lecture 17 probabilidad de error para señales en awgn parte 2

2S 2009 - I. Zamora Uni VI-Conf 17: Detec. e Intr. Teoría Estimación1

Comunicaciones II

Conferencia 17: Probabilidad de error para señales en AWGN – Parte 2

UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN

Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Outline

• Análisis de Zonas• Procedimiento de cómputo de probabilidad de

error– Ejemplo práctico

• Probabilidad de error de algunos esquemas de transmisión pasabanda binario

• Probabilidad de error de algunos esquemas de transmisión pasabanda M-ario


Análisis de Zonas

( ){ }

{ } { }{ } { } { }

( ) otransmitid es m que dado 1,2,...N,j ,2

N,sΝ σμ,Ν~R

y

mbra...PmbraPmbraP

m bra,...,bra ,bra P mZP

tenemos Así . ´s,by ,- serpodría ´sa M,1,2,...,i donde

bra,...,bra ,bra r,...,r,rZZ

por dorepresenta serpuede Zcasos, los de mayoría la en que Note

io

ij2

iNNNi222i111

iNNN222111ii

ii

NNN222111N21i

i

=

=

<<<<<<=

<<<<<<=∈∞∞=

<<<<<<==

r


Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (1)

( )

( ){ }NNN222111N21

i

i

iNi2i1

bra,...,bra ,bra r,...,r,rZ

por dorepresenta serpuede Zcasos, de mayoría

la En M.1,2,...,i , Zdecisión de región la determiney

M1,2,...,i ,s,...,s,s

señales)de ónconstelaci (o mensaje de puntos los Calcule

<<<<<<=

===is

Paso 1:



( )

{ } ( ) ( )

( ) { } ( ) ( )icie

N

1jijjic

oijjjijjj

ic

mP-1mP mbraPmP

Luego Q.función la de sen término Ffunción la Escriba

N1,2,...,j ,2

N,sN~R ,aFbFmbraP

calcule N,1,2,...,j cada para

:mientosubprocedi

siguiente el usando mP calcule M,1,2,...,i cada Para

=⇒<<=

=

−=<<

=

=

∏=

jϕ

Paso 2:



( )

( )i

M

1iiee

mP lesequiprobab símbolos para

mPM1

P

Calcule

∑=

=

Paso 3:


Ejemplo (1/6)

•Determine la probabilidad media de error por símbolo para la constelación de señales mostrada abajo (NRZ Polar)

S1(t)

T

m1=0

-A

S2(t)

T

m2=1

A

ϕ1-A√T A √T

S1 S2

Z1 Z2


Ejemplo (2/6)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )22

T

0

22T

0

222

22T

0

22T

0

221

2211

21212

2111

21111

TA dtA(t)dts E

TA dtA-(t)dts E

donde

TAs ó t TA tsts

T-As ó t TAtsts

:gráfica la De

2

1

===

===

===

=−==

∫∫

∫∫

ϕϕ

ϕϕ


Ejemplo (3/6)

{ } { }0rr Z,0rrZ

TAs ,TAs 1m 0,m Fijamos

1111 21

221

21121

≥=<=

=−=⇒==

ϕϕϕϕ

Paso 1:

022

2111 =+−=+= TATAssγ

Donde para señales equiprobables, tenemos que el umbral de decisión o frontera entre lasregiones de decisión es igual a:


Ejemplo (4/6)

( ) { }

( ) { } ( )

( ) { } ( )

( ) ( )

=⇒

−=

−−−=≥−=

====

−=≥≥−=

−=

<=

2

oe2

oc

2 o

2

c

2 o11

c

o2o11c

N

2TAQ0P

N

2TAQ10P

2N

TA0Q100rP10P

:ndosubstituye2

Nσy sμ 0,y rRcon

μQRP donde 00rP10P

2

N,TAN

2

N,sN~Rcon 00rP0P

,Calculamos

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

γ

σγγ

Paso 2-1:


Ejemplo (5/6)

( ) { }

( )

( ) { }

( ) ( )

