GRÁFICO N°. 15

Este tipo de gráfico se lo utiliza para realizar coiu];.: raciones

en el rendimiento de dos cursos' diferentes.

4. 1 . 3 . Porcentaje de barras compuestas.

Es un tipo de gráfico mediante el cual se representa

los porcentajes, donde todas las barras tienen la --

misma altura.

Representar en un gráfic^ de Porcentaje de barras cora

puestas dos cursos diferentes en una

X Xm f(A) Total f ÍÉ f (A) % f (B)"~~~^ '—- —— -.^^^ az- A Á. * . ¿5-í • n~-18-20 19 2 2 4 50 5015-17 16 6 10 1'6 ... * 37,5 62,512-14 13 14 8 22 . 63,64 36,36- 9-11 10 8 12 20 4o 606-8 7 5 6 11 . 45,45 54,54

3-5 4 3 4 7 42,86 57,14 -

' 78.TOTAL 38 42

CUADRO N?. 23

Para trazar el gráfico se ubica los puntos medios en el eje

de las equis y los porcentajes tanto de A, como de B, en el

eje de las yes, tomando una columna para cada intervalo.

LEYENDA

CURSO A

CURSO B

GRÁFICO N? 16

4.2. Gráfico Circular.

Es un diagrama de superficie que se lo utiliza para representar datos, el

gráfico está dividido en partes ta__ les según el número de variable que

existan en la serie

de datos.Para el cálculo matemático se utiliza la siguiente fór

* muía:A? = Superficie en grados.

__- N- f = Frecuencia__ —--• -r lAn

A? =N = Número total de casos,

Representar en un diagrama circular los sigv^,<rfnreá datos de un Colegio de

Loja.CURSOS f A?

Sexto 200 29

Quinto 350 50

Cuarto 400 58Tercero 450 65Segundo 500 72Primero 600 86

TOTAL : 2.500 360

Por ejemplo obtener los va_ lores

correspondientes a Sexto y Primer

curso res— pectivamente.

200 . 360 2500

600 . 360 2500

- 28 -

CURSO

CURSO B

,-

f .

N

Este tipo de gráfico se lo utiliza para realizar con.p;.raciones en el

rendimiento de dos cursos diferentes.

4.1.3. Porcentaje de barras compuestas.

Es un tipo de gráfico mediante el cual se representa los porcentajes,

donde todas las barras tienen la --misma altura.

Representar en un gráfic^, de Porcentaje de barras com puestas dos

cursos diferentes en una mis

X Xm f ( A ) c: o Total f 9t f (A) % f (B)~"Y/T~~r> at A. /. »• . ¿54- ¿»"-18-20 19 2 2 4 50 5015-17 16 6 1O 1'6 . - 37,5 62,512-14 13 14 8 22 , . 63,64 36,36

- 9-11 10 8 12 20 4o 606-8 7 5 6 11 45,45 5^,54

3-5 4 1 4 7 42,86 57,14 -TOTAL 38 42 • ? e>

CUADRO N? . 23

Para trazar el gráfico se ubica los puntos medios en el eje de las equis

y los porcentajes tanto de A, como de B, en el eje de las yes, tomando

una columna para cada intervalo.

- 2? -

LEYENDA

CURSO A

CURSO B

—¿ifc

-94-

fef^ Xrn,

GRÁFICO N?. 15

GRÁFICO N? 16

\.2. Gráfico Circular.

Es un diagrama de superficie que se lo utiliza para re-

presentar datos, el gráfico está dividido en partes ta_

les según el número de variable que existan en la serie

de datos.Para el cálculo matemático se utiliza la siguiente fór

* muía:A? ,= Superficie en grados.

_.- N-- f = Frecuencia---—— AO_ f • 360 — N _ Numero total de casos, A'~

N

Representar en un diagrama circular los tos de un Colegio de Loja.

CURSOS f A?

Sexto 200 29

Quinto 350 50

Cuarto 400 58Tercero 450 65Segundo 500 72Primero 600 86

TOTAL : 2.500 360

Por ejemplo obtener los va lores

correspondientes a Sexto y Primer

curso res— pectivamente.

2OO . 360 2500

60O . 360 2500

CURSO

CURSO B

da—

A? = 86?

- 29 -

Para representar gráficamente, se parte del semieje positivo de las equis, tomando en sentido contrario a las agujas del reloj .

Gráfico N- 17

BARRAS SUPERPUESTAS

Este tipo de barras, regularmente son utilizadas cuando se trata de una Población Estudiantil, o sea escuelas, colegios, etc., o un con-junto bien definido.

Para representar gráficamente se procede así:

1. Cuadro estadístico.Ejemplo:Población estudiantil de un Colegio.

Ciclo Diversificado

Tercer Curso Segundo Curso Primer Curse

110 120 140150 170' 240

Ciclo Básico Tercer Cursr Segundo Curso Primer Curso

2. Se utiliza dos seir.'_ jes

"^~-~-__En el semieje horizontal no se lo escala con respecto al cuadro, si'_ se centraliza para colocar las barras.

»b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias, o _ sea

con el número mayor que exista de alumno con cualquier _ curso o ente que se trate. En nuestro ejemplo observamos que , el número 240 es mayor por lo cual este semieje debe tener _ ese máximo, con una escala igual de acuerdo al espacio que _ se va a utilizar.

3. Representación

Se observa el cuadro estadístico y se toma el que tenga menor fr£ cuencia, se lo coloca como barra en el centro del semieje horizon tal, en nuestro caso es el de tercer curso del ciclo diversificado que tiene la menor frecuencia que es 110, luego el que le siga frecuencia se gráfica encima del primero, o sea el de segundo cur so del mismo ciclo que tiene 120 y así sucesivamente todas las de_ más barras. Se considera para cada barra el mismo ancho y su fo£ mación es a partir del semieje horizontal.

