lecture 5 formateo de señales analógicas

COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat1

Comunicación II

Conferencia 5: Formateo de Señales Analógicas.UNIDAD II: FORMATEO DE SEÑALES Y CODIFICACIÓN FUENTE

Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Outline

• Codificación de Señal: Formateo• Formateo en un sistema de comunicación banda base• Generación Pulsos Digitales• Formateo A/D• Esquema básico de un sistema digital banda base• Teorema del muestro• Muestreo Instantáneo o Ideal• Muestreo natural• Efecto Alias• Operación muestreo y retención• Implementación muestreo y retención• Cuantización: uniforme, redondeo, implementación• Función de Transferencia• Codificación Binaria• Fuentes de corrupción• Error de cuantización• Cálculo del error de cuantización


Codificación de Señal: Formateo

SISTEMA REPRODUCTOR DE AUDIO: EJEMPLO

http://www.sobreaudio.com/%C2%BFque-significa-digitalizar-un-sonido.php/codificacion-de-senal/


Formateo en un sistema de comunicación banda base

Muestreador Cuantificador Codificador

Binario

Codificador de línea

Transmisor

Filtropasabajos

DecodificadorBinario

Detector de línea

Receptor

Medio de transmisión

Información Digital Binaria

Información Textual o Caracteres

Información Analógica

Información Analógica

Información Textual o Caracteres

Información Digital Binaria

Formas de Onda de pulsos

...10110110001...Secuencia binariaPulsos digitales

de voltaje/corriente

La Codificación de Línea la estudiaremos

en conferencias posteriores.

Formateo: Codificación Fuente

Formateo: Codificación Fuente


Generación de pulsos Digitales

ESQUEMA DEL TRANSMISOR

Conversión A/DCódigos Binarios


Generadorde Pulsos

1 1

0 0

1

0 Tb

A

“1” lógico

0 Tb

-A

“0” lógico


Salida de pulsosdigitales

Entrada totalmenteanalógica

SeñalCuantizada

Señal muestreadora (fS):Tren de pulsos


Formateo A/D

•Procesos fundamentales en el formateo de señales analógicas:

•Muestreo (y Retención), Cuantización y Codificación Binaria

•Muestreo: Se ocupa de la representación en tiempo discreto de la señal mensaje de acuerdo al teorema de muestreo.

•Retención: Permite que los pulsos muestreados de duración muy breve puedan ser extendidos en el tiempo (retenidos) hasta la ocurrencia de la próxima muestra. El resultado es una serie de pulsos PAM de amplitud plana.

•Cuantización: En el sentido de la amplitud, es el proceso de transformar la muestra de amplitud continua en el tiempo (aunque discreta en el tiempo) de una señal mensaje en una amplitud discreta tomada de un conjunto finito de amplitudes posibles.

•Codificación binaria: Es el proceso mediante el cual las muestras cuantizadas (discretas en el tiempo y la amplitud) son mapeadas y sustituidas por un código binario (secuencia de bits).


Esquema básico de un sistema Digital Bandabase

Los elementos básicos de un sistema PCM

FiltroPasabajos

Muestreador/Retenedor

CuantizadorCodificador

Binario

Fuentes deseñales deMensaje

continuas en eltiempo

Señal Digital BB

Aplicadas a laentrada del

mediode transmisióna) Transmisor

Señal Digital BBdistorsionadaproducida a la

salida del canal

Repetidorregenerativo

Repetidorregenerativo

Señal PCM regeneradaAplicada al receptor

b) Trayectoria de transmisión

Circuito deregeneración

DecodificadorFiltro de

reconstrucciónDestino

c) Receptor

Generadorde Pulso


• Teorema o criterio de Nyquist:– Establece que la frecuencia de muestreo mínima para representar una señal

analógica a través de sus muestras debe ser al menos igual a dos veces su ancho de banda efectivo (frecuencia máxima):

• Teorema del muestreo establece:– Una señal limitada en frecuencia que no posee componentes espectrales encima de fm

Hz puede ser determinada sin ambigüedades a través de valores de su amplitud analógica que sean muestreados a intervalos uniformes de TS segundos, donde:

Teorema del muestro

uniforme muestreo del teoremael como conocido

2f1

T m

S ≤

Nyquist. de frecuencia

denominda es 2ff muestreo de frecuencia la

,2ff

mS

mS

=≥


Muestreo Instantáneo o Ideal


Muestreo Ideal

• Matemáticamente es posible comprobar que utilizando una serie de impulsos de dirac como señal muestradora es posible recuperar unívocamente la señal en el receptor. Este caso, por ser una implementación meramente matemática se conoce como muestreo ideal.

