ley hooke adapted
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TEORÍA CLÁSICA DE LA ELASTICIDAD LINEAL
Ley generalizada de Hooke
Para el planteamiento de esta ley se asume:
1. Los desplazamientos son pequeños y no hay distinción entre la
descripción de Lagrange y Euler
2. Los procesos de deformación son adiabáticos e isotérmicos
3. Existe una relación lineal entre el tensor esfuerzo y el tensor
deformación:
Por ejemplo 11 es una combinación lineal de ij que puede expresarse como
11 = C111111 + C111212 + C111313 + C112121 + C112222 +
C112323 + C113131 + C113232 + C113333 (E-1)
Para ij:
ij = Cij1111 + Cij1212 + Cij1313 + Cij2121 + Cij2222 +
Cij2323 + Cij3131 + Cij3232 + Cij3333
Generalizando
ij = Cijkmkm (E-2)
O también
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33
32
31
23
22
21
13
12
11
333333323331332333223321331333123311
323332323231322332223221321332123211
313331323131312331223121311331123111
233323322331232323222321231323122311
223322322231222322222221221322122211
213321322131212321222121211321122111
133313321331132313221321131313121311
123312321231122312221221121312111211
113311321131112311221121111311121111
33
32
31
23
22
21
13
12
11
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
(E-2.1)
Cijkm se conoce como la matriz de rigidez y es una matriz de 34 = 81 elementos
pero que puede reducirse a una matriz de 6x6 por la simetría de los tensores
esfuerzos y deformación. En efecto puesto que 12 = 21 , 23 = 32 , 13 = 31; de
(E-1):
11 = C111111 + C112222 + C113333 + (C1112+ C1121)12 + (C1123 + C1132)23 +
(C1113 + C1131)13
De la misma manera
ij = Cij1111 + Cij2222 + Cij3333 + (Cij12+ Cij21)12 + (Cij23 + Cij32)23 + (Cij13 +Cij31) 13
Reemplazando el doble indizado por un indizado simple tal como se indica a
continuación:
11 = 1 11 = 1 (E-3.1)
22 = 2 22 = 2 (E-3.2)
33 = 3 33 = 3 (E-3.3)
12 = 4 212 = 221 = 4 (E-3.4)
23 = 5 223 = 232 = 5 (E-3.5)
31 = 6 213 = 231 = 6 (E-3.6)
Entonces la ecuación (E-2) se puede escribir:
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K = CKMM (E-4)
Los índices K, M toma valores de 1 a 6
6
5
4
3
2
1
6665642636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccccccccc
(E-4.1)
Para un cuerpo elásticamente isótropo la matriz CKM de (E-4.1) contiene solo
dos constantes:
CKM =
00000
00000
00000
0002
0002
0002
(E-5)
y son las constantes de Lamé
Entre las dos situaciones extremas, correspondientes a un material
completamente isótropo o anisótropo, existen muchas situaciones intermedias
en las que el material sólo presenta simetría elástica en determinadas
direcciones, como es el caso de la isotropía transversal o la ortotropía, en
donde el material presenta tres planos de simetría elástica, y la matriz de
rigidez queda de la forma siguiente:
jkm c11 c12 c13 0 0 0c12 c22 c23 0 0 0c13 c23 c33 0 0 00 0 0 c44 0 00 0 0 0 c55 00 0 0 0 0 c66
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Reemplazando (E-5) en (E-4.1) y usando (E-3):
11 = kk + 211 (E-6.1)
22 = kk + 222 (E-6.2)
33 = kk + 233 (E-6.3)
13 = 31 = 213 = 231 (E-6.4)
23 = 32 = 223 = 232 (E-6.5)
12 = 21 = 212 = 221 (E-6.6)
En consecuencia la ecuación de Hooke para un cuerpo isótropo viene dada por
En las ecuaciones arriba indicadas ij y km son matrices 6x1. Si quisiéramos
preservar la forma de matrices 3x3, entonces la ecuación de Hooke a aplicarse
es como sigue
333231
232221
131211
kk
kk
kk
333231
232221
131211
2
00
00
00
(E-7)
o también
= kk I + 2 (E-7.1)
6
5
4
3
2
1
00000
00000
00000
0002
0002
0002
6
5
4
3
2
1
(E-6.7)
ij = ij kk + 2 ij (E-6.7.1)
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De (E-7.1) se puede notar que la ley de Hooke es una transformación afín y no
una transformación lineal .
Ley de Hooke para un estado de carga uniaxial
Supóngase un sólido isotrópico bajo un estado de tensiones ij = 0, 11 0.
