Marcos Vílchez Macurí

Quinto Grado de Primaria

MATEMÁTICA

Libro de Actividades

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

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Este libro pertenece a:

Nombre: ........................................................................................

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La fortaleza de Sacsayhuamán - Cusco

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Aritm

ética

El libro de actividades de la serieDivertinúmeros esunaobracomplementariadondesedesarrollanlosejercicioscorrespondientes al contenido teórico de cada unidad dellibrodeconsulta.

Losejerciciosdecadatemasepresentandemaneradosificada,considerandolasección“Demuestratuhabilidad”.Cadaunidadculminaconlapresentacióndeunosejerciciosdereforzamientodenominados“Aprendiendomás”yconunproblema recreativo que busca fomentar en el estudianteel desarrollo de su capacidad para imaginar situacionesvinculadasconlamatemática.

En este libro de actividades, los estudiantes deberán responder todoslosejerciciospropuestos;deestamanera, construiránsusconocimientosconhabilidadesyactitudeslógicasycreativas.

Lasactividadespertenecenalasáreasdearitmética,álgebra,geometríaytrigonometríasegúnelgradocorrespondiente.Parafacilitarlacomprensión,elanálisisylacapacidaddesolucionarlasdiversassituacionescotidianas,pormediodesusrecursosmentales,suespítitudeobservacióneimaginación.

Esprecisoseñalar,queenestaseriesebrindaherramientasnecesariasparaqueelestudiantedescubraquelamatemáticaesentretenidaeindispensable.

Finalmente,expresoalosprofesoresmigratitudporutilizarestaobraqueconelaportedesucreatividadaspiraaconvertirseenunfactorquelebrindesatisfaccionesensuvidaprofesional.

Elautor

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Í N D I C E

A R I T M É T I C A

2.1 Lectura y escritura de números naturales .... 28 Forma desarrollada de un número ................. 302.2 Compara y ordena números naturales .......... 32 Ordena números naturales ................................ 342.3 Aproximación de números naturales ............. 362.4 Sucesiones ............................................................... 38 * Aprendiendo más ............................................... 40 * Problema recreativo ........................................... 42 * Evaluación .............................................................. 43

1.1 Proposiciones .......................................................... 6 Proposiciones compuestas ................................ 81.2 Tablas de verdad ................................................... 10 * La tabla de verdad de la disyunción ............. 121.3 Cuantificadores ..................................................... 141.4 Inclusión e igualdad ............................................ 161.5 Operaciones con conjuntos .............................. 18 * Diferencia y complemento de un conjunto ................................................................. 20 1.6 Problemas empleando conjuntos ................... 22 * Aprendiendo más ............................................... 24 * Problema recreativo ........................................... 26 * Evaluación .............................................................. 27

3.1 Adición y sustracción de números naturales ................................................................... 44 Ejercicios y propiedades de la adición .......... 463.2 Multiplicación y división de números naturales ................................................................... 48 * Propiedades de la multiplicación .................. 50 * Cociente de números naturales ..................... 523.3 Potenciación y radicación de números naturales ................................................................... 54 * Operaciones combinadas ................................ 56 * Problemas con números naturales ............... 58

4.1 Lectura y escritura de fracciones ..................... 80 * Fracciones decimales, fracciones propias e iguales a la unidad .......................................... 82 * Fracciones equivalentes y simplificación de fracciones ......................................................... 84 * Convertir fracciones heterogéneas en homogéneas ......................................................... 864.2 Comparación de fracciones ............................... 884.3 Operaciones con fracciones .............................. 90 * Multiplicación y división de fracciones ....... 92 * Operaciones combinadas ................................ 94 * Problemas sobre fracciones ............................ 964.4 Ecuaciones con números fraccionarios ......... 98 * Aprendiendo más ............................................. 100 * Problema recreativo ........................................ 102 * Evaluación ........................................................... 103

5.1 Expresiones decimales ...................................... 1045.2 Escritura y lectura de decimales .................... 1065.3 Compara y ordena números decimales ...... 1085.4 Operaciones con decimales (+) y (-) ............. 110 * Multiplicación de decimales ......................... 112 * División de números decimales .................. 114 * Operaciones combinadas .............................. 116 * Problemas con números decimales ........... 1185.5 Ecuaciones con números decimales ............ 120 * Aprendiendo más ............................................. 122

PROPOSICIONES Y CONJUNTOS

FRACCIONES

DECIMALES

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

3.4 Ecuaciones e inecuaciones en N ..................... 60 * Resolución de inecuaciones ............................ 623.5 Múltiplos y divisores de un número natural ....................................................................... 64 * Divisores de un número natural .................... 663.6 Divisibilidad de números naturales ................ 68 * Números primos y compuestos ..................... 703.7 Mínimo común múltiplo ..................................... 72 * Máximo común divisor de dos o más números ................................................................. 74 * Aprendiendo más ............................................... 76 * Problema recreativo ........................................... 78 * Evaluación .............................................................. 79

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Aritm

ética

GEOMETRÍA

ESTADÍSTICA

ÁLGEBRA

6.1 Proporcionalidad directa ................................. 126 * Proporcionalidad inversa ............................... 1286.2 Razón y proporción geométrica .................... 1306.3 Regla de tres simple e inversa ........................ 1326.4 Tanto por ciento .................................................. 134 * Problemas sobre porcentaje ......................... 136 * Aprendiendo más ............................................. 138 * Problema recreativo ........................................ 140 * Evaluación ........................................................... 141

PROPORCIONALIDAD

* Problema recreativo ........................................ 124 * Evaluación ........................................................... 125

7.1 Unidades de longitud ....................................... 1427.2 Unidades de masa .............................................. 1447.3 Unidades de tiempo .......................................... 1467.4 Unidades de superficie ..................................... 148 * Problemas sobre unidades de superficie ............................................................. 1507.5 Unidades de volumen ....................................... 152 * Aprendiendo más ............................................. 154 * Problema recreativo ........................................ 156 * Evaluación ........................................................... 157