• Consideremos la forma de onda analógica x(t) acotada en el intervalo (-fm, fm) como se muestra en la figura y cuyo espectro es X(f). Las muestras

de x(t) corresponden, matemáticamente, al producto entre x(t) y la serie de impulsos xδ(t), formada por impulsos periodicos (Ts).

(t)xx(t)(t)xs δ⋅= ∑∞

−∞=δ δ=

n

)snT-(t(t)xcon

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

δ=δ⋅=n

sn

))nT(x) sss nT-(tnT-(tx(t)(t)x


Muestreo Ideal: par de transformadas

(t)x(t)x(t)xS δ=

∑∞

−∞=δ δ=

n

)snT-(t(t)x ∑∞

−∞=δ δ=

ns

)T snf-(f(f)X1

∑∞

−∞=

=ns

s )XT snf-(f(f)X1

Aplicando transformada de Fourier:


Muestreo Ideal

0 t0

ffm-fm

x(t) |X(f)|

t

0 t-4TS -2TS 2TS 4TS

0-4TS -2TS 2TS 4TS

0 f-2fS -fS fS 2fS

(t)x(t)x(t)xS δ=

0 f-2fS -fS fS 2fS

(a)

(b)

(c)

∑∞

−∞=δ δ=

n

)snT-(t(t)x ∑∞

−∞=δ δ=

ns

)T snf-(f(f)X1

∑∞

−∞=

=ns

s )XT snf-(f(f)X1


Muestreo Natural

• Idealmente, el muestreo debiera generarse a través de un tren de impulsos (delta de Dirac), pero su implementación electrónica es impráctica.

• Los circuitos de muestreo se basan en la generación de un tren de pulsos periódicos (TS) de duración finita y tan breve como sea posible (τ). Note que fS =1/TS.

• Para una serie de pulsos xP(t) y una señal analógica fuente x(t), se tiene la versión muestreada (señal PAM) de x(t), como resultado de la multiplicación:

(t)xx(t)(t)x PS ⋅=


Muestreo Natural

• Donde:

∑∞

−∞=

⋅⋅=n

tfj2πnP

Sec(t)x n

• Y se tiene que:

∑∞

−∞=

⋅⋅=n

tfj2πnS

Secx(t)(t)x

( )SSSS

n fnsencfT

nsenc

Tc ττ =

= 1

con:


Muestreo Natural

{ }∑

∑∞

−∞=

⋅

∞

−∞=

⋅

ℑ=

⋅ℑ=

n

tfj2πnS

n

tfj2πnS

S

S

x(t)ec(f)X

ecx(t)(f)X

• Estas relaciones en el dominio de la frecuencia, y aplicando la transformada de Fourier provee la relación siguiente:

• De la propiedad de desplazamiento :

( )∑∞

−∞=

−⋅=n

S )((f)X SSS ffXfnsencf τ


Muestreo Natural

0 t0

ffm-fm

x(t) |X(f)|

t

0 t

τ

-4TS -2TS 2TS 4TS

0-4TS -2TS 2TS 4TS

0 f-2fS -fS fS 2fS

|XP(f)|∑∞

−∞=

⋅⋅=n

tfnj2πnP

Sec(t)x

(t)x(t)x(t)x PS =

0 f-2fS -fS fS 2fS

|XS(f)|

(a)

(b)

(c)


