lÓgicas y matemÁticas: desafios emergentes en …

DESAFÍOS EMERGENTES DE LAS MATEMÁTICAS A

TRAVÉS DE LAS CULTURAS Autores: Carlos Matamoros, Diego Rubie, Nícida Rojas , Edwin Villalobos

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LÓGICAS Y MATEMÁTICAS: DESAFIOS EMERGENTES EN PROCESO A TRAVÉS DE LAS CULTURAS

Traducción comentada de HELEN VERRAN Como parte de nuestra formación profesional (sin importar el ámbito que nos

formemos), siempre es adecuado conocer de diferentes temáticas, relacionadas o

no a nuestra área, es por ello que este documento adquiere relevancia, y aunque

no se sea un traductor profesional, o un conocedor del idioma inglés es importante

una actividad como la elaborada en las siguientes páginas.

El documento presenta la traducción de un texto elegido del libro “Mathematics

Across Culture”, específicamente sobre el artículo “Logics and Mathematics:

Callenge Arising in working across culture”, donde se relata primeramente 4

escenas (como le denomina el autor) sobre clases de matemática en diferentes

cultura y como cada una se desenvuelve, además el autor expresa su opinión

acerca de lo sucedido y hace una reflexión de las situaciones presentada.

Además podremos encontrar una análisis más filosófico hasta analítico de como la

lógica y la matemática son más que objetos abstractos. Este documento tiene



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como finalidad hacer caer en reflexión sobre la situación anteriormente expresada

y cómo podemos ver más allá de la abstracción de los entes lógico y matemático.

Finalmente aparte de dar un contexto geográfico e histórico de los lugares donde

se desarrolla las lecciones, también se da una breve

reseña del autor, y lo más importante comentarios de lo

expresado en el texto, por parte de nosotros los

estudiantes.

La autora del artículo fue Helen Verran, es de Nuevo

Gales, Australia, nació en 1945. Es científica y

profesora, formada en la Universidad de Nueva

Inglaterra y tiene un doctorado en Bioquímica

Metabólica.

Durante 8 años impartió conferencias sobre educación

científica en la Universidad Obafemi Awolowo en Ife-Ife, en el suroeste de Nigeria.

En la década de 1980 se convirtió en profesora de enseñanza de las ciencias en

Nigeria, y más tarde en la Universidad de Melbourne, Australia empezó a trabajar

dedica en el estudio de historia y la filosofía de la ciencia. Se retira en 2012, se

convierte en profesora adjunto en el Instituto del Norte, Universidad Charles

Darwin en Darwin, NT; Australia, donde aún enseña.



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Escribió un libro sobre sus experiencias como profesora en Nigeria, llamado

Science and an African Logic (Univ of Chicago Press, 2001), con el cuál gano

prestigiosos premios internacionales. Desde 1980 a 2012 enseño historia y

filosofía de la ciencia en la Universidad de Melbourne. Durante ese tiempo, el

enfoque de su investigación era trabajar con los aborígenes australianos Yolngu

en la tierra de Arnhem, ya que ellos colaboraron con la ciencia y los científicos.

Contexto histórico y geográfico del artículo El artículo se desarrolla en dos lugares que son los analizados por la autora, el

primero de ellos es Yirrkala un territorio el lejano noreste de Australia, donde está

el asentamiento aborigen Yolngu, esto en la tierra de Arnhem- Los integrantes de

la tribu Yolngu son los dueños de la Tierra de Arnhem y han ocupado la región al

menos por 60 000 años.

El otro pueblo donde se está desarrollando los artículos es Ife en Nigeria, en ella

se encuentra el pueblo Yoruba, se cree que su fundación fue en el año 850. Los

Yoruba constituyen la etnia más numerosa del sur Nigeriano, es una de las

culturas subsaharianas de mayor florecimiento.



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LÓGICAS Y MATEMÁTICAS: DESAFIOS EMERGENTES EN

PROCESO A TRAVÉS DE LAS CULTURAS

Escena uno Recientemente, una clase de matemáticas en una escuela ha cambiado, edificios

a prueba de ciclones en la cima de una colina detrás del asentamiento aborigen

Yolngu de Yirrkala en el lejano noreste del territorio norte de Australia. El profesor

Mandawuy Yunupingu, un hombre joven que cursa su año final de bachillerato en

educación, se convertirá, en 1989, en el primer director aborigen en una escuela

australiana. Él ha decidido dar esta clase en el pasillo de la escuela, que funciona

como un campo de baloncesto. Él no quería un espacio lleno por escritorios

escolares. Observando un extracto modificado de un vídeo (Yirrkala Community

School, 1996c) de esta clase en 1998, estoy nuevamente desconcertado por la

certeza que Mandawuy y sus pupilos evidencian sobre la materia de esta clase. Es

una emergente certeza de familiaridad. Los niños, aprendiendo los detalles del

sistema y las normas que se les presentan, son suficientes para realizar algunas

preguntas. La familiaridad con la materia estudiada se puede mostrar claramente

en el lenguaje corporal- las posturas, la facilidad de las interacciones- aún si en

ocasiones la respuesta correcta no es la de los niños. El fragmento editado de

esta clase empieza con Mandawuy sentado en el piso de concreto del pasillo de la

escuela -un área abierta y techada- y los niños sonrientes, sentados alrededor de

él en círculo.



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Las niñas, niños y el profesor están descalzos y con las piernas cruzadas en el

piso. Mandawuy está dando esta clase en Gumatj, un idioma Yolngu que además

es el idioma primario de la mayoría de sus alumnos, y completamente entendido

por todos los niños, incluso a la hora de responder lo hacen en Rirratjingu, otra de

las lenguas Yolngu. Mandawuy hace una pregunta que es traducida en los

subtítulos del vídeo, “¿cuáles otros árboles son Yirritja?”, escuchamos un coro de

las voces de los estudiantes; que gracias a los subtítulos sacamos la palabra

“Gadayka”. El siguiente subtítulo reduce la larga respuesta de Mandawuy a lo

dicho por los niños (incorrecto), “el árbol de Gadayka es cantado por los

pobladores de Yirritja cuando este crece en terreno Yirritja. Pero es un árbol

Dhuwa”. Mandawuy es respetuoso en su corrección. “Gungurru”, dice una

pequeña niña. “Gungurru es un árbol Yirritja”, Mandawuy lo afirma. “¿Ven ustedes

el árbol de Gungurru?”, él pregunta, mientras señala hacia afuera. “Dhurrtji”, dice

otro niño. “¿Qué es Dhurrtji? ¿Es Dhuwa?” “Si es Dhuwa”. “Entonces Gongurru,

Dhumulu, son algunos árboles Yirritja”.

“¿Qué pasa con otras criaturas vivientes como los peces?”, la clase continua. “Yo,

Nguykal”, Mandawuy está de acuerdo, vigorosamente el niño sentado detrás junto

a él. “Nguykal; si es correcto; es Yirritja. Él piensa muy rápido”. “¿Cuáles otros?”

“Yo, bäru, cocodrilo”. “Si es correcto; son Yirritja”. “¿Qué me dicen acerca del

Dhuwa?” “Manda, si es correcto. ¿Cuáles otros?” “Goanna”. “Si es correcto, pero

hay dos tipos de goanna. Uno es Yirritja y el otro es Dhuwa. El Dhuwa es llamado

Djanda. Al Yirritja se le llama Beyay”. “¿Son macho y hembra?” pregunta un niño



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sin camisa. Los otros niños se ríen con fuerza. Pero Mandawuy frota al niño en el

hombro, “esa es una buena pregunta” le dice con admiración. Y en la clase (a

pesar de que no está en la edición del vídeo), él explica la teoría de los opuestos

formales: Yirritja y Dhuwa en contraste los opuestos empíricos: macho y hembra

(Watson-Verran, 1997b; Verran, este volumen).

La encarnada certeza que baña esta clase y subyace la risa, es también evidente

en la entrevista donde Mandawuy justifica la particular clase de matemáticas. La

certeza es evidente a pesar del hecho de que Mandawuy está hablando en inglés

(Yirrkala Community School, 1996c).

Sí, hay reglas acerca todos estos tipos de interacción con otros miembros de la

comunidad. Y esas reglas son, decir, universal, en el pensamiento Yolngu. Y está

adherido fuertemente a las personas ancianas, las personas que continúan

practicando las actividades sociales correctamente. Y estas son el tipo de

situaciones que tenemos que establecido y seguir para que las personas jóvenes

las aprendan en la escuela. Entonces podrán familiarizarse con su propio sistema

gurrutu, el cual es el sistema de parentesco, y al mismo tiempo se podría dibujar

en los conceptos Balanda (Australia blanca), los cuales son matemáticos. Pero el

objetivo principal es enfatizar que hay un sistema Yolngu que está allí, y necesita

ser visto de primero en una manera formal de enseñanza.



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Escena dos En febrero de 1991, toda la sección primaria de la Escuela de Yirrkala se reúne en

el la zona verde, en el centro de la escuela. En las paredes de las aulas que

limitan los cuadrados son ejemplo del trabajo producido por los niños en las clases

de matemáticas en las pasadas dos semanas. Toda la escuela ha participado en

un taller de matemáticas en “Gurrutu, El Sistema de parentesco Yolngu”. La

enseñanza fue supervisada por un grupo de ancianos que son líderes de la tribu

en la comunidad.

En el folleto (Yirrkala Community School, 1991) se reporta este episodio, se

identificaron los objetivos de enseñanza/aprendizaje del episodio.

Semana uno:

1. Desarrollar el entendimiento de los niños acerca del gurrutu, y su naturaleza

recíproca;

2. Desarrollar la pronunciación del lenguaje en los niños usando terminologías

correctas y recíprocas gurrutu.

Semana dos:

1. Los niños aprenderán el sistema de nombres mäl;

2. Los niños aprenderán que gurrutu tiene un patrón recursivo;



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3. Los niños comprenderán porqué gurrutu y mäl siempre han sido importantes

para Yolngu.