MEDICION

8.1 Transformación de figuras planas ................. 1588.2 Ángulos .................................................................. 160 * Polígonos y su clasificación ........................... 162 * Clasifica triángulos y cuadriláteros ............. 164 * Ejes de simetría en una figura ...................... 1668.3 Perímetros y áreas de figuras geométricas .......................................................... 1688.4 Circunferencia y círculo .................................... 1708.5 Sólidos geométricos .......................................... 172 * Calcula el volumen de prismas y cuerpos redondos ..........................................174 * Aprendiendo más ............................................. 176

GEOMETRÍA

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

9.1 Recolección y organización de datos .......... 1809.2 Gráficos estadísticos .......................................... 1829.3 Medidas de tendencia central ........................ 1849.4 Probabilidad o cuestión de suerte ................ 186 * Aprendiendo más ............................................. 188 * Problema recreativo ........................................ 190 * Evaluación ........................................................... 191

10.1 El conjunto de los números enteros ......... 19210.2 Valor absoluto .................................................... 19410.3 Comparando los números enteros ............ 19610.4 Operaciones con los números enteros ..... 198 * La diferencia de números enteros .............. 200 * La multiplicación de números enteros ..... 202 * La división de números enteros .................. 20410.5 Ecuaciones con números enteros “Z” ........ 20610.6 Producto de polinomios ................................ 20810.7 División de monomios ................................... 210 * La división de un polinomio entre un monomio ............................................................. 212 * División de polinomios ................................... 21410.8 Exponentes y productos notables ............. 216 * Producto de dos binomios con un término común ................................................. 21810.9 El triángulo rectángulo y razones trigonométricas ................................................. 220 * Razones trigonométricas de un ángulo agudo en el triángulo rectángulo .............. 222 * Aprendiendo más ............................................. 224 * Problema recreativo ........................................ 226 * Evaluación ........................................................... 227 * Ejercicios complementarios .......................... 228

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA

* Problema recreativo ........................................ 178 * Evaluación ........................................................... 179

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1. Escribe en el recuadro: es proposición o no es proposición.

• Ayer fue sábado. • ¡Alcánzame el tajador!

• ¡Hermoso celular! • Son las 18 horas. • x + 3 > 9 • 21 es un número impar.

• ¿Quién ganó la medalla? • 53 =125

• ¿Está en su estuche la joya?

• ¿El 2 es un número primo?

•LaPazeslacapitaldeChile. •Unahoratiene3600segundos.

•Laballenaviveenelagua. •Elcobreesunmineral.

•Boliviaesunpaíseuropeo. •Uncubotiene3caras.

•LaTierratiene2satélites. •Unañotiene14meses.

•73=343 •MarioVargasLlosaesuncantante.

2. Escribe V o Fenlosrecuadros,segúnlasproposicionesseanverdaderasofalsas.

3. Pintadenaranjalosrecuadrosquecontienenproposicionesydeverdelosqueno.

Elmesdefebrerotiene30días.

Pintalapizarra.

¿Quién fue al estadio Monumental?

Todocuadradoesunrectángulo.

Dame tu libro.

¿Cuálestunombre?

El año 2016 será bisiesto. ¿Es verdad?

Unid

ad 1 1.1 Proposiciones

Es proposición.

No es proposición.

No es proposición.

Es proposición.

No es proposición.

Es proposición.

No es proposición.

Es proposición.

No es proposición.

No es proposición.

F V

F F

V V

F F

V F

N N

VV

VV

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Aritm

ética

Demuestra tu habilidad

p: TacnaseencuentraalsurdeArequipa.

q: El6esunnúmeroimpar.

r: JaujaeslacapitaldelPerú.

s: Chimboteesundepartamentodelacosta.

t: Todoslosparalelogramossoncuadriláteros.

1. Determina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

•Elperromaúlladenoche. •Lacomputadoraesunmediode

comunicación. •Loscuyesponenhuevos. •Elmonoesunmamífero.

2. Determina si cada enunciado es una pro-posición, escribiendo sí o no.

•FranciscoPizarrodescubrióAmérica •x=32 •¡Québonitaeres! •7+5=15

• ¿Quiénrompióelespejo?

• El2012fueunañobisiesto.

• Todonúmeronaturalespar.

• ¡Quétengasunbuendía!

• El3esdivisordel12.

• Lanieveesblanca.

• ¡Estacióneseaquí!

• PizarroconquistóelPerú.

• LaLunaesunsatélite.

• ¡Alcánzameellápiz!

El cuadrado tiene

tres lados.

Cuatro son las estaciones del año.

El conejo es un mamífero.

V F

V F

V F

V F

V F

4. Determinasiesverdaderoofalsacadaproposición,marcandoconunaX.

5. Escribe en el recuadro "P" si es proposición y "NP" si no es proposición.

6. Determinaelvalordeverdadenestasproposiciones,marcandoconunaX.

V

F

V

F

V

F

V

F

El Sol es una estrella.

NP

NP

NP

NP

P

P

P

P

P

P

X

X

X

X

X

X X

síF

V

F

V

nonosí

X

X

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1. Escribeproposicionescompuestasconlossiguientesparesdeproposicionessimples.Usalosconectivoso(Ú) ey(Ù).

2. Separa en proposiciones simples las siguientes proposiciones compuestas.

3. Escribe una conjunción y una disyunción con cada par de proposiciones simples.

Proposiciones compuestas

• p:Luiscomprará fruta.

q:Luiscomprarámedicina.

• m:Gloriavaalcine

n:Gloriavaapasear.

• r:Felipejuegafútbol.

S : Felipe juega ajedrez.

• Raqueldaráunexamenelsábadoodomingo.

......................................................... ............................................................

• Seisesdivisorde24yde30.

......................................................... .....................................................

• El pentágono tiene seis lados o cinco lados.

......................................................... .....................................................

p : Karina tomó jugo ......................................................... → ............

q:Karinatomógaseosa ......................................................... → ............

r : El pastel es dulce ......................................................... → ............

s:Lapizzaessalada ......................................................... → ............