=⇒

−=

=

−=≥=

====

−=≥

=

≥=

2

oe2

oc

2

o2 o

2

c

2 o21

o2o21c

N

2TAQ1P

N

2TAQ11P

N

2TA-Q

2N

TA0Q10rP1P

:ndosubstituye2

Nσy sμ 0,y rRcon

μQRP donde

2

N,TAN

2

N,sN~Rcon 10rP1P

,Calculamos

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

γ

σγγ

Paso 2-2:


Ejemplo (6/6)

( ) ( )

( ) ( )[ ]

=

+

=

+=

== ∑∑==

2

o

2

o

2

o

ee

2

1iie

M

1iiee

N2T

AQ

N2T

AQN2T

AQ21

1P0P21

mP21

mPM1

P

CalculePaso 3:


Pe para BPSK Coherente

=+=

=

=

−Φ=<=

0

1

0

2)0()0()1()1(

)0(22

}10{)1(

que tenemos,2

NE

QPPPPP

PNE

QNE

rPP

Nero y PSD on media cCon AWGN c

beee,BPSK

eO

b

O

be

Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:

nsr += 111

−−

π= 2

1111

111 )sr(

Nexp

N)r(f

OOmR

El receptor obtiene donde la pdf de R=r1 dado que la señal s1(t) fue transmitida es

y decide que s1(t) fue enviado si r1>0 y s2(t) en otro caso.

El receptor comete un error si s1(t) fue enviado y r1<0. Es decir, r1∈Z2.

Así, la probabilidad de error dado que el mensaje m1 fue transmitido es:

Se nota que:

O

bmáx N

ESNR

2=


Pe BFSK Coherente

∫ +=φ= bT

jijjij nsdt)t()t(rrdonde0

Binary Frecuency Shift Keying con detección CoherenteBinary Frecuency Shift Keying con detección Coherente

212

,j,N,s~N)t(sr O

ijij =

Con p(0)=p(1)=0.5

=

0

bBFSKe,

0

N

EQP

2N

DSPy cero media con AWGN ConbE

bE

2s

1s0

)(2 tϕ

)(1 tϕ

bEd 2= Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:

=

221111O

bO N

,ENN,s~N)t(sr

=

20

21212OO N

,NN,s~N)t(sr

=

20

22121OO N

,NN,s~N)t(sr

=

222222O

bO N

,ENN,s~N)t(sr


Pe QPSK Coherente (1/2)

La probabilidad media de error de QPSK para símbolos equiprobables está dado por: ∑

=

=4

141

iiee )m(PP

Note que las regiones de decisión son iguales y los puntos señales son simétricas. De allí que todas las Pe(mi) son iguales. En los que sigue, sólo nos enfocamos a calcular el resultado con m1=10.

)(P)(P ce 10110 −=

}r,r{P)Z)r,r(r(P)(Pc 10001010 21121 <<∞−∞<<=∈==

donde 21210 01 ,j,)/,N N(s r jj =→

y estas dos variables aleatorias gaussianas son independientes. Así

}r{P}r{P)(Pc 10010010 21 <>=

2

2

00

12

2

2

21

−=

Φ=

−Φ

−Φ−=OO N

EQ

NE

/N

/E

/N

/E


Esquema QPSK Coherente (2/2)

Probabilidad de Error de Símbolo:

≈>>

−

=

−−=−=

00

0

2

0

2

21

2111

NE

Q PNE

si

NE

QNE

QNE

QPP

e

Oce

Podemos expresar esto en función de la energía Tx. Por bit:

≈>>

−

=

0

be

0

b

0

b2

0

be

N2E

2QP NE

si

N2E

QN2E

2QP

1


Pe MSK Coherente

s4 :0s3 :1

s2 :0 s1: 1

bE

bE−

bE

bE− Así para valores elevados por Eb/N0, la probabilidad de error medio para un sistema MSK es aproximadamente el mismo que el correspondiente para un sistemas BPSK Coherente (ignore el factor de escala de 2).

Esto es así al precio de un incremento en la complejidad del receptor.

