lectura guia 8 demostracion de la ley de beer

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Demostración de la Ley de Beer

Considere el bloque de materia que puede absorber radiación, mostrado en la figura. Este diseño es semejante al de una cubeta porta muestra usada en análisis fotométricos, donde hay una solución que contiene un analito de interés y que absorbe energía lumínica. Un haz de radiación monocromático que sale del monocromador, cuya potencia inicial es P0 (en unidades de energía/ por tiempo y unidad de área), incide perpendicularmente en la superficie lateral del bloque y después de atravesar una longitud b del material, que contiene n partículas absorbentes (átomos, moléculas o iones), la potencia se disminuye hasta hacerse P, a causa de la absorción. Considere ahora una sección transversal del bloque de área S y un espesor infinitesimal dx; sólo imagine un corte muy delgado del bloque; dentro de esa sección quedan atrapadas dn partículas absorbentes de energía. Asociada a cada partícula, hay una superficie en la que se produce la captura de los fotones; si un fotón llega a una de estas áreas la absorción será inmediata. La proyección del área total de estas superficies de captura dentro de la sección se designa como dS, por lo tanto la relación entre el área de captura y el área total es dS/S y representa la probabilidad de captura de fotones dentro de la sección.

P

Po

b

dx

S


La potencia P del haz que entra en la sección de corte es proporcional al número de

fotones por centímetro cuadrado y por segundo, y dPx representa la cantidad eliminada

por segundo dentro de la misma sección. La fracción absorbida es –dPx/Px cuya relación

es igual a la probabilidad media de captura fotónica; el signo menos indica la respectiva

disminución en la potencia radiante debido a la absorción.

S

dS

xP

xdP

dS representa la suma de las áreas de captura fotónica de las partículas dentro de la sección, por lo que debe ser proporcional al número de partículas

dndS

dn es el número de partículas que pueden absorber energía y es una constante de

proporcionalidad, denominada sección transversal de captura. Si se combinan las

anteriores ecuaciones y se integra entre los límites de potencia radiante inicial y final, y

el número de partículas absorbentes entre 0 y n, tenemos:

o

n

p

pox

x

S

dn

p

dp

resulta:

S

n

P

P

0

ln

Transformando el logaritmo natural a logaritmo decimal o de Briggs e invirtiéndola para cambiar el signo, tenemos:

S

n

P

P 0log303.2

S

n

P

P

303.2log 0

Se define al valor de la izquierda como la absorbancia AP

P0log

Recordar que n es el número total de partículas dentro del bloque. El área de la sección

transversal S puede expresarse en términos del Volumen del bloque (V, en cm3) y de su

longitud (b, en cm), sabiendo que el volumen es área por longitud del bloque, V = S x b

b

VS


V

nb

P

P

303.2log 0

n/V tiene unidades de concentración (número de partículas por cm3) y para efectos

prácticos deberá convertirse en moles por litro. El número de moles viene dado por

/molpartículas236.02x10

partículasn moles de Número

y c en moles /litro viene dado por

litromol

Vx

n

Vcm

Litrocmmolx

x

nc /

231002.6

1000

3

/3

1000

231002.6

de donde n, es:

1000

1002.6 23xcxVxn

Entonces al reemplazar n la ecuación

V

nb

P

Po

303.2log

queda:

1000303.2

1002.6log

23

x

bcx

P

Po

Si se reúnen todas las constantes de esta ecuación en una sola, denominándose

(Absortividad molar del analito)

1000303.2

1002.6 23

x

x

la expresión final de la ecuación queda:

A C b εP

Polog

bcA


Esta expresión se conoce como ecuación de Beer. En donde A es la absorbancia, b es la

longitud del paso óptico (en centímetros), c es la concentración (en moles por litro) y es la absortividad molar del analito (en litro/centímetro mol). No sobra decir que la

absortividad molar ( ) está asociada a la absortividad específica (a), mediante la igualdad

= a PM

centímetro mol

litro

PMa

centímetro gramo

litroa

por lo tanto la expresión para la ecuación de Beer queda:

abcA


Ejercicios

1º. Una solución contiene el complejo Bismuto (III)- tiourea que tiene una absortividad

molar [] de 9.3x103 litro/cm. mol a 470 n.m.

a. ¿Cuál será el porcentaje de transmitancia de una solución 5x10-5M de la sustancia

cuando se mide en una celda de 0.5 cm?

b. ¿Cuál será el rango de concentración de este complejo si se usa una celda de 1 cm y

la absorbancia se conserva entre 0.1 y 1.5?