Una clase produce un listado de algunas de las múltiples categorías de nombres

que los niños en la clase, tienen para su profesor: por ejemplo algunos niños

estuvieron en la posición gurrutu que llamaron “niño” (waku), mientras que otros

estuvieron en la posición “cuñada” (galay). (Ver Watson-Verran, para una

elaboración de este sistema.) Las clases superiores desarrollaron una exhaustiva

lista de las nueve posiciones recíprocas gurrutu (23 posiciones más la posición

punto cero) (ver Verran, este volumen) la cual tabularon. En las clases menores,

los niños han dibujado diagramas que muestran ambos, mapas diagramáticos,

egocéntricos y generalizados de las recursiones gurrutu y mäl.

Posiblemente, una primera respuesta a estas historias es preguntarse si estas

lecciones son de educación matemática. Es una respuesta legítima. Para muchos

podría parecer que lo que sucede aquí es una forma de “educación cultural”, y por

supuesto que tendrían razón. Pero esto solo, no lo descalifica como educación

matemática. ¿Quién negaría que una clase enfocada en multiplicación, o de medir

longitudes, es una forma de educación cultural? Sin embargo, eso no sería una

respuesta muy satisfactoria, lo que motiva a ser una pregunta con un sentido de

malestar: al incluir estas clases como educación matemática se podrían empujar

las nociones de la lógica y matemáticas muy lejos.



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Reconociendo este malestar, en este capítulo exploro los campos en los cuales

estas lecciones, se entienden con confianza como matemáticas por aquellos

relacionados a esta, podría ser generalmente considerado como instancias

legítimas de educación matemática en la Escuela Aborigen Yolngu. Poner estas

lecciones en contexto apuntando a instancias de lo que de mis amigos Yolngu

entendieron como lecciones de matemáticas: un taller donde los niños aprenden a

usar los números en un ejercicio de cuantificación; una clase enfocada en la

naturaleza recursiva de los nombres de los números; una excursión a la playa

para medir la dirección del viento.

Todas estas lecciones pueden ser observadas en los vídeos (Yirrkala Community

School 1996a-e) que explican detalladamente los profesores Yolngu, el trabajo

que estoy presentando aquí, se llama un “Currículo Matemático Garma”. Garma

puede ser traducido como “terreno común”. Esto incorpora el sentido de lo que

presenta (es decir en el currículo) es algo lo suficientemente unificado para ser

tomado como una entidad. Esto es una cosa que ha sido generada en esmerada

negociación y experimentación en un largo periodo de tiempo, y por esto es (casi)

estable. Esto representa un acuerdo público sobre la posición en la comunidad. La

inclusión de garma reconoce abiertamente este currículo como un resultado de

negociación de interés (a veces opuesto), en el caso de funcionarios de Territorio

Norte educación matemática y los relevantes funcionarios Yolngu.



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Tabla 1. Una tabla producida por niños Yolngu en sus aulas de estudio gurrutu

(Yirrkala Community School, 1991)

Diferentes nombres gurrutu en que

los niños llaman a su profesor

Nombre de los niños que llamaron a

su profesor con este nombre

Ngändi (mother)

Mukul-bapa gutha (tía, tío)

Yapa (sister)

Momu (abuela paterna),

märi (abuela materna)

Mumalkur

Waku (niño)

Gaminyarr mukul-rumaru (nieto)

Galay (cuñada)

Winimbu, Lirrpuma, Gapanbula,

Gatang, Baninggirr, Djälang Wulu

Yarrmiya, Larrtjpira, Baraltji,

Larrandangu Baringguma, Tony

Gapiny

Garul

Bandil

Banatha

Waninggurr, Muyulyun, Mathuary,

Yangarryangrr, Djawulu

Baymala



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Mientras que el asunto ha sido satisfactorio, aunque posiblemente sólo por un

tiempo, lo suficientemente acertado para que algunos funcionarios del Territorio

Norte Australiano estén de acuerdo, para muchos otros sigue siendo controversial.

Teniendo algunas lecciones tales como las que he descrito como educación

matemática, surge la pregunta desafiante de que matemática y lógica están en el

contexto de trabajo a través de las culturas. Mi punto de vista es que es importante

tomar este desafío seriamente. La situación podría parecer un problema solo para

algunos “pocos”, y no la preocupación de una academia principal. Pero como

nosotros debemos ver tales desafíos que conllevan las posibilidades para ser visto

como una corriente principal en una nueva forma. Con esto viene la posibilidad de

que nosotros podríamos hacer nuestro futuro diferente a nuestro pasado.

Específicamente, nosotros podríamos encontrar caminos para ir a través de la

colonización tratando con diferencia a las matemáticas y las lógicas.

Al confrontar este desafío, sostengo, que necesitamos ir a más allá de lo que se

entiende convencionalmente de la lógica como una entidad priori, de alguna

manera dejando atrás y dentro las matemáticas y otras formas de conocimiento

certero. Mi argumento está en implementar el término “lógicas” en mi título, un

uso que podría significar una contradicción. Para muchas personas la lógica es

una definición única. Sólo puede haber una; es la base del conocimiento y

razonamiento humano. Kant es útil para elaborar la noción convencional de lógica,

la cual estoy rechazando. Introduciendo a Kant, no deseo decir de ninguna

manera que sus escritos nos han hecho equivocarnos en la naturaleza de la



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lógica, pero la noción de lógica que él nos da ahora, doscientos años después, es

insuficiente. Para mí la cuenta Kantian de la lógica es emblemática, cerca del final

del siglo XX, necesitamos ir más allá. Para Kant la lógica es dada, pre-contextual,

y es una normativa.

…Esta ciencia de las leyes necesarias del entendimiento y razonamiento en

general, o –que es lo mismo- la mera forma de pensar, que llamamos lógica…

esto probablemente debe contener más que leyes a priori que son necesarias y

relativas a la comprensión en general… Lógica…debe ser tomada para ser un

dogma del uso del entendimiento y la razón (Kant, 1974: 16-17).

En contraste, señalo la noción de garma como instructiva: generado activa y

robustamente ordenando a tomarlos juntos como resultados de la activa colecta

en el pasado. Estos son generados como incrustados a fondo, y ya incorporados

como prácticas rutinarias. Sostengo la posición de que trabajar las lógicas y

matemáticas a través de las culturas en formas que son éticas y validas

necesitamos desatarnos a nosotros mismos del funcionalismo. Esta es la noción

de que el mundo (o un mundo) ha dado y establecido tomar a la lógica como un

“por ahí” como una completa y dada entidad, y que cierto conocimiento, como las

matemáticas, es una representación simbólica de esto.

Ahora voy hacia Nigeria en los inicios de 1980. Algunas de las clases de

matemáticas dadas por los profesores con los que trabajé, podrían ser clasificadas

como no-estándar. Ellos no acatan estrictamente el currículo nacional de Nigeria.



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Escena tres El señor Ojo era un organizador pobre, pero tenía una buena relación con los

niños. Esta mañana él ha sobresalido en su preparación; él ha ensamblado cerca

de veinte cartas pequeñas, 10 cm de largo y cerca de 5 cm de ancho, marcadas a

1 cm de las divisiones a lo largo. Había una carta para cada grupo de dos o tres

niños. Para ir con esto, él tenía veinte largos de cuerda de 2 m de largo. Era una

clase en la que nos preparamos como un grupo atrás en el laboratorio en el

Instituto de Educación en la Universidad de Ife (ahora la Universidad Obafemi

Awolowo) en Nigeria. Hemos empezado con uno de los panfletos “Midiéndonos a

Nosotros” producidos por el Programa Primario de Ciencias Africano- un largo y

prestigioso proyecto USAID con patrocinio científico y currículo matemático

desarrollado con un enfoque en el trabajo práctico en diferentes países africanos

en las décadas de 1960 y 1970 (Yoloye, 1978). Discutiendo como las clases

debían ser modificadas para que fueran adecuadas para un grupo de

aproximadamente 50 niños Yoruba, y aulas bastante escasas de recursos,

ayudaba a los estudiantes a prepararse para su enseñanza práctica en las

escuelas cerca de Ile-Ife en Nigeria.

Como el resto de estudiantes en el Instituto de Educación, el señor Ojo estaba

alrededor de mi edad, pero era un profesor mucho mas experimentado. Como

profesor, yo era responsable de al menos parte de su reentrenamiento, pero mi

completa inexperiencia cuando se trataba de las aulas nigerianas parecía que

este curso en educación científica era, por necesidad, mucho más un programa de



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dos formas de entrenamiento. Como grupo, estudiantes y profesor, trabajamos

una forma de negociación para el currículo que estábamos desarrollando.

La lección del señor Ojo era enseñar, “Longitud en Nuestros Cuerpos”,

involucrando a los niños a usar cuerdas para medir la altura, largo de las piernas,

brazos, etc. de otro niño, luego una regla de un metro para reportar la longitud en

unidades métricas. En el laboratorio nos habíamos medido uno al otro: usamos la

cuerda para representar la altura, poníamos la cuerda en el suelo y usábamos tiza

para medir la altura. Luego cuando una de las pocas reglas de un metro estaban

disponibles, medíamos la distancia entre las marcas de tiza y grabábamos la

medida en la carta.

Nombre Altura

Sra. Taiwo

Sr. Ojerinde

Sra. Dra. Watson-Verran

1m 62 cm

1 m 70 cm

1 m 50 cm

Nosotros también habíamos ideado una manera para evaluar la efectividad de la

clase: Dada una lista con nombres ficticios de niños y sus alturas, y usando el

proceso de la lección a la inversa, los niños pueden mostrar una altura

determinada usando una medida de cuerda para mostrar si habían entendido o no.

Los estudiantes estaban nerviosos de mostrar esta manera. Lo cual significaba

sacar a los niños de sus escritorios y ponerles material además de lápices y libros



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entre sus manos. Esto significa que los niños hablando y trabajando entre ellos, en

lugar de solo trabajar desde la pizarra y hablar sólo para responderle al profesor.

Los niños estaban propensos a ser revoltosos y ruidosos como una salida de la

norma, y esto podría ser un serio problema con alrededor de 45-50 niños en un

pequeño, y cerrado espacio.

Hablando en Yoruba, el señor Ojo mostraba el procedimiento. Él llamó a un

pequeño niño al frente: con la punta de la cuerda justo debajo del talón del niño,

sostuvo su dedo en la punta de la cuerda en el tope de la cabeza del niño. Atando

un nudo flojo en este punto, el tomo el otro extremo de debajo del pie del niño;

manteniendo esto a un final de la carta que el hirió la longitud de la cuerda

alrededor hasta que llegara al nudo. Luego que instruyó: “Cuenten el número de

cuerdas alrededor de la carta, e.g. “9” (i.e., 10 cm de largo) y escriban el número

abajo. Multipliquen por diez. ¿Cómo multiplicamos por diez?...noventa… ahora

agreguen el pedazo de cuerda que sobra… Sí, tenemos 96 cm”.

