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Proceso de admisión 2019 – Curso de matemáticasLógica computacional

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO

CINVESTAV-Tamaulipas

20 de mayo de 2019

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 1 / 69

1 Panorama general de la lógica


Panorama general de la lógica Conceptos básicos

1 Panorama general de la lógicaConceptos básicosBreve panorama histórico¿Qué estudia y qué no estudia la lógica?



Conceptos básicosObservando el mundo desde una perspectiva lógica

La lógica surgió de una necesidad humana innata de darlesentido al mundo y, en la medida de lo posible, obtener ciertocontrol sobre él

Una forma de entender el mundo es analizar la conexión entre lacausa y el efecto




Típicamente, estas conexiones entre causa y efecto se puedenrepresentar mediante una sentencia Si...entonces.

Ejemplos

Si estudio para el examen, entonces obtendré una buena calificación

Si tomo demasiado refresco, entonces la cantidad de glucosa en misangre aumentará considerablemente




Cada sentencia Si...entonces se compone de dos declaracionesmás pequeñas llamadas sub-sentencias:

El antecedente, que se encuentra después de palabra SiEl consecuente, que sigue a la palabra entonces.

Ejemplo

Si son las 5 p.m., entonces es hora de ir a casa

Antecedente: son las 5 p.m.

Consecuente: es hora de ir a casa




A medida que el hombre entendía el mundo, este comenzó ahacer afirmaciones más generales al respecto

Por ejemplo:Todos los caballos son amistososCada vez que llueve, la tierra se humedece




Palabras como todos y cada vez permiten clasificar las cosas enconjuntos (grupos de objetos) y subconjuntos (grupos dentro degrupos).

Por ejemplo, cuando decimos “Todos los caballos son amistosos”,significa que el conjunto de todos los caballos está contenidodentro del conjunto de todas las cosas amistosas




También es posible también conocer el mundo al analizar quéexiste y qué no existe

Ejemplos

Algunos de mis profesores son accesibles

Existe al menos un estudiante en la escuela que se apellida López

Nadie en mi colonia corre más rápido que Luis




Palabras como algunos, y existe se refieren a la superposición deconjuntos (intersección)

Por ejemplo, cuando decimos: “Algunos de mis profesores sonaccesibles”, significa que hay una intersección entre el conjuntode los profesores y el conjunto de las personas accesibles




De manera similar, palabras como ninguno, y no existe se refierena que no hay intersección entre los conjuntos

Por ejemplo, cuando decimos: “Nadie en mi colonia corre másrápido que Luis”, significa que no hay una intersección entre elconjunto de los habitantes de la colonia y el conjunto de todas laspersonas que corren más rápido que Luis



Conceptos básicosConstrucción de argumentos lógicos

Un argumento contiene un conjunto de premisas iniciales y unaconclusión final

Comúnmente las premisas y la conclusión están vinculadas poruna serie de pasos intermedios

Las premisas son los hechos conocidos: las afirmaciones que sesabe (o se cree firmemente) que son ciertas

En muchas situaciones, escribir un conjunto de premisas es unexcelente primer paso para resolver un problema




Ejemplo

Debemos decir si se autoriza la construcción de una nueva escuela que abrirá enseptiembre. Después de realizar algunas llamadas telefónicas tenemos las siguientespremisas (hechos)

Los fondos para el proyecto no estarán disponibles hasta marzo

La empresa constructora no comenzará a trabajar hasta que reciba el pago

Todo el proyecto tardará al menos ocho meses en completarse




En la mayoría de los casos un argumento también incluye pasosintermedios que muestran cómo las premisas conducengradualmente a una conclusión (resultado)

EjemploSegún las premisas, no podremos pagarle a la empresa constructorahasta marzo, por lo que no se terminará de construir la escuela hastaal menos ocho meses después, que es noviembre. Pero, la escueladebe comenzar en septiembre. Por lo tanto ...