4. Presentación de la gráfica

Al haber coistruido la gráfica se pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente manera cada una para diferenciar y a la derecha de la gráfica se coloca la'leyenda indicando el color o rayado utilizado para cada barra.

BAUSAS SUPERPUESTAS

- 30 -

f200140120

«04*

»

-30 El -

u---C A P I T U L O . V

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. v_

Es ur- conjunto de valores que tieden a ubicarse en el cen_

tro cié una serie de datos ordenados. oEntre las principales medidas de Tendencia Central tene--

mos: La Media Aritmética, la Mediana, la Media Geométrica, El

Modo, y la Media Armónica.

1.1. Media Aritmética.

Es el valor promedio de un conjunto de datos, Por -

' ejm: La Media de los siguientes valores es:

--x ' 1^, 15,13,12,15 = -|2- = 13,8x___ S J

La Media Aritmética de ésta serie es 13,8f

1.1.1. Media Aritmética de una serie sin frecuencias.

Para hallar la Media Aritmética, se suman los valores, sin

: ordenarlos y luego se divide para el númer.o de valores exi¿

tentes. Esta proposición se la pueoe transformar en una -

fórmula. -'

Y -•A. •«• - -

k: ' • . , • .• % = Media" Aritmética.

\'- ~" £.*.= Sumatoria de valores.

. N = Número de elementos.

-- ^ Calcule la media de los siguientes pesos de alumnos dados en

kilos.

^ 47-49-Ó1-48-5O

' &x = 245

= 245 N =' 5

* = ^T~- ' •

X * 4»

La Media Aritmética es 49 kilos '»

1.1.2. Media Aritmética de «na se-rH *» sin>T»l«» onr»

- 31 El -

cias para obtener la media aritmética, se multiplica la va

riable por la frecuencia respectiva y luego se obtiene la suma

de todos estos productos y luego A este valor se lo -divide

para el número de elementos. Todo esto puede repre sentarse

mediante una fórmula matemática, así:

X = Media Aritmética

'é. x. f = Sumatoria de producto de la variable por la fre-

cuencia. N = Número de elementos.

Las calificaciones de matemáticas de un curso de un colé—

gio de Loja, en el Primer Trimestre de éste año lectivo ob>

tiene las siguientes calificaciones:

14-13-13-16-14-12-15-13-13-19-09-11-19-11-15-12-10-12-11-'*» 1 Q- 17-16-11 -15-17-

19-15-14-12-16-14-14-12-12-16-14-18-14-1,6-11-15-14-13-14. ~ <4¡r •Las mismas que al ordenarlas en una serie simple con fre-

cuencias tenemos:X f Xf

20 0 0

19 3 57

18 1 1817 2 34

~^íL_ 5 80

? 15 _ 5 — 7514 9 12613 5 6512 6 721 1 5 5510 2 20

9 1 9

44 611

CUADHü No. 25 •

La media aritmética en la asignatura de Matemática ea de

13,89.

1.1.3. Media Aritmética de una serie ordenada en intervalos.

Cuando una serie está ordenada en intervalos, es po-55 i "h 1 ** Ho^o T»m -ína-r» cu trol^f* »

X = N

- 32 El -

PRIMER MÉTODO

Algunos autores le llaman Método Largo, consiste en obtener

los puntos medios con su respectiva frecuencia y luego se

suman todos estos productos parciales y se divide -para el

número de elementos. Todo esto traducido en una fórmula

quedaría asi:

X = Media Aritmética ¿Xm.f= Sumatoria

de producto de los puntos medios por la

frecuencia. N = Numero de casos.

Se estableció un grupo de 10O estudiantes para medirles la talla en-

uno d*e los colegios de Loja, una vez ordenados los datos se obtiene la

siguiente tabla de valores. El ejemplo propuesto en la tabla tiene un

ancho de interva lo que es igual a 8, es decir que es un número par;

como consecuencia todos los puntos medios tendrán decimales.X Xm f Xm.f

143-150 - 1 46, 5 2 293

135-142 f 138,5 8 1 108127-134 / 130,5 26 33931 19-126 122,5 31 3797,51 1 1 .J srr- 114,5 20 2290

103-110 106,5 1 1 1171,5

95-102X 98,5 2 197

100 12.250

CUADRO No. 26

SEGUNDO MÉTODO

Asi como el anterior a éste proceso algunos autores le lia

man Método Sorto, porque cuando se tiene una serie con un

número grande de casos este proceso es más factible mane—

jarlo que al anterior proceso.

Para hallar la Media Aritmética mediante éste método, la

-,serie debe estar ordenada en intervalos y luego seguir este

proceso: 1?. Se supone una media supuesta (X), este valor

puede ser

cualesquier punto medio, de preferencia que sea el que

tiene mayor frecuencia.

Xm.f

, U = 3

3. Se realiza el producto de las diferencias por las fre

cuencias y se suma algebraicamente.

k. Una vez que se han obtenido todos estos valores, es p

sible determinar la X, con la siguiente fórmula

Utilizaremos la serie del cuadro—anterior para la aplica ción

del segundo método.X Xm f 5Ls _L_L_£^143-150 1 4 6 ,

52 3 o

135-142 138,5 8 o 16

127-134 j 130,5 26 1 26

1 19- 1 28 122,5 31 12275] o 0

1 1 1-1 18 114,5 20 - i -20

103-1 10 106,5 1 1 — 2 22

95-102 98,5 2 — 3 . 6100 0

X = 122/5 + O

X = 122,5

1.1.4. Media Aritmética de varias Medias.

Es valor promedio de todas las medias que se clan.

Este promedio se lo utiliza mucho, para saber el

aprovechamiento de uri curso. Ejemplo:

- 33 El -

va lo.