Karina tomó jugo y gaseosa p Ùq

Karina tomó jugo o gaseosa p Úq

El pastel es dulce y la pizza es salada r Ù s

El pastel es dulce o la pizza es salada r Ú s

p Ùq:Luiscompraráfrutaymedicina.

p Úq:Luiscompraráfrutaomedicina.

m Ùn:Gloriavaalcineyapasear.

m Ún:Gloriavaalcineoapasear.

r Ù s : Felipe juega fútbol y ajedrez.

r Ú s : Felipe juega fútbol o ajedrez.

Raqueldaráunexamenelsábado. Raqueldaráunexameneldomingo.

Seisesdivisorde24. Seisesdivisorde30.

El pentágono tiene seis lados. El pentágono tiene cinco lados.

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Demuestra tu habilidad1. Usalasproposicionessimplesyformauna

proposición compuesta. p:TumbesesunaciudaddelPerú. q:TacnaesunaciudaddelPerú. ................................................................... r: El espejo está limpio. s: El espejo está sucio. ................................................................... t: Óscar es ingeniero. u:Luisesingeniero. ...................................................................

2. Subraya la proposición simple en: •Antonioesactorojugador. •Natachalavaytiendelaropa. •Marioestáestudiandoojugando. •AlejandroyPablosondocentes.3. Usaestasproposicionesyescribe:

p Ùq;rÚ s p:Eldíaviernestendréeldinero. q:EldomingoviajoaChiclayo. r: Es un número primo. s: Es un número par.

• Miguelvetelevisiónojuega.

• SihaceSol,practicamosajedrezovamosalaplaya.

• Todoslosparalelogramossoncuadriláteros.

• Eloroesunmetal.

• El10esunmúltiplode4yesdivisiblepor2.

p:Labasuracontamina.

q:Labasuradañalasalud.

r:Labasuradebeeliminarse.

Determina:

p Ùq: ..........................................................................................................................

p Ù r : ..........................................................................................................................

s Ù t : ..........................................................................................................................

t Ú u : ..........................................................................................................................

s Ù u : ..........................................................................................................................

s:Karinaesunaniña.

t: Karina practica atletismo.

u: Karina estudia idiomas.

¡Vamos, amigo! Es fácil.

4. Escribe en el recuadro una S si se trata de una proposición simple o una C si se trata de una proposición compuesta.

5. Dadas las proposiciones:

R: p Ù q: Tumbes y Tacna son ciudades del Perú

R: r Ú s: El espejo está limpio o sucio

R: t Ù u: Óscar y Luis son ingenieros

La basura contamina y daña la salud.

La basura contamina y debe eliminarse.

Karina es una niña y practica atletismo.

Karina practica atletismo o estudia idiomas.

Karina es una niña y estudia idiomas.

C

C

S

S

C

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p:Mañanavoyalcine. Sunegación ~ p:Mañananovoyalcine.

q : Ayer fui a jugar. Su negación ~q : Ayer no fui a jugar.

r :15esunnúmeropar. Sunegación ~...............................................

s:40esmúltiplode7. Sunegación ~...............................................

t : El triángulo es un polígono. Su negación ~ ...............................................

p:35esmúltiplode4. s:17+8>7×3

q:16esunnúmeropar. t:61esunnúmeroprimo. r : 25=32 u:15esunnúmeropar.

r:Elgatoesovíparo.t:24+1=17 S:Elmanzanoesunárbolfrutal.u:21:7–1=2

Hallaelvalordeverdadde:

V(~q)= V(pÙq)= V(qÚ u) =

V(~r)= V(pÙr)= V(rÚ s) =

V(~p)= V(qÙr)= V(pÚ t) =

V(~t)= V(sÙt)= V(sÚ u) =

hallaelvalordeverdadde:

V(~r)= V(tÙu)= V(rÙ u) = V(~s)= V(rÙs)= V(sÙ t) = V(~u)= V(rÙt)= V(sÙ u) =

1. Observalanegacióndealgunasproposicionesyluegocompletalasotras:

2. Dada las proposiciones:

3. Dadas las siguientes proposiciones:

P~P

V F

F V

Recuerdala tabla de

verdad de la negación

1.2 Tablas de verdad

r:15noesunnúmeropar.

s :40noesmúltiplode7.

s : El triángulo no es un polígono.

F

F

V

F

F

F

V

v

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

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Aritm

éticaDemuestra tu habilidad1. Dadas las proposiciones: p: El loro es un cuadrúpedo. q:Eláguilaesunovíparo. r: El ratón es un mamífero. Hallaelvalordeverdadde: p Ù q pÙ r qÙ r

2. Hallaelvalordeverdaddelasproposiciones: p Ù q:11esunnúmeronaturalimpary menorque21.

r Ù s:Losgatosmaúllanylosperrosladran. t Ù u:ElpapaesperuanoyVargasLlosaes

chileno.

• "7 es múltiplo de 5 y 5 es un número primo"

¿Esunaproposiciónconjuntivaverdadera?

p Ù q: 7esunnúmeronaturalimparyesmayorque9, Determinasuvalordeverdad.Separando:p: 7esunnúmeronaturalimpar V(p) = Vq: 7esunnúmeronaturalmayorque9 V(q) = FComoseve,setieneV F, luego V (pÙ q) = F (segundafiladelatabla)

r Ù s: LaTierraesunaestrellaylaLunatambién.Separando:

r: .................................................................... V(r) = .......

s: .................................................................... V(s) = .......

....................................................................................................

• "LimaeslacapitaldelPerúyesunaregión"

¿Esunaproposiciónconjuntivaverdadera?

• "54 es un número natural impar y 37 es par"

¿Esunaproposiciónconjuntivaverdadera?

• "Los caballos son mamíferos y los perros ladran",

¿Esunaproposiciónconjuntivaverdadera?

¡Ah, ya!V(p), se lee, valor de

verdad de P.

¡Vamos!Tú puedes.