233.01055.0103.9 53

litro

molxxcentímetrox

molcentímetro

litroxbCA

A = - logT o A = 2 – log%T

log%T = 2 - A = 2 - 0.233 = 1.7675

en la expresión anterior extraemos antilogaritmo a ambos lados y encontramos %T

%T = 58.55

El rango de concentraciones lo podemos calcular aplicando la ecuación de Beer a cada

una de las medidas de absorbancia.

Para A = 0.1

litro1008.1

.1cent.mol

litro103.9

1.0 5

3

molx

centxxb

AC

Para A = 1.5


litro1061.1

.1cent.mol

litro103.9

5.1 4

3

molx

centxxb

AC

2º. El contenido de Acido Acetil Salicílico (C9H8O4, PM = 180.2) se determina al realizarle

una hidrólisis para llevarlo a ácido Salicílico (C7H6O3, PM = 138.1) y posterior adición y

reacción con el Nitrato Férrico con la finalidad de formar el Salicilato Férrico, que

desarrolla color y absorbe radiación a una longitud de onda de 580 n.m. Este caso es un

buen ejemplo para emplear la ley de Beer y la espectrofotometría como técnica de

análisis para cuantificar un analito en muestras. Veamos el caso siguiente.

Ejemplo. Se desea hacer en el laboratorio una determinación espectrofotométrica de la

excreción de una dosis terapéutica de aspirina en un paciente que ha ingerido una dosis

de 16 gramos en un día. Este paciente excreta 1300 mls de orina en 24 horas. Una

alícuota de 5 mls de su orina fue tratada en la forma indicada con un exceso de Nitrato

Férrico y diluido a 100 mls. De esta solución se tomaron 25 mls y se diluyeron a 50 mls.

Una porción de esta última solución mostró a 580 n.m. una absorbancia de 0.36. Un

estándar de Salicilato Férrico de concentración 20 mgrs/100mls se trató similarmente

para dar una absorbancia de 0.82 a 580 n.m.

Calcule el número de miligramos de Salicilato Férrico excretados por día por el paciente

y el porcentaje por peso de aspirina en la orina.

Nota: La siguiente es la reacción que se efectúa: la hidrólisis del Acido Acetil Salicílico

genera el ácido Salicílico y tres moléculas de éste reaccionan con una molécula de

Fe(NO3)3 para dar el complejo Salicilato férrico que es el analizado fotométricamente.

Esta secuencia se registra en las ecuaciones que se muestran a continuación.


Para el estándar:

A = abC

de ahí que a (Absortividad específica) sea igual a

bC

Aa

litrosxxcm

a

310100

miligramos201

82.0

a = 4.1 litro/gramo cm

Para la última solución (de 50 mls) la lectura de absorbancia es 0.36 y conociendo a

podemos calcular la concentración C.

A = abC

ab

AC

centímetroolitro/gram4.1xcm1

36.0C

C = 8.78x10-2 gramos/litro

Conozcamos el Peso (W) en esos 50 mL.

W = CxV = 8.78x10-2 gramos/litro x 0.05 litros = 4.39x 10-3 gramos en los 50 mL. Estos son

los mismos gramos que hay en los 25 mL y éstos fueron tomados de los 100 mL, entonces

aquí hay cuatro veces los gramos que hay en los 25 mL.


W = 4 x 4.39x 10-3 = 0.01756 gramos en los 100 mL y estos gramos provienen de los 5 mL,

entonces el peso de Salicilato Férrico, 17.56 x 10-3 gramos, están en 5 mL y en 1300 mL

correspondientes a la muestra total hay 4.5656 gramos.

Según la ecuación química, 414.3 gramos (3 moles) de Acido Salicílico producen 467.1

gramos (1mol) Salicilato Férrico, entonces 4.5656 gramos de Salicilato provienen de 4.04

gramos de Acido Salicílico.

Con estos gramos de Acido Salicílico, podemos calcular los gramos de Ácido Acetil

Salicílico presentes en la dosis de Aspirina tomada por el paciente.

