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Mdulo 3

Unidad 4 y 5

Lectura 3

Otras pruebas de hiptesis

Materia: Herramientas Matemticas V Estadstica II

Profesora: Mgter. Vernica Herrero

Materia:HerramientasMatemticasV(EstadsticaII)Profesora:Mgter.VernicaHerrero|2

Unidad 4: Pruebas para variables categricas

Introduccin Hasta ahora, cuando trabajbamos con datos categricos, nos concentramos en el parmetro proporcin. En muchas ocasiones debemos abordar algunas de las siguientes situaciones:

a) Considerar toda una distribucin de valores de una variable categrica (y no slo una variable dicotmica)

b) Tener en cuenta la distribucin bivariada de dos variables categricas (es decir, analizar las ocurrencias de categoras de ambas dimensiones al mismo tiempo)

Para el primer tipo de situacin desarrollaremos una prueba denominada de bondad de ajuste, que sirve para sacar una conclusin acerca de la distribucin que efectivamente sigue una determinada variable.

El segundo tipo de problema, en el que nos auxiliaremos con tablas de contingencia, es abordado por las pruebas denominadas de independencia.

Ambas pruebas utilizan estadsticos con distribucin chi cuadrado.

Bibliografa Bsica

Para cumplir con los objetivos de la Unidad 4 del programa, es necesario profundizar en los temas desarrollados en el Captulo 15 del texto de Bibliografa Bsica. (Berenson & Levine, 1996), relacionndolos con los comentarios, ejemplos y recomendaciones de las lecturas del mdulo. Note que el tema de prueba de bondad de ajuste no se encuentra en la bibliografa bsica pero s en el programa y en las lectura del mdulo.

Captulos: 15 (Apartado 15.6)


4.1. Prueba de bondad de ajuste

La prueba de bondad de ajuste sirve para determinar si una poblacin tiene una distribucin terica especfica, ya sea una distribucin conocida o una distribucin ad hoc.

La prueba se basa en qu tan buen ajuste o concordancia se tiene entre las frecuencias de ocurrencia de las observaciones en una muestra observada y las frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la distribucin hipottica.

El estadstico de prueba tiene distribucin chi cuadrado con (k-1) grados de libertad, donde k es la cantidad total de valores que tiene la distribucin analizada.

=

=

k

i e

oek f

ff1

22

1)(

En este caso las hiptesis nula y alternativa que se consideran en la prueba de hiptesis son:

Hiptesis nula:

Ho: La variable tiene la distribucin supuesta (en este lugar se especifican los aspectos a probar, ya sea una descripcin de cmo distribuye, o con el nombre de la distribucin conocida y sus parmetros correspondientes)

Hiptesis alternativa:

H1: La variable no sigue la distribucin supuesta

Tabla Chi-cuadrado

Para las pruebas de esta unidad Ud. deber utilizar nuevamente la tabla con la que trabaj en el mdulo anterior para las pruebas sobre la varianza.


En las pruebas chi cuadrado de bondad de ajuste, siempre se coloca el riesgo de no aceptar la hiptesis nula siendo sta cierta (el nivel de significacin, ) en el extremo superior de valores de la distribucin chi cuadrado, como muestra la siguiente figura.

Figura Prueba chi cuadrado de bondad de ajuste-Ubicacin de la zona de rechazo

Fuente: elaboracin propia, con captura de imagen de distribucin chi cuadrado de http://media.photobucket.com/image/distribuci%2525C3%2525B3n%20chi%20cuadrado/BlogAqueronte/Estadistica/Tablas/Ji%20Cuadrado/JiCuadrado.gif

Como puede observarse en el estadstico de prueba, el valor que surja a partir de los datos mustrales ser elevado cuando difieran sistemticamente las frecuencias observadas de las esperadas (que se construyen teniendo en cuenta la distribucin hipottica indicada en la hiptesis nula). Por ello es que valores elevados del estadstico caern en la zona de rechazo.


Veamos una aplicacin completa de esta prueba.

Se supone que el nmero de defectos en un dispositivo para pagos electrnicos sigue una distribucin Poisson.

Toma una muestra aleatoria de 43 dispositivos y se observa el nmero de defectos. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Nmero de defectos

Frecuencia observada

0

25

1

10

2

6

3 ms 2

En primer lugar, explicitaremos las hiptesis de la prueba.

Ho: El nmero de defectos en el dispositivo tiene una distribucin de Poisson.

H1: El nmero de defectos en el dispositivo no tiene una distribucin de Poisson.