- 122.5 Xm - Xsu = Ü = 8

. iX = Xs

CUADRO No . 27

.' ü . iX = Xs7/Y N

8(O)122,5 N

Después de una Junta de Curso se pudo conocer que u

no de los cursos en estudio obtuvo las siguientes -

ASIGNATURAS X..

Idioma iSacional 13,4

Matemática 13,5Estudios Sociales 1 4 , 2

Ciencias Naturales 13,8Inglés 14,2

Educación Física 16,7Opciones Prácticas 15,8Educación Artística 13.4TOTAL 115,0

CUADRO No. 28 Se utiliza la fórnmla :

X = U,38

La media del aprovechamiento del curso es de 14,38; de a-

acuerdo a la escala dada por el Ministerio de Educación, se

puede notar'de que se trata de un aprovechamiento Bueno.

1.1.5. Propiedades de la Medía Aritmética.

1.1.5.1. La suma algebraica de las desviaciones dej .

un conun o de números es igual a cero.X X - X

14 0,2

15 1,2

13 -0,8

12 -1,8

15 -1,2

0

1.1.5.2. Si fl niimeros tienen de media mros tienen de media m0,

tienen de media mK, entonces media de todos los

números es:

El -

= ¿x

NX =

X = 13,8

1 * X2

f, números -

+ fk

•c f K

I7ÚC

X =

Se llama Media ponderada de todas las medias. 1.2.

MEDIANA? Se llama Mediana el valor que ocupa el centro

de una distribución, dejando a cada lado el 50%

de los caos. Halle la Mediana de los siguientes valores:/

1? - 16 - [Til - 1 k - 13 Mdn.

=15

Se puede notar que Mdn. = 15 o sea qye es el valor que

está ubicado eri el centro de la serie. 1.2.1. Mediana de

una serie sin frecuencias.

1.2.1.1. Si el número de elementos es impar, se

ordena, los datos y se toma el valor -icentral.

Ejemplo: Hallar la Mdn. de los siguientes valores:

101-100-99-98 -97-96-95 Mdn. 98 1.2.1.2. Si el

número de elementos es par, se

ordena los datos y luego los dos valo-

res del centro se losfuma y se los di-

vide para dos. Por ejemplo:

Halle la Mdn. de los valores:

101-10O-98-96-95-94

Mdn. =97

1.2.2. Mediana de una serie Simple con frecuencia.

Para el cálculo de la Mediana en ésta serle, se

~~ procede así:

Se halla la columna de frecuencias acumuladas, luego -se

divide el número de casos para dos y éste valor se lo

ubica en la columna (fa) en el valor igual o próximo

mayor fcl valor de N y la variable correspondiente2

será el valor de la Mdn.Halle la Mdn. de la siguiente serie:

X f fa

19 3 kk

18 1 4117 2 4o16 5 3815 5 3314 9 2813 5 1912 6 . 1

- 35 El -

98 +

Mdn. =

El valor igual o próximo mayor será 28, en consecuencia el

valor de la variable es 14, por tanto ía Mdn. es 14.

1.2.3. Mediana de una serie ordenada en Intervalos.

Para hallar el valor correspondiente a la Mdn de una

serie ordenada,en intervalos, se utiliza el siguiente

procesos

19. Se halla la columna de la frecuencia

acumulada'.

El número de casos se divide para dos y éste valor

se lo ubica en la columna de la fa, si es el

valor igual o mayor que N

2

Una vez que se ha ubicado donde se encuentra la -

mediana, se procede a encontrar el límite real in

ferior del intervalo (Li) Se obtiene (fai) que es el

valor de la frecuencia4?,

acumulada inferior a la localizada con5*. Se escribe el valor f que es la frecuencia del in

tervalo donde está6?. El ancho del intervalo (i)

79. Se utiliza la fór ula siguiente:1 V f

.^- Mdn. = Li + (~ " fai

• Mdn = Mediana

Li = Límite inferior realN•5 = El número divido para dos

fai = Frecuencia acumulada inferior f =

Frecuencia del intervalo. Obtener la Mdn de la

siguiente tabla de valores.

X f fa

143-150 2 100

T35-142 8 98127-134 26 901 19-126 31 64

- 36 El -

Jf_

29

NM«H

2

JL

)

111-118 20 33'103-110 1 1 1395-102 2 2

' 1OO

CUADRO No. 31.

fai = 33 f = 3 1Í = 8 ; .

Se remplaza estos valores en la fórmula y tenemos:

Mdn = 118,5 + 4,387

Mdn =118,5+4,39Mdn = 122,89 Este es el valor central.

1.3. MODO

El Modo o la Moda es el valor de la variable que se repite

mayor número de veces, o sea es el valor más frecuente.

Es frecuente encontrar que una serie tenga 2 valores moda

les, a la que se le llamaría serie bimodal, etc.

Por ejem: En la siguiente serie el valor modal es el 15«

17-19—15-15-15-18-14 /?_ /<P~/2->y?- /£^

Mo. = 15 ^-

1.3.1. El Modo de una serie sin frecuencias.

Para determinar el Modo de esta serie, es muy ssnci^ • ^~---__

lio, de acuerdo a su concepto, el Modo es el valor -que se- repite

mayor número de veces. Por ejem: Halle el Mo de la Serie:

155-159-161-161-162-163 jí&f- /¿^ /¿$

El Mo es 161 JM- JiV^Jf?.

1.3.2. El Modo de una serie simple con frecuencias.

Para determinar el Mo en esta serie, nos atenemos al

concepto de Mo: Que es el valor que más se repite. Por

ejemplo: Determinar el Mo en la siguiente serie: Se

procede así: Se determina la variable que tiene

mayor frecuencia y dicha variable se_

rá el Mo.

