libro analisis roberto rochel awad

MATRICIALTRUCTURAS

INTRODUCCIN

Los primeros artculos sobre el inlisis de estructuras por mtodos matriciales fueronpublicados a finales del siglo pasado. Fue necesario que transcurrieran ms de 50 aos paraque se convirtiera este mtodo en '.a herramienta ms poderosa para el ingeniero calculista,su desarrollo ha sido de tal magnitud, que los mtodos tradicionales como el de HardyCross o el de G. Kani pueden con; iderarse como arcaicos.

El desarrollo de los mtodos matriciales para el anlisis de estructuras se debe al auge queha tomado en la poca los computadores digitales, de all que su enseanza en la ingenieratoma importancia fundamental en la poca moderna y es este el objetivo fundamental delpresente texto.

Los primeros cuatro captulos se dedican a la presentacin analtica del mtodo para lo cualse parte de lo general a lo particukr facilitando con ello una concepcin clara del problemadel anlisis estructural, el enfoque analtico tiene un claro objetivo hacia la sistematizacinhasta llegar a dominarlo en el capl ulo quinto con aplicaciones en el software que hace parteintegral del presente texto,

Una de las grandes preocupaciones del autor era realizar un texto de anlisis cuyo alcancesuperara con creces la parte operativa y profundizara en la parte conceptual, lo cual sepretende al tratar con todo el rigor r matemtico y analtico temas como: el efecto que sobre lasestructuras aporticadas tiene la mtmposteria de arcilla; se presenta, analiza y discute losprincipios bsicos del sistema dual, deduciendo rigurosamente la matriz de rigidez queinvolucra todas sus variables; se explica el sistema de condensacin esttico de la matriz derigidez; se analizan los efectos d>; segundo orden y se trata con todo rigor un ejemplomatemtico hasta llegar a resultado 3 de diseo y por ltimo en el captulo dcimo se analizay discute la filosofa del diseo ssnco a la luz del CCCSR,

CONTENIDO

y T-

Ci

1. FUNDA3VCNTOS DEL AT 'ALJSIS ESTRUCTURAL' t ; ' -

1.1 Objetivo del anlisis ...,.'. !.,. 1,11.2 Sistemas estructurales ,.,.....,,....;..: ........,......>,..... 1,21.3 Modelacin de estructuras .!,.'...., 1.21.4 Clases de anlisis ..;? ' 1.3

Ecuaciones de equilibrio y convencin de signos ,.,;.;....... ';2,2

j 4^13 Energa de^efriaieib por torsin '...-!/!;; .'....>';.., .;....;.,.,. '"2.3i2.1,4 Energa de deformaoi(>n por cortante ,,,,.,,,..;,,;,,,:,.,,,.;, 2.5,2.1.5 E?cpresin general de: a energa de deformacin , 2,5

2.2 A^atriz de rigidez ','. 2.52.2.1 Anlisis del desplazaidiento axial, u j ,..,. 2.62.2.2 Anlisis del desplazar oiento normal, u2 y u3 2.72.2.3 Anlisis de la flexin, u3 y u6 . 2,92.2.4 Anlisis de la torsin, u4 2.102.2.5 Matriz de rigidez de u i elemento tridimensional 2.112.2.6 Matriz de rigidez de U1 lelemente de prticos planos 2.142.2.7 Matriz de rigidez de ui i elemento de entramados 2,152.2.8 Matriz de rigidez de ui i elemento de cerchas planaa , 2,162.2.9 Matriz de rigidez de un elemento de cerchas espaciales ,..,..,,,.,......,. 2.16

2.3 Ejemplos , ., 2,17

-r

-si

m *3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES

3.1 Sistemas de coordenadas 313.2 Matriz de transformacin de coordenadas , i 3^

3.2.1 Cerchas espaciales 3',23.2.2 Cerchas planas - 3.33.2.3 Entramados 3,43.2.4 Prticos planos , ,,,,,..,. .,, ' , , , 3,53.2.5 Prticos espaciales , 3,63.2.6 Propiedades de la matriz ...^.......v,,...;,.;,...;/ 3.7

3.3 Matriz de rigidez en coordenadas globales .:/......'....i:...,....,;..' 3,73.3.1 Introduccin i.;........;;...'.,.,;...;, 3,7,

3.4 Matrices de rigidez . ' . . , - . , . . . , . . , , . . ' 3 , 83.4.1 Cerchas espaciales , , . . , , . . , ...

1

0 6.4 Propiedades mecnicas di la mnlpostetia;:de!arcilla ..,....'......;...!.. '......-.'' 6.4 I j 6,4.1 Mdulo de elasticidad .,..;....... 6.4

I fJ !,. 6.4.2 Mdulo de corte;yj8aGn,dePoissori'-''H-\?^;.;,'ili!!.,K.....,.^' ;....;. 6.5(!_ ( / - i ; 6.4.3 Resistencia a Ja conipregin, fm ., '.;'..',....'...' .,! 6.5

i 6.4.4 Deformaciones unitarias ltimas '. 6.69 6,5-,: Ejemplo , ..'......'.:.'.,.. 6.6

6,6:i Conclusiones . . , ,> . . , !> , , ;,.';;,.;,. ..'.,.'.,,.,......,*. 6.96r7.ii Problemas propuestos ..'...'.[;'..t.'.,l.......,,,,..... .'.. ' 6.11

M7, ANLISIS DEL SISTEMA, DUAL

E " , . ' " , ; ."? ' : -" '!'

3 7. 1 o (Aspectos generales . ....,.,,...,'..,,, .'.'.'.'.(...'..' 7,17i2ii Filosofa del sistema dual ..,,,,'. 7.17.3 Idealizacin de los muros, mtodo de la columna ancha 7,37.4 Consideracin del efecto < le la deformacin por cortante 7.57.5 Consideracin del efecto (te la deformacin por cortante y

de la rigidez de los nudos 7.8

n 7.6 Ejemplos , 7,157.7 Problemas propuestos 7.188. CONDENSACIN ESTA1ICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

. _

8.1 Consideraciones de carcter general 8.18.2 Proceso operativo de la ca idensacin matricial 8.2

8.2.1 Deformaciones axiales en las columnas 8.2^J8.2.2 Deformaciones axiales en las vigas 8.38.2.3 Condensacin de tos grados no cargados 8.3

8.3 Ejemplos . . . 8.4M:/ i_ 9. EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN

'! Vv 9.1 Generalidades 9.1ir-^ 9.2 Efectos de segundo orden ] jara carga vertical sola 9.2$ |, 9,2.1 Efectos locales de segundo orden (Pandeo local) 9.2

9.2.2 Efectos globales de s egundo orden (Efecto P-Delta) 9.69.3 Efectos de segundo orden j >ara cargas horizontales solas

9.3.1 Efectos locales de se$undo'orden (Pandeo local) 9,79.3.2 Efectos globales de ! egundo orden (Efecto P-Delta) 9,7

H 9.4 Ejemplo 9,10|r,

1*

10. CRITERIOS DE DISEO SSMICO ' ; ; *i-,.. . .];,;Ai. ; ! : , ' : . ' : :j;

10.1 Requisitos que deben seguirse en estructuras-en zonas ssmicas ..;:...;..,.'..., "10.110.1.1 Estructuracin Y....... .;......; ...': .,..... : 10.110.1.2 Diseo ;.;.;;,.; ..,...;... 10.210.1.3 Ductilidad ; i.:..;;i ' 10.2

10.2 Comportamiento de estructuras hiperestticas ......,.....1;.:1' 10.210.3 Algunos conceptos de diseo plstico ..,;...v...i.1.;......;'...: 10.8 '

10.3.1 Cortante en vigas '. 10.810.3.2 Momento en columnas , 10.11 , J-"10.3.3 Cortante en columnas .,....;...:,.;...........: .; ;.;;./;: ' 10.1210.3.4 Uniones viga-columna ,r 10.1210.3.5 Problemas de adherencia ,...,.;..'...,;' ., " 10,13 ^10.3.6 Estructuracin '. .,;;:...;,..

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I) IV

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1, FUNDAMENTOS DEL ANLISIS ESTRUCTURAL

1.1 OBJETIVO DEL ANALI!US:,'* 'V1*'1"' '

Proporcionar una seguridad idecud a las estructuras ante la aparicin de estadoslimites de falla para las acciones ms desfavorables que puedan presentarse durante la vidal y procurar que en las cdndic raes normales de operacin no sobrepasen los Lmites deservicio (flechas, fisuras, vibracin ;s, etc.)

Por acciones generalmente identif camos las cargas pero puede definirse como toda accinexterna que induce en la estructura fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones, as definido,entendemos por accin adettis (le las cargas, los asentamientos, las contracciones delhormign; los'cambios de terhperai ur,;ett! : '

'

ACCIONES

Viento Sismo.'' Asentamientos

Oretia VibracionesFlechas, .. Derivas,, - - : ' . ' . ' . . . - ' .;

ESTADOS DE SERVICIO: \ l ' - ' - - Y - - ' "'.!, "',! > '" , . :

Anlisis Mafricial de Estructuras

En este texto nos dedicaremos al anlisis de las .estructuras reticulares pero losprincipios bsicos del anlisis y los procedimientos ce:iputacionales pueden extendersepara el anlisis de las estructuras'laminares.

1.3 MODELACIN DE LAS ESTRUCTURAS: ;

."P'

Otros de los estados lmites se relacionan con situacic aes, que sin poner en juego la __,.seguridad de la estructura, afectan su correcto funci namiento. Estos se denominanESTADOS LIMITES DE SERVICIO.

Los estados de servicio son: Flechas t ^ Derivas Grietas

'interconectan entre si y con los elementos de la frontera. _* -

l ( ; ; ' / . ' . ' . ' . , . - . ! . : ' . ':* ; ' < .I.':' :' .,! ' , : ' . i .,.J:.-v *-'';-. i |

Una,.vez idealizada la estructura se .aplica al. modelo ,el ^procedimiento,de/ anlisis, para.-*determinar loa desplazamientos de la estructujra;y las fueiva en IQS elementos. - ,! . ,-.,>, >j r^

Lr; , ' ' . ! . ' .

Idealizaciones geomtricas: f- , ;.;:,., h

e Los elementos de la estructura, se:representan por lineas rectas que siguen latriayecoria del centroide de la.seccin transversal del elemento. r#

Roberto Rochel Awad^fcij fl

AMIiss Matricial de Estnictun s

H:

n

7P, ,.-;i!,;i:ff;Laiseecin.transversal d u element e constante, es decir, las dimensiones de laseccin transversai,no cal tibian y Su inerciay;el>re permanecen constantes.

La idealizacin de los si temas de unin de los elementos se har posteriormentepara .cadaiuna; de -las esto oteas-'reticulares-'aMlJJzadas. , ' ! ; ; , ' ! '.;''

Idealizaciones .del; material;,-i; , " . ' ;qulibrio, luego debe haber.comomnimo seis reacciones independientes para restringir el inovimientoa,.ui> nmero menor ds.restricciones conduce a una inestabilidad de la estructura.

H

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i:

r i;Roberto Roche! Awad

'Sr,, ,1'

Anlisis Matricial de Estructura i

1.8 INDETERMINACIN ESTTICA|f.'.-.i'ti!.,:-vr,

El grado de indeterminacin ie define como la diferencia entre el nmero de fuerzasdesconocidas y el nmero d@leae',ones:\dispQnibles..Estas: fuerzas adicionales se denominanredundantes. Las fuerzas degconoc:ds

-Anlisis Matricial de Estructuras

Nmero de incgnitas ==' 2 * NB + NR': i '- ;! ;.'.' ,''"' ' , i:?V; " ' ' : ' . ' ' ; :.l'''.!t'L :U ; Ufj '

Nmero d i ecuaciones = 2 * NN + 1 * NB

GI^WB/tr * JGI = Grado de indeterminaci a a * ir f / c ;:.>*',i.v.