Si trabajamos con un =0,05, el valor crtico de chi cuadrado con 3 grados de libertad ser 7,83.

La regla de decisin quedar entonces:

Si el estadstico muestral es inferior a 7,83, no se rechaza Ho.

Si el estadstico muestral es mayor o igual a 7,83, se rechaza Ho.

A los fines de construir la tabla de distribucin terica, o frecuencias esperadas, deberemos estimar en primer lugar el valor de , ya que no nos ha sido proporcionado. Calcularemos entonces, el valor esperado con los datos de la muestra:

432.36.210.125.0 +++=

4328=

65,0=

Podemos utilizar ahora el parmetro estimado =0,65, para calcular con la frmula de la distribucin de Poisson o con la tabla las frecuencias esperadas:

!)(

xexP

x=


Con esta frmula obtuvimos las siguientes probabilidades, que luego aplicaremos al tamao total de la muestra para calcular las frecuencias esperadas.

Defectos

Probabilidad

0

0,52205

1

0,33933

2

0,10519

3 ms 0,03343

Frecuencias esperadas:

Defectos Frecuencia Esperada

0 22,44815

1 14,59119

2 4,52317

3 o ms 1,43749

Total 43

Ahora aplicaremos la frmula del estadstico de prueba.


=

=

k

i e

oek f

ff1

22

1)(

Defectos Frecuencia esperada

Frecuencia observada

fe-fo (fe-fo)2 (fe-fo)/fe

0 22,44815 25 -2,55185 6,51193842 0,29008798

1 14,59119 10 4,59119 21,0790256 1,44464061

2 4,52317 6 -1,47683 2,18102685 0,48218989

3 ms 1,43749 2 -0,56251 0,3164175 0,22011805

Total 43 43 2,43703653

Teniendo en cuenta la regla de decisin, no se rechaza la hiptesis nula.

En sntesis, con la evidencia aportada por la muestra, no podemos descartar, con una significacin de 0,05, que el nmero de defectos se distribuye Poisson.

Tenga en cuenta que este tema (prueba de bondad de ajuste) no se encuentra desarrollado en la bibliografa bsica de la materia.

4.2. Prueba de independencia de dos variables categricas

La prueba de independencia permite establecer si existe o no relacin entre variables categricas, cuando cada una de las cuales posee dos o ms categoras.


Veamos un ejemplo.

Se llev a cabo una encuesta de expectativas econmicas vinculada con la confianza de los consumidores, y se toma como referencia, la evolucin previa de la situacin econmica que percibieron los encuestados. En particular, se distinguen en las respuestas quienes mejoraron su situacin, quienes la mantuvieron igual y quienes empeoraron en el ltimo ao.

Interesa considerar la posible relacin de la evolucin de la situacin econmica percibida para diferentes segmentos de edad de la poblacin.

Se distinguieron los encuestados de acuerdo con los siguientes grupos:

De 18 a 29 aos: Jvenes

De 30 a 59 aos: Adultos plenos

De 60 aos y ms: Adultos mayores.

Se consideraron de manera conjunta ambas variables en una tabla de contingencia, donde en las celdas se indica cuntos individuos renen al mismo tiempo las caractersticas reflejadas en la fila y columna correspondientes. Los resultados arrojados por el estudio son los siguientes:

Bibliografa Bsica

Recuerde revisar este tema en detalle en el texto de Berenson & Levine (1996). El punto 15.6 complementa lo explicado en este apartado.


Tabla: Encuestados segn cambio en la situacin econmica personal y grupos de edad

Cambios en la situacin econmica personal en el ltimo ao

Edades

Mejor Se mantuvo igual Empeor

Jvenes

180 150 90

Adultos plenos

120 180 70

Adultos mayores

70 100 130

Fuente: elaboracin propia

La prueba Chi cuadrado que presentaremos permite establecer si existe relacin entre escalas como las planteadas en el ejemplo.

La prueba Chi cuadrada es una prueba de carcter general que se utiliza cuando se desea determinar si las frecuencias absolutas obtenidas en la observacin (como en la tabla del ejemplo previo), difieren significativamente o no de las que se esperaran bajo cierta hiptesis planteada de interrelacin de las categoras de las variables consideradas.


