METODO DE LEVANTAMIENTO TEODOLITO Y CINTA (CONTINUACIÓN)

LOGRO DE LA SESION

Con el tema a tratar se pretende que al término de la sesión usted esté en la capacidad de medir distancias y ángulos usando teodolito.

Compensación lineal de la poligonal.

Al presente, se han desarrollado diferentes métodos de compensación: el método de la brújula, el del tránsito, el de los mínimos cuadrados, etc.

Método de la brújula. Este método, propuesto por Nathaniel Bowditch alrededor de 1800, es el método más utilizado en los trabajos normales de topografía. El método asume que:Los ángulos y las distancias son medidos con igual precisiónEl error ocurre en proporción directa a la distanciaLas proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados

Si el error de cierre lineal EL, es menor o igual que la tolerancia lineal TL, se puede hacer la compensación lineal del pol ígono. Para la compensación se asume que los errores Ey y Ex son proporcionales a la suma los valores absolutos de sus proyecciones. Para el ajuste lineal del pol í gono, se calculan primero los factores unitarios de corrección Ky y Kx, o sea las correcciones por metro.

Para la compensación de las ordenadas, la corrección se resta a las proyecciones cuya suma sea mayor y se resta a aquéllas que corresponden a la suma menor, así se igualan ambas sumas, las de las proyecciones N y S, distribuy é ndose el error Ey, de igual manera se procede con las abscisas. Como resultado de la compensaci ó n lineal del pol í gono, las sumas de las proyecciones corregidas cumplir á n con las condiciones siguientes:

Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono.

Una vez compensadas las proyecciones, se procede al cálculo de las coordenadas de los v é rtices de la poligonal. Las coordenadas de los v é rtices se calculan sumando algebraicamente las proyecciones de cada lado a las coordenadas de la estaci ón anterior. La utilización de coordenadas permite un cálculo numérico sencillo con la información topográfica y su representación gráfica de manera exacta.

Las coordenadas de un v é rtice cualquiera se obtienen sumando algebraicamente las proyecciones de los lados comprendidos entre el origen y el vértice cuyas coordenadas se desea obtener.

Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordenadas de los vértices.

Ejercicio.- Con los datos del registro de campo siguiente, determina:a) el error angular, b) la tolerancia angular, c) la correcci ó n angular, d) los ángulos corregidos, e) los azimuts, f) las proyecciones de los lados, g) el error lineal, h) la tolerancia lineal, i) la precisión j) las proyecciones corregidas, k) las coordenadas de los vértices.

a) Error AngularCondición Angular = 180° (n ± 2) = 180° (4-2) = 360°

EA = Σ Angular - Condición Angular = 360° 00' 08" - 360° = 8"

b) Tolerancia Angular = ± √

= Aproximación del instrumento, en este caso 10” = Número de vértices

= ±10"√4 = ±20"Comparación del error EA y de la tolerancia TAEA < TA ∴

c) Corrección Angular

Cuando los ángulos sean medidos en las mismas condiciones ambientales y las longitudes de los lados noson muy desiguales, el error angular se reparte equitativamente. En el caso de tener un ángulocomprendido entre dos lados cortos, toda la corrección se le aplica a este ángulo, ya que es más factibleentre distancias pequeñas, exista más error angular.

d) Ángulos CorregidosEn nuestro caso, se restan dos segundos a cada á ngulo observado; si la corrección calculada fuera un número con decimales, por ejemplo para un error de 6”: 6”÷4 = 1.5” se corregirían dos estaciones de 2” y dos estaciones de 1” para completar los 6” y obtener ángulos corregidos al segundo entero, esto porque el instrumento empleado fue de 10 ” y las cifras decimales resultantes de la correcci ó n no son significativas, es decir que las d é cimas de segundo no son reales.

e) Cálculo de azimutsPrimero determinamos el azimut geográfico aproximado, sumando la declinación magnética al azimut magnético observado.