Efecto Alias o Solapamiento

•En la práctica, ni las formas de ondas de interés ingenieril, ni los filtros de banda limitada implementables electrónicamente, son perfecta y estrictamente de banda limitada.•Es decir, la señales realizables, aun cuando se supongan que son de banda limitada, en realidad siempre presentarán un nivel de solapamiento. •Estas señales y filtros, no obstante, se pueden considerar como “esencialmente” de banda limitada.•Con esto se quiere decir, que un ancho de banda puede ser definido como aquél que va mas allá donde las compomentes espectrales de frecuencias son atenuados a un nivel que pueden ser despreciables.

mS 2ff Con <

Aliasing o Solapamiento:

OCURRE CUANDO NO SE CUMPLECON EL CRITERIO DE NYQUIST, Y

SE MUESTREA A UNA TASAINFERIOR:

Aliasing o Solapamiento:

OCURRE CUANDO NO SE CUMPLECON EL CRITERIO DE NYQUIST, Y

SE MUESTREA A UNA TASAINFERIOR:

mS 2ff Con ≥



mS 2ff Con =

0 fm

DSP para una señal con efecto de Aliasing debido a fS<2fm

0 fS 2fS 3fS

<2fm

DSP bandabase

0 fm 0 fS 2fS 3fS

DSP para señal muestreada a la frecuencia de Nyquist fS=2fm

2fm

DSP bandabase

mS 2ff Con <



fA (max) debe leerse como fm


Implementación Muestro Natural

CIRCUITO DE MUESTREO NATURAL


Operación de muestreo y retención

• Se ha visto que tanto en el muestreo ideal como en el muestreo natural, la señal muestreada en el dominio del tiempo es una señal de impulsos o pulsos periódicos, con duración infinitesimal en el primer caso, y con duración τ segundos en el segundo caso.

• Igualmente, puede observarse que las amplitudes siguen siendo valores continuos (teorema de densidad de los números).

• La retención persigue extender la duración de tales impulsos o pulsos, por un tiempo exactamente igual a Ts, el periodo de muestreo, de modo que permita un aprovechamiento en tiempo para la sincronización, y un aplanamiento de las crestas de tales muestras, de modo que se contribuya al proceso de digitalización de la amplitud de la señal muestreada.

• La forma mas simple de demostrar matemáticamente el método de muestreo y retención es describirlo como una convolución entre el tren de pulsos o impulsos, y un pulso unitario rectangular p(t) de duración Ts.

[ ](t)xx(t)(t)x h&s δ⋅= *)t(p

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

δ=

δ⋅=

ns

n

))nT(x)*)t(p ssh&s nT-(tnT-(tx(t)(t)x



• La transformada de Fourier, Xs(f), de la convolución en el dominio del tiempo es precisamente igual en el dominio de la frecuencia al producto aritmético de la transformada de P(f) del pulso rectangular y la señal espectral periódica correspondiente a la señal muestreada:

δℑ= ∑

∞

−∞=n

))t(x)f(P ss nT-(t(f)X

δ= ∑

∞

−∞=ns

)T)f(X)f(P ss nf-(f(f)X1

∑∞

−∞=

=ns

)XT)f(P ss nf-(f(f)X1

• Puede notarse que la forma de onda del pulso P(f) en el dominio de la frecuencia es Tssinc(fTs).



• El efecto de esta operación producto de espectros resulta en un espectro de apariencia similar al del muestreo natural mostrado en las diapositivas 11/14.

• El efecto mas obvio de la operación de retención es su atenuación considerable en las réplicas de frecuencias mas altas, lo cual es un efecto deseado en realidad.

• Normalmente se requiere de etapas adicionales de filtrado a posteriori para mejorar el proceso de filtrado y recuperación de la señal, procurando atenuar aún mas las componentes espectrales residuales que se ubican a frecuencias múltiples de la tasa de muestreo.

• Un efecto secundario de la operación de muestreo es la ganancia no uniforme en el espectro del pulso P(f) que se aplica al espectro bandabase deseado.

• La operación de postfiltrado puede ser compensada por esta atenuación al incorporar la función inversa de P(f) (ecualización) a lo largo de la señal pasabanda.


