lectura e interpretación de gráficas socialmente compartidas · relime vol. 10, núm. 1, marzo,...

Relime Vol. 10, Núm. 1, marzo, 2007, pp. 69-96.

Fecha de recepción: 15 de agosto de 2006 / Fecha de aceptación: 8 de diciembre de 20061 Este artículo es uno de los resultados del proyecto GUE-2002-C0-7626, financiado por el Fondo Mixto Conacyt-Gobierno del Estado de Guerrero.2 Centro de investigación en Matemática Educativa (Cimate) Universidad Autónoma de Guerrero, México.

Lectura e interpretación de gráficassocialmente compartidas1

Crisólogo Dolores2

Ithandehuil Cuevas2

RESUMEN

En este artículo presentamos una investigación de carácter cualitativo, en la cualexploramos qué lecturas o interpretaciones hacen los estudiantes de educación bási-ca sobre las gráficas que se comparten socialmente; es decir, aquellas utilizadas porlos medios de información y que van dirigidos a amplios sectores de la sociedad. Lasgráficas puestas en el escenario de la lectura están referidas a temáticas poblaciona-les, financieras y una al contexto matemático. Este trabajo, que involucró a estudian-tes de primaria y secundaria, nos permitió detectar interpretaciones en las que lamayoría de los alumnos identifican lo que cambia (las variables), hacen lectura dedato por dato o punto por punto (según corresponda), privilegiando a los máximos ymínimos, realizan descripciones cualitativas de cómo cambia algo, aduciendo quesube o baja. Sin embargo, no establecen relaciones covariacionales, no calculancuánto cambian las variables ni se nota que usen las razones de cambio. Las eviden-cias obtenidas indican, además, un escaso conocimiento sobre los significados delos conceptos sociales representados en las gráficas.

PALABRAS CLAVE: Gráficas, lectura e interpretación, socialmente com-partidas, pensamiento variacional.

ABSTRACT

In this paper we present a qualitative research, in which we explore what readings orinterpretations are done by the students of elementary school on the graphs that areshared socially; it is to say, those used by the means of information and that aredirected wide social sectors. The graphs put in the scene of the reading are referred topopulation, financial subject matters and one to the mathematical context. This work,which involved to students of elementary school, allowed us to detect interpretationsin which the most of the students identify what changes (the variables), they do rea-ding of data by data or point by point (according to it corresponds), favoring to themaximums and minimums, they make qualitative descriptions of how it changes so-mething, adducing that rises or low. Nevertheless, they do not establish covariationals

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relations; they do not calculate how much they change to the variables nor note thatuse the change reasons. The evidences indicate, in addition, a little knowledge on themeaning of the social concepts represented in the graphs.

KEY WORDS: Graphs, reading and interpretation, socially shared, variatio-nal thought.

RESUMO

Neste artigo apresentamos os resultados de uma investigação de caráter qualitativono qual exploramos que tipo de leituras ou interpretações fazem os estudantes daeducação básica dos gráficos que se compartilham socialmente. Estes gráficos sãoaqueles utilizadas pelos meios de informação e que são dirigidos às várias camadassociais. Os gráficos que surgiram da leitura se referem a temáticas populares, finan-ceiras e um no âmbito precisamente matemático. Este trabalho envolveu estudantesdo ensino fundamental e médio e nos permitiu detectar interpretações em que namaioria identificam o que muda (as variáveis), fazem leitura de dado por dado ou pontopor ponto (a que corresponde) privilegiando os máximos e mínimos, fazem descriçõesqualitativas de como muda alegando que sobem ou descem, não estabelecem re-lações co-variacionais nem calculam quanto mudam as variáveis, tampouco notamoso uso das razões de mudança. As evidências obtidas também indicam pouco conhe-cimento dos significados dos conceitos sociais representados nos gráficos.

PALAVRAS CHAVE: Gráficos, leitura e interpretação, socialmente compar-tilhadas, pensamento variacional.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous rendrons compte d’une recherche qualitative dans laquelle nousexplorons quels types de lectures ou d’interprétations font les étudiants d’école élé-mentaire sur les graphiques socialement partagés. Ces graphiques sont ceux utiliséspour les médias d’information qui ont un grand nombre d’impact sur les différentsniveaux sociaux. Les graphiques mis dans le cadre de la lecture sont associés auxsujets de populations, de finances et aussi au domaine spécifiquement mathémati-que. Ce travail a été fait avec des étudiants de l’école primaire et du collège et celanous a permis de détecter des interprétations dans laquelle la plupart des étudiantsidentifient ce qui change (les variables), font la lecture donné par donné ou point parpoint (selon corresponde) en privilégiant les maximums et les minimums, ils font dedescriptions qualitatives de comment changer ce qui change en alléguant ce qui mon-te ou qui descend, ils n’établissent pas de rapports de covariance ni ne calculent decombien changent les variables, nous n’avons pas noté l’usage de raison de change.

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Les résultats obtenus montrent une quasi nulle connaissance des significations etdes concepts sociaux représentés dans les graphiques.

MOTS CLÉS : Graphiques, lecture et interprétation, socialement partagés,une pensée de variation

1. ANTECEDENTES

La graficación de funciones es una de lasactividades sugeridas por el currículummatemático escolar de la educaciónmedia y superior. Es además, amplia-mente tratada por los textos y los profe-sores en sus clases de matemáticas,desde la educación básica hasta el nivelsuperior. Las técnicas de graficación uti-lizadas van desde la tabulación hasta lagraficación mediante el uso de la deriva-da: en la primera, las aproximacioneshacia la gráfica son todavía rudimenta-rias; en la segunda se gana más preci-sión y fineza, pues la derivada es unmedio muy potente que permite tal fine-za y precisión.

Después de los procesos sistemáticosde enseñanza sobre la graficación de fun-ciones, los profesores creen que la ma-yoría de los estudiantes pueden repre-sentar e interpretar correctamente lasgráficas. Sin embargo, hay diversos tra-bajos de investigación que dan cuenta dela persistencia de numerosas concepcio-nes que no son congruentes con lasaceptables en matemáticas.

Hemos estudiado en los últimos años lasconcepciones alternativas que tienen losestudiantes acerca de las gráficas de fun-ciones elementales. En una investigacióndonde planteamos actividades de análi-sis sobre gráficas de funciones de coor-denadas tiempo-distancia, que represen-

taban fenómenos físicos (Dolores et al.,2002), detectamos concepciones alterna-tivas como las siguientes:

Asociación entre la mayor velocidadmedia con la representación gráfica dela ordenada de mayor altura, o con elintervalo al que le corresponden las or-denadas de mayor altura.

Asociación entre la gráfica cartesianaque se asemeja a la trayectoria parael caso de la caída libre de los cuer-pos con la trayectoria misma.

La no aceptación de que una gráficade coordenadas tiempo-distancia yotra de coordenadas velocidad-tiempopuedan representar al mismo movi-miento.

A priori, se podría suponer que con gráfi-cas sencillas como las rectas los estu-diantes no encontrarían mayores proble-mas, mas no es así. Dolores y Catalán(2000) hallaron, en situación escolar, quecuando los estudiantes de bachillerato uti-lizaban gráficas para determinar los cam-bios sólo la mitad de ellos lo lograron ha-cer. Una cuarta parte de los estudiantesdieron muestras de interpretar consisten-temente la ecuación de la recta, dada supendiente y la ordenada al origen y repre-sentarla gráficamente, aunque no emplea-ron la relación de proporcionalidad implí-cita en el coeficiente m que da lapendiente. En general, se notó escasa ca-

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pacidad para visualizar y analizar gráfi-cas y mayor proclividad a realizar opera-ciones.

En otro trabajo, Dolores (2004) indagó demanera exhaustiva en las concepcionesalternativas de los estudiantes cuando seles plantean actividades de análisis defunciones a través de sus gráficas, cen-trándose en la lectura e interpretación degráficas escolares. Las concepcionesalternativas identificadas fueron:

La aceptación de que sólo las funcio-nes cuyas gráficas poseen abscisaspositivas tienen imágenes positivas;análogamente, sólo las gráficas conabscisas negativas pueden tener or-denadas negativas.

La aceptación de una relación de con-comitancia entre función positiva confunción creciente, o bien entre funciónnegativa y función decreciente.

La consideración de que los puntosde corte de la gráfica con el eje de lasx son puntos estacionarios. O bien deque si la gráfica pasa por el origen,entonces en tal punto la función nocrece ni decrece.

La asociación de intervalos con pun-tos de la gráfica.

Las concepciones alternativas podríanpermanecer en los estudiantes si no seenfrentan con situaciones donde se hagaexplícita su contradicción con las teoríasaceptadas, pero sobre todo si no hay in-teriorización de tales contradicciones yel reacomodo cognitivo que posibilite elasentamiento de las concepciones acep-tadas en matemáticas.