De (E-6)
11 = kk + 211 (E-12.1)
22 = 0 = kk + 222 (E-12.2)
33 = 0 = kk + 233 (E-12.3)
12 = 0 = 212 = 221 (E-12.4)
23 = 0 = 223 = 232 (E-12.5)
31 = 0 = 231 = 213 (E-12.6)
De (E-12.4) a (E-12.6) se deduce
12 = 21 = 23 = 32 = 13 = 31 = 0
Desde que (E-12.2) = E-12.3) se obtiene que
22 = 33 =
22 = 33 = -
11)(2 (E-13)
Dividiendo (E-13) entre 11
11
33
11
22 -)(
2
= Constante = - (E-14)
donde es la relación de Poisson
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Despejando de (E-14)
=
21
2 (E-15)
Reemplazando (E-14) en (E-12.1)se obtiene
11 = (1-2)+211 = E11 (E-16)
En (E-16) se ha hecho
(1-2) + 2 = E = Módulo de Young (E-17)
En general para una carga axial a lo largo de X i
ii = Eii (E-18)
De (E-15) y (E-17) se deduce
Módulo de corte o G =)1(2
E
(E-19)
Ley de Hooke para un estado de carga triaxial
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Sea un estado de tensiones en donde ij = 0 para i = j y ij 0 para i j; luego
11 = kk + 211 (E-20.1)
22 = kk + 222 (E-20.2)
33 = kk + 233 (E-20.3)
21 = 0 = 221 = 212 (E-20.4)
23 = 0 = 223 = 232 (E-20.5)
31 = 0 = 231 = 213 (E-20.6)
Sumando (E-20.1)+( E-20.2)+( E-20.3)
kk = (3 + 2)kk (E-21)
Reemplazando (E-21) en (E-20.1)
11 =
23
kk + 211 (E-22)
Reemplazando (E-15) en (E-21) y despejando 11
11 =
kk 11
12
1=
12
1 kk 1111 (E-23)
Reemplazando (E-19) en (E-23)
11 = 332211E
1 (E-24)
Análogamente a partir de (E-20.2) y (E-20.3)
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22 = 331122E
1 (E-25)
33 = 221133E
1 (E-26)
Para deformaciones infinitesimales se define la dilataciónV
V mediante
V
V = 11 + 22 + 33 = kk (E-27)
Reemplazando (E-24),(E-25),(E-26) en (E-27)
kk =
m
kk
E
213
3E
213 )()(= m
K
1 (E-28)
En donde K se conoce como el módulo volumétrico o módulo de rigidez o
módulo de compresibilidad y es igual a
K =)21(3
E
(E-29)
Componente esférica y componente desviadora de la ley de Hooke
De (E-6) puede notarse que
kk = 11 + 22 + 33 = 3kk + 2(11 + 22 + 33) (E-30)
kk = 3kk +2kk = (3+2)kk (E-31)
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Despejando kk de (E-31)y reemplazando en (E-6.1)
ij =
kk
ij
23 + 2ij =
kk ij
1 + 2ij (E-32)
Despejando ij de (E-32)
ij =
kk ijij
122 (E-33)
Reemplazando kk = 3m en (E-33)
ij =
m
ijij
E2
3=
m
ijijm
ijm
E22
3ij (E-34)
En (E-34)
2
ijmijD
ij y si además en la expresión
2
ijm de la ecuación (E-
32)se reemplaza el valor de dado por
(E-19)se obtiene
ij =
E
1
2
mijijmDij 3
(E-35)
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ij =
E
21
2
ijmDij
=
E
21
2
Eij
Dij
(E-36)
En (E-36) podemos hacer las siguientes identificaciones
Deformación desviadora:ijD =
2
iD
j (E-37)
Deformación esférica :ijE =
mij
E
21 =
K 3
mij (E-38)
Energía de distorsión elástica
Sea d w la energía de distorsión elástica por unidad de volumen acumulada por
un cuerpo sometido a un estado de tensiones ij y que experimenta una
deformación elástica
d ij. Se define entonces:
d w = ij d ij (E-44)
La expresión (E-44) contiene nueve sumandos
Reemplazando el valor de ij dado por (E-2) en (E-44) e integrando
W = εε ijkmijkmC d
W = εεδδC ijmjik ijijkm d
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W =2
Cijkm ikmjij2 =
2
Cijkm kmij (E-45)
Reemplazando (E-2) en (E-45), se obtiene la ecuación de Clapeyron
W =2
εσ ijij (E-46)
En forma desarrollada es
W =
2
222 313123231212333322221111 (E-46.1)
De (E-46)
W =2
ijij=
2
Dij
Eij
Dij
Eij
W =2
Dij
Dij
Eij
Dij
Dij
Eij
Eij
Eij (E-47)
Pero
ijEij
D = ijm(ij - ijm)
ijEij
D = ijmij - ijijmm
Recordando que ijij = 3
ijEi j
D = m jj - mkk = 0 (E-48)
De otro lado
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ijij = 1j1j + 2j2j + 3j3j = 3 (E-54)
ijijD = ii
D (E-55)
ijijD = ii
D (E-56)
Introduciendo (E-54) (E-55) y (E-56) en (E-53)
W =
D
IJ
D
ij
Dii pp
Diikk ppkk
3332
1
(E-57)
Pero
3
Diikk
= D
33D22
D11
kk
3
3
Diikk
=3
kk (11-
3
m +22-3
m +33-3
m )= 0 (E-58)
Análogamente
3
Dii pp
= D
33D22
D11
pp
3 = 0 (E-59)
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Sustituyendo (E-58) y (E-59) en (E-57)
W =
6
1 ppkk +
2
1 DIJ
Dij (E-60)
La energía por unidad de volumen según (E-60) tiene dos componentes:
Energía de dilatación o
componente esférica WE :6
1 ppkk (E-61)
Energía de distorsión o
componente desviadora wD :2
1 DIJ
Dij (E-62)
La energía por unidad de volumen en términos del tensor esfuerzo viene dado
por:
W =
31
2
23
2
12
2113333222211
33
2
22
2
11
21
2
1
E
1
Reemplazando el valor de pp dado por (E-28) e introduciendo en (E-61)
Energía de dilatación o
componente esférica WE :K186
1 ppkkppkk
(E-63)
Siendo la invariante kk = 11 + 22 + 33 = 1 + 2 + 3
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Por otro lado reemplazando el valor de lado ijD dado por la ecuación (E-37) en
(E-62)
2
1 Dij
Dij =
4
iD
j
2
(E-64)
Para esfuerzos principales
ij
D = ij -
m
ij =
i -
m
ij, sustituyendo en (E-62)
2
1 Dij
Dij =
m3
2
m2
2
m1
2
4
1 (E-65)
Introduciendo el valor3
321m
en (E-65)
Componente
desviadora wD =
13
2
32
2
21
2
12
1 (E-66)