LEY DE SNELL

I. OBJETIVOS

I.1 Analizar la relación que existe entre el ángulo de incidencia өi y el

ángulo refractado өt, que toma un rayo con su normal a una interfase entre

agua y aire, y hallar el índice de refracción del agua .

I.2 Con esto verificar experimentalmente la Ley de Snell.

II. FUNDAMENTO TEORICO

Al llegar un rayo de luz hasta una interfase que separa 2 medios distintos se

produce que una parte del rayo es devuelto al medio (reflexión) y otra se

transmite, y luego ocurre que el rayo transmitido cambia su dirección

original. Todo este efecto se denomina reflexión de la luz. Esta denominación

es producida debido al hecho que la luz se transmite en cada medio material

con una cierta velocidad V diferente a la velocidad de la luz C, para

cuantificar este hecho se define el índice de refracción M para una sustancia

como:

Cn = (1,1)

V

Esta diferencia de velocidad es debido a que la onda transmisora de luz

desfasada de su fase inicial al interaccionar con los electrones de la

sustancia.

Para nuestro experimento, en particular necesitamos saber como se produce

la refracción en una onda plana, para esto usaremos la figura 1. Aquí el plano

P representa un frente de δa y los planos P1, P2, ….. distintas posiciones de

P, luego de transcurrida un mínimo tiempo t. . Entonces la separación entre

cada plano es Vit, donde Vi corresponde la velocidad de l haz en el medio 1i

en Ps el punto E la llegada a interfase, trazando una perpendicular desde F

hasta F’, FF’ = Vit, supongamos que n2>n1, entonces al llegar P al medio 2 las

partes que ingresen al medio tendrán velocidad V2 aunque ahora V1 > V2,

entonces la distancia EE’ es V2t< V1t, por lo cual una parte del frente de

onda sufrirá un retraso, lo que trae como consecuencia un cambio en la

dirección del frente de onda ahora sea el medio 3 tal que n2>n3 aquí ocurrirá

lo opuesto pues la velocidad V3>V2 de l onda provocará un adelanto

progresivo de una sección del frente respecto a las otras.

En el triángulo EFF’ vemos que EF’ = (cos өi<) Vit y también en EEF’, EF’ =

(cos өt) V2t entonces:

Vit (cos өi) = V2t (cos өt)

Recordando :

1 1-- Sen өi = -- sen өt

Vi V2

Al multiplicar ambos miembros por c :

C C-- Sen өi = -- sen өt

Vi V2

Y de (1,1) se obtiene:

n1 sen өi = n2 sen өt (1.2)

Conocida como la Ley de Refracción de Snell, nombre en honor a Willebrard

Snell Von Rogen. Originalmente deducida experimentalmente, se demuestra

que (1,2) también es una consecuencia directa de la ley de Maxwell.

Como consecuencias directas de (1.2) se obstiene:

a.- Si n es mayor en el medio entrante el rayo se desviara hacia la normal.

b.- Según la figura 1 , vemos que el frente de onda sufrira un aumenmto en su sección transversal.

c.- Hay que considerar que n depende de f , es decir : n =n(f).

III. MATERIALES

III.1 Una cubeta semicircular transparente

III.2 2 alfileres

III.3 Una base de superficie blanda (tablero)

III.4 Una hoja polar

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

IV.1 Sobre el tablero se coloca el papel polar y sobre este la cubeta llena de

agua hasta un poco más de la mitad.

IV.2 La posición de la cubeta debe era tal que el centro de la

semicircunferencia coincidiera con el origen de las coordenadas de la

hoja.

IV.3 Se colocó un alfiler en el centro de la hoja y por la superficie curva de

la cubeta empezamos a buscar la imagen del alfiler usando el método

del rayo de luz y pusimos otro alfiler par fijar la posición de la imagen.

IV.4 El proceso se repitió para ángulos de 0º, 20º, 30º, …. 70º.

