libro crecimiento economico

7/30/2019 Libro Crecimiento Economico

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Cesar H. Antunez Irgoin| Crecimiento Econmico. Ejercicios de Crecimiento Econmico

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CrecimientoEconmico

ECONOMACCRREECCIIMMIIEENNTTOOEECCOONNMMIICCOO

Cesar Humberto Antunez Irgoin

Versin Corregida


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CrecimientoEconmico

CCRREECCIIMMIIEENNTTOOEECCOONNMMIICCOO

Ejercicios de Crecimiento Econmico

Versin Corregida

Mayo del 2011

CCeessaarrHHuummbbeerrttooAAnnttuunneezz IIrrggooiinn

(Lima Per)


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Cualquier tonto inteligente puede hacer las cosas msgrandes y ms complejasSe necesita ser un genio y

mucho coraje para moverse en la direccin contara.(Albert Einstein)

CARMEN


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CONTENIDO

Prlogo..9Agradecimiento..10

I. INTRODUCCIN...12

1.1 In tr oduc ci n al c rec im ien to .141.2 Qu causa el crecimiento econmico?.........................................................151.3 Teoras del crecimiento econmico161.4 Teora del ciclo econmico..161.5 Teora del desarrollo econmico.16

I I. CRECIMIENTO SIN PROGRESO TECNOLOGICO Y TASA DE AHORROENDOGENA...18

2.1 Modelo de Harrod 202.1.1 Supuestos del modelo..202.1.2 La regla del 72...212.1.3 Funcin de inversin.222.1.4 Trayectoria de crecimiento del producto..242.1.5 Tasa de crecimiento natural252.1.6 Acerca del crecimiento proporcionado..262.1.7 Acerca de la inestabilidad262.1.8 Polticas de crecimiento ejercicios resueltos27

2.2 Modelo de Domar ....28

2.2.1 Supuestos del modelo..282.2.2 Ecuacin fundamental..302.2.3 Trayectoria de la inversin...302.2.4 Polticas de crecimiento ejercicios resueltos31

2.3 Modelo bs ic o de So low...312.3.1 Supuestos del modelo..322.3.2 Ecuacin Fundamental de Solow...352.3.3 Crecimiento proporcionado..372.3.4 Sobre la estabilidad..372.3.5 Beneficios, salaros y distribucin del ingreso.....382.3.6 Distribucin del ingreso.......41

2.4 Mo delo d e Solo w Sw an ..412.4.1 Supuestos del modelo..412.4.2 Ecuacin fundamental de Solow Swan..432.4.3 Estado de crecimiento proporcionado...432.4.4 Acerca de la Estabilidad...452.4.5 Dinmica de transmisin sobre la convergencia..472.4.6 La regla de la Oro de la acumulacin....492.4.7 Polticas de crecimiento ejercicios resueltos52

2.5 Model o de Cr ec im ien to de Uzawa.........592.5.1 Supuestos del modelo.592.5.2 Sector de bien de consumo....602.5.3 Sector de bienes de capital.....602.5.4 Ecuacin fundamental de Uzawa...61


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2.5.5 Estado de crecimiento proporcionado...62

2.6 Model o de Kal do r (En foque de Cambri dge)..642.6.1 Supuesto del modelo.652.6.2 Ecuacin de beneficios.662.6.3 Crecimiento Econmico672.6.4 Caso lmite..682.6.5 Tres leyes de crecimiento de kaldor...68

2.7 Modelo de Pasinett i 702.7.1 Supuestos del modelo..712.7.2 Funcin de ahorro de Pasinetti...722.7.3 Supuesto en el largo plazo..74

2.8 Modelo de Kaleck i ...752.8.1 Supuestos del modelo..762.8.2 Anlisis de corto plazo..77

2.8.3 Anlisis de largo plazo..802.8.4 Crecimiento econmico de largo plazo..81

I II . CRECIMIENTO CON PROGRESO TECNOLOGICO Y TASA DE AHORROEXOGENA...............................................................84

3.1 Definicio nes de tcn ica, tecno loga, camb io tcni co y p rog resotecnolgico...86

3.1.1 Schumpeter y los componentes de progreso tecnolgico..863.1.2 Progreso tecnolgico exgeno y desincorporado873.1.3 Clasificacin del progreso tecnolgico..883.1.4 Clasificacin general del progreso tecnolgico....89

3.2 So low con p rog reso t ecnolg ico exgeno ydesincorporado........90

3.3 Model o de Sol ow Swan con p rog reso tecnolg icoexgeno...92

3.3.1 Supuestos del modelo....933.3.2 Ecuacin fundamental de Solow Swan con progreso tecnolgico

exgeno y desincorporado.933.3.3 Estado de crecimiento proporcionado..943.3.4 Poltica de crecimiento ejercicios resueltos....97

IV. CRECIMIENTO CON PROGRESO TECNOLOGICO Y TASA DE AHORROENDOGENA.108

4.1 Model o de Hi ck s ...1104.1.1 Planteamiento.1104.1.2 Proposicin / Aplicacin....110

4.2 Modelo de aprend izaje de Arrow.1114.2.1 Planteamiento.1124.2.2 Hiptesis..112

4.3 La funcin de progreso tcnico...1134.3.1 Planteamiento.1134.3.2 Caractersticas....114


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V. MODELOS NEOCLASICO DE CRECIMIENTO PTIMO...116

5.1 Model o de Ramsey-Cass-Koopmans....1185.1.1 Supuestos del modelo...1185.1.2 Ecuacin de Movimiento...120

5.1.3 El problema de la convergencia...1215.1.4 Planteamiento del problema.1225.1.5 Sistema de ecuaciones diferenciales (Diagrama de fases).1255.1.6 Anlisis cualitativo......1275.1.7 Estado de crecimiento proporcionado.1285.1.8 Dinmica..130

5.2 Modelo Neoclsico de Ramsey con progreso tecnolgico..1315.2.1 Sistema de ecuaciones diferenciales.1345.2.2 Estado de crecimiento proporcionado136

VI. ENFOQUES RECIENTES DE CRECIMIENTO ENDOGENO.....138

6.1 Modelos AZ ....1406.1.1 Supuestos del modelo...1406.1.2 Ecuacin fundamental...1426.1.3 Dinmica de transmisin...1436.1.4 Caractersticas del modelo...1446.1.5 Modelo AZ con la funcin de produccin Cobb-Douglas.145

6.2 Modelo de crec imiento con sector capi tal Fsico y Humano...1486.2.1 Supuestos del modelo...1486.2.2 La ecuacin fundamental..1486.2.3 Transformacin de la funcin Cobb-Douglas.151

6.2.4 Ejercicios resueltos....153

6.3 Modelo de Romer con ex terna lidad de cap ital.1576.3.1 Supuestos del modelo...1576.3.2 Ecuacin fundamental...1596.3.3 Tipologa..159

6.4 Modelo d e L uc as ..1636.4.1 Supuestos del modelo...1636.4.2 Ecuacin fundamental...1646.4.3 Anlisis....164

6.5 Modelo de c rec im ien to con gob ie rno.1696.5.1 Supuestos del modelo...1696.5.2 Ecuacin fundamental...1716.5.3 Anlisis.1736.5.4 Problemas resueltos..174

6.6 Modelo de crec imiento con gas to pbl ico1786.6.1 Supuestos del modelo...1786.6.2 Planteamiento del problema.1806.6.3 Tipologa..182

6.7 Modelo de crec imiento Neoclsico con capi tal Humano..1846.7.1 Supuestos del modelo...1846.7.2 Ecuacin dinmica del sector de produccin del bien final.....187


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6.7.3 Ecuacin dinmica del sector del sector educacin.188

6.8 Modelo de crec imiento con educac in (Jones)...1916.8.1 Supuestos del modelo...1916.8.2 Ecuacin dinmica fundamental..193

6.9 Modelo de crec imiento con educac in (Uzawa)..1966.9.1 Supuestos del modelo...1976.9.2 Sector de produccin del bien final.1976.9.3 Sector educacin...198

6.10 Modelo de acumulac in de c apita l Humano (Lucas).....2006.10.1 Supuestos del modelo...2016.10.2 Funcin de produccin del bien final...2016.10.3 Sector Educacin...2026.10.4 Planteamiento del problema.204

6.11 Modelo de Aprendizaje y Derrame de Conocimiento...................2106.11.1 Supuestos del modelo...2106.11.2 Ecuacin dinmica fundamental..2136.11.3 Planteamiento del problema.214

6.12 Modelo de Jones - Manue ll i...2196.12.1 Supuestos del modelo...2196.12.2 Ecuacin dinmica fundamental..221

6.13 Contabil idad d e crec imiento o fuentes de crec imiento.2246.13.1 Supuestos del modelo...2246.13.2 Contabilidad de crecimiento con una funcin Cobb-Douglas.....226

6.13.3 Ejercicios resueltos229

VII. CRECIMIENTO ECONOMICO EN LA PERIFERIA..231

7.1 Modelo de Lewis.2337.1.1 Supuesto del modelo.2337.1.2 Mercado de trabajo y distribucin del ingreso...2347.1.3 Acumulacin de capital.....2367.1.4 Concepcin de desarrollo.2377.1.5 Crtica del modelo..238

7.2 Modelo d e Solow c on economa abierta..239

7.2.1 Supuesto del modelo.2397.2.2 Estado de crecimiento proporcionado....240

7.3 Modelo de crec imiento con factor t ierra..2427.3.1 Supuestos del modelo...2427.3.2 Determinacin de la tasa de crecimiento...2457.3.3 Tipologa..246

APENDICE DE REVISIONES MATEMATICAS..248

A .1 Deriv ad as 250A.1.1 Reglas de derivacin..251A.1.2 Tasas de crecimiento..........................253A.1.3 Tasas de crecimiento logaritmo natural..253


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A.2 Optimizacin dinmica: Teora de con trol ptimo......................................254

A.3 Caso de ml t ip les variab les..255

BIOGRAFIAS.258

B .1 A rr ow Ken neth .260

B .2 Domar David .261

B .3 Harr od Ro y ....262

B .4 Hick s Jo hn ...................264

B .5 Kald or Ni chol as .................................265

B .6 Kalec ki Mic hal ....................267

B .7 Kuzn ets S imon .269

B .8 L ew is A rth ur ....................................................................................................270

B .9 Ph elp s Edmun...272

B.10 Ramsey Frank.................................................................................................274

B.11 Rebelo Srg io....276

B.12 Rober t Lucas....278

B.13 Romer Pau l.279

B.14 Schumpeter Joseph.281

B.15 Solow Rober t...................................................................................................282

B.16 Swan Trevor...283

B.17 Uzawa Hirofumi.....284

BIBL IOGRAFAS..288


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PRLOGO

recimiento Econmico en son apuntes de estudio, que ha sido desarrollado comomaterial de consulta para el mejor entendimiento del lector, de manera rpida y

concisa de los modelos de crecimiento. Este material tiene como finalidad introducir al lector

en las tcnicas de optimizacin dinmica aplicadas al anlisis econmico, y un

razonamiento econmico de los modelos de crecimiento. Se exponen modelos que buscan

explicar los determinantes del crecimiento econmico, as como las diferencias de largo

plazo en los niveles de ingreso por habitante entre pases con nfasis a economas

emergentes.