4. Dada la proposición:

5. Determinaelvalordeverdadde:

6. Escribe dentro del recuadro SÍ o NO, según sea el caso:

La Tierra es una estrella.

La Luna es una estrella.

F

F

No

Sí

No

Sí

Como se ve, tiene F F, luego V(r Ù s) = F

R: F R: F R: V

R: V

R: F

R: V

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(pÚq)Ù r p Ú(qÚr) (pÚq)Ú r

V(p)=V ; V(q)=V ; V(r)=F,

p : El tigreesovíparo. s:LaTierratieneunsatélite.

q:Lasavesvuelan. t:ElPerúestácompuestoporregiones.

r :Lapiñaesuncítrico. u:ElríoSantapertenecealaselva.

Determinaelvalordeverdaddelassiguientesproposicionescompuestas:

p Úq:TacnaestáalnortedeLimaoalnortedeArequipa.

Separando:

p : ....................…………………………................................. =

q:....................…………………………...................................=

Luegosetiene……..entoncesV(pÚq)=

1. Sedanlossiguientesvaloresdeverdad:

2. Dadas las siguientes proposiciones:

3. Determinaelvalordeverdadde:

La tabla de verdad de la disyunción

Hallaelvalordeverdadde:

V(rÚu)= V(pÚq)= V(rÚ t) = V(tÚu)=V(rÚs)= V(qÚ t) = V(qÚt)=V(pÚr)= V(pÚ u) = V(qÚs)=V(pÚs)= V(pÚ t) =

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

FFF

V V F V V F V V F

V F V V V F

F V V

TacnaestáalnortedeLima V(p)

TacnaestáalnortedeArequipa V(q)

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Aritm

éticaDemuestra tu habilidad1. Determinaelvalordeverdadde: p Ú q:5×9=14o9+5=14 r Ú s:8esmúltiplode4ode7 t Ú u:10esimparoesmúltiplode32. Sedanlosvaloresde:V(p) = V, V(q) = F,

V(r)=V.Hallaelvalordeverdadde: p Ù (qÚ r) p Ù (qÙ r)

p Ú q:Cuatroesunnúmeroprimooesdivisibleporcuatro.Separando:

p: ........................................................................................... V(p) = .......

q: ........................................................................................... V(q) = .......

Comoseve,setieneF V, luego V(pÚ q) = .......

p Ù (qÚ r)

F V F

F .....

......

(pÙ q)Ú r

..... .....

..... F

......

qÚ (pÙ r)

..... .....

..... .....

......

r Ú s: ChimboteestáalsurdeLimaoalnortedePiura.Separando:

r: ........................................................................................... V(r) = .......

s: ........................................................................................... V(s) = .......

Luegosetiene .........., entonces V(rÚ s) = .......

SÍ NO

4. Determinaelvalordeverdadde:

5. Determinaelvalordeverdadde:

6. Hallaelvalordeverdaddelasproposicionesp,q,r;siV(p) = F, V(q) = V, V(r) = F

7. "Elcuadradotiene3ladoso15esdivisorde30".¿Esunaproposicióndisyuntivaverdadera?Marca con x.

3. Dadas las siguientes proposiciones: p:Lascebrassonmamíferos. q:Lasplantasvuelan. r : El agua es cristalina. s:Elconjuntovacíotieneunelemento. Hallaelvalordeverdadde:

p Ú qpÚ rqÚ s s Ú r

Cuatro es un número primo.

Cuatro es un número divisible por cuatro.

Chimbote está al sur de Lima.

Chimbote está al norte de Piura.

F

V

V

F F F

F

F

V

F

F F F

FV

V

V

F

F

X

R: V

R: V R: V R: V R: V

R: VR: F

R: F R: F

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•“Loshombresdecienciasonfísicos”.

Todos los hombres de ciencia son físicos…………………….............()

Algunos de los hombres de ciencia son físicos……………............... ()

Ninguno de los hombres de ciencia es físico……………................. ()

p:Todoslosanimalesvuelan V(p) = ........

q:Algunosnúmerosnaturalessonpares V(q) = ........

r:Ningunodelosanimalescomecarne V(r) = ........

p:Todoslosadultossonfelices……………………………….......... V(p) = ........

q : Algunos árboles son frutales………………………………........... V(q) = ........

r:Algunoscuadradosnotienen4lados………………........…..... V(r) = ........

s:Ningúnnúmeronaturalesmenorquecero………………........ V (s) = ........

t:Todoslosplanetastienensusatélite…………………….....….... V(t ) = ........

u:Ningúnanimalescarnívoro…………………………..........…..... V(u) = ........

w : Algunas mujeres son médicos………………………….....…...... V(w) = ........

……………................………….....…....

…………..............………..…….....…....

……………………….....................…....

varones mujeres gato

•“Losmédicossoncardiólogos”.

Todos los médicos son cardiólogos…………………………...............()

Algunos médicos son cardiólogos…………………………................. ()

Ningún médico es cardiólogo………………………………........….... ()

1. Cuantificacadaproposiciónescribiendosuvalordeverdad.

2. Determinaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:

4. Cuantificalapalabra“futbolista”conlossiguientesdatos:

3. Determinaelvalordeverdaddelassiguientesproposicionescuantificadas:

Todos mis compañeros son estudiosos.

1.3 Cuantificadores

F

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

V

Todoslosvaronessonfutbolistas.

Algunas mujeres son futbolistas.

Ningún gato es futbolista.

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Aritm

éticaDemuestra tu habilidad1. Cuantifica las siguientes proposiciones, yluegohallasuvalordeverdad.

•Lospolicíassoningenieros. •Losequiposdefútboltienen11jugadores. •Losestudiantessonmujeres. •Laavestruzvuela. •Loshombressoncarpinteros.

2. Determina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones.

•Algunospingüinosvuelan. •Todosloselefantessonblancos. •Ningúngatoescarnívoro. •Todoslosautossonrojos. •Algunasavessondomésticas.

p:Todoslospecesnadan. V(p) = ..........

q: Algunos números naturales son impares. V(q) = ..........

r: Ningún animal come hierba. V(r) = ..........