Empeñados en investigar la estabilidady cambio de estas concepciones alter-

nativas, en Dolores & Valero (2004) se dacuenta de dichos procesos. Así, tras lapuesta en escena de una experiencia ins-truccional diseñada ex profeso con estu-diantes principiantes universitarios, hubocambios conceptuales en la dirección de-seada. Cuando las actividades fueronplanteadas usando los registros verbal ygráfico, un 16% de los estudiantes mani-festaron concepciones aceptables antesde la experiencia instruccional; con pos-terioridad a ella, tal porcentaje se incre-mentó a un 86%. Cuando las preguntasse plantearon con los registros analíticoy verbal, los estudiantes que manifesta-ron concepciones alternativas pasaron, enpromedio, de un 0% a un 55%.

Las concepciones alternativas que des-tacaron por su estabilidad fueron dos: 1)la consideración de que una función espositiva y creciente si, además de cum-plir con estas dos condiciones, poseeabscisas positivas; 2) la que consideraque la derivada de una función en un pun-to es igual a la ordenada de ese mismopunto. Se notó también que los cambiosen las concepciones no son lineales y sedan en distintos sentidos, así como seregistraron avances y retrocesos.

La construcción de gráficas a partir de unenunciado verbal o una situación cercanaa la realidad implica acciones derivadasdel cambio de registro; a partir de esasproducciones los investigadores detectanesas ideas. Algunos trabajos que involu-cran la construcción de gráficas se pue-den dividir en los que usan tecnología(Yerushalmy & Shternberg, 1998), dondelos estudiantes se ven precisados a pa-sar del contexto real al registro gráfico, yaquellos donde los alumnos construyengráficas sin el uso de tecnología (Me-varech & Kramarsky, 1997; Carlson et al.,2002), transitando del registro verbal al grá-fico, o como el estudio de Even (1998),

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donde algunas actividades suponen elpaso de la representación simbólica a lagráfica. Otras investigaciones están másenfocadas al análisis de gráficas previa-mente construidas por el investigador;aquí, las interpretaciones están más in-fluidas por lo que los estudiantes o profe-sores observan o interpretan sobre unagráfica dada. A esta categoría perteneceel trabajo de Hitt (1996), en el que losprofesores examinados requirieron tran-sitar del registro gráfico a la representa-ción pictórica.

En investigaciones recientes (Cordero,2005; Buendía & Cordero, 2005; Domín-guez, 2003; Campos, 2003, Rosado,2004; Flores, 2005), hechas bajo la pers-pectiva socioepistemológica, se ha es-tudiado la graficación en el discurso ma-temático escolar. Se parte de dospremisas fundamentales: por una parte,de que la matemática funcional es aquelconocimiento que deberá integrarse a lavida para transformarla, reconstruyendosignificados permanentemente; por otro,de que el volumen y carácter de los co-nocimientos adquiridos por el hombre vie-ne determinado por el nivel de desarrollode las prácticas sociales; es decir, por elgrado de su dominio sobre el mundo ex-terior. Bajo esta perspectiva, se ha en-contrado evidencia sobre prácticasargumentativas gráficas en diversas si-tuaciones, donde son resignificadas aldebatir entre la función y forma de lagraficación. Por ejemplo, el límite de uncociente se resignifica a través de la pre-dicción, la analiticidad y la propia grafi-cación; la derivada y la recta tangentedebaten entre la comparación de dos es-tados y la sucesión simultánea de lasderivadas, pero también contra la varia-ción de parámetros y el comportamientode la tendencia.

Los autores de dichos trabajos han rela-cionado las prácticas de graficación, mo-delación y predicción, donde el compor-tamiento de las curvas anticipa latendencia de comportamiento local y glo-bal. Aquí, la derivada es resignificada enla linealidad del polinomio, mientras quela asintoticidad se resignifica a través decomparar las formas de comportamientoentre dos funciones. Contrario a las in-vestigaciones que parten de premisas quecolocan a la matemática formal en el pa-pel central, éstas centran su atención enlos usos y desarrollo de prácticas de lagraficación y, de este modo, han posibili-tado un acercamiento a la matemáticafuncional.

La interacción con las gráficas ha sidoestudiada en el plano de su construccióno en el plano de su lectura e interpreta-ción. Una buena parte de estos estudioshan tenido como escenario al ambienteescolar. En este trabajo hemos orientadola mirada hacia las gráficas que no nece-sariamente son objeto de enseñanza enla escuela y que circulan libremente enlos medios de comunicación o informa-ción. Nos planteamos una pregunta esen-cial: si la escuela, como se dice, preparapara la vida, en la vida diaria los indivi-duos encontrarán seguramente gráficasque interpretar. ¿Estarán en condicionesde leerlas e interpretarlas adecuadamen-te?

2. OBJETIVO

Parte importante de las investigacionesdescritas tratan el asunto de las gráficasdesde el punto de vista cognitivo y enfo-

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can su atención en las dificultades, loserrores, las concepciones alternativas, elpapel de las gráficas en la comprensiónde los conceptos o propiedades matemá-ticas y en el desarrollo cognitivo del pen-samiento.

El escenario donde se sitúan estos tra-bajos privilegia generalmente las condi-ciones escolares y, por tanto, el tipo degráficas utilizadas son las que con fre-cuencia se emplean en las clases de ma-temáticas. Sin embargo, en nuestras in-vestigaciones actuales nos planteamoscomo objetivo general el estudio de lasgráficas, pero en contextos más ampliose integrales que incluyen los contextossociales, más allá de considerar sólo elescenario escolar. Nos preguntamoscómo viven estos objetos fuera del aula,pues las gráficas son utilizadas no sólopor los matemáticos profesionales o pro-fesores de matemáticas, sino también porpersonas con distintas profesiones y ocu-paciones, no necesariamente cercanasa la matemática en un sentido conven-cional, como médicos, políticos, conta-dores, abogados o comunicadores. Ade-más, son frecuentemente utilizadas ycompartidas en los medios de comuni-cación e información –como revistas operiódicos–, informes médicos, oficinasgubernamentales o empresas.

En las revistas, periódicos u otros me-dios impresos se recurre a las gráficaspara transmitir o comunicar informacióno datos; además, refieren la cuantifica-ción y comportamiento de algún fenóme-no en intervalos determinados; sin em-bargo, muchas gráficas que se difundeno comparten a través de estos mediosparecen estar lejanas de las que utilizanlos profesores en sus clases de mate-máticas. ¿Qué lecturas e interpretacio-nes hacen los estudiantes sobre las grá-ficas socialmente compartidas? La

búsqueda de respuestas a esta preguntaconstituye la parte esencial del presentetrabajo; a su vez, forma parte específicade las tareas globales que implican darlealcance al objetivo general enunciado enel párrafo anterior.

Así, el objetivo central del presente tra-bajo consiste en explorar qué lecturas ointerpretaciones realizan los estudiantesde educación básica sobre las gráficasque circulan en ambientes extraescola-res y se comparten a través de los me-dios de información. Cuando decimosextraescolar aludimos, por un lado, a queel tipo de gráficas sujetas a lectura sonaquellas que circulan libremente fuera dela escuela, se comparten o son puestasa disposición de cualquier interesado parasu libre uso; por otro, a que las lecturasque se piden no se supeditan al contratodidáctico establecido por sus profesores.Por tal razón, los profesores de los estu-diantes participantes fueron ajenos a estainvestigación; los alumnos no esperabanninguna calificación o premio por las ac-tividades planteadas.

3. ELEMENTOS TEÓRICOS

Al igual que muchos procesos matemá-ticos utilizados en la escuela, la grafica-ción comprende la interpretación y laconstrucción. La interpretación se refierea las habilidades de los estudiantes paraleer una gráfica tanto local como global-mente, y darle sentido o significado(Leinhardt et al., 1990). En contraste, laconstrucción atañe al acto de generaralgo nuevo, construyendo una gráfica otrazando puntos a partir de datos con unaregla funcional o a partir de una tabla.Leindhart et al. plantean que la construc-ción de una gráfica es completamente di-

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ferente de la interpretación. Mientras quela interpretación ayuda y exige respues-tas a partir de datos dados (por ejemplo,una gráfica, una ecuación, o un conjuntode datos), la construcción requiere gene-rar partes nuevas que no están dadas.

La interpretación de gráficas precisa deprocesos agudos de visualización, aun-que Eysemberg & Dreyfus (1991) mos-traron que muchos estudiantes poco uti-lizan el pensamiento visual. Prefieren eltrabajo algorítmico al pensamiento visual,ya que éste requiere de procesos cogni-tivos superiores a los que demanda el pen-samiento algorítmico.

