su ngulo que se forma con respeto al eje x horizontal positivo.

2.2.6 Reacciones en puntos de apoyo y en conexionesL-1.

No puede existir una fuerza, si no estn implicados dos cuerpos. Siempre que dos cuerpos interactan, la fuerza ejercida por el segundo cuerpo sobre el primero (fuerza de reaccin), es igual en magnitud pero de sentido contrario a la direccin de la fuerza ejercida por el primer cuerpo sobre el segundo (fuerza de accin). Este principio se enuncia en la tercera ley de Newton. Que dice lo siguiente:

Para cada accin debe haber una reaccin igual y opuesta.

A travs de un ejemplo vamos a determinar las reacciones en los puntos de apoyo, normalmente se utilizan en vigas de madera, acero de concreto. Aplicaremos tambin las dos condiciones de equilibrio de la primera ley de Newton.

Ejemplo 1Considere la situacin que se presenta en la siguiente figura 2.22. Una viga uniforme que pesa 200 N est sostenida por dos soportes A y B. De acuerdo con las distancias y fuerzas que aparecen en la figura, cules son las fuerzas ejercidas por los soportes?

Figura 2.22

Se traza un diagrama de cuerpo libre para que muestre claramente todas las fuerzas y las distancias entre ellas. Note que se considera que todo el peso de la viga uniforme acta en su centro.

Aplicando la primera condicin de equilibrio se tiene que:

Puesto que la Ec. (1), tiene dos incgnitas, es preciso tener ms informacin. Por lo tanto, aplicaremos la segunda condicin de equilibrio para calcular la fuerza de reaccin en el punto de apoyo A, entonces se tiene:

Sustituyendo el valor de la fuerza de reaccin en el punto de apoyo A en la Ec. (1), se tiene que la fuerza de reaccin en el punto de apoyo B es igual a:

2.2.7 Diagrama de cuerpo libre y aplicacin de las condiciones de equilibrioL.1.

Diagramas de cuerpo libre.

Antes de aplicar la primera y segunda condicin de equilibrio para resolver problemas fsicos, es necesario saber construir diagramas vectoriales diagramas de cuerpo libre.Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actan sobre un objeto o cuerpo en particular.Con frecuencia, sobre un cuerpo actan diversas fuerzas con magnitudes, direcciones y puntos de aplicacin diferentes. Las fuerzas que se intersecan en un punto comn o que tienen el mismo de aplicacin se denominan fuerzas concurrentes.

Cmo construir un diagrama de cuerpo libre.

1. Trace un bosquejo e indique las condiciones del problema. Asegrese de representar todas las fuerzas conocidas y desconocidas y sua ngulos correspondientes.2. Asle cada cuerpo del sistema en estudio. Haga esto mentalmente o dibujando un crculo alrededor del punto donde se aplican las fuerzas.3. Construya un diagrama de fuerzas para cada cuerpo que va a estudiar. Las fuerzas se representan como vectores con su origen situado al centro de un sistema de coordenadas rectangulares.4. Represente los ejes x y y con lneas punteadas. No es indispensable dibujar estos ejes horizontal y vertical.5. Con lneas punteadas trace los rectngulos correspondientes a las componentes x y y de cada vector, y determine los ngulos conocidos a partir de las condiciones dadas en el problema.6. Marque todas las componentes conocidas y desconocidas, opuestas y adyacentes a los ngulos conocidos.

Ejemplo 1En la siguiente figura 2.23, el cuerpo est empotrado y sometido a dos fuerzas y un par momento. Qu valor tienen las reacciones en el empotramiento?

Figura 2.23

Diagrama de cuerpo libre: Aislamos el cuerpo de su soporte y mostramos las reacciones en el empotramiento (ver figura 2.23a). Hay tres reacciones desconocidas: dos componentes de fuerza AX y AY y un par MA, descomponemos tambin la fuerza de 100 lb en sus componentes.

Figura 2.23aAplicando la primera ecuacin de equilibrio se tiene:

El signo negativo de AX, nos indica que el sentido del vector es opuesto al indicado.Aplicando la segunda condicin de equilibrio se tiene:

Taller no. 2Ejercicios para resolver:

Problema 1La masa del camin mostrado es de 4 Mg. Sus ruedas estn bloqueadas y la tensin en su cable es T = 10 kN. (Ver figura 2.24)a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del camin.b) Determine las fuerzas normales ejercidas sobre las ruedas del camin por el terreno.