En este texto expondremos las principales teoras, que han sido divididas por captulos para

su fcil entendimiento.

El captulo I: Trataremos de introducir al lector de forma rpida y sencilla sobre las causasdel crecimiento y las teoras del crecimiento.

Captulo II: Hablaremos del modelo del modelo de Harrod, de Domar, el modelo bsico deSolow, el modelo de Solow Swan, el modelo de Crecimiento de Uzawa, el modelo deKaldor, el modelo de Pasinetti y el modelo de Kalecki.

Captulo III: Hablaremos del crecimiento con progreso tecnolgico y tasa de ahorro exgena

en esta parte explicaremos la tcnica, tecnologa, cambio tcnico y progreso tecnolgico.Solow con progreso tecnolgico exgeno y desincorporado y el modelo de Solow Swancon progreso tecnolgico exgeno.

Captulo IV: Veremos el crecimiento con progreso tecnolgico y tasa de ahorro endgena,hablaremos, del modelo de Hicks, el modelo de aprendizaje de Arrow y la funcin deprogreso tcnico.

Captulo V: Trata de los modelos neoclsico de crecimiento optimo, es esta parte de explicael Modelo de Ramsey -Cass-Koopmans y el modelo Neoclsico de Ramsey con progresotecnolgico.

Captulo VI: Trata del enfoques recientes de crecimiento endgeno, hablaremos del modeloAZ, el modelo de crecimiento con sector capital Fsico y Humano, con externalidad decapital, el Modelo de Lucas, con gobierno, con gasto pblico, el modelo de crecimientoNeoclsico con capital Humano, el modelo de crecimiento con educacin de Jones y Uzawa,con acumulacin de capital Humano, el Modelo de Aprendizaje y derrame de conocimiento,el modelo de Jones Manuelli y Contabilidad de crecimiento o fuentes de crecimiento.

Captulo: VII: Para finalizar explicaremos los modelos de crecimiento en la periferia, como elmodelo de Lewis, el modelo de Solow con economa abierta y el modelo de crecimiento confactor tierra.

C


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Agradecimiento:

Este libro no hubiera sido posible, sin la valiosa ayuda de las siguientes personas:

Del Economista Carlos Contreras Paz, que me imparti el curso de Crecimiento Econmico

en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, gracias a lo cual empec a escribir este

libro con ayuda de sus notas de clase.

El agradecimiento a las personas que dedico este libro. Como dira el gran Althea Gibson

Cualesquiera que hayan sido nuestros logros, alguien nos ayud siempre a

alcanzarlos. A mis padres que con su enorme esfuerzo e inters en m siempre tuvieron

que dispusiera de las condiciones y medios para estudiar, que sin esta importante ayuda no

hubiera sido posible la realizacin de este libro.

Por ultimo Quiero agradecer por la primera edicin de este texto y otros al Director y

Fundador del grupo de Investigaciones eumed.net Juan Carlos Martnez Coll, por la

publicacin del texto en la Biblioteca Virtual de Economa y ha todo los que conforman este

grupo que se encuentra alojado en http://www.eumed.net/, que sin esta ayuda tal vez nunca

hubiera sido publicado este texto. Y ha toda la gente de la UNMSM que con su inters en

este texto hacen posible la segunda edicin del mismo en espacial a Gustavo EspinozaPeralta un agradable compaero de aula.

Cesar Humberto Antunez Irgoin

Lima, Mayo del 2011.
http://www.eumed.net/http://www.eumed.net/


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Captulo I

Introduccin

El crecimiento econmico es un fenmeno complejo en el que, mediante laacumulacin de ms y mejores factores productivos y de su utilizacin mediantetcnicas cada vez ms productivas, las economas son capaces de generar unamayor cantidad de bienes y servicios. Se trata adems de un proceso dinmico queentraa un cambio continuo en la estructura sectorial. De hecho, este ltimo podraser considerado como uno de los hechos estilizados del crecimiento.

Kuznets (1973). CitadoPor: Lorenzo Serrano (1998), Pg.:3


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1.1 Introduccin al Crecimiento

El crecimiento econmico es importante hoy ms que nunca, cuando la economa mundialatraviesa una desaceleracin econmica, por la crisis financiera que esta pasado EE.UU. ypor las consecuencias que tiene en pases desarrollados y en vas de desarrollo. Pero ques el de crecimiento? Que nos ayuda a medir el bienestar de la poblacin de un pas o

regin econmica y del xito de las polticas econmicas. La definicin de crecimientoeconmico se puede interpretar como el incremento porcentual del producto bruto interno deuna economa en un perodo de tiempo.1

El crecimiento no es espontneo, sino es el resultado de la combinacin de los componentesdel crecimiento y de la poltica econmica que el gobierno aplica. Esto quiere decir que unnivel de crecimiento elevado mejora el bienestar de la poblacin de un pas.2

Grfica 1.1: El Crecimiento Econmico

1 El crecimiento se calcularse en trminos reales para excluir el efecto de la inflacin. Crecimientoeconmico = (PBI t PBI t-1) / PBI t = PBI / PBI donde PBI t: Producto bruto interno en el perodo t, PBI t-1: Producto bruto interno en el perodo t-1 y PBI. Variacin del producto bruto interno. Donde los valoresestn generalmente expresados en trminos pre-capital. Un ejemplo de esto es que si aumenta, si el PIBreal per-cpita fue $17,000 el primer ao y $21,000 el segundo, significa que la economa experiment uncrecimiento econmico real per-cpita.2

supone que un elevado crecimiento econmico es beneficioso para el bienestar de la poblacin, ya quemejora el bienestar materiales disponibles y por ende una cierta mejora del nivel de vida. Mejora tanto en laeducacin, salud vivienda y alimentacin y con esto mejor posibilidades de vida.


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En el Grfico [1.1] se puede observar, la importancia del crecimiento econmico para lasociedad, as como sus beneficios, costo que tiene para esta sociedad y los factores queinfluyen en el crecimiento econmico.

1.2 Qu causa el Crecimiento Econmico?

Existen diversos factores que pueden afectar el crecimiento econmico de un pas. Losmodelos que se presentan en este libro utilizacin estos factores para explicar el crecimientoeconmico como son: trabajo, capital, capital humano, recursos naturales, avancestecnolgicos.

Recursos naturales

Imaginemos un pas que presenta mayores recursos naturales que otro pas y puedeproducir ms bienes y servicios. Supongamos que estos dos pases estn expresados por,I y II se sabe que presentan similitudes en casi todos sus mbitos. Sin embargo, I poseemayores recursos naturales en su pas que II. Es ms probable que I tenga un mayor

crecimiento econmico que el otro pas I.Mano de Obra

Cuando existe ms mano de obra (productiva), la produccin de un pas aumenta. Con locual no significa que a mayor trabajadores mayor produccin sino lo ms importante para elcrecimiento econmico es la productividad laboral de los trabajadores. La productividadlaboral es la produccin total dividida por el nmero de horas que se tarda en producirlabienes o servicios. Un aumento en la productividad laboral aumenta tambin la produccinde la economa. Ello conduce a un crecimiento econmico.

Capital

Dentro de los bienes de capital se incluyen las fbricas y maquinarias. La inversin que serealiza en estos bienes de capital puede contribuir a aumentar la productividad laboral, conla cual se aumenta la produccin del PIB real de la economa. Para aumentar la inversin enbienes de capital, un pas debe reducir el consumo actual.

Capital Humano

Se refiere al conocimiento y habilidades que las personas adquieren gracias a la educacin,capacitacin laboral y experiencia laboral. Mientras mayor sea el capital humano de laspersonas en un pas, mayor ser su crecimiento econmico de este pas. El crecer sueconoma en base a trabajadores que poseen una buena capacitacin, educacin ydesempeo laboral, conduce al crecimiento econmico.

Avances Tecnolgicos

Los avances tecnolgicos permiten aumentar la produccin usando la misma cantidad derecursos y esto se puede ver en estos tiempos en que la tecnologa simplifica el trabajocomo por ejemplo de los obreros. Estos avances tecnolgicos suelen ser el resultado denuevos bienes de capital o nuevos mtodos de produccin.


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1.3 Teoras del Crecimiento Econmico

Son muchos las teoras econmicas de crecimiento se refieren al crecimiento de laproduccin potencial, o nivel de produccin de pleno empleo. Las teoras del crecimientovienen desde los tiempos de Adam Smith hasta nuestros das, y han intentado explicar losfenmenos de crecimiento y desarrollo a lo largo de la historia.