Ahora bien, las interpretaciones de lasgráficas pueden estudiarse desde diferen-tes puntos de vista. Hay quienes investi-gan las dificultades en la lectura de gráfi-cas (Brassel & Rowe, 1993; Moschkovichet al., 1993; Yerushalmi & Shternberg,2001); en el caso de Wainer (1992), iden-tificó tres niveles de procesamiento de lainformación relacionados con la interpre-tación gráfica:

a. El nivel elemental: Implica la ex-tracción de datos o la lectura de pun-tos aislados; por ejemplo, quién alcan-zó la más alta calificación del grupo,quién alcanzó la calificación más baja,etc.

b. El nivel intermedio: Concierne a ladetección de las tendencias observa-das en intervalos determinados de lasgráficas; por ejemplo, entre los años1990 y 1993 qué compañía tuvo la ra-zón más grande de crecimiento.

c. El nivel más alto: Es una compren-sión profunda sobre la estructura delos datos y de su comportamiento; porejemplo, las muchachas crecen másrápido que los muchachos.

En otras investigaciones sobre el pensa-miento de los estudiantes de cálculo,cuando plantearon actividades de interpre-tación en torno a lo cambiante de la razónde cambio se percibió que esta habilidades lenta de desarrollar; particularmente,se reportan problemas al interpretar la in-formación gráfica de una función (Carlsonet al., 2002). Muchas de estas dificulta-des están asociadas al escaso desarrollode un razonamiento covariacional, que sedefine como aquel que involucra a las ac-tividades cognitivas de coordinación de doscantidades variables, atendiendo las for-mas en que cambian una en relación conla otra. Como puede notarse, este trabajose orienta más hacia el estudio del pen-samiento covariacional y tiene similitudcon la visión matemática de la graficación.

Según Cantoral & Montiel (2001), hay dosformas clásicas de entender la enseñan-za de la graficación: una asume que lagraficación es una técnica o conjunto detécnicas que permiten bosquejar la gráfi-ca de una función; otra, menos difundida,entiende la graficación como una formade interpretar el sentido y significado desus propiedades desde una perspectivacognoscitiva. En tal enfoque se insertanuestro trabajo.

Para explorar las interpretaciones que ledan sentido y significado a las gráficas,adoptamos las acciones sugeridas enel análisis de funciones planteadas en Do-lores (1999), así como algunas des-prendidas de Carlson et al. (2002). Dichasacciones son congruentes con las defini-ciones y objetivos de las gráficas de fun-ciones que manejan los textos y progra-mas de estudio de matemáticas y deestadística. Una gráfica cartesiana sedefine en los textos como una represen-tación entre dos o tres variables, y se con-sidera como herramienta visual útil por-que posibilita la detección de tendencias,


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facilita las comparaciones y se constitu-ye en un medio idóneo para analizar elcomportamiento de fenómenos de varia-ción. Las acciones sistemáticamenteplanteadas pueden resumirse en cinco:1) ¿qué cambia?; 2) ¿cuánto cambia?;3) ¿cómo cambia?; 4), ¿qué tan rápidocambia?; 5) ¿cómo se comporta global-mente la gráfica?

La primera acción concierne a identificarqué variables están representadas, ubi-car puntos en el plano y determinar losintervalos de variación. Para poder deter-minar cuánto cambia eso que cambia hayque hacer comparaciones y operacionesde resta entre estados finales e iniciales,tanto para la variable dependiente comopara la independiente, atendiendo a lacorrelación entre esos cambios. Parasaber cómo cambian las variables repre-sentadas, es preciso determinar si la grá-fica crece, decrece o se mantiene cons-tante; en suma, la dirección del cambio.Para determinar la rapidez del cambio serequiere emplear la razón promedio decambio, que involucra necesariamentecambios de la variable dependiente enrelación con los de la variable indepen-diente. El comportamiento global y preci-so de la gráfica implica el uso de la razónde cambio instantánea (derivada) paraprecisar en qué intervalos crece o decre-ce, en qué puntos tiene máximos, míni-mos o puntos de inflexión. Resulta claroque esta última no es tema de tratamien-to en primaria y secundaria, pues se re-serva para el bachillerato y la universidad.

4. ELEMENTOS METODOLÓGICOS

4.1. Características metodológicasde la investigación

El presente trabajo tiene naturaleza cua-litativa y carácter descriptivo, en el senti-do indicado por Hernández et al. (2003) yPérez (1998). Su propósito es recoger in-formación acerca de las interpretacionesque los estudiantes hacen de las gráfi-cas socialmente compartidas. La recolec-ción de los datos fue mayoritariamenteverbal, pues las interpretaciones fueronsolicitadas y emitidas verbalmente; dichainformación se grabó en audio y video.

4.2. Estudiantes participantes

En la investigación participaron dos tiposde estudiantes: unos cursaban la prima-ria y otros la secundaria. Los de primaria,que estaban en la parte final del sextogrado, eran Amalia, Alfaro, Carmen, An-drés, Alondra, Luís y Daniel, mientras quelos de secundaria eran Jazmín, Bernar-do, Reina, Óscar e Irving, que iban en eltercer grado de este nivel. Los alumnos,considerados por sus profesores como derendimiento aceptable, fueron selecciona-dos de dos escuelas primarias y dos se-cundarias ubicadas en la ciudad capitaldel estado de Guerrero, en el sur de Méxi-co. La edad de los estudiantes de prima-ria oscilaba entre los 11 y 13 años; la delos de secundaria, entre 15 y 16 años.

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Los estudios primarios en México se ci-ñen al currículo plasmado en el Plan yProgramas de Estudio 1993 (SEP3,1993a), articulándose con base en seisejes: 1) Los números, sus relaciones ysus operaciones; 2) Medición; 3) Geo-metría; 4) Procesos de cambio; 5) Trata-miento de la información y 6), La predic-ción y el azar. La temática asociada alpresente trabajo está más ligada a dosejes temáticos: procesos de cambio ytratamiento de la información.

El eje Procesos de cambio, que iniciasu tratamiento a partir del cuarto año,abarca la lectura, elaboración y análisisde tablas y gráficas donde se registran yanalizan procesos de variación. El eje Tra-tamiento de la información contempla elanálisis de la información estadística sim-ple, presentada no sólo en forma de grá-ficas o tablas, sino también en el con-texto de documentos, propagandas,imágenes u otros textos particulares. Enlos estudios de secundaria, la lectura einterpretación de gráficas atañen al ejetemático Presentación y tratamiento dela información; a este respecto, el Plany Programa de Estudios (SEP, 1993b)sugiere proponer a los alumnos situacio-nes y actividades muy diversas para queconozcan y se acostumbren gradualmen-te a la noción de función como una rela-ción entre dos cantidades, al igual que alas diferentes formas de presentar unafunción. En segundo grado de secunda-ria se insiste en la lectura y elaboraciónde tablas y gráficas.

El currículo reseñado para la primaria ysecundaria mexicanas es aplicable a to-das las escuelas de esos niveles, sobretodo las públicas. Por tanto, los estudiosque realizan los participantes en esta in-

vestigación se rigen bajo estas orienta-ciones, y el asunto de la construcción degráficas y su lectura correspondiente noes un tema nuevo para ellos, pues vienencontemplados en los planes y programasde la SEP.

Los estudiantes participantes no fueronprevenidos sobre la lectura de las gráfi-cas. Utilizaban libros de texto distintos,según la secundaria a la que asistían, peroestaban apegados a la curricula de la es-cuela pública, y todos fueron filmados in-dividualmente por el investigador.

4.3. Instrumentos

Los instrumentos utilizados en la investi-gación fueron de dos tipos: mayoritaria-mente, gráficas que se comparten social-mente en ambientes extraescolares, y unaque se comparte en los grupos escolaresde los niveles medio y superior. El propó-sito fue estudiar cómo los alumnos inter-pretan gráficas libremente compartidas, encomparación con la lectura e interpreta-ción de gráficas que suelen ser comparti-das en los grupos escolares de los nive-les medio y superior.

Para seleccionar las gráficas socialmen-te compartidas, se procedió de la siguien-te manera. En primer lugar, fueron recopi-ladas cerca de 30 gráficas de revistas,periódicos, libros y páginas de internet.Se hizo una primera depuración, en la quequedaron alrededor de 15 gráficas, que seeligieron de manera que fuera factible sulectura e interpretación en tiempos razo-nables y no implicaran un trabajo conti-nuo mayor a 30 minutos. La depuraciónllegó hasta cuatro gráficas, donde la decorte intramatemático, que se comparte


3 Secretaría de Educación Pública

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en los grupos escolares del nivel medio,fue seleccionada de los textos de mate-máticas utilizados en ese nivel.

Una vez seleccionadas y depuradas to-das estas gráficas, se sometieron a lec-turas previas a la lectura final. Las lectu-ras previas fueron practicadas en dosocasiones e involucraron a estudiantesajenos a la investigación, con el fin detener validez y confiabilidad en los instru-mentos a utilizar, observando qué gráfi-cas eran más inteligibles y si permitíanobtener información sobre su lectura einterpretación.

A continuación se describen cada una delas gráficas, en las que consignamosnuestras propias interpretaciones al ex-traer la información en ellas implícita. Noson descripciones minuciosas ni detalla-das, pero tratan de centrar la atención enlo esencial de la información.