Para dos casos, el primeo para un crecimiento del ángulo de incidencia

en sentido horario y el segundo para un crecimiento en sentido anti

horario.

Fig. 2

V. DATOS EXPERIMENTALES

Ahora se muestran los valores experimentales obtenidos de ángulos de

incidencia өi, ángulos de refracción өt y también la diferencia que presentan

estos dos valores.

TABLA 5.1 ANGULOS DE INCIDENCIA өi Y DE REFRACCIÓN өr PARA UN AMUENTO ANGULAR DE өi EN SENTIDO HORARIO.

Nºөi (º)

± 1º

өt (º)

± 0.5º

Δө (º)

± 1.5º

1 0 0.5 0.5

2 20 14.0 6.0

3 25 18.0 7.0

4 30 20.0 10.0

5 35 25.0 10.0

6 40 28.0 12.0

7 45 31.0 14.0

8 50 35.0 15.0

9 55 37.0 18.0

10 60 40.0 20.0

11 65 42.0 23.0

12 70 44.0 26.0

* Diferencia angular en valor absoluto

Luego se realizó el mismo procedimiento pero tomando los ángulo өi en sentido antihorario

TABLA 5.2 ANGULOS DE INCIDENCIA өi Y өr CUANDO өi AUMENTABA EN SENTIDO ANTI HORARIO.

Nºөi (º)

± 1º

өt (º)

± 0.5º

Δө (º) +

± 1.5º

1 0 0.5 0.5

2 20 15.00 5.0

3 25 19.0 6.0

4 30 21.0 9.0

5 35 25.0 10.0

6 40 28.0 12.0

7 45 31.0 14.0

8 50 33.0 17.0

9 55 37.0 18.0

10 60 40.0 20.0

11 65 42.0 23.0

(+) las mismas indicaciones que en la tabla anterior.

* Además hay que mencionar que la diferencia en las incertidumbres entre ө i

(± 1º) y өt (± 0.5º) se debe a que la posición del alfiler que señalaba el rayo

incidente se encotraba a 4 cm del origen de la carta polar y aquí la escala

angular mínima es ± 2.

VI . CALCULOS Y RESULTADOS

6.1 Al observar la relación existente entre өi y өt en las tablas 5.1 y 5.2 vemos

que existe cierta proporcionalidad directa entre estos valores. Para observar

mejor usaremos otra vez como herramienta el MICROCAL ORIGIN 6.0, en

donde se introdujeron los datos de өi y өt y se obtuvieron los gráficos Nº 1 y

Nº 2 para el crecimiento de өi en sentido horario y antihorario

respectivamente

6.2 Con los datos de las tablas 5.1 y 5.2 se calculará la relación sen ө i / sen өr

para cada dato obtenido

Tabla 6.1 : Relación entre el seno del ángulo incidente y el reflejado (Tabla 5.1)

Nº Sen өi Sen өt nti + = sen өi / sen өt δ nti (+)

1 0 0.0087 0 -

2 0.3420 0.2419 1.4138 5.93

3 0.4226 0.3090 1.3676 4.60

4 0.5 0.3420 1.4619 3.85

5 0.5735 0.4226 1.3570 3.11

6 0.6427 0.4694 1.3691 2.64

7 0.7071 0.5150 1.3730 2.27

8 0.7660 0.5735 1.3356 1.92

9 0.8191 0.6018 1.36108 1.68

10 0.8660 0.6427 1.3474 1.44

11 0.9063 0.6691 1.3545 1.26

12 0.9396 0.6946 1.3526 1.10

(+) Valor de índice de refracción relativo nti = nt / ni donde ni corresponde al aire

y nt corresponde al agua.

* Error relativo del índice de refracción mostrado en forma de porcentaje. Se

calcula con la incertidumbre de la tabla 5.1 , más adelante se mostrará la forma

en que se calcularon

Lo importante de la tabla anterior son los valores obtenidos de n ti que nos dan el

valor del cociente entre n del agua y del aire. Ahora podemos obtener un valor

medio n y la desviación de los datos dada por la derivación Standard .