Las teoras de crecimiento econmico explican sus causas utilizando modelos decrecimiento econmico, que son simplificaciones de la realidad. Estos modelos decrecimiento econmico no se refieren a ninguna economa en particular, aunque s puedenser contrastados empricamente. Como veremos a largo de este libro, las causa delcrecimiento econmico se deben: Que la economa crece porque los trabajadores tienencada vez ms instrumentos, para su trabajo (mas capital), que trabajadores con un mayorstock de conocimientos son ms productivos (educacin, incrementara el capital humano) yque la economa crece por el proceso tecnolgico, como veremos son muchos los autoresque explican el crecimiento econmico con estas tres variables en los modelos que plantean.

1.4 Teoras del Ciclo EconmicoLos ciclos econmicos han sido estudiados por ms 150 aos, pero no fue hasta 1940, quesurgi una definicin clara de los ciclos econmicos, debido a los esfuerzo de un grupoconformado por: Wesley Clare Mitchell y Arthu F. Burns. Auspiciados por National Bureau ofEconomic Research (El Escritorio nacional de Investigacin Econmica) en Nueva York.

Definieron que el ciclo econmico es el cambio o fluctuacin que encuentra la actividadeconmica de las naciones.

Un ciclo consiste de expansin de hechos que ocurre al mismo tiempo en muchas

actividades econmicas, seguida por recesiones generales, contraccin y recuperacin. Laactividad econmica se distingue por su forma cclica, generalmente la duracin de los cicloses variable presentando una media de unos ocho aos aproximadamente. Por qu esimportante el ciclo? Por que nos ayuda a ver las fluctuaciones de la actividad agregada.Aunque en existen varias formas de medir la actividad econmica agregada, se puede medirmediante el ingreso real.

1.5 Teora del Desarrollo Econmico

Estas buscan modificar la estructura econmica, poltica y social. Donde el desarrolloeconmico se logra agilizando significativamente la produccin, productividad, las

oportunidades de empleo y dinamizar las exportaciones y tratar de liberarse de ladependencia de otros pases desarrollados. La decisin es invertir en el sector pblico y enel sector privado.


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Captulo II

Crecimiento sin progreso tecnolgico y

tasa de ahorro endgena

Estas tres seales distinguen al hombre superior: La virtud que lo libra de la

ansiedad; la sabidura que lo libra de la duda; y el valor, que lo libra del miedo.

Confucio


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2.1 Modelo de Harrod

Roy Harrod(1939) elabora un modelo que explicar el crecimiento econmico a largo plazo,de manera equilibrada (regular). Califico su teora como el matrimonio entre el principio deaceleracin y la teora del multiplicador expresando con esto su posicin keynesiana.

Por que usado el principio de Keynes que la inversin juega una doble funcin en laeconoma: Determina el ingreso y la demanda global, y por su caracterstica del multiplicadorque influya en la demanda y por su apariencia de oferta aumenta la capacidad deproduccin. De manera que la condicin para un crecimiento regular y equilibrado en laeconoma se realiza cuando el crecimiento de la oferta es igual al crecimiento de lademanda.

Keynes al introducir anticipadamente que el crecimiento es la determinacin de la inversinen la economa, concluye que la relacin que determina la tasa de crecimiento es inestable.Inspirando en este anlisis, Harrod demostrar aos mas tarde que la inestabilidad delcrecimiento econmico, se puede obtencin de la estabilidad y esta puede ser el fruto delazar o de intervenciones de estabilizaciones derivadas de instrumentos monetarios ypresupuestarios del Estado.3

2.1.1 Supuestos del modelo

Harrodconsiderara para su modelo que:

Sea una economa sin relacionada con el exterior

El ahorro agregado S es una fraccin (proporcin) constante s del ingreso nacional

(renta) Y. YsS . , 10 s

la tasa de incremento del ingreso es un determinante importante de su demanda de

ahorros.

La fuerza de mano de obra L crece a una tasa constante. tt nLL )1(0

La demanda es igual a la oferta. Con esto Harrod puede distingue que las fluctuaciones

en la trayectoria de crecimiento y las fluctuaciones, que en la actualidad se conoce como

los ciclos de negocios, son cosas distintas, sin embargo, crea que ambos fenmenos

deberan ser estudiados conjuntamente.

Funcin de Produccin Agregada

Segn Harrod la sociedad tiene una funcin de coeficientes fijos (capital y trabajo) deLeontief, de esta manera satisface el principio del acelerador.

El proceso de produccin de la economa hay una sustituibilidad nula de los factores de laproduccin, de manera que para generar una unidad de producto (output) se necesitar deu(coeficiente fijo) unidades de capital y de v (tambin coeficiente fijo) unidades de manode obra.

La funcin de produccin escribe de la siguiente forma:

3 El artculo de Harrod que se titula An Essay in Dynamic Theory (Un Ensayo en la Teora Dinmica).Publicado en The Economic Journal (El Peridico Econmico), Marzo 1939.


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Grfica 2.1: La funcin de produccin de Harrod

u

L

v

KMinY ttt ,

Donde:

tY : Producto agregado en el periodo t

tK : Stock de capital agregado en el periodo t

tL : Funcin de trabajo (La mano de obra o produccin econmica activa) en el periodo t

v : Relacin capital producto

u : Relacin trajo producto

En la grfica [2.1] se observamos la imposibilidad de sustituir (K, L), o mejor dicho, dados los

coeficientes fijos, las isocuantas toman la forma de ngulo recto, revisten la forma de unaforma de escuadras con esquinas a lo largo de la lnea ])/(0[ LK . Esa lnea es el lugar

geomtrico en el que la ratio K y L esu

v, s los inputs estn plenamente empleados, el

producto nacional ser igual a la funcin de produccin de Leontief. Adems, hay queaadir que la unin de lo vrtices de los ngulos es el nico camino para aumentar odisminuir la cantidad del producto.

2.1.2 La regla de 72

Esta regla nos permitir determinar el tiempo necesario para que cualquier variable necesite

para duplicarse. En economa empleamos la regla del 72 para determinar el tiemponecesario para duplicar la tasa de crecimiento del producto

Se emplea dividiendo 72 entre la tasa, el resultado es el nmero de aos necesario para elproducto. Por ejemplo:

Si la tasa de crece 1% entonces se duplicara cada 72 aos.Si la tasa de crece 2% entonces se duplicara cada 36 aos.Si la tasa de crece 3% entonces se duplicara cada 24 aos.Si la tasa de crece 4% entonces se duplicara cada 18 aos.Si la tasa de crece 5% entonces se duplicara cada 14,4 aos.Si la tasa de crece 6% entonces se duplicara cada 12 aos.Si la tasa de crece 7% entonces se duplicara cada 10,28 aos.Si la tasa de crece 8% entonces se duplicara cada 9 aos.


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Si la tasa de crece 9% entonces se duplicara cada 8 aos.Si la tasa de crece 12% entonces se duplicara cada 6 aos.

Demostracin de la regla del 72

Sea y (t) el ingreso per - cpita en el momento ty se supone que y0 se el valor inicial delingreso per-cpita.

Entonces gteyty .)(0

es el tiempo que necesitamos para duplicarse el ingreso per - cpita

se determina por el tiempo t*. Cual se considera que el ingreso per - capita inicial es igual a

0.2)( yty . Por lo tanto, si reemplazamos en la ecuacin quedagteyy ..2

00 aplicado

logaritmo neperiano y despejando t quedara expresado como4.g

t)2ln(

.

Veamos algn ejemplo de esta regla con tasa de crecimiento:

2.1.3 Funcin de inversin

Harrodnos dice: Que la inversin es tipo aceleradora, estos significa que el volumen de lainversin va depender directamente de la variacin del producto, dado el coeficiente deaceleracin.

Partiendo de la condicin de equilibrio en la que la demanda iguala a la oferta, establecemosque el ahorro iguala a la inversin (economa sin relacin con el exterior). El ahorro es unafraccin s del ingreso, mientras que la inversin es el incremento en el stock de capital. Estoque expresado por la ecuacin.

4

Para fines practico de la reglase conceder el ln(2) = 0.7, pero en los ejemplos anteriores se aconsiderado todos los decimales del ln(2), queda como ejercicio para el lector, aplicar la regla practica de0.7 que es el logaritmo neperiano a todos los ejemplos.


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tt YvI .

Donde:

v : Coeficiente de aceleracin, relacin capital producto.

tI : Volumen de inversin.

tY : Variacin del producto.

El crecimiento equilibrado se puede empezar por analizar por el ahorro ex-ante (deseado) yla inversin ex-ante sean iguales y despus analizar de qu manera el crecimientoequilibrado requiere que se sostenga sin discontinuidad la proporcin ex-ante entre el stockde capital y el ritmo de produccin. El anlisis ex post analiza la cantidad realizada efectiva.

a) Anlisis Ex-ante

Antes que ocurra el fenmeno de los hechos que van hacer variables planeadas.

Partiendo de la condicin de equilibrio en la que la demanda iguala a la oferta,establecemos que el ahorro iguala a la inversin. El ahorro es una fraccin s del ingreso,mientras que la inversin es el incremento en el stock de capital. La inversin se iguala con el volumen de ahorro se hay, como la razn de la propensin

marginal ahorra requerida, respecto a la aceleracin capital producto requerida. La tasa de crecimiento garantizada es aquella tasa decrecimiento del producto, que hace

que los empresarios se sientan satisfechos por haber formulado un volumen.

Del equilibrio macroeconmico tenemos:

YsYvKSI ..

Si rescribimos de esta forma comos

IY se ve el rol del multiplicador tiene en esta teora.