180.2 gramos de Ácido Acetil Salicílico producen 138.1 gramos de ácido Salicílico,

entonces 4.04 gramos provienen de 5.28 gramos de Ácido Acetil Salicílico.

Con base en los 16 gramos que el paciente tomó, se calcula el % porcentaje de aspirina

en la muestra total de orina (1300 mL por día):

%02.33100gramos16

gramos5.28% xAspirina


OH

COOHCOOH

O-C=O

CH3

OH

COOH

3Fe(NO3)3

Fe OO CC

OO

O

C O

180.2 138.1

467.1

+

Acido Acetil Salicílico

Hidrólisis

Acido Salicílico

Salicilato Férrico

OH

HOOH


3º. Una disolución de Níquel 5.00x10-5 M se vierte en una cubeta de 1.00 centímetro de

paso óptico y se lleva al porta muestras de un espectrofótometro. La absorbancia leída a

592 nm es 0.446. Si una disolución de níquel de concentración desconocida, muestra a

la misma longitud de onda, en el mismo equipo, tratada de la misma forma que la

anterior, una absorbancia de 0.125 ¿cuál es la concentración?

Para encontrar la absortividad molar aplicamos la ley de Beer para los primeros datos

A = bc

de ahí que

centímetro mol

litro 8920

501.00cmx5x1

0.446

bc

Aε

con este valor encontramos la concentración desconocida de la solución de Níquel

aplicando nuevamente la ley de Beer

51040.1

11892000.1

125.0

x

Mcmcm

c

4º. La concentración de una muestra que contiene el fármaco o droga Tolbutamina en

solución acuosa se determinó así: se colocaron 10 mL de solución en una celda de

absorción de paso óptico 1 centímetro, la absorbancia medida fue 0.46 a máxima. A la

misma celda (conservando los 10 mL de solución) se le agregó 1.0 mL de solución

estándar del fármaco de concentración 5.0x10-4 M y la absorbancia leída fue de 0.80.

Calcule la concentración del fármaco en la muestra.

12

1

2

1

2

1

2 74.174.146.0

80.0CC

C

C

bC

bC

A

A


litrox

litroxxlitro

molxlitroxxC

VV

VCVC

V

VCVCC

A

AA

T

AA

3

343

1

1

1111

21011

101100.51010

13

72

1

11011

1051074.1 Cdespejaseahíde

x

xxCC

litro

molxC 5

1105.5

5º. El complejo FeSCN+2 tiene una absortividad molar de 7.00x103 L. cm-1.mol-1 y 580

n.m. de longitud de onda de máxima absorción. Con base en estos datos para el

complejo calcule:

a. La absorbancia a 580 n.m. de una solución del complejo 2.3x10-4 M si se toma la

medida en una celda de 1 cm.

b. La transmitancia de una solución 4x10-5 M si se emplea una celda de 1 cm.

c. La absorbancia de una solución cuya transmitancia es un tercio de la solución 2.3x10-

4 M medida en una celda de 1 cm.

a) 61.1litro

mol2.3x10 x 1cmx

molcm

litro7x10εbCA 43

2

A = 0.80

b = 1 cent

V = 11 mL.

1

A = 0.46

b = 1 cent

V = 10 mL.


b) 28.0litro

mol4x10 x 1cmx

molcm

litro7x10εbCA 53

c)

13.6% queda por tres, dida40.73%diviT

61.1loglog61.1

01log

log1log61.161.11

loglog 0

antiTT

TTP

PA

6º. Un analito D, cuyo peso molecular se ha determinado con espectrometría de masas

en 210 y cuando por espectrofotometría UV-Vis se analizan muestras que lo contienen,

presenta una absortividad molar de 14.000 a su longitud de onda de máxima absorción.

Si un analista emplea un equipo que requiere celdas de un centímetro de espesor o de

paso óptico calcule la concentración de una muestra en gramos por litro que puede ser

medida en un espectrofotómetro si la lectura de la absorbancia es 0.850.

litro

molx

cmxmolcm

litrob

ACbCA 5106

114000

850.0

litro

gramosx

mol

gramosx

litro

molxC 35 1027.1210106

E.P. Para analizar espectrofotométricamente el contenido de cafeína de una muestra de

café soluble, se somete la muestra a un tratamiento adecuado y se hacen las medidas de

absorción a 272 n.m. correspondiente a un máximo en el espectro de absorción de la

cafeína y se obtuvieron los siguientes datos, con ellos obtenga el porcentaje de cafeína

en la muestra.


