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Capítulo 2. Ley de Gauss En estos apuntes se presenta un resumen de los contenidos tratados en más detalle en el libro: “Física para la Ciencia y la Tecnología” (Volumen 2) Autors P. A. Tipler i E. Mosca Editorial Reverté (5a Ed) 2005 En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones: Capítulo 21 (Sección 21.2) Capítulo 22 (Secciones 22.2, 22.3, 22.4 y 22.5) Capítulo 23 (Secciones 23.4 y 23.5) Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en los conceptos trabajados en el aula. En aquellos apartados en que se sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas. 1. Introducción En este tema se va a mostrar un método para calcular el campo eléctrico creado por distribuciones de carga que no requiere el uso directo de la ley de Coulomb (de mayor complejidad cuando se tratan distribuciones continuas de carga). A cambio, será necesario un alto grado de simetría para que realmente se pueda aplicar otro procedimiento que facilite los cálculos. Este método se basa en la aplicación de la ley de Gauss, una de las cuatro ecuaciones de Maxwell y que relaciona el campo eléctrico con sus fuentes. La ley de Gauss relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de ciertas distribuciones simétricas de carga. A menudo, cuando se estudia la ley de Gauss, se utilizan argumentos que permiten relacionar de forma cualitativa el número neto de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada con la carga eléctrica contenida en el interior de la misma (ver P. Tipler y G. Mosca Sección 22.2). La magnitud matemática que se relaciona con el número de líneas de campo que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico. 2. Flujo eléctrico En esta sección introduciremos el concepto de flujo eléctrico y su definición matemática partiendo de un caso particular sencillo (superficie planas y perpendiculares al campo eléctrico) y añadiendo paulatinamente complejidad hasta llegar a la definición más general. En el caso de superficies planas y perpendiculares a un campo eléctrico homogéneo, el flujo eléctrico ( ) que atraviesa la superficie A viene dado por el producto del módulo del campo

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eléctrico y el área A. Puesto que la intensidad del campo es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie, el flujo eléctrico será también proporcional al número de líneas de campo que atraviesan el área. Las líneas anteriores pueden formularse matemáticamente como:

€

ΦE = E ⋅ A

(a) (b) Figura 1: (a) Ilustración de un campo eléctrico que atraviesa una superficie de área A perpendicular al mismo, y (b) ilustración de un campo eléctrico que atraviesa una superficie de área A que no es perpendicular al mismo. Si consideramos la situación en que el campo eléctrico no es perpendicular a la superficie sino que forma un cierto ángulo con ésta, podemos generalizar la anterior expresión haciendo uso de la noción de producto escalar. Puesto que se trabaja con superficies, seguiremos el convenio de notación según el cual la superficie se representa mediante un vector unitario normal a la misma ( ) (que por convenio apunta hacia fuera de la superficie) y una magnitud que es el área de la superficie (A). En el caso en que se tiene un campo eléctrico homogéneo y una superficie plana, el flujo eléctrico viene dado por la siguiente expresión:

donde es la componente de perpendicular a la superficie. Podéis comprobar que la expresión que hace uso del producto escalar se reduce a la anteriormente presentada en el caso que los vectores campo eléctrico y superficie sean paralelos. Finalmente, el caso más general, viene dado cuando la superficie que se considera es curvada. En la Figura 2 se muestra un ejemplo en el que además la superficie es cerrada. Si se toma un incremento de esta superficie cerrada y curvada ( ) es posible definir un vector que representa este pequeño incremento de superficie y que es perpendicular a la misma:

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De este modo, el flujo que atraviesa este incremento de área es:

El flujo total se encuentra sumando todos los flujos asociados a los pequeños incrementos de área. Cuando los incrementos son muy pequeños, es decir, cuando se tienen diferenciales, esto nos conduce a la definición del flujo eléctrico como:

€

ΦE = lim E i ⋅ Δ

A i

ΔAi→0

∑ = E ⋅ d A

S∫∫

3. Ley de Gauss Consideremos una carga puntual Q tal y como se ilustra en la Figura 3. En el capítulo anterior hemos visto, haciendo uso de la ley de Coulomb, que el campo eléctrico producido por una carga puntual Q a una distancia r de la misma es igual a:

€

E n =

kQr 2

ˆ r

Figura 3: Campo eléctrico creado por una carga puntual

Si se sustituye esta última expresión en la ecuación que permite el cálculo del flujo a través de una superficie esférica de radio r (ilustrada en verde en este dibujo), se obtiene:

€

ΦE = lim E i ⋅ Δ

A i

ΔAi→0

∑ = E ⋅ dAS∫∫ =

= En dS∫∫ A =

kr 2Q4πr 2 =Q4πk =

=14πε0

Q4π =Qε0

donde ke se ha expresado como , y recibe el nombre de permitividad del espacio

libre que tiene como valor ε0= 8,85·10-12 C2/Nm2. Además se ha considerado que

€

4πr 2 es el área de una esfera de radio r. Como puede observarse, el resultado sólo depende de la carga en el interior de la superficie (que denominamos superficie gaussiana) y de la permitividad del medio.