Por lo tanto:

nti = n ±

Una calculadora científica ordinaria tiene implementada las funciones

estadísticas promedio y desviación estándar , pero antes necesitamos los

resultados similares a los de la tabal 6.1, pero hecho con los datos de la tabla 5.2.

Tabal 6.1 : Relación entre el seno del ángulo incidente y el reflejado (Tabla 5.1)

Nº Sen өi Sen өt Mti + = sen өi / sen өt δ Mti (+)

1 0 0.0087 0 -

2 0.3420 0.2588 1.3255 5.93

3 0.4226 0.3255 1.2983 4.51

4 0.5 0.3583 1.3954 3.78

5 0.5735 0.4226 1.3570 3.11

6 0.6427 0.4694 1.3691 2.64

7 0.7071 0.5150 1.3730 2.27

8 0.7660 0.5446 1.4065 1.98

9 0.8191 0.6018 1.3610 1.68

10 0.8660 0.6427 1.3474 1.44

11 0.9063 0.6691 1.3545 1.26

Entonces con los resultados de nti vemos los valores medios obtenidos

Según la tabla 6.1 Aumento de ángulo incidente en sentido horario

nti = 1.372178 ; n = 0.03414 (6.1)

Según la tabla 6.2 : Aumento de ángulo incidente en sentido antihorario:

nti = 1.358778 ; n = 0.029737 (6.2)

Como sabemos el valor de δ nos da el error debido a la dispersión de los datos,

pero recordemos que cada dato obtenido tiene un error que es propio de la

medición para el valor de nti.

Para una función de variables x1, x2, ………., xn; todas independientes el error

en la función Δf ,

Debido al error de cada variable Δxi viene dado por :

m

Δf = [∑(δt/δxi) Δxi] ½ (6.3 ) i=1

Entonces la Ley de Snell nti = nti (өi, өt) = N

Sen өi

N = -------Sen өt

Entonces cuando (6.3)

ΔN = ( [(δN/δөi) Δөi]2+ [(δN/δөt) Δөt]2 )1/2

= ([(cos өi/sen өt) Δөi]2 + [((- sen өi cos өt)/ sen2өt ) Δөt]]2 )1/2

= (sen өi/ senөt) ([(cos өi/sen өt) Δөi]2 + [(- cos өt/ senөt ) Δөt]]2 )1/2

ΔN = N ( [(ctg өi) Δөi]2 + [(ctg өt) Δөt]2 )1/2

De donde se obtiene que:

δN = ΔN/N = ( [(ctg өi) Δөi]2 + [(ctg өt) Δөt]2 )1/2 (6.4)

Con esta fórmula se calculó el error relativo para cada valor de Mit, para usarla

өi y өt debe de estar en radianes. Debido a la forma complicada que tiene, se

implementó (6.4) en Excel y se calcularon los valores que se muestran en las

tablas 6.1 y 6.2 . Los resultados de δN con 8 cifras significativas se muestran en

los anexos. Podemos obtener el error absoluto promedio si se calcula:

m

(ΔN) = (1/m) ∑ Ni (δNi) (6.5) i=1

Para aplicar (6.5) para los dos casos realizados primero los errores

absolutos obtenidos para cada medición de acuerdo a las dos pruebas, lo

resultados se muestran en la tabla 6.3

TABLA 6.3 : ERRORES ABSOLUTOS ΔN DE CADA MEDICION

Nº Incremento de өi horario Incremento de өi anti horario

1 - -

2 0.0833 0.0768

3 0.06299 0.05867

4 0.05638 0.04908

5 0.03626 0.04228

6 0.03116 0.03626

7 0.02567 0.03116

8 0.02567 0.02795

9 0.02290 0.02270

10 0.01949 0.01950

11 0.01714 0.01714

12 0.01493 -

Al promediar la columna 1 y 2 se obtiene:

a) ΔN = 0.03513 (Incremento horario de өi )

b) ΔN = 0.038154 (Incremento antihorario de өi)