.....................................................

.....................................................

.....................................................

hombres son médicos.

los elefantes tienen trompa.

deportista mide 3 m de alto.

carros son grandes.

profesormide5mdealto.

mujeres son atletas.

los peces nadan.

enfermeras son malas.

"Losanimalessoninvertebrados".

Todoslosanimalessoninvertebrados. ()

Algunosanimalessoninvertebrados. ()

Ningunodelosanimalesesinvertebrado. ()

Hombres

jugadores de fútbol

Niñas Muj eres

A "todos" los niños les gusta la matemática.

¿Qué dices?

5. Escribeenlosrecuadroslapalabra"todos","algunos"o"ninguno"paraquelasexpresionesdadasseanproposicionescuantificadasverdaderas.

6. Cuantificalasiguienteproposiciónydeterminasuvalordeverdad.

7. Determinaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:

8. Según la figura, formula proposiciones empleando los cuantificadores.

Algunos

Todos

Ningún

Algunos

Todos los hombres juegan fútbol.

Algunas mujeres juegan fútbol.

Ninguna niña juega fútbol.

Ningún

Algunas

Todos

Algunas

F

V

F

V

V

F

R: F

R: F

R: F

R: F

R: V

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E={0;1;2;3;4;5}y

F={0;2;4}

...................

Diagrama

Diagrama

A = ................................yB=................................

A ............B

Dados: A es el conjunto de letras de la palabra María.

B={letrasdelapalabrarima}

Determina por extensión, construye el diagrama y esta-blece la relación correspondiente.

a ∈M ()

c ∉M ()

d ∈N ()

e ∉N ()

f ∈N ()

f ∉P ()

P⊂N ()

M ⊄N ()

N =P ()

P∉N ()

......... = {x ∈N/7≤x≤9}

......... = {x ∈N/xesimparentre5y9}

......... = {x ∈N/xesparentre4y12}

......... = {x ∈N/5≤x<10}

¡Recuerda!Los conjuntos pueden ser de-terminados por comprensión.

•g•b

•h•f

•c

•d•e

•a

P

MN

•1

•r

•5•3

•2

•m

•4

•a

•0

•i

E

A

F

B

¡Recuerda! ⊂ se lee "es subconjunto", y

⊄ se lee "no es subconjunto".

1. Dados los conjuntos E y F, establece la relación de inclusión y construye el diagrama respectivo.

2. ObservaeldiagramayescribedentrodecadaparéntesisVsilarelaciónesverdaderayF si es falsa:

3. SiA={5;6;7;8;9},B={7;8;9},C={7}yD={6;8;10},escribelasletrasquelesco-rresponde a estos conjuntos determinados por comprensión:

1.4 Inclusión e igualdad

F ⊂ E

=

{m ; a ; r ; i} {r ; i ; m ; a}

V

F

V

F

V

B

C

D

A

F

V

V

F

F

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

17

Aritm

ética

Demuestra tu habilidad1. Dados los conjuntos: M={2;4;6} P={dígitosparesde2746} Q={0;2;4;6;8;10;12} R={0;10}, escribe los símbolos ⊂, ⊄ o = entre:

M .......P R....... M R .......P

M .......Q P....... R R ....... Q2. Dados los conjuntos: E={vocalesdelapalabraJosé} F={vocalesdelapalabraPedro} G={j;o;s;e;l;i;t} H={a,m}

EscribeV,silarelaciónescorrecta;oF,sies falsa:

E=F () E⊄G () i⊄G ()

F ⊂G () m⊂H () e∈E ()

G⊄H () o∈E () j∉H ()3. Escribe todas las relaciones de inclusión queobservaseneldiagrama:

M={a;b;c;d;e}

N = .............................................

Q = .............................................

3 + 2x = 9

..................., ..................., ..................., ...................

•g

•g

•b

•b

•f

•f•h

•d

•d

•c

•c

•e

•e

•a

•a

M N

Q

CB

B......... A

e ......... C

a ......... D

B......... C

C......... D

b .........C

D ......... A

d .........B

A D

ED

B C

A

¡Recuerda!Esta es una ecuación

de primer grado.

4. En el diagrama mostrado, determina por extensión cada conjunto y establece las relacio-nesdeinclusiónynoinclusión(subconjuntos).

5. En el diagrama mostrado, escribe los simbolos: ⊂, ⊄, ∈, ∉, según corresponda.

6. Calculaelvalorde"x",silosconjuntosA={3+2x;4}yB={4;9}soniguales.

{c ; e ; f ; g}

2x = 6

x = 3

{b}

V

V

V

F

F

V

V

V

V

M ⊄ N

⊂

∉

∈

⊄

⊄

∈

⊂

∉

N ⊄ M

⊄

⊄

⊄

Q ⊂ M

⊂⊂

=

M ⊄ Q

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

18

Ari

tmét

ica

R: .....................................

R: ................................................................

R: .............................................................

1. Todoslosalumnosdeunaulasonevaluados.15hanaprobadosoloMatemática,19hanapro-badoMatemáticayComunicacióny20soloComunicación.¿Cuántosalumnoshayenelaula?

Solución:

2. De28profesores,15enseñansoloentercergradoy7soloencuartogrado.¿Cuántosprofesoresenseñanenlosdosgradosalavez?

Solución:

3. De42alumnosdequintogrado,30aprobaronComunicacióny12aprobaronMatemáticayComunicación.¿CuántosalumnosaprobaronMatemática?

Solución

Operaciones con conjuntos1.5

Usando el diagrama:

En el diagrama:

Se tiene el diagrama

Luego, se suma: 12 + 12 = 24

Hay 54 alumnos.

En los dos grados enseñan 6 profesores.

Aprobaron matemática 24 alumnos.