La palabra por lo tanto indica una conclusión: “El edificio no estaráterminado antes de que la escuela comience en septiembre”




Después de crear un argumento, se debe poder decidir si esválido, i.e., si es un buen argumento

Para probar la validez de un argumento, se asume que todas laspremisas son verdaderas y luego se observa si la conclusión sederiva automáticamente de ellas

Si la conclusión se obtiene automáticamente, entonces se tieneun argumento válido

En caso contrario, tenemos un argumento inválido




El argumento del ejemplo de la construcción de una escuelapuede parecer válido, pero también puede generar algunasdudas.

Por ejemplo, si otra fuente de financiamiento estuviera disponible,la empresa de construcción podría comenzar antes y quizásterminar en septiembre

Por lo tanto, el argumento tiene una premisa oculta llamadaentimema:

No hay otra fuente de fondos para el proyecto




Los argumentos lógicos sobre situaciones del mundo real (encontraste con los argumentos matemáticos o científicos) casisiempre tienen entimemas

Por lo tanto, cuanto más claro se formule un argumento lógico (sinentimemas), más posibilidades habrá de que éste sea válido



Conceptos básicosCreando conclusiones lógicas empleando las leyes del pensamiento

Como base para comprender la lógica, el filósofo (matemático,lógico y escritor) británico Bertrand A. W. Russell (1872-1970)estableció tres leyes del pensamiento

Estas leyes (llamadas también principios) tienen su base en ideasque se remontan a Aristóteles, quien fundó la lógica clásica hacemás de 2,300 años




Las tres leyes clásicas del pensamiento son realmente básicas yfáciles de entender

Pero, lo importante a tener en cuenta es que estas leyes permitensacar conclusiones lógicas sobre las declaraciones, incluso si nose está familiarizado con las circunstancias del mundo real queestán discutiendo




Principio de identidad: Establece que toda entidad es idéntica a símisma

∀x x = x

EjemplosAlbert Einstein es idéntico a sí mismo (Albert Einstein)El Sol es idéntico a sí mismoEsta pera es idéntica a sí misma




Principio del tercero excluido: Una proposición es verdadera o falsa(i.e., la disyunción de una proposición y de su negación es siempreverdadera)

(A ∨ ¬A) es verdadera

EjemplosAlbert Einstein fue un físico famoso o no fue un físico famosoLa pera está madura o no está maduraEl Sol está ardiendo o no está ardiendo




Principio de no contradicción: Establece que una proposición y sunegación no pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo y en elmismo sentido

¬(A ∧ ¬A) es verdadera

EjemplosMi nombre es Eduardo (E)Mi nombre no es Eduardo (¬E)Por el principio de no contradicción estamos seguros que no esposible que mi nombre sea y no sea Eduardo al mismo tiempo


Panorama general de la lógica Breve panorama histórico




Breve panorama históricoLógica del período clásico

Antes de Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.), el argumentológico se aplicaban de manera intuitiva cuando era apropiado enmatemáticas, ciencias y filosofía

Por ejemplo, dado que todos los números son pares o impares, sise puede demostrar que un cierto número no es par, se sabesentonces que debe ser impar

Los griegos se destacaron en este enfoque de divide y vencerás

Regularmente usaban la lógica como una herramienta paraexaminar el mundo

Aristóteles, sin embargo, fue el primero en reconocer que laherramienta en sí podía ser examinada y desarrollada




En seis escritos sobre lógica, más tarde reunidos como una obraúnica llamada Órganon (que significa herramienta), analizó cómofunciona un argumento lógico

Aristóteles esperaba que la lógica, bajo su nueva formulación,sirviera como una herramienta de pensamiento que ayudara a losfilósofos a entender mejor el mundo




La noción central de la lógica aristotélica es el silogismo

Aristóteles considero por primera vez los silogismos en su escritoPrimeros Analíticos (en latín Analytica Priora)




Un silogismo es un tipo de argumento lógico que aplicarazonamiento deductivo para llegar a una conclusión basado endos o más proposiciones que asume son verdaderas

Ejemplo

1 Todos los hombres son mortales

2 Todos los griegos son hombres

3 Por lo tanto, todos los griegos son mortales

En este ejemplo, tras establecer las premisas 1 y 2, la conclusión3 se sigue por necesidad