Tabla cruzada: Datos observados, frecuencias absolutas, porcentajes totales, en filas y en columnas

Tabla cruzada: cambio en la situacin econmica * grupo de edad

Cambios en la situacin econmica personal en el ltimo

ao

Total

Mejor Se mantuvo igual

Empeor

Grupo de edad

Jvenes Total 180 150 90 420

% en grupo de edad

42,9% 35,7% 21,4% 100,0%

% en cambio 48,6% 34,9% 31,0% 38,5%

% del total

16,5% 13,8% 8,3% 38,5%

Adultos plenos

Total 120 180 70 370

% en grupo de edad

32,4% 48,6% 18,9% 100,0%

% en cambio 32,4% 41,9% 24,1% 33,9%

% del total

11,0% 16,5% 6,4% 33,9%

Adultos mayores

Total 70 100 130 300

% en grupo de edad

23,3% 33,3% 43,3% 100,0%

% en cambio 18,9% 23,3% 44,8% 27,5%

% del total

6,4% 9,2% 11,9% 27,5%


Total Total 370 430 290 1090

% en grupo de edad

33,9% 39,4% 26,6% 100,0%

% en cambio 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

% del total 33,9% 39,4% 26,6% 100,0%

Considerando los datos de la tabla previa, se puede observar que entre los que mejoraron, es ms elevada la proporcin de jvenes, respecto del total, en tanto, entre los que se mantuvieron, la proporcin que se destaca es la de Adultos plenos. Finalmente, entre los individuos que vieron desmejorar su situacin econmica, presentan proporcionalmente una mayor presencia de Adultos mayores que el resto.

A los fines de corroborar si tal observacin puede sostenerse, o bien si se trata slo de una casualidad presente en los datos de la muestra, la prueba Chi cuadrado permite someter a contraste las siguientes hiptesis:

Ho:

Las variables son independientes entre s (es decir, no tienen relacin)

H1:

Las variables no son independientes.

Observe que si bien estamos interesados en considerar la vinculacin entre las variables, la hiptesis nula parte del supuesto neutral de no relacin o independencia. En el caso de rechazar la hiptesis nula, detectaremos la relacin que suponemos que existe, que motiv el estudio.


El estadstico justamente considerar esta situacin, en la cual, si los valores observados se distancian significativamente del valor esperado bajo el supuesto de independencia, el estadstico resultar en un valor elevado (ubicado en la zona de rechazo), y se rechazar la hiptesis nula. El estadstico Chi cuadrado est dado por:

=e

eo

fff 22 )(

Este estadstico se distribuye Chi cuadrado con (c-1).(f-1) grados de libertad.

Donde

fo: frecuencias observadas

fe: frencuencias esperadas

c= nmero de columnas

f= nmero de filas

Tambin en la prueba chi cuadrado de independencia se localizaa el riesgo de no aceptar la hiptesis nula siendo sta cierta (el nivel de significacin, ) en el extremo superior de valores de la distribucin chi cuadrado, como muestra la siguiente figura.


Figura Prueba chi cuadrado de independencia -Ubicacin de la zona de rechazo

Fuente: elaboracin propia, con captura de imagen de distribucin chi cuadrado de http://media.photobucket.com/image/distribuci%2525C3%2525B3n%20chi%20cuadrado/BlogAqueronte/Estadistica/Tablas/Ji%20Cuadrado/JiCuadrado.gif

Nuevamente puede observarse que si las frecuencias esperadas (bajo la hiptesis nul cierta de independencia o no relacin entre variables), difieren sistemticamente de las observadas, tendremos elementos como para descartar la independencia, y concluiremos que existe relacin entre las variables. En tal caso, el valor del estadstico asumir valores elevados. De lo contrario, si en general, las frecuencias esperadas (bajo la hiptesis de no relacin) no difieren de las observadas, no tendremos elementos para descartar la independencia.

Continuemos ahora con el ejemplo, obteniendo las frecuencias esperadas y completando el test.


Suponiendo una significacin de 0,05, dado que se trabaja con 4 grados de libertad (tres filas y tres columnas), el valor crtico del estadstico chi cuadrado es: 9,5.

La regla de decisin ser:

Si el estadstico obtenido con datos muestrales es inferior a 9,5, no se rechazar la hiptesis nula.

Si el estadstico basado en los datos muestrales es mayor a 9,5, se rechazar la hiptesis nula de independencia, y se concluir que existe relacin entre las variables.

Para calcular las frecuencias esperadas de cada celda de la tabla de contingencia, se debe multiplicar la frecuencia marginal de la fila de la celda por la frecuencia marginal de la columna de la celda, y luego dividir ese resultado por el tamao total de la muestra. Por ejemplo, para calcular la frecuencia esperada de la celda Jvenes que mejoraron su situacin econmica, realizamos la siguiente operacin:

1090370.420=ef

La siguiente tabla sintetiza las frecuencias marginales para poder calcular las frecuencias esperadas de todas las celdas interiores de la tabla.