Ahora podemos concluir que los valores de Mir = N hallados son :

nti = nti ± (AN + δm) (6.5)

Entonces al reemplazar de 6.1 y 6.2

a) nti = 1.37218 ± (0.03513 + 0.03414) = 1.37 ± 0.07 (6.6)

b) nti = 1.37218 ± (0.038154 + 0.029737) = 1.36 ± 0.07

De 6.6 vemos que los resultados obtenidos se diferencian en una centésima .

Si se promedian los valores de 1.37 y 1.36 se obtiene 1.365 ≈ 1.37

Por lo tanto podemos concluir que:

n agua nti = = 1.37 ± 0.07 (6.7)

n aire

6.3 Otra forma de realizar este cálculo sería graficando sen өi vs sen өt

Para esto se realizaron en ORIGIN las gráficas Nº 3 y Nº 4 para cada caso

presentado, respectivamente.

En cada gráfica la ecuación de cada recta obtenida donde las pendientes

representarían el valor del cociente Mti.

Entonces de aquí vemos que:

nti = 1.33597 ± 0.01749 = 1.34 ± 0.002 (Gráfico 3) (6.8)

nti = 1.37181 ± 0.02014 = 1.37 ± 0.02 (gráfico 4) (6.9)

Por lo general se asume que Maire = 1, entonces tenemos los siguientes resultados

para el índice de representación del agua:

nagua = 1.37 ± 0.07 (por propagación de errores) (6.7)

nagua = 1.34 ± 0.02 (de la gráfica 3) (6.8)

nagua = 1.37 ± 0.02 (de la gráfica 4) (6.9)

6.4 Según la referencia (1) (Pág. 95) se tiene que para una longitud de cada 589

mm:

nagua = 1.333

naire = 1.00029 (6.10)

Entonces el valor teórico de nti ≈ nagua = 1.333, entonces podemos

calcular el % de error para (6.7, 6.8 y 6.9)

(6.11)

Ahora podemos contestar a las preguntas del cuestionario:

P.3 .- ¿Qué importancia tiene el hecho que la cubeta sea circular?

En nuestro experimento necesitamos ver la trayectoria de un rayo que

entrara y saliera de la cubeta tal y como hemos hecho los cálculos hasta el momento

hemos considerado que el rayo solamente se refractará al entrar a través de la

cubeta, sin considerar la refracción que podría sufrir al salir de la cubeta .

Es aquí donde toma importancia la forma de la cubeta pues si el rayo se

refracta en el agua éste al salir siempre llegará a la superficie circular,

% error (6.7) = 2.77 %

% error (6.8) = 0.52 %

% error (6.9) = 2.77 %

geométricamente el rayo siempre será paralelo a la normal de la superficie por lo

tanto si se refractara por segunda vez.

P4. ¿Cuál es el índice de refracción del agua considerando que el del aire es la

unidad?

De nuestros resultados en (6.7) (6.8) y (6.9) podemos concluir que con dos cifras

significativas de exactitud:

nagua = 1.3

Siempre que naire = 1 pero vemos que de (6.10) esto es solo una aproximación:

nagua = 1.00029

P.5 ¿Es posible tener el fenómeno de refracción de tal manera que el rayo

incidente y refractado cambien su sentido?

Para responder la pregunta veremos la fig. 1. Hemos visto que si el rayo proviene

del medio 1 llega con velocidad V1 y luego que llega al medio 2 en alguna parte de la

frente ocurre un retraso debido a que la velocidad V2 es menor que V1 por lo cual el

rayo se “dobla”. Si el rayo llegara desde el medio 2 con Velocidad V2 al paso al

medio 1 su velocidad V1 sería más rápido por lo cual se adelantaría una parte del

frente respecto a la otra.