Luego: 15 + 19 + 20 = 54

Como son 28 profesores, se tiene:15 + x + 7 = 28 x = 28 – 22 = 6

15

15

1830 – 12 42 – 30

M

T

C

L

C

M

19

x

12

20

7

12

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

19

Aritm

ética

Demuestra tu habilidad1. Observaeldiagramadelosestudiantesquejueganvóleyybásquet.Completaescribien-do la primera letra de cada nombre.

Juegan vóley: .............. Jueganbásquetperonovóley: .............. Jueganvóleyperonobásquet: .............. Juegan los dos deportes: ..................

4. Dadoel diagramaadjunto, escribe encada paréntesis V si la operación es correcta o F si es falsa.

D UE={} ()

E UF={4;5} ()

D U E UF={1;2;3} ()

D U(E∩F)={1;2;3;5} ()

•Ana•Dora•Eva •Rita

•Luis•Carlos

•1D •3

•4

EF•5

•2V B

•a •b

•c •h •f•g

•i

•d •e

•5•3•4•2

•1 •6•7

A = ......................................................

B= ......................................................

C= ......................................................

D = ......................................................

A ∩B= .................................................BUC= ................................................A ∩B∩C= ..........................................

A ∩B={1;2;3;4} ()

A ∩C∩B={} ()

CUB={5;6;7} ()

A ∩B

AB

M P AB

C

M UP A ∩B∩C

A

A

C

B

B

D

C

4. En el diagrama mostrado, determina sus elementos por extensión y efectúa:

5. Respectoaldiagramamostrado,escribedentrodecadaparéntesisV, si la operación es correcta, o F si la operación es falsa:

6. Enlossiguientesdiagramas,pintalaoperación:

2. Halla cuántos elementos tiene A ∩B,si: A = {x ∈N/4<x≤8}y B={x∈N/x≤5}

3. CreadosconjuntosAyBdetalmaneraqueAUB=B.Graficaycolorealaintersección.

5. Dadoslosconjuntos: A = {x ∈N/2≤x<7} B={x∈N/x+2<6}yC={1;2}, efectúayconstruyeeldiagramarespectivo

de: A ∩B,A∩B∩C,BUC,AUBUC.

{d ; e ; a ; r}

{l ; c}

{d ; e}{a ; r}

R: 1

V

V

F

V

{a ; b ; c ; d ; g ; h}

{d ; e ; f ; g}

{f ; g ; h ; i}

{a ; b}

{d ; g}

{d ; e ; f ; g ; h ; i}

{g}

F

V

F

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

20

Ari

tmét

ica

A –B..............................Diagrama:

A ∩B∩C........................Diagrama:

AC

AC = U – A = .........................................

= ...........................

Diagrama:

(A∩B)C

(A∩B)C= U –(A∩B) = .........................

= .........................

Diagrama:

(AUB)C

(AUB)C = U –(AUB) = .........................

= .........................

Diagrama:

A –C..............................Diagrama:

C– A ..............................Diagrama:

C–B..............................Diagrama:

(A∩B)–C......................Diagrama:

•e

•e •e

A A

A A B

AB

B C C

B

U U U

•f •f•f

•a

•a •a•c •c•c •d •d•d

•b •b •b•g

•g •g

•1•2

•1•4

•4•6 •6

•3 •3 •3•5 •5 •5•7

•7 •7•8 •8•2 •2

2. Dados los conjuntos: U={a,b,c,d,e,f,g},A={c,d,f,g}yB={a,c,e,g},efectúayconstruyelosdiagramasrespectivos.

1. Dadoslosconjuntos:A={1;2;3;4;5;6;7},B={2;3;5;7},yC={3;5;7;8},efectúayconstruyelosdiagramasrespectivos.

Diferencia y complemento de un conjunto

{1; 4; 6}

{3; 5; 7}

{a ; b ; c ; d ; e ; f ; g} – {c ; d ; f ; g}{a ; b ; e}

U – {c ; g}{a ; b ; d ; e ; f }

U – {a ; c ; d ; e ; f ; g}{b}

{8}

•8

A AAB BC CC

•8

{2}

{1; 2; 4; 6} {8}

•3•3•5•5•2 •2•2

•1 •1•1

•4 •4•4

•6 •6•6

•7•7

•8•3

•5•7 .... d

E D 1 To R Es S . A.C.

21

Aritm

ética

3. Dadoslosconjuntos:P={x∈ N/x≤5},Q={x∈N/3≤x≤5}yR={x∈N/4<x≤9},efec-túayconstruyelosdiagramasrespectivos.

Demuestra tu habilidad

1. Dado el diagrama mostrado, escribe den-tro de cada paréntesis V si la operación es correcta o F si es falsa.

P–Q={1;3;8} () Q–R={4;5;6;9} () R–P={7;9} () Q–P ={4;5;9} ()

3. Dados los conjuntos: U = {x ∈N/0<x<8},A={3;5;6;7}y B= {1; 2; 5; 7}, halla AC; (AU B)C y (A∩B)C.Construyelosdiagramasrespec-tivos.•3P

Q

R

•1 •4 •6•9

•7•8 •5

P– Q = ..................

AC = ........................

R – Q = .................. P– R = ..................

(AUB)C = ..................... (A∩B)C = ...........................

Q –P=..................

4. Dados los conjuntos: U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10},A={1;3;5;7},yB={2;3;4;6;7},efectúayconstruyelosdiagramasrespectivos.

2. Inventa dos conjuntos P yQpara que P–Q=P

5. Dadoslosconjuntos: A={5;6;7},B={7;8},C={5;6}y D= { 4 }, efectúa y construye los dia-gramasrespectivos:B–A;D–A;C–B; C–D;B–C;A–C.

