Leyes de Composición Externa

Sean E y W conjuntos no vacios. Se denomina Ley de Composición Externa entre elementos de E y elementos de W a toda función f: WxE →E. En otras palabras una Ley de Composición Externa definida entre los elementos de un conjunto E y los elementos de un conjunto W, es toda función que tiene como dominio el producto cartesiano WxE y como codominio el conjunto E. Lo interesante de esta definición es que cuando calculamos el compuesto de un elemento extraño (elemento de W) con un elemento de E obtenemos un elemento de E.

Notas:

F (∝, x), con (∝, x) Є WxE, es un elemento de E que representa el compuesto de ∝y x por la Ley Externa considerada.

W se denomina conjunto de operadores de la Ley Externa. En general, f (∝ , x) lo denotaremos por ∝ , x; en este caso, se dirá que la ley

Externa es una multiplicación Externa.

Ejemplos:

1. Sea E=V2 el conjunto de vectores libres del plano y W=R el conjunto de los números reales. La función f: RxV2→V2 tal que f (∝, x)= ∝. x es una Ley Externa, esto es, la multiplicación de un número real por un vector es una Ley Externa. Recodando que La multiplicación de un numero real por un vector vienen dada por:

∝ x= (∝ x1, ∝ x2) siendo ∝ Є R y x= (X1, X2) Є V2

2. Sea E=I conjunto de los números Irracionales y W=Q* conjunto de los números racionales no nulos. La función f: Q* x I →I f (r. i)= r.i ∀ (r, i) Є Q* x I, es una Ley Externa, esto es, la multiplicación de un racional por un irracional.

Sea E= R2x2 el conjunto de matrices cuadradas de ordenadores con entradas reales y W=R conjuntos de los números reales la función

f: RxR2x2→R 2x2 tal que f (∝ , A)= ∝ A.

Con a b A= c d

a, b, c, d Є R y ∝A, el producto de un número real por una matriz, es decir,

∝ a ∝ b

∝ A= es una ley externa. ∝ c ∝d

3. Consideremos (E, +), (E, .) y (E, T) y W= N* conjunto de los números naturales no nulos. Las funciones:

f: N*x E →E f (n, x) = n. x= X+ x+….+ n vecesg: N*x E→E g (n, x)= X = x. x. x…x n vecesh: N*x E→E h(n, x)= Tx= xT, xT….Tx n veces

Son Leyes de Composición Externa; es decir: el producto de un natural no nulo por un elemento de E, la potencia de un elemento de E con exponente natural no nulo y el compuesto ene veces de un elemento de E con el mismo mediante la Ley T con n-natural no nulo, son Leyes de composición Externa.

4. Si E es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y W=N conjuntos de los números naturales, la función,f: N x E→E f(n, pq)= npq, donde pq, es un segmento del plano, es una Ley externa; es decir, el producto de un natural por un segmento es una Ley externa.

Definición: sea E un conjunto dotado de una Ley externa cuyo conjunto de operadores es W y sea F≠Ø, FСE. Se dice que F es estable para la Ley Externa si y solo si: ( ∀ ∝ ЄW) ( ∀ x Є F): ∝. x Є F.

Ejemplos:

1.a) Sea E=V2 el conjuntos de vectores en el plano y W=R conjunto de los números reales y sea

F= {(x, 0) Є V2/XЄR} С V2F es una parte estable para la multiplicación de un número real por un vector.En efecto:Sean ∝Є R y x Є F con x= (X1, X2). Luego ∝ .x= ∝ (x1, 0) = (∝ X1, ∝ .0), definición de producto de un numero real por un vector.

= (∝ X1, 0) efectuando = (X2, 0) Є F con X2= ∝X1 Є R.

2.b) Consideremos la Ley Externa dada en el ejercicio (2). Y sea F= {x.√2/ x Є Q*} С I.

F es una parte estable para la ley Externa; en efecto:

Sea α Є Q* y Z Є F donde Z= X.√2, XЄQ*

∝ .Z=∝ (x√2)

= (∝ X) √2, asociativa de la multiplicación en R.

=β√2 con β =∝. X Є Q*

Luego:

∝ .Z Є F

Propiedades Eventuales de una Ley de Composición Externa.

Asociatividad.