Probabilidad de Error de Símbolo:

≈>>

−

==

0

be

0

b

0

b2

0

bQPSKe,MSKe,

N2E

2QP 1NE

si

N2E

QN2E

2QPPZ3 Z4

Z2 Z1


Pe QAM Coherente (1/2)

⋅

−

−≅−

O

SMariaQAM,e N

EM

QM

P1

3112

−≅−

O

OMariaQAM,e N

EQ

MP

2112

Se puede demostrar que la probabilidad de error del símbolo en la QAM M-aria está dada aproximadamente por:

En consecuencia, podemos reescribir la ecuación anterior en términos de ES como:

En el caso M=4 es de interés especial. La relación de señales para este valor de M es la misma correspondiente a la QPSK. En realidad, haciendo M=4 en la ecuación de arriba y advirtiendo que para este caso especial ES=E donde E es la energía por símbolo, encontramos que la fórmula resultante para la probabilidad de error de símbolo se vuelve idéntica a ecuación de la diapositiva 8 que se reproduce aquí.

≈

0

2NE

QPe


2

13

211

⋅

−−−≤−

O

SMariaQAM,e N

EM

QP

El resultado anterior es exacto para M=2k donde k par. Cuando k es impar, no hay sistema PAM L-ario (√M). Pero esto no es problema. Se puede demostrar casi directamente que la probabilidad de error de símbolo se encuentra confinada con cota superior a través de la expresión siguiente:

para cualquier k≥1, y Eb.S es la energía por bit promedio.

⋅

−≤

O

S,b

N

kE

MQ

13

4

Pe QAM Coherente (2/2)


Pe BFSK No coherente


−=

0

be

0

2N

Eexp

21

P

2

N DSPy cero media con AWGN Con


Pe M-arios


42

20

≥

≈ M

M

πsen

N

EQPe,M-PSK

si

π / M

La probabilidad de recepción correcta es la integral del área sombreada de la figura. Esta probabilidad puede ser limitada por alguna frontera. Por tanto, para valores grandes de E/No la probabilidad de error de símbolo es aproximadamente dada por:

Caso: Esquema M-ario PSK

MlogEE 2b=


Pe M-arios


Caso: Esquema M-ario FSK

MlogEE donde N

E1)Q(MP 2b

oFSK-Me, =

−≤

Para FSK M-ario, el receptor óptimo corresponde a un banco de M correlaciones o filtros acoplados. En los sistemas de muestreo t=kT, el receptor toma decisiones basadas en la mayor de las salidas del filtro acoplado. La probabilidad de error de símbolo puede limitarse superiormente a:


Rendimiento de algunos esquemas


1. Probabilidad de error de bit a partir de la probabilidad de error de símbolo.

• Hay dos enfoques para definir una probabilidad de error de bit equivalente, Pb, o tasa de errores de bit (BER), a partir de la probabilidad de error de símbolo, Pe. Esto depende de:

• la estructura del espacio de señales, y

• el mapeo de los puntos de señales espaciales en secuencias de bits equivalentes

2. Definición 1: En este caso, asumimos que al ir de un punto de señal a un punto de señal adyacente, solamente cambia un bit en la palabra binaria representación representada en la señal.

Nota: PSK M-ario empleando código Gray y QAM M-ario cumplen esta condición

M

PP eb

2log=

Pb (BER) a partir de Pe


3. Definición 2: Denotamos n=log2M. Asumimos que todos los errores de símbolos son igualmente probables. Definimos Pb como la razón de A, que es el número medio de bits con errores de símbolo de n-bits, con relación a n, el cual es el número de bits por símbolos. Definiremos una fórmula explícita para Pb.

Observe que, en un sistema M-ario, cada símbolo se encuentra en error con una probabilidad:

Para un símbolo dado, suponga que k bits están en error. Entonces, hay maneras que esto puede suceder, lo cual resulta en:

para M muy grande.

Nota: Los sistemas FSK M-ario se encuentran bajo esta condición.

1−M

Pe

Pb (BER) a partir de Pe

k

n

∑=

→−

=−

==

n

k

ee

eb

PP

M

M

M

P

k

nk

nn

AP

1 2)1(2)1(

1

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