lecciones de física ortega 11

5/10/2018 Lecciones de Física Ortega 11 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/lecciones-de-fisica-ortega-11 1/24

11.- Conservación de la energía.

§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemasconservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial.Estabilidad del equilibrio (278); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones(280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependenexplícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284);§11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288);§11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289);Problemas (293)

Se decía en la lección anterior que siempre podemos considerar la energía comoel resultado de la realización de un trabajo; pero también podemos adoptar el puntode vista inverso, y considerar que se produce trabajo cuando tiene lugar unatransformación de una forma de energía en otra. Así, cuando cae un objeto en elcampo gravitatorio terrestre, su energía potencial gravitatoria (o mejor, la del sistema)

disminuye; pero se produce un aumento concomitante de la energía cinética. Es decir,se produce una transformación de energía en forma potencial en energía en forma demovimiento (cinética); durante esa transformación la fuerza (el peso) realiza untrabajo. Nos podemos preguntar si, en el ejemplo precedente, el aumento de energíacinética compensa exactamente a la disminución de energía potencial.

Desde los tiempos de NEWTON (1642-1727) se reconoce que, bajo ciertascondiciones, la energía del movimiento (cinética) y la energía asociada con la con-

figuración o posición (potencial) cambia a medida que progresa el movimiento, peroque su suma (la energía mecánica total) permanece constante. Sin embargo, bajo

otras circunstancias la energía mecánica total no se conserva. Así, por efecto delrozamiento, la energía se "disipa"; pero cuando eso sucede, se observa que haysiempre algún objeto que se calienta.

La generalización del concepto de energía y el establecimiento del principio deconservación fue un empeño al que se entregaron hombres de gran valía, como elingeniero norteamericano B. THOMPSON (1753-1814), el médico alemán J. R. MAYER

(1814-1878) y los físicos H. von HELMHOLTZ (1821-1894) y J. P. JOULE

(1818-1889), quienes clarificaron el concepto de energía y llegaron a demostrar quela energía no se disipa, sino que sencillamente se transforma de unas formas a otras.Desde entonces, el concepto de energía, como el de una magnitud física que se

conserva y que puede presentarse bajo apariencias muy diversas, pero que en ningún

Manuel R. Ortega Girón 273



274 Lec. 11.- Conservación de la energía.

caso puede ser creada ni destruida, quedó firmemente establecido como una de lasideas más útiles de todas las Ciencias de la Naturaleza.

Esta lección la dedicaremos al estudio de estas ideas importantes; las contenidasen el llamado Principio de la Conservación de la Energía, que junto con el de laconservación de la cantidad de movimiento (ya estudiado en lecciones anteriores) y

el de la conservación del momento angular (que estudiaremos en la lecciónsiguiente), constituyen los tres grandes Principios de Conservación de la Mecánica.En los tres casos nos limitamos a establecer y a analizar sus consecuencias para elcaso de una partícula (como corresponde al contexto de este Capítulo); más adelantelos generalizaremos para incluir los sistemas de partículas.

§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.-Cuando una partícula se mueve entre los puntos A y B, bajo la acción de una fuerzaresultante F (conservativa o no-conservativa), la variación de su energía cinética

viene dada por el trabajo realizado por dicha fuerza resultante en ese desplazamiento;esto es,

[11.1]Δ E k E k(B) E k(A) ⌡⌠

B

A

F d r

Por otra parte, en el caso de que la fuerza F sea conservativa, dicho trabajo, cam-biado de signo, expresa la diferencia de energía potencial entre los dos puntos; i.e.,

[11.2]Δ E p E p(B) E p(A)

⌡

⌠B

A

F d r

de modo que, sumando las dos expresiones, resulta

[11.3]Δ E k Δ E p Δ( E k E p) 0

lo que significa que la suma de las energías cinéticas y potencial de la partícula, osea su energía total que designaremos por E , es constante; así pues,

[11.4]Δ E 0 con E E k E p

de modo que podemos enunciar el Principio de Conservación de la Energía para unapartícula del modo siguiente:

Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas,la energía total de la partícula permanece constante en el transcurso delmovimiento, esto es, se conserva.

Esta es la razón por la que decimos que dichas fuerzas son conservativas.Hemos definido la energía total de la partícula como la suma de sus energías

cinética y potencial, como en [11.4], o mejor

[11.5] E ( r,v) E k(v) E p( r)

donde ponemos de manifiesto que la energía cinética es función exclusiva de lavelocidad y que la energía potencial lo es de la posición. La energía total será



§11.1.- Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica. 275

función, en general, tanto de la velocidad como de la posición de la partícula; perosi todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la energía totalmantendrá un valor constante en el transcurso del tiempo. Este es el significado delprincipio de conservación.