Los niños se pusieron a trabajar en parejas o tríos; en poco tiempo, la tabla que el

señor Ojo había escrito en la pizarra estaba llena de nombre y números. Muchos

estudiantes muy eficientemente usaron la carta y la cuerda para mostrar la altura

de los niños ficticios Dupe, Tunde y Bola para nuestro ejercicio de evaluación.

Estas lecciones se pueden juzgar como un completo logro; obviamente los niños

han aprendido como usar unidades métricas para expresar un valor. Los niños

estaban satisfechos con sus logros; el señor Ojo estaba seguro de su logro.



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El señor Ojo ha desviado significativamente su clase a lo que nosotros habíamos

ideado en nuestras sesiones de laboratorio de vuelta a la Universidad y desde la

manera prescrita de enseñar las longitudes en el Currículo de Matemática de

Primaria Nigeriano. Aunque esta lección fue satisfactoria, diferente a muchas que

siguen el plan de estudios preparado más de cerca (Verran, 1999). Para el

currículo estirado prescrito y la extensa regla métrica, él ha sustituido una pequeña

carta cubierta con cuerda. Desconcertadamente él ha medido la longitud

empezando en la pluralidad de la hebra, en lugar de la singularidad de una

extensión. ¿Podría él haber sido corregido? ¿O deberíamos nosotros confiar en su

enfoque sancionador por una clase de cincuenta inquietos y difíciles niños?

Habiendo escuchado a la breve presentación del señor Ojo, estos niños estaban

seguros de que hacer y lo hacían, disfrutando una experiencia que los entrenaba

en las rutinas corporales de cuantificación en el proceso.

El texto muestra distintas formas en la que la educación matemática se ajusta a

culturas diferentes, en contextos muy variados a los que nosotros estamos

acostumbrados en nuestras clases de matemáticas. Se logra apreciar como los

profesores de matemáticas replantean sus lecciones para hacer el proceso de

aprendizaje más efectivo y entretenido para los niños. El complementar la teoría

de una clase de matemáticas con un taller interactivo, logra que los estudiantes se

animen y aprendan más rápidamente.



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Como se ha podido apreciar, no se quiere encasillar la matemática y la lógica,

como algo lejano a la cultura, y contemplar diferentes perspectivas de enseñar

matemática, es primordial pensar que todo por más racional que sea puede

contextualizarse a la cultura lo que enriquece el conocimiento, y efectúa un

aprendizaje significativo en quien lo recibe. Además es una invitación a romper el

clásico currículo de matemática, al que los profesores se apegan y solo tienen la

mentalidad de cumplir, dejando de lado el verdadero aprendizaje y conocimiento,

que se puede adquirir.

En sus primeras tres escenas (como es redactado por el autor), es palpable ver la

importancia de la diversidad de cultura, al introducir conocimiento matemático,

pues podemos aprovechar la realidad en la que viven los estudiantes

cotidianamente, y que ello (como se menciona con anterioridad) rompe el

paradigma del currículo tradicional.

Escena cuatro La escuela de mi siguiente historia se encuentra situada en una de las carreteras

más estrechas, que sobresalen fuera del palacio del Ooni en Ile-Ile. El camino era

general e inexplicablemente claro y limpio, y la escuela siempre limpia, y rastro de

polvo cuando llegamos a la montaña. Los lunes los niños, están bien limpios y

aseados, pero los viernes sus uniformes de marina, eran monótonos y

polvorientos. Hoy el Señor Ojeniyi estaba vestido como de costumbre, una camisa

blanca y planchada.



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Estos niños eran de más edad, tranquilos y respondían al Señor Ojeniyi, estaban

sentados en filas ordenadas, con sus libros de ejercicios abiertos ante ellos. Una

lección sobre división era la programada, y conocía por una experiencia

complicada, que las lecciones acerca de las divisiones, podían ser insoportables

tanto para maestros como para estudiantes, luchando por la mecánica de la

división larga, ellos mismos atando nudos con “prorrogas” y “bajando a la siguiente

columna”. Pero mis expectativas para hoy eran buenas, siempre he disfrutado de

las lecciones del Señor Ojeniyi, era una de las personas más entusiasmadas por

la estética de la matemática. Los números le dieron una alegría y el placer, con lo

que se comunicaba con facilidad con los niños.

El señor Ojeniyi comenzó la clase hablando en inglés, pero después de un par de

frases cambio a Yoruba, continuando con su explicación inicial. Cerré mis ojos

para comprender mejor el Yoruba y seguir la explicación. Esperaba una cuenta

sobre la división como una especie de proceso en serie, algo así como la

operación inversa de la multiplicación, entendiéndolo como una serie de sumas.

Quede asombrado, al escuchar al Señor Ojeniyi identificado la división como

definitivo del número entero. “Usted no va entender el número, al menos que

entienda las muchas formas de dividir”. Resaltó en tal punto, repitiendo en inglés,

una estrategia común de estas lecciones.

Inicialmente presento un número en idioma Yoruba y lo mostro como un producto

de veinte más o menos factores de veinte, traduciendo en base diez, en idioma



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inglés. Luego hizo el mismo proceso a la inversa, uso nombres de números en

inglés y el sistema de base diez, lo convirtió a número Yoruba, usando divisiones

en pasos de veinte como el primero y definiendo el proceso. Los niños seguían su

explicación y escribían en sus cuadernos la serie que había elaborado para cada

traducción en la pizarra. Después de dos demostraciones más en la pizarra, una

traduciendo de Yoruba a inglés en base diez, otra traducción de un número en

ingles traducido al Yoruba, el Señor Ojeniyi escribió diez nombres de números

Yoruba y diez nombres de números inglés en la pizarra, todos entre cien y

cuatrocientos. El instruyó a los niños como realizar traslaciones similares para

esos veinte números, y para mi sorpresa la mayoría de niños completo el ejercicio,

con mucha facilidad.

Luego vino la diversión. Cada traslación (traducción) podía realizarse de diversas

formas, pero era claro algunas requerían aspectos más elaborados que otros.

Señor Ojeniyi pidió estudiantes voluntarios y los niños sugerían alternativas en voz

alta. En medio de risas y gritos, los niños se levantaban rápidamente de sus

asientos para apresurarse pasar a la pizarra para demostrar una alternativa, se fue

alcanzando poco a poco, un acuerdo general sobre la mejor traducción para los

veinte números. Todo pensamiento serio en el proceso de división, se desvaneció

en el juego, en su placer, sin embargo el juego era sobre división,

Había leído y me han mencionado, sobre el sistema numérico de base veinte

Yoruba (ver Abraham, 1962; Armstrong, 1962; Johnson, 1921; Watson, 1986) y



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observé que esto fue inspiración para la brillante clase del Señor Ojeniyi. Recordé

también de las múltiples clases de aritmética a la que tiene acceso los sastres

liberianos (Reed y Lave, 1979). La brillantez de los niños Yoruba sobre la

manipulación de números se había observado antes.

La conversación Yoruba (número) de los resultados son tan buenos o mejores que la de

los niños estadounidenses (probado de la misma manera). Las comparaciones con otros

grupos africanos fueron favorables, aunque el rendimiento Yoruba no produjo resultados

sin errores de los niños Tiv.

Sin embargo, según algunos teóricos, tal lucidez no implica necesariamente la

comprensión completa del número… para una verdadera comprensión de los

fundamentos numéricos, se extiende más allá de la simple aritmética y esta

integralmente relacionada con la medición (es decir, la extensión de la concepción

cualitativa) (Hallpike, 1979: 252).

Desde la posición de estas lecciones, se considerarían un gran fracaso. Habría

incumplimiento por parte de los niños, pero lo más importante el fracaso del

profesor y del profesor educador. Por el contrario hay otros teóricos, podrían

exaltar esto como una matemática indígena. Los observadores resaltarían a los

maestros que trabajan fuera de las tradiciones, y el educador profesor podría

aprobar un apoyo importante.

Estas ideas opuestas hacen crecer la alternativa de concepto de lógica y

matemática. Las posiciones opuestas del éxito o fracaso, que su la diferente



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distribución de la culpa y alabanza, el resultado de visiones alternativas de la

naturaleza de lógica fundamentada. Involucrar una de estas visiones, no solo

distribuimos la culpa y la alabanza, sino que podemos llegar a visiones en que

confiar. Estas son las razones de la lógica y la matemática que dan una base, para

ir con cierta razón, de nuestra corrección. El punto que quiero mencionar, es que

mientras se consigue todo esto, también hacer un repaso de nuestro pasado

colonial, y preinscripción de ordenes morales. Por esta razón sostengo que las dos

cuentas de lógica y la matemática, son igualmente vistas como explicaciones y

base para una opinión o juicio.

Ahora presento dos opiniones sobre la lógica que podrían fundamentar tales

explicaciones de juicio. Considero como se discute sobre la culpa y la alabanza,

trayendo consigo un particular universo moral. La primera que ofrezco, se puede

entender como la ortodoxa, su alternativa es la “oposición leal”. En realidad, dentro

de cada una de las dos tradiciones identifico distintas oposiciones, que son

múltiples y complejas. Presento versiones de caricatura, ya que una vez en el

laberinto de realismo-relativismo es muy difícil encontrar una salida. Las dos

tradiciones que presento se remontan mediante los discursos modernizadores de

la academia, por un lado directamente los positivistas lógicos con Kant, y por otro

lado de la sociología del conocimiento científico, movilizando indirectamente a

Kant. Ambos dan una visión del conocimiento como simbolización, creciendo

sobre una base material, pero mediados por diferentes formas de experiencia.