Para el cálculo de los azimuts geográficos de los lados subsecuentes, Aplicamos la fórmula:

El cálculo de un azimut cualquiera se dispone determinado primero el azimut inverso del lado anterior más el ángulo de la estación, en caso que el azimut resultante sea mayor a 360°, se le resta esta cantidad.

Sentido de la corrección:Como la suma de proyecciones norte Σ YN es mayor que la suma de proyecciones sur Σ YS, las correcciones se restan a las proyecciones norte y se suman a las proyecciones sur, para hacer las sumatorias al norte y al sur iguales.Como la suma de proyecciones este Σ XE es menor que la suma de proyecciones oeste Σ XW, las correcciones se suman a las proyecciones este y se restan a las proyecciones oeste, para hacer las sumatorias al este y al oeste iguales.

l) Calculo de la superficiePrimero determinaremos la superficie por productos cruzados (notaci ó n de determinantes), posteriormente por formula.Al realizar los productos cruzados deben adicionarse los valores del primer vértice en la ú ltima posici ó n y tenerse el cuidado de cancelar el primer espacio de la columna de productos positivos y el ú ltimo espacio de la columna de productos negativos.En el cálculo por formula no se requiere de la adición de los valores del primer v é rtice en la ú ltima posici ó n de los datos. Las coordenadas Yn, Xn son las coordenadas del vértice de estación; mientras que Yn-1, Xn-1 son las coordenadas del vértice anterior.

Cálculo inverso a partir de coordenadasDebido al proceso de compensación y ajuste de la poligonal, las distancias, direcciones y ángulos levantados en campo, no corresponden con las coordenadas calculadas; razón por la cual se procede al cálculo de distancias, rumbos y ángulos en función de las coordenadas de los vértices.Sean los puntos P1 y P2 los vértices de un lado de la poligonal, cuya distancia y rumbo se desean conocer:

Ejercicio.- determina las distancias, los rumbos y los ángulos en función de las coordenadas de la poligonal del ejercicio anterior.

Para el cálculo inverso podemos emplear para este caso los valores reducidos en las centenas, de misma forma en que hicimos en el cálculo de coordenadas.

Para el cálculo de los ángulos, nos auxiliamos de un croquis para identificar las operaciones a realizar.

Poligonación por el método de deflexiones

Cuando dos rectas se unen en un punto formando un ángulo, se entiende por deflexión el ángulo que forma con la prolongación de una de estas rectas con la otra.

La deflexi ó n puede ser hacia la derecha de la recta prolongada o bien hacia la izquierda. El primer caso la deflexión se considera positivo y se designa por la letra D; y en el segundo caso la deflexión es negativa y se designa por la letra I.

Cuando se aplica este método es indispensable tener como en el anterior el azimut de un lado de la poligonal, para calcular a partir de él y de las deflexiones, los azimuts de todos los lados de la poligonal. Este método se usa en el trazo y localización de vías de comunicación (carreteras, ferrocarriles, canales, etc.).

Solo con fines didácticos se aplica este método en el levantamiento de poligonales cerradas. En este caso la comprobaci ó n angular se obtiene sumando las deflexiones positivas y las negativas. La suma algebraica entre positivas y negativas debe ser igual a 360°. Lo que sobre o falte de esta cantidad será el error de cierre angular que debe ser menor o igual a la tolerancia angular, la cual se determina por la formula ya establecida.La condición geométrica del cierre angular del polígono se expresa de la siguiente manera:

Trabajo de campo.