Dividiendo ambos lados de la ecuacin entre el cambio en el nivel de ingreso Y .Obtenemos:

r

r

r v

s

Y

Y

La ecuacin puede ser reescrito como Wr

r

r

gv

s

Y

Y

, la ecuacin fundamental de Harrod

Debido a queKYv

es el incremento que efectivamente ocurre en el stock de capital ante

Un incremento en una unidad en el nivel de ingreso. Y constante, esta ecuacin puedeaproximarse con la siguiente formulacin5.

r

r

W

Y

Y

sg

La tasa de crecimiento efectiva, la que en realidad ocurre

5 Si diferenciamos e igualamos cero a K/Y(que es constante, entonces) tenemos

0)/(2

Y

YKKYvYK , es decir.

Y

K

Y

K


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Donde:r: Subndice requerido o planeado.

wg : Tasa de crecimiento garantizada.

rs : Propensin marginal ahorrar.

rv : Relacin capital - producto requerido.

b) Anlisis Ex-post

Este efecta un anlisis considerando las variables despus del fenmeno ocurrido, partir dela identidad.Si la inversin ex postes inferior a la ex ante entonces habr un estmulo para el incrementode la produccin, pues habra ocurrido una reduccin indeseada de stocks de produccinque son insuficientes. Lo contrario ocurrir si la inversin ex ante es inferior a la ex post.

Para Harrodel equilibrio dinmico es intrnsecamente inestable6. Dado que la trayectoria dela produccin que se sigue con la wg es un movimiento en equilibrio, y ella representa que

los productores han hecho las cosas tal como deban haber sido hechas. Por lo que losempresarios tendrn incentivos para seguir haciendo lo mismo.

De la identidad macroeconmica (Oferta igual a la demanda) tenemos;

e

e

e

e

eeeeeev

s

Y

YYsYvSI

.).( , entonces tenemos

e

e

ev

sg

Donde:

e : Subndice efectivo u observado.

e

g : Tasa de crecimiento efectiva.

es : Propensin marginal ahorrar efectiva.

ev : Relacin capital - producto efectivo.

2.1.4 Trayectoria de Crecimiento del producto

En esta parte se va definir la trayectoria de crecimiento garantizada y efectiva, con susrespectivas demostraciones.

a) Trayectoria de Crecimiento Garantizada

Es la ruta de crecimiento del producto de satisface a los empresario, al igual que el ahorro yla inversin a travs del tiempo.

t

wtgYY )1(

0

Esta ecuacin nos dice; que el producto en el periodo t crece a la tasa de crecimientogarantizada, partir de su valor inicial 0Y .

Donde gWes la tasa de crecimiento garantizada (warranted rate of growth) de la economa,s: La propensin marginal ahorrar (la fraccin del ahorro con respecto al PBI)

6 Harrod no dice, que en el campo de la dinmica a diferencia de lo que ocurrira en el campo de laesttica, una salida de la trayectoria de equilibrio en vez de autocorregirse se autoempeora. Debido a estol consider que gW representa una trayectoria de equilibrio pero inestable


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

t

r

r

tv

sYY

1

0

Demostracin; De la condicin de equilibrio macroeconmico

trtrYsYvSI .. 1

0..... 11 trtrtrtrttr YsYvYvYsYYv 0.. 1 trrtr YsvYv

Dividiendo a la ecuacin anterior entrerv

0..

t

r

r

r

r

t

r

r Yv

s

v

vY

v

v

0.1 tt YbYCaractersticas de la ecuacin; Ecuacin diferencial ordinaria, 1 orden (Primera diferencia),

1 grado (coeficiente constante t) y termino nulo.

Solucin homognea; tt

bAY . , A>0,b >0 y t>0

Donde;

r

r

v

sb 1 , A = es constante 0Y

Reemplazando en la solucin homognea

t

r

r

tv

sYY

1

0

b) Trayectoria de Crecimiento Efectivo

Es la ruta de crecimiento de la produccin efectiva a travs del tiempo

tet gYY 10t

e

e

tv

sYY

1

0

Crece a una tasa constante y lo hace a travs del tiempo del producto efectivo en el periodot a la tasa constante efectiva eg y lo hace a partir de su valor inicial.

2.1.5 Tasa de Crecimiento Natural

Harrodconsidera tambin que hay una tasa de crecimiento el cual la llama tasa natural.Esta depende del incremento de la poblacin. No existe tendencia inherente algunacoincidan pues, para empezar, no existe una nica tasa de crecimiento garantizado ya queesta depende del nivel de actividad.

Para esto plantea un anlisis de dinmica, el equilibrio de mercado de trabajo ocurre cuandose igualan las tasas de crecimiento de la oferta con la demanda de trabajo.

El sistema econmico no puede avanzar a una velocidad mayor que la que la tasa natural. Sila tasa de crecimiento posible fuera superior a la tasa natural se producira una tendencia a


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

la depresin, por el mecanismo explicado previamente. Por esto, cuando la tasa garantizadaempieza a exceder la tasa natural, aquella debe ser reducida7.

gmgg Ld

L

s

Donde;

Lsg : Tasa de crecimiento de la oferta de trabajo (m)L

dg : Tasa de crecimiento de la demanda de trabajo ( g )

2.1.6 Acerca del Crecimiento Proporcionado

Harrod nos dice que el crecimiento en el cual todas las variables agregadas crecen a lamisma tasa constante, en el cual su modelo de crecimiento proporcionado se expresacuando se iguala a las tres tasa de crecimiento.

nwe ggg

ProposicinLa economa capitalista en el largo plazo puede lograr el crecimiento proporcionado, peroello tiene la baja probabilidad. Harrod seala que es muy difcil que en el capitalismo sede el crecimiento proporcionado, por que ello significa lograr un crecimiento con el plenouso productivo a travs del tiempo, debido a que en el capitalismo existe incertidumbre,riesgo y que los capitalista para inversin, debe tomar en cuenta dichas situaciones, enconsecuencia es muy difcil que se igualen las tres tasas de crecimiento por que cadauno de ellos es independiente.

Proposicin de keynesKeynes nos dice que la economa en el corto plazo puede tener un equilibrio condesempleo (diferencia con los clsicos).

Proposicin de harrodHarrod extiende la proposicin de Keynes alargo plazo y propone una hiptesis que seformule y que se demuestre.

2.1.7 Acerca de la Inestabilidad

Harrod no da su proposicin en que la economa en el argo lazo tiende a un equilibrioinestable, donde cualquier diferencia entre la tasa de crecimiento efectivo y la tasa decrecimiento garantizado lleva a la economa alejarse del equilibrio, por eso nos plantea doscasos:

Caso I (ge < gW)Este el caso entre recesin e inflacin, se plante a que el incremento del capital efectivosupera al incremento del capita requerido ante lo cual los empresarios los empresariosdiminuyen la tasa de crecimiento efectivo, ampliando la brecha de diferencia con la cual seexpresa la recensin de la economa.Caso II (ge > gW)En este caso de plante el auge e inflacin, esto se da cuando el incremento del capitalefectivo es inferior al crecimiento del capital garantizado requerido. Ante lo cual losempresarios aumentan la inversin y con ello elevan el proceso de produccin efectivo,elevando la tasa de crecimiento efectivo y con ello ampliando la brecha.

7 El lector puede concluir que, la tasa de crecimiento garantizado no puede superar a la tasa natural, sinoque debera ser igual.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

2.1.8 Polticas de Crecimiento ejercicios resueltos

Problema #1Hallar la tasa de ahorro de la sociedad que permite una tasa de crecimiento del producto de8.2%, conociendo que la relacin capital producto es 1.5.

Rpt:

Sabiendo que vgsv

sg ww . 123.05.1%2.8 xs

Entonces el ahorro de la sociedad es de 12.3%.

Problema #2Se sabe que la tasa de crecimiento del producto per cpita es de 8%, la relacin capita producto es de 3 y la tasa de crecimiento de la poblacin es de 1% al ao. Se pide hallar latasa de ahorro de la sociedad.

Rpt:

Se sabe la relacin per cpita esta expresada como; )(. ILyYyL

Ytttt

t

t

Adelantando un periodo a la relacin per-cpita8. )(. 111 IILyY ttt

Dividiendo )(II entre )(I

t

t

t

t

t

t

L

L

y

y

Y

Y 111 . Aplicando logaritmo neperiano

LyY

t

t

t

t

t

t gggL

LLny

yLnY

YLn

111

)()( poblacpitaperPBIPBIggg

Donde:

PBIg : Tasa de crecimiento del producto

poblag : Tasa de crecimiento poblacional

)( cpitaperPBIg : tasa de crecimiento del producto per-cpita

De al ecuacin de Harrod vggsvgsv

sg

poblacpitaperPBIww ).().( )()(

27.03%).1%8( sLa tasa de ahorro de la sociedad es de 27%.

8 Otra manera de expresar esta relacin y poder obtener tasas de crecimiento de forma sencilla esmediante un truco matemtico, para esto expresaremos la relacin per-cpita, luego aplicaremos logaritmoy por ultimo tomaremos una derivada parcial a la ecuacin.

dt

Ld

dt

yd

dt

YdyLYyLYy

L

Yttt

ttttttt

t

t)(ln)(ln)(ln

)ln()ln()ln(.

Entonces esto queda expresado en tasas de crecimiento como se aprecia )()()( tLtytY ggg


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Problema #3Se sabe que la tasa de crecimiento de un pas el ao 2008 fue de 9.3% y el capital utilizadofue de 21,000 mil millones de dlares y el producto fue de 5,500 mil millones de dlares. Sepide hallar la tasa de ahorro de la sociedad.

Rpt:

De la relacin capital producto 81.3500,5

000,21

L

Kv

Reemplazando este resultado en la ecuacin de Harrod

35443.081.3%3.9. xsvgsv

sg

ww

Entonces la tasa de ahorro e esta sociedad es de 35.4443%

2.2 Modelo de Domar

En 1946 Evsey D. Domar, public su artculo Capital Expansion, Rate of Growth, andEmployment.9 En este rticulo crea un modelo en el cual plante determinar la tasa decrecimiento de la inversin que permite el pleno uso de la capacidad productiva, analizandodesde un enfoque post-keynesiano, busca hacer una extencion de Keynes a largo plazo.