Definición: sea E un conjunto provisto de una Ley Externa que representaremos multiplicativamente, con conjunto de operadores W, y sea (w, T), CON T asociativa. Se dice que la Ley externa es asociativa con respecto a la Ley T si Y solo si

( ∀ ∝ , β ЄW) ( ∀ X Є E): (∝ T β) x =∝(β x).

En otras palabras al componer el resultado del compuesto α T β con x con el resultado que se obtiene de componer β con x, ambos compuestos deben ser realizados mediante la Ley Externa.

Ejemplos:

- En el ejemplo nº 1 “.” Es asociativa y se cumple que: - (∀∝, β∈ R ¿(∀ xV 2): (∝ . β ¿x=∝. (βx );

En efecto: sea x= (X1, X2) Є V2 y ∝ , β∈R .

Evaluemos:(∝β ¿ x=(∝ . β )(X 1 , X 2) ¿( (∝β ) X1 , (∝β ) X 2), definición de producto de un escalar por un vector ¿ (∝ (β X 1 ) ,∝ (βX 2 ) ) ,Asociatividad de “.” En R. ¿∝ (β x1 , βx2 ) ; Definición de producto de un escalar por un vector. ¿∝ (β x ) .

Así, la Ley Externa es asociativa con respecto a la multiplicación de números reales, afirmamos que no lo es con respecto a la adición de números reales, en efecto; debemos encontrar ∝ , β∈R y x∈V 2 tal que (∝+β¿ x ≠∝ (βx ) .Si hacemos ∝=2 , β=3 y x= (3,4 ) ,tenemos que:(2+3) (3,4)= 5(3,4), efectuando = (15,20), definición de producto de un escalar por un vector; Por otra parte: 2 (3 (3,4))= 2 (9,12) Definición de producto de un escalar por un vector, = (18, 24)Así, (2+3) (3,4) ≠ 2(3(3,4)).

Si consideramos la Ley Externa definida en:Siendo T asociativa trivialmente se cumple:(∀∝, β∈ E ¿ (∀ x∈R ) : (∝Tβ )Tx=∝T (βTx )Es decir, la Asociatividad de la Ley Externa es una consecuencia de la Asociatividad de la Ley T.

Distributiva.

Definición: sea (E.T). Sobre E se ha definido una Ley Externa cuyo conjunto de operadores es W. se dice que la Ley Externa es distributiva con respecto a la Ley T si y solo si (∀∝∈W ¿ (∀ x , y∈ E ) :∝ ( xTy )=(∝ x )T (∝ y ) .Esto quiere decir que al componer ∝con el compuesto xTy, mediante la Ley externa, obtenemos el mismo valor si componemos mediante T los resultados de componer ∝ con x y∝ con y mediante la Ley Externa.

Ejemplos.

- En el ejemplo nº 1 consideremos (V2, +), luego se verifica que (∀∝∈R ¿ (∀ x , y∈V 2 ) :∝ ( x , y )=∝ x+∝ y ; es decir, La Ley Externa es distributiva con respecto a la adición de vectores.En efecto:Sea ∝∈ R ,x=(X 1 ,X 2 )∈V 2 yY=( y1 , y2)∈V 2Evaluemos:

∝ (x , y )=∝ ¿ , definición de adición en V2. ¿(∝ ( x1+ y 1 ) ,∝(x 2+ y 2)), definición de producto de un escalar por un vector. ¿ (∝ x 1+∝ y 1 ,∝ x2+∝ y2 ) , Distributiva de la multiplicación respecto de la adición en R3.

¿ (∝ x 1 ,∝ x2 )+(∝ y 1 ,∝ y2) Definición de adición en v2.

¿∝ (x 1 , x 2 )+∝ ( y 1 , y 2 ) , Definición de producto de un escalar por un vector.

¿∝ x+∝ y

En el ejemplo nº 3, consideremos ( R 2x2, +). Luego se verifica que:

( ∀∝∈R ¿ (∀ A ,B∈R2 x2) ∝ (A+B )=∝ A+∝B .

En efecto,

Siguiendo un procedimiento análogo al de los ejemplos anteriores y utilizando las definiciones de adición de matrices y el producto de un escalar por una matriz el lector puede verificar fácilmente esta ultima igualdad.