Gran parte del trabajo de Aristóteles se centró en comprender loque él llamó proposiciones categóricas

Una proposición (declaración) categórica afirma o niega quetodos o algunos de los miembros de una categoría (el términosujeto, S) están incluidos en otra (el término predicado, P)

Aristóteles identificó cuatro tipos distintos primarios deproposición categórica y les dio formas estándar:

Dos universales, A (positiva) y E (negativa)Dos particulares, I (positiva) y O (negativa)




Los dos términos (sujeto y predicado) en una proposicióncategórica pueden ser clasificados como distribuido o nodistribuido

Si todos los miembros de la clase del término se ven afectadospor la proposición, esa clase es distribuida; de lo contrario, es nodistribuida




Ext. Dist.

Tipo Cualidad S P Sentencia S P

A + U P Todo S está en P X 7

Todos los gatos son mamíferos

E − U U Ningún S está en P X X

Ningún escarabajo es mamífero

I + P P Algún S está en P 7 7

Algunos mexicanos son triunfadores

O − P U Algún S no está en P 7 X

Algunos políticos no son corruptosCualidad: +, positiva;−, negativa

Extensión: U , universal; P , particulares

Distribución: X, distribuida; 7, no distribuida




A y E son contrarias porque difieren encualidad siendo universales

I y O son subcontrarias, porque difieren en lacualidad siendo particulares

A con respecto a O, e I con respecto a E soncontradictorias, porque difieren en cantidad ycualidad

A con respecto a I, y E con respecto a O sonsubalternas porque difieren en cantidad

Cuadro de oposición




Euclides de Alejandría (325-265 a.C.) es mejor conocido por sutrabajo en geometría, que todavía se conoce como geometríaeuclidiana en su honor

Su mayor logro aquí fue su organización lógica de los principiosgeométricos en axiomas y teoremas




Euclides comenzó con cinco axiomas (o postulados),afirmaciones verdaderas que él creía eran simples y evidentes

A partir de estos axiomas, usó la lógica para probar teoremas,afirmaciones verdaderas que eran más complejas y no evidentesde inmediato

De esta manera, logró probar el vasto cuerpo de geometríalógicamente a partir solamente de los cinco axiomas

Los matemáticos todavía utilizan esta organización lógica deenunciados en axiomas y teoremas




Euclides también usó un método lógico llamado prueba porcontradicción (reductio ad absurdum, en latín)

En este método, se asume lo contrario de lo que se quiere probary luego se muestra que esta suposición conduce a una conclusiónque es obviamente incorrecta

EjemploPor ejemplo, un detective tratando de resolver un asesinato podría razonar: “Si elmayordomo cometió el asesinato, debe haber estado en la casa entre las 7 y las 8pm. Pero, testigos lo vieron en la ciudad a veinte kilómetros de distancia durante esashoras, así que no pudo haber estado en la casa. Por lo tanto, el mayordomo nocometió el asesinato”




Mientras los sucesores de Aristóteles desarrollaron su trabajosobre la lógica silogística, otra escuela griega de filosofía, losestoicos, adoptaron un enfoque diferente

Ellos se centraron en las declaraciones condicionales de la formasi... entonces...

El más notable de ellos fue Crisipo de Solos (279-206 a.C.)




EjemploPremisas:

Si las nubes se están acumulando en el oeste, entonces lloveráLas nubes se están acumulando en el oeste

Conclusión:Lloverá



Breve panorama históricoLógica en los siglos I al XII

Después del período griego clásico hubo realmente pocosavances en la lógica

Durante el primer milenio de nuestra la mayoría del trabajo enlógica se hizo en el mundo árabe

Los filósofos cristianos y árabes en Bagdad continuarontraduciendo y comentando a Aristóteles




Avicena, Ibn Siná, en persa, (980-1037 d.C.) rompió con estapráctica, estudiando conceptos lógicos que implicaban tiempo(siempre, algunas veces, nunca)

Posteriormente la lógica dejó de estudiarse por mucho tiempo




Es hasta el siglo XII que resurgió el interés por la lógica, enespecial en las falacias lógicas (argumentos que parecen válidos,pero no lo son)