Plantea que la inversin tiene un doble rol

Plantea la productividad promedio social potencial y lo define como la razon de la tasa de

cambio produccin potencial asociada a la inversinI

Yd .

2.2.1 Supuesto del modelo

Domar considera los siguientes supuestos para su modelo:

Sea una economa sin relacin con el exterior.

Sea una productividad promedio social potencial fija:

Los precios de la economa son constantes.

El ahorro y la inversion son netos de depreciacin.

El ahorro agregado,s, es una proporcin de indreso naacional, dado la propencion

marginal ahorrar[pmg(s)]. YsS . 10 s

La ausencia de lags(retrasos), todo se refiere al mismo perodo.

La fuerza de trabajo agregada crece a una tasa constante y exogena: n

La funcin de inversin es de tipo acelerador.

se asume que la capacidad productiva es medible.

la depreciacin es medida como el costo de reemplazo del activo depreciado, para adquirirotro con la misma capacidad productiva.

9 En este articulo Capital expantion, rate of growth and employment (la expansin del capital, la tasa decrecimiento y el empleo) de 1946 se expresa su tendencia keynesiana.

Generar demanda efectiva CP

Creador de nueva ca acidad roductiva LP


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

yt

Funcin de Produccin Agregada

Segn Solow, Domar plantea la siguiente funcin de produccin agregada tipo Leontief.Esta produccin se obtiene a partir de una proporcin fija de capital y trabajo.

ttt LbKMinY .,.

Donde:

tY : Produccin agregada en el instante,t

tK : Stock de capital en el instante, t

tL : Fuerza de trabajo

b : Relacin producto trabajo

: Relacin producto capital (reciproco de;v

1)

Si queremos expresar la funcin de produccin en trminos per-cpita, debemos dividir la

funcin de produccin entre tL .Esto quedara expresado como; bkMiny tt ,.

Donde la relacin capital trabajo esta representada; bk /~

, con esto la funcin deproduccin puede expresarse de la siguiente manera10:

tk. Para todo /

~bkk tt

b Para todo /~

bkk tt

Grfica 2.2: La funcin de produccin per cpita de Domar

En el Grfico [2.2] podemos apreciar que para un tk grande, la funcin de produccin es

horizontal y para cual quier nivel de tk se tiene una recta, y esto esta dado por la ecuacin

de la rectat

k. .

Domar considera que el sistema keynesiano careca de herramientas para derivar la tasa decrecimiento de equilibrio, por que, el empleo es funcin del nivel de ingreso. Para modificaresto, su propuesta es hacer del empleo una funcin del ratio del ingreso sobre la capacidadproductiva, Y/P.

10 Para el mejor entendimiento de este modelo y los casos que se desarrollan, vase; Sala-I-Martn (1994),"Apuntes de Crecimiento Econmico", Antoni Bosch, pp. 70-76

=


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Suponiendo que la inversin ocurre a una tasa anual, y que produce un incremento en lacapacidad productiva de modo que su ratio es igual a

)(I

I

t

P

s

El ahorro(s) es el maximo en que la capacidad productiva del incremento de la inversin a latasa anual, puede producir. En esta caso, el valor de la ecuacin (I) llegar a solo , queser definido como el promedio social potencial de la productividad de la inversion.

)(III

Yd

I

t

P

2.2.2 Ecuacin Fundamental

Artculo I. Por el lado de la demanda, aplicado la teora de la demanda efectiva de

Keynes tenemos;)(.

1. IIII

sYYsISI

t

Derivando la ecuacin (III) con respecto a t, tenemos;

)(.1

IVdt

dI

sdt

dY

Artculo II. Por el lado de la oferta tenemos a partir;

)(..1

. VIdt

Yd

dt

YdI

dt

YdvI

.La tasa potencial va depender del volumen

de inversin.

Artculo III. En el Equilibrio, se asume que en el inicio existe un equilibrio entre: la

produccin efectiva; tY y la produccin potencial tY

tt YY anlisis dinmico

dt

Yd

dt

dYtt reemplazando (IV) y (V).

dt

dI

II

dt

dI

s.

1..

1

.sgI

, La ecuacin fundamental de Domar

La tasa de crecimiento ( Ig ) permite lograr el pleno uso de la capacidad productiva.Donde:s : Pmg(s) : Relacin producto capital.

I

g : Tasa de crecimiento de la inversin en equilibrio.

2.2.3 Trayectoria de la Inversin

Significa que la inversin en el instante,t crece a una tasa .s y lo hace a partir de suvalor inicial. Lo dicho anteriormente se puede expresar mediante la siguiente ecuacin.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

tseII

.

0

La preocupacin de Domar en este trabajo tiene un tema adicional, que se ha perdido en lalnea central de desarrollo del pensamiento sobre crecimiento econmico, esto es que elcrecimiento debe ocurrir sin generar desempleo.

Demostracin:

dtsLnIdsdt

LnIds

dt

dI

Isg

I ..)(.)(

..1

.

Sea0

Ie c ctsLnIdtsLnId ....)( ctsLnIeee .

..ts

teII

..

0. , trayectoria de la inversin.

2.2.4 Poltica de Crecimiento ejercicios resueltos

Problema #1

Determinar la tasa de ahorro de la sociedad, tal que permita lograr el pleno uso de lacapacidad productiva y que se logre un crecimiento de la inversin de 9.3%, se conoce quela relacin producto - capital es de 1/3.

Rpt:Sabemos que la ecuacin fundamental de domar esta expresado como;

279.03/1

%3.9.

II

gssg

La tasa de ahorro de la sociedad es de 27.9%

Problema #2

Determinar la tasa de ahorro de la sociedad, que permite lograr el pleno uso de la capacidadproductiva y que logre un crecimiento 7.5%, sabiendo que la relacin producto capital esde 1/4.

Rpt:

De la ecuacin fundamental 3.04/1

%5.7.

I

I

gssg

Entonces la tasa de ahorro de la sociedad es del 30%

2.3 Modelo bsico de Solow

Robert Solow en 1956 public un ensayo titulado A Contribution to the Theory of EconomicGrowth (Una contribucin a la teora del crecimiento econmico), Que seria de graninfluencia para las generaciones futuras. A este aporte conocido es un modelo delcrecimiento considerando la respuesta ortodoxa al modelo keynesiano de Harrod y Domar.Por este y otros trabajo ms se le otorgo el PPrreemmiioo NNoobbeellddee EEccoonnoommaa eenn 11998877..

En este articulo Solow demostrar que si se descarta las proporciones fijas, como loestablecan Harrod-Domar el crecimiento regular no seria inestable, sino estable. Para estoSolow incorpora el equilibrio general estable, de que la funcin de produccin que permite lasustitucin de factores (capital y trabajo)11.

11 El lector interesado puede revisar el modelo con mas detalle ``A Contribution to the Theory of EconomicGrowth.'' (1956), pp: 56-94.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Partiendo del equilibrio macroeconmico entre ahorro e inversin; incluye: al capital fsicocomo un activo acumulable, a la mano de obra como reproducible, al ahorro real comofuncin del ingreso, la tasa de depreciacin y el crecimiento poblacional. De manera generalpodemos decir con rigurosidad que, el modelo de Solow es un modelo de la sntesis clsico-keynesiana y parte de las siguientes hiptesis12:

Por que retomo la hiptesis del Keynesianismo:

En el mercado de bienes: El ahorro es funcin del ingreso, la relacin entre ahorro y latasa de inters del enfoque neoclsico no ha sido considerada; conservo la ley psicolgicafundamental de Keynes. En el mercado de trabajo: rechaz la teora neoclsica, en el sentido de que la oferta detrabajo es independiente del salario real.

De la reflexin clsica o neoclsica retom:

La funcin de produccin con factores sustitutivos (capital y trabajo). Todo el ahorro es invertido, por consiguiente necesariamente hay equilibrio en elmercado de los productos y por lo tanto no existe problema de salida o de demanda.

Este modelo podremos notar, la tasa de ahorro endgena y la ausencia del progresotecnolgico como en los modelos anteriores de Harrod y Domar.

Critica de Solow

En esta parte Solow hace un balance de los modelos de crecimiento de Harrod y Domar.

Modelo de crecimiento pesimista respecto al desenvolvimiento del capital.

La proposicin de Harrod, de que la ecuacin del capital tienda a una ecuacin inestable. Es como si tuviera un doble filo. Dichos modelo soslaya la sustitucin de factores siendo ello su principal defecto. El periodo de auge del capitalismo en post-guerra coincide con el pronostico de Harrod y

Domar. Solow plantea, un modelo neoclsico donde la relacin entre factores sea variable. Importancia en que los factores se sustituye entre si. Nos dice que la economa capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinmico

estable. La economa capitalista en el largo plazo tiende a un equilibrio dinmico proporcin.


Sea una economa de mercado donde solo se produce un bien el mismo que se

consume e invierte13.

La relacin capital-producto es endgena y flexible: v

La fuerza de trabajo agregad crece a una tasa constante y exgena: n

El ahorro agregado, s, es una proporcin del ingreso nacional, dado la proporcin

marginal ahorrar.

12

El modelo de Solow ha sido considerado como de inspiracin neoclsica, ello por oposicin al modelo detipo Keynesiano de Harrod y Domar.13 Se supone una economa parecida a la de Robinson Crusoe, donde no hay empresas, ni empleados y nimercados, donde Robinson combinaba su propio trabajo para producir.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Mercado de competencia perfecta.

La economa no tiene relacin con el exterior.

Funcin de Produccin Agregada (FPA)

Solow plantea una funcin de produccin Neoclsica agregada que permite sustitucin entre

los factores de manera que dicha funcin puede ser expresada de la siguiente manera:

)(, ILKFY ttt

Donde:

tY : Produccin agregada en el instante t.

tK : Stock de capital agregado en el instante t.

tL : Fuerza de trabajo en el instante t.