Implementación Muestro y Retención

CIRCUITO DE MUESTREO Y RETENCIÓN



dvdt

iC ó dtdv

Ci == RCτ =Precisión (%) Tiempo de

Carga

10.00 3τ1.00 4τ0.10 7τ0.01 9τ

C = Capacitancia máxima (valor para C1).i = Corriente máxima de salida desde Z1.dv= Cambio máximo en voltaje a través de C1,dt= Tiempo de carga, el cual es igual al tiempo de apertura.τ= Constante de tiempo de carga.R= Impedancia de Salida de Z1 mas la resistencia de encendido (“on”) de Q1.

CIRCUITO DE MUESTREO Y RETENCIÓN



Formas de Onda Muestreadas y Retenidas: (a) Entrada analógica,(b) Pulso muestreado,(c) Voltaje del Capacitor

Nota:“on”: Encendido“off”: Apagado

FORMAS DE ONDA MUESTREADA Y RETENIDA



Implementación mas elaborada


Otro ejemplo de Implementación Muestro y Retención

Implementación mas elaborada


Otro ejemplo de Implementación Muestro y Retención


• La cuantización de amplitud se define como el proceso de transformación de las amplitudes de las muestras {x(nTS)}, de una señal mensaje x(t) en el tiempo t= nTS en una amplitud discreta xq(nTS) tomado de un conjunto finito de posibles amplitudes.

• La señal de amplitud x se especifica por el índice k si éste cae dentro de la partición:

• Donde L es el número total de niveles de amplitud usado en el cuantizador. Las muestras x de la señal mensaje corresponden a una variable aleatoria con media cero y varianza σx

2.

Cuantización

{ } L1,2,...,k ,xxx : k1-kk =≤<ℜ


t

Ts: sampling time

x(nTs): sampled valuesxq(nTs): quantized values

boundaries

Quant. levels

3.1867

2.2762

1.3657

0.4552

-0.4552

-1.3657

-2.2762

-3.1867

amplitudex(t)

Ilustración Cuantización Uniforme



CUANTIZACIÓN UNIFORME: EJEMPLO


Cuantización

En la fingura:•Cuantizador lineal de L niveles para una señal analógica•Voltaje pico a pico: Vpp=Vp-(-Vp)=2Vp

•Pulsos cuantizados pueden ser positivos o negativos•El temaño de paso o escalón es igual a “∆”.•Cuando los niveles de cuantización están uniformemente distribuidos (o sea que “∆” es constante), el cuantizador se denomina “Cuantizador Uniformeo Lineal”.•El objetivo es aproximar cada valor de amplitud de la muestra retenida al nivel de cuantización mas cercano, de modo que se minimice el error de redondeo.•El error de redondeo no puede ser mayor

de |∆/2|•La degradación (“error”) de la señal debido al proceso de cuantización estará limitado por la mitad del cuantil de intervalo, es decir

|∆/2|.

ERRATA: La variable “q” sustitúyase por “∆”



CUANTIZACIÓN UNIFORME: MAPEO

Rango de amplitudde la señal analógica

Tamaño de paso

Umbrales de decisión xk

Representación de los niveles yk

ℜk : Regiones

de decisión { }Lk para

Δ,x, xxxxx kkkkk

≤≤

=−≤<=ℜ −−

1

11

∆

∆

x0x1 x2

x3 x4 x5 x6x7 x8

y1 y2y3 y4 y5 y6

y7 y8

ℜ1 ℜ2ℜ3 ℜ4

ℜ5 ℜ6 ℜ7ℜ8


• Las amplitudes discretas xk, con k=0,1,2,...,L, en la entrada del cuantizador, se denominan niveles de decisión o umbrales de decisión.

• A la salida, el índice k se transforma en una amplitud yk que representa todas las amplitudes del conjunto ℜ k; las amplitudes discretas yk, con k=1,2,...,L, son llamadas niveles de representación o niveles de reconstrucción, y la separación entre dos niveles de representación adyacentes se llama quantum o tamaño de paso ∆ .