1.8.1.2 CERCHAS ESPACIALES. , . , . , , . . ..,.,,,lt)-., , - -,. - " =

El anlisis,de cercriaa.espaciales es:rn,uysirmlar.al/ie.oerebas.planas,puesto que lasacciones sobre las barras son las mismas, excepto el nmer i de ecuaciones que proporcionacada nudo que en este caso sern: Ux = O, ZFy s,0, ..^Ps-.^Oj-y en. cada .barra'.hay unaecuacin: las fuerzas axiales deben ser de igual magnitud y $ sntido contrario.

A Y

trz

A Y

ecuaciones por barril V .'

Nn i ero 'det eciuciones por ludo " 3 , ,'

FIGURA 1.7 Cerch espacial z, , . ; ,, . . . . . . i ' , . i . ' . - . '

Nmero de incgnitas = 2 * NB + NR Nmero de ecuaciones = 3* NN + 1 * NB

GI = (2 * NB + NR) - (3 * NN + 1 * NB)GI = NB + N R - 3 * N N (1.2)

1.8.2 PRTICOS PLANOS Y ESPACIALESAdems de las idealizaciones, del numeral 1.3 que son i le carcter general, para el caso

particular de los prticos deben considerarse las siguientes:

Rpboro Rocho! Awad

!>E

rifi

r;

AMlisb Matriei'de Estructura

rv

Loa nudos se consideran rgidos e indeformables, es decir conservan su forma ante'la accin de las caigas,

V,

., * 'C'Los prticos planos tienon uiplattg dejsmetria sobrej.el cul estn aplicadas lascargas, implica estb que tanto l prtico oomo las1 cargas estn en el mismo plano.

Consecuente con la anterior 'tnode I acin los elementos de un prtico estn en capacidad detrabajar a traccin, compresin, fi I don y corte,

0;

rt

1.8,2,1 PRTICOS PLANOS

Cada nudo y cada barra de un prtico plano.tienen tres ecuaciones: Fx = O,Fy - O, ZMz = O

.,...-, .Nmero, de.incgnitas por barra,,=| 6 , .,,Nmero de ecuaciones por burra ^3,

FIGURA 1.8 Prtico plano Nmero de ecuaciones por nudo = 3

Nmero de.incgnitas .= 6 * NB,L Nl:' ' Nmero de ecuaciones = 3 *NN.+ 3 * NB

GI ^ (6 H NB +NR)'- (3 * NN + 3 * NB)i - 3 , * N N - . . (1-3)

En el caso de rtulas y de apoyos de primero o segundo, grado; el ;nmero de incgnitas' porbarra se reduce athacerse loa morr entos en dichos puntos iguales a cero, la misma reduccindebe hacerse en las ecuaciones de os nudos.

M 1.8,2.2 PRTICOS ESPACLOJESCada nudo y cada barra d s un prtico espacial tienen iseis, ecuaciones:

O, Fz = 0,,t 2Mx = O,,: ,, 2 My = O, ZMz = O O,

Roberto Roche! Awad

-

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Anlisis Matricial de Estructuras

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/T^T?

FIGURA 1.9 Pitlco espacial

1 '.; Ntoiro de jnogottipor barra =,1? . N aro d.qeusdiQnes por barra=> 6 ' .

Nro ero de ecuaciones ppr nudo =

Nmero de incgnitas = 12 * NB + NR Nmero de^ecuacione^ 6 * NN + 6 * NB'GI = (12*NB+NR). ( 6

1.8.3 ENTRAMADOS

Adems de las idealizaciones del numeral 1.3 que sea de carcter general, para el casoparticular de los entramados deben considerarse las sguiei es:

Los nudos se1 consideran rgidos V indeformables, es decir conservan su forma antela accin de las cargas:

En los entramados las cargas son, normales:,al plano de la estructura, todos .los*elementos tienen :dos planos' ortogonales de'smietra'sobre'los cuales ocurren laflexin y la torsin, esto hacen que cada una de i illas sea independiente de la otra.

Consecuente con la anterior modelacin los' elementos de un entramado estn en capacidadde trabajar a cortante, flexin y torsin. Los elemente.s de un entramado no trabajanxMmente como se demostrar'ms adelante. : ' " ' ' ! \ ' ' ; .

-^

FIGURA 1.10 JCntramurto

Nmero de incgnitas = 6 * NB + 'NR

GI = (6 * NB +

Nmero da incgnitas por barra = 6Nunero do ecuaciones por barra = 3

Nmero da ecuaciones por nudo => 3

Nmero du ecuaciones = 3 * NN + 3 * NB

(1.5). (3 * ^ H . 3

3 *NI'

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Robera Kociiel Awxd

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i' mt |fai'.^..

Anlisis Matricial de Estructurs s

i"**, is

l.^JNDETERMmACION/CtNE^^ICA^..^,^; , , . . . , , , , ;" . , ,.

Se denomina grad'de 'libertad d'una estructura al nmero minimo de parmetros quees necesario definir para describir i iu-geometra deformada. Usualmente estos parmetros sonlos desplazamientos y, rotaciones (le los nudos, .obtenidos, estos-.desplazamientos a partir deellos pueden obtenerse los desplaz unientes de todos los puntos del elemento.

Con la denominacion.de grados do libertad se identifican todos los movimientos posibles delos nudos de (una estructura._ Algunos de estos movimientos estn limitados por lascondiciones de ;frontera y s les cenofninan grados restringidos, mientras que los otros seconocen como grados libres y representan el grado de indeterminacin cinemtica de laestructura,

Los grados de libertad de una esta ictura pueden seleccionarse como incgnitas a determinarpor cualquier procedimiento analt ;co, una vez. resuelto el problema de determinar los gradosde libertad se calculan las fuerzas i ;n los elementos. Este procedimiento se denomina mtodode rigidez y es el que analizar c on detalle en este texto pues es el ms empleado en losprogramas de computadora y, el mi ,s eficiente.

En el caso de prticos y de entrai nados con rtulas, las barras que concurren a ella tienencada una giros independientes pero iguales desplazamientos, de all que la .existencia de ,rtulas incrementa el grado ,qie ind< iterrninaoin cinemtica.

-N-\\>

^v

'^\1 CERCHAS PLAN4S Y ]ESPACIALES:

:i Las cerchas representan un tipo muy; especial de estructuras., en el., que nicamenteexisten, fuerzas axiales,., al no', exis tirl defprmaiones por flexin, los elementos permanecenrectos, Todas las barras qu llegan a un,mismo,nudo:tienen los,:fnismoS desplazamientos,dos en el caso de cerchas piaras y fres para espacales.

x

Orndos libres = 7Grados restringidos = 3Orados de libertad = 10

FIGURA 1.11 Grados de libertad en cerch i planas

Orados libres = 6Z L Orados restringidos = 12

Orados de libertad - 18

FIGURA 1,12 Grados de libertad en cerchas espaciales

Roberto Rochel Awad

-..

V--

Anlisis Ma(ricial de Estructuras

1.9.2 PRTICOS PLANOS Y ESPACIALES..;,,' . ; ' ' : ; , . ' ; . -:.. ' ' : : ' i ! ' '-'. i

En el caso de prticos planos cada nudo tiene libertad de moverse en dos direccionesortogonales y girar en el plano del prtico, es decir tiene tres f prados1: de libertad por nudo. :

Los nudos de los prticos espacales'-''tienen'^

i . i ' ; i

. - ' { : ' . : '

1 i .

x""^J%>Qrzulas libre

7T7

fe;

77"'"> ; - 3^24 '.:'4""

FIGURA 1.13 Grados de libertad en perdeos planos y esparl*les CQiuiderando axiales' ' ' ' ' ' - ' ' ' . .' ; i.. -.

j -. . . . . . , . , ; , , , . . ! ',. : i. , ! . ' . - ' . ".'.'' IAlgunas idealizaciones pueden utilizarse; sin afectar la precinin^e loa resultados,,entre las,.nMms frecuentes tienen que ver con el efecto de las'deformaciones axiales tanto en vigas comoen columnas.

Las 'vigas de una estructura.no..gon..elementos aislados -sino !q'iie hacen parte de un'sistema de'entrepiso, el cual tiene una rigidez axial muy alta comparada con la, rigidez axial de la viga,en consecuencia, una viga no' puede'modificar su' longitud s;;'modificar la del entrepiso,,de ,,...,,all que puede considerarse que l.a'deformach':axial de la -v:;ga es: nula,',luego con un solo;! .grado de libertad se-indioa 'el 4!3plazarnento de la viga. t , , , . ,

y \ ,-- i ; ' ' " ''" ' ' ' '^Para edificios poco esbleltos con H/B S 3 el efecto de las deformaciones axiales en lascolumnas no incida en la precisin de los resultados y puede despreciarse, no as paraestructuras esbeltas en las cuales las deformaciones axiales un las>columnas si afectan los'resultados y es un grave error,el no considerarlas.

Si en las estructuras de la.figura N" 1,13 se desprecia el efeclo de las deformaciones axialesen las columnas y en las vigas los grados de libertad se reduce;! a:

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Rbarto Rochel Awad

f**iIK ;

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Anlisis Matricial de Estructuras 1-13

A

Orados libres

^t\//

a

= 4

///

H

4-"/77T777777

Grados libres = 1/S/ss

FIGURA 1.14 Grados de l rtad en prticos planos y espdales despreciando dales

fi

1.1 0 EJEMPLOS

EJEMPLO 1,1

Determinar el grado de indeterminacin esttico de la siguiente estructura.

rA

a

11S

D

E

@rED

ST

A

d

E

Solucin N 1:

En el nudo 7 hay dos ecuaciones de condicin: la reaccin horizontal y el momento en esteapoyo deben ser nulos.

Incgnitas:

Ecuaciones:

6 * N de barras = 6 * 8 = 483 * N de apoyos = 3 * 3 = 9 TOTAL = 57

3 * N de barras = 3 * 8 = 243 * N de nudos = 3 * 8 = 24De condicin = 2 TOTAL = 50

El {.rado de indeterminacin esttico es de 7.

Solucin N 2

En esta solucin se trabaja con el nmero de incgnitas real que tienen las barras y losapoyos:

Roberto Rochel Awad

Anlisis Matricial de Estructuras 144

Incgnitas:

Ecuaciones:

7 barras con 6 incgnitas = 421 barra con 4 incgnitas (7) = 4 de reacciones = 7 TOTAL = 53

3 * N de barras = 3 * 8 = 247 nudos con 3 ecuaciones = 211 nudo con 1 ecuacin (7) = 1 TOTAL = 46

El grado de indeterminacin esltico es de 7.

*

EJEMPLO L2

Determinar el grado de indeterminacin esttico de la siguiente estructura.

rA

Solucin N 1:

Incgnitas:

Ecuaciones:

Solucin N 2

Incgnitas:

Ecuaciones:

rtula

Roberto Rochel Awad

(D

f^

3

~L

1

a>

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orE

t -(7) d

6 * N de barras = 6 * 8 = 183 * N de apoyos = 3 * 3 = 9 TOTAL = 57

3 * N de barras = 3 * 8 ' = M3 * N de nudos = 3 * 8 = 24De condicin = '3 TOTAL = 51

El grado de indeterminacin esttico es de 6.

6 barras con 6 incgnitas = 56i 1 barra con 5 incgnitas = 5

1 barra con 4 incgnitas = 4ND de reacciones = 7 TOTAL = 52

3 * N de barras = 3 * 8 = 141 nudos con 3 ecuaciones = 11

r 1

*Lt'i6"; ^


tn.

1 ni ido con 1 ecuacin = 1 TOTAL = 46

El $rado de indeterminacin esttico es de 6.

T-

EJEMPLO 1.3

Determinar el grado de indetem nacin esttico de la siguiente estructura.

YA

rtula a

[2

1

m

r 0 S

A

[5

E*

3)

Hr!! 'V Incgnitas:

Ecuaciones:

4 be rras con 6 incgnitas = 243 ba rra con 5 incgnitas = 151 ba rra con 4 incgnitas = 4Nc.e reacciones = 7 TOTAL = 50

3 *:T de barras = 3 * 8 - 246 n dos con 3 ecuaciones = 181 n do con 2 ecuaciones = 21 iii do con 1 ecuacin = 1 TOTAL = 45

El grado de indeterminacin esttico es de 5.