Definición: sea E un conjunto provisto de una Ley Externa con conjunto de operadores W y consideremos (E.T) y (W ,⊥¿. Se dice que la Ley externa es distributiva con respecto a las leyes T y ⊥ si solo si (∀∝, β∈W ¿ (∀ x∈E ) : (∝⊥β ) x=(∝ x )T ( βx).

Esto quiere decir que si el resultado de ∝⊥ β lo componemos con x mediante la Ley Externa, se obtiene el mismo valor al componer mediante T los resultados de Componer ∝ con x y β con x mediante la Ley externa.

Ejemplos.

En el ejemplo nº 1 consideremos (V2,+) y (R, +). Luego se verifica que:

(∀∝, β∈ R ) (∀ x∈V 2 ) :

(∝+β ) x=∝ x+ βx ,en efecto:

Sean ∝ , β∈R y x=(x 1 , x 2)∈V 2 , Evaluemos

¿, definición de producto de un escalar por un vector.

¿(∝ x1+βx 1 ,∝ x2+βx 2), distributiva de la multiplicación con respecto a la adición en R.

¿ (∝ x 1 ,∝ x2 )+(βx 1, βx2 ) ,Adición de un escalar por un vector.

¿∝ x+βx .

Es decir, la Ley Externa es distributiva con respecto a la adición de vectores y a la adición de números reales.

Sea E un conjunto dotado de una Ley externa cuyo conjunto de operadores es W= N* y consideremos (E,+) y (N* , +),siendo “+” asociativa en E. luego se verifica que:

(∀n ,m∈N∗¿ (∀ x∈ E ) : (m+n ) x=(mx )+(nx).

Así, la Ley Externa es distributiva con respecto a las Leyes de Adición de Naturales no nulos y adición de los elementos de E.

Homomorfismo entre conjuntos dotados de Leyes Externas.

Definición: sean E y G dos conjuntos dotados cada uno de una Ley de Composición Externa, siendo W el conjunto de operaciones para ambas Leyes. Se denomina homomorfismo de E en G a toda función.

F: E→G f(∝ , x ¿=∝ f ( x ) , (∀∝∈W ) (∀ x∈E ) .

En otras palabras, la imagen del compuesto de un elemento de W con un elemento de E es el compuesto del elemento de W con la imagen del elemento de E, mediante la Ley Externa definida sobre G.

Nota: la notación empleada en la definición es multiplicación para las dos Leyes Externa.

Ejemplos:

Sean E= Q 2x2 el conjunto de las matrices cuadradas de orden dos con entradas racionales dotado de Ley Externa Multiplicación de un entero positivo por una matriz y G= Q conjunto de los números racionales dotado de la Ley Externa multiplicación de un entero positivo con un racional. La función f: Q→q f (A) = tras (A) es homomorfismo , en efecto:

Sea AЄQ 2x2,

Con A= a b

C d

Y a, b, c, d Є Q

Recordemos que tras(A) indica la traza de la matriz cuadrada A y se define como la suma de los elementos de la diagonal, es decir, tras = a+d.

Debemos probar que: (∀n∈Z+¿ (∀ A∈Q2 x2 ) .

f (n. A)= n. f (A).

Evaluemos:

F (n A)= f n a b

c d

= f na nb definición de la Ley Externa sobre

nc nd

=na +nd, definición de f

= n (a + d), factorización

= n f (A), definición de f

Teorema: sean E,G,H, conjuntos dotados de Leyes de composición Externa , cada una con el mismo c0njunto de operadores W y sean: f: E →G y g: G→H, homomorfismo. Entonces la función gof: E→H es un homomorfismo.

Demostración.

Debemos probar que: (∀∝∈W ¿ (Vx∈E ):

(gof) (∀ . x ¿=∝ (gof )(x )

Evaluemos:

(gof) (∝ . x ¿=g[f(∝ x ¿ ;definicion de compuesta

= g [∝ f (x)]; por ser f homomorfismo.

=∝ [g f(x)]; por ser g homomorfismo.

=∝ (g of) (x); definición de compuesta.

Nota: en forma análoga a lo estudiado en los homomorfismo entre conjuntos dotados de Leyes Internas se define: endomorfismo, monomorfismo, epimorfismo. Isomorfismo y automorfismo entre conjuntos dotados de Leyes Externa.