- 37 El -

N

2

Li =

10O

2

118 + 119

N•M^M

2= 50

===> LÍ = 118,5

• 8Mdn = 118.5

8Mdn =118,5 + --

X f

ypf 19 f 3

W 18 2 1

/f*1 7 ¿ 2

tf¿16 3 5

rfá-f15 X 5

i r a 14 /¿ 9¿t \ 7 ' ~

X** o -* -7 5

¿ít 12 Q 6

/¿Tí 11 V 5

Af& 10 / 2

/Kf 9 9<- 1

f3 4¿¿

El Modo de una Serie

ordenada en Intervalos.

Para determinar el Mo

de una serie ordenada

en Ínter

valos se procede así:

1. Se localiza la

mayor frecuencia en

esa fila esta_ rá

el Mo.

2. Se halla el límite

inferior.

3. Se halla el valor A i = F • raodal - f • inferior

4. Se determina el valor A « = **• modal - f . mayor.5. Se utiliza la fórmula

Mo = Li +

A

i +

A2

Hall

e el

Modo

de

la

sigu

1.3.3,

is t

r V7-

t/í .

ient

e

seri

e:X f

143-150 ._ 2

135-147. 8

127-134. 26

1 19-126 31111-118 20

103-1 1X) 11

95-102 2100

CUADRO No. 33

:==> A 1

===<? A 2

i =

A 1Mo = Li +

A 1 * A 2

1

1

Mo = 118,5

1 1 + 5

88 Mo = 118,5 + 5,5 Mo = 124Mo = 118,5 + -ff-

El Mo = 124

- 39 El -

de coordenadas rectangulares en su Primer Cuadrante.

Represente gráficamente la X , Mdn y Mo en un polígono de

frecuencia para los siguientes valores.X Xm f

itf-143-150

146,5 2

135-142 138,5 8

"•"-•127-134 130,5 ^6 -

* 1 19-126 122,5 31 V- 1 1 1-1 18 114,5 20 • :

103-1 10 106,5 1 1

95-1O2 98,5 2

100

CUADRO No. 34

Para esta serie de valores , se han obtenido los siguientes !//-/// resultados:

,/2, ///' X = 122,5 ' ^Mdn.s 122,89 f tt)-//'L Mo._ 124.

1.5. Media Geométrica, GRÁFICO No. 18

Este tipo de medida no es utilizada en Pedagogía. La media

geométrica de n elementos es igual a la raíz de n, del

producto de todos sus elementos. Así puede ser: La Media

Goemétrica de 2 valore.s es la raíz cuadrada de•

su producto.

La Media Geométrica de 3 valores, es la vaíjZ cúbica del- ' .4

producto de sus valores y así sucesivamente. La

fórmula de la Media Geométrica es:

MG = ^ (Xl)(X2)(X3) .......(Xj"

Halle la Mg de 9 . 4

->,

O

: - 40 El -

1.6. Media Armónica.

Se define como la recíproca de la Media Aritmética de los

inversos 1.

1Su fórmula es: MH =

Halle la Media Armónica de: 3, 7, 2

MH = ———————————————————t /

y MH

-L.

v1. Cfr. Downie Heath; Métodos Estadísticos Aplicados,

pag. 63.

1 \ Xj

1N

' C A P I T U L O vi

MEDIDAS DE VARIABILIDAD (DISPERSIÓN)

1. Medidas de

Dispersión.

Se llama

dispersión a la

intensidad conque

los valores de una

variable tienden a

extenderse

alrededor de un

valor rae, dio.

Entre las

principales

medidas de

variabilidad o de

dispersión

tenemoss

La

Des

via

ci

ón

Med

ia

y

la

Des

via

ci

ón

T

íp

ica

.

1.1

.

Des

via

ci

ón

Med

ia.

- 41 El -

Se llama asi

a la diferencia

que se establece

entre la variable

y la media

aritmética.

1.1.1. Desviación Media de una Serie de Frecuencias,- . z -./' Es conveniente ordenar la variable, JLue^o se

calcula la Media

Aritmética y £ütsi£o se

construye la columna de

las desviaciones, que

es la diferencia entre

la variable y la media

aritmética. La fórmula

a utilizarse es la

siguientes:D.M. =

D.M.= Desviación Media

d = Sumatoria de

las desviaciones

N

=

N

úmer

o de

caso

s.

EJEM

PLO:

Hall

e la

D.M.

de

los

sigu

ient

es

valo

res:

V•

Ld

N

X d = X - X

jT-

20 2,5

1 19 1,5} 18 0,5tf 17 -0,5í 16 -1,5(, 15 -2,5

105 9

Para la sumatoria de

las desviaciones, se

las suma, sin to mar

en cuenta el signo.

X = -!£L D.M. =4-

6 5 i

'- 42 El -

1.1.2. Desviación Media de una serie simple con frecuencias.

Para obtener la desviación media de una serie simple se

utiliza el siguiente proceso:

1. Se halla la Media Aritmética.

2. Se halla la columna de las desviaciones (d)

3. Se construye la columna '(f.d.).

4. La fórmula a utilizarse ea la

D.M. = Desviación Media

N aÉf.d. = Sumatoria de frecuencias

por desviaciones. v N =

Número de casos.

5. Se suman todos los valores de la columna (f.d.) sin

tomar en, cuenta los signos.

EJEMPLO:

Halle la desviación media del siguiente cuadro de valores.X f X.f dm . f . dm .20 2 4o 3,35 6,7

19 2 38 2,35 4,7

-18 3 54 1,35 4,05

17 k 68 0,35 1,4

16 6 96 -0,65 -3,9

15 3 45 -1,65 -4,95

14 3 42 -2,65 -7,95Tot /r 23 383 33,65

CUADRO No. 36

D.M. =-

D.M. =D.M. = 1,46

Desviación media de una serie ordenada en intervalos.

Para el cálculo de la D.M. de una serie ordenada en

intervalos, se utiliza el siguiente proceso:

1. Se halla la media aritmética por cualquiera de los

métodos estudiados.