Comprende las operaciones iníciales para el método de medida directa de ángulos indicadas.Una vez centrado y nivelado el instrumento y orientado el lado inicial de la poligonal, la forma de operar en cada una de las estaciones para tomar las deflexiones es la siguiente:1. Se ponen en coincidencia los ceros del micrómetro y del círculo horizontal y se fija el movimiento particular.2. Se da al anteojo vuelta de campana y queda en posición inversa.3. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estación de atrás y se fija dicho movimiento.4. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora en posici ó n directa y se ñ alando la prolongación del lado anterior.5. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar la estación de adelante y se hace la lectura de la deflexión.Para evitar la propagación de errores de la línea de colimación, se procede midiendo la deflexión en cada vértice dos veces, una visando la estación de atrás en posición inversa y otra en posición directa del anteojo, el valor más probable de la deflexión medida será el promedio de ambas lecturas.La deflexión cuyo valor este comprendida entre 0° y 180° es positiva y su valor es igual a la lectura hecha. Si la lectura está comprendida entre 180° y 360° la deflexión es negativa y su valor es igual a la diferencia entre 360° y la lectura hecha.

Trabajo de gabineteEste método solo difiere de lo expuesto con anterioridad para el método de medida directa de ángulos, en la manera de calcular los azimuts de los lados de la poligonal.“El azimut de un lado se obtiene sumando algebraicamente la deflexión al azimut del lado anterior”. Si la deflexión es negativa y mayor que el azimut se le agregan a este 360° para que la resta resulte positiva.

Solución:

a) el error angular EA es igual al valor absoluto de la suma algebraica de deflexiones menos la condición angular, que para una poligonal cerrada por deflexiones es igual a una suma de 360°.

b) la tolerancia angular TA se calcula considerando para este caso una aproximación a=10” y un número de vértices n=5. Haciendo la comparativa entre el error angular EA y la tolerancia angular TA, se puede observar que el error es menor que la tolerancia, por tanto: el levantamiento se acepta.

c) la correcci ón angular C. En este caso se confiere el mismo grado de ponderaci ó n a las mediciones angulares, para su distribución en segundos enteros, se aplicaran correcciones de 1” y 2” alternando para completar los ocho requeridos; la corrección se aplica con signo positivo para sustraer la corrección a la sumatoria, que en este caso tiene signo negativo.

d) las deflexiones corregidas se obtienen sumando la corrección a las deflexiones observadas.

f) cálculo de las proyecciones, se determinan aplicando las formulas correspondientes

Y= 16.345 positiva, por tanto la proyección es NorteX = 48.010 Positiva, por tanto la proyección es Este

g) el error lineal, h) la tolerancia lineal (para una precisión esperada de 1/5000), e i) la precisión. Seaplican las formulas correspondientes incluidas en el formato.

j) las proyecciones corregidas, se determinan primero los factores de corrección Ky y Kx; notese que en el caso de las proyecciones horizontales “ X ” no hay error (Ex = 0), por lo que Ky = 0. Estos factores de correcci ó n se multiplican por las correspondientes proyecciones sin corregir; Ky por las proyecciones verticales N y S; Kx por las proyecciones horizontales E y W. los resultados obtenidos se colocan en la columna de correcciones, el signo de las correcciones está en función de las sumas de las proyecciones, las cuales se requiere que sean iguales.

k) las coordenadas de los vé rtices, dando al vé rtice inicial A las coordenadas arbitrarias y=100, x=100. Las coordenadas se calculan a partir de los valores iníciales, sumando algebraicamente las proyecciones corregidas de los lados. Nótese que para determinar las coordenadas de B el lado AB tiene una proyección positiva al norte de 16.346, entonces se suma este valor al de la coordenada “Y” del vértice A. entonces no debe sumarse la cantidad de 35.730, ya que esta proyección corresponde al lado BC.

l) la superficie. Se determina por productos cruzados (notaci ó n de determinantes) y por f ó rmula para comprobar el resultado. Se recuerda que en el caso de cálculo por productos cruzados, se debe considerar la repetición del primer vértice en la última línea de coordenadas. Para el cálculo por formula no se quiere de esta circunstancia, por lo que la repetición del primer vértice en la última posición, ya no se considera en el cálculo por formula.

GRACIAS