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La primera tradición hace énfasis en la estructura dada del mundo físico como

fundamento para simbolizar lo que representa la estructura. Por ejemplo, números

como símbolos en algún sentido dan estructura al mundo físico. Hay varias

versiones de los mecanismos por donde se puede lograr la conexión entre lo físico

y lo simbólico. Llamo a este cumulo de explicaciones “universalismo”, otros lo

llaman “realismo”. Explorar muchas versiones, no es de mi interés. La alternativa

llamada “relativismo”, muchas veces llamado “constructivismo” tiene como base

las prácticas sociales de ordenación, clasificación, organización y patrones

recursos simbólicos dados1. Aquellos que identifican J.S Mill como un pasado

intelectual, la estructura del mundo físico es el estímulo detrás de un histórico,

posiblemente específicamente cultural, ordenación, clasificación, ordenación y

patrones que ha generado las categorías de la tradición. Otros hilos en este punto

de la tradición de orígenes alternativos, todos están de acuerdo en tener la

tradición como un producto histórico social. Una vez más las alternativas no me

detienen. En un caso –universalismo-, la tradición tiene su origen en una

estructura física (orden natural en el que se encuentra); en el otro –relativismo-

está en un conjunto convencionales (orden construido por la actividad social).

Cuando las cosas se presentan de esta manera, parece es probable y

comenzamos a preguntarnos como elegir uno del otro. Pero tampoco esto es mi

enfoque. Lo que quiero señalar es que la elección de cualquier de los dos, por la

razón que sea, tiene consecuencias. Al principio se observa que se va para uno u

otro determina quién recibe elogio o culpa de lo que sucede en las aulas



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actualmente. Lo más importante que veremos a continuación, sin tomar en cuenta

los detalles, por tanto prescribe un orden moral particular.

Como se puede apreciar en esta traducción de la parte de “escena cuatro” de

nuestro artículo, se sigue tomando la temática de utilizar lo cotidiano de los niños

para enseñar matemática, pero se abre un espacio para la discusión.

Estamos acostumbrados a un currículo que supuestamente nos exigen terminar y

cumplir además estamos “casados” con paradigmas de enseñanza, pero con este

artículo se abre ese debate de suma importancia, pues rompe el paradigma, pero

como bien menciona el autor hay quienes defiende la clase de matemática como

la describe la lectura, mientras otras la rechazan.

Romper el currículo es de suma importancia, más si usa (como es el caso) lo

cotidiano para los estudiantes, si bien es cierto se puede ver como algo “erróneo”

o algo indebido, cambiar los programas de clase incorporando conocimiento ya

previo de la ciudad, población enriquece la educación, claramente abusar de ello,

la vuelve aburrida y monótona.

Se debe ser pionero de incorporar lo cotidiano a la clase, no solo por el sentido

numérico, sino por el sentido físico de las cosas, lo cual permite un aprendizaje

más significativo y de mucha mayor comprensión.



24

UNIVERSALISMO: LÓGICA REPRESENTA LA ESTRUCTURA

DEL MUNDO MATERIAL –UNA BASE FISICA- Para la tradición epistémica prefiere adoptar una base física, donde se considera

las representaciones simbólicas como números, por ejemplo, dadas reflejadas

categorías en el mundo real, dirijo a los positivistas lógicos. Tomando el libro

Fundamentos Filosóficos de Carnap, sobre física (1966) es un claro ejemplo. En él

se observa cuantificación e implicaciones matemáticas en general, como

expresión de lógica singular, universal tomando una forma universal,

incorporándose en el mundo material.

En la elaboración de esta lógica Carnap identifica tres tipos de concepto;

clasificatorios, comparativos y cuantitativos (Carnap, 1966: 51-52). Se entiende un

concepto clasificatorio como; “un concepto que coloca un objeto en una

determinada clase” lo que normalmente se llamaría nombre propio. En la ciencia

son los conceptos de taxonomías de la zoología y biología (un animal de sangre

fría o caliente por ejemplo), pero en la vida cotidiana, las primeras palabras que un

niño aprende –perro, gato, casa- son de este tipo. Los conceptos comparativos

tienen un papel intermedio entre los conceptos clasificatorios y cuantitativos.

Como Carnap, lo presenta, los conceptos comparativos son propiedades o

cualidades de los objetivos. Para Carnap, un concepto cuantitativo es una manera

particular de representar una medida particular de una calidad –de origen natural,



25

objetos abstractos que se encuentran en todos los objetos físicos. La

cuantificación informa de la extensión de la calidad y caracteriza a un objeto.

El supuesto adyacente en este contexto es que el mundo se presenta de forma

natural como extensiones espaciales que perduran en el tiempo y el espacio. En

este caso se supone que el mundo es un conjunto de entidades espacio-

temporales, esto es la base física natural para las prácticas simbólicas de

cuantificación. Cuantificar apunta primero a las cualidades universales, en estas

entidades espacio-temporales son las primeras entidades abstractas de

cuantificación. Entonces los números son una entidad abstracta de segundo

orden, llevados a ser análogos en forma de la extensión de las cualidades en

poder las entidades espacio-temporales concretas, se utilizan para representar un

valor real de la entidad a través de una determinada cualidad. La lógica de los

números, está en el mundo material. Por supuesto la matemática es más que

números, pero igual que la lógica está incluida en varias maneras responsables,

de igual manera todos los objetos matemáticos se originan en la lógica implícita

del mundo. La matemática es un objeto abstracto con singularidades y símbolos,

en un mundo de realidad material.

De acuerdo con esta lógica y matemática el Señor Ojo está equivocado al

presentar una imagen para los niños donde la longitud es una gran cantidad de

cuerdas, que se pueden cortar y manipular para llegar a un valor único para la

longitud. Una línea recta infinita, retracta la manera correcta y única de hacerlo. La



26

extensión de una línea recta constituye una verdadera imagen de como existen

cualidades en el mundo y la medición debe comenzar por eso. El Señor Ojo tiene

los niños que consiguen llegar a la respuesta correcta, peor usando un camino

equivocado. Por el lado de mi sugerencia al señor Ojeniyi con su sugerencia de

que la división está constituida por sumas, no ha presentado una relación lineal.

Las lecciones de los maestros aborígenes Yolngu son bastante más claros. En

este punto de vista de la materia no hay nada, que se puede considerar lógico o

matemática.

Esta forma de distribución de culpa y elogio, crecer a partir de la idea de que la

lógica está comprometida con una visión de una base física para el proyecto de

simbolización de las matemáticas. Dentro del marco interpretativo podemos contar

una historia ortodoxa de las relaciones de poder institucional, que explica estas

lecciones como insuficiente e inadecuada. Los profesores tienen el poder, están

acreditados para enseñar la verdad. Los profesores están bajo la jurisdicción del

director que tiene derecho y la responsabilidad de decirles que estaban

equivocados. Esta idea de lógica genera una historia donde exalta el poder

institucional del profesor como agente de una modernidad colonizadora y ve el

fracaso en las historias. Ese fracaso por parte de los pueblos africanos o los

aborígenes –los maestros, los niños, maestros y sociedades enteras- que un caso

adoptan formas primitivas de cuantificar y en otro caso son tan primitivos que no

puede organizar sus vidas a través de la lógica. Se ve de igual manera el fallo de

la profesora, que no defiende los estándares de la enseñanza moderna e insiste



27

en las formas lógicas de la enseñanza de la matemática. Fuera de esa línea se

puede generar legislaciones sobre “su” primitivismo, y por consiguiente la

necesidad de “su” edificante a través del desarrollo y educación. La diferencia se

descarta, se concibe políticas para abolirla. Esta historia tiene un orden moral

particular, usted debe renunciar a los no-moderno Yoruba o Yoingu, para

convertirse sabiendo el proceso de modernidad. El colonialismo se ve como una

forma de modernidad, y cualquier noción postcolonialismo, es necesariamente

neocolonialismo, una lucha continua para poder utilizar categorías dada la lógica

universal.

RELATIVISMO: LÓGICA REPRESENTA LA ESTRUCTURA

DEL SISTEMA SIMBÓLICO DE UNA CULTURA EN

PARTICULAR - UNA FUNCIÓN SOCIAL

Las fundaciones alternativas tradicionales consideran las prácticas sociales como

el origen de una base de conocimiento. Mis últimos escritos pueden tomarse

como ejemplo de esta tradición (Watson, 1987; Watson with the Yolngu

Community at Yirrkala and Chambers, 1989; Watson, 1990). En este trabajo se

puede reconocer vínculos con el programa Bloor, en la sociología del

conocimiento (Bloor, 1991) identifica las prácticas de orden ordinario como la



28

base de conocimiento (social). La ampliación de las formas en que por general se

entienden, añade el uso del lenguaje como una práctica constitutiva.

La principal diferencia entre mis ideas de una lógica basada en prácticas

históricas, sociales, y los fundacionalitas que toman la estructura dada del mundo

físico como una fundación, se encuentra en una disputa, la naturalidad de

entidades espaciotemporales - cosas definidas por su situación en el espacio y el

tiempo - como una base universal. Haciendo un análisis comparativo de las

gramáticas de las lenguas inglesa y Yolngu e inglés y Yoruba idioma, y tomando el

uso del lenguaje como una práctica que simboliza, se muestra la posibilidad de

métodos dispares en la (universal) práctica social de referencia en el uso del

lenguaje. Estuve creando puntos de partida alternativos en la lógica, generando

por ejemplo, en el caso de Yoruba, los números que simbolizan diferentes

maneras, y en el caso Yolngu, muy diferente constituido organizar recursiones. La

explicación presenta “hacer número” "o más generalmente" hacer recursividad ",

que constituyen los dominios simbolización separadas. La idea implica que los

niños podrían aprender una cosa o la otra, o, a veces quizá tanto si son

profundamente bilingüe.

En relativismo, las matemáticas pueden ser plural. Necesariamente los objetos

matemáticos abstractos representan las categorías de un sistema de

ordenamiento se tropieza históricamente como un acto de construcción social.

Podría parecer también que la lógica puede ser plural; Sin embargo, en la práctica



29

la lógica sólo puede ser singular. Debido a que nunca podemos dar cuenta de

cómo cada sistema de símbolos se refiere a un mundo que puede, o no, tener

categorías dadas, los mundos diversamente representados por diversos sistemas

de objetos matemáticos abstractos son inconmensurables; sólo una lógica es

siempre accesible (Quine, 1960). Sin embargo, nos podríamos llegar a diversas

formas ad hoc las matemáticas plural, los sistemas plurales de símbolos, pueden

ser traducidos.