2. Se halla la columna de las desviaciones, estable-

ciéndose la diferencia entre el punto medio y la

media aritmética.

f.dD.M. =-

f.X f.dX =- N N

23 x

= 16,65

33.65 23

4. Se utiliza la fórmulaD.M. = *-

N

D.M.= Desviación

media. f.dm.= Sumatoria de productos de la frecuencia por

las desviaciones medias. EJEMPLO:

Calcular la desviación media de los valores de la a±^ guíente tabla.X Xm. f f .Xm dm f.dm.18-20 >T 19 - 2 38 6,92 13,84

15-17 &é 16 4 64 3,92 15,6812-14 2$ 13 16 xi 208 0,92 14,72

9,11 50 10 tO í¡ 10O -2,08 -20,80

6-8 ti 7 3 ? 21 -5,08 -15,243-5 2+ 4 1 Í 4 -8,08 - 8,08

TOTAL *!. bt-A 4(5), 88,36

CUADRO No. 37 D.M.

D.M. 3.M.

1.2. Desviación Típica o Desviación Estándar. -^_ Es la raíz cuadrada

de la media de los cuadrados de las desviaciones.

Para el cálculo matemático de la desviación típica se tienen los

siguientes casos:

1.2.1. Desviación Típica de una serie sin frecuencias, Para determinar

el valor de la desviación típi-i, se utiliza el siguiente

procedimiento: Se halla la Media aritmética

Se construye la columna de las desviaciones. Se halla la

columna (d ). Se utiliza la fórmula'•&> =\\ *~ d V N

= Desviación típica

l d = Sumatoria de las desviaciones elevadas al cuadrado. N = Número

- 43 El -

f.dm. O -

ír-{•>-•

-.&U

f.Xm. f.dX = N N88,36 36

_4_3JXJO

X = = 2,45

ca

1.

2.

3.

4.

de casos

-44EI-

Halle la desviación típica de la siguiente serie de valores

20-19-18-17-16-15 £ú - tfo -

- *y -

X d d2

¿» 20 2,5 6,25

19 1,5 2,25

18 0,5 0,25

17 -0,5 0,25

16 -1,5 2,25

15 -2,3 6,25

17,50

X = 105 X = 17,5

<r* 1,71

1.2,2 .Desviación típica de una serie simple con frecuencias

Pwra el cálculo de la desviación típica, se utiliza el

siguiente proceso:

1. °e .determina la media aritmética.

2. Se halla la coimrana de las desviaciones.

3. Se constrpye la columna de las desviaciones elevadas al

cuadrado. v

4. Se elabora la columna de f,d~.

5. Se utiliza la siguiente fórmula:

N

. <r = Desviación típica.2 ¿f.d = uumatoria del producto de las

frecuencias por

el cuadrado de las desviaciones. N

CUADRO No. 38

<T = í¿.f . d

= Número de easos*

EJEMPLO:

Halle la desviación típica de la siguiente seriet

20-19-18-17-16-15-14 -ia -X f _.. -d d2

— __ — _

p— »• 2

~~20...1 ...1 11 • ——— •••

2 3,35 1 1,22 22,44

19 2 2,35 5,52 11,0418 3, 1,35 1 ,82 5,4617 / 4 0,35 0, 12 0,4816 6 * -0,65 0,42 2,5215 3 •* -1,65 2,72 8,1614 3 7 -2,65 7,02 21,06Total 23 71,16

CUADRO No. 39

Si la X! ) ^**^ i i

= 16,65 -

4lf.d2i

*- * v^3»09 ^=

1,76

_y

yN

F71.16 l

23

1.2.3. Desviación Típica de una serie ordenada en intervalos Para el calculo

maternati o de la desviación típica en

una serie ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente

proceso

1. Se determina la media aritmética.

2. Se halla la columna de las desviaciones.

3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al

cuadrado.•>

4. Se elabora la columna de f.dm

5. Se utiliza la fórmula:

1\ — Desviación típica.2 •

,dm = Sumatoria del producto de las frecuencias por las de¿

viaciones elevadas al cuadrado. N = Número de

casos.

tg'-x> as- - i+3í~ Z.'«f 11 -¿f //' - ¿-9

fb-

X f Xm -¿ Xs. u f.u dm dm2 f.dm2

18-20 15-17

4 146 6 1

19 1613 107 4

13 2 1 0 -1 -2 -3

8 14 0 -6 -12 -3

5,94 2,94 0,06 -3,06 -6,06 -9,06

35,28 8,64 0,0039,36 36,72 82,08

141,12 120,96 0,06 56,16 220,32 82,08

(T2-14 /(l 9-11 {

6.8 3-5

El -

Como üd. puede darse cuenta las calificaciones están dadas

por números enteros en consecuencia tendremos:

Para la calificación Sobresaliente, estarán todos los es-

tudiantes que tengan los puntajes de 19 y 20. Para la

calificación Muy Buena, los puntajes: 15,16,17,18. Para la

calificación Buena se tendrán los puntajes 12,13,14. Para la

calificación Regular se tienen los puntajes: 5,9,10,11. Para

calificación Deficiente se tienen los puntajes: 5,6,7.

De acuerdo a los puntajes existentes en cada calificación

es posible determinar el número de estudiantes que están ubi-

cados en cada grupo de las calificaciones cualitativas.

En el presente caso se tendrían las calificaciones distri-buidas así:

El -

N

13 + 0,06

13,06

/ 620. 70

= 3,52

Sobresaliente

Muy Buena

Buena Regular

Deficiente

2 Estudiantes 16 Estudiantes 19 "8 "5 u

CUADRO No. 41

Total 5O Estudiantes

A continuación ampliaremos este tipo de distribución.

1*2 .4. Distribución de las calificaciones mediante la desvia-

ción típica o desviación estándar.

Mediante este proceso e» posible ubicar a cada uno de

los estudiantes en el rango de calificación cualitat^L

va, de acuerdo a los valores de la media aritmética y a

la desviación típica de todo el grupo.