Entonces si llega con la misma dirección evidentemente que se desviará de

igual manera. Por lo tanto la trayectoria seguida por el rayo será misma en sentido

inverso. Este efecto se denomina PRINCIPIO DE REVERSIBILIDAD.

Esto es también evidente si usamos la expresión vectorial de la Ley de Snell

ni(Ki x Um) = nt (Kt x UN)

Donde Ki , Kt son los vectores incidentes y refractados, si se cambia el

sentido al rayo incidente, se tendrá:

ni ((-Ki) xUn) = nt ((-Kt) x Un)

Lo cual cambia el sentido de Kt

P6. - ¿Si una cubeta transparente de denominación a y b mayores que c, (en

altura de la cubeta) con agua en reposo se ilumina las de la parte inferior con

una lámpara.

Según la figura, vamos a considerar los dos rayos en los extremos de la lámpara,

entonces al llegar cada rayo hasta la cubeta, la refracción que tenga lo acercará a la

normal al espejo, pero al salir del agua se volverá a refractar y saldrá con la

dirección que llegó , al proyectar los rayos que salen vemos que lo que se obtiene

es una aparente reducción del diámetro de la linterna. En conclusión el agua habrá

actuado como una lente de reducción.

Fig. 16

VII. OBSERVACIONES

V.1Según la tabla 5.1 y 5.2 es evidente una proporcionalidad directa entre

el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión, lo cual comprueba en los

gráficos Nº 1 y Nº 2, esto daría que pensar que existe una relación del

tipo өref. = A + B өinc. líneal, pero si se observa los valores del factor de

correlación “R”: R = 0.99622, gráfico 1; R= 0.99723, gráfico 2; vemos

que la relación sería aparentemente correcta, pero en la gráficas Nº 3 y

Nº 4 se obtiene también una relación directa entre sen өref. y además

aquí : R= 0.99914, gráfico 3; R= 0.99903, gráfico 4:

Entonces como para estos casos R es mucho más cercano a 1, que en las

gráficas 1 y 2, se puede decir que la relación de Snell:

Sen өinc. = (nagua / naire) sen өref

Es la más adecuada para aplicar según nuestros resultados

experimentales

V.2Para poder calcular el índice de refracción del agua se han utilizado dos

métodos: Cálculo directo con propagación de errores y el de la pendiente

en la recta por el método gráfico.

Según (6.7) el error es mayor en el primer método al compararlos con

(6.8) y (6./) por lo cual de entre todos los valores hallados podemos

aceptar como valor exacto de nagua = 1.34

V.3Nuestros datos fueron obtenidos desde өinc = 20º hasta өinc = 70º pues

solo a partir de 20º era evidente el efecto de la refracción y más allá de

los 70º la imagen del alfiler se desvanecía en la superficie plana de la

cubeta, entonces se deduce que podría haber ocurrido algún efecto de

reflexión total y la única posibilidad n donde esto ocurra es entre las

superficies de acrílico de la cubeta ñ el agua, pues la reflexión total solo

ocurre al pasar la luz de un medio de índice de refracción mayor a otro de

índice menor, por esto es que no era posible entre el agua y el aire.

VIII . CONCLUSIONES

8.7. Experimentalmente hemos obtenido que el índice de refracción del agua es

:

nagua = 1.34 + 0.02

Que al comparar con su valor teórico n = 1.333 son de un error relativo de

0.52 % (de 6.1)

8.2 Según las gráficas Nºº 2 y Nº 3 se cumple la ley de Snell, pues la relación :

Sen өinc vs sen өref. es lineal o R = 1

IX. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

(1) Hecht, Eugene : OPTICA: TERCERA EDICION : ESPAÑA

PEARSON EDUCATION 2000

Págs.: 93, 97, 100, 101, 102, 103.