Ejemplo de una falacia (afirmación del consecuente)

Premisas:

Si está nevando, entonces hace fríoHace frío

Conclusión:

Por lo tanto, está nevandoAun cuando ambas premisas sean verdaderas, la conclusión podría ser falsa,porque no siempre que hace frío está nevando




El estudio de las falacias se remonta por lo menos hastaAristóteles, quien en sus Refutaciones sofísticas identificó yclasificó trece clases de falacias

Desde entonces se han agregado a la lista cientos de otrasfalacias y se han propuesto varios sistemas de clasificación

Además, como una de las siete artes liberales (gramática,retórica, aritmética, geometría, astronomía y música), la lógicatambién fue fundamental para el currículo de las universidades endesarrollo durante los siglos XII a XVI



Breve panorama históricoLógica moderna (siglos XVII a XIX)

Gottfried Leibniz (1646–1716) fue un filósofo, matemático, lógico,teólogo, jurista, bibliotecario y político alemán

Fue el mejor lógico del Renacimiento en Europa, y al igual queAristóteles, vio el potencial de la lógica para convertirse en unaherramienta indispensable para comprender el mundo




Fue el primero en llevar el trabajo de Aristóteles un pasosignificativo más adelante al convertir las declaraciones lógicas ensímbolos que luego podrían manipularse como números yecuaciones

El resultado fue el primer intento crudo de lógica simbólica

De esta manera, Leibniz esperaba que la lógica transformara lafilosofía, la política e incluso la religión en cálculos puros,proporcionando un método confiable para responder a todos losmisterios de la vida con objetividad




Desafortunadamente, su sueño de transformar todas las áreas dela vida en cálculo no fue perseguido por la generación que losiguió

Sus escritos sobre lógica como cálculo simbólico acumularonpolvo durante casi 200 años

Cuando fueron redescubiertos, los lógicos ya habían alcanzadoestas ideas y las habían superado

Como resultado, Leibniz no fue tan influyente como podría habersido durante esta fase crucial en el desarrollo de la lógica




Hasta principios del siglo XIX, la lógica se estudió de manerainformal, es decir, sin el uso de símbolos en lugar de palabras

Comenzando con Leibniz, los matemáticos y filósofos hasta estemomento habían improvisado una amplia variedad de notacionespara conceptos lógicos comunes

Sin embargo, estos sistemas generalmente carecían de cualquiermétodo para el cálculo a gran escala




A fines del siglo XIX, sin embargo, los matemáticos habíandesarrollado una lógica formal, también llamada lógica simbólica,en la que los símbolos computables representan palabras ydeclaraciones

Tres personajes fueron clave para la lógica formal: George Boole,Georg Cantor y Gottlob Frege




El álgebra booleana fue inventada por el inglés George Boole(1815-1864)

Es el primer sistema completamente desarrollado que maneja lalógica como un cálculo y se considera la precursora de la lógicaformal

Es similar a la aritmética estándar en el sentido de que utilizavalores numéricos y las operaciones familiares para la suma y lamultiplicación

Sin embargo, a diferencia de la aritmética, sólo se usan dosnúmeros: 0 y 1, que significan falso y verdadero, respectivamente




Por ejemplo:SeaA = Thomas Jefferson escribió la Declaración de Independencia

SeaB = Paris Hilton escribió la Constitución de los Estados Unidos

Como la primera declaración es verdadera y la segunda es falsase puede decir que A = 1 y B = 0




En el álgebra de Boole, la adición se interpreta como o (or), por loque la declaración

Thomas Jefferson escribió la Declaración de Independencia oParis Hilton escribió la Constitución de los Estados Unidos

se traduce como:A+B = 1 + 0 = 1

Debido a que la ecuación booleana se evalúa como 1, ladeclaración es verdadera




De forma similar, la multiplicación se interpreta como y (and), porlo que la declaración

Thomas Jefferson escribió la Declaración de Independencia yParis Hilton escribió la Constitución de los Estados Unidos

se traduce comoA×B = 1× 0 = 0

En este caso, la ecuación booleana se evalúa como 0, por lo quela declaración es falsa