Esta ecuacin (I) representa el lado de la oferta de una economa simplificada y seala queel producto producido est en funcin de la acumulacin de capital y del monto de mano de

obra.

Esta funcin esta sujeta a Rendimiento de Escala Constante (REC), es decir, si se aumentano disminuyen, los factores de produccin en determinada proporcin, por ejemplo (II), elproducto aumentara o disminuira en la misma proporcin, o sea, (II). De ah que la funcinde produccin pueda ser rescrita de la siguiente manera:

)(,..,. IILKFLKFY ttttt 0

Como se sabe la funcin presenta rendimiento constante a escala14. Entonces 1 , nos da

tttLKFY .,. , si se invierte la desigualdad la funcin de produccin agregada muestra

rendimiento decrecientes a escala.

SitL

1 , reemplazado en la funcin )(1, FPIkFy

L

KF

L

Ytt

t

t

t

t

15

Donde:

t

t

tL

Kk : Cantidad por trabajo en el instante t.

t

t

t L

Yy : Produccin por unidad de trabajo en el instante t.

La ecuacin de la (FPI) expresa el producto por unidad de trabajo como una funcin delcapital por unidad de trabajo solamente. Para entender la intuicin de esta ecuacin,supongamos un aumento en la escala de operaciones mediante un aumento proporcionalen tL y tK donde el producto por trabajador no cambiara.

14 Como sabemos por microeconoma los rendimiento constante a escala da un numero de empresas que

es indeterminado, esto quiere decir, que no esta determinado por el modelo. Y es nos permite trabajar conla funcin de produccin en su forma intensiva.15 FPI: funcin de produccin intensiva


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

De manera que la produccin por trabajador no depende del tamao total de la economasino, de la cantidad de capital por trabajad (persona activa). Como es sabido, la teora de laproduccin se centra en los niveles de empleo de cualquier factor de produccin para losque el producto marginal es positivo pero decreciente, de manera que para nuestra funcinde produccin representada en la ecuacin (III) tenemos:

0)0( fyt

CIOkfdk

dyPMg

t

t

k (0)( 16)

CIIOkfdk

dPMgk (0)(

2 17)

Grfica 2.3: La funcin de produccin per cpita

En el Grfico [2.3] podemos apreciar la funcin de produccin intensiva, que cumple con lascondiciones de primer y segundo orden de la funcin.

La funcin es de buen comportamiento esto quiere decir que satisface las condiciones deINADA, es decir:

a) Sin factores productivos no hay produccin.b) La magnitud de los productos marginales ( PMg ) son positivos.

0

Lt fdL

df

0

Kt fdK

df

c) La curva de los productos marginales son decrecientes.

d) Cuandot

k tiende al infinito, entonces el)(tkPMg tiene al vector nulo.

0)(

KtK PMgLm

e) Cuandot

L tiende al infinito, entonces el)(tL

PMg tiene al vector nulo.

0)(

LtL PMgLm

16 CIO: Condicin de primer orden para maximizar la funcin.17 CIIO: condicin de segundo orden, y que nos asegura que )(kf es cncava y tiene un mximo.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

f) Cuando tk tiende al cero, entonces el )(tKPMg tiene al infinito.

KtK PMgLm 0)(

g) Cuando tL tiende al cero, entonces el )(tKPMg tiene al infinito.

LtL PMgLm 0)(

Inversin neta por trabajador (nI)

Se plantea que la inversin neta por trabajador, va ser igual a la suma de la tasa de cambiopor trabajador.

Demostracin:

ttt

t

t LkKL

Kk . , Derivado con respecto al tiempo,t.

t

tttttt

t

t

t

t

LxkLLkK

dt

dkL

dt

dLk

dt

dK 1....

kL

L

L

Lk

L

K

t

t

t

t

t

t ..

kgkI ln

.

knkIn . , la inversin por trabajador

Inversin neta por trabajador = Profundizacin del capital + Ampliacin neta de capital

Donde;

tk

: Tasa de cambio de capital por trabajador en el instante t.

tk : Capital por trabajador en el instante t.

n : Tasa de crecimiento de la fuerza laboral.nI : Inversin neta.

2.3.2 Ecuacin Fundamental de Solow

De la condicin de equilibrio macroeconmico tenemos:nIYsIS .

t

n

ttL

xILKFs1

,. t

t

t

t

L

I

L

Kfs )1,(.

ttt knkkfs .)(.

, la ecuacin de Solow

La versin de Branson de la ecuacin fundamental de Solow

Si 0

tks

n

k

kfknkfs

t

t

tt

)(.)(. , se determina

k

*y


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Grfica 2.4: El Diagrama de Solow

Versin de BarroNos dice que si partimos de la ecuacin fundamental de Solow, y la dividimos entre el capital

por trabajador nos dar la tasa de crecimiento proporcionado (k

g );

ttt knkkfs .)(.

, dividiendo entre tk nk

kfs

k

k

t

t

t

t

)(.

nk

kfsg

t

t

k

)(.

Grfica 2.5: La funcin de produccin


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

En el Grfico [2.5], se puede apreciar que cuando, el crecimiento proporcionado kg es nulo,

entoncess

n

k

kfg

t

t

k )(

0 , con lo cual se determina *t

k .

2.3.3 Crecimiento Proporcionado

Es aquel crecimiento en que todas las variables agregadas crecen a la misma tas constantepositiva.

LKY ggg

Tambin se puede expresar en trminos de variable por trabajador, donde el crecimiento

0 lky ggg 0 kLK ggg

Proporcionado ocurre cuando las tasas de crecimiento de las variables por trabajador son

nulas. 0 ky gg

Growth steady state:

En el modelo de Solowel crecimiento proporcionado ocurre cuando; 00

tk kg

Luego la ecuacin Fundamental deviene:

tttknkfsk .)(.

Puesto que crece proporcionado cuando: 0

tk

tt knkfs .)(.0

ttknkfs .)(.

Con lo cual se determina el capital por trabajador de equilibrio.

2.3.4 Sobre la Estabilidad

En una economa capitalista en el largo plazo tiende aun anlisis de equilibrio dinmico de

tipo estable, cualquiera que se a el valor inicial de la relacin capital-trabajo ( tk ), se generanfuerzas internas que llevan a que la relacin capital-trabajo tienda a la relacin capital trabajode equilibrio.

Caso I ( kk0

)

En este caso vemos en el Grfico [2.6] que, la economa tiene hoy un capital 0k , la inversin

por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliacin neta de capita. Esto quieredecir que va ocurrir una profundizacin ( 0k aumentara con el tiempo), hasta llegar a

igualarse con el capital por trabajador *tk , cuando 0

tk , las curvas originado un punto

)(.. tt kfskn , que es llamado el estado proporcionado, donde la cantidad de capital portrabajador permanece constante.

Crecimiento ro orcionado

Crecimiento Balanceado


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Grfica 2.6: La Estabilidad Caso (I)

kLmkk kt )0(

*

0

Caso II ( kk1 )

Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha *t

k , como se puede apreciar en el

Grfico [2.7], donde el capital por trabajador esta expresado como 1k .En esta regin laampliacin neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decir que el ahorro esmenor a la cantidad necesaria para mantener la proporcin capital-trabajo constante.

Como 0

tk , por consiguiente la cantidad de capital por trabajador 1k comienza a declinar

hasta que se iguale con *tk .

Grfica 2.7: La Estabilidad Caso (II)

kLmkk kt )1(

*

1

2.3.5 Beneficios, salarios y distribucin del ingreso

El modelo de Solowasume competencia perfecta en los mercados de bienes y de factores,plantea que para cualquier punto en la curva del producto se puede obtener lo siguiente:


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CrecimientoEconmico

Grfica 2.8: El Diagrama de Fases

En el Grfico [2.8] podemos apreciar como 1k y 2k que se encuentran en la curva, tienden a

tk

, donde este punto nos da el estado proporcionado del modelo. Tambin se puedeapreciar en el Grfico que en 1k , la tasa de cambio por trabajador es positiva, pero en 2k , latasa de cambio por trabajador es negativa.

: Relacin capital-producto Los parmetros

: Relacin producto-capital

k : Capital por trabajador

Las variables por trabajador

y : Producto por trabajador

W : Masa de salario

La retribucin de los factores

r : Tasa de inters

Los precios relativos de los factores :r

W


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Grfica 2.9: La Distribucin del Ingreso

En el Grfico [2.9] se aprecia como se a distribuido el ingreso entre la masa salarial ( W) y elbeneficio total ( BKr . ).

Analticamente la ecuacin fundamental de Solow; ttt knkfsk .)(.

, en el estado del

ttknkfs .)(. , se determina : k

crecimiento proporcionado, 0

tk entoncess

knkf tt

.)( , se determina : k

: y

Mercado de capitales

Como, tt kfy esta definido como:

tttt

t

t LkfYkfL

Y).()( , derivado con respecto a

tK

0

t

t

t

t

t

t

t

t

K

Lkf

k

kfL

K

Y

)(

)(.

t

t

t

t

t

t

t

K

k

k

kfL

K

Y

.

)(.

t

t

t

tt

t

t

k

LK

kfLK

Y

).(.

t

tt

t

t

LkfL

K

Y 1).(.

)( tt kfPMgK

Mercado de Trabajo

WPMgLt


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

ttt krkfPMgL .)( tttt kkfkfPMgL ).()(

tttkkfkfW ).()(

2.3.6 Distribucin del Ingreso

En esta parte veremos como se divide el ingreso, en masa salarial y beneficio.

)(.. KrLwYBWY

Dividiendo a la ecuacin ( ) entret

L

1, nos dar:

)(.. krwL

YProducto x Trabajador = Tasa de salario + Beneficio neto x trabajador

Dividiendo a la ecuacin ( ) entre y , nos dar:

y

kr

y

w .1

Donde:

y

w: Participacin del salario en el ingreso nacional.