Sobre esta base, la posición del Sr. Ojo es correcta por haber hecho un buen

trabajo en subir con una imagen aseada de número en Yoruba cuantificación. Él

podría venir para la aprobación sobre la base de que él no pudo reconocer y

aceptar el dominio lógico del número de inglés, de este fracaso será servir a los

niños enfermos en el mundo moderno. Pero en un esquema relativista esto es un

error político (social), no una falla lógica. En la evaluación de la lección del Sr.

Ojeniyi podríamos argumentar que su aritmética muestra la yuxtaposición de dos

sistemas de simbolizando el número, lo que sugiere cómo podría traducirse cada

conjunto de símbolos en el otro. Su lección se puede juzgar tanto lógica y

pedagógicamente sonido. Los maestros Yolngu también vienen en elogios por su

enfoque en la noción general de la recursividad como una característica común a

los dos dominios simbolización.

Esta es una corriente relativista donde la lógica, simbolizando pensamientos

dados en las prácticas sociales convencionales dispares, resultan en un mundo



30

pluralista donde las formas alternativas de conocimiento compiten, y donde una

inconmensurabilidad profunda subyace una capacidad superficial para traducir

entre sistemas simbólicos. Es una historia igualmente ortodoxa de poderosa

resistencia Yoruba / Yolngu e impotencia occidental. En esta versión los

profesores deben resistir heroicamente la incursión occidental y enseñar una

versión indígena de la lógica en el currículo escolar. El uso de lengua indígena

tiene resistencia y desafían el profesor. Esta historia tiene los profesores de la

escuela como agentes de resistencia local contra la universidad impotente

Profesor del agente de una imposición occidental rechazado y resistido. Podemos

empezar a ver cómo se mueve demasiado en un ámbito moral; sólo que esta

prescribe el heroísmo de la resistencia frente a la tragedia de la alienación. Es una

visión de la fragmentación, no la unidad.

El colonialismo en este punto oprime y destruye las formas de conocimiento

indígenas utilizando poderosas formas occidentales de conocimiento. Este es un

mundo pluralista de incomprensión mutua, inconmensurabilidad, y formas de

conocimiento, donde se persiguen opresión colonial y la dominación a través de la

competencia en un campo de juego desigual "otros", de modo que el conocimiento

(el del colonizador) domina. Esta es sólo otra manera de descartar diferencia y

negando cualquier posibilidad de la toma de conocimiento compartido. Este

pensamiento relativista va a menudo junto con una, donde "nuestro" (moderno) de

base “otredad” y el reduccionismo espiritualmente deficiente se compara con "su"

integridad, haciendo hincapié en lo que "nosotros" (los modernos) hemos perdido



31

frente a "ellos" (los tradicionalistas) .El postcolonialismo en esta idea es la

expulsión de los invasores occidentales por un renacimiento y el resurgimiento de

las formas indígenas de conocimiento; fragmentación y desarrollo separado (a

veces llamado apartheid) se prescriben.

Los juicios efectuados por relativistas y universalistas, sobre la lógica y la

matemática son diferentes –distribuyen la culpa y la alabanza de otra manera-. Sin

embargo, los órdenes morales que prescriben (Pyne Addelson, 1994: 137) tienen

mucho en común. Relativismo y universalismo se oponen al efectuar juicios u

opiniones opuestas, pero aún más el orden moral del colonialismo. Sostengo que

ambos son moralmente insostenibles, por esta razón tenemos que encontrar

maneras de ir más allá de los razonamientos de la lógica y la matemática.

Resumiendo mi argumento, enumero varias características del orden moral

establecido por formas de entender la lógica y matemática:

1. Paradójicamente hemos negado diferencias (aunque en formas

alternativas) al mismo tiempo que nos regenera el límite entre Yoruba,

Yolngu e inglés, entre lo tradicional y lo moderno, entre uno y el otro

2. El aprendizaje de la lógica y la matemática debe elegirse uno u otro,

racional o primitivo, con nosotros o con ellos.

3. Nosotros re-tomamos la naturalidad de la dominación. Un conjunto

institucional particular de las relaciones de poder de oposición y coloniales,



32

re regenera bien por (justificando) universalismo o inversión (justificada) por

relativismo.

4. La más inmediata e incómoda para mí, el pensamiento es volver a inscribir

al investigador como autoridad sin cuerpo que participa en calidad

legislador (académico). El cual es obligado a adoptar procedimientos de

razones válidos, este investigador sin cuerpo no puede participar en los

momentos y lugares de que lo sus historias se conoce. Aunque en la

presentación de su trabajo el investigador incluye otros, esto no puede ser

más que retórica. (Pyne Addelson, 1994: xi).

5. Los fundamentos de la lógica y la matemática no reconoce a las

comunidades Yolngu y Yoruba como escenarios generados de nuevas

maneras de ir hacia adelante, y la regeneración de las viejas formas. No

son capaces de reconocer la creatividad de los miembros de estas

comunidades a medida que avanzan en tiempo y en sus lugares. Estos

tiempos y lugares, donde por ejemplo los números Yoruba y los números en

inglés son igualmente propensos a presentar formas como en Nigeria. O

son los tiempos y lugares donde el gurrutu y los números contribuyen a la

realización de una forma contemporánea de vida en Australia.

6. Las fundaciones malinterpretan la naturaleza generadora de “hacer lógica”

y “hacer matemáticas” en la enseñanza de la matemática y el aprendizaje,

como en otros contextos. Esta malinterpretación oculta la naturaleza de

lucha de los profesores de matemáticas y los estudiantes en toda la



33

experiencia, pero particularmente en situaciones multiculturales. Se oculta

la naturaleza y los resultados del trabajo de los maestros, lo que lleva a la

degradación de la enseñanza y el aprendizaje.

7. Maneras de hacer las fundacionalitas del conocimiento malinterpretan la

naturaleza del colonialismo y el lugar del conocimiento en la forma y volver

a hacer pedidos morales colonialistas. De ahí que también tergiversan lo es

una lucha por el postcolonialismo podría ser y donde estas luchas podrían

ser liberadas.

Historias como las que relate al inicio de este capítulo eran para los relativistas y

realistas de la década de 1960 a 19703. Lo que estaba en cuestión dentro del

discurso era la verdadera naturaleza de la fundación, el debate del proceder de

manera convencional dentro de un marco funcionalista. Los reclamos rivales ya

sea para un físico o una fundación social de la lógica, y por ende matemática

vinieron con formas de evaluar y disputar las afirmaciones del conocimiento.

Los fundamentos epistemológicos y ontológicos, el universalismo y relativismo

toman necesariamente y sin problema a la lógica –la fundación- como una entidad,

un objeto, un conjunto complejo de categorías, que puede expresarse como un

conjunto de procesos de simbolización generando conceptos abstractos. Las

matemáticas son también, necesariamente un objeto en este esquema de las

cosas-el conjunto de conceptos matemáticos y la forma de manipular dichos

conceptos. Como objetos la lógica y la matemática tienen propiedades



34

particulares, las propiedades y características de la lógica y la extensión de la

matemática, difieren de la forma como se acepte. Podríamos experimentar con la

lógica y la matemática, como un conjunto de procedimientos y conceptos

relacionados, pero en el esquema fundamentalista de explicar lo que son, ellas

son en primer lugar cosas. A través de la descripción, sus propiedades pueden ser

categorizadas.

Necesariamente al describir que es lógica surgen casos particulares; son casos

particulares en instancias del objeto lógico o por ende del objeto matemático. Sin

embargo, las descripciones hacen una afirmación acerca de la lógica y la

matemática. Como el conocimiento afirma que pueden ser evaluados como

ejemplos de razonamiento inductivo, “¿Es esto evidencia suficiente?”. “¿El

proceso de razonamiento es válido?”, entre otras. Este es el proyecto, la forma de

“hacer conocimiento” en la academia moderna. Las afirmaciones acerca del

conocimiento, en este caso se puede afirmar que la verdadera naturaleza de la

lógica y la matemática, se llevan a cabo para la búsqueda, que será comentada,

condenada o elogiada, cuando se considere oportuno, a juicio de los

observadores, alejadas de las particularidades en que se basan los reclamos del

conocimiento. La metáfora funcionalista trae consigo un estilo particular de

razonamiento que establece su especial concepto proposicional de la verdad y lo

falso (Hacking, 1982). Se trata de una noción de verdadero-falso, que no es

temporal y sin lugar, expresa verdades de todos los tiempos y lugares. El

razonamiento de esta manera es independiente, de que la fundación lo tomo



35

entidades físicas o prácticas sociales. La visión de la fundación nos hace adoptar

un modo particular de la ontología/epistemología, de modo ajustado a un mundo

objetos. De este modo las fundaciones pueden comprometerse para hacer

afirmaciones generales del objeto de funcionalismo.

La objetivación de la lógica es el primer paso en funcionalismo. El objeto lógico

tiene, como Kant lo ve por ejemplo, algunas propiedades generales y sus escritos

hacer ver a través de dificultades, esas propiedades, así como hacer

argumentaciones sobre lo que esas propiedades deben hacer. Para Kant, el objeto

lógico se establece, es estable y completa en su forma la determinación del saber.

Vamos a mirar ahora, la forma en la suposición del objeto “lógica”, que resulta no

tener problemas en un mundo de objetos, lo anterior se expresa en el texto más

famoso de Kant “Crítica de la razón pura”. Este ejercicio tendrá resultados

significativos. Se puede mostrar que la forma en que se expresa el texto, hace una

alerta de la complejidad que de lo contrario, podría caer en obviedad aparente de

la suposición de que el mundo es de objetos. Volviendo al texto de la “Critica de la

razón pura” para investigar cómo la lógica emerge sin problemas como un objeto

moderno, según la filósofa feminista Michele Le Dreuff (1989; 5-6). Como parte de

su crítica feminista de la filosofía moderna, ella busca algunos momentos

importantes de la filosofía moderna. Dichos momentos tienen prescripciones de

cómo se deben ver las cosas, entre la posición correcta de las mujeres. Más



36

importante desde nuestro punto de vista es la forma de calcular lo conocido y lo

conocedor.

Otros pueden mostrarse escépticos sobre la visión de Le Dreuff reconoce

libremente. Seguramente imaginar y prescribir formas de ver lo que no es filosofía

moderna. Cada colegiala sabe que no es una historia o una descripción pictórica.