El principio de conservación de la energía nos dice que en tanto que la partícula

se mueve y van cambiando las diferentes magnitudes físicas (tales como la velocidad,la aceleración, la cantidad de movimiento, la energía cinética, la energía potencial,...), existe una magnitud física, la energía total, que permanece constante en el

transcurso del movimiento; esto es,

La energía es una constante escalar del movimiento.

Naturalmente, el principio de conservación de la energía no nos proporciona nin-guna información que no esté contenida en la ecuación del movimiento1, F = m a.Entonces, ¿por qué tomarnos la molestia de establecerlo?

Con mucha frecuencia nos encontraremos con problemas cuya solución debere-mos abordar sin conocer el detalle de las fuerzas de interacción (i.e., la ley de lafuerza); esta situación se encuentra, en forma sobresaliente, en la Física Nuclear y dePartículas Elementales. Pero aun cuando conozcamos con exactitud las leyes de lasfuerzas, el principio de conservación de la energía (junto con el de la cantidad demovimiento y el del momento angular, que estudiaremos en la próxima lección)constituye una ayuda conveniente para la resolución de numerosos problemas deinterés teórico o práctico.

Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria

y, a menudo, de los detalles de una fuerza particular; por consiguiente constituyen

un procedimiento para obtener consecuencias muy generales y significativas de laecuación del movimiento. Así, una ley de conservación nos puede asegurar que algoes imposible; de ese modo, no perderemos el tiempo analizando un pretendidoaparato que produzca trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía (móvil

perpetuo de primera especie).Por otra parte, aun cuando un problema dado pueda resolverse a partir de las

leyes del movimiento, iniciar su resolución a partir de la ecuación [11.5] tiene laventaja de que esta ecuación es una ecuación diferencial de primer orden (en tanto

que la ecuación del movimiento de Newton, , lo es de segundo orden) lo F md2 r

dt 2

que significa que ya hemos avanzado un paso hacia la solución del problema; porello decimos que la ecuación [11.5] constituye una integral primera del movimientode la partícula.

1 Esto puede comprobarse fácilmente sin más que diferenciar la energía total E ; i.e.,

d E d( E k E p) d E k d E p d E k F d r 0

que es idéntica a F = m a, ya que

d E k d( 1

2mv 2) d( 1

2mv v) mv dv m a d r

de modo que .m a d r F d r 0 → F m a




Naturalmente, lo anteriormente dicho es válido si son conservativas todas lasfuerzas que actúan sobre la partícula. En muchos problemas encontraremos que, auncuando algunas de las fuerzas no sean conservativas, éstas serán tan pequeñas quepodrán ser despreciadas. En otros problemas no será ese el caso, pero entoncespodremos aplicar el principio de conservación en una forma más general, que

desarrollaremos en esta lección para una partícula y en una lección posterior para unsistema de partículas.

§11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo deaplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación delmovimiento de una partícula que se mueve en una dimensión sobre una recta dada,que identificaremos con el eje x, bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo dedicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula (i.e., noes función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa

[∇× F( x)i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenadade posición de la misma; i.e.,

[11.6] E p( x) E p( xref ) ⌡⌠

x

xref

F ( x) d x

de modo que la ecuación de conservación de la

Figura 11.1

energía [11.5] puede escribirse como

[11.7] E 1

2mv 2 E p( x)

donde E (i.e., la energía total) es una constantedel movimiento. La ecuación [11.7] establece unarelación entre la velocidad de la partícula y sucoordenada de posición. Para completar la solu-ción del problema deberemos determinar laposición de la partícula en función del tiempo.

Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de lavelocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo esv = d x /dt , obtendremos

[11.8]vd x

dt

2

m[ E E p( x)]

que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nospermitirá determinar la función x(t ) siempre que conozcamos la función E p( x) y lascondiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimientode E (que es una constante) y de x0 = x(t 0). La ec. [11.8] se escribe, pues

[11.9]⌡⌠

t

t0

dt m2 ⌡⌠

x

x0

d x

E E p( x)



§11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión. 277

o sea [11.10]t t 0m

2 ⌡⌠

x

x0

d x

E E p( x)

con lo que queda resuelto (al menos desde un punto de vista físico) el problema delmovimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos laenergía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil siconocemos F ( x)), el principio de conservación de la energía, expresado por [11.10] nosdará directamente la solución del problema del movimiento rectilíneo.