Cuantización

Lk Δ, parayy kk ≤≤=− − 11


• La muestra x debe redondearse a nivel mas cercano, es decir yk ó yk+1 de acuerdo con la figura de abajo.

Niveles de Cuantización: Redondeo

CuantizadorQ(*)

MuestrasContinuasx=x(nTs)

MuestrasDiscretasy=xQ(nTs)

yk-2 yk-1 yk yk+2

qy

x

ℜk-1 ℜk ℜk+1

ℜk : Regiones

de decisión

NOTA: Aquí “q” denota la variable

aleatoria que toma valores < |∆/2|.

q: error o ruido decuantización


• Se nota que yk es el nivel seleccionado el cual podemos relacionarlo con los niveles o umbrales de decisión de modo que:

• La diferencias |x- xk-1| y |x- xk| representan errores de precisión en el proceso de cuantización con relación a la señal muestreada. Estas diferencias se denotan qi y se observa el valor yk se escoge de modo que el valor de qi minimize. Matemáticamente se expresa como:

Cuantización

x-x x-x si ,x

x-x x-x si ,xy

k1-kk

k1-k1-k

k

>

<=

( )( )

( ) { }k1-ki

k1-ki

k1-ki

kk

x-x ,x-xminq min

x-x x-x siqmin-x

x-x x-x siqminxy donde yx

=

<

>+=⇒


• Los cuantizadores pueden ser del tipo uniformes o no-uniforme.

• En un cuantizador uniforme, las representaciones de los niveles se muestran uniformemente espaciados; de otra manera el cuantizador se considera no-uniforme.

• La función de transferencia de un cuantizador puede ser del tipo paso-medio (midtread) o escalón-medio (midrise).

• La figura (a) de la próxima diapositiva (40) muestra la función característica de entrada-salida de un cuantizador uniforme del tipo paso-medio (midtread), el cual se denomina así debido a el origen descansa a la mitad del paso de la gráfica que asemeja escalones.

• La figura (b) de la diapositiva 39 muestra la función característica entrada-salida correspondiente para un cuantizador uniforme del tipo escalón-medio (midriser), en cuyo caso el origen descansa en la mitad del escalón de elevación de la gráfica que asemeja escalones. Note que ambos cuantizadores paso-medio (midtread) y escalón-medio (midrise) ilustrados en las figuras (a) y (b) son simétricos respecto al origen.

Cuantización


Función de Transferencia de Cuantizadores

∆−=+= −

212

21 kxx

y kkk

{ }{ }

{ }78

1

11

71

xxx

k

xxxx

,xxx

kkk

≥=ℜ≤≤

≤<=ℜ

≤<∞−=ℜ

−

para

,,,k,kxk 210 ±±=∆=

CUANTIZACIÓN UNIFORME: MIDRISER

∆-∆

2∆ 3∆ 4∆

-2∆-3∆-4∆∆/2

3∆/2

5∆/2

7∆/2

-∆/2

-3∆/2

-5∆/2

-7∆/2

x

y

Rango dinámico del cuantizador

Excursión pico a pico de la señal

(Rango dinámico)

(x: Entrada)

(Salida)

Ejemplo de un esquema de

cuantización de L=8 niveles. En este caso las regiones de cuantización están dadas por:

Llogb ó 2L :Midriser 2b ==

figura (a)


Función de Transferencia de Cuantizadores

∆=+= − kxx

y kkk 2

1

{ }{ }

{ }68

1

11

61 para

,

xxx

k

xxxx

xxx

kkk

≥=ℜ≤≤

≤<=ℜ

≤<∞−=ℜ

−

,2 ,1 ,0 ,2

12 ±±=∆+= kk

xk

CUANTIZACIÓN UNIFORME: MIDTREAD

∆

-∆

2∆

3∆

-2∆

-3∆

∆/2 3∆/2 5∆/2 7∆/2

-∆/2-3∆/2-5∆/2-7∆/2x

y

Rango dinámico del cuantizador

Excursión pico a pico de la señal

(Rango dinámico)

(x: Entrada)

(Salida)