Solución Estándar Concentración Absorbancia.

1 3.7x10-3 mgrs de cafeína/ml 0.222



Muestra 0.25 gramos de café soluble en un litro 0.602


Sistemas Multicomponentes

Si se tiene una mezcla de dos componentes (I y II) y se desea saber su composición (en

cualquiera de las unidades, especialmente en porcentaje), se deben hacer los siguientes

pasos:

a. Se prepara una solución de concentración exacta de cada analito, cuyos pesos

moleculares se conocen; se realiza un barrido espectrofotométrico en una celda de

paso óptico de un centímetro (b) para determinar las longitudes de onda máxima

absorción ( máxima), denominadas ( 1, 1I). Del espectro se toma la absorbancia a

esa longitud de onda y al aplicar la ley de Beer se valora la absortividad específica

(a) o absortividad molar ( ) para cada uno.

b. En el espectro del analito (I) se ubica la longitud de onda de máxima absorción del

analito (II), se lee allí el valor de la absorbancia correspondiente del analito (I) y

con este valor se calcula su absortividad específica (a) o absortividad molar ( ) en

esa longitud de onda.

c. Se repite la misma operación con el espectro del analito (II); se ubica el valor de la

longitud de onda de máxima absorción del analito (I), se lee la absorbancia y con

este valor se calcula la absortividad específica (a) o absortividad molar ( ) del

analito (II) en esa longitud de onda.

d. A una mezcla, de la cual se desconoce la concentración de los analitos, se le hace

un barrido espectral de tal forma que comprenda un amplio rango de longitudes de

onda. Cabe recordar que la absorbancia a cada longitud de onda es la suma de las

absorbancias individuales (AI + AII) y aplicando la ley de Beer se encuentra la

concentración de cada uno de ellos.

e. Se toman los valores de absorbancia en cada longitud de onda de máxima absorción

y con base en los datos del espectro y con las ecuaciones siguientes, se calculan las

concentraciones respectivas de los analitos para obtener la composición de la

mezcla.


Vamos a demostrar para una mezcla de dos analitos las ecuaciones que se generan.

Partimos del espectro (Absorbancia vs longitud de onda ) de la mezcla. En general

tendríamos:

En la longitud de onda 1( 1), de máxima absorción del analito I

AMezcla 1 = AI, 1 + AII, 1 = I, 1bCI + II, 1bCII (1)

En la longitud de onda 2 ( 2), de máxima absorción del analito II

A Mezcla 2 = AI 2 + AII 2 = I, 2bCI + II, 2bCII (2)

La ecuación (1), queda como sigue:

A Mezcla 1 = I, 1bCI + II, 1bCII (1)

De ahí se despeja CI

CI = A Mezcla 1 - II, 1bCII I, 1b

y se reemplaza en la ecuación (2), quedando la expresión como sigue:

A Mezcla 2 = I, 2b [A Mezcla 1 - II, 1bCII I, 1b] + II, 2bCII (3)

A Mezcla 2 = I, 2b A Mezcla 1 - I, 2b II, 1bCII I, 1b + II, 2bCII (4)

A Mezcla 2 I, 1 = I, 2 A Mezcla 1 - I, 2b II, 1CII + I, 1b II, 2bCII (5)

A Mezcla 2 I, 1 - I, 2 A Mezcla 1 = - I, 2b II, 1CII + I, 1 II, 2bCII (6)

A Mezcla 2 I, 1 - I, 2 A Mezcla 1 = [ I, 1 II, 2b - I, 2b II, 1]CII (7)

Esta ecuación posibilita encontrar la concentración del componente 2 (CII)

CII = A Mezcla 2 I, 1 - I, 2 A Mezcla 1 I, 1 II, 2b - I, 2b II, 1 (8)


CII = A Mezcla 2 I, 1 - I, 2 A Mezcla 1 [ I, 1 II, 2 - I, 2 II, 1 ]b (9)

Similarmente para la concentración del componente 1 (CI) tendremos:

CI = A Mezcla 1 II, 2 - II, 1 A Mezcla 2 [ I, 1 II, 2 - II, 1 I, 2]b (10)

Todos los datos necesarios pueden leerse en los espectros respectivos.

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