4 Fuente: Instituto Nacional de Geografía, Estadística e Informática (INEGI). Series históricas en gráficasobtenida de (http://www.inegi.gob.mx/est/default.asp?c=985).

Gráfica 1. Porcentaje de la población hablante de lengua indígena entre 1895 y 19954

La Gráfica 1 contiene información sobreel porcentaje de la población hablante delengua indígena entre los 1895 y 1995.Las variables que intervienen son la can-tidad de hablantes de lengua indígena,medida en porcentaje, y el tiempo, medi-do en años. En términos globales, la grá-fica muestra el comportamiento de la po-blación hablante de lengua indígena enun periodo de 100 años (1895-1995), enel que ha experimentado altas y bajas,prevaleciendo estas últimas.

La gráfica inicia en 1895 con un 16.2% ytiene una tendencia descendente hasta1910, de modo que en tal lapso descen-dió 3.3%, para colocarse en 12.9%. Tie-ne un crecimiento muy notorio de 1910 a1921; durante esos 11 años crece un 16%,por lo que en 1921 había más del doblede hablantes de lengua indígena que en1910. Pero se nota un descenso drásticoentre 1921 a 1930, etapa en la que des-

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ciende 19.5 puntos porcentuales, de ma-nera que la población hablante delengua indígena se redujo en 1930 acasi un tercio de la existente en 1921.La rapidez con la que decreció estetipo de población en el último intervalofue mayor que con la que creció de 1910a 1921. En el periodo restante el de-crecimiento es predominante, a pesarde experimentar un ligero crecimientode 1960 a 1970. De 1980 en adelante,la población hablante de una lengua indí-gena volvió a decrecer: de 1980 a 1990disminuyó 1.6%; de 1990 a 1995 tuvo undescenso de 0.5. En términos globales,la población mexicana hablante de len-gua indígena decreció 9.3% de 1895 a1995. Por lo que se puede apreciar, latendencia al descenso de la poblaciónhablante de lengua indígena es predomi-

5 Fuente: Instituto Nacional de Geografía, Estadística e Informática (INEGI). Series históricas en gráficasobtenida de (http://www.inegi.gob.mx/est/default.asp?c=985).

Gráfica 2. Estructura de la población mexicana en el año de 19955

nante en los 100 últimos años; si se man-tiene, nuestras lenguas indígenas podríandesaparecer.

La Gráfica 2 es una gráfica en forma depirámide que contiene información sobrela estructura de la población mexicana enel año de 1995. La población mexicanaestá clasificada en porcentajes y sus co-rrespondientes grupos de edades. Pudie-ra decirse que las variables presentes sonla cantidad de población (dada en porcen-tajes), las edades de esa población (dadapor grupos de edades de cuatro en cua-tro años) y el sexo de esa población. Esuna gráfica sui generis que maneja nú-meros positivos tanto a la derecha comoa la izquierda del cero, pues se trata derepresentar población existente.


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Al hacer una revisión global de estagráfica, se deduce que la población mexi-cana estaba estructurada en 1995 mayo-ritariamente por gente joven; hay una li-gera mayoría de hombres que de mujeres,aunque en ambos sexos no excede del

6%. Por gente joven nos referimos a aque-lla cuyas edades están comprendidasentre 0 y 24 años; en tal intervalo, la dis-minución de la población es casi imper-ceptible. A partir de esta última edad, losporcentajes de mujeres y de hombres em-

piezan a disminuir de manera más visi-ble. En particular, cuando se pasa del in-tervalo 20-24 al 25-29 se percibe una no-toria disminución de la población: esmayor en los hombres, con más de unpunto porcentual, mientras que en el casode las mujeres casi llega a un punto por-centual. Otra disminución sucede en elpaso del intervalo de los 35-39 al de 40-44, que está próxima al punto porcentualy se acentúa nuevamente en los hombres.Los datos significan que las edades demayor disminución en la población estáncentradas alrededor de los 25 y 40 añosde edad. Nótese que la población entre45 y 49, tanto en hombres como en mu-jeres, formaba el 2% de la población; des-pués sigue disminuyendo, de ahí que en

Gráfica 3. Egresados de la UNAM6

EGRESADOS DE LA UNAM

6 Fuente: Diario Reforma, publicada el 10 de mayo de 2005. 7 Universidad Autónoma de México.

el intervalo de 60-64 llega al 1%. La po-blación sigue disminuyendo en los res-tantes intervalos: las personas entre 70 y74 años forman aproximadamente el 0.5%de la población.

La Gráfica 3 contiene información sobreel número de egresados de la UNAM7; lasvariables representadas son el número deegresados y la generación a la que co-rresponden. Los egresados, a su vez, sonclasificados en dos categorías, los de ba-chillerato y los de licenciatura: el númerode egresados de licenciatura correspon-de a la línea café; el de bachillerato, a lalínea naranja. Al analizar globalmente elcomportamiento de los egresados de ba-chillerato, se puede apreciar que su com-

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portamiento es irregular, tiene intervalosde crecimiento y de decrecimiento. El nú-mero de egresados de este nivel crecióde 20 mil 598 en 1980 a 22 mil 848 en2003; esos datos indican que en un pe-riodo de 23 años el número de egresados

no ha superado ni el 1% de los que habíainicialmente. Los crecimientos más no-torios se dan en los periodos 1987-1988y de 1999 al 2002. El descenso más no-torio sucede de 1996 a 1999.

Un análisis global sobre el comportamien-to de la gráfica de los egresados de licen-ciatura permite apreciar que es una gráfi-ca de comportamiento irregular. El númerode egresados de este nivel creció de 12mil 347 en 1980 a 27 mil 470 en 2003, locual señala que en un periodo de 23 añosel número de egresados superó el do-ble de los que había inicialmente. Los au-mentos más notorios se dan en los perio-dos de 1990 a 1991, de 1993 a 1996 y de1999 a 2002, mientras que los descen-sos más importantes suceden de 1991 a1993 y de 1998 a 1999. Al comparar lasdos gráficas, se nota que la cantidad deegresados de licenciatura es siempremenor a la de los egresados del bachillerato, a excepción de los periodos de 1990a 1991 y de 1994 a 1999. Incluso se com-portan de la misma manera y tienen losmismos valores en el lapso de 1999 a

TIPO DE CAMBIO REAL (PESOS POR DÓLAR)

Gráfica 4. Tipo de cambio real de pesos por dólar8

8Fuente: Diario El financiero. Publicada el 10 de mayo de 2005.

2002. Esta información refuerza la ideade que, en los niveles superiores, losegresados son menos que los deeducación media superior del país.

La Gráfica 4 muestra información sobreel tipo de cambio real del peso con res-pecto al dólar. Las variables representa-das son el tipo de cambio y el tiempo,comprendido entre los años 1970 y 2005.La constante es la cantidad de dólares,pues durante todo el proceso la relaciónde cambio está hecha siempre con res-pecto a un dólar. En términos generales,la gráfica indica que el comportamientode la cantidad de pesos por dólar ha dis-minuido, de 11.90 en 1970 a 10.90 en2005. Asimismo, que en un periodo de35 años (1970 a 2005) ha habido gran-des devaluaciones para el peso respectoal dólar; las más notorias ocurrieron en


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los periodos de 1976 a 1977, de 1982 a1983, de 1985 a 1987 y de 1994 a 1995.Al comparar los diferentes periodos seobserva que el peso no ha tenido estabili-dad; sin embargo, en los últimos 10 añosuna recta descendente marca la tenden-cia que podría seguir el comportamientodel tipo de cambio de nuestra moneda fren-te al dólar, apuntando hacia la franja 10 u11 pesos por dólar.

Es notorio que las grandes devaluacionesde nuestra moneda están representadaspor los crecimientos drásticos ocurrido enlos periodos ya señalados; análogamen-te, las recuperaciones de nuestra mone-da están indicadas por los decrecimien-tos, menos drásticos que aquéllos. Eldibujo contiene tres gráficas: una puntea-da, que indica los promedios del tipo decambio; una con doble línea, que repre-senta el tipo de cambio real, y una conti-nua de mayor grosor que la primera, lacual marca la tendencia del tipo decambio, a partir de marzo de 1990 en ade-lante.

La Gráfica 5 es una gráfica de corte intra-matemático, compartida socialmente enlas clases de matemáticas a partir del úl-

Gráfica 5. Sin nombre

timo grado de la escuela secundaria, con-tinuando en el bachillerato y el nivelsuperior. Las variables representadasson x y f(x). En el intervalo -4 < x < -1.2,la gráfica es decreciente; en el interva-lo -1.2 < x < -2 la gráfica es creciente,y decrece nuevamente en el intervalo2 < x < 6. La gráfica tiene un punto máxi-mo en (2, 28), uno mínimo en (-1.2, -12) yuno de inflexión en el origen. En términosglobales, la gráfica tiene un comportamien-to sinusoidal y representa una función con-tinua.