Ejemplo de un esquema de

cuantización de L=7 niveles. En este caso las regiones de cuantización están dadas por:

1)(Llogb ó 1-2L :Midtread 2b +==

figura (b)


Codificación Binaria (y de línea(*))

El número “L”de niveles cuantificadosdepende del tipo de cuantificador:

L=2b para MidriserL=2b -1 para Midtread

con “b” el número de bits de código binario

(*) El tema de la codificación de líneaSe estudiará en las próximas conferencias

Códigos de línea


t

Ts: sampling time

x(nTs): sampled valuesxQ(nTs): quantized values

boundaries

Quant. levels

111 3.1867

110 2.2762

101 1.3657

100 0.4552

011 -0.4552

010 -1.3657

001 -2.2762

000 -3.1867

PCMcodeword 110 110 111 110 100 010 011 100 100 011 PCM sequence

amplitudex(t)

Ilustración Codificación binaria (y cuantización)


Otra ilustración: Cuantización Uniforme y Codificada Binaria

http://www.sobreaudio.com/%C2%BFque-significa-digitalizar-un-sonido.php/senal-digitalizada/


Ilustración Muestreo/retención, Cuantización, Codificación Binaria y generación de pulsos binarios.

Pulse-code modulation:(a) Signal sampling(b) Quantization(c) Binary pulse coding


Fuentes de corrupción

• Efectos relacionados al muestreo– Ruido o error de Cuantización

– Saturación del Cuantizador

– Jitter en el temporizador

• Efectos relacionados al canal– Ruido de canal– Interferencia intersímbolo– Razón Señal-a-Ruido para pulsos cuantizados


Error de cuantificación

(Error de cuantificación) = (Señal analógica original) - (Señal cuantificada)

Señal cuantificada

Nivel cuantificado

Error de cuantificación


Error de Cuantización

Léase: 1. L niveles2. L-1 pasos3. ∆

∆

+∆/2

-∆/2 ∆


Regiones de operación del cuantizador

• Hemos considerado la operación normal del cuantizador, bajo el supuesto que el rango dinámico de la señal analógica de entrada (Vpp) calza bien en el rango dinámico del cuantizador. Esto no siempre es así por diversas razones (la señal de entrada es aleatoria).

• La región de operación normal del cuantizador, donde realiza apropiadamente su función de transferencia, es la región de operación conocida como REGIÓN DE ERROR (RUIDO) GRANULAR.

• Este error ya se espera y controlable por medio del diseño apropiado del cuantizador.

• Cuando las señales analógica de entrada al cuantizador superan el rango dinámico del mismo, se genera saturación, que produce serias distorsiones a la señal que se recupera en el receptor. La región de operación donde ocurre este tipo de error se conoce como REGIÓN DE ERROR DE SATURACIÓN o DE SOBRECARGA.

• Las ilustraciones en las diapositias 49 y 50 muestran las dos regiones de operación.


Regiones de operación del cuantizador

q(n)

REGIÓN DE OPERACIÓN CONRUIDO GRANULAR

REGIÓN DE OPERACIÓN CON

RUIDO SATURACIÓN

REGIÓN DE OPERACIÓN CON

RUIDO SATURACIÓN

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/75/FuncionTransferenciaCuantificador.svg


Regiones de Operación

REGIÓN DE ERROR GRANULAR

REGIÓN DE ERROR

GRANULAR REGIÓN DE ERROR GRANULAR

REGIÓNERROR

DE SATURACIÓN

REGIÓNERROR

DE SATURACIÓN

RA

NG

O D

INÁ

MIC

O


Error de cuantificación “q”

• Error o ruido de cuantificación “q” – Diferencia entre la señal analógica original y versión

cuantificada– Mayor la diferencia, mas sensible a recuperación incorrecta– Es intolerable en sistemas que demandan alta fidelidad

• Parámetros que influyen en el error de cuantificación “q” – Elección incorrecta de frecuencia de muestreo “fs”

– Tamaño de paso “∆”– Número de niveles de cuantificación “L”


• Error de cuantización: La diferencia entre la entrada y la salida del quantizador.