Ejemplo I.- Oscilaciones armónicas.- Una partícula, de masa m, se mueve a lo largo del eje x bajola acción de una fuerza F = -kx, donde k es una constante positiva. Determinar la posición de la

partícula en función del tiempo; i.e., x(t ).Comenzaremos determinando la expresión de la energía potencial:

E p( x) E p(0) ⌡⌠

x

0

( kx) d x ⌡⌠

x

0

kx d x12

kx 2 con E p(0) 0

La energía total (constante) es E 12

mv20

12

kx20

siendo x0 y v0 la posición y velocidad de la partícula, respectivamente, en el instante inicial (t =0).

Aplicando el Principio de la Conservación de la energía, llegaremos a la ec. [11.10], i.e.,

t ⌡⌠

t

0

d t m

2 ⌡⌠

x

x0

dx

12

mv20

12

kx20

12

kx 2

m

k ⌡⌠

x

x0

d x

⎛ ⎜⎝

⎞ ⎟ ⎠

m

k v

20 x

20 x 2

1ω ⌡

⌠ x

x0

d x

A 2 x 2

1ω

[arcsen x

Aarcsen

x0

A]

donde ω 2 k

m A 2 x

20

v20

ω 2

y poniendo ψ arcsenx0

A→ sen ψ

x0

A

escribiremos finalmente x A sen (ω t ψ )

que es la función x(t ) pedida y que representa un movimiento armónico simple (vide Lec. 13).




§11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad delequilibrio.- La ecuación [11.10] puede resultar muy difícil de integrar; sin embargo,en ocasiones no será necesario realizar dicha integración, pues sólo estaremosinteresados en comprender cualitativamente algunas de las características más

conspicuas del movimiento de la partícula y, para ello, nos puede bastar con elanálisis de la curva que representa gráficamente a la función energía potencial, E p( x),frente a la coordenada posicional, x, de la partícula. En la Figura 11.2 hemosrepresentado una posible curva de energía potencial2 para un movimiento unidimen-sional.

La fuerza que actúa sobre la partícula es función de la posición de ésta y vienedada por

[11.11]F d E p

d x

Pero d E p /d x es, precisamente, la pendiente de la curva E p = E p( x), que es positivacuando la curva crece (al aumentar x) y negativa cuando decrece. Por consiguiente,la fuerza será negativa (dirigida hacia la izquierda) cuando la energía potencial crecey será positiva (dirigida hacia la derecha) cuando la energía potencial decrece. Estacircunstancia ha sido indicada en la Figura 11.2 mediante flechas horizontales. En lospuntos en los que E p( x) presenta un valor máximo o mínimo relativo, es decir enaquellos puntos en los que es d E p /d x = 0, la fuerza será nula; tales posiciones lo seránde equilibrio.

Aquellas posiciones (como la x0) en las que E p( x) presenta un valor mínimo sonposiciones de equilibrio estable. Una partícula en reposo en una de tales posicionespermanecerá en reposo en ella; si se la desplaza ligeramente de tal posición se verásometida a una fuerza recuperadora que tratará de devolverla a la posición deequilibrio, produciéndose oscilaciones alrededor de dicha posición. En aquellas otrasposiciones (como la x0′) en las que E p( x) toma un valor máximo, con respecto a lasposiciones vecinas, el equilibrio es inestable. La partícula permanecerá en reposo enuna tal posición; pero si se la desplaza ligeramente de ella aparecerá una fuerza quetiende a alejarla aún más de la posición de equilibrio inestable. Por último, enaquellas regiones en las que E p( x) sea constante el equilibrio será neutro o

indiferente, puesto que no aparecerán fuerzas recuperadoras ni repulsivas al desplazarligeramente la partícula que se encuentre en tal región3 (al ser E p = cte, será F = 0).

Consideremos ahora que la partícula tenga una energía total E (que permaneceráconstante durante el movimiento si sólo actúan fuerzas conservativas sobre ella) quevendría indicada por una línea horizontal en la representación gráfica de la Figura 11.2.En cualquier posición x, la energía potencial E p( x) de la partícula vendrá dada por laordenada de la curva E p = E p( x) y la energía cinética de la partícula, será E k = E - E p,

2

No debemos confundir la curva de energía potencial (movimiento unidimensional) con laslíneas equipotenciales (movimiento bidimensional).

3 Podemos hablar, aún, de otra clase de equilibrio: el equilibrio metaestable, que es unequilibrio estable para pequeñas perturbaciones, pero inestable cuando éstas son un algo mayores.