4. Dados:N={6;7;8;9;10},M∩N={10}yM–N={11;12},hallaMyconstruyeeldiagramarespectivo.

Ø{0; 1; 2} {6; 7; 8; 9}

{2; 4; 6; 8; 9; 10} {1; 2; 4; 5; 6; 8; 9; 10}{8; 9; 10}

{0; 1; 2; 3; 4}

VFVF

•6 •6 •6

•2

•2 •2•4•4 •4

•1 •1 •1•3 •3 •3

•10

•10 •10

•5 •5 •5•7 •7 •7

•8

•8 •8

•9•9 •9

•2 •2 •2

•3 •3 •3•4 •4 •4•5 •5 •5

•6 •6 •6•7 •7 •7•8 •8 •8•9 •9 •9

•1 •1 •1

•0 •0 •0

U U U

A B BA A

P P PQ Q Q

R R R

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

22

Ari

tmét

ica

R: ................................................

R: ...............................................

R: ................................................

1. Deungrupode85personas,40estudian,50trabajany10estudianytrabajan.¿Cuántosno estudian ni trabajan?

Solución:

2. Enungrupodeniños,70comennaranjas,80comenmanzanasy50comennaranjasymanzanas.¿Cuántossonlosniñosqueformanelgrupo?

Solución:

3. De 40niñosqueasistenaunafiesta;18recibensolamenteglobosy15recibensolamentesorpresas.Sitodoslosniñosrecibenregalos,¿cuántosrecibenglobosysorpresas?

Solución:

1.6 Problemas empleando conjuntos

Tenemos el diagrama de Venn

Tenemos el diagrama

No trabajan ni estudian 5.

El grupo lo forman 100 niños.

Reciben ambas cosas 7 niños.

Tenemos el diagrama de Venn:

Como el total de personas es 85,restamos 85 – (30 + 10 + 40) = 5

Siendo x los niños que reciben ambas cosas,se tiene: 18 + x + 15 = 40 x = 40 – 33 x = 7

Como 50 comen ambas frutas,entonces:Comen solo naranjas 70 – 50 = 20Comen solo manzanas 80 – 50 = 30Total de niños: 50 + 20 + 30 = 100

30

18

E

G

N

T

S

M

10

x

50

40

15

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

23

Aritm

ética

Demuestra tu habilidad1. De50personas,40consumenlabebidaA y30 labebidaB. Si 26consumen lasdos bebidas, ¿cuántas consumen solo la bebidaB?

4. Enunsalóndeclases,losalumnospracticanatletismo o natación. Doce practican ambosdeportes, 26practicanatletismo y30practicannatación. ¿Cuántosalumnoshay en el salón de clase?

5. Enungrupode50personas,25consumencarne de pollo y 18 consumen carne de pollo y res. ¿Cuántaspersonasconsumenun solo tipo de carne?

6. De ungrupode 48 niños, a 28 les gustahelados,10prefierenheladosygelatinay30prefierengelatina.¿Cuántosniñosprefierensolo gelatina?

R: ........................................................................

R: ........................................................................

4. Deungrupode100personas,60consumenfrutas,50consumenverdurasy20consumenlosdosproductos.¿Cuántaspersonasnoconsumenningunodelosdosproductos?

Solución:

5. De40estudiantesvarones,19gustandelfútboly24delbásquet.Sia3deellosnolesgustaninguno de los dos deportes, ¿a cuántas personas solo les gusta el fútbol?

Solución:

2. De18profesores,12enseñanenquintogrado y 11 en sexto grado. ¿Cuántosenseñanenlosdosgrados?

3. Deungrupode52personas,28usanelproductoA,25elproductoBy7ningunodelosdosproductos.¿Cuántosusanlosdos productos?

Se tiene el diagrama

Por el diagrama de Venn

Sumando: 40 + 20 + 30 = 90

Luego: 100 – 90 = 10

19 – x + x + 24 – x = 37 43 – x = 37 43 – 37 = x 6 = x

No consumen estos productos 10 personas.

Les gusta el fútbol a 13 personas.

40

19 – x 24 – x

F

F

V

B

20

x

30

10

3

R: 4

R: 5

R: 8

R: 44

R: 32

R: 20

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Ejercicios dereforzamiento Aprendiendo más

24

1. Observaeldiagramayseñalaloselemen-tosdelconjuntoP.

a){a;b;c;d} b){a;c;f} c){a;b;h;g} d){a;c;d;e;f;g;h} e){d;e;f;g;h}

2. Dado el conjunto: A = {m;n;p;q;r}. ¿quéexpresiónesverdadera? a) {m;n}∈ A b) {n;r}⊄ A c) q∉ A d) {n;p;r}⊂ A e) {m;q;h}⊂ A

3. Dadas las proposiciones: I. Lasestacionesdelañosonseis.

II.Todaslasavesnadan.

III.El10dividea4yesdivisiblepor2.

IV.Losdíasdelasemanason7.

¿Cuáldeellasesverdadera? a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Solo IV

4. ¿Cuáldelassiguientesexpresionesesunaproposición?

I. ¿Quién subió al carro?

II. Lasestrellasformaneluniverso.

III.¡Quetevayabien!

IV. En todo triángulo la suma de sus ángulosinternoses180º.

a) I b) I y II c) II y IV d) II e) III5. Dadoelconjunto A={2;{5};6;{1;2};7}, señalalaafirmaciónfalsa. a){5}∈ A b)6⊂ A c){6}⊂ A d) 2 ∈ A e){2}⊂ A

6. Observaeldiagrama. Laafirmaciónverdaderaes: a) Q ∩ P={1;2;3} b) Q ∩ P={4;5} c) Q – P={4;5} d) Q ∩ P={1;3} e) Q U P=Q7. Elconjunto: P={x∈N/x≤7}, está determinado por: a) Extensión b) Comprensión c) a y b d) Puedeseraob e) N. A.

8. Determina por comprensión el conjunto: M={4;5;6;7;8;9}.

a) M = {x ∈N/4<x<9} b) M = {x ∈N/3<x<9} c) M = {x ∈N/3<x≤9} d) M = {x ∈N/4≤x<9} e) M = {x ∈N/4≤x≤9}

9. Sean los conjuntos:

A={0;2;3;4;5;7;9;10;11;12}

B={1;2;3;4;6;7;8;9;10;11} Halla:A–B. a) {0;5;12} b) {1;7;9} c) {0;6;12} d) {2;3;4;7;12} e) {0;2;5;10;12}

10.Dadoelconjunto:

Q = {x ∈N/3≤x<9}, la suma del elemento mayor con el

elemento menor es:

a)12 b)10 c)9 d)11 e)N.A.