La filosofía se declara a sí misma como filosofía a través de la ruptura con el

dominio de la imagen. Haciendo una búsqueda en los textos de filosofía de Le

Dreuff se encontró algo bastante para los filósofos, pruebas convincentes de lo

que ella llama “un imaginario propiamente filosófico” imágenes específicas a la

filosofía. Su conclusión fue:

El imaginario tiene una relación con lo que llamamos trabajo intelectual “conceptualizado”,

o al menos de ocupe el lugar de teoría imposible… el imaginario hace frente a los

problemas planteados por el trabajo teórico… las imágenes que está presente en los

textos teóricos destaca una relación de solidaridad con el propio (y con sus problemas)

trabajo teórico, es decir, en el sentido estricto de la frase imaginaria, es en el trabajo de

estas producciones. (Le Dreuff, 1989; 5-6)

Debido a una fuerte negación de sus imágenes, y porque la filosofía pretende ser

una disciplina de auto-fundación, por lo que hacer uso del mito inevitable, la

mayoría o todas las imágenes de la filosofía son acerca de la filosofía misma:

La filosofía define y diseña sus propios mitos haciendo uso de lugares y diseños

espaciales y narrativos… (Espacial) imágenes…forma parte del lenguaje corporal… que



37

puede ser, tanto como ciertos principios, normas y malentendidos, elementos

estructurales de la propia posición filosófica (Le Dreuff, 1989; 5-6)

A pesar de las negaciones que nos dan las imágenes. No debería sorprendernos.

El sentido común nos dice da una receta de cómo hacer algo, necesariamente que

contiene instrucciones. En la presentación de un relato de cómo hacer la ontología

y la epistemología, la filosofía debe preinscribir como se recibe la relación entre

conocido y conocedor. En particular los diversos puntos de Le Dreuff a Kant, cuya

“obra se rige como un hito en la auto comprensión de la modernidad” (Rundell,

1994; 87) como alguien cuyos textos pueden ser leídos de manera útil de esta

manera. Ella muestra como la metáfora del orden y el espacio va a la verdad a

través de la Crítica de Kant, y sin embargo, la forma en que es tratado el texto

efectivamente niega y oculta que realiza en el razonamiento.

Al explicar esta fundamental distinción entre lo analítico, se ocupa a priori, y lo

sintético, el dominio de lo posteriori, una metáfora implícita es:

En el juicio analítico que mantiene el concepto y trata de extraer algo de él… Pero en los

juicios sintéticos tengo que avanzar más allá del concepto dado, viendo como en relación

con el concepto de algo totalmente diferente de lo que se pensaba de ella…

Reconocer entonces que debemos avanzar más allá de un concepto dado, a fin de

comparar de manera sintética con otra cosa, una tercer cosa es necesaria… sentido

interno a su forma a priori, el tiempo (Kant 929; 171)



38

Setenta páginas después tenemos la imagen completa de la que se extrae por su

cuenta de la naturaleza de la lógica:

Hasta ahora no solo hemos explorado el territorio del entendimiento puro, y examinado

cuidadosamente cada parte de ello, pero también hemos medido su extensión, y se

asigna a todo lo que contiene el lugar que merece. Este dominio es una isla rodeada por

la naturaleza misma dentro de los límites inalterables. Es la isla de la verdad -¡nombre

encantador!- rodeado de un tormentoso océano, la tierra natal de la ilusión, donde hay un

gran banco de niebla y más de un iceberg, da la apariencia engañosa de las costas más

lejanas, engañando a la gente de mar aventureros siempre de nuevo con esperanza

vacías, y que lo haga participar en empresas que nunca podrá abandonar, y sin embargo,

es incapaz de llegar al término.

No obstante, el rol íntimo de la imagen espacial en su propio texto, Kant proyecta

imágenes fuera de la razón. Con su isla Kant, utiliza paradójicamente una

metáfora para prohibir la metáfora. Kant considera que la exclusión de la imagen,

de la metáfora, como la propiedad definitiva de la lógica como reglas y leyes. Él

nos da una imagen sorprendente de modo apropiado de la

ontología/epistemología y para hacerlo utiliza el mismo método que método fuera

de la ley.

Otra característica de esta sorprendente paradoja en la obra de Kant, poder

observarla de la siguiente manera:



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Kant se enfrenta a un abismo, donde él puede caer, se enfrentan el caos y la

incertidumbre. El aleja de nuevo de la certeza. Al hacerlo, circunscribe la naturaleza y el

rol de la imaginación, especialmente su síntesis de poder, por lo que depende de la

comprensión,… Esto tiene efecto, como La Crítica de la Razón Pura se desarrolla, no solo

de reducir la naturaleza de la imaginación a la cognición,… pero lo más importante una

relación entre la razón y la imaginación. La razón no tiene ningún poder creativo,

solamente un poder regulador que da reglas y normas. (Rundell, 1994. 95)

La isla es el emblema de la ideología Kantiana, sin embargo, un emblema

impensable en la lógica del programa que se pretende establecer. La imagen

sombría ordenada de la isla norte es, pues, una condición para el modo de bases

de ontología y epistemología que Kant prescribe, y se niega sistemáticamente en

la elaboración de esa receta.

La paradoja concibe a la lógica como un objeto. La lógica es una inmaculada

concepción –primer objeto de la modernidad-. Sus características son puras,

líneas blancas, son los límites que establecen un mundo de objetos, que puede

ser conocido, y por defecto un conocedor que está en la isla, pero no es de la

misma. El mundo se representa y por lo tanto se hizo picturable a través del

trabajo de la metáfora de la isla.

Esta inmaculada concepción de la lógica como un objeto y la negación del recurso

que permitió están concepción, tiene varias consecuencias. Les da a los

conocedores la posibilidad de categorías específicas del saber. Son estas



40

especificaciones que hacen que universalistas y relativistas estén en desacuerdo

desde entonces. Se crea la posibilidad de que otros objetos podrían representarse

utilizando los lineamientos del orden de la isla. Conocer, a través de la imagen de

la isla, que otros objetos innumerables en el mundo pueden ser reconocidos. Con

estos objetos, reconocemos que estaban ahí sin ser reconocidos. El ver al objeto

lógico es la clave, para llevar muchos más objetos a la luz. La isla crea y prescribe

una forma de hacer conocimiento que ahora es totalmente generalizado, pero en

el momento Kant escribía este camino seguía siendo en gran medida un proyecto

en construcción.

Todos los objetos modernos desde las piedras hasta los cuerpos modernos, desde

los números de bombas nucleares, e incluyendo las matemáticas y la cultura, los

dos objetos asumidos en el título de esta colección de ensayos, representan y

justifican a través de la lógica de objetos. Todos son trozos sin problemas

ambientado en el espacio y el tiempo, con propiedades específicas, o entendiendo

como objetos abstractos por analogía a esa imagen. Todos siguen la imagen

creada por Kant, la isla estable y ordenada (lógica) establecida en los mares

traicioneros (metáfora), cuyo papel en la generación de la isla como la isla es

negada.

No se puede negar que la paradoja ha sido infinitivamente productiva. La utilidad

de la figura de los objetos –trozos de materia ordenada ambientada en el espacio

y el tiempo- es evidente. Si bien esto es aceptado, es importante preguntar por



41

qué Kant no se dio cuenta pensando en el rol de la isla. ¿Qué escondió la

paradoja, por lo cual se creó la imagen del objeto moderno? ¿Qué hizo que

pareciera evidente que la lógica es un objeto imaginado de esta manera? Para

responder estas preguntas debemos tener en cuenta, lo que está en juego aquí.

Según Le Dreuff, el conflicto textual expresado en el tratamiento de Kant de la

metáfora de la isla es “una señal de que algo importante y preocupante busca

expresión –algo que no puede ser reconocido, pero es apreciado vivamente”. (Le

Dreuff, 1989: 9)

¿Qué es ese algo, que no puede ser reconocido, pero que genera la metáfora

prolongada de La Crítica? Le Dreuff identifica como la necesidad de cerrar la

cuestión del papel de la filosofía en el proyecto global de la Gran Instauración,

como Kant, sigue a Bacon, llamando a la modernidad. Kant debe caracterizar el

trabajo de hacer conocimiento, establecer el modo adecuado de ontología y

epistemología, mostrando como imaginarlo, y al mismo tiempo hacer ver como se

encuentra. Debe parecer que éste método hacer el conocimiento todo este tiempo

ahí esperando por el reconocimiento.

Excluyendo los mares, fijando nuestra mirada únicamente en la isla, define a la

lógica como un objeto. A su vez algo muy importante es garantizar, el proyecto de

modernidad. La posibilidad del conocimiento completo y por lo tanto de la certeza

absoluta, de la redención por el estado de incertidumbre, se garantiza a través del

trabajo de la imagen. Permitir la metáfora e imaginar el proyecto de hacer



42

conocimiento, puede completar nada. La isla y los mares se vuelven reconocibles

como primer plano y en el fondo, y un paso más allá del primer plano/fondo es

siempre posible. Las cosas pueden ser re-imaginado.

Tener el lógico como objeto a través de los auspicios de la isla de Kant genera y

justifica la posibilidad de un conocimiento completo y certeza absoluta, Hace

doscientos años era la única forma legítima de conocimiento. No era algo que

Kant y sus compatriotas consideraran como necesario justificar. Habría sido

sorprendente que Kant había dado cuenta de la paradoja.

Antes de pasar a considerar dónde podríamos ir desde aquí, quiero señalar varias

cosas nuevas que vienen junto con los objetos modernos tan amablemente

representado para nosotros en la isla. El primero de ellos es la imagen del

conocedor de esos objetos, y el papel para ese conocedor, un contratante y la

función legislativa. Junto con el ordenamiento de la isla que sepa, el observado

juzga eliminando, con características específicas y particulares, viene la

existencia. Las propiedades del conocedor universal en este esquema son las

características de una forma de conocimiento mostrado por blancos, hombres de

clase más alta de la educación moderna.

Son las filosofas feministas (en particular, Haraway, 1997: 22-24; Pyne Addelson,

1994; ver también Code, 1991, 1995; Harding, 1986, 1991, 1998) como Le Dreuff

que nos ha alertado de lo que era/se da por sentado en la naturaleza de los

conocedores. Ellos, resistiendo la receta para convertirse, al menos



43

simbólicamente, blanco, hombres de clases más altos de la educación moderna,

comenzaron el proceso de revelar algo que está incrustado en el modo ortodoxo

de la metodología/epistemología.

