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LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Ecuaciones diferenciales y en diferencia
Andrys Buelvas Cardenas
Pablo Cristancho Rico
Leidis Morales Simancas
Carlos Paba Camargo
Lorena Salgado Salgado
Grupo J
Cartagena de Indias D.T y c Marzo de 2012
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
PLANTEAMIENTO DEL MODELO:
La rapidez con la que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio circundante, la llamada temperatura ambiente.
Suponiendo que T (t) es la temperatura del cuerpo en cualquier instante t,
Entonces:
T: temperatura del cuerpo.t: tiempo dTdt
= Rapidez a la cual cambia la temperatura del cuerpo
k = constante de proporcionalidadT a= temperatura ambiente.
DESARROLLO DEL MODELO
La ecuación diferencial que modela el problema es en donde es la temperatura del cuerpo, que varía en función del tiempo y es la temperatura del exterior, que se considera constante. Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos:
Integrando:
y aplicando propiedades de logaritmos:
Por tanto:
EJEMPLO 1.
Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 90°C., se mide también la temperatura del medio, la cual es de 27°C. El sistema se empieza a enfriar y 2 horas después se encuentra que el termómetro marca 60°C. ¿ cuál será la temperatura marcada por el termómetro transcurridas 3 horas ?.
Solución/
T(o)=90 Ta=27 T (2)=60 T(3)=?
RESOLVIENDO LA ECUACION DEFERENCIAL POR EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLE NOS QUEDA QUE:
Reemplazando:
90 - 27= Ce-K(0)
C=63
Cuando t=2
60 – 27=63 e-k (2)
3363
=e−k (2 )
ln ( 3363
)
2=−k
K= 0.32
Teniendo los valores la constante c y k, podemos hallar la temperatura marcada por el termómetro transcurridas 3 horas.
T (3 )−27=63 e−0.32(3)
T (3 )=63 e−0.32(3)⁺27
T (3) = 51.1
Esta será la temperatura del termómetro después de tres horas por lo cual comprobamos con los datos proporcionados por el ejemplo, que efectivamente la temperatura está disminuyendo.
EJEMPLO 2
Un recipiente con agua hirviendo (100°C) se retira del fuego en el instante t=0 y se deja enfriar en una habitación grande a 30°C. Sabiendo que pasados 5 minutos la temperatura del agua se ha enfriado hasta 80°C, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura del agua sea de 40°C?
SOLUCION:
En este caso hallaremos T (t)=40°C
Datos:
T (0) =100; T(5)=80 ;T(t) =40 , Tm=30.
T (t) –Tm= C e-k(t
Para hallar C:
100−30=c e−k (0 ).
C= 70
Teniendo C, aplicamos T (5)=80 y hallamos el valor de k
80−30=70e−K (5 ).
ln (50 )=ln e−k (5).
ln (50 )5
=−k .
K =- 0.78
Ahora procedemos a hallar el tiempo t cuando la temperatura del agua es 20°C
40−30=70 e−(0.78)(t ).
ln1070
=−0.78( t).
−1.94−0.78
=t.
t = 2.49
TIEMPO EN EL QUE EL AGUA ESTARA A 40°C.
EJERCICIO 1
Si la diferencia entre la temperatura de un cuerpo y la del medio ambiente es grados, se considera que la disminución de con respecto al tiempo es proporcional a . Si esta
diferencia era al principio de grados y después de un minuto de grados, ¿cuál será
después de dos minutos?, ¿ en cuántos minutos será de grados?
.
Solución/ Según el enunciado del problema, dado que “x” representa la diferencia de temperaturas, la ecuación diferencial que modela el caso es:
ecuación que se resuelve separando variables, es decir:
por lo que integrando, tenemos::
o sea:
Considerando que es función de , la solución general de la ecuación propuesta se puede expresar como:
Ahora bien, considerando la condición inicial:
y sustituyendo:
por tanto , de manera que la ecuación se puede expresar como:
a continuación considerando la condición:
y sustituyendo en la ecuación tenemos:
por lo que despejando :
Entonces la forma de la ecuación es:
Así que para min:
Finalmente vemos que una diferencia de temperatura s , se alcanzará en:
EJERCICIO 2
Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70° Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos el termómetro registra y 5 minutos después registra
Fahrenheit.¿Cuál es la temperatura del exterior?
Solución/
La ecuación diferencial que modela el problema es en donde es la temperatura del termómetro, que varía en función del tiempo y es la temperatura del exterior, que se considera constante.
Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos:
Integrando:
y aplicando propiedades de logaritmos:
por tanto:
A continuación, considerando la condición inicial vemos que:
es decir:
por lo que la solución general toma la forma:
y ahora tomando en cuenta que:
en la expresión anterior tenemos:
Manipulando algebraicamente la primera ecuación para despejar
y la segunda ecuación:
y aplicando el método de igualación:
es decir:
por tanto, simplificando:
ecuación cuadrática de la forma que podemos resolver por la fórmula
general, considerando . Es decir:
entonces con
con
Sustituyendo este valor en cualquiera de la expresiones de :