Figura 2.24

Problema 2En la siguiente figura, suponga que la fuerza ejercida por el martillo sobre la cabeza del clavo es vertical, e ignore su peso. (Ver figura 2.25)a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del martillo.b) Si F = 10 lb, qu valor tienen la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo y las fuerzas normal y de friccin ejercidas por el martillo sobre el piso?

Figura 2.25

Problema 3Calcule el peso P necesario para mantener el equilibrio en el sistema que se indica en la figura, en el cual A pesa 100 Kg. Y Q pesa 10 Kg. El plano y las poleas son lisos y se desprecia su friccin. La cuerda AC es horizontal y la cuerda AB es paralela al plano. Calcule tambin la reaccin del plano sobre el peso A. Hacer su diagrama de cuerpo libre. (Ver figura 2.26)

Figura 2.26

Problema 4En una obra de construccin, un contenedor con materiales que pesa 1000 kg est soportado por un cable de una gra. Se ata una cuerda al cable en B para evitar la oscilacin del contenedor y mantenerlo centrado y en equilibrio. El ngulo entre el cable y la vertical es de 4 y el ngulo de la cuerda con la horizontal es de 25. Cules son las tensiones en la cuerda y en el cable? Hacer su diagrama de cuerpo libre. (Ver figura 2.27)

Figura 2.27

Problema 5Qu valor tiene el momento respecto a A debido a la fuerza ejercida sobre la viga en B por el cable? m = 60 kg. Hacer su diagrama de cuerpo libre. (Ver figura 2.28)

Figura 2.28

Bibliografa para la Unidad II

L-1Tippens, Fsica conceptos y aplicaciones, 6 edicin, Ed. Mc Graw Hill, (2001)L-2Bedford Fowler, Esttica mecnica para ingeniera, Ed. Addison Wesley, (2000)E-1http://www.mitecnologico.com/Main/EstaticaDeLaParticulaConceptosBasicosC-1Curso de homogeneizacin de Fsica, Tecnolgico de Acapulco, Ciencias BsicasUNIDAD lIIDINMICA

OBJETIVO

Analizar los fundamentos que rigen el movimiento de partculas y relacionar el desplazamiento, velocidad, aceleracin y tiempo. Aplicar la segunda ley del movimiento de Newton y comprender los efectos provocados por una fuerza no equilibrada que acta sobre una partcula en los diferentes tipos de movimiento.

3.1. Cinemtica

IntroduccinL-3.Todo el universo se encuentra en constante movimiento. Los cuerpos presentan movimientos rpidos, lentos, peridicos y azarosos. La tierra describe un movimiento de rotacin girando sobre su propio eje, al mismo tiempo describe un movimiento de traslacin alrededor del sol. La Luna gira alrededor de la tierra; los electrones alrededor del ncleo atmico. As, a nuestro alrededor siempre observaremos algo en movimiento: nios corriendo y saltando, nubes desplazndose por el cielo, pjaros volando, rboles balancendose a uno y otro lado por un fuerte viento. Todo es movimiento. Un cuerpo tiene movimiento cuando cambia su posicin a medida que transcurre el tiempo. El movimiento de los cuerpos puede ser en una dimensin o sobre un eje, por ejemplo, el desplazamiento en lnea recta de un automvil o el de un tren; en dos dimensiones o sobre un plano, como el movimiento de la rueda de la fortuna, de un disco fonogrfico, el de un avin al despegar o aterrizar, o el de un proyectil cuya trayectoria es curva; en tres dimensiones o en el espacio, como el vuelo de un mosquito hacia arriba, hacia adelante y hacia un lado, o el de un tornillo que al hacerlo girar con un desarmador penetra en la pared.

La tierra, la Luna, un avin, un tren, un automvil, una pelota y en general un cuerpo fsico cualquiera, puede ser considerado como una partcula, lo cual nos facilita describir su movimiento.

Cuando decimos que un cuerpo se en