Con menos frecuencia se reconoce, sin embargo, con igual claridad ubicada en el

proyecto el conocimiento moderno, es otra de las características de las

sociedades europeas de la época. La elaboración de un proyecto en el

conocimiento completo certeza absoluta fueron los extremos justificados,

implicaba una necesidad y legitimado colonizador europeo. Colonizar es necesario

y propicio en la lucha por la realización que debe implicar un reconocimiento e ir

más allá de los límites de lo actualmente conocido. Al mismo tiempo, la posibilidad

de completar el conocimiento permite y motiva el impulso colonizador –uno debe

tanto imaginar que hay algo ahí afuera, y considerar que vale la pena recoger,

imputar en un viaje de apropiación. (Shapin, 1996:19)

La tarea de examinar el trabajo del funcionamiento de Kant, nos ha llevado un

largo camino. Reconociendo la labor de la figura de los asuntos establecidos en el

espacio y el tiempo, introduciendo como conjunto ordenado de la isla de Kant, en

los traicioneros mares, nos ha permitido ver cómo el modo de fundaciones de la

ontología/epistemología es un proyecto moral de la colonización europea. Afecta a

una re-elaboración de la vida comunitaria de la Europa del norte del siglo XVIII.

Después de haber visto esto. Tenemos que preguntar ahora es, ¿podemos

rechazar las fantasías de la integridad y la certeza absoluta sin renunciar a los



44

beneficios que vienen con el proyecto de los conocimientos modernos? ¿Podemos

utilizar la imagen de Kant de una isla ordenada como emblema de nuestros

objetos sin asumir todo el bagaje que viene con él? En el contexto de esta

colección de ensayos ¿podemos preguntar específicamente, podemos comenzar

a liberarnos de los proyectos de colonización europea, sin renunciar a los

beneficios surgidos de tomar la lógica como objeto?

Los beneficios alcanzados por medio de los innumerables objetos modernos que

derivan del objeto de la “lógica”, que trabajan a través de un objeto centrado

ontológico/epistemológico, son tangibles, y sería tonto sugerir que podemos o

debemos hacer sin ellos. ¿Podemos revivir la paradoja kantiana y aun así

beneficiarnos de sus reflexiones? Yo supongo que podemos. Lo que necesitamos

hacer es tomar la metáfora kantiana por completo, mantenerla en imagen

completa, y tratarla seriamente. Mi proposición es que está la falta de

reconocimiento del trabajo que la imagen está haciendo, está borrando y

ocultando, que el problema está aquí. Es la negación la que resulta en tan

estrecho vínculo de un particular, y ahora reconocible aberrante, orden moral, a un

modo benéfico de ontología y epistemología.

Mi sugerencia es que tomemos la metáfora de Kant por completo y tomar su rol

como una figura en serio. Tomar la metáfora por completo, y celebrarla, es ver la

isla y los mares que la rodean integrales a cada una. Podemos entender esto

como cambiar nuestro modo de ontología y epistemología.



45

Las primeras cosas para ir con esta movida son fantasías duales de conocimiento

complementario y absoluta certeza. Una admisión de los peligrosos mares como

parte de las ordenadas islas nos tiene reconociendo nuestro use de cuadros y

relatos, como tantas reglas venideras, como parte de aplicar la lógica como

infinitamente generativa. La figura de primer plano/previa ya no resulta en o

alcanza limitación. O más bien, ninguna limitación se vuelve reconocible como un

artilugio; la limitación que el mundo es objetos es visto como un desenlace.

Reconciliándonos a nosotros mismos a la incompletabilidad es quizás no tan

difícil. A diferencia de la Europa kantiana, es (casi) evidente por sí mismo en

nuestros tiempos y lugares dos a tres siglos dentro de la modernidad que la

certidumbre basada en la completitud es inaccesible. En nuestros tiempos y

lugares estamos quizás más inclinados a sentir la inefable complejidad del mundo.

Esas nociones de conocimiento complementario, y certeza en consecuencia de

eso, fuertemente destacado en establecer el moderno proyecto bastante

entendible. Ahora hemos llegado a conocer el moderno proyecto demasiado bien

para la fantasía de término sea sostenible. Por supuesto que necesitamos ir y

preguntar cuáles son los terrenos de esa certeza sobre incertidumbre, y mi

argumento ahí es por la forma de certeza personificada. No hay lugar acá para

responder esa pregunta.

La movida para incluir los mares como parte de las islas tiene consecuencias

futuras. Tomando la isla de Kant seriamente importa a un onto/epistémico



46

compromiso al conocimiento como primeramente se representó (más que

proposicional que devenga reconocible como una particular forma de representar).

Envuelve diferentes formas de lidiar con la paradoja inherente en onto/epistémico

compromiso, en asumir significado. Incluyendo los peligrosos mares con las islas

vemos de forma clara que una isla ordenada plantada en contra de los peligrosos

mares es un logro. Poniéndonos confortables con esta forma de ver las cosas,

vendríamos luego a reconocer que debemos continuar a representar el alcance de

las islas ordenadas. Un mundo objeto es efectuado en nuestra representación de

él. La inherente incerteza, desorganización, complejidad, y multiplicidad de esta

necesariamente polémica acción es lo que se escondía cuando Kant falló en darse

cuenta de su paradoja.

Incluyendo los mares, reconociendo la primicia de representar, no necesariamente

significa que debamos renunciar objetos y renunciar a toda esperanza de una isla

ordenada. Podemos mantener a la lógica como un ejemplar objeto. Pero hoy es un

objeto abiertamente reconocido como alcanzado en un polémico, continuo y sin

acabar proyecto de concretar. Podemos tener nuestras metáforas y retratos,

deshacernos de la completabilidad y alcanzable certeza, y mantener nuestros

objetos ni no escondemos más de nosotros mismos el trabajo que hacemos en

nuestros múltiples y vastos modernos proyectos de concreción. Este es el trabajo

constante del desorden y la complejidad personificado - la malagradecida hazaña

de ordenar continuamente, moderando y controlando. Mantiene en perspectiva

todo el tiempo de continuar y continuo hacer de la lógica en hacer prácticas



47

rutinarias – incluyendo las rutinas a través de las cuales podemos aplicar la lógica

como un objeto.

Cuando tomamos la isla de Kant seriamente como una figura inmediatamente

pierde su utilidad como una justificación, castigando la posibilidad de conocimiento

complementario y absoluta certeza. Incluyendo los mares hacen de las islas de

Kant una recursión – en primer y último plano. Como parte de una recursión de

último y primer plano, la figura de objeto que establece es alterada, que ahora

debe ser vista como un logro – el temporario vacilar de una recursión lograda solo

con un atrevido esfuerzo. El punto no es que la lógica, como un objeto dado, debe

ser entendida ahora como procesos. Sería un error entender que lo que estoy

diciendo aquí es que la lógica son procesos que pueden ser bosquejados con la

expresión de sus metáforas, que de alguna forma yacen detrás o dentro de cada

día de la vida, y alternadamente detrás o dentro de las arenas más estrictas

arenas como matemáticas, ciencias y economía. Eso sería solo otra forma de

tomar la lógica como prescriptiva y de facto como un terminado y dado objeto. Que

es una versión de la fundación prevista por el relativismo. Es más complicada que

eso.

La(s) lógica(s) en este enfoque es ambos y ninguno de los objetos y juegos de

rutinas (bosquejados o no) – y por lo tanto ambos y ninguna singular o plural. La

lógica no yace detrás ni dentro de nada, pero es aplicada en varias contingentes,

parciales e incompletables proyectos. Lógica y matemáticas son aplicadas en la



48

rutina de múltiples veces y lugares, e incluyen rutinas las cuales aplican la lógica y

matemáticas como objetos. Estas son las múltiples rutinas por aquellos que han

participado en educación en matemáticas y filosofía.

Las rutinas encarnadas en aplicar la lógica o matemática en un tiempo y espacio

son en diverso grado lo mismo que, o diferente de, las rutinas en algún otro, y lo

mismo puede decirse para las imágenes. Todos sabemos, por ejemplo, que las

rutinas que aprendemos en las clases de matemáticas en las salas de lectura de

la universidad y laboratorios son bastante diferentes de las rutinas e imágenes de

las lecciones de matemáticas en primaria. Pero hay suficientes continuidades para

que no haya problemas en llamar a ambas matemáticas. Similarmente, el

contenido de las lecciones de matemática en escuelas de Yoruba y Yolngu es en

cierto grado compartido y en cierto grado bastante distinto.

Algunos espacios y tiempos aplican la lógica y la matemática como objetos;

algunos no lo hacen. Conectando la lógica aplicada en estos diferentes tiempos y

espacios, o no, depende en traducir las aplicaciones. Y la capacidad de traducir y

justificar las traducciones depende de una aceptación de y una familiaridad con

figuras que son constitutivas de aplicar la lógica y las matemáticas. Eso es lo

significativo de incluir los mares y tomando la metáfora de las islas por completo.

Mandawuy, sus amigos profesores Yolngu y otros miembros de la comunidad

Yolngu, junto con profesores de Balanda experimentaron en las dificultades de

enseñar matemáticas a los niños aborígenes Yolngu, habían desarrollado sobre



49

un número de años rutinas y prácticas las cuales gradualmente confluyeron como

una nueva forma de currículo de las matemáticas. Es un currículo en el cual el rol

traductor de recursión es central. A ese grado es un currículo que es ambos muy

similar y muy diferente a los currículos de otras matemáticas.

En sus clases, poniendo a los niños a hacer las rutinas en la manera precisa de

hacerlas, podemos imaginar a los profesores Yolngu disciplinando y entrenando

los cuerpos de los niños. Inculcando las pequeñas rutinas y gestos haciendo

números o haciendo gurrutu, ellos están desarrollando los terrenos de una

encarnada certeza – haciendo la isla. En este difícil, tedioso, creativo e imaginativo

trabajo con el que lidian activamente con retratos e historias, evocando la

posibilidad de la isla ordenada. Su lucha es creando no solo conocedores de

matemáticas; el terreno para esta comunidad aborigen Yolngu de continuar están

siendo (re)generados. La educación matemática aquí habilita una continuación

como una contemporánea comunidad Yolngu aborigen. Las lecciones

matemáticas ya no son más sitios de colonialismo sino más bien sitios de

(re)generación de la comunidad.