Figura 2: Superficie curvada en la que existe un campo eléctrico.

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La ley de Gauss, precisamente establece la relación que hay entre el flujo del campo eléctrico y la carga encerrada por la superficie a través de la cual se evalúa el flujo. En última instancia evalúa la relación entre el campo eléctrico y las fuentes que lo generan. La ley de Gauss para campo eléctrico se formaliza mediante la expresión:

€

ΦE = E ⋅ d A

S∫∫ =

Qint

ε0

donde Qint es la carga encerrada en el volumen definido por la superficie de integración (superficie gaussiana) S escogida. Si bien este resultado lo hemos obtenido para el caso particular del campo asociado a una carga puntual, la ley de Gauss es general y, por tanto, válida para cualquier distribución de cargas.

Figura 4: El flujo eléctrico neto es el mismo independientemente de la superficie que se considere si todas las superficies encierran la misma carga. La ley de Gauss se utiliza a menudo para calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga que gozan de un alto grado de simetría. A continuación, mostraremos una serie de ejemplos que ilustran tal utilidad. En todos los casos se verá que es clave una elección óptima de la superficie gaussiana. 3.1. Cálculo del campo eléctrico creado por un plano infinito con densidad superficial de carga σ homogénea Consideremos un plano infinito (o muy grande para poder obviar el efecto de los bordes) cargado con una densidad superficial de carga σ homogénea. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica tal y como se ilustra en la Figura 5(b). Ésta es una superficie adecuada dada la estructura del campo eléctrico (ver Figura 5(a)). Esta estructura puede entenderse si utilizamos razonamientos basados en la simetría de la distribución de carga tal y como discutiremos en clase.

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(a) (b) Figura 5: (a) Campo eléctrico creado por una superficie con una densidad superficial de carga σ, (b) esquema de la selección de una superficie de Gauss para el cálculo del campo eléctrico generado por una superficie infinita. Tal y como se puede observar, la superficie gaussiana se puede descomponer en tres superficies (S1, S2 y S3). El producto escalar entre el campo eléctrico y el vector normal a la superficie se anula en la superficie lateral. De este modo, sólo se tiene flujo en ‘las tapas’ del cilindro (que tienen un área A). El flujo eléctrico se calcula, por tanto, en este caso como:

€

ΦE = E ⋅ d A

S

∫∫ = E ⋅ d A +

S1

∫∫ E ⋅ d A +

S2

∫∫ E ⋅ d A

S3

∫∫

Para la superficie gaussiana escogida, se tiene S1= S2. Además, la superficie se ha colocado centrada en el plano, de modo que S1 y S2 se encuentran a la misma distancia del plano. Por tanto, el campo eléctrico tiene el mismo módulo en ambas superficies y el flujo eléctrico queda:

€

ΦE = E ⋅ d A

S

∫∫ = E ⋅ dA +

S1

∫∫ E ⋅ dA

S2

∫∫ = E1 dA

S1

∫∫ +E2 dA

S2

∫∫ =

= E1A1 + E A2 = A(E1 + E2) = 2AE z

Apliquemos ahora la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico. ¿Qué carga neta encierra el volumen definido por la superficie de integración gaussiana escogida? Podéis comprobar en la Figura 5(b) que la carga es la correspondiente a un círculo de área A, definido por la intersección del volumen definido por la superficie gaussiana cilíndrica y el plano de carga. Al tratarse de una distribución de carga con densidad superficial homogénea σ, la carga neta es Qint = σ·A

€

E z2A =Qint

ε0= 4πkQint =

σ ⋅Aε0

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De modo que el módulo del campo eléctrico es:

(N/C)

Fijaos que el módulo del campo eléctrico obtenido es independiente de la distancia al plano infinito. La expresión vectorial del campo, considerando el vector unitario en la dirección z, es decir , es:

N/C

3.2. Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución lineal de carga homogénea e infinita En este apartado se utilizará la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por una distribución lineal de carga homogénea e infinita. Es importante destacar que el problema sólo se simplifica si la distribución de carga es considerada infinita, o muy larga en relación a la distancia en que se va a evaluar el campo eléctrico. En este caso, utilizando argumentos de simetría, podemos comprobar que el campo eléctrico será perpendicular a los elementos de carga en todos los puntos de la distribución de carga. De este modo, la elección ideal de la superficie gaussiana es una superficie cilíndrica concéntrica a la distribución de carga, tal y como se muestra en la Figura 7.