4.4. Aplicación de los instrumentos deexploración y análisis de los resulta-dos

A los estudiantes se les proporcionaronpor separado las cinco gráficas, en elorden que las describimos. Cada unafue impresa en hojas tamaño carta, acolores, para mejorar la claridad y dis-tinción de los rasgos esenciales, y ana-lizada individualmente, siguiendo la ins-trucción del entrevistador: analizacuidadosamente esta gráfica y describeverbalmente qué información te pro-porciona.

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No se indujo a los estudiantes a que cen-traran su atención en algún aspecto, puesse trataba de utilizar la observaciónno-participativa, donde el investigador ob-serva y toma datos. Tampoco influimos ensus acciones porque deseábamos obte-ner sus propias lecturas, libres de lavisión del profesor o del entrevistador. Pro-curamos hacerlo así porque estábamosinteresados en darle énfasis a lo que losestudiantes sabían o entendían, no en loque no conocían. Con ello dirigimos nues-tra investigación a ver los procesos de in-terpretación o lectura de gráficas desdeel punto de vista de los estudiantes, to-mando en cuenta sus auténticos conoci-mientos o significados.

El grupo de las cinco gráficas fueron ana-lizadas aproximadamente en 25 minutospor cada estudiante. Sus lecturas e inter-pretaciones se registraron por separado eindividualmente, tanto en audio como envídeo. Las actividades de lectura e inter-pretación se realizaron fuera del esce-nario escolar propio de los estudian-tes, ajenos a sus profesores y al contratodidáctico impuesto por ellos. Los aplica-dores y analistas de los datos fueron lospropios investigadores, en tanto que losresultados y el trabajo en su conjunto seexpusieron en al menos en tres semina-rios donde participaron especialistas enmatemática educativa. En dichos semi-narios se hicieron observaciones y suge-rencias que se tomaron en cuenta para elperfeccionamiento del trabajo y el reportede los resultados.

Como la investigación tenía corte cualita-tivo y fines exploratorios, el análisis de losresultados también fue de carácter cuali-tativo, pues nos interesaba obtener de losestudiantes sus lecturas e interpretacio-nes de las gráficas socialmente compar-

tidas. El proceso de análisis se efectuóde la siguiente forma:

a. Se captaron todas las lecturas e in-terpretaciones de los alumnos en au-dio y vídeo.

b. Se elaboró una matriz de datos, don-de se almacenaron las lecturas e in-terpretaciones hechas por los estudian-tes, gráfica por gráfica.

c. Se hizo un análisis, primero individual,después por gráfica, y luego uno glo-bal.

El análisis se llevó a cabo con base enlas acciones que presentamos en el apar-tado 3 de este documento: ¿qué cambia?,¿cuánto cambia?, ¿cómo cambia?, ¿quétan rápido cambia? y ¿cómo se compor-ta globalmente la gráfica? Además, se ex-ploró el sentido y significado de los con-ceptos y propiedades de las gráficas, asícomo las inconsistencias o errores exte-riorizados por los estudiantes.

Para las gráficas socialmente comparti-das, el sentido y significado va más alláde lo estrictamente matemático. Las va-riables no son abstractas, tienen nombresconcretos y sus significados están aso-ciados al tipo de fenómenos particularesque representan; incluso el sentido y sig-nificado que se les atribuye en estos con-textos requiere de socializar y compartirlos significados de los campos profesio-nales a los que pertenecen. Por ejemplo,cuando se muestra la gráfica del tipo decambio real surge inevitablemente la pre-gunta: ¿qué es el tipo de cambio real? Obien, cuando nos muestran una gráficaalusiva al PIB de los países subdesarro-llados, es razonable preguntarse ¿qué sig-nifica PIB? o ¿qué significa ser un paíssubdesarrollado?


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Las respuestas a estas preguntas tras-cienden el ámbito escolar y conducen aespacios de profesionalización particula-res; sin embargo, es pertinente conocer-los o compartirlos socialmente si se quie-re tener una interpretación o lecturaadecuada. Los temas socialmente com-partidos en las gráficas utilizan concep-tos cuyos significados son ampliamentedifundidos, pues hablan de la poblaciónhablante de lengua indígena, la estructu-ra de la población mexicana en un añodeterminado, la cantidad de egresados dela UNAM, el tipo de cambio real del pesorespecto del dólar y una que emplea lasvariables abstractas x, f(x). El sentido ysignificado atribuidos por los estudiantesa las variables concretas y su comporta-miento fueron también considerados en elanálisis de sus lecturas e interpretacio-nes.

5. LECTURAS E INTERPRETACIONESEXPRESADAS. EL CASO DE LOS

ESTUDIANTES DE PRIMARIA

Gráfica 1. Porcentaje de la poblaciónhablante de lengua indígena entre1895 y 1995.

En cuanto a la acción ¿qué cambia?, cin-co de los siete estudiantes dan muestrasde que identifican y utilizan las variablesrepresentadas, seguramente inducidos porel título y los letreros que etiquetaron alos ejes x, y.

Amalia y Andrés centran su atención enlos datos máximos y mínimos, al decir:en el año 1921 se habló mayor lengua in-dígena, con 128.9; el año que menos sehabló lengua indígena fue en 1960, con3.8%; el porcentaje más alto fue en 1921y el más bajo en 1960. Hubo otra época

muy alta en 1895 y otra muy baja en 1950,en que los índices no han sido parejos.Alondra se dedica a leer la gráfica datopor dato: aquí, en la información que seme proporciona viene el porcentaje. Losaños son de 1895 a 1995: en 1985 la len-gua indígena se hablaba un 16.2% y en1900 era de 15.3; en 1910 hablaban 12.9;en 1921, un 28.9; en 1930, un 8.4 y asísucesivamente; nada dice sobre el com-portamiento de los datos, sólo lee uno poruno.

Alfaro, Carmen y Daniel hacen lecturasde los datos, mencionan los máximos ymínimos, pero también establecen com-paraciones entre los datos, lo cual hacepensar que realizaron estimaciones visua-les de los cambios: El porcentaje de lapoblación que habla lengua indígena de1895 a lo que sería un siglo parece que lapoblación indígena aumentó más de 1910a 1921 y la mayor descendencia fue des-de 1950 a 1960, en esa década bajó mu-cho la población hablante indígena enesos 100 años; que aumentó entre 1921y 1985 y ya después de 1921 disminuyó a1960; aquí esta gráfica me indica que en1895 casi 16.2% de la gente hablaba enlengua indígena y en 1900 el 15% y así sesigue… La más grande es de 1921, don-de el 28.9% de la gente hablaba lenguaindígena… igual puede aumentar o dis-minuir.

Las comparaciones que hacen estos es-tudiantes son sólo cualitativas, ya que nodan muestras de hacer restas para sabercuánto aumentó o disminuyó la poblaciónhablante de lengua indígena. Se nota queal menos uno de ellos centra su atenciónen la disminución más drástica de la va-riable representada en la gráfica. Hay ma-nifestaciones explícitas sobre la acciónderivada de la pregunta ¿cómo cambia?,pues los estudiantes mencionan que la

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variable población hablante de lengua in-dígena aumentó o disminuyó en determi-nados años. No hubo expresiones que in-dicaran la utilización de la idea de rapidezcambio de la variable representada.

Gráfica 2. Estructura de la poblaciónmexicana en el año de 1995

De acuerdo con lo expresado por los es-tudiantes, identifican qué es lo que cam-bia en esta gráfica, seguramente induci-dos por el encabezado. Amalia y Andréscentran su atención en los datos mássobresalientes, que obtienen comparan-do con otros datos, pero no se nota ensus expresiones que hayan calculadocuánto cambió la variable en determina-dos intervalos: La mayor población dehombres y mujeres es de 5 a 9 años, osea que hay más jóvenes que señoresgrandes porque ya baja mucho de 55 a59, hay más de 20 para abajo en hom-bres y mujeres; esta es la estructura dela población mexicana en el año de 1995,por lógica hay menos gente cuya edad esde 85 años o más.... Son muy parejoslos índices entre los 10 y 14 años; en lasmujeres varía un poco, pero sigue siendomuy parejo, lo cual también me demues-tra que en esa época había más hom-bres que mujeres en México.

Al leer la gráfica, Luis sólo dice el datomás alto relativo a la edad: Hasta qué edadpueden llegar… la mujer puede llegar has-ta 85. Alfaro y Alondra se concretan adescribir las variables representadas: Estoquiere decir qué porcentaje de la pobla-ción pertenece a cada rango de edad ylos están separando además por sexo;aquí lo que me muestra es del año de1995 y acá son las edades de las perso-nas... Lo que entiendo es que en estosaños vivían más. Daniel lee algunos da-tos, empezando por el primero (de abajo

hacia arriba), y menciona la tendencia ha-cia la disminución: Aquí dice que el 6%de hombres en 4 años es el 6%, hastalos 10 y 14 años tienen 15, y a los 19años van disminuyendo. Por ejemplo, aquínace la gente y aquí muere, igual con lasmujeres. La lectura que Carmen hace essólo que los hombres tienen menos eda-des que las mujeres.