EJEMPLO: Distribuir las calificaciones siguieates ^ue perte-

necen a la tabla de valores que se utiliaé •* el —

cuadro anterior."

12-14-9-16-18-15-16-17-10-8-12-14-8-13-17 V¿_13-16-10-7-12-15-7-12-16-13-14-13-19-6 13_16-6-15-16-12-15-14-18-10-13-10-5-14-17 1 r_ 13-9-16-12. •* -SO-Que constituye la tabla de valores:

X f Xm.

18-20 4 19

15-17 14 1612-14 19 139-11 6 106-8 6 73-5 1 4

Se han obtenido en cálculos anteriores loa siguientes datos:

X = 13,06 v

<T = 3,52 - '

Para distribución se debe tener en cuenta la «i^uien

te tabla:CUADRO No. 43

CALIFICACIONES NUNER. 4LXS •PBfcMnii n u i i

21, 3618, 04

14,82 1 1 ,

30

7,78

Sobresaliente • ————— » 1 Q O/i a

Muy Buena ————— ————————— 9- 1 4 , 8 2 a

Buena ————— ————————— * 1 1 , 3 0 a

Regular _____ l » / 0 *

—————————— - 4 , 2 6 aPara obtener los intervalos se parte ríe la media aritmética

sumando y restando la mitad de la desviación típica, se obtiene

el intervalo de la calificación Buena.

Para obtener el intervalo de la Calificación Muy Buena, al /

límite superior del intervalo anterior se le adiciona el valor de

la desviación típica;

Para el intervalo de Sobresaliente, al límite superior del intervalo anterior s*> l «> j»Hi -ir.«a -i

- 4 7 El -

-4é £ I-'

mite inferior de la calificación Buena se le resta el valor de la

desviación tipica.

Asimismo para obtener e± intervalo de la calificación De-

ficiente, al límite inferior de la calificación regular, se le

resta el valor de la desviación estándar. Así se obtiene to—

dos los intervalos.

Así puede Ud. realizar la distribución mediante la desviación

estándar que es muy utilizada en la escuela primaria.

4. Interpretación Pedagógica de la Desviación Media y de -la

Desviación Típica.

En Pedagogía se utiliza mucho estas medias de variabilidad,

para poder realizar análisis sobre la homogeniedad o heterogenei

dad del grupo.

Si la desviación típica o la desviación media tiene valores me-

ñores, se considera que el grupo es mas homogéneo y viceversa. "La

desviación media se la utiliza cuando se desea dar la impor tancia

a todos los puntajes cíe la serie.

La desviación estándar se utiliza cuando se necesita una medida

de variabilidad de mayor precisión; si ha sido calculada la me_

dia aritmética, como medida, de tendencia central; si se desea -

dar a cada valor de la serie la importancia que tiene y se pro-

yecte realizar cálculos estad sticos posteriores en la curva —^

normal " 1.

1. Cfr. Vizuete,\Cedeno, Estadística Aplicada a la Educación

pág. 1^3.

- k Í El -

C A P I T U L O VII

MEDIDAS INDIVIDUALES

1. Medidas .Individuales.

En educación, al maestro no solo le interesa conocer el valor

que represente al conjunto de datos y el valor de variabilidad del

grupo, sino que necesita conocer datos más precisos que le

permitan observar en forma concreta el valor de cada in dividuo.

Mediante el desarrollo de las diferentes medidas indivi—

duales como son: Los Cuartiles, Deciles, Percentiles, Puntúa—

ciones Tipificadas ( ) y las puntuaciones derivadas T.

1.1. Los Cuartiles.

Es un tipo de medidas individuales que se los utiliza -

para dividir la serie en cuatro partes iguales, las mismas -

que reciben el nombre de Cuartiles: Primer Cuartil (Q,), Se-

gundo Cuartil (Q2) y Tercer Cuartil (Q«).

Conviene indicar que bajo el primer cuartil está el 25% de -

los casos, entre el primero y segundo cuartil está otro 25$, , <_ entre, el 3e¿vunüo_y tercero, esta otro 25;¿. . de los cabs y sobre eJ? tercer cuartil esta el otro 25%.

1.1.1. Cálculo de los cuartiles de una serie simple con fre_

cuencias. • '„

Se utiliza el siguiente proceso:

1. Se construye la columna de la frecuencia acumulada. ~

2. Se ubica la posición de cada uno de los cuartiles en la columna

de la frecuencia acumulada, mediante la utilización de las

siguientes fórmulas: ' Qp- = Posición del cuartil uno. Qp.

= N/4

Qp2 = Posición del cuartil dos. Qp« = 2N/4 -Qpa

= Posición del cuartil tres. Qp_ = 3N/4J J

3. Una vez que ha sido ubicado cada uno de los cuartiles en la

frecuencia acumulada, es posible determinar el valor de cada

cuartil, tomando el valor de la variable,, correspon-diente al

cuartil ubicado. EJEMPLO:

Determine los cuartiles de los puntajes de un curso que están

dados en la siguiente tabla.

X f fa.20 1 50

19 2 49

18 3 47

17 4 kk

16 3 ¡40

15 2 37U 15 3513 4 20

12 2 1611 3 14

10 2 119 3 98 2 67 2 46 1 2

5 1 1

Total 50

Qp1= 12,5 Equivale: QI = 11

Qp2= 25 Equivale: Q = 14

QP3= 37,5 Equivale: Q_ = 16

Se puede observar que la posición del Cuartal uñó es 12,5; y

el valor que corresponde en la variable es 11; por tanto Q.J = 1 1

y así se obtienen los demás valores.

1.12. Cálculo de los cuartiles de una serie ordenada en in

tervalos:

Para el cálculo de los cuartiles de una serie ordena

da en intervalos se utiliza el siguiente procedimiento.