Figura 7: Distribución lineal e infinita de carga con densidad homogénea y elección de la superficie gaussiana.

La superficie cilíndrica puede dividirse en tres superficies: dos ‘tapas’ (S1 y S2) , es decir, secciones perpendiculares a la distribución de carga y una superficie lateral S3 . Por tanto, el cálculo del flujo del campo eléctrico a través de estas superficies se lleva a cabo resolviendo tres integrales de superficie.

Figura 6: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de la distancia (z) a la distribución continua superficial de carga.

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Como el campo eléctrico es perpendicular a las superficies S1 y S2, su producto escalar será 0, y por tanto no se tiene flujo en las ‘tapas’ del cilindro. Sin embargo, en la superficie lateral del cilindro el campo eléctrico y el vector superficie son paralelos. Además, el campo eléctrico tiene el mismo valor en cada punto de la superficie, de este modo, la magnitud del campo se puede sacar de la integral, y sólo es necesario calcular la integral de la superficie, es decir, sumar todos los pequeños elementos de superficie. Así pues, el flujo eléctrico es:

€

ΦE = E ⋅ d A

S

∫∫ = E ⋅ d A +

S1

∫∫ E ⋅ d A +

S2

∫∫ E ⋅ d A

S3

∫∫

€

ΦE = E ⋅ d A

S

∫∫ = En ⋅ dA = En ⋅ 2πrL

S3

∫∫

donde representa el área lateral del cilindro. Si se considera la ley de Gauss, sabemos que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a:

Igualando las dos expresiones que se han obtenido para el flujo, se puede determinar el valor del campo eléctrico. Antes, debemos determinar el valor de la carga encerrada en el volumen definido por la superficie gaussiana. Al tratarse de una distribución lineal de carga y de densidad homogénea, podemos ver de forma sencilla que la carga Qint=λL

€

En2πrL =Qint

ε0= 4πkQint =

λLε0

,

de donde se deduce que el campo eléctrico a una distacia r de la distribución es:

€

En (r) =λ

2πrε0

(N /C)→ E (r) =

λ2πrε0

ˆ r

El módulo del campo eléctrico de una distribución lineal de carga infinita y homogénea a distancia r variable sigue el comportamiento ilustrado en la Figura 8.

Figura 8: Representación del módulo del campo eléctrico en función de la distancia r entre la línea de carga y el punto donde se calcula el campo.

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3.3. Cálculo del campo eléctrico creado por una corteza esférica (con densidad homogénea de carga) En primer lugar, es necesario explicar qué se entiende por corteza esférica. Intuitivamente, se tiene una corteza esférica en casos como la piel de cuero de un balón o de una pelota de tenis en cuyo interior se tiene aire. En el caso que nos va a ocupar en este tema, en el interior de la corteza se tiene el vacío. La densidad superficial de carga en el caso de la corteza esférica homogénea de radio a y carga total Q es:

€

σ =Q4πa 2

Es conveniente resolver el problema considerando dos regiones distintas, tal y como se ilustra en la Figura 10.

Figura 9: Campo eléctrico creado por una corteza esférica

Figura 10: Superficies gaussianas para encontrar el campo eléctrico para los casos (a) r < a y (b) r > a, respectivamente. Caso r < a Puesto que no existe carga en el interior de la corteza esférica, cuando se toma como superficie gaussiana una superficie esférica concéntrica con la distribución de cargas, puesto que ésta no encierra ninguna carga, se puede deducir que el campo eléctrico (radial dada la simetría de la distribución de cargas) será nulo. Caso r > a Si se considera la ley de Gauss y se toma como superficie gaussiana una superficie esférica concéntrica con la distribución de cargas, se tiene:

€

ΦE = E ⋅ d A

S(r>a )

∫∫ = E ⋅ dA

S(r>a )

∫∫ ⋅ cosθ = En ⋅dA

S(r>a )

∫∫ = En 4πr2 =Qint

ε0= 4πkQint

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Fijaos que, dada la simetría de la distribución de carga, el módulo del campo eléctrico tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana (esférica), ya que todos los puntos están a la misma distancia r del centro de la distribución. Además, el campo eléctrico es necesariamente radial, de modo que su dirección es normal a la superficie en todos los puntos y, por tanto, el vector campo eléctrico y el vector superficie son siempre paralelos. El campo eléctrico es por tanto:

€

En =Qint

4πε0r2 =

kQint

r 2 =σ ⋅ a 2

ε0 ⋅ r2 (N /C)→

E (r) =

σ ⋅ a 2

ε0 ⋅ r2

ˆ r (N /C)

donde se ha tenido en cuenta que la carga está uniformemente distribuida en la esfera. 3.4. Cálculo del potencial eléctrico debido a una corteza esférica Recordad que el campo eléctrico creado por una corteza esférica cargada de forma homogénea es:

€

E (r) =

Q4πε0r

2ˆ r = σ ⋅ a

2

ε0 ⋅ r2 ˆ r (N/C), r > a

0, r < a

Figura 11: Corteza esférica de radio a y carga Q

El potencial eléctrico se calcula a partir de la relación:

€

VB −VA = − E ⋅ d

A

B

∫ = 0

En cualquier punto que esté a una distancia r > a respecto del centro de la corteza, el valor de la diferencia de potencial respecto del infinito se puede obtener de la siguiente forma:

€

V (r) −V (∞) = −Q

4πε0r'2 ⋅ dr'

∞

r

∫ =Q

4πε0r'= ke

Qr

Tened en cuenta que, en este caso, estamos tomando el infinito como origen de potenciales. Recordad que podemos tomar el origen de potenciales de forma arbitraria. Sin embargo, en el caso de distribuciones de carga de tamaño finito, resulta conveniente considerar el origen de potenciales en un punto del infinito, dado que la influencia del campo eléctrico creado por las cargas puede despreciarse si estamos suficientemente lejos de ellas. Por otro lado, en cualquier

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punto que esté a una distancia r < a respecto del centro de la corteza, el valor de la diferencia de potencial respecto del infinito se puede obtener de la siguiente forma:

€

V (r) −V (∞) = − E ⋅ d

∞

r

∫ = −Q

4πε0r'2 ⋅ dr'

∞

a

∫ − E ⋅ d

a

r

∫ =Q

4πε0a

puesto que, como hemos visto anteriormente, el campo eléctrico en el interior de la corteza es nulo. Una forma alternativa de obtener el valor del potencial eléctrico en cualquier punto r < a considera la condición de continuidad que verifica la función potencial eléctrico. Es decir, el valor del potencial eléctrico debe verificar la siguiente condición: V(a+) = V(a-) . Si dibujamos una gráfica que represente el potencial eléctrico respecto del infinito en función de la distancia r respecto al centro de la corteza esférica, tenemos:

Figura 12: Potencial eléctrico (respecto del infinito) en función de la distancia r al centro de una corteza esférica.

donde queda claro que el potencial V es constante dentro de la corteza esférica y decae como 1/r a medida que nos alejamos de la superficie de la corteza. Finalmente, la Figura 13 ilustra el comportamiento del módulo del campo eléctrico en función de la distancia al origen (considerado en el centro de la esfera).

Figura 13: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de la distancia r al origen de coordenadas (situado en el centro de la corteza esférica)

Fijaos que, tal y como se ha indicado anteriormente, el potencial eléctrico es una función continua. Por el contrario, en este caso, el campo eléctrico es una función discontinua. La discontinuidad en el campo se encuentra, precisamente, en r = a, donde se encuentra la carga.

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4. Aplicación de la ley de Gauss al estudio de los conductores En muchos materiales, tales como el cobre y otros metales, parte de los electrones pueden moverse libremente en el seno del material. Estos materiales se denominan conductores. En otros materiales como la madera o el vidrio, todos los electrones están ligados a los átomos próximos y ninguno puede moverse libremente. Estos materiales se conocen como materiales aislantes. En realidad, el término conductor se utiliza para cualquier material que ofrezca poca resistencia al flujo de electricidad. La diferencia entre un conductor y un aislante, que es un mal conductor de electricidad, es de grado más que de tipo, ya que todas las sustancias conducen electricidad en mayor o en menor medida. Un buen conductor de electricidad, como la plata o el cobre, puede tener una conductividad muchísimos órdenes de magnitud superior a la de un buen aislante, como el vidrio o la mica. 4.1. Propiedades básicas de los conductores Las propiedades básicas de un conductor son: a) El campo eléctrico dentro de un conductor en equilibrio electrostático es cero Si ponemos un conductor sólido esférico en un campo externo homogéneo , se producirá una

separación de cargas y se inducirá un campo eléctrico (ver Figura 14) . Dentro del conductor, apunta en la dirección opuesta a . Como las cargas pueden moverse

libremente, se continuarán moviendo hasta que cancele completamente a dentro del

conductor. En el equilibrio electrostático, desaparece dentro del conductor. Fuera del mismo, el campo eléctrico eléctrico total es simplemente

Figura 14: Conductor sometido a un campo eléctrico homogéneo.

b) Cualquier carga neta debe residir en la superficie del conductor Si existiese una carga neta dentro del conductor, la aplicación de la ley de Gauss nos llevaría a concluir que el campo eléctrico total no puede ser cero allí. Por lo tanto, todo exceso neto de carga debe fluir hacia la superficie del conductor.