D EJEMPLO L4Determinar el grado de indetem dnacin esttico y cinemtico de la siguiente estructura,en este ltimo caso considerando: a) Deformaciones fociales ano en vigas como encolumnas, b) Deformaciones abtales sola en vigas, c) Deformaciones axiales solo encolumnas y d) Despreciando el efecto de las deformaciones axiales tanto en vigas comoen columnas..

[jr 1 ;Roberto Rothel Awad

Anlisis Mafricial de Estructuras

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: ' rINDETERMINACIN ESTTICA: |pSolucin N 1:

Incgnitas: 12 * N r- 3 de barras = 12 * 9= 108

Ecuaciones:

Solucin N 2

Incgnitas:

Ecuaciones:

6 * N de apoyos = 6 * 4 = 24

6 * N de barras = 6 * 9 = 546 * N de nudos = 6 * 8 = 48De condicin = 7

TOTAL =132

TOTAL = 109

El grado de indeterminacin es tico es de 23.

7 barras con 12 incgnitas 841 barra con 9 incgnitas = 91 barra con 8 incgnitas = 8N de reacciones = 17

6 *N de barras ' = 6 * 9 = 546 nudos con 6 ecuaciones = 361 nudo con 3 ecuaciones = 31 nudo con 2 ecuacin = 2

TOTAL = 118

TOTAL = 95

i

ii

r.El grado de indeterminacin esttico es de 23.

^DETERMINACIN CINEMTICA:

a) Considerando el efecto de las deformaciones axiales unto en las vigas como en lascolumnas:

Roberto Rochel Awad

Hihj1 }

3n

V

p;

Anlisis Matricial de Estructur s

Nmero total de grados de libertad = 6 * NN = 48Nmero de grados libres =31Nmero de grados restringidos = 17

Irados Ubres

b) Considerando el efecto de las d< formaciones axiales solo en vigas:

Nmero total de grados de libertad = 6 * NN = 48Nmero de grados libres = 27Nmero de grados restringidos = 21

(irados Ubres in alales en columnas

c) Considerando el efecto de las de Formaciones axiales solo en columnas:

Nmero total de gradas de libeitad = 6 * NM = 48Nmero de gradea libres = 27Nmero de grados restringidos = 21

,@r- Grados llbnsS Ir. axiales en vigas

d) Despreciando el efecto de las dei brmaciones axiales tanto en vigas como en columnas

w

Nmero total de grados de libertad = 6 * NN.= 48

Nmero de grados libres = 23Nmero, de grados restringidos = 25

libressin ailales

Rtrferto' Rochel Awad

Anlisis Matricial de Estructuras i-is

1,11 PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS 1.1 A 1.3

Determinar: a) Grado de indeterminacin esttico, b) Grado de indeterminacin cinemtico

titinnui njv

j '"ti

PROBLEMA 1.1Resp. ) 0

b)9

K NA ' A'"llir/fl WTTTJ

PROBLEMA 1.2Resp, a) 3

b)18

i N)kT^

PROBLEMA 1.3Kejp. a)l '

b)24

PROBLEMAS 1.4 A 1.7 <

Determinai',1 a) Grado de indetenninacin esttico. Grado de i idetenninacin cinemticoconsiderando: b) Axiales en \igas y columnas, c) Axiales solo en vigas, d) Axiales solo encolumnas, e) Despreciando axiales tanto en vigas como en columnas.

;,.if. -rrrr~ r

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L

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? i^ 4d ^>r^ -T desplazamientos

^ permitidos )

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4

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PROBLEMA 1.4Resp. a) 9 b) 42

c) 33 d) 34e) 25

Pl tOBLEMA 1.5Resp, a) (SO b) 102

c) 91 d) 87e) 7(5

Roberto Rochel Awa

I"

TfJ\

^!|

il-n


rtula

n

17

t desplazamientospermitidos

I PROBLEMA 1,6Resp, a) 48 b) 102

c) 91 d) 88e) 77

PROBLEMA 1.7Resp, a) 60 b) 102

c) 91 d) 87e) 76

PROBLEMAS 1.8 A 1.10

Determinar; a) Grado de indeterm nacin esttico, b) Grado de indeterminacin cinemtico

PROBLEMA 1.8Resp. a) 4

b) 17

PROBLEMA 1.9Uesp. a) 16

b) 26

PROBLEMA 1.10Resp. a) 6

b) 21

fv.

Roberto Roche! Awad

V) '

irfr4rf

I:'?

'-It

4

.

4-T

rj

n

h

r

2. MATRIZ DE RGIDEZ DE UN ELEMENTO ENCOORDENADAS LOCALES

2.1 ENERGA DE DEFORMACIN:Este mtodo es til para determinar la respuesta de estructuras ante cargas estticas y

dinmicas, es el criterio para el iliseo sismo-resistente. Para un slido tridimensional setiene:

fy

mz JJGX*"^ mx

feFIGURA 2,1 Elemento prismtico tridimensional

fx ~ Fuerza axialY 4 = Fuerzas cortantes

mx = Momento torsormy y rrtj = Momentos flectores

El material se considera elstico, luego es aplicable el principio de superposicin, enconsecuencia, la respuesta de la es tructura ante un conjunto de cargas es igual a la suma delas respuestas para cada una de las cargas consideradas en forma individual.

2.1.1 ENERGA DE DEFORMACIN POR FUERZA AXIALSi la carga es aplicada de lina manera gradual (carga esttica) desde cero hasta su

valor mximo fx, a medida que se aplica la carga la barra se deforma axialmente hastaalcanzar su mxima deformacin x.

fie

dffi

AdA

FIGURA 2,2 Relacin Carga axial - deformacin para un material elstico

LRobei-to Roche! Awad


Sea TI un valor cualquiera de la carga f entre "O" y "fe" para el cual la deformacincorrespondiente se denomina A. Un incremento en el valor de la carga df produce unincremento en la deformacin dA, luego el trabajo realizado por la La derivada de la energa respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en ladireccin de la carga.

I f i

u

r;-

r-2.1. 2 ENERGA, DE DEFORMACIN PORFLEX1ONAnalizamos la flexin en "z", para la flexin en "y" se proc&le de manera similar,

* y

/ Y777777

Flexin pura

L

FIGURA 2.3 Elstica de una viga sometida 1 1 flexin pora

Roberto Rochel Awad

r -

n

T

Anlisis IVLttricial de Estructuras

En el caso de flexin pura el mom snto flector es constante a lo largo de la viga y esta torna lade forma de un arco de circuferenc ia de curvatura: 1 / p = m^/ EIZ,. .

i- .

Para curvas elsticas planas: arco L,

arco = p * z, EV , _ mz*L~ ~

m.

m

W =2EI:

FIGURA 2.4 Energa de di ilbnnacin elstica de ana viga sometida a flexin pura

t:r^1ii

~-> Existe una relacin lineal enb e 4>z y m,,., para Iz constante, luego cuando el momento seaplica gradualmente desde "O" hasta m^ tf> aumenta desde "O" hasta z.

Cuando hay flexin pura y no S3 considera el efecto de la fuerza cortante se analiza unelemento diferencial de longitud dx, en el cual el momento flector mz puede considerarsecomo constante, reemplazando L por dx se obtiene:

Dr '

*dx 2EIZ (2.2)

= k^liEl,

r> La derivada de la energa respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en ladireccin de la carga.

2.1.3 ENERGA DE DEFORMACIN POR TORSINEl efecto de la torsin sobre el ulemento diferencial de la figura representa un estado detensin cortante pura.

De la figura 2.5 se deduce que la fuerza cortante que acta sobre las caras del elementodiferencial en estudio es: V = t * dy * dz, esta fuerza cortante ocasiona una distorsinangular de las caras del elemento.

MUK_U

Roberto Roche! Awad


fl dyII

la U1 h A 'dx

FIGURA 2.5 Anlisis de la torsin en elemeni os circulare

5 = y * dx, U = ^ ' * 5 / 2

Ii

i:

i*dz)(y *dx) dx*dy*dz

Pero;

= dx*dy*dz, = (ly*dz

De la Resistencia de Materiales: T = 2GI

*dx*dAx

2GLr2*dA +dx = m. *L23IX

(2.3) r9U m. *L

GIX

Para secciones circulares; Ix = K * d4 / 64

Roberto KocJieJ Awad

Anlisis Matricial de Estructunis

2.1.4 ENERGA DE DEFORIylACION POR CORTANTEEl anlisis de la torsin conduce a un anlisis de estado de tensin cortante pura, basados enesa consideracin para este caso tenemos;

ln

De la Resistencia de Materiales:

2GI2b2au-J v2 .2GA' I2 *J b2-*dA *dx

ALlamando factor de forma al trmi no : f f = -y * j -j- * dAI i b

TT fu=f

(2.4)

Para secciones rectangulares el factor de forma es 1,2

t 2.1.5 EXPRESIN GENERAL DE LA ENERGA DE DEFORMACIN:Para el caso de inters, material elstico y elementos de seccin transversal constante yrectangular, la energa de deformaoin total de un elemento tridimensional es la siguiente:

n

fx 2*]- f m 2 * d x r m 2 *c lx , m2*dxu + r y -i. i z + f * + 1U ^ A T - I ^ ' ' 1 ' r i >2AE ) 2EI J 2EI J 2GIi y ) t , x

T + ( ]__, ^^ + 1 2* f ZJ 2GA ' -1 2GAi i

(2.5)

2.2 MATRIZ DE RIGIDEZ

Ea necesario definir el sistema de inordenadas del elemento, este sistema de .coordenadas sedenomina sistema local de coordenadas, se selecciona de modo que la direccin del eje xcoincida con el eje del elemento, para seleccionar la direccin del eje x se elije uno de susextremos como nudo inicial, por defecto el otro ser el nudo final, el eje x se orienta del nudoinicial al final, la nomenclatura utilizada ser en letras minsculas pues se refierre al sistemade coordenadas del elemento y esta es variable segn su inclinacin, por comodidad se tomaun elemento horizontal.

Roberto Roche! Atvad


2A

FIGURA 2.^ Grados de Ebei-tad d un elemeni o tridimensional

Cada uno de los extremos del elemento tiene tres posibles d ssplazamientos y tres giros, si sedesea que a barra asuma una posicin deformada hay nucesidad de aplicar una serie decargas en sus extremos, la magnitud y direccin de estas fuerzas depende de la posicindeformada. Aplicando el principio de superposicin se puecen calcular las fuerzas necesariaspara producir cada uno de los desplazamientos en forma separada. Al analizar undesplazamiento los otros deben mantenerse nulos.

Las fuerzas que se aplican en los extremos de los elemento!! se clasifican en: fuerzas axiales,fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos torsores, analizaremos uno a uno estosefectos:

r ff|,cF-

r

2.2.1 ANLISIS DEL DESPLAZAMIENTO AXIAL, u^

3^ 10

FIGURA 2,7 Anlisis de la deformacin asial de un e (emento tridimensional

fj es positiva pues su sentido coincide con el sentido posivo del eje x, mientras que f7 esnegativa. La relacin entre esta? cargas, y el desplazamiento impuesto lia sido deducida ypuede consultarse en cualquier texto de Resistencia de Materiales, por lo elemental no sededuce en este texto:

f ^ = * U^ 17 ~ ~~T~ ^ ul-Lj -L'

Estas son las nicas fuerzas que hay que aplicar en los extraaos de la barra para producir eldesplazamiento u t

r

Roberto Rochel Awad

l i -

DNi I

Anlisis Matrcial de Estructura *

2.2.2 ANLISIS DEL DESPLAZAMIENTO NORMAL, u2 Y u3:

Para el anlisis de los di aplazamientos normales al elemento estudiaremos porcomodidad el siguiente caso esquentico:

Mi

MfVii x . i

Vf

Mx = Vi * x - Mi

ViL2

(Vi*x-Mi)*ic-ir -**

Despejando de O el valor de Mi y reemplazando en se obtiene:

Vi = 12EI^-3_*u

Por equilibrio esttico se determinen las fuerzas en el extremo final de la barra.