Tabla de contingencia: frecuencias marginales

Cambios en la situacin econmica personal en el

ltimo ao

Edades Mejor Se mantuvo

igual

Empeor Total

Jvenes 420

Adultos plenos 370

Adultos mayores

300

Total 370 430 290 1090

Con el procedimiento descripto, la tabla de frecuencias esperadas resulta:

Frecuencias esperadas


Edades Mejor Se mantuvo igual

Empeor Total

Jvenes 142,569 165,688 111,743 420

Adultos plenos

125,596 145,963 98,440 370

Adultos mayores

101,835 118,349 79,817 300

Total 370 430 290 1090


La siguiente tabla surge de comparar los valores observados y esperados:


Edades Mejor Se mantuvo igual

Empeor

Jvenes -37,431 15,688 21,743

Adultos plenos

5,596 -34,037 28,440

Adultos mayores

31,835 18,349 -50,183

Finalmente los valores que suman de cada celda para construir el estadstico muestral. El valor del estadstico basado en datos muestrales es: 76,3, que cae en la zona de rechazo, por lo tanto se concluye las variables grupo de edad de los encuestados se relaciona con la percepcin de cambio en su situacin econmica en el ltimo ao.

Tabla con los valores que se suman para obtener el estadsitico muestral,

cada celda contiene los valores de ije

eo

fff

2)(

, para la celda ij,

respectivamente.


Edades Mejor Se mantuvo igual Empeor

Jvenes 9,827 1,485 4,231

Adultos plenos

0,249 7,937 8,217

Adultos mayores

9,952 2,845 31,552


Unidad 4: Anlisis de Varianza (ANOVA)

5.1. Anlisis de varianza de un factor

El anlisis de varianza o como es ms conocido, ANOVA, sus siglas de la denominacin en ingls: ANalysis Of VAriance, examina dos o ms conjuntos de datos, en particular sus varianzas, e intenta detectar diferencias estadsticamente representativas entre las medias de dichos conjuntos.

El propsito del ANOVA es comprobar si existen diferencias significativas entre las medias de c grupos (c3).

Si slo comparamos dos medias, el ANOVA producir el mismo resultado que la prueba t para muestras independientes (si estamos comparando dos grupos diferentes de casos u observaciones) o la prueba t para muestras dependientes (si estamos comparando dos variables en un conjunto de casos u observaciones). El problema de aplicar la metodologa de comparacin de a pares cuando la cantidad de grupos estudiados es superior a dos, es que, en cada comparacin se est sujeto a la probabilidad de cometer el error tipo I (con riesgo ), y en consecuencia la significacin real de la prueba no ser la comprometida.

El mtodo de anlisis de varianza se basa en el hecho de que hay una diferencia entre los grupos slo si la varianza intergrupos es mayor que la varianza intra-grupo.

El anlisis se inicia calculando la varianza intra-grupo para cada grupo, y la media de todas estas varianzas de grupo.

Bibliografa Bsica

Para cumplir con los objetivos de la Unidad 5 del programa, es necesario profundizar en los temas desarrollados en el Captulo 14 del texto de Bibliografa Bsica. (Berenson & Levine, 1996), relacionndolos con los comentarios, ejemplos y recomendaciones de las lecturas del mdulo.

Captulos: 14 (Apartados 14.1, 14.2, 14.3, 14.4)


La separacin de la suma de cuadrados

La idea bsica del ANOVA es el hecho de que las varianzas pueden ser divididas, es decir separadas. Se debe recordar que la varianza se calcula como la suma de desviaciones al cuadrado respecto de la media general (o gran media), dividida por n-1 (el tamao de la muestra menos uno). Por eso, para una muestra de tamao n, la varianza es una funcin de las sumas de cuadrados (de desvos), a la cual denominaremos SS. La particin de la varianza funciones como mostraremos a continuacin:

Figura. Descomposicin de la suma de cuadrados

Fuente. Elaboracin propia

La nomenclatura que usaremos en este tema difiere levemente de la empleada en el texto de la bibliografa bsica. Todos los valores correspondientes a las sumas de cuadrados entre grupo se identificarn en este caso con una letra E (mientras que en el texto se utiliza una A, por among). Todos los valores correspondientes a las sumas de cuadrados dentro grupo se identificarn en este caso con una letra D (mientras que en el texto se utiliza una W, por within).