Y

W

Y

Lw

LY

w

y

w

.

/

y

kr. : Participacin de los beneficios en el ingreso nacional.

Y

B

Y

Kr

LY

LKr

y

kr

.

/

/..

2.4 Modelo de Solow Swan

El modelo de crecimiento con funcin Cobb-Douglas, desarrollado por Solow y Swan demanera separada en 1956. Este modelo hace referencia a los supuestos, de ecuacionesfundamental, al examen de cmo se alcanza el equilibrio.

Todava en esta parte se supone que no existe progreso tecnolgico en el siguiente Captulode este libro (III), veremos como influye la tecnologa en el crecimiento de produccin de unpas.


A los supuestos bsicos del modelo de Solowse le aaden los siguientes supuestosparticulares:

Utiliza una funcin de produccin Cobb-Douglas.

El stock de capital se deprecia a una tasa constate exgena:


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Funcin de Produccin agregada (FPA)

La funcin de produccin neoclsica, es homognea de grado uno o linealmentehomognea, con rendimientos constantes a escala y, adems, con rendimientos marginalesde cada uno de los factores, positivos y decrecientes.

)(..),,( 1 ILKAALKFY ttttt

con: 10

Rendimientos de escala constante.18

s.a:Rendimientos decrecientes.

Donde:

A : ndice de Nivel de tecnologa19. : Elasticidad del producto respecto al capital.

tY : Produccin agregada en el instante t.

tK : Stock de capital agregado en el instante t.

tL : Fuerza de trabajo agregada.

Si multiplicado a la ecuacin (I) por 0 , comprobaremos que la funcin es homogneade grado uno.

1111 .............. ttttttttt LKAYLKAYLKAY

Por lo tanto queda comprobado que a funcin es homognea de grado uno.

Esta funcin tambin puede ser rescrita con la funcin de produccin intensiva (FPI), de la

siguiente forma:

Dividiendo a la ecuacin (I), entre tL

t

tt

t

t

L

LKA

L

Y

1..

t

t

tttL

KAyLKAy ... )(. FPIkAy tt

La productivaza marginal de capita ( tk ) es positiva.

0.)()( 1 ttt

t kkfdk

kdf

La funcin es cncava (por que la segunda derivada es negativa).

0.1)()( 2

2

2

tt

t

t kkfdk

kfd

Satisface las condiciones correspondientes a INADA (Inada, 1964).

18Charles Cobb

y Paul Douglas

(1928) propusieron una funcin de produccin, tal que los factores de

produccin cobran sus productos marginales. En su anlisis de la manufactura de los EE.UU. Fue un matemtico amigo de charles.

Fue senado por Illinois entre 1949-1966 y profesor de economa.19 Generalmente se supone o se asume que el ndice de nivel de tecnolgico es la unidad, donde A t = A.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

/1

01

.)(1)(

k

kfLmtkt

0/1

10)(

1.)(

kkfLm tkt

Crecimiento poblacionalSolow considera que toda la poblacin est empleada y, adems, crece a una tasaconstante determinada exgenamente. Su forma funcional es:

nL

L

t

t

2.4.2 Ecuacin Fundamental de Solow - Swan

De la ecuacin fundamental de Solowcon depreciacin tenemos:

ttt knkfsk .)(.

, tt kfy

Pero la funcin de produccin Cobb-Douglas; )(.)(. FPIkAkfkAy tttt

Reemplazando la (FPI) en la ecuacin de Solow.

ttt knAksk ..

, La Ecuacin fundamental de Solow Swan20

Esta ecuacin diferencial de acumulacin de capital, donde la tasa de cambio del capital portrabajador es igual al remanente del ahorro bruto por trabajador respecto a la ampliacinbruta de capital.

2.4.3 Estado de Crecimiento Proporcionado

Que lo traducen como estado estacionario (Growth steady state), en este estado de

crecimiento proporcionado, cuando 0

tk , entonces tt knAks .. se determina tk .

Hallandotk :

t

t

k

k

n

As

.

1.tk

n

As

1

1

.

n

Askt

Donde el asterisco ( ) denota el valor de equilibrio de la variable.

20 Se recomienda al lector que trate de recordar esta ecuacin ya que ser utilizada a lo largo de este libroen los distintos modelos que se representaran en los captulos siguientes.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Reemplazando el t

k hallado en la (FPI), nos da el valor de producto por trabajador de

equilibrio ( ty ).

tt kAy .

1.

n

As

yt

Grfica 2.10: Estado Proporcionado de las variables

En el Grfico [2.10] podemos apreciar que en el estado de crecimiento proporcionado se

determina, tk ety . Donde tambin se aprecia que la tasa de ahorro , s , donde esta

determina el reparto entre consumo por trabajador (t

c ) y inversin por trabajador (t

i ). En el

cualquier nivel det

k la produccin es tkf , la inversin por trabajador es tkfs. , y elconsumo por trabajador es tt kfskf . .

Versin de Barro

A partir de la ecuacin fundamental de Solow Swan con depreciacin; ttt knkfsk .)(.

, dividiendo a esta ecuacin entre el capital por trabajador de

equilibrio ( tk ), tenemos:

)(.. IInk

kAs

k

k

t

t

t

t

nk

kAs

t

t

k .. , La ecuacin fundamenta Solow-Swan-Barro


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

El miembro izquierdo de la ecuacin (II) representa la tasa de crecimiento del capital per

capita y es igual a la diferencia entre 1. tks (curva de ahorro) y ( n ) (curva de

depreciacin).

En el crecimiento proporcionado la 0k

g , entonces

n

k

kAs t.. , se determina t

k .

Hallando tk ; k

k

n

As

.

1

1

.

n

Askt

Donde: kkt

t gk

k

: Tasa de crecimiento del capital

Grfica 2.11: versin de Barro

En el Grfico [2.11] podemos apreciar que la curva de ahorro es decreciente, tiende a cerocuando

tk se aproxima a infinito y cuando k se acerca a cero (CONDICIONES INADA). En

cuanto a la curva de depreciacin es horizontal, es decir, es independiente de k .

Considerando que sta es estrictamente positiva y la curva 1. tks toma valores entre cero e

infinito, las dos funciones (curvas) se cruzan una sola vez en la grfica (puntot

E ) y la t

k

correspondiente que representa a este punto es el capital per capita que existe en el estado

proporcionado.

2.4.4 Acerca de la estabilidad

La economa capitalista en el largo plazo tiende a un estado de crecimiento proporcionado, y

esto lo veremos en dos casos:

Caso I ( kk1 )En este caso vemos en el Grfico [2.12] que, la economa tiene hoy un capital 0k , la

inversin por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliacin neta de capita.Esto quiere decir que va ocurrir una profundizacin ( 1k aumentara con el tiempo), hasta

llegar a igualarse con el capital por trabajador *t

k , cuando 0

tk , las curvas originado un


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

punto )(.. tt kfskn , que es llamado el estado proporcionado, donde la cantidad decapital por trabajador permanece constante.

Grfica 2.12: La Estabilidad Caso (I)

kLmkk kt )0(

*

0

Caso II ( kk2 )

Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha *t

k , como se puede apreciar en el

Grfico [2.13], donde el capital por trabajador esta expresado como 2k .En esta regin la

ampliacin neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decir que el ahorro esmenor a la cantidad necesaria para mantener la proporcin capital-trabajo constante.

Como 0

tk , por consiguiente la cantidad de capital por trabajador 1k comienza a declinar

hasta que se iguale con *tk .

Grfica 2.13: La Estabilidad Caso (II)

kLmkk kt )2(*

2


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

2.4.5 Dinmica de transmisin sobre la convergencia

Se le da el nombre de Dinmica de transmisin, por que hace preediciones del modelo quese relaciona con las tasa de crecimiento. En este sentido el modelo neoclsico trata deexplicar la rapidez con la cual, la economa evoluciona hacia el estado proporcionado. Enesta parte trataremos de explicar las implicaras de los dos tipos de convergencia:

(a) Hiptesis de la convergencia Absoluta

Esta primera hiptesis fue propuesta por historiadores econmicos como AleksanderGerschenkron (1952) y Moses Abramovitz (1986).

Plantean que a largo plazo los pases del mundo que solo difieran en su relacin capitaltrabajo, tendern a un mismo estado de crecimiento proporcionado. En este sentido,aquellas economas que se encontraban en una situacin menos favorable (nivel de ingresoper cpita inferior), tenderan a mostrar tasas de crecimiento superiores a las economasms desarrolladas (nivel de ingreso per cpita superior)21.

Implicancias

Aquello pases, que el mismo tiempo (inicio), tienen relativamente un menor capital portrabajador, crecen ms rpido, que los pases que tienen al inicio mayor capital portrabajador.

Grfica 2.14: La Convergencia Absoluta

En el Grfico [2.14], podemos apreciar que los pases pobres que tienen menor capital por

trabajador ( Ptk ), en el largo plazo crecern a una tasas mayores que los pases ricos con

mayor capital por trabajador ( Rt

k ).

R

k

P

k

R

t

P

t ggkk

Donde:

P

kg : Tasa de crecimiento del pas pobre.

R

kg : Tasa de crecimiento del pas rico.

P: Pases pobres.R: Pases ricos.

William Baumol(1986), fue uno de los primeros en presentar evidencia documentada entrealgunos pases y la ausencia de convergencia de otros.

21 Finalmente, por lo que respecta al concepto, debe mencionarse que en el caso de que las economassean lo suficientemente parecidas si podr esperarse la existencia de convergencia absoluta.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

La critica de Bradford De Long (1988), es que la convergencia de Baumol para pasesdesarrollados en el siglo pasado, era una muestra sesgada (por que solo usaba pasesindustrializados). En particular De Long observo dos cosas: Primero solo inclua pasesindustrializado (de la dcada del 1980), segundo al incluir a Argentina en la muestra, que erams rico que Japn en 1870, no se cumpla la convergencia Absoluta.