2.2.2.1 ANLISIS DEL DES! LATAMIENTO NORMAL u2:Con base a los resultados anteriores se obtiene que para producir el desplazamiento

u2 hay que aplicar en los extremos de la barra las siguientes fuerzas, los signos sernpositivos cuando su sentido coincida con el sentido del sistema de coordenadas:

Roberto Rochel Awad

_________________________ _________ _

Las cargas fuerzas para obtener u

f 12EZ2 ~ !

LJ

6EJz

2.2.2.2 ANLISIS DEL DESPLAZAMIENTO NOlMAL U3:Con base a los resultados anteriores se obtiene quu para producir el desplazamiento

u3 hay que aplicar en los extremos de la barra las sigentes fuerzas, los signos sernpositivos cuando su sentido coincida con el sentido del sistema de coordenadas:

pf tm__/'Ti

C-

L":F--

i:rf

l Anlisis Matricial de Estructur is

n

n

2.2.3 ANLISIS DE LA FLI XIN , u5 Y u:Para el anlisis de los giros de la elstica estudiaremos, por comodidad, el siguiente casoesquemtico:

Vi

Mx = Vi * x - Mi

aMi EI O

n:-(Vi*x-Mi)*x

_ _ _ ____

Vi*L3 Mi*L2

*-

Despejando de el valor de Mi y reemplazando en O se obtiene:

.. 6EI

Por equilibrio esttico se obtiene para el nudo final:

^ v.i-. 2EI

Roberto Roch'el Awad


2.2.3.1 ANLISIS DE LA FLEXIN SOBRE EL EJE Y, Uj:, 4EIyf5=-f "5

yn

Anlisis Matricial de Estructura s !:;: W-V-it/;'T ,2'*

2.2.5 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRD3IMENSIONAL

Para formular la matriz de igidez es necesario continuar con el anlisis del efecto delas deformaciones en el nudo final, se deja al lector esta labor como parte del desarrollo deasimilacin del conocimiento. Las acciones finales, en los nudos, se obtienen aplicando elprincipio de superposicin, para lo; desplazamientos analizados se obtiene:

'l = (AE/L)*u+f 2 = (12EIz/L3)*u2 + + (6EIz/L2)*u6 +f 3 = (12i;iy/L3)*u3+ + (-6EIy/L2)+u5 +f 4 = (GIx/L)*u4 +fj = (-6EIy/L2)*u3 + + (4EIy/L)*u5 +f s = (6EIarL2)*u2 + + (4EIz/L)*u6 +f-, = (-AE/L)+U[ +

Mo =MI'

(-12 ly/L3)*u3 + + (6EIy/L2)*u5 +(-


(D 10Elemento tridimensions 1

U) f / lJ& U? l/V' J>( J,* ^-'3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

AEL

~"5"L

I/

6EIZ[j!

~n2EIz"l_li

6EIZL2

12EIYL3

5EIYL3

12EIY

L3

..?E~

GIXL

~~L~

6EIYL2

4EIYL

6EIYL2

_JC

"~

U"

4E!ZL

T"6EI7

L2

2E!ZL 2 "

L3'

6E1Zi}

'12Elf'T,3

6E!ZL1

12EIY

L3

6EIy

l}

12EIYI3

6EIYir

-?

GIXL

6EIY

L2

2EIYL

6E3YI2

L

6EIZ

2HZL2

6EIZ3

Mn

n

nM(1nMnn

Anlisis Matrcial de Estructuras

2.2.5.1 LIMITACIONES DI! ESTA MATRIZ DE RIGIDEZ :; ,:

El material es perfecta: nente elstico y existe una relacin lineal entre las cargas ylas deformaciones.

Las deformaciones sor. pequeas, es decir, todos los clculos se hacen con lasdimensiones iniciales de la estructura.

El efecto de las fuerzas axiales en la flexin es despreciable,

Para que sea aplicable el principio de superposicin es necesario que se cumplantodas las limitantes anteriores.

Las cargas se aplican 3n los nudos de manera gradual y proporcional, es decir,inicialmente todas las cargas valen cero y se incrementan en tales proporcionesque todas llegan a sus valores mximos simultneamente.

No se considera el efeci o de las deformaciones causadas por las fuerzas cortantes.

No se considera la rigicez de los nudos.

Los elementos no se pa idean por efecto de la carga axial y de la torsin

Los planos XY y XZ son planos principales de flexin y en ellos actan lascargas.

El centro de cortante y el centro de torsin se asume que coinciden, de ulli que latorsin y la flexin sean independientes.

El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos.

En el caso de prticos tno de los planos de simetra debe coincidir con el plano decarga

M

2.2.5.2 PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

La matriz de rigidez es una matriz simtrica.

Esta matriz de rigides, es singular, no tiene inversa pues las ecuaciones sonlinealmente dependiente, obsrvese por ejemplo las filas 1 y 7.

Todos los trminos do la diagonal son positivos y tienden a ser los mayoresvalores de cada una de las filas.

Roberto Roche] Awad


/2

2.2.6 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PRTICOS PLANOSp

-* Elemento tridimensional Itlemento de Prticos planos

7

w-

AZL

;MT" L

-p1

l ' JHv12

Tirr

filly

L1

!EIy1

-ir

(iXL

EI~L

'JEJyL

SfJ yL1

TETT"l?~

6K1Z

L1

5"

1 *

r

La matriz de rigidez de un elemento de un prtico plano solo contiene las columnascorrespondientes a los grados de libertad 1, 2, 6, 7, 8 y 12, suprimiendo de la matriz delelemento tridimensional aquellas columnas de los grados di libertad que no corresponden aun elemento de un prtico plano se obtiene:

[*h

AEL

AEL

12EIZL3

6EIZL2

12EIZL3

6EIZL2

AE

6EIZL2

4EIZL

' E"L .

6EIZL2

2EIZL

12EI7L3

6E1ZL2

12EIZL3

' 6EI,L2

6EI7.L2

2EIZL

6EIZL2

4EIZL

I7.

Roberto Roehol Awad

ih

Hi;L i Anlisis Matrcal de Estructu -as

* J 2.2.7 MAT

P jI

n < 4*i"oHr?"JC } *1El

rjhi? 1M

w-

n 1M

RIZ DE RIGIDI

/ -> 0 J 9

:zi

t u

-

s^. -'IA' ,.^' ^ ..'"i

" . " ..y.

)E UN ELEMENTO DE ENTRAMADC

5^ ! t8" > X ^nElemento de'Entrsunado*

8 9 10 11 12

ZEg

"JjTi^

Olllz

L1

Kli "T7~

ITETf

ir

L

T

5ETr"iryi

ipr. iu r

L

..HE.-^

'

>s

^"'^

1\

c

8q

La matriz de rigidez de un elemento de un entramado solo contiene las columnascorrespondientes a los grados de libertad 2, 4, 6, 8, 10 y 12, suprimiendo de la matriz delelemento tridimensional aquellas i jolumnas de los grados de libertad que no corresponden aun elemento de un entramado se obtiene:

[ir]-

2

12EIZL3

6EI.,.L2

12EIZL3

6EIZL2

''

iilxL

ijlxL

6

6EIZL2

4EIZL

6EIZL2

2EIZL

8

12EIZL3

6EIZL2

r 12EIZL3

6EIrL2

10

01 f.L -

Glx

L

12

6EIZL2

^^^~^

2EIZL

?EIZL2

4EIZL

3=-*

?

\

Roberto Rochel Awad

Anlisis Matriciai de Estructuras 2.16 i

2.2.8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA PLANA

ti1 MElemento tridimensional I lleniGiito do Cercha Plana

Las cerchas son elementos estructurales muy particulares, en ellas solo la accin deldesplazamiento horizontal de los nudos afecta la tensin de las barras, bajo el principio delas deformaciones pequeas los desplazamientos de los nudos en las direcciones 2 y 8 noafectan la deformacin de la barra, por lo que estas columms y filas en la matriz de rigidezse llenan con ceros, no asi la 1 y la 7 que se toman del eleme nto tridimensional.

I

r r?,

r

f

1' AE

L0AEL

0

20

0

o

0

7AEL

0~~ "AE

L0

8o

|_)

0 '

0:

2.2.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA ESPACIAL

Elemento rldtmenaional Elemento de Cercha Espacial

Solo las deformaciones en la direccin de los grados 1 y 7 afectan el elemento de la cercha,los otros, bajo el principio de las deformaciones pequea no lo afectan y en la matriz sellenan estas casillas con ceros.

r

rr-

Roberto Kochel Awad

ri

:in

i

4

Anlisis Matricial de Estructur s

1" AET"

0

0AI.L"

0

0

2

0

0

0

0

0

0

3 7

0 -**L

0 0

0 0----- rr-

L0 0

0 0

8

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

0

0

0

2.3 EJEMPLOS

EJEMPLO 2,1

Determinar el valor del factor de forma para una seccin rectangular

A ~ b h, c = h/2

2-17

>

f

De la seccin 2. 1.3: T

nr-rr

rr

tr

r

r?

n

3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ENCOORDENADAS GLOBALES

3.1 SISTEMA DE COORDENADAS:\s ecuaciones de equilibrio desarrolladas en el capitulo anterior se han deducido para

el sistema de coordenadas del elemento, en el cual el eje X coincide con el eje del elemento,como la. orientacin de los elomentos vara en el espacio habr tantos sistemas decoordenadas como inclinaciones (ferentes tengan los elementos.

Htiiiiiiit J^ fin imiFIGURA 3.1 Sistema] locales de cooi denadas FIGURA 3.2 Sistema de coordenadas de la estructura

Trabajar simultneamente con tintos sistemas de coordenadas no es imposible pero si escomplicado y laborioso, para faci litar el anlisis de la estructura es conveniente referir tantolas fuerzas como las deformacit mes a un sistema nico de coordenadas conocido comosistema de coordenadas de la eslructura o sistema global de coordenadas, para lograr esteobjetivo debe establecerse un pro :edimiento de anlisis que permita establecer una relacinentre las fuerzas de extremo del el emento de un sistema de coordenadas a otro.

Tanto las fuerzas como los desplazamientos son cantidades vectoriales, la relacin entre lossistemas, de coordenadas se plant ia con carcter general y luego se aplica al caso particularde fuerzas y desplazamientos.

Se adopta la siguiente convencin:

Los sistemas locales de c oordenadas se identifican con lneas continuas

El sistema global de coordenadas se identifica con lineas a trazos

Con letras maysculas se identifican las fuerzas y desplazamientos cuando serefieren al sistema global de coordenadas y con minsculas las referidas al sistemalocal, tal como se hizo er. el captulo precedente. f

Roberto R0chel Awad


3.2 MATRIZ DE TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

Iru

3.2.1 CERCHAS ESPACIALES

.

FIGURA 3.3 Elemento de una cercha < spaclal

Las cerchas son estructuras especiales en las cuales los elerlentos solo trabajan axialmente,es decir, en el elemento indicado en la figura 3.3 las fuerzas

>1Anlisis Matricial de Estructura j

ri Al ordenar las fuerzas en el aislennecesariamente el mismo orden qi

1 J rigidez, para este caso y expand enmatricial:

1JJM-,

* I [FI] [GX!F^ CY

, F czM F7 - o rFS 'o ;

K orii \~n ^ \

En esta expresin [T] representa la ttespacial. Los trminos que se han c

n q u e son l o s coeficientes de l a s fuerza

L ] 3.2.2 CERCHAS PLANAS

Ms 1 j

'-h i

FIGURA Ji, ]

El anlisis de la transformacin di' ;similar al anlisis realizado para ccn

n e s decir, suprimir l a s f i l a s y columi l a

n 'Fh &ri

. .-^""'ii'^o.?^' ^:sSar^sM:/;fe5iiii

oa de coordenadas de la estructura ;debi 'Conservrse-le se ha seguido para la organizacin de la matriz dedo el anlisis al nudo inicial se obtiene en notacin

. \2 3 7 8 9 ..-

*.' * 0 O f l ] r-* * 0 0 0 f 2* * 0 0 0 ito ' o CX * * iTo o CY * * F7o o CZ * * ...J [17

\ ' |"1>

{F} = [T]*{f}| (3.1)

Latrz de transformacin de coordenadas para una cerchaolocado con asteriscos no tienen inters prctico puestos f2, f3, fs y fg que son nulas para el caso de cerchas,

f 81 ) X tf

r"" f\L.'' (T) (?) T^7

.5 Elemento de una cercha plana

berzas en el caso de cerchas planas se hace, de manera:has espaciales, basta con eliminar la tercera dimensin,s correspondientes a los grados de libertad 3 y 9

1 2 7 8

rcx \ in f, 1CY 4 0 Q * fjo oA ] ex i r; '

P.