)()()( txtxtq q−=

+

)(tx )()( txty q=

)()(

)()()(

tytx

txtxtq q

−=

−=

AGC

x

)(xQxy q ==Cuantizador

Proceso de ruido de cuantización

)(tx )(txq

)(tq

Modelo de ruido de cuantización

Error de cuantificación “q”

AGC: Automatic Gain Control

)(tq


• El uso de cuantización introduce un error q definido como la

diferencia entre la señal de entrada x y la salida cuantizada que la

representa yk. Este error es normalmente llamado error de

cuantización. La figura de la siguiente diapositiva ilustra una variación típica típica del ruido de cuantización como función del tiempo, asumiendo el uso de un cuantizador uniforme del tipo paso-medio (midtread).

• Como se indicó antes, la entrada del cuantizador x es una muestra de la variable aleatoria X con media cero. Si dejamos que el error de cuantización q sea representado por una variable aleatoria Q, podemos denotar como sigue,

• o, correspondientemente,

• donde Yk es la variable aleatoria de las muestras cuantificadas de la variable aleatoria X.

Error de Cuantización

ky- xq =

kY-X Q =


Cálculos del ruido de cuantificación(1/3)

•Consideraciones• x es el valor muestreado de una variable aleatoria X con media cero y varianza σx

2 (valor cuadrático medio de la señal analógica).

• x pertenece al conjunto de valores en ℜk = {xk-1 < x ≤ xk} con k = 1,2, ..., L (niveles)

• xk y xk-1 son los umbrales de decisión para cada evento

•Salida del cuantizador y toma los valores discretos yk, con k = 1, 2, ..., L, es decir, y = yk , Si x cae en el intervalo ℜk.

•Definamos a eq como el error de cuantización, con valores en el rango -∆/2 ≤ q ≤ ∆/2.

•Entonces podemos escribir: yk = x + q, si x cae en el intervalo ℜk

•Denotemos el error de cuantización a través de la variable aleatoria Q, y q denota su valor muestra.


Cálculos del ruido de cuantificación(2/3)

•Asumimos que la variable aleatoria Q es uniformemente distribuida sobre los posibles rango -∆ /2 a ∆ /2, entonces podemos escribir su pdf por:

∆≤≤∆−

∆=parte otraen ,0

22,

1)( qqfQ

fQ(q)

q

∆1

2∆

2∆−

PDF del la variable aleatoria Q.


Cálculos del ruido de cuantificación (3/3)

• Una importante figura de mérito, en general, es la varianza del ruido de cuantización, llamado también valor cuadrático medio, está definido como:

12

1)(][

22

2

2222 ∆=∆

=== ∫∫∆

∆−

∞

∞−

dqqdqqfqQE QQσ

• Para el caso de tamaño de paso uniforme, y sabiendo que en la mayoría de los casos el valor promedio de error de cuantización es cero, su varianza σQ

2 (en este caso también denominada valor cuadrático medio), está dada por:

[ ]{ } 22,

2222 )()(][ SatinLQQ dqqfqxqxEQE σσσ +==−== ∫∞

∞−

llQ

L

linL qxf

ql )(

122

1)2(

0

22

, ∑−

=

=σ Error granular Error de saturación

Este error de saturación puede evitarseo al menos reducirse con etapas de compresiónantes de cuantizar, por tanto, en generalpuede despreciarse.

lll xxq −= +1Con: Tamaño de paso


Cálculos del ruido de cuantificación (3/3)

•Por tanto podemos definir la razón señal a ruido de cuantización (SQR) para el caso de cuantización uniforme puede aproximarse como :

[ ]{ }[ ]{ }

{ }[ ]{ }2

2

2

2

2

2

)()(

)()(

xqxE

xE

xqxE

xExESQR

Q

x

−=

−−==

σσ

2Xσ•La potencia o valor cuadrático medio de la

señal deseada es su varianza (señal ergódica):

12/)( 2

2

2

2

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XSQRσ

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0)( == xExµ•El valor medio de la señal se asumido igual a cero:

lecture 5 formateo de señales analógicas

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