11. De las proposiciones:

p:{1;3;5;7}

•2

•5

•4 •1•3

Q

P

Marca con x la respuesta correcta de cada ejercicio.

•a •c•f

•d •h

•e•g

P

Q

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Ejercicios dereforzamiento Aprendiendo más

25

q:27+72:9=11 r: El rectángulo es un pentágono. s:PabloNerudanoeschileno. Sepuedeafirmarque: a) p no es proposición b) qesverdadera c) resverdadera d) sesverdadera e) N. A.

12. Formaliza o simboliza la proposición: •Timoteoestácontento,aunqueMaría

canta o baila. a) p Ù qÙ r b) p Ú qÚ r c) p Ù qÚ r d) qÚ r e) p Ù (qÚ r)

13. De las siguientes proposiciones:

I. MarioVargasLlosaesperuano.

II.5esunnúmeroprimo.

III.LaLunaesunaestrella.

IV.42 + 32=52

¿Cuáldeellasesfalsa?

a) I b) II c) III d) IV e) N.A.

14.Observaeldiagramayhalla(A∩ B)C

a){e;f;g;h;i;j}

b){a;j;b;h;i;k} c){a;b;c;d;e;f;g;h} d){a;b;d;e;f;h;i;j;k} e){a;d;f;h;i;k}

15.Seanlosconjuntos:A={0;6;8}, B={1;2;3;4},C={2;4;6;8}.

Halla(A–B)∩ (C–B)

a){0;6;8} b){2;4} c){6;8} d){1;3;6} e){2;4;6;8}16.Seanlosconjuntos:

M={a–5;3a–7}

N={b–7;4b–13}. Si ambos conjuntos son unitarios, calcula

el producto de a por b. a)5 b)9 c)6 d)9 e)2

17.De un conjuntode 40personasqueasistenaunalmuerzo,20comenlomosaltadoy25comentacutacu.¿Cuán-tas personas comen ambos platos?

a)9 b)5 c)4 d)3 e)50

18. Dado el diagrama:

Halla elnúmerodeelementosdeC∩(AU B) a)3 b)5 c)2 d)4 e)6

19.Sesabequelosconjuntos:

A={18;3a–6},B={27;6b–6} soniguales.Calcula2a–b.

a)12 b)17 c)24 d)22 e)18

20.Dadoelconjunto:

Q = {x ∈N/2<x≤12}, la suma de los elementos impares de

Q es:

a)25 b)35 c)45 d)33 e)55

•j

•a •b

•e •f

•c•g•d

•h

•g

•h

•a

•b•c•d•e •f

•i•k

C

A

B

A

C

B

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

26

Escribeseisveceslacifrauno(1)ytresveceselsignodeadición(+)enunafila,demodotalqueobtengascomosumauntotalde24.

¿Cómopuedendosexpertostenerundesacuerdotanabsolutoacercadeunaoperaciónsimple?

Miraban de distintos costados.

Hablaban de una misma operación.

Dos profesores de matemática se miraban disgustados mientras examinaban la misma operaciónelementalresueltaporunniñode9años.

•"Estaoperaciónescorrecta",decíaunodeellos. •"¡No!Estáerradaporcompleto",replicabaelotro.

¿Se podrá obtener 24?

¿Será sencilla la operación?

Está mal .

Está bien.

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Evaluación

27

Marca con x la respuesta correcta de cada ejercicio.

1. Sean las proposiciones: p:Todoslosnúmerossonimpares.

q:Algunosanimalessonmamíferos.

r : Ninguna persona mide 3 metros.

Determinarelvalordeverdad,de: I. p Ù q II. qÙ r II. p Ú r IV. p Ú q ¿Cuántasproposicionessonfalsas?

a)2 b)1 c)3 d)4 e)N.A.

2. Si tenemos: p: El oro es un metal precioso. q:Eloroesmuycostoso. r : El oro es muy maleable. Determinarelvalordeverdadde p Ù (qÚ r)

a)F b)V c)p d)q e)r3. Si: V(p)=V;V(q)=F;V(r)=V,calculaelvalor

deverdaddelaproposición: (pÚ q)Ù (pÙ r)

a) FV b) F c) FF d) V e) V V

4. Sielconjunto:A={a+1;8}esunitario,elvalorde"a2" es:

a)49 b)94 c)64 d)46 e)N.A.

5. Dadoeldiagrama:

Halla:(AU B)–B. a){a;b;c} b){a;f;g} c){a;b} d){a} e){a;b;c;d;e}

6. Seanlosconjuntos: Q={1;2;3;5;6;8;11} R={4;5;6;7;8;10} Halla: Q ∩ R. a){5;6} b){2;3;5;6;8} c){7;8} d){5;6;8} e){4;5;6;8}7. En el siguientediagrama se observa

quécantidaddedeportistaspracticanfútbol(F),básquetbol(B)ovóley(V).Sientotalson50deportistas,

hallacuántospracticanvoleyperonofútbol.

a) 8 b) 13 c) 9 d) 12 e) 198. Observaeldiagrama:

El número de elementos de [A U BU D]Ces: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

9. Silosconjuntos:P={11–a;15}y Q={14–2a;15}soniguales,elvalorde a es:

a)5 b)7 c)9 d)2 e)3

10.Quincecamiones transportanarroz oazúcar para las tiendas comerciales. Si 6 camiones transportan solo arroz,7transportanarrozyazúcar,¿cuántoscamiones transportan solo azúcar?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)N.A.

8

•3•4

912

•6 •9

7

•1

•a

•b •c •d •e

•f •g

2

•2

4

•7

3

•8

5

•5

F

A

B

D

C

U=50

U

V

B

A

B

.... d E D 1 To R Es S . A.C.