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Figura 15: Superficie gaussiana dentro de un conductor: la carga encerrada es cero.

c) La componente tangencial del campo eléctrico es cero en la superficie de un conductor Hemos visto que en un conductor en equilibrio electrostático, el campo eléctrico es cero en su interior. Cualquier exceso de carga situado en el conductor debe entonces distribuirse en la superficie tal como implica la ley de Gauss.

Figura 16: Componentes normales y tangenciales de un campo eléctrico fuera del conductor

Tal y como vimos al introducir el concepto de energía potencial electrostática, el campo eléctrico es conservativo. Eso significa que la integral de línea alrededor del camino abcda (camino cerrado) debe ser cero:

€

E ⋅ d

abcda∫ = Et ⋅ Δl −En ⋅ Δx'+0 ⋅ Δl'+En ⋅ Δx = 0

Si los incrementos Δx y Δx’ son muy pequeños, serán prácticamente paralelos e iguales. Lo que significa que los componentes normales del campo eléctrico por su correspondiente incremento se cancelarán y, como consecuencia, el producto de la componente tangencial por el Δl tiene que ser cero. Puesto que el incremento Δl no es cero, necesariamente tendrá que serlo la componente tangencial. Esto implica que la superficie de un conductor en equilibrio electrostático es una superficie equipotencial. Para verificarlo, considerad dos puntos A y B en la superficie de un conductor. Como la componente tangencial del campo eléctrico es cero, la diferencia de potencial es:

€

VB −VA = − E ⋅ d

A

B

∫ = 0

Al ser el campo eléctrico perpendicular a la superficie, el resultado debe ser cero. Lo cual implica que los puntos A y B tienen el mismo potencial eléctrico VA = VB d) El campo eléctrico total es normal a la superficie fuera del conductor.

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Si la componente tangencial del campo total es inicialmente diferente de cero, las cargas se moverán hasta que se cancelen quedando únicamente la componente normal.

Figura 17: Superficie Gaussiana para calcular el campo eléctrico fuera del conductor

Podemos calcular el campo eléctrico en la superficie del conductor utilizando la ley de Gauss.

Por tanto,

€

ΦE =σ ⋅Aε0

→ E n =

σε0

ˆ n NC

4.2. Campo eléctrico cuando se sitúa una carga en el interior de una cavidad en un conductor Vamos a calcular a continuación qué sucede con el campo eléctrico cuando se sitúa una carga dentro de una cavidad dentro de un conductor neutro (conductor que no tiene carga neta).

Figura 18: Conductor con una cavidad

Sabemos que el campo eléctrico debe ser cero dentro de un conductor en equilibrio electrostático. Por tanto, la carga neta encerrada por una superficie Gaussiana (como la que se ve en la ilustración anterior) debe ser cero. Esto implica que se debe inducir una carga igual a –q en la superficie interior de la cavidad. Puesto que el conductor no tiene carga neta deberá existir una carga positiva +q inducida sobre la superficie exterior del conductor. Si queremos visualizar la estructura del campo eléctrico, podemos recurrir al uso de las líneas de campo eléctrico. Por un lado, éstas comienzan en la carga interna +q y acaban en la superficie interna del conductor

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y, por otro, empiezan de nuevo en la superficie externa del mismo y apuntan hacia fuera del conductor. En el interior del conductor, puesto que el campo eléctrico se anula, no habrían líneas de campo eléctrico. Si el mismo conductor tuviese una carga +Q, la suma de cargas en la superficie exterior del conductor sería igual a Q+q. Recursos de interés Clase magistral (¡en todos los sentidos!) del curso de electromagnetismo impartido por el Prof. Walter Lewin del MIT. Los siguientes enlaces os permiten visualizar las clases completas. En cada uno de ellos se ilustran los conceptos clave trabajados en las clases de teoría.

• Flujo eléctrico y ley de Gauss http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/video-lectures/lecture-3-electric-flux-and-gausss-law/