Como puede apreciarse, algunos estudian-tes hablan de que la población va dismi-nuyendo al señalar la tendencia que si-gue a medida que su edad avanza, masno manifestaron acciones de cuantifica-ción sobre los cambios. La acción aso-ciada a la pregunta ¿cuánto cambia? enesta gráfica se sigue omitiendo; en cam-bio, sí expresan palabras que indicancómo cambia la variable.

Gráfica 3. Egresados de la UNAM

Cinco estudiantes identifican y utilizan lasvariables representadas. Amalia y Danielleen algunos puntos: la primera lee los dospuntos iniciales de cada gráfica y el se-gundo sólo el punto inicial. En la licencia-tura en el 1980 salieron 12 mil 347 y delbachillerato 20 mil 598, en el 82 más omenos como 13 mil de licenciatura, y enel 2003 hubo 27 mil 470; de bachillerato,en el 2003 hubo 22 mil 848, en el 2000casi fue el mismo número los que salie-ron de licenciatura y bachillerato; acá enla generación 80 había 12 mil egresadosde licenciatura.

Alfaro, Carmen y Daniel parecen no per-catarse de que la variable que se repre-senta es el número de egresados, pues alreferirse a ella utilizan el término alumnos.Alfaro hace una lectura global: Esta gráfi-ca nos menciona el número de alumnosque estudian en bachillerato y licenciatu-ra y que también son egresados a la


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UNAM, pues están distribuidos por unapoligonal y parece que han ido descen-diendo a través de los años, pero se hanmantenido parejas del 80 al 88 y del 92 al93. En cambio, Andrés hace una lecturaglobal de la gráfica de egresados del ba-chillerato, señalando que fue muy esta-ble y resalta el hecho de que en 1999volvió a bajar; en cambio, acerca de lagráfica de la licenciatura apunta que noes nada estable, subía y bajaba y resal-ta los descensos más grandes en 1993,1999 y 2003. Por su parte, Luís sólo dijouna frase: los promedios. Nuevamente,en esta gráfica la mayor parte de los es-tudiantes identifican lo que cambia, noofrecieron lecturas que indicaran algúncálculo de cuánto cambió la variable, mashicieron caracterizaciones de cómo cam-bia la variable: dicen que desciende, sube,baja o es estable.

Gráfica 4. Tipo de cambio real de pe-sos por dólar

Varios estudiantes identifican lo que cam-bia y leen varios puntos representados enesta gráfica. Amalia, Alfaro, Carmen yAndrés, además de leer algunos puntos,enfocan su atención en los puntos máxi-mos o mínimos y hacen comparaciones,lo cual nos induce a pensar que hicieronestimaciones visuales sobre cuánto cam-bia el valor del peso en dólares: En el año76 ya bajó mucho más, en 83 subió másque en el año 77 y subió muchísimo másen 88 que en todos los años; descendiómucho en los años 70, pero aparentemen-te se recuperó en 78; recibió más en 96;aumentó más en 1988 y 2004 y sucesi-vamente fue disminuyendo a como anteslo pagaban.

Andrés denomina los intervalos donde lagráfica crece como momentos muy esta-

bles para el peso: del 86 al 88 hubo unmomento muy estable para el peso y tam-bién en el 94 y en el 96, pero hasta lafecha, según lo que me marca aquí, creoque es el 2004, está muy bajo. Alondrasolamente se dedica a leer los letrerosque aparecen en la gráfica y Daniel diceque aquí el dólar diminuye y aumenta, dis-minuye y aumenta.

Las interpretaciones muestran que los es-tudiantes identifican lo que cambia. Paraesta gráfica siguen apareciendo expresio-nes relativas a la acción cómo cambia esoque cambia, pues afirman bajó muchomás, subió más que. Eso indica compa-raciones entre los ascensos y descensos,lo cual da una idea de que estimaron tam-bién cuánto aumenta la cantidad de pe-sos que se pagan por dólar. No se obser-varon indicios de que hayan efectuadorestas para saber cuánto cambia, muchomenos expresiones que aludieran a la ra-pidez de cambio o a la razón promedio decambio.

Gráfica 5. Sin nombre (gráfica de f(x))

Al interpretar esta gráfica, la mayoría delos estudiantes dicen no entiendo, peroalgunos intentan dar alguna explicación.Parecen no darle sentido a las letras x yf(x); sin embargo, algunos les dan un sig-nificado concreto: me imagino que es lapoblación que ha estudiado, es como eldinero… te lo gastas, trabajas… y te lovuelves a gastar. Amalia dice no entiendoqué es f(x), no tiene la información, sólovienen algunos números, números menosy de más; es como una gráfica, pero decruz, tiene que ser por ejemplo 40-2 y 10entre uno y dos menos. Alfaro dice: noestoy seguro, pero menciona cuántaspersonas o qué parte de la población haestudiado en los últimos años; aquí es la

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universidad y aquí me parece que es an-tes de la universidad.

Carmen, Alondra y Luís sólo dicen: no en-tiendo. Andrés expresa: no le entendí muybien debido a que no me dice de qué ha-bla… la verdad está más difícil, pero sisé que subió y bajó, volvió a bajar, perola verdad que no identifiqué de qué trata.Daniel señala: está en el 40% más omenos y disminuye hasta el 10 y luegoaumenta otra vez y vuelve a disminuir. Esasí como del dinero… tú tienes dinero, telo gasta, trabajas, te pagan y tienes másdinero y luego te lo vuelves a gastar y así.En las lecturas se aprecia que para losestudiantes x y f(x) no tienen un signifi-cado de variables abstractas, ya que re-lacionan con alguna variable concreta queconocen. También expresan cualidadesde comportamiento sobre la gráfica queindican cómo cambia: subió y bajó, vol-vió a bajar, aumenta otra vez y vuelve adisminuir.

6. LECTURAS E INTERPRETACIONESEXPRESADAS. EL CASO DE LOSESTUDIANTES DE SECUNDARIA

Gráfica 1. Porcentaje de la poblaciónhablante de lengua indígena entre1895 y 1995

Todos los estudiantes de secundaria queparticiparon en la investigación dieronmuestras de apreciar qué era lo que cam-biaba: el porcentaje de la población ha-blante de lengua indígena. Jazmín y Ber-nardo hacen lecturas dato por dato,realizan algunas comparaciones y men-cionan cómo cambia la variable: Aquí nosdice los porcentajes y los años que tiene.Es un porcentaje de la población hablan-

te de lengua indígena que nos marca de1895 a 1995, nos dice que en 1895 hayun porcentaje de 16.2 que habla la len-gua indígena; en 1900 hay el 15.3 quehabla la lengua indígena, y en 1910 hay12.9… en 1960 bajó un poco, al 3.8; en1970 es el 7.8, en 1980 el 9%, en 1990el 7.4 y en 1995 el 6.9; como podemosver, en 1895 tiene aproximadamente16.2%, también en 1990 bajó un poco,15.3%; también en los diferentes añosque corresponden hasta el año de 1995.Como podemos ver, hay una reducciónen el porcentaje.

Reina e Irving efectúan lecturas globales,mencionando inclusive cómo cambia lavariable: Es una información sobre el au-mento y disminución de las lenguas indí-genas. La primera gráfica es una infor-mación sobre el aumento y la disminuciónde las lenguas indígenas, muestra el por-centaje de la población que habla len-gua indígena que ha disminuido del año85 al 95. Sólo Óscar centra su atenciónen el dato más alto y el más bajo; ade-más, emite caracterizaciones de cómocambia la variable: En el año de 1921había más porcentaje de población quehablaba la lengua indígena que fue ba-jando; en 1960 estaba en 3.8, de ahí su-bió poquito y en 1995 ya había un 6.9%;ahorita ya es más poca la gente que ha-bla de ese tipo de lengua.

Las lecturas hechas por estos estudian-tes indican que detectan lo que cambia(la variable). Son visibles las lecturas dedato por dato y en todas es notoria lacaracterización de cómo cambia la va-riable: bajó un poco, aumento y disminu-ción; en 1960 estaba en 3.8 y subió po-quito en 1995, ya que había 6.9. No seexternaron cuantificaciones del cambio,ni caracterizaciones relativas a la rapi-dez de la variación o a la razón de cam-bio promedio.


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Gráfica 2. Estructura de la poblaciónmexicana en el año de 1995

Jazmín y Bernardo expresan que se tratade una gráfica que muestra la estructurade la población mexicana en 1995, segu-ramente inducidos por el encabezado dela gráfica. Jazmín lee los intervalos de losporcentajes de hombres y mujeres dederecha a izquierda, algunos datos y ha-bla sobre la disminución entre ellos: Ha-brá un 5 de las mujeres y así sucesiva-mente nos va diciendo de las demásedades, y claro en la de 85 y más ya casino hay porque casi no todas las perso-nas llegan a esas edades.