1. Se halla la frecuencia acumulada.

2. Se ubica a los cuartiles de acuerdo a su posición en

Cuartil uno, Cuartil dos, y cuartil tres.

3. Se emplea las siguientes fórmulas para hallar los cuar-

tiles ;

Q. = Li

- 5*1 El -

Qpn/4QPl = 50/4

Qp2 =2N/4

Qpo =3N/4

QP2 == 3.50

Uds. pueden notar que estas fórmulas son aplicaciones de

la fórmula de la mediana. Q, = Cuartil uno

Cuartil tres

Limite real inferior

Número de elementos fai.=

Frecuencia acumulada inferior

f = Frecuencia del intervalo donde está ubicado el cuartil i

= ancho del intervalo. EJEMPLO: Calcule los cuartiles de la

siguiente tabla de valores:X Xm. f fa.48-51 49,5 2 95

44-47 45,5 6 93

40-43 41,5 7 87

36-39 37,5 10 80

32-35 33,5 < 12 70\

28-31 29,5 18 5824-2? 25,5 13 4o20-23 21,5 10 27

16-19 17,5 6 17

10-15 __ 13,5 5 1 1

8-11 x 9,5 4 64-7 5,5 2 2

Total 95

Ubicación de los cuartiles:

Cálculo de los cuartiles:

Para el Primer Cuartil

Datos: Fórmula:

- 5* El -

L±Q2 =

= L±

Q2 = Cuartil dos

Q3 = Li.=N =

Qp, = 95/4

Qp2 = 190/4

QP.J = 285/4

23,75

47,5

71,25

Qp, = N/4

Qp. 2N/4 QP2 =

QP3 = 3N/4

Li

fai = 1 ? f = 10

i =4

Para el Segundo Cuartil

Datos: Li = 27,5

2N/4 =47,5 fai= 40

f = 18 i = 4

Fórmula

6.75

19,5

+ 2,7 22,2

27,5 + 1,666 27,5 +

1,67 2 9,17

Para el Tercer Cuartil.Datos :

Li = 35,53N/4 = 71,25fa^ = 70

f = 10

i = 4 -

Fórmula:

Qo = , 35,5 +

Q3 = 35,5 + 1.25 x

10 Q3 =

35,5 + -f§-

Q3 = 35,5 + 0,5 Qo = 36

Toda la serie ae la ha dividido en tres cuartiles:

Podemos notar que Q2 es equivalente al valor de la mediana,

en consecuencia es la misma fórmula de la Mediana. 1.2 Los

Deciles.

Los deciles dividen a la serie en diez partes.

Así como en el caso de los cuartiles, para su cálculo maternat^

co, los deciles se los puede ubicar en forma directa en una s¿

ríe simple con frecuencias.

Mientras tanto que para su ciálculo en una serie ordenada en in-

tervalos es conveniente ubicarlos en la frecuencia acumulada y

después para el cálculo matemático se utiliza las fórmulas que

damos a continuación:

- 52 El -

Q, = 19,5 10

Q =

. 4= 27,5

= 27,5 +

42

12

(2N/4 - fai) Li

(71.25 - 70) . 410

. Li

o —V1 "

«2 -

22,2

29,17

36

FORMULAS DE UBICACIÓN DE

LOS DECILES

FORMULAS PARA EL CALCULO DE

LOS DECILES

Decil uno1 N

~~To _ DI = Li + V I O *•*/ .2 N Decil dos ( 2N

f - faij

10 D« - Li + \ 10*^

f - faij10 Decil tres / „,. Dn =

Li +'•( 10

J ^f -

fai)

k N 10 Decil cuatro / i.»TLíííLD, = Li + 1 1 0

M ^"^^ f- fai)

10 Decil cinco / _ D^ = Li

+ \ 1OU f

- faij6 N 10

Decil seis / 6N D Li

* ' 1"°"D6 - LJ. + \f - fai)7 N Decil siete /*7N

10 D? - Li + Xl°—

f - fai)8 N

Decil ocho /„ D

Li 4- ^~10 8 ~. L1 f

- fai)10Decil nueve ^ / D9 = Li

+ ^°—f

Ud. puede realizar aplicaciones tomando como modelo el ejercicio

propuesto en los cuartiles.

- 5 3 El -

DPl =

. i

. i

*»##**»********

1.3. Los Percentiles.

Los percentiles dividen a la serie total en cien partes,

Para su cálculo matemático hay que tomar en considera ción las siguientes fórmulas: de posición y de cálculo.Fórmula de Posición

p . N P = P

Fórmula de cálculo de percentil

.. Li100

Determine los valores correspondientes a los percentiles: P1n»X Xra. F fa.48-51 49,5 2 95 "

44-47 45,5 6 934o-43 M,5 7 8736-39 v 37,5 10 ftn s.

32-35 33,5 12 7028-31 29 "5 1 Q 1 O CQ

5° —24-27 25,5 13 4o

20-23 21,5 10 27

16-19 17,5 6 1712-15 13,5 5 1 18-11 9,5 4 64-7 5,5 2 2

Total 95

CUADRO No. 46 Ubicación de los percentiles:

Para el cálculo de los diferentes percentiles, se necesitan los

siguientes datos;

P Pfai

f

i

=9,

6

5 4

5

P

.