Roberto Rochcl AwadV iU

Anlisis Maricial de Estructuras 3-4

3.2.3 ENTRAMADOS

2

6 \ 4

zX^x

s0 - p 2xrf (

FIGURA 3,6 Elemento de un entr nado

10 f >

Los entramados son estructuras .planas localizadas en el p, ano XZ, al cambiar la orientacinde sus elementos en este plano el eje Y no sufre ninguna modificacin, luego las fuerzas f2 yfg son las mismas tanto en el sistema de coordenadas globi il como en el local.

El ngulo que forman entre s los dos sistemas de coordenadas se representa por a y se midedel sistema local al sistema global de coordenadas, este ser su sentido positivo si esantihorario, Analizando el nudo inicial se tiene;

C

:rrr-

FIGURA 3.7 Transformacin dol sistema de coordenadas para un entramado

F2 " *2F4 = f4 * Cos o. f * Sea aF6 = f4 * Sen a + f * Cos a

Anlisis Matrcial de Estructur s

;i

10 12

100000

03X.CZ000

0-CZex

000

000100

0000

exCZ

0000

-CZex

TT17

n

in

3.2.4 PRTICOS PLANOS

12

FTGUR13.8 Elemento de un prtico plano

Los prticos planos son estructura 3 localizadas en el plano XY, al cambiar la orientacin desus elementos en este plano el eje Z no sufre ninguna modificacin, luego las fuerzas f6 y f12son las mismas tanto en el sistema de coordenadas global como en el local. Analizando elnudo inicial;

O

FIGURA 3.9 TrnrufornuM Ion del sistema de coordenada para un prtico plano

, ,\


En estas expresiones: Cos a = CX y Sen a = CY. E>:pandiendo para el nudo final yexpresando en forma matricial se obtiene:

T7

1

rcxCY0000

2

-CYCX00

1 0

6 7

0 00 , 01 ' ' 0o tlCX Ho CYo ! 0

8

000

-CY1CX0

12

000001

fFFTT

3.2.5 PRTICOS ESPACIALESY

3m

3 mX

3m

3m

5m

Ni

_5_in , 5_m ,172 ,172

Prtico en eje A

Nf

:,,A

Planta estructura espacial

FIGURA 3.10 Transformacin del sistema do coorrtensdas para un prtico espacial

Consideremos la estructura tridimensional de la figura 3. 10, en la planta de la estructura eleje Z es normal al plano XY y va dirigido hacia el lector. Se desea determinar para elelemento "n" la matriz de transformacin de coordenadas, para ello debe seguirse elsiguiente procedimiento:

Definir el nudo inicial y final del elemento para con el) o determinar el vector unitario x

Calcular el vector unitario x:

t

r

L_i

r(

i

Definir y calcular un vector auxiliar unitario x1 no paralelo a x

Roberto Rochel Awad

pnsJi Anlisis Matricial de Estructuri ts Realizar el producto vectoria. de x y x' condicionando, de acuerdo con k regla de lamano derecha, que el vector resultante est dirigido hacia el lector, para el caso 'enestudio esta condicin se cumple de la manera siguiente: z = x * x'.

Obtenidos los vectores x y J i se calcula el vector y realizando el siguiente productovectorial: y = z * .x

Se ensambla la matriz de transformacin de coordenadas y se expande paradesplazamiento y giros en los dos extremos.

Este procedimiento es tambi n vlido para el caso de prticos planos.

l

UuflijllJfll

3.2.6 PROPIEDADES DE U, MATRIZ

Una propiedad importante de esta matriz es que su transpuesta y su inversa soniguales, se deja al lector la demos xacin de esta propiedad

(3.2)

3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

3.3.1 INTRODUCCINLa matriz de rigidez deducida en el captulo 2 relaciona las fuerzas con los

desplazamientos en los extremos ie los elementos en coordenadas locales, ({f} = [k] * {u}),para clculos computacionales es poco prctico y esta relacin es conveniente obtenerla en elsistema de coordenadas de la estructura ({F} = [K]*{u}). /*

En la seccin 3.2.1 y en las posteriores se ha demostrado: {F} = [T]*{f}

La expresin anterior es general } puede ser aplicada a cualquier cantidad vectorial, aplicada'axlos desplazamientos ae obtiene:

{U} =Premultiplicando por [T] :

{F} = [T]*{fJ -

Roberto Rochel Awad

-


{F} . [T].{f} .. M[kHTf-{U}

{F} = [T]*[k]*[T]T.{u} . [K]*[U]

Se denomina matriz de rigidez de un elemento, en coorden idas globales, al siguiente tripleproducto matricial:

M-J5H (3.3)Las matrices de transformacin de coordenadas, [T], y las de rigideces en coordenadas delelemento, [k], han sido deducidas en este texto para las difitrentes estructuras reticulares, seprocede ahora a realizar el triple producto matiicial de la licuacin (3.3) para cada una deellas.

3.4 MATRICES DE RIGIDEZ:

uFI"rFr;r

3.4.1 CERCHAS ESPACIALES

Dlas secciones 3.2.1 y2.2.9:

[TI -

1

'CXCYCZ

000

2

+

*

*

00

0

3 7

* 0

* 0

+ 0

o CXo CYo CZ

8

0

0

0+

*

*

9

0 "

00+

*

#

[Tf =

1'ex:

+

0

00

2

CY*

*

0

0 '

0

3 7

CZ 0+ 0

* 0

0 CX0 ' +

o ! *

8

000

CY* !

*

9

000

CZ+

*

[k] = AE'100-10

0

00000

0

0 - 10 00 00 10 00 0

0

00000

0 '

00

000

I'IP

^r;r-;

Roberto Rochel Avrad

i"u

J Anlisis Matricial de Esructi iras>]

11

MnnI;n i

Al realizar el producto matricill obsrvese la necesidad de tener ordenados en el mismoorden los grados de libertad en 1 as matrices [T] y [k]

7

AE

rcxCYcz-ex-cv-cz

000000

0 -CX0 -CY0 -CZV CX~0 CY0 CZ

000000

00000

AE^L

1

CX2CX*CYCX + CZ-CX2

-CX+CY_ -CX + CZ

2

CX + CYCY2

CY+CZ-CX+CY

-CY2-CY*CZ

3

CY*CZCZ2

-CX+CZ-CY+CZ

-CZ2

7

-CX2-CX+CY-CX+CZ

CX2CX + CYCX*CZ

8

-CX*CY-CY2

-CY+CZCX*CY

CY2CY+CZ

9

-CX+CZ-CY+CZ

-CZ2CX + CZCY + CZ

CZ2

(3.4)

3.4.2 CERCHAS PLANAS:

Eliminando en la expresin anterior la-columnas y filas correspondientes a losgrados de libertad 3 y 9 se obtiene la matriz de un elemento de una cercha plana encoordenadas globales:

AEL

CX2CX'"CY

-CX2-CX*CY

CX*CYCY2

-CX*CY-CY2

-CX2-CX*CY

CX2CX*CY

-CX*CY-CY2

CX*CYCY2

(3.5)

3.4.3 ENTRAMADOS:

De las secciones 3.2.3 y i,2.7:

Roberto Rochel Awad

Anlisis Maricial de Estructuras 3-10

m_

2

r i00000

4

0excz ;000

6

0-czex000

8

00o

00

10

0000

excz

12

0 1000

-CZcxj

mT -

2

" 10000

4

0ex-cz

000

6

0czex

000

8

000100

10

0000

ex-cz

12

0000ezCXj

[k].

2

12EI,

L3

6EI,T?TiEr;L3

lIIIl

nl

Anlisis Matricial de Estructuras ' . : . . - . ^^^MjA^^i.rSi'^!

2 4

' 12EI, fiHL3 L2


M[k] =

1

L XAEL

n

AEL "

AEL0

112EI

L312EI2

L36EIZ

L212EIi rv

L312EI*r"r

L36EIZ

L2

6

6EI,L2

6EIZ ^ vL2 '4EIZ

L6EIL26EIZL22EIZ

L

7

LAEL

' ^c?"LAE mL

o

8

12EI'CYL3 CY

Z pv

L36EIZ

L212EIi rv

L3

z f'VL36EIZ

L2

12

L2 CY

6EIzcxL22EIZ

L6EIz CYL2

O El 7

L2 ,4EIZ

L

1

La matriz [K] = [T]k][T]T, para un elemento de un prtico plano es la siguiente:

AH-5EI7 CY

12EI7

I 1L 3

AEL

^CY^-

AE

AE

irniCX

6E1Z CY

"TETTL

6 El.'"i

AE 1 12E3'

'(X-CYT1T7 CY

l2EI7CY-'

AP. 1*M

^=.^i -C;:-CY~STrr

12EI,

AE CY' + .CX''

TErr

12

TErrL

1;C

I

3.5 EJEMPLOS

EJEMPLO 3.1

Calcular la matriz, de transformacin de coordenadas dti elemento "n" indicado en elsiguiente prtico plano

c

Roberto Rochel Awad

ni

un

u

Anlisis Matricial de Estructu as &WA^>ttirt 3-13

Y

Nf

3m

4m

_L_ ....:;, X

Ni

4m 5m

Procedimiento de acuerdo al anlisis de la seccin 3.2.4:

Se selecciona uno cualquiera de ] os extremos de la barra como nudo inicial, i, y se calculanlas coordenadas de los nudos, 1 longitud del elemento y los cosenos directores, para losnudos seleccionados se tiene:

Coordenadas de los nudos;

Longitud del elemento:

Cosenos directores:

Ni (400, 400), Nf(900, 700)L = ^/(900~400)2 + (700-400)2 = 583,095cm

Xf-Xj 900-400

CY = L

583,095

700-400583,095'

= 0,857

,"

r exCY0000

-CYCX0000

0 | 00 01 tljT0 CX0 ! CY0 0

( 1I II I

-CYCX.

( I

0 100001 J

[0,8370,514

0"-O" '

0L

-0,3140,857"

0(J00

o : o0 ! 01 i. "o ;V 0.83T0 ! 0,5140 0

000

.^.Jl0,857

0

000V01

Procedimiento de acuerdo al anilisis de la seccin 3.2.5:

a) El vector unitario x se ha calculado como: x = 0,857 i + 0,514 j + O kb) Se define un vector auxiliar x' y se calcula similarmente al vector x:

Coordenadas de los nudos: Ni (900, 0), Nf(400, 400)

Roberto Rocbel Trad


Longitud del elemento: L = ^ (400 - 900)2 + (400-O)2 =640,312cm

Cosenos directores:

El vector unitario x' se ha calculado como: x = -0,781 i + 0,625 j + O k

c) Se calcula el vector z, para el caso z. x * x'

i J k0,857 0,514 O-0,781 0,625 O

Normalizando el vector z:

(0,85''* 0,625 +0,781 * 05514)*kz =.0*i + 0*J+ 0,937 *k

z = 0*i + 0*j + l,0*kI r

c) Se calcula el vector y, para el caso y = z * x

Ji j k0 0 1

0,857 0,514 Oz = (0-1*0,514)*! - (C-l*0,857)*j + (0)*kz = -0,514*i + 0,857* j + 0*k

d) Obtenidos los vectores x, y y z se ensambla la matriz de transformacin de coordenadas:

Ci-

0,8570,514

0

-0,5140,857

0

001

hr(y

Verifiqese que se cumple la reclacin: [T] = [T]

Roberto Rochel Awad

1ri

Anlisis Matricial de Estruchu as

EJEMPLO 3,2

Calcular la matriz de transforn \acion de coordenadas del elemento "n" indicado en elsiguiente prtico espacial