Lgica bsica del ANOVA

El propsito del anlisis de varianza es probar si son estadsticamente significativas las diferentes en las medias para tres ms grupos de casos.

Para ello se analiza la varianza, particionando la varianza total en sus componentes: el que se debe al error aleatorio (Suma de cuadrados dentro de los grupos) y el que se debe a las diferencias entre las medias (Suma de cuadrados entre los grupos).

Estos componentes de la varianza son sometidos a la prueba de significacin estadstica, y si resulta significativa, se rechaza la hiptesis nula referida a la no existencia de diferencia entre las medias y se concluye que hasta nueva evidencia se mantiene como vlida la hiptesis alternativa referida a que las medias de la poblacin son diferentes entre s (o ms precisamente, que al menos una de las medias consideradas lo es).

Analizaremos un problema especfico para presentar todos los conceptos y procedimientos de la prueba.

Una cadena de supermercados posee tres sucursales en una ciudad, cada una ubicada en zonas con caractersticas diferenciadas, que determinan una aparente distinta frecuencia mensual de compra por parte de los clientes. Interesa saber si efectivamente las zonas presentan diferencia en este aspecto, para lo cual se llev a cabo un seguimiento de tres clientes seleccionados al azar en cada sucursal durante el ltimo mes, y se registr el nmero de veces que realizaron compras en la sucursal respectiva. La siguiente tabla resume lo observado.

Nomenclatura

Tenga presente que el texto de Berenson y Levine (1996) utiliza las abreviaturas correspondientes a la nomenclatura en ingls, donde :

SSA: Sum of squares among (Suma de cuadrados entre grupos)

SSW: Sum of squares within (suma de cuadrados dentro de grupos)

SST: Sum of squares Total (Suma de cuadrados Totales)


Tabla: Frecuencia mensual de concurrencia a la sucursal correspondiente

Zona 1 Zona 2 Zona 3

Observacin 1

2 6 8

Observacin 2

3 7 8

Observacin 3

1 5 7

Media del grupo

2 6 7,67

En la prueba ANOVA, las hiptesis se explicitan de la siguiente manera:

Hiptesis nula:

Ho: Las medias de los c grupos son iguales


Al menos una de las medias de los grupos es diferente a las dems.


En el ejemplo planteado, quedaran expresadas de la siguiente manera.

Hiptesis nula:

Ho: Las medias de frecuencia mensual de compra de las 3 zonas son iguales


Al menos una de las medias de las zonas es diferente a las dems.

5.1.1. Dispersin total

La variacin total (SST) est dada por la suma de cuadrados de todos los valores respecto de la media del total de datos o gran media.

= =

=c

j

n

iij

j

xxSST1 1

2)(

Donde

x es la gran media

ijx es la i-sima observacin del grupo j

Clculo Gran Media

Tenga en cuenta que la gran media es el promedio de todas las observaciones. No es correcto realizar el promedio de las medias de los grupos, dado que si la cantidad de elementos de cada grupo es diferente, el clculo de la media quedar distorsionado. Revise la frmula de clculo 14.1 que se presenta en el texto de Berenson & Levine (1996).


nj indica la cantidad de casos del grupo j

c es la cantidad de grupos

Tabla: Clculo de la gran media y de la SST


Observacin 1

2 6 8

Observacin 2

3 7 8

Observacin 3

1 5 7

Media del grupo

2 6 7,67

Gran Media

5,2

Suma de cuadrados totales

55,56

5.1.2. Dispersin entre grupos

La variacin o dispersin entre grupos se resume a travs de la suma de cuadrados entre grupos (SSE), que considera las diferencias entre las medias de cada grupo y la gran media.


=

=c

jjj xxnSSA

1

2)(

Donde

jx es la media del grupo j

5.1.3. Dispersin dentro de grupos

La variacin o dispersin dentro grupos considera la suma de cuadrados dentro de grupos (SSD), que tiene en cuenta las diferencias entre cada uno de los valores observados en cada grupo y la media correspondiente a su grupo.

==

=jn

ijij

c

jxxSSD

1

2

1)(

Donde

jx es la media del grupo j

Veamos los resultados de las SSE y SSD para los datos del ejemplo:



Observacin 1

2 6 8

Observacin 2

3 7 8

Observacin 3

1 5 7

Media del grupo

2 6 7,67

Suma de cuadrados (dentro)

2 2 0,67

4,67

Suma de cuadrados entre

50,86

Gran Media

5,2

Suma de cuadrados totales

55,56

Las medias de los tres grupos, parecen ser bastante diferentes. Las sumas de cuadrados en cada grupo son relativamente reducidas. En total suma 4,56. Por otra parte, si analizamos la SS total, obtenemos 55,56. En definitiva, calcular la varianza (suma de cuadrados) basados en la variabilidad en los grupos conduce a una estimacin mucho menor de la varianza que calcularla basada sobre la variabilidad total. La razn para ello en este ejemplo es que hay una gran diferencia entre las medias, y esta diferencia genera la diferencia entre las SS.