N

1

0

0

10.95

1OO

30.95

P = P

9,5

28,5

47,5

71,25

10- 10

P30= 30

P50= 50

75

10 = Li10

( 9.5 - 6) . 4= 11,5 *10

3.5 . 4 = 1.1.51014_ 1 1 e

JJ«.JL wo ; "30 - r1 * fLi = 23,5Pp = 28,5 P30 = - - , - • • Í28.5 - 27)

¿J,5 + n

fai= 27f =r 13i P; 4

P30 = 23 5 + 8 '? x 4

¿J'5 + 13P30 = 23,5 + 0,46

P30 = 23,96

Para el P DATOS : FórmuJ P50 =La: f p . N . >

T. (100 * f a i jLl * f

Li = 27,5 Pp = 47,5P50 = «» . (47,5-40^ . 4

27,5 + 1gfai= 40f1 H P50 = . . (7,5) . 4— 1 O ¿ ' » 5 * 18i = 4

P — 27» 5 + 1 , 6 750 ~ tP50 = 29,17

Para el P__ DATOS : FórmuJ P75 =La: /£.N \

_ 1 100 raVLi + f

Li = 35,5Pp - 71,25 P75 = ~. - (71.25 - 70)

J5,5 + 1Q

fai= 70 f = 10P75 = n. . 1.25 x 4

J5,5 + 1Q

i = 4 5P75 =

T S 1 + J^O + 1Q

PT* = 35,5 + 0,5

36

De esta manera Ud. puede obtener los 99 percentiles,

- 55 El -

2,811,510

10

Para el P Fórmula:30

-:"-'".. ':•?-" _ - 56 El - "-~'"Y.: -"y-:,-•'•" ' •;'_ -:.-:' ;'. •..••:. • •""•

1.4. Puntuaciones Tipificadas Z.s Se llama puntuación tipificada a la desviación de cada uno

de los valores con respecto a la media aritmética de todo el grupo y

a esta diferencia se la divide para la desviación típica de todo el

grupo. La fórmula para su cálculo matemático es:

1.4.1. Aplicación de las puntuaciones tipificadas.

Se utilizan para determinar cuando un estudiante está

mejor ubicado en una cierta asignatura.

Así por ejemplo un estudiante de Colegio obtiene las siguisn tes

calificaciones:

Asignaturas X X

I. Nacional 15 16

Matemáticas 14 12

E. Sociales 17 16

I. Nacional: z =»

Matemáticas: z =

CUADRO No. 47

z = - 1/2/ z = - 0,5 z =

2/2 z = 1

Se puede notar claramente que el estudiante está mejor ubi- ^

cado en Matemática, porque su puntaje está por encima de la m*—• dia,

así mismo su variación es mínima.

En cambio en estudios sociales su puntaje as"' Jiismo es mayor

que la X, pero la desviación típica es meaor, en <. secuencia los

puntajes tienen mayor variación.

En idioma nacional se puede notar que z es una valor negativo,

ya que su puntaje está por debajo de la X,a pesar de que tiene la

misma variación que en matemática

1.5. Puntuación Derivada T.

Este tipo de puntuaciones se las utiliza con el objeto de au-.-•

X -z =

15 - 16 2

14 - 12E. Sociales: z = z = 1/2,5 z = Q,k

mentar la escala, evitando la utilización de decimales menores --que

la unidad y de valores negativos en la aplicación de z.

Para su cálculo matemático se utiliza la siguiente fórmula:

T = Puntuación derivada T. -

z = Puntajes z

20 y 50 son valores constantes.

EJEMPLO t

Transformar los siguientes puntajes z en puntuación derivada T

Z = 0,21 T = 20.0,21 + 50 ===> T = 4,2 + 50 ===£> T = 54,2 Z

= -2,3 T = 20(-2,3) + 50 ===> T = - 46 + 50 ===C> T = 4

Z = 1,5 T = 20 (1,5) + 50 ===> T = 30 + 50 ===> T = 8O

Z = -1,6 T = 2Ó(-1,6) + 50 ===> T = - 32 + 50 ===> T = 18

Z = 0,O8 T = 20(0,08) + 50 ===> T = 1,6+50 ===> T = 51,6

Se puede observar claramente que entre los dos valores nega

tivos, es mayor el que tiene menor valor absoluto Por ejm.

Z = 2,3 mediante los puntajes T se obtiene: T = 4 y Z

= -1,6 mediante los puntajes T, se obtiene: T = 18

Mediante los puntajes T, esta diferencia se la puede aclarar fá-

cilmente y se nota de que el valor de Z = -1,6 es mayor porque T =

18

GALO LUNA Z.

ANEXO' VE REPRESENTACI Ó N GRAFTCA ' -•

BARRAS SUPERPUESTAS

Este tipo de barras, regularmente son utilizadas cuando se trata de unaPoblación Estudiantil, o sea escuelas, colegios, etc., o un conjunto biec^definido. - "*

Para representar gráficamente se procede así:

1. Cuadro estadístico

Ejemplo: Población estudiantil de un Colegio.

Ciclo Tercer Curso 110

Diversificado Segundo Curso 120Primer Curso 140

————————————— Tercer Curso

150Ciclo Básico Segundo Curso

Primer Curso170 240

2. Se utiliza dos semiejes

a. En el semieje horizontal no se lo escala con resr>ecto al cuadro, sino se centraliza para colocar las barras.

v

b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias, o seav__ con el número mayor que exista de alumnos con cualquier curso o ente que se trate. En nuestro ejemplo observamos que el número-*__ 240 es mayor por lo cual este semieje debe tener ese máximo, coo^ una escala igual de acuerdo al espacio que se va a utilizar.

3. Representación

-_ Se observa el cuadro estadístico y se toma el que tenga irenor frecuencia, se lo coloca como barra en el centro del semieje horizontal, en núestro caso es el de tercer curso del ciclo diversificado eme tiene la menor frecuencia que es 110, luego el que le siga en frecuencia se gráfica encima delprimero, o sea el de segundo curso del mismo ¿icio que tiene 120 y así suce«i_vamente todas las demás barras. Se considera para cada barra el mismo ancho__y su formación es a partir del semieje horizontal.

4. Presentación de la gráfica

Al haber construido la gráfica se pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente manera cada una para diferenciar y a la derecha de la gráfica se c \& la leyenda indicando el color o rayado utilizada para cada barra. ~~

K

A-