>, Y' t -Z

3m

3m

3m

3m

5mNi

5m 5 m

X& L/2 ,L/2

Nf

A

Prtico en ej APlanta estructura espacial

Procedimiento:

a) Se calcula el vector unitario x

Coordenadas de los nudos: Ni (500, 300, 500), Nf (1,000, 600, 800)Longitud del elemento: L = ^ 1000 - 500)2 + (600 - 300)2 + (800 - 500)2 = 655,744 cm

X f-X 1000-500 n^,0Cosenos directores: CX = *-=L = ,,.,,. =0,762L 655,744j

Y f-Y 600-300^~L~ "6557T44"

cz = 800-500

El vector unitario x es:

L 655,744

x = 0,762 i + 0,457 j + 0,457 k

= 0,457

b) Se define un vector auxiliar x' y se calcula similarmente al vector x:

Coordenadas de los nudos: Nf (500, 300,500), Ni (750, 450,0)

Longitud del elemento:L =


/i(Cosenos d /TV ^ jirprtnrpq * i A H Wl_ LWi. &D , V^/x ~ ~~

PV -^ L

C7 -\-ri-t

El vector unitario x' es: x = -0,432

c) Se calcula

i0,762 0-0,432 -0

el vector z, para el caso z = x *

j k,457 0,457,259 0,864

Normalizando el vector z:

c) Se calcula

i0,514 -00,762 0

el vector y, para el caso y = z *

j k,858 0,457 0,457

3,16

: f -X i 5GO-750i i 0 / 1 1 ^L 578,792 '

f-Y 300-450 _L 578,792 '

f - Z 503-0L 5751,792

i - 0,259 j + 0,864 ki

x'

z = (0,457=10,864+0,259*0,457) i -(0,76210,86440,432*0,457) J 4(0,762 -0,259 + 0,432*0,457)*k

z = 0,513*i-0,856*j + 0*kz = 0,514*i-0,858*j + 0*k

x

y- (-0,858*0,457+0)i-(0,5 1410,45740) j +(0,51410,457 +0,858*0,762)*k

1mjt

r-y1^i_j

Fr

_

r-Fr*' ,rr>r

'

d) Obtenidos los vectores x, y y z se ensambla la matriz de ransformacin de coordenadas: r-

Expandiendo esta matriz:

0,7620,4570,457

-0,392-0,2350,889

0,514 "-0,858

0

rf -f i^*i

Roberto Roche! Awad

- "X

r>

a.o50

Rls_

8-Ec.a

o2-

i

;r-

c

nr*

n

4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

4.1 INTRODUCCINEn el anlisis de la rigidez los grados de libertad se localizan en los nudos, a las fuerzas

Kij se les conoce tambin1 como rigidez nodal, representa la fuerza en el grado de libertad icausada por un desplazamienta unitario impuesto al grado de libertad j. EL objetivosiguiente es idear una manera eficiente y automtica para generar la matriz.

Todos los trminos de una columna de la matriz de rigidez son fuerzas aplicadas en losnudos producidas por un despkzamiento nodal unitario. Considrese la estructura reticularde la figura 4.1 en la cuallos gi'ados de libertad ya han sido numerados y se desea calcularlos elementos de la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura, para ello, seaplica una deformacin unitiria al .grado de libertad 1, manteniendo los demsdesplazamientos nulos.

>^K,t

11

1210>l i l i l !

K 41

I/til/I

FIGURA 4.1 Coefllcle ites de Influencia da rigidez, estructura reticular plana

:3i

\L

Los trminos Kn, K21 y K3i son las fuerzas correspondientes a los grados de libertad 1, 2 y 3respectivamente, causados por u n desplazamiento unitario aplicado al grado de libertad 1.

Examinando el clculo del trrtino Kn se concluye que el trmino Ku para la barra Nlrepresenta la fuerza axial neceiaria para producir un alargamiento unitario y es igual a:K,=AE/L. La barra N 3 se traslada lateralmente en uno de sus extremos una distanciaunitaria, con las rotaciones de los extremos restringidas, para esta barra de acuerdo a loestudiado en la seccin 2.2.2- se concluye que: Kn=12EI/L3. Resumiendo: Cada trmino dela matriz de rigidez se puede ca] cular directamente examinando los extremos de las barras ysumando las rigideces con que contribuye cada uno de ellos.

Roberto Rochel Awad


4.2 GENERACIN DE LA MATRIZUna vez determinadas las matrices de rigidez de todos lo 5 elementos de la estructura, en

coordenadas globales, debe procederse a ensamblar k mat; total, su orden corresponde altotal del nmero de grados de libertad,

La manera de ensamblar la matriz de rigidez de una estructu ra se explica fcilmente con unejemplo, el procedimiento a seguir es el siguiente:

Numerar los nudos y los elementos,

Definir el sistema de cooordenadas local para cada elemento y global para kestructura; para definir el sistema local no importa el orden con el cual seseleccionen los nudos inicial y final de cada barra.

Definir los grados de libertad de la estructura y nitmerarlos, es conveniente paraclculos manuales numerar primero los grados libros y dejar de ltimo los gradosrestringidos o lo .contrario, lo que no debe hacerse es mezclar su numeracin,: .

Ensamblarlas matrices de rigidez de todos los elementos en coordenadas'globales eidentificar en ellas el nmero de los grados de liberta d a que corresponden cada unode sus trminos,

Ensamblar la matriz de rigidez total trasladando ino a uno los .trminos de lasmatrices de rigidez de los elementos.

Se seguirn los pasos anteriores en el siguiente ejemplo numrico:

niiiit6 m

ilinii

E = 200 kg/crA

Vigii:4 m

b = 30 cmh = 30 cm

Col'irruas: b = 30 cmh = 40 cm

FIGURA 4,2 Estructura reticular correspondiente u un prtico plano

Procedimiento:

a) Se numeran los nudos y los elementos'Se define el sistema global de coordenadas y el local par, cada elementoSe definen y numeran los grados de libertad, se numeran primero los libres

I"t

f

r

i:/i t

Roberto Rochel Awad

3']nin

n

n

nI >ti

Anlisis Matricial.de Estructur is

m

m

Grado. dbMtad

Coonlenda lcale

i 1

Coordenada glol ialm

FIGl JRA 4.3 Sistemas de coordenadasGrados de libertad restringidos: 9, 10, 11 y 12.

b) Se calcula la matriz de rigidei, en tn/cm, para cada elemento en coordenadas globales

&sV

Gradosde libertadNudo inicial Nudo fi lal

9 10 1 2^ 3 4

Grados de libertadNudo inicial Nudo final2 . 3 4 5 6 7

"600

-120U^00

_-i2oq

60000

-6000C

-1200 -600\ L200

1200j 600!I

1600 L20q

-6000)

6000(1

-1201

16001200

3200

\o

V.V>

4

[%] =

' 30.000

-3.O~00

.

7525

-75225

225900

-225450

-30,000

307000"

-75-225

75-225

"

225450

-225900_

11q

'^

Grados de libertadNudo inicial Nudo..final

5 6 7 11 12 8

N=

'600

1200-600

1200

60000

-60000

1200] -600i

3200J-1200-12001 600

i1600-l200

-6QOOO

60000

1200

1600-1200

3,200_

$


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

'ki\\

23456789101112

Grados de libertadno restringidos

Grados de libertadrestringidos

klo i i 3 4

FIGURA 4.4 Traslado del trmino K,, 10 de lo matriz del elemei ito 1 a la matriz de 1 estructum

[K].

13,200

1.200

1.600

-1.200

2

1.20060030.000

1.200

-30.000

-600

3

60.00075

225

-75

225

~o.oc:T

4

1.600

1,200

225

3.200900

-225

450

-1200

5

-30.000

30.000600

1.200

1.200

-600

t

-75

-225

7560.000

-225

-60. 000

7

225

450

1,200

-225

9003.2001,600

-1.200

8 9

-1.200

-600

-1.200

1.2(0

1.6(03.2(10

600

-1.2001

10

-60,000

60.000

11

-600

-1.200

-1.200

600

12

-60.000

6.OOO

Esta matriz es una matriz simtrica, diagonalmente dominante y positiva, para una adecuadanumeracin de los grados de libertad es una matriz baldeada, en los trminos dondecontribuyen ms de una rigidez estas se suman algebraicamente.

tr-

F;4.3 SISTEMA DE NUMERACIN DE LOS NUDOS

Analizado el procedimiento para ensamblar la matriz de rigidez de una estructura, esconveniente estudiar un sistema adecuado de numeracin di i los grados de Libertad con el finde concentrar sus trminos sobre la diagonal principal y aprovechar sus caracterstica de

fRoberto Rochl Awad

! iJ5


I

pv-

'

matriz bandeada. Segn el procedimiento de solucin que se desee seguir existen lossiguientes dos criterios:

a) Solucin por expansin de la matriz

Para facilitar la expansin d; la matriz deben numerarse primero los grados de libertadlibres y despus los restring dos o lo contrario, lo que no se debe hacer es mezclarlos.Este procedimiento se utilizar en los ejemplos de este texto pero no es el procedimientoadecuado para estructuras de alguna consideracin

b) Solucin dilecta del sistema de ecuaciones lineales

Los problemas de ingeniera involucran una gran cantidad de incgnitas y el sistema desolucin por expansin es imprctico, en este caso la numeracin de los grados delibertad va asociada a la nun .eracin de los nudos, el procedimiento ms apropiado paranumerar los nudos consiste ;n obtener que la mxima diferencia entre los nmeros delos nudos que conecta una b irra cualquiera sea la menor posible, con esto se logra quelos trminos de la matriz de rigidez se concentren sobre la diagonal principal y puedeaprovecharse sua caractersticas de simetra y de banda con el consiguiente ahorro dememoria de computador en e 1 proceso de solucin

14 17

15

11

2322

0

(51 0MximaDiferencia=6.

irrrn

Grados libresA

Restringidos

K=

20

aM,

m |i:

> MB

19rrrrn

MB = 21

FIGURA 4.5 Slsteina di i numeradn de los nudoa y d los grados de libertad

De acuerdo a la numeracin de los nudos se han asignado los grados de libertad, si as seprocede el ancho de la semibancia media banda (MB) se puede calcular de la siguientemanera:

MB = (Max. diferencia +1) * N Orados de libertad por nudo

Roberto Rochel Awad


14

20

X)

0

MximaDiferencia=2

jJ^-Mo17

23

Gn doa librea

as

Rcatringido

MB =9

FIGURA 4.6 Sistema de numerudn ptimo de los nudos) de los grados de libertad

MB

4.4 ANLISIS DE CARGAS APLICADAS EN LAS LUCES:En las secciones anteriores se analiza el mtodo de la rijtidez enfocndolo a obtener los

desplazamientos de los nudos por medio de la resolucin de las ecuaciones de equilibrio delos nudos, {F} = [K] * {U}. El vector {F} representa las cargas aplicadas en los nudos.