Bernardo, Reyna e Irving hacen lecturasglobales sucintas. Bernardo compara por-centajes de hombres y mujeres, y diceque el porcentaje de mujeres es un pocomás alto que el de los hombres. Óscar eIrving centran su atención en los datoscon valores más pequeños: El grupo deedades en 1995 de 85 años para arribacasi no había o había pocos, y de loshombres había más; muestra el índicede vida en porcentajes. Por ejemplo, de85 en adelante se ve que hay poca gen-te. Para esta gráfica, los estudiantes con-sideran que lo que cambia es el porcen-taje de la población y sus edades, leenalgunos datos y hacen algunas compa-raciones entre ellos, refieren tendenciasindicativas de cómo cambian las varia-bles, aduciendo que hay pocas personasde más edad. No se expresaron cuantifi-caciones de la variación ni de razones decambio.

Gráfica 3. Egresados de la UNAM

La mayoría de los estudiantes sólo leenlos datos iniciales y finales, ya que estándados en las gráficas de manera explíci-ta. Todos se dan cuenta muy bien qué es

lo que cambia (variables), de acuerdo conlo representado en la gráfica. Reina, Ós-car e Irving hacen lecturas globales muycortas: De alumnos que egresan del ba-chillerato y el aumento y disminución dealumnos y el año de egreso; el número dealumnos es muy alto que tiene la UNAM,los de bachillerato apenas alcanzaron un20 mil 598 alumnos y los de la licenciatu-ra fueron 27 mil 470, también la licencia-tura es un poco más importante que elbachillerato y por eso es que es el mayornúmero de alumnos; muestra los egresa-dos de la UNAM y se indica que se hanelevado mucho.

De las lecturas se nota que los estudian-tes saben qué es lo que cambia. Nueva-mente leen algunos datos, expresan ca-racterizaciones sobre cómo cambia lavariable (aumento o disminución), pero noformularon cálculos que nos hicieran pen-sar en la medición de los cambios ni en larapidez de la variación.

Gráfica 4. Tipo de cambio real de pe-sos por dólar

Cuatro estudiantes señalan las variablesque están representadas en la gráfica: eltipo de cambio real y pesos por dólar. Jaz-mín, Bernardo y Óscar presentan lectu-ras de algunos puntos específicos de lagráfica. Solamente Bernardo refiere la de-preciación y las bajas del número de pe-sos por dólar: aquí podemos ver la depre-ciación cuando sube mucho el costo.Reina expresa una lectura global muycorta, al afirmar que se trata del aumentoy disminución el dólar en pesos; Irving diceque habla de peso en dólar, que se notaque ha disminuido. De hecho, los estu-diantes presentaron lecturas muy cortassobre esta gráfica, identifican qué es loque cambia y externan algunas cualida-des del comportamiento de la variable.

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Gráfica 5. Sin nombre (gráfica de f(x))

La mayoría de los estudiantes no le dioel sentido de variable a la x o f(x). Algu-no la relacionó con variables concretasque conocía; otros emitieron caracteri-zaciones del comportamiento: bajó ysubió. Jazmín afirmó: no tiene datos quedebiera llevar arriba y abajo, pero nosdice que aquí hay una x. Bueno, es comoun plano, pero no nos muestra una tablade datos… lo que le faltaría a esta gráfi-ca es la tabla de datos como las anterio-res para saber qué es lo que nos estádiciendo. Cuatro de los estudiantes dije-ron: no sé o no le entiendo. Óscar ade-más de indicar no le entendí, agrega: escomo si fuera una tabla de dólar que tam-bién bajó y subió y otra vez descendió,bajó mucho en este tiempo. Irving tam-bién dijo no le entiendo porque no mues-tra algún título o encabezado.

7. RESULTADOS GLOBALES

Los hallazgos obtenidos en el presenteestudio indican que no se detecta tabularasa en la lectura e interpretación de grá-ficas socialmente compartidas, ya quelos estudiantes centran su atención enaspectos diferentes; no obstante, perci-bimos ciertas preferencias y proclivida-des.

Cuando lo que cambia está expresadoen términos de variables concretas –porejemplo, la población hablante de lenguaindígena, los grupos cambiantes de eda-des de la población, los egresados, etc.–la mayor parte de los estudiantes no tie-nen problemas en identificarlas, inclusoen usarlas para sus descripciones; sinembargo, notamos interpretaciones erró-neas en algunos estudiantes acerca dequé variables son las que están repre-

sentadas en las gráficas, cuestiones queabordaremos más adelante. Ahora bien,cuando a los estudiantes se les muestrauna gráfica cuyos ejes están etiquetadoscon las letras x y f(x) no le dan sentidode variable abstracta, sino la asocian conalguna variable concreta que conocen.

En las lecturas que los alumnos hicieronno encontramos indicios de que utiliza-ran la cuantificación aritmética del cam-bio, ni que correlacionaran los cambiosde una variable con los cambios de la otra,en el sentido que marca el pensamientocovariacional. La acción relativa a la pre-gunta cuánto cambia eso que cambia noapareció en ninguna de las lecturas; sóloen algunos casos hubo comparacionesque sugieren estimaciones visuales deesos cambios. Por ejemplo, para la Gráfi-ca 4 se dijo: en 83 subió más que en elaño 77 y subió muchísimo más en 88 queen todos los años; para la Gráfica 1: lapoblación indígena aumentó más de 1910a 1921 y la mayor descendencia fue des-de 1950 a 1960.

En cambio, aparecieron con mucha fre-cuencia caracterizaciones de la acciónque hemos asociado con la pregunta cómocambia eso que cambia. Fue muy fre-cuente hallar expresiones como aumen-tó, disminuyó, subió, bajó; incluso seemitieron calificativos cuantitativos del tipoaumentó poco, subió muchísimo más. Senota en las lecturas e interpretaciones delos estudiantes la proclividad a leer datopor dato o punto por punto, según se tra-te, como si estuvieran leyendo un párrafoescrito en español cuya lectura inicia deizquierda a derecha. Muy pocos hacencomparaciones y describen sólo compor-tamientos cualitativos; ninguno deduce ocalcula comportamientos cuantitativos de¿cuánto aumentó?, ¿cuánto bajó? Muchomenos percibimos el cálculo de razonesde cambio promedio, a pesar de que en


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el currículo y en los textos usuales de pri-maria y secundaria mexicanas las razo-nes y proporciones son un tema de trata-miento obligatorio.

Varios estudiantes son proclives a leersólo los datos inicial y final, omitiendo losdatos intermedios. Incluso cuando las grá-ficas vienen acompañadas de letreros condatos específicos o palabras específicas,como el caso de la 4, se dedican a leer-las textualmente, aunque no compartano comprendan el significado, por ejemplo,de los términos depreciación o tenden-cias. La gran mayoría de estudiantes hi-cieron caso omiso de la gráfica que indi-ca el promedio del tipo de cambio1970-2005, que está punteada, así comola recta de mayor grosor, que muestra latendencia del tipo de cambio de 1990 a2005.

La mayoría de los estudiantes, en parti-cular los de primaria, prefieren centrar suatención en la lectura de los valores máxi-mos o mínimos, sobre todo en la de laGráfica 1. En el caso de la Gráfica 2, va-rios alumnos hacen notar los datos máspequeños, refiriéndose a la población demás de 85 años: ya casi no hay personasde más de 85 años. En los textos de pri-maria se plantean tareas de reproducciónde construcción de trayectorias, análisisde información, ubicación y desplaza-miento, distribución de puntos (Flores &Cordero, 2005), e incluso en primaria seempieza por estudiar la variación directa-mente proporcional y en secundaria seincorpora la variación inversamente pro-porcional, que implican el estudio de loscambios y las razones entre ellos. Sinembargo, en ninguno de los estudiantesnotamos el uso del cálculo de las diferen-cias para medir los cambios, o de las ra-zones de cambio para analizar la rapidezdel comportamiento de las modificaciones.

En la lectura de aquellas gráficas con-sistentes de curvas o poligonales, los es-tudiantes ofrecen lecturas que denotanprivilegio sobre la trayectoria de la curvaen cuestión. Parecen centrar su atenciónmás en la forma que en el contenido, locual es más notorio en los alumnos deprimaria. En la Gráfica 3 indican siguien-do la trayectoria: la raya amarilla marcasobre el bachillerato y la café sobre lalicenciatura; pues están distribuidas poruna poligonal y parece que han ido des-cendiendo a través de los años. Para laGráfica 4, algunos dicen: el aumento odisminución del dólar en pesos, aquí es-tán los años y aquí lo que aumenta o loque disminuye (señalan la trayectoria).Para la Gráfica 5 afirman: pero sí sé quesubió y bajó, volvió a bajar, está en el40% más o menos y disminuye hasta el10, y luego aumenta otra vez y vuelve adisminuir.