La teoría de conjuntos, iniciada en la década de 1870 por elmatemático y lógico de origen ruso Georg Cantor (1845-1918),fue otro precursor de la lógica formal, pero con una influencia yutilidad mucho más amplias que el álgebra de Boole

Un conjunto es una colección de elementos con característicassimilares considerada en sí misma como un objeto

Algunos ejemplos:{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{Batman, Wonder Woman, Spiderman}

Esta construcción simple es muy efectiva para caracterizar ideasimportantes en la lógica




Por ejemplo considere la siguiente sentencia: Todo los nombres deestados en USA que contienen una z comienzan con la letra A

Esta sentencia puede ser verificada al identificar los siguientesdos conjuntos

Conjunto 1: {Arizona}Conjunto 2: {Alabama, Alaska, Arizona, Arkansas}

Como puede observarse cada elemento del primer conjunto estambién elemento del segundo

Por lo tanto el primer conjunto es subconjunto del segundo, por loque la sentencia es verdadera




Gottlob Frege (1848-1925), un matemático, lógico y filósofoalemán, inventó el primer sistema real de lógica formal

El sistema que inventó es realmente un sistema lógico embebidodentro de otro

El sistema más pequeño, la lógica proposicional, usa letras pararepresentar afirmaciones simples, que luego se vinculan mediantesímbolos para cinco conceptos clave: no, y, o, si, y si y sólo si




Por ejemplo:Sea E = Evelyn está en el cine

Sea P = Pedro está en casa

Estas definiciones permiten formar estas dos declaraciones:Evelyn está en el cine y Pedro está en casa

Si Evelyn está en el cine, entonces Pedro no está en casa.

y convertirlos en símbolos de la siguiente manera:

E ∧ P

E → ¬P




El sistema más grande, la lógica de predicados, incluye todas las reglas de lalógica proposicional, pero las expande. Utiliza diferentes letras para representarel sujeto y el predicado de una declaración simple

Por ejemplo:

Sea e = Evelyn

Sea p = Pedro

Sea Mx = x está en el cine

Sea Hx = x está en casa

Estas definiciones permiten representar las siguientes dos sentencias:

Evelyn está en el cine y Pedro está en casa; como Me ∧Hp

Si Evelyn está en el cine, entonces Pedro no está en casa; como Me→ ¬Hp




La lógica de predicados también incluye dos símbolos adicionalestodos y algunos, los cuales permiten representar las siguientessentencias:

Todos están en el cine

Algunos están en casa

De la siguiente forma:∀x [Mx]

∃x [Hx]

La lógica de predicados tiene el poder de representar las cuatroproposiciones categóricas básicas del cuadro de oposición deAristóteles



Breve panorama históricoLógica en el siglo XX

A fines del siglo XIX, siguiendo el ejemplo de Euclides, losmatemáticos intentaron reducir todo el conocimiento a unconjunto de teoremas lógicamente dependientes de un pequeñonúmero de axiomas

Frege, inventor del primer sistema de lógica formal, vio laposibilidad de que las matemáticas en sí mismas pudieranderivarse de la lógica y la teoría de conjuntos

Comenzando con sólo unos pocos axiomas sobre conjuntos,demostró que los números y, en última instancia, todas lasmatemáticas se derivaban lógicamente de estos axiomas




La teoría de Frege pareció funcionar bien hasta que BertrandRussell encontró una inconsistencia que demuestra que susistema es contradictorio

Esta inconsistencia se conoce como la paradoja de Russell




Paradoja de RussellSea M el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos comomiembros. Es decir

M = {x : x /∈ x} (1)

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por

∀xx ∈M ↔ x /∈ x (2)

es decir Cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo.Ahora, como M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación (2), dedonde se obtiene

M ∈M ↔M /∈M (3)

Es decir que M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M , lo cuales absurdo




El proyecto de reducir las matemáticas y la lógica a una brevelista de axiomas abre una pregunta interesante: ¿Qué sucede sicomienzas con un conjunto diferente de axiomas?