Entonces ambos Sr. Ojo y Sr. Ojeniyi, en tales lecciones como las que he descrito,

están expandiendo la anclada certeza de ser un contemporáneo Yoruba. Ellos

están organizando cuantificando experiencias, y la participación de los niños

consolida las rutinas de pequeños gestos corporales por los cuales los números

son alcanzados. Los profesores de Yoruba también organizan otras experiencias



50

donde pequeños juegos de gestos corporales e imágenes alternativas e historias

son ensayadas. Estas lecciones más ortodoxas personifican las rutinas de medir el

largo con extensiones y una recta numérica adicional. Los niños de Yoruba

necesitan incorporar ambos juegos de rutina para volverse completamente

preparados como participantes en la (re)generación de la vida en su tiempo y

espacio.

Es también el caso de que algunas veces los profesores de Yoruba y Yolngu

harán las rutinas las cuales hacen de la matemática un objeto. Ellos hacen esto,

por ejemplo cuando lidian con un inspector de escuela, justificando su trabajo, o

cuando estudian matemáticas como objetos. Fallando en reconocer el rol

constitutivo de la figura/imagen/metáfora/giros de lógica y equivocando la lógica

por un objeto dado, podríamos impregnar las últimas prácticas objetivadoras con

capacidades disciplinarias. Luego querríamos disciplinar a los profesores y a los

niños, distribuyendo gracias y desgracias de esta forma o aquella, y en ese

proceso encontrarnos a nosotros mismos rehaciendo el colonialismo. Pero eso no

significa que cualquier cosa va en una lección matemática. Los criterios de

traducibilidad son estrictos y rigurosos cuando comprendemos la certeza como

personificada en estar en particulares tiempos y espacios.

Notas

1. Algunos lectores pueden encontrar extraño que yo interpreto como el

análisis de bases, reservando ese adjetivo para los regímenes



51

universalistas de interpretación, en el supuesto de que el relativismo se

distingue del análisis universalista al no suponer categorías funcionales

establecidas. Una respuesta detallada de la cuestión sería conocer la

multiplicidad de los relativistas que caracterizan la conexión entre el reino

de lo abstracto y el mundo concreto de la experiencia, de varias maneras.

La respuesta que propongo es que todos los relativistas se identifican

correctamente como análisis funcionalismo por el mismo hecho de su

conocimiento formulando hipótesis como un ámbito simbólico

inevitablemente, la creación de un ámbito material que ese conocimiento

abstracto/simbólico, es en cierto sentido sobre en el que se reside.

2. En la identificación de mi ingenuidad en la elaboración de este estudio, no

quiero dar a entender que no valen nada. Simplemente señalo a las formas

en que están comprometidos, e instando a los lectores a trabajar contra

corriente, ya que lo leen.

3. Siguiendo el rastro de textos modernos podemos identificar 1967, como un

punto alto en este viejo debate. En el debate filosófico sobre el desarrollo

de “pensamiento africano” Robin Horton en 1967, “religión tradicional

africana y la ciencia occidental” fue ampliamente reconocido como

fundamental. Horton tomo una línea popperiana en el análisis de la

racionalidad científica y la extendió a la religión tradicional que pretende

mostrar la “apertura” de la ciencia como en contra de la “cerradura” de la

religión tradicional africana. Abierto y cerrado son términos Popper utiliza en



52

la elaboración de su marca en particular de la racionalidad científica

positivista.

La racionalidad se había convertido en el tema más importante de la filosofía de la

ciencia tras la publicación de Kuhn de La Estructura de las Revoluciones

Científicas, tal vez podemos acreditar a Winch con la introducción de los africanos

en este debate con su “Comprender una sociedad primitiva”. En 1970 la colección

Racionalidad apareció como una contribución al debate de la filosofía de la

ciencia. Horton continúo su enfoque en su trabajo en la colección que editó con

Ruth Finnegan, Modos de Pensamiento y Filósofos de la Universidad de Ife,

continuo critica de Horton, los antropólogos Geertz y Gellner también tenía algo

que decir, Kwasi Wiredi (1980) fue la primera voz de África para ser escuchado

con claridad y ampliamente. Para 1982, cuando publico la racionalidad y

relativismo que incluye un replanteamiento de Robin Horton, el debate había

influido en gran medida por sí mismo.

Por el lado de la psicología transcultural Gay y Hole publicaron Nuevas

Matemáticas y una cultura antigua en 1967, que informo de su trabajo con la gente

de Kpelle de Liberia en África Occidental, siguiendo reciente publicación de 1966

publico de Estudios en el Crecimiento Cognitivo, editado por Jerome Bruner, entre

otros, en los que el contenido era muy intercultural. Podemos seguir la

continuación de este trabajo en Cole y La Cultura y Pensamiento de Scribner. Una

introducción Psicológica (1974) y la colección editada Fundaciones del



53

pensamiento primitivo de Hallpike (1979) tanto como una obra definitiva y en

algunos sentido un esfuerzo en esta fase del debate.

Comentario: Esta segunda parte del texto que hemos analizado va enfocado en una vista

filosófica, social, sociológica de lo que es o debe ser la lógica y la matemática, que

siempre se han visto como entes abstractos, pero no se tiene una visión por

decirlo de alguna manera más humana, es por ello que la visión utilizada en los

párrafos anteriores son de enorme rescate.

Un asunto importante a mencionar es que la lógica en nuestra vida cotidiana, es

tratada como un conjunto de leyes y reglas, pues a eso es lo que se está

acostumbrada y establece el conocimiento, pero la verdad no vamos allá. Nunca

se ha preguntado cómo se construye el pensamiento lógico, y simplemente lo

vemos como un esquema de reglas para aplicar en la vida cotidiana, dejando de

lado un punto de vista de cómo se inició dichas reglas y leyes, no hay

cuestionamiento de porque todo se utiliza tal y como esta.

En la educación lo anterior se ve reflejado pues vemos la matemática simplemente

como números, lo cual limita el conocimiento pues hacemos que nuestros

estudiantes aprendan solo procedimientos, reglas, fórmulas y se apliquen a los

diversos ejercicios, pero no hay un debate de como todo se originó, entonces le



54

quitamos un propósito de aprendizaje a la educación, propiamente a la

matemática.

Dejar de lado la abstracción para ambos entes (lógica y matemática) proporciona

una significancia más importante a la educación, el cuestionar el origen de las

leyes, reglas y conocimientos es importante pues podemos hacer que el

estudiante tenga una perspectiva más significativa para el profesor mismo, hasta

el estudiantado.

Entablar un debate filosófico de como observar la lógica, fuera de lo abstracto es

importante, no solo en la rama de la educación, sino que incluso en nuestra vida

cotidiana, pues podemos sacar a la mente de ese letargo de solo ver reglas y

leyes, y se puede proporcionar un sentido de cuestionamientos que ayuden a

construir más conocimiento del ya poseído.

Como profesionales es importante entender este debate de que la lógica es algo

más que leyes y reglas, pues esa perspectiva influye de una manera muy cerrada

en nuestras labores, en cambio, al debatir, el cuestionar e interesarnos ayudaría

de forma integral a la construcción y un desempeño mejor de todos los

profesionales a la hora de entender y aplicar la lógica como algo diario y no solo

para problemas o ejercicios del ámbito escolar.

Entender la forma como comunidades diferentes a la nuestra aprenden, tienen tal

vez una visión diferente de la lógica, la matemática y como llegan a enriquecer lo



55

cotidiano, es necesario para docentes, estudiantes y hasta profesionales de

distintos ámbitos, ya que con ello podemos cambiar el sistema educacional y

profesional del país, que parece que funciona como un banco donde se depositan

los conocimientos nada más, sin importar de dónde vengan dichos conocimientos.

Se debe buscar que el conocimiento sea más de crearlo, construirlo y utilizarlo,

debemos hacer que sea más significativo, que llegue a tener influencia en la vida

de todos los involucrados externa o internamente, ya que al dejar lo abstracto (no

totalmente de lado, pues se ocupa de ello para fundamentar conocimiento) e

incluir cuestionamiento, interés por el origen del conocimiento, intentar incluso

incorporar otras ramas de conocimientos, tal vez lograrían que el conocimiento

lógico y matemático llegue a otras fronteras que ayuden a la sociedad.

Aportes y potencial del artículo. Este artículo si bien complejo por su punto de vista filosófico, puede ayudar

montones a la vista e ideas no solo de docentes, sino de profesionales. Algunas

reflexiones importantes del artículo, se presentan a continuación:

1. La matemática en diferentes civilizaciones van más allá de proceder con

fórmulas, definiciones, entre otras, se puede construir conocimientos a

través de la realidad de cada pueblo, la realidad de cada país.



56

2. Utilizar lo que viven los estudiantes a diario es importante, pues hace que el

conocimiento se torne significativo, que tenga un sentido más integral.

3. No es solo resolver matemáticas en un cuaderno o libro, es guiar al

estudiante que los ejercicios para aprender matemática pueden estar

incluso en su vida cotidiana, sus propios cuerpos, a su alrededor.

4. Los docentes debemos ser los responsables de la visión significativa del

conocimiento, somos los primeros que tenemos que incorporar lo cotidiana

dentro de lo abstracto para que después podamos transmitirlo.

5. El debate epistemológico del conocimiento es algo que hay que instaurar

entre docentes, profesionales y docentes, para poder realizar cambios en

muchos aspectos, no solo en el educacional.

El potencial del artículo es alto, pero hay que adaptarlo, pues al tener un alto

grado de enfoque filosófico, dificultad su comprensión y la pérdida de ese

conocimiento nuevo dentro de este artículo es algo que no debemos dejar que

pase. Si bien es cierto, se debe conocer de todas las temáticas (aunque sea un

poco) en este punto es importante, aparte de adaptar el nivel del artículo, se debe

además incluir otros profesionales que ayuden y aporten ideas para aprovechar lo

expresado por la autora.



57

Bibliografía Selin, H (2000), Sciencie Across Culture: Mathematics Across Cultures. The

History of Non-Western Mathematics. Massachusetts, Estados Unidos

Professor Helén Verran (Sin fecha). Recuperado: http://www.cdu.edu.au/northern-

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http://press.uchicago.edu/ucp/books/author/V/H/au5516389.html

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