Nomenclatura

Tenga presente que el texto de Berenson y Levine (1996) utiliza las abreviaturas correspoendientes a la nomenclatura en ingls, donde SS corresponde a Sum of Squares o Suma de Cuadrados.


Cada una de las sumas de cuadrados descriptas tiene asociados grados de libertad diferentes:

La SST tiene n-1 grados de libertad, ya que pierde un grado de libertad respecto del total de datos de la muestra, por el clculo de la gran media

La SSE tiene c-1 grados de libertad, tambin debido a que si se conoce la gran media, al menos uno de los valores de las medias de los grupos quedar automticamente determinado.

La SSD tiene n-c grados de libertad, ya que en cada uno de los c grupos resultan (nj -1) grados de libertad, ya que en cada grupo se pierde un grado de libertad por el clculo de la media muestral de ese grupo.

Suma de cuadrados del Error (Suma de Cuadrados Dentro) y Suma de cuadrados del Efecto (Suma de Cuadrados Entre)

La variabilidad dentro de los grupos es generalmente denominada Varianza de Error. Este trmino denota el hecho de que no podemos realmente explicarlo o tenerlo en cuenta en este diseo que estamos considerando. Sin embargo, la variabilidad entre grupos (Efecto), puede ser explicada. Como su nombre lo indica, esta variabilidad se debe a las diferencias en las medias entre los grupos. Explicado de otra forma, ser miembro de un grupo explica esta variabilidad ya que conocemos que esto se asocia con las diferencias en las medias.

El ANOVA es otro ejemplo de prueba en la que se desea conocer la significacin estadstica. En este caso el test o prueba se basa en la comparacin de la varianza debida a la variabilidad entre grupos (Cuadrados medios entre, CME) con la variabilidad dentro de los grupos (Cuadrados medios dentro, CMD, o Cuadrados medios del error). Bajo hiptesis nula (que se expresa como: no hay diferencias entre las medias de los grupos de la poblacin), la varianza estimada basada en la variabilidad dentro de los grupos debera ser aproximadamente la misma que la varianza debida a variabilidad entre grupos. Podemos entonces comparar estas dos estimaciones de la varianza a travs de la prueba F, la cual somete a prueba si el cociente de dos varianzas es significativamente mayor que 1.

Nomenclatura

Tenga presente que el texto de Berenson y Levine (1996) utiliza las abreviaturas correspondientes a la nomenclatura en ingls, donde MS corresponde a Medium Squares o Cuadrados Medios.


En el ejemplo, el test es elevadamente significativo, por lo cual se concluye que en efecto las medias de los grupos (al menos una de ellas) son significativamente diferentes entre s.

Considerando las sumas de cuadrados y sus respectivos grados de libertad podemos obtener las tres varianzas que caracterizan al problema:

Los cuadrados medios totales (o trminos cuadrticos medios totales) se obtienen de la siguiente manera:

1= nSSTCMT

Los cuadrados medios entre (o trminos cuadrticos medios entre) se obtienen de la siguiente manera:

1= cSSECME

Los cuadrados medios dentro (o trminos cuadrticos medios dentro) se obtienen de la siguiente manera:

cnSSDCMD =


El texto de la bibliografa bsica denota con MS a los Cuadrados medios.

Contraste de hiptesis en el ANOVA

El estadstico de prueba tiene distribucin F, y se construye en base a los datos de la muestra de la siguiente manera:

CMDCMEF =

La distribucin, que corresponde a un cociente de varianzas, tiene asociados grados de libertad del numerador iguales a los de los CME, que son c-1, y grados de libertad en el denominador iguales a los de los CMD, que son n-c.

La zona de rechazo en las pruebas ANOVA se establece determinando un valor crtico en la distribucin F, con los grados de libertad mencionados, de manera que resulte por encima de este valor, una probabilidad igual al nivel de significacin elegido. En este caso tambin, la zona de rechazo se ubica en los valores elevados de la distribucin. Este hecho se relaciona con la relacin mencionada previamente de los cuadrados medios dentro y entre como estimadores de la varianza. En trminos intuitivos, puede observarse que un valor elevado del estadstico muestral, proviene de una situacin en la cual los CME son ms elevados (predominantes en cuanto a la fuente de variacin de los datos). En tal situacin, la variabilidad de los datos se asocia principalmente con el grupo al cual pertenece el individuo, y en consecuencia resulta sospechosa la hiptesis de igualdad de todas las medias poblacionales de los grupos.