Una posibilidad, por ejemplo, es permitir que una sentencia seevalúe a algo distinto de verdadero o falso

En otras palabras, permitir que una sentencia viole el principio deltercero excluido de Russell

Para los Griegos esta flagrante violación hubiera sido impensable,pero con la lógica formulada simplemente como un conjunto deaxiomas, se abrió esta posibilidad




Jan Łukasiewicz (1878-1956), un matemático, lógico y filósofopolaco, propuso en 1917 la lógica plurivalente, que incluyó supropio cálculo de tres valores de verdad (verdadero, falso, posible)

Fue la primera lógica de cálculo no clásica

Posteriormente surgieron otras formas de lógica no clásica: lógicadifusa, la lógica cuántica, etc.




Con las matemáticas definidas en términos de un conjunto deaxiomas, surgió la pregunta de si este nuevo sistema era a la vezconsistente y completo

Es decir, ¿era posible usar la lógica para derivar cada sentenciaverdadera sobre matemáticas a partir de estos axiomas, yninguna sentencia falsa?




En 1931, un lógico y matemático, de origen austriaco y naturalizadoestadounidense, llamado Kurt Gödel (1906-1978) demostró que un númeroinfinito de sentencias matemáticas son verdaderas, pero no pueden probarsedados los axiomas publicados en los Principia Mathematica1

1Tres libros que definen las bases de la matemática en términos de un conjunto de axiomas, fueron escritos por Bertrand

Russell y Alfred North Whitehead




Gödel también demostró que cualquier intento de reducir lasmatemáticas a un sistema consistente de axiomas produce elmismo resultado: un número infinito de verdades matemáticas,llamadas declaraciones indecidibles, que no son demostrablesdentro de ese sistema

Este resultado, denominado Teorema de la Incompletitud,estableció a Gödel como uno de los mejores matemáticos delsiglo XX




En cierto sentido, el teorema de la incompletitud de Gödelproporcionó una respuesta a la esperanza de Leibniz de que lalógica algún día proporcionaría un método para calcular lasrespuestas a todos los misterios de la vida

La respuesta, desafortunadamente, fue un No definitivo

La lógica, al menos en su formulación actual, es insuficiente paraprobar cada verdad matemática, y mucho menos cada verdad deeste complejo mundo




Sin embargo, en lugar de centrarse en lo que la lógica no puedehacer, los matemáticos y científicos del siglo XX han encontradoinfinitas formas de usar la lógica

El principal de estos usos es la computadora, que algunosexpertos (especialmente los informáticos) consideran el mayorinvento del siglo XX

Hardware, el diseño físico de los circuitos informáticos, utilizacompuertas lógicas, que imitan las funciones básicas de la lógicaproposicional: reciben información en forma de corriente eléctricade una o dos fuentes y emiten corriente sólo en determinadascondiciones




Por ejemplo, una compuerta NOT emite corriente sólo cuando nofluye corriente desde su entrada

Una compuerta AND emite sólo cuando la corriente fluye desdesus dos entradas

Una compuerta OR emite sólo cuando la corriente fluye desde almenos una de sus dos entradas




Software, los programas que dirigen las acciones del hardware,están todos escritos en lenguajes de computadora, como Java,Visual Basic, C++, Ruby o Python

Aunque todos los lenguajes informáticos tienen sus diferencias,cada uno contiene un núcleo de similitudes, incluido un conjuntode palabras clave de lógica proposicional, como and, or, if... then,etc


Panorama general de la lógica ¿Qué estudia y qué no estudia la lógica?



Panorama general de la lógica ¿Qué estudia y qué no estudia la lógica?

¿Qué estudia y qué no estudia la lógica?

La lógica

no puede sí puede

Crear un argumento valido Evaluar la validez de un argumento dado

Decir que es verdadero o falso en realidad Decir cómo trabajar con sentencias verda-deras y falsas

Decir si una sentencia es sólida (sound) Decir si una sentencia es válida

Justificar conclusiones a las que llegó porinducción

Justificar conclusiones a las que se llegópor deducción


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