Cmo se plantea el quilibrio de una estructura que tiene caigas aplicadas en las luces?, lasolucin se plantea organizando dos vectores de cargas, uno que represente las cargas en losnudos, {N}, y otro vector de cargas efectivas, {L}, que provoque el mismo desplazamientode las cargas aplicadas en las luces, el vector resultante sera: [F} = {N}-{L}.

i 4 i i i 4 Q i 4- 1->--+->->-*->->->A^n n 7

rrrn rrrn rrn mn

FIGUR4 4,7

El objeto de este anlisis es determinar las cargas, que aplicadas sobre los nudos, producenel mismo desplazamiento que las cargas aplicadas en las luces. La estructura puedeconsiderarse como la superposicin de dos casos: el caso 1 consiste en las cargas realesaplicadas sobre las luces y una serie de cargas restrictivas aplicadas sobre los nudos queimpiden que los estos giren y se desplacen. Ahora se aplican unas serie de cargas de igualmagnitud pero de sentido contrario a este conjunto de cargas p ara constituir el caso 2.'La superposicin de los casos 1 y 2 es estticamente equivalente a la estructura real pues lascargas restrictivas se cancelan. Puesto que la superposicin de los casos 1 y 2 constituyen un

EP *

Robarlo Rochel Avvad

,1

^ e X 3 M1' o tto^/ , *

w Mtricial de Estructuras

n

n

sistema estticamente equival nte, tambin produce un sistema cinemticamenteequivalente, esto quiere decir qu; la suma de los desplazamientos de los casos 1 y 2 soniguales a los de la estructura real, debido a que el caso 1 no produce desplazamientos;;de losnudos los desplazamientos del cano .2 son exactamente iguales a los de la estructura real,

Las cargas del caso 2 son las cargas equivalentes a las cargas de las luces, {L}, y su valor sedetermina a partir de las acciones de extremo fijo, sobre los extremos del elemento y sepasan a los nudos cambindoles su signo, luego el vector de cargas en los nudos (F) ser:

.- , ~ ft . :

{F} = Vector total de cargas(N) = Vector de cargas aplicadas en los nudos{L} = Vector equivalente de cargis en las luces

4.5 PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANLISIS: Numerar las barras y le a nudos de acuerdo a lo explicado en el numeral 4,3

Definir los sistemas de coordenadas locales y global para la estructura

Calcular la matriz de ri gidez de cada elemento en coordenadas globales

Ensamblar la matriz de rigidez total de la estructura, [K]

Definir el vector de car jas en los nudos, {F}, y el vector de desplazamientos, {U}

Resolver el sistema: {F} = [K] * {U}, para clculos computacionales se empleael mtodo de Oauss o c e Cholesky empleando un algoritmo para resolver la matrizbandeada, Para calculo u manuales se procede de la siguiente forma: Al separar losgrados de libertad libres de los restringidos se puede realizar la siguiente particinmatricial:

ol K O K ,U

{F0} = Vector de cargas aplicadas en los grados libres, conocido{Fj} = Vector de cargas aplicadas en los grados restringidos (reacciones), esconocido{U0} = Vector de desplazamien is en los grados libres, desconocido

= Vector de desplazamientos en los grados restringidos, conocido-

Pora desplazamientos:Para reacciones:

{U } = [KJ-i * ( {F0} - [Ko] * {U0} ){F,}=[KJ-*{U0} + tK3]*{U,}

(4.1)(4.2)

Robarte Rochel Awad


4.6 EJEMPLOS

EJEMPLO 4.1

Analizar el siguiente entramado considerando:fj = 0,25.

,, Y 10 tu

i

S.OOO cm4, E = 10.000 tn/cm3 y

Procedimiento: Unidades de trabajo; tn y cm.

a) Numerar 'as barras y los nudos, definir los sistemas locales de coordenadas. El sistemaglobal se indica en la figura superior,

b) Se calcula la matriz de los elementos en coordenadas globales y se ensambla la matrizde rigidez de la estructura:

Barra N" 1 Ni (0,0,0), Nf (100,0,0), CX = 1,OC, CZ = 0,00Grados de libertad

STud) f inal3

Nudo inicial4 5 6

Nud) f i na l1 2

120

-1206,000

6.000

40.000

-40,000

6,000

400.000-6.000

200.000

-120

'-6.000120

-6.000

-40.000

4d.OOO

6.000

200.000-6.000

400.000_

lC;O

r

r

ror;r-

Roberto Rocha! Awad


Barra N 2 Ni (100,0,0). Nf (200,0,75), CX = 0,30, CZ = 0,60

[Ka]-

Grados de libertadNud o inicial Nudo final

1 2 3 7 8

' 61,44-2.3043.072-61.44-2.3043.072

-2,304135.680

-138.2402,30437.120

-92.160

3.072 -61.44-138.240 | 2.304216.320 _j -3. 072-3.072 61.44-92,160 2.30490,880 i -3,072

-2. 30437, 120-92.1602.304

135,680-138.240

3.072-92,16090.880-3.072

-138,240216,320

f 3

'181,44-2.304-2.928-120

-6.000-61.44-2,3043.072

-2,304175.680

-138.240

-40,000

2,30437,120

-92.160

-2.92S -120-138.240616.3IO 6.000

6.00(1 120

200.000 6.000-3.071-92,1(090,883 \0

40, 000

-6,000

200.0006,000

400.000

-61.442,304-3.072

61.442.304

-3.072

-2.30437.120-92,160

2.304135,680

-138.240

3.072-92.16090:880

-3,072-138.240256,320

c) Se ensambla el vector de carga; :

Cargas en IBS luces

Barra N 1

1 V

200tn-cmW= 0,24 tn/cm

iOOtn-cm

> ^ vj/ si/ si/ '

-tL 100 an ,1 >VZ

L 3 - 200 In-cmfe

';> X

Ban-a N 2

Roberto Rochel Avfad^


312,5tn-cm 201*1 312,5 tn-cm62,5 cm

Ni125 cm

Nf

L,-187,3 ta-on

10ta~L,

-b.a

12O

loo'

-200

510

-187,50

10187,50-250

tn,tn-cm

Cargas en los nudos y vector total de cargas

N,N2NT7N57N7

-100

1000R7"

R

R9

tn,tn-cm

r1-Lj 22-187,50

12

10187,50

tn, tn-cm

-32187,5-1.050

R6 - 200R7-10

Rg-187,5R9 4-250

tn, tn-cm

1, _ rt

r** I

rn-'iir4

J

d) Se ensambla el vector de deformaciones:

UHiUfiU7HaIJ9

_i3JL_o__o__o_JL

o

cm,radial es

r

rr.

Roberto Rochei Awad

u;1

r

']

>


e) Solucin para desplazamientos:U

Por ser {U(} = {0}, se obtiene:

181,44-2.304-2,928

-2,304175.680

-138,240

-2.928 1-138.240 *616.320 j-

U,

U

U, '-0,3550751Uo > = \\cm,n

[U 3 j (-0,0050949 J

) Acciones en los extremos de las 1 (arras en globales

Barra N 1 : Acciones en tn y tn-cm

NIF1NI"

122_0012~

-200

' 120

-1206.000

6.000

40,000

-40.000

6.030 | -1201

400. )00 1 -6.000"-6". 000 f 120

I1

200, )00 -6.000

-40,000

40,000

6.000 "

200.000-6.000

400.000

Barra N 2: Acciones en tn y tn-cm

t .

10-187,5735$T.T8775"

' 61,44-2.3043,072-61, 44"-2.3043.072

-2.304135.680

-138.2402.30437.120

-92.160

3,072 1-61,44-1:8.2401 2.30421i>.320 1-3,072-3.072 61,44-92,160 2.3049C.880 -3.072

-2,30437.120-92,1602.304

135.680-138,240

3.072-92.16090.880-3,072

-138.240216.320

o00

-0,355075-0,0075985-0,0050949

24,04303,941,311,47-0,04-303,94

^ -107,51

-0,355075-0,00759853), 0050949

-9,96

"27,9S"'1.193,08"^TI3^

1

l

' 1L lia..

Nj- 301,94^ ~?i Y NJ"303'9'( -

HF ". vu

La solucin presenta equilibrio, cbservese que si se suman las acciones en el nudo 1, seobtienen las cargas aplicadas en < iicho punto, mientras que las acciones en los nudos 2 y3 corresponden a las reacciones e a coordenadas globales.

Roberto Rochel Awad t '


g) Acciones en los extremos de las barras en locales

En la barra N 1 dado que los sistemas de coordena das local y global coinciden no haynecesidad de transformar las fuerzas en sus extremos. Para la barra N 2 se procede asi: :

= [T]T*{F}

1717S

100000

00,8-0,6

000

00,60,8000

000100

0000

0,8-0,6

0000

0,60,8j

-',963C3.94-8,96

1.1)3,08-1.103,54

-9,96-292,35-896,3629,96292,34

-1.598,68

tn, tn-cm

r-n,- 24,M

-303,54 L_

a" 1311.47 ,. .--'(2) U

n,,M

n,-303,94 ,f * '< ~

nj- 107^1n" 8X5,34

nrl58,iS8 nfi

Cada una de las barras se encuentra en equilibric, la solucin es correcta y puedsprecederse al trazado de ios respectivos diagramas.

303,M

t.311,47 A24,04

Vta

24,CM

M tn-cm

0,24 tn/cm

L-100 on

EJEMPLOS.

303,94

10,04\|/

0,04.',Xm

107,51

20 tu0,5.

29Z15 ,_

S*

>L-125 on

f1 29,94

8M,31* -/fe

1- \'>1 j

200,000 tn ""' ' i ' J. -n '3 tn - m

a , . . . . , . . , . , ..,,>..! .... ... ,K , . . . . 1 , ...(,;,,

10 cm

i- .A B

W ,; ^3m

, ) 4 tn /m,[\L, i i I GG

c ^ : : ' '

6m;v..-,; .-.v!^Vf ..,., ,.;,..,.

. TY(D

"f4' ' :10 cm

"*~~

(g). v . Q

ffl

I! 1_ .?- -^5

3m

H ^

X. 6 m

.

'. .; i.

' ' ' ' - 1 ' i 'X' " . '0* D

' ' 41" 2 m V

. . ; . " . i v , - > . ' :,>: ^n1

) 131^^ .- .. .-0 , . ' -

@

xt2m

~t |1

w 710

^ cm

Propiedades de las barras:

Barrai23

"4 '"; 5 a 7 v '

fe cm10,00010.000

1010E7

* 30' ' ' !i''

hcm0,0000150,000020

4.182,00921410E-5

1 : 30

Etn/cm2200200

1200200

fe kg/cm2236,68639236,68639

0,005917161236,68639236,68639

Coordenadas y desplazamientos .de los nudos:

Roberto Rochel Awd

Anlisis Matricial de Estructuras I"Nudo

12345678

Xcm0

300 '900 ""'-1100 i

100011000

3001100

Ycm10 ,

'" "O1010 ' '10 , - . . ; ' . ;"...) '.,,v..-.,v,'v.J;'...'i :;.

DESPLAZAMIENTO DE LOS NUDOS, cmNTjEDO

1z3

V;': ' ' t i - , ; .0,1416 , : y0,13760,0204

-Uy-"0,0513

^ -0,04950,0085

Obtenido los desplazamientos; se^ferifca que .la .resulante.'del desplazamiento del apoyo derodillo coincida con la direccin ddl plano de desplazamiento: . .

5 712 = 0,0085/0,0204 = 0,4167, .-=> La solucin es correcta' ' v

Tensiones en las > barras (-+ traccin ): - . . - ;


EJEMPLO 5,3 .:: , ,,, . . - , - , . ^ \wi' : -.-. : . , . ' . : ' ' ' :/, ''". . - .1: !

Anlisis Matricial de.EstiucUF as ,-'-'- - ' - - ' - - ' ' ! ' - ' - ' - '

5.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

5.1' Resolver la siguiente viga empleando el programa "de^computador. y revisar, en lasolucin, las condiciones generales de equilibrio, Para todas las barras tomar b = h =30 cm y E = 200 ta/cm2 Modelar los apoyos de resorte cmo barras de efectosestructurales equivalentes,.

2taIra

O4tn

b) 0,451 tn/m

5.3 Resolver.kvsigmente.icercfej'empleandoNeL1 programa de computador y calcular la,tensin en k barra Nl. Pari todas las barras tomar A = 2 'cm2-.yrE'.-. 2.100. tn/om2,' (Modelar los apoyos de rodillb como barras, de efectos estructurales equivalentes.

Roberto Rochel Awsd


20 ta

10 In

3tn '" : s

PROBLEMA 5.3Resp. 1,97 tn (Comp.)

PROBLEMA 5,4.:iFip. 2,01 tn (Comp)

5.4 Resolver la siguiente cercha 'empleando el''programado computador y calcular la 'tensin en la barra Nl. Para todas la barras tomar;, = SO^crn2 y E = 2.100'tn/cm2.Modelar los apoyos de1 rodillo cm'brras de efectos estructurales equivalentes.

y ' : < < . , ; , ; - , _ . . ' ; , . ;,"'/, i U'.ii',. - : ' - j / i j.-i1' l:.l;. ' ?' - . ' ! ' .'> ' '>'\5 Se va a utilizar un gato hidrulico para levantar la viga ABC. Si despus d'pliar la

carga de 2,50 tn la flecha en C debe ser de 0,236 otn 4. Considerando E = 2.039to/cm2, b = 4 c m y h = 9om calcular: ,, - - , , ; ;. t , .//

a) Canto7deba levan^seietiJtntBj!.... b)'Reaccin e^.p4esp'iuea^' aplicar la carga'

"?ROB1/B,MA 5.5Resp. a) 2,03 cm

b)5,10cm

PROBLEMA 5.6Resp. 2" ,53 tn (Trac.)