El valor crtico de la prueba en el ejemplo, de una distribucin F, con 2 grados de libertad en el numerador y 6 grados de libertad en el denominador, con una significacin de 0,05, es 5,14.


La regla de decisin queda determinada de la siguiente manera:

Si el estadstico muestral F es mayor o igual a 5,14, se rechaza la hiptesis nula (y en consecuencia no puede afirmarse que las medias de todos los grupos son iguales).

Si el estadstico muestral F es menor a 5,14, no se rechaza la hiptesis nula (y en consecuencia no disponemos de evidencia para descartar que las medias de todos los grupos sean iguales).

El siguiente grfico muestra dnde se ubica la zona de rechazo en las pruebas ANOVA.

Figura

Fuente: elaboracin propia, con captura de imagen de distribucin tomada de http://media.photobucket.com/image/distribuci%2525C3%2525B3n%20f/BlogAqueronte/Estadistica/Tablas/f.gif

Zona de Rechazo

En virtud de la lgica de anlisis de ANOVA, siempre la zona de rechazo se ubica en el extremo superior de la distribucin. Los valores altos del estadstico F permiten rechazar la hiptesis nula.


Toda la informacin requerida para un ANOVA se sintetiza en una tabla ANOVA. Para el ejemplo, la siguiente tabla ANOVA, nos permite llevar a cabo la prueba:

Tabla de ANOVA

Fuente de variacin

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

F

Entre grupos (Efecto)

50,89 2 25,44

32,71

Dentro de grupos (Error)

4,67 6 0,778

Total 55,56 8 -

El valor de estadstico muestral F es 32,71, superior al valor crtico, por lo tanto, en base a la evidencia obtenida, podemos afirmar que al menos una de las zonas donde estn implantadas las sucursales del supermercado, posee una frecuencia promedio de compra de los clientes distinta al resto.

Comparaciones Post hoc El hecho de rechazar la hiptesis nula de un ANOVA no nos dice nada acerca de las diferencias de las medias entre s, slo nos permite asegurar que tal diferencia es significativa, en al menos una de las medias consideradas.

Nos preguntamos en el ejemplo, cul o cules de las sucursales difieren significativamente en cuanto a sus frecuencias promedio de compra?

Prueba de Tukey-Kramer

El procedimiento de Tukey Kramer para las comparaciones mltiples se encuentra desarrollado en el punto 11.4.5 del texto de Berenson & Levine (1996).


Para poder identificar cul o cules medias difieren se realizan pruebas como el test de Tuckey, que posibilitan su deteccin.

Dado que estas pruebas se realizan una vez que ha sido rechazada la hiptesis nula del ANOVA, a posteriori, se denominan post hoc.

Para llevar a cabo esta prueba se sigue el siguiente procedimiento:

1. En primer lugar se calculan las diferencias de a pares de todos los grupos

Para todo

Es decir, para todas las medias de diferentes grupos.

En total sern necesarias

Comparaciones de medias de a pares.

'jj xx

'jj

2)1( cc


2. En segundo lugar, se debe obtener el alcance crtico, con la siguiente frmula:

Si los tamaos de las muestras de cada grupo son diferentes debe calcularse el ac para cada par de medias de muestra.

El valor de Q se obtiene de la tabla correspondiente a la tabla de Tuker Kramer.

3. Finalmente se comparar las diferencias obtenidas en (1) con el ac que le corresponde.

Si la diferencia obtenida excede al ac, pueden considerarse distintas las medias respectivas.

Supuestos del ANOVA

Para poder realizar la prueba ANOVA debe verificarse el cumplimiento de los supuestos, que garantizan la validez.

1. Aleatoriedad o independencia de errores

Es imprescindible garantizar la aleatoriedad en la asignacin de los casos a los diferentes niveles del tratamiento, ya que de lo contrario, no ser posible arribar a conclusiones correctas acerca del efecto del nivel

+=

'),(

11.2 jj

cncU nnCMDQac

Tabla de valores Q

Ud. dispone de una tabla de valores Q en los anexos del mdulo, al igual que al final del texto de Bibliografa bsica.


del tratamiento o grupo al cual est asignado el caso, sobre la variable dependiente.