En las gráficas socialmente compartidasgeneralmente no se representan variablesabstractas. Las x y las f(x), comúnmen-te trabajadas durante las clases de ma-temáticas, en estas gráficas tienen nom-bres de variables concretas como eltiempo en años, cantidad de egresados,valor del dólar, población hablante de len-gua indígena, etc. El nombre de las va-riables concretas depende del campo pro-fesional a que correspondan; para el casoque nos ocupa, las gráficas 1, 2 y 3 ata-ñen a estudios poblacionales; en la Grá-fica 4, las variables son del tipo financie-ro, y en la 5 se representan variablesabstractas. Para la lectura e interpreta-ción de este último tipo de gráficas, senecesita dar sentido o significado másamplio y generalizado a las literales; porejemplo, cuando intentaron leer la Gráfi-ca 5, los estudiantes dijeron –principal-mente los de primaria– que no entendíanqué significaba la x porque sentían la ne-

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cesidad de tener enfrente variables con-cretas.

Por otra parte, las gráficas que se com-parten en espacios sociales muy ampliosa través de los medios de comunicacióne información, como los periódicos o in-ternet, suelen ser muy expresivas, sobretodo si para leerlas no requieren de unalto grado de especialización, pues suobjetivo es facilitar la comunicación. Lasgráficas utilizadas en este trabajo conte-nían título, nombres de las variables y al-gunos letreros adicionales. Los estudian-tes, de hecho, leían estos títulos o losletreros, pero manifestaron un escaso do-minio sobre el significado del comporta-miento de las variables. En la Gráfica 4;sólo un estudiante de secundaria empleael término depreciación para indicar cuan-do aumenta mucho el costo. De igualmanera, los alumnos hacen notar losmáximos y mínimos, pero ninguno los re-laciona con las devaluaciones del peso,quizá porque todavía no es parte de suinformación cultural.

La Gráfica 5 es diferente al resto, debidoa que concierne al bachillerato o la uni-versidad; además, no tiene título ni letre-ros sobre qué variables concretas estánallí representadas. En sus lecturas e in-terpretaciones los estudiantes manifies-tan extrañeza; la mayoría dijo no entien-do, e incluso para poderla leer consideranque debiera tener una tabla de datos; ase-guran no entender qué es x y f(x) o quedebiera tener algún encabezado. Quienesdan alguna interpretación dicen que escomo la gráfica del dólar, me imagino quees la población que se ha estudiado; paraayudarse a darle sentido recurren a lasvariables concretas de las gráficas quehabían leído. Esto es consistente con loque señala King (1994): cuando los indi-viduos encuentran nueva información usansu propio conocimiento y experiencia per-

sonal para ayudarse a dar sentido al nue-vo material. Durante el proceso de cons-trucción del significado pueden tener in-terferencias sobre la nueva información,dándole una nueva perspectiva a algúnaspecto de su conocimiento existente yelaboraran el nuevo material por medio deadición de detalles. Así, generan relacio-nes entre el nuevo material y la informa-ción existente en su memoria.

8. INCONSISTENCIAS Y DIFICULTA-DES ENCONTRADAS

A pesar de que el presente estudio no sepropuso la búsqueda de errores o incon-sistencias en las lecturas de las gráficas,no podemos ignorarlos. Son de interésporque los profesores de matemáticas queintentan trabajar con gráficas de contex-tos reales a menudo no consideran lasdificultades que conciernen a la interpre-tación y el significado de los conceptos.Por ejemplo, el trabajo muestra que laproblemática de la depreciación moneta-ria no se puede tomar como un elementode la información cultural de un alumnode educación básica, o al menos de losaquí cuestionados.

Notamos que en varias lecturas se expre-saban frases que no correspondían a lorepresentado en las gráficas. Algunosestudiantes dijeron sobre las variables dela Gráfica 1 que aumentó las lenguas in-dígenas en 1921 a 1985 y que ya des-pués de 1921 disminuyó hasta 1960; esuna información sobre el aumento y dis-minución de las lenguas indígenas. Suslecturas indican que la variable principales el número de lenguas indígenas, enlugar del porcentaje de la población mexi-cana hablante de lengua indígena. Quelos hombres tienen menos edades que


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las mujeres; hasta qué edad pueden lle-gar… la mujer puede llegar hasta 85; porejemplo, aquí nace la gente y aquí mue-re, igual con las mujeres; el aumento depoblación de hombres y mujeres; mues-tra el índice de vida en porcentajes: de85 en adelante se ve que hay poca gen-te. Tales expresiones muestran que in-terpretaron la variable principal de la Grá-fica 2, como las edades de los hombresy las mujeres o el aumento de poblaciónpor sexo.

En relación con la Gráfica 3, hubo frasescomo: Nos menciona el número de alum-nos que estudian en bachillerato y licen-ciatura y que también son egresados; aquíempieza la gente a estudiar y aquí en el2003, como sale cada año; el número dealumnos que tiene la UNAM es muy alto:los de bachillerato apenas alcanzaron 20mil 598 alumnos y los de licenciaturafueron 27 mil 470. Esto evidencia la faltade correspondencia con la variable repre-sentada en la gráfica: número de egresa-dos de licenciatura y bachillerato de laUNAM.

Respecto de la Gráfica 4, algunos dije-ron: Es la cantidad de dólares que secambia por pesos aquí y en el estado;habla del peso en dólar, que se nota queha disminuido. En estas lecturas, sobretodo en la primera, se percibe que los es-tudiantes no repararon que la cantidad dedólares es constante y, en todo caso, locambiante atañe a la cantidad de pesosque se paga por cada dólar.

9. PERSPECTIVA DE FUTURAS INVES-TIGACIONES

El estudio de las gráficas está siendoabordado por diversos grupos de investi-gadores; sin embargo, poco se sabe acer-

ca de cómo viven estos objetos y proce-sos en contextos sociales, tanto dentrocomo fuera del ámbito educativo.

Aunque las gráficas son objetos de ense-ñanza en la escuela, su uso se ha ex-pandido a amplios núcleos sociales. Sonmedios usuales para comunicar informa-ción y validar los argumentos, mientrasque su papel en la escuela ha estado fuer-temente influido por las concepciones yprácticas de los profesores sobre la en-señanza y aprendizaje de las matemá-ticas.

En el terreno de la investigación educati-va se han dado explicaciones ampliassobre el papel de las gráficas en el ámbi-to escolar, mas poco se sabe del quedesempeña en un contexto social fuerade la escuela, sobre todo qué repercusio-nes podría tener el uso social de las grá-ficas en el nuevo diseño curricular. Lanoción de contrato didáctico, elaboradapor Brousseau (1997), impone ciertos com-portamientos que implícitamente compar-ten estudiantes y profesores: si el estu-diante no grafica la función o no resuelvelos problemas con el método enseñadopor su profesor puede que no apruebe lamateria. Sin embargo, el ciudadano co-mún, no el estudiante, como el periodis-ta, el político o el funcionario, cuando leeo interpreta una gráfica, lo hace por moti-vaciones diferentes a las escolares, ycreemos que con estrategias distintas delas aprendidas en las aulas. Sus interac-ciones con el mundo de las gráficas sedan en contextos y situaciones determi-nados por sus intereses o el uso profe-sional.

Compartimos la tesis de que las activida-des matemáticas dependen del contextosocial en el que se abordan, de que lamatemática cobra vida y sentido en con-textos sociales concretos. En esta pers-

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pectiva, indicada por Cantoral (2004) yCantoral & Farfán (2003) interesa, a dife-rencia de otras investigaciones, las for-mas en que las gráficas viven y son mo-vilizadas en las interacciones sociales.Desde este punto de vista no sólo es im-portante que un estudiante construya losconceptos matemáticos, sino tambiénconocer cómo viven los conocimientosconstruidos, cómo son movilizados comoargumentos o cómo se emplean como he-rramienta para intervenir en su entorno.En el trabajo aquí reportado, las tareaspropuestas a los alumnos implicaban quesacaran información sin tener un objetivopráctico particular; quizá los resultadoscambien si las tareas encomendadas

obedecieran a razones prácticas o de ca-rácter utilitario.

La relación entre las gráficas y los estu-diantes en la escuela puede diferir deaquella que se establece entre las gráfi-cas y las comunidades de profesionales,o incluso con la gente común y corriente.En el primer caso, la relación es regidapor el contrato didáctico vigente; en elsegundo predominan las relaciones utili-tarias, prácticas o funcionales. Esta ver-tiente del uso social de las gráficas ennuestro país ha ocurrido bajo el enfo-que socioepistemológico; en tal pers-pectiva se orientan nuestras investiga-ciones futuras.

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95Lectura e interpretación de gráficas socialmente compartidas

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Crisólogo Dolores FloresIthandehuil Cuevas FiscalCentro de Investigación en Matemática EducativaUniversidad Autónoma de GuerreroMéxico

E-mail: [email protected].

lectura e interpretación de gráficas socialmente compartidas · relime vol. 10, núm. 1, marzo,...

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