Robarlo Rochel Awad


5.6 Calcular las tensiones que i IB presentan en los cables de la estructura compuesta de lafigura. Para el acero; E = 2.039 tn/cm2 y para la madera E = 100 tn/cm2.

5.7 Determinar la tensin en las barras 2, 6 y 10. Considerando: E = 2,039 tn/cm2, Ag =12 cm2, A] a A5 - 6 cto2, A7 = Aj0 ~ 18 cm2, calcular el incremento deldesplazamiento vertical del nudo A si la viga de acero se reemplaza por una de madera(E = 1000 tn/cm2) con la misma seccin transversal,

Viga de acero35x35 cm

4,30 ra

4,50 m

PROBLEMA 5.7

Resp. a) T2 = 24,60 ta (Q, T6 = 5,24 ta (T), To = 6,35 ta (C) ''b) SeincrenWnta 58,7%

5.8 Calcular la tensin qu se piesenta en la barra Nl ..considerando que los nudos bajo lacarga de 4 tn una vez haesn contacto solo tienen desplazamiento vertical. Para elprtico b = h = 30 cm, fe = ,'10 kg/cm2 y para las otras barras (solo rigidez axial) A =10cm2yE = 2.040m/cm2

4tn3tn/m

J tn *v yJ|'XL-^_y -'*'..-'**'- \>L **"-yL-^y tys^/

I

J

"JJ k

ni

* 11

n

v - ' C ' ; n iB: ; . . '.*", ;>i i '.'i.":,.:'')(.' > ' i > ; ' . ' . : : > .K! 3 ' ;'.;';jt ;.''''.. ",~.i rT"! f:;-1.' ') :* '3;.->,.,';rv*;'-','!':: ,-:' : . - '" . : . , ':,:..*,.. * O, '' .1>':;i.'. T

BE

6,1' SISTEMAS CON MUROS Y/O PRTICOS;!.i>:3'!/'.", vyt.*'*.;?,> .d - .MI : i - l ; . . ^ \ ' - ' ; ; / ^K:' ;.'. ' '-^;.';' :.' ' ' '. . ' ' / ' i .' ' ' En muchos" caaos'1 para'dar .a los edificig tanto rigidez como ^ resistencia ante cargaslaterales' se 'mplian''mro's de liorrign' reforzado, ;usualmente combinados con prticos(sistema--dual)? Otra mflra proporcionarle rigidez' a los prticos es rellenando losespacios entre 'vigas y columnas con muros de mampostera o contraventearlos condiagonales de hormign y de acei o.

it un 11 n i) n ' ,a) Muro y prticos

-"\

(

j-t-'-.n -i.-i' .'i- , ,. - . , r , i -1

. 1 - 1 . f

. 1

1 i " ' ;i ' ' i1 J L

. 1 . . 1 , ,1

1 - 1 t ' , ! . . ,

1

-srr-r

h ( A ^= 3,35: =+ f 0,022 f^-U H :,.. (6.1)G. A,\a ra /

i , . ( ... , * ; '

, 1 1 .,I .

., , |f:

' I '

1

''"> -777

Ac/2 ,;;: j Ac/2' ,^~r ^ t; v

i1""_ . J . u_ ,i, -L_;yp t> ' 1^

i -i ;. . 1 . . . ' ' . . . . j . . ' . . ' '-.^ . * ' ^ j . . . l

H ,,,1.;^ , ,-,'', ,,' " . : . - i ; !;..;x/rv-f..'> I ' - ' U -: ,' '.

FIGURA 6, 3 LtedtflBM dal modelo matemtico

Roberto Rocha! Avrad


Ec = 3.00oVfc' (Mdulo d rigidez del hormign en kg/ciD2) 'Gm = Mdulo de rigidez cortante del muro \. ,A,,, = rea transversal del muro .A0 = rea transversal de las columnas medida entre el bordo y el eje

Una vez calculada el rea de la diagonal esta debe modelarse a| utilizar el programa decomputador pues esta barra no debe tener rigidez a la flexin.

:>N

6.4 PROPIEDADES MECNICAS DE LA MAMPOSTERA EN ARCILLAi \e las memorias del Simposio Internacional sobras Manipostera', Estructural y

Arquitectura, celebrado en Medellin del 23 al 24 de Julio de: '1992, se 'estracta de lasconferencias dictadas por el Ingeniero Hctor Gallego ks.si^uierit^s especificaciones:

6.4.1 MODULO DE ELASTICIDAD

"Diferentes experimentos realizados por Turnsek ,

Anlisis Maricial de EstrUcturus

M

>I

i m

ladrillos de arcilla y slce-cal as.3ntados cori mortero^. sPaiaf las .K'ftfilitomaremos el valor promedio: Em* = 700 fm.

40

30

Em(GP.)

-20

Gt-2nvle*B3mett ,

' A SCPR?, |. . ' ' , ' , - '

!'; l . ' ( ' . I | I i^|'.T i.' . ' , )'Em-iooofm '

X' m-700fm

V''A

.'' ,-* o . A

t .'l.#W;r

^

.,:" Em-400fm

i !20 JO 50

HesijlHda:il comprwnfra(Mpii) ">

^ * 'FIGURA'

Anlisis Maricial de Estructuras

6.4,4 DEFORMACIONES UNITARIAS ULTIMAS

Loa siguientes valores de las deformaciones unitarias [ltimas, utlizablea para medir laresistencia y curvatura ltimas de elementos de flexo^cornjbresin, para la manipostera debloques huecos rellenos con1 hormign lquido. Estn calculados en la rama descendente deldiagrama esfuerzo-deformacin a 0,50 fm y son los siguienl es: "

' -\ Bloques unidos con mortero; 0,25%

Bloques apilados: 0,20 Bloques unidos; con refuerzo en la junta:-hasta 0,6%, dependiendo de la cuanta

volumtrica del acero. Este valor mximo se alcanza para .cuantas volumtricas delorden del 2%.

*ecr-tc

6.5 EJEMPLO

Se desea analizar el efecto de los muros-* de mtpnposera sobre la siguienteestructura aportcada, para ello se resuelve primer^ elpjrtico sin muros, asumiendo quetodos los t^m^\g^'.'de:^l0^,

Anlisis Matricial de Estitucturas 6-7

r -i.vb {I

niK }i;

O

i!ni(L, j&u

j ] x Ed j Em = 10.500 kg/cm2 ' ;II:,X Adf (0,35 + 0,022 * 7,274)I- >'

Diagonal centra;!:,,-' Ad# (0,35 + 0,022 * 7,274) * 300 * 15^-2.295,126 cm2Diagonal extrema: ' M-H$3$'+ 0,022 * 5,726) *-300;* 15^2"l41874 cm2\< ] ^.- .]' j ^' j.;..i^ .y.-^jAl'emplear el programa del coniputadr debe entrarse dimensiones .que-representen estasreas y hagan.'.'s inercia cero, sn el caso de la i diagonal central ste objetivo se logratomando, por ejemplo, las siguientes dimensiones: b=2/295,216 * 1010 cm y h= 1 * 10"10cm, este modelacin es neeesarii pues las digonales que representan los muros no debenabsorber momentos,.i

pj'; "f .J)1;,


B tn

0,49 0,455,80 v FU r\0 0.54

O.S9

Desplazamiento promedio del piso 2 ~ 0,439^ cmDesplazamiento promedio'del'piso:l!^:'0,25$ cm :Khpiso 2 ='6/(0;439;'-'0;256) ^32,79!tn/cmj>-'>'' 'Khpiso 1 = 11/0,256: '43,97'tn/cm

Anlis Matricial de Estructuras

h TSf

n

n

nrr*, i-

n

f*J! !

11fI

='0,ll'02v'cm ';;':!!'K^pis2=i6/(0,176-0,110)'=;90,9tri/cm;-'' " ; '

Kh piso 1 = 11/0, 110 = 100,00 tn/cm!!: : .'"S1 (!'.> l i - t "

Anlisis Matricial de Estructuras r;Cuando los muros se disponen de ,una manera simtrica, se, incrementa la rigidez de la M*estructura de una manera. uniforme y no se inducen afelos desfavorables.

r r*el anlisis, se presenta un peligroso desplazamiento del centrq de rigidez de la estructuraque conduce a una torsin no considera en el anlisis y que fue la causa de falla de ms I*"1del 50% de los edificios en Ciudad de Mxico en d sismo de 1985. Este caso es | ?particularmente critico en edificios de esquina en los cuales en los prticos sobre. Iqslinderos deben llenarse todos los espacios, 'lo cual se hace frecuentemente 'con f .mamposteria de arcilla, mientras, que los prticos de facliada llevan grandes ventanales. .

j , ^Debe existir concordancia entre lo proyectado y lo consi rudo si en el anlisis no se hanconsiderado los muros como elementos estructralos estos, deben necesariamenteaislarse de la estructura, an a costa de los rendimientos 'econnomicos. Una maladisposicin de los muros puede ser fatal para el comportamiento ssmico de la estructura.

Las derivas inelsticas, desplazamientos- relativos entre/ dos pisos consecutivos,' quepermite el Cdigo Colombiano de Construcciones Sismo ^Resistentes, para prticos, de J r 'hormign reforzado, son del 1,5% de la altura del entrepiso; (Sec. A.6.4.2), pero cuando alos prtico se le adosan los muros estos fallan cuando la, deriva alcanza valores cercanos ^al 0,25%. Esto implica que las normas permiten disei lar , prticos muy, flexibles . a.' Iqs,cuales se les adicionan muros muy rgidos que ante un pequeo desplazamiento lateraldel prtico se fisuran, el ejemplo ms reciente lo tenemc

jj JVM

II'>>h li

ri! i

?!

h&l Y-MI

nii


gremiales dedicadas a la con struccin (Camacol); a las financieras de vivinedas y a lascompaas aseguradoras que; inviertan en investigaciones en los centros universitarios

pata podermejorar la calidad1 tcnica derarlisis',1 diseo yconstruccin de;vivienda.

6.7 PROBLEMAS PROPUESTOS

6.1 Si en la estructura tridimensional aporticada de la figura (conformada por prticos:a'brtbgohale3 iguales1 al? analizado 'en;el1' ejemplo de este Captulo) loa prticos 4 y D

>"' corresponderi: a los'linderos y por consiguientes sus espacios se llenan con maniposterano reforzada, calcular el desplazamiento que tiene el centro de rigidez respecto al centrode masa del segundo piso, asumir una distribucin uniforme de la masa y realizar losclculos con base a los resultados de este capitul! Qu momento torsof se induce?

Problema 6.1Resp. e = 5,24 m

6.2 Se desea reducir la deriva elstica promedio de este prtico a la mitad mediante elempleo de una diagonal de acero (E-2,100 tn/cm2), Cul debe ser el rea de ladiagonal?. Para vigas y colunmas: b = h = 30 cm, f c = 210 kg/cm2 '

6.3 Calcular el rea de las diagonales de acero (E = 2,100 tn/cm2) que reducen las derivaselsticas promedio de los dos'pisos a la mitad de su valor elstico. Para vigas b = h = 30* 40 cmy columnas: b = h = 30 cm. f c = 210 kg/cm2

4 tai

5ta

4tn

4m

4mH

Problema 63.Resp. Aj^liSOcirt2

.O'"'

/;''

5m

a

...\a 6,3

3m

4m

Resp.A2 = 1,79 cm2, Aj = 1,71 cm21 '.'I p'$4$IsL

Roberto Rochel Awad'


BIBLIOGRAFA

,RolienQ Rochel Awad

ff'1. Meli,Piralla,, Roberto, y/..Bazn: Zurita,,, Enrique, ,JVAjVU,AL-, PE PSELO ASSMICO-,DE pl

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1I

U

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7.'-ANLISIS DEL SISTEMA DUAL

7.1 ASPECTOS

t Elsitm! estructural1 ideal;1 es1 "aqul-

libro analisis roberto rochel awad

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