Este aspecto debe ser garantizado desde el propio diseo del estudio experimental del cual provenga la muestra de anlisis.

2. Normalidad La segunda condicin que debe cumplirse se relaciona con la distribucin de los datos de cada uno de los grupos. Los datos deben distribuirse de manera normal en torno de la media de cada grupo.

En general, la prueba ANOVA es robusta (en el sentido de resistir an si no se cumple de manera estricta esta propiedad), siempre que las distribuciones no sean demasiado sesgadas.

3. Homogeneidad de varianzas

Las varianzas de todos los grupos deben ser iguales. Este supuesto es crtico, y puede verificarse su cumplimiento a travs de un test de Levene de igualdad de varianzas.

Si las muestras tienen igual tamao, no se ver afectado el resultado del ANOVA por la falta de cumplimiento de este supuesto.


Ejercicios

Resolver los siguientes ejercicios con las tcnicas aprendidas.

1. Supongamos que un frmaco que se administra a 3 grupos de personas y se les realiza cierta medicin del efecto causado:

Resultado de la medicin

Gripe (nivel 1) 5 3 2 5 4 3

Apendicitis (nivel 2) 8 9 6 7 8 9 10 8 10 5

Sanos (nivel 3) 2 3 2 1 2 3 2

En este caso los factores que influyen en las observaciones son tres: el que la persona padezca la gripe, apendicitis, o que est sana.

a. Plantee las hiptesis del problema. b. Utilice una significacin de 0,05. c. Escriba una conclusin

2. Se aplican 4 tratamientos distintos a 4 grupos de 5 pacientes, obtenindose los resultados de la tabla que se adjunta. Queremos saber si se puede concluir que todos los tratamientos tienen el mismo efecto.

Tratamientos

Observaciones ni

Tratamiento 1

-1 1 2 0 -1 5

Tratamiento 2

-2 -4 -5 -4 -7 5

Tratamiento 3

0 -1 -2 -4 -1 5

Tratamiento 4

1 4 6 3 8 5

Anexo de Ejercitacin

Adems de estos ejercicios, Ud. encontrar en el anexo del mdulo una gua de ejercicios y sus respectivas soluciones. Le recomendamos que realice toda la ejercitacin posible para identificar con claridad las situaciones en las que se aplica cada prueba estudiada.


a. Plantee las hiptesis del problema. b. Utilice una significacin de 0,05. c. Escriba una conclusin

3. La tabla siguiente presenta la distribucin de frecuencia del nmero de defectos encontrados en el anlisis de los ltimos 200 artculos producidos en un proceso de produccin. Usando un nivel de confianza del 5% se desea verificar mediante una prueba chi cuadrado si dichos valores proceden de una distribucin de Poisson con una media de3.5 defectos por artculo.

4. Se realiz una encuesta para caracterizar a los lectores de diarios en ciudades pequeas, en reas rurales y en granjas. La respuesta acerca de si lean o no algn diario, result en la siguiente tabla:

Comunidad Lectores? Total

Si No

Urbana 529 121 650

Rural 373 137 510

Granja 237 89 326

Total 1139 347 1486

a) Con =0.05 brindan los datos evidencia suficiente para indicar que las proporciones de lectores difieren entre los distintos grupos de comunidades?

b) Encuentre el valor p para la prueba.

5. Se realiz un estudio de las decisiones de tres administradores de carteras de acciones, para comparar las ganancias obtenidas. Proporcionan los datos suficiente evidencia para indicar que hay


diferencias en las compras exitosas entre los administradores (=0.05)?

Resultado Administrador Total

A B C

Con ganancia 63 71 55 189

Sin ganancia 37 29 45 111

Total 100 100 100 300

6. Ante la sospecha de que el hbito de fumar de una embarazada puede influir en el peso de su hijo al nacer, se tomaron dos muestras, una de fumadoras y otra de no fumadoras, y se clasific a sus hijos en tres categoras en funcin de su peso en relacin con los percentiles P10 y P90 de la poblacin. El resultado se expresa en la tabla siguiente:

Peso del nio

Madre fumadora? Menor de P10 Entre P10 y P90 Mayor de P90

Si 117 529 19

No 124 1147 117

Hay una evidencia significativa a favor de la sospecha teniendo en cuenta los resultados de la muestra?

Bibliografa Lectura 3 Berenson & Levine (1996). Estadstica para administracin y economa. Sexta Edicin. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. Mxico.

www.uesiglo21.edu.ar

lectura 3 - otras pruebas de hipótesis estad 2.pdf

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