Robert Barro (1992), como se muestra a continuacin utilizando una muestra de 98 pasesconstata que la hiptesis de convergencia absoluta es invalidad.

El argumento de la convergencia absoluta fue rechazado por la evidencia emprica, ya que sibien algunos pases han logrado un alto nivel de crecimiento sostenido, alcanzando losniveles de ingreso per cpita de las economas desarrolladas, las diferencias presentes entrelos pases ms pobres del planeta y los ms ricos muestran un alto grado de persistencia.

La polmica en torno a la convergencia entre los pases gener gran abundancia de estudiosempricos en la dcada de los noventa que buscaba determinar su existencia en diferentesgrupos de pases, presentamos un cuadro [1.1] con los resultados de algunos estudios22.

Cuadro 1.1: La Convergencia en el mundo

Series analizadas Referencia Convergenciaabsoluta

Convergenciacondicional

Mundo (110 pases) Salan-i-Martn (1996) No Si

Mundo (98 pases) Barro (1991) No Si

Mundo (98 pases) Mankiw, Romer, Weill (1992) No Si

Estados Unidos (48estados)

Barro y Salan-i-Martn (1992) Si Si

OCDE (22 pases) Mankiw, Romer, Weill (1992) Si Si

Pacfico del sur (9 islas) Cashin y Loayza (1995) Si Si

Amrica Latina (12 pases) Jos de Gregorio (1995) No Si

Amrica Latina (23 pases) Corbo y Rojas (1994) No se responde Si

Mxico (32 estados) Navarrete (1994) No evidente Si

Mxico (31 estados) J.Ramon y R.Btiz (1996) Si Si

(b) Hiptesis de la convergencia CondicionalEn el mundo existe una diversidad de economas que presenta un nivel de equilibrioparticular, el cual depende de factores de carcter tecnolgico, PBI per-cpita, tales como elnivel de alfabetismo y la esperanza de vida al nacer, institucional y social, hacia el cual setiende a lo largo del tiempo.

Segn el criterio del PBI per cpita (PPA en dlares), pueden haber distinto grupos depases23.El PNUD, distingue los pases segn su PBI per-cpita, como se puede apreciar en el cuadro[1.2], de la quinta columna, donde los pases capitalista tiene un ingreso por personasuperior o igual a 23,928 dlares.

22 Vase la Convergencia regional en Amrica latina: 1980-2000 de Lus Fernando Cabrera CastellanosBlanca Garca Alamilla.23 PPA: paridad de poder de adquisicin.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Para nuestro anlisis de la convergencia condicional nos centraremos en quinta columna deeste cuadro, donde distingue los grupos por ingresos por persona.

Donde los pases pobres no tienen necesariamente que alcanzar a los pases ms ricos enel estado estacionario; por el contrario, es probable que los pases pobres tengan un stockde capital por trabajo efectivo muy cercano a su correspondiente estado estacionario. Estahiptesis tambin implica que los pases pobres.

Planteamiento

Cada grupo de pases tiende a largo plazo, a su propio estado de crecimientoproporcionado.

Aquello pases que al inicio tenan relativamente un menor capital por trabajador,crecern dentro de su propio grupo , ms rpido que los otros pases que al inicio tenanms capital por trabajador.

Esto quiere decir que se dar la convergencia dentro de su propio grupo. Lo mismo seefecta con los otros grupos de pases si se constata que la convergencia condicional en

plausible.Un ejemplo de esto son; Japn, Corea, Singapur y Hong Kong, que 1960, crecieron conmayor rapidez en los ltimos treinta aos, tal como se expresa la hiptesis de convergenciacondicional.

2.4.6 La regla de Oro de la acumulacin

Esta regla nos quiere decir que el valor de tk del estado proporcionado que maximiza el

consumo se le llama la regla de oro de la acumulacin de capital y lo denotaremos conOro

tk24.

24 As es como lo llama Phelps (1961) cuando hace referencia a la tasa de ahorro que maximiza elconsumo en el estado proporcionado.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Para encontrar el stock de capital que se refiere Phelps, lo primero que debemos hacer es

encontrar el estado proporcionado de la ecuacin de Solow Swan, por lo que 0

tk . Porlo que si reescribimos la ecuacin, teniendo en cuenta que el ahorro es igual a la produccin

menos el consumo. Para expresar al consumo de estado proporcionado, tc

, con funcin del

capital en el estado proporcionado. ttt

knckf ).()(0 )().()( ttt knkfc .

La ecuacin [ ] nos dice que el consumo en el estado proporcionado, es igual a laproduccin menos la depreciacin. Esto quiere decir que un aumento del capital aumentara

)( tkf , el consumo en el estado proporcionado y por ultimo aumenta la cantidad de

maquinas utilizadas en la produccin, de esta manera se afecta a t

kn).( .

Para encontrar la regla mencionada ahora tenemos que maximizar el consumo en el estadoproporcionado con respecto a

t

k , entonces derivando a t

c de la ecuacin ( ), con

respecto a tk .

0)()(

nkfdk

dct

t

t )()( nPMgkkf Orot

Grfica 2.15: La regla de Oro

Como se puede apreciar en el Grfico [2.15], que la ecuacin ( ), expresa la pendiente dela curva, donde el punto de distancia entre las dos curvas es mxima y determina el

consumo de oro (Oro

tc ). Pero para alcanzar este punto es necesario encontrar el ahorro que

haga que en el crecimiento proporcionado sea precisamenteOro

tk .

Ahora analicemos que pasa con la economa segn el Grfico [2.15] si tenemos un stock de

capital superior aOro

tk , entonces en este punto la economa se encontrara en un estado

ineficiente.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

Grfica 2.15: Tasa de ahorro superior a la regla de Oro

Esta economa podra aumentar su consumo si reduce la tasa de ahorro, a un nivel de laregla de oro ya que la tasa de ahorro esta relacionada con el consumo. Al reducir la tasa deahorro, la curva de ahorro de la economa desplaza hacia abajo, durante este proceso elconsumo queda definido como la diferencia entre la funcin de produccin, )( tkf , y la curva

de ahorro )(. tOro kfs .

Para apreciar mejor como a evolucionado el consumo con esta disminucin del ahorro pasaremos a observar el Grfico [2.16].

Grfica 2.16: Variacin del consumo ante una reduccin de s

A largo plazo la economa converger aOro

tk , donde el consumo es superior y tambin es

superior tk . Entonces si la economa encuentra untk , entonces reducimos la tasa de

ahorro a un Oros y con esto consegu aumentar el consumo en todos los momentos deltiempo.

Entonces podemos concluir que el consumo en el estado proporcionado es mximo en elestado proporcionado de la regla de oro.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

2.4.7 Poltica de Crecimiento ejercicios resueltos

Problema #1Suponga que existe una economa capitalista cuya funcin de produccin agregada es

5/25/3..

ttt LKAY , y se sabe que la tasa de ahorro de esta sociedad es de 30% del producto

agregado cada ao, tambin se sabe que; La tasa de depreciacin del capital es de 8% alao, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es del 2% al ao y por ultimo se sabe queel ndice de nivel de tecnologa es la unidad. Se pide:

a) Hallar la ecuacin fundamental de Solow Swan.b) Hallar el estado de crecimiento proporcionado.c) Hallar los valores de capital por trabajador y de producto por trabajador del estado

proporcionado.d) Hallar la tasa de salario y la tasa de rendimientos bruto del capital y graficar los valores.e) Hallar la participacin de los salarios y de los beneficios brutos en el ingreso nacional.

Rpt:

a) Hallar la ecuacin fundamental de Solow Swan.

De los datos tenemos: 30.0s , 08.0 , 02.0n 1A5/25/3

.. ttt LKAY , dividiendo la funcin de produccin entre la cantidad de trabajadores ( tL )

tenemos:

Para operar con facilidad usaremos un viejo truco matemtico ttt LLL . , donde 1

5/2

5/2

5/3

5/3

..t

t

t

t

t

t

L

L

L

KA

L

Y )(.. 5/3

5/3

FPIkAyL

KA

L

Ytt

t

t

t

t

Ahora deduciremos la ecuacin de Solow Swan

tttKKI .

),,().1( ALKFsC ttt

ttttttttt KKALKFsALKFICY .),,.().1(),,(

t

tttt

LxKLAKFK

1....).,(

)(.)( Ikkfk ttt

t

t

t

L

Kk

2

..

t

ttttt

L

KLLK

dt

dk

)(.. IIknk

dt

dk

L

K

L

L

L

Kk

ttt

t

t

t

t

t

tt

Reemplazando la ecuacin (I) en la ecuacin (II)

ttt

t knkkfdt

dk.).)(( )().()( IIIknkfk ttt

La ecuacin (III) representa la ecuacin fundamental de Solow Swan que hemosdeducido por nica vez, solo la mencionaremos y la aplicaremos de forma directa en lassiguientes paginas del libro.Reemplazado los datos en la ecuacin fundamental de Solow Swan.

tttkkk )10.0()1).(30.0( 5/3

, la ecuacin de fundamental de Solow Swan.


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1Ejerciciosde

CrecimientoEconmico

b) Hallar el estado de crecimiento proporcionado.

Para el crecimiento proporcionado tenemos que: 00

tk k

Dividiendo la ecuacin de fundamental de Solow Swan, entre el capital por trabajador (t

k ),

tenemos:

10.01

30.010.01

).1).(30.0(5/25/2

t

k

tt

t

kkk

k 10.0

130.00

5/2

t

k

c) Hallar los valores de capital por trabajador y de producto por trabajador del estadoproporcionado.

Despejando, tk , de la ecuacin anterior, tenemos

2/5

10.0

30.0t

k 589.15Oro

tk

Reemplazando, tk , en la funcin de produccin intensiva

libro crecimiento economico

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