§11.3.- Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio. 279

de modo que vendrá representada por la distancia de la curva E p( x) (en el punto dado

Figura 11.2

x) a la línea E , como se ilustra en la Figura 11.2 para E = E 3. Puesto que la energíacinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría unavelocidad imaginaria), resulta evidente que, para una energía total dada E , la partícula

únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E > E p. Así pues, en lagráfica de la Figura 11.2 se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E 0; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x0.

Con una energía algo mayor, tal como la E 1, la partícula puede permanecer enreposo en x0" o bien puede moverse entre los puntos x1 y x2; su velocidad disminuyeal acercarse a los puntos x1 o x2, anulándose en ellos, de modo que la partícula sedetiene e invierte su sentido de movimiento cuando alcanza dichos puntos, llamados

puntos de retorno.Si la energía es aún mayor, tal como E 2, la partícula podrá oscilar en la región

definida por los puntos x3 y x4 o en la definida por los puntos x5 y x6; en una o enotra, dependiendo de las condiciones iniciales, sin poder pasar de una región a otra,porque ello exigiría pasar por la región x4- x5 en la que su energía cinética seríanegativa (región prohibida). Las regiones en las que queda confinada la partícularepresentan pozos de potencial; las regiones prohibidas corresponden a barreras de

potencial.Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E 3, existen solamente tres

puntos de retorno, de modo que hay dos regiones de movimientos permitidos. Así,la partícula podrá estar confinada en la región delimitada por los puntos x7 y x8 ( pozo

de potencial) o moverse a la derecha del punto x9 (región ilimitada por la derecha),

no pudiendo pasar de una región a otra (barrera de potencial).Para el nivel de energía E 4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está

moviéndose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x11 "rebotará" y sedirigirá indefinidamente hacia la derecha, acelerándose al pasar por los pozos de




potencial y frenándose al pasar por las barreras de potencial. Para energías superioresa E 5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá sólo en un sentido (el inicial)acelerándose y frenándose al pasar por los pozos y las barreras de potencial,respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento.

§11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.- Podemosgeneralizar nuestro estudio de los dos apartados anteriores para incluir aquellassituaciones en las que la partícula puede moverse en dos o en tres dimensiones delespacio bajo la acción de una fuerza (resultante) conservativa, función de la posiciónde la partícula. En estas condiciones, la energía potencial será función de lascoordenadas de posición de la partícula, esto es, E p( x, y, z), o mejor diremos E p( r), sinnecesidad de referirnos a las coordenadas cartesianas.

El principio de conservación de la energía podemos expresarlo por

[11.12] E 1

2 mv2

E p( r)donde E , que es una constante del movimiento, queda determinada por lascondiciones iniciales del movimiento. La ecuación anterior, al igual que la ec. [11.7]

en el caso del movimiento unidimensional, nos permite calcular la celeridad de lapartícula en función de su posición. Pero obsérvese que ni la ec. [11.7], ni la ec.[11.12], nos suministran información alguna acerca de la dirección del movimiento.Este desconocimiento es mucho más grave en el caso del movimiento en dos o entres dimensiones, donde existen infinitas direcciones posibles, que en el caso delmovimiento unidimensional, donde la partícula sólo dispone de una dirección, con

dos sentidos posibles, para su movimiento. En el caso del movimiento unidimensio-nal, la partícula se moverá sobre una trayectoria fija. En el caso del movimiento endos o en tres dimensiones, la partícula podrá moverse sobre trayectorias muy diversasy, a menos que conozcamos la que realmente sigue, la ecuación [11.12] nosproporcionará escasa información acerca del movimiento de la partícula, salvo quedicho movimiento sólo tendrá lugar en aquellas regiones del espacio en las que E >

E p( r), y que la celeridad

[11.13]v2

m[ E E p( r)]

es función de la posición de la partícula en esas regiones permitidas.

Ejemplo II.- Movimiento del electrón en el campo de dos protones.- Como ejemplo de lo anterior-mente expuesto, analizaremos el movimiento de un electrón en el campo atractivo de dos protones(molécula de Hidrógeno ionizada, H2

+).

La energía potencial (electrostática) del electrón en dicho campo viene dada por

[11.14] E pe 2

4π 0

⎛ ⎜⎜⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1r 1

1r 2

donde r 1 y r 2 representan, respectivamente, las distancias del electrón a cada uno de los dosprotones. En la Figura 11.3 se han representado algunas curvas equipotenciales, correspondientes



§11.4.- Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones. 281

a la intersección de las superficies equipo-

Figura 11.3

tenciales con el plano del papel, estandolos protones separados por una distanciade 2 Å (1 Å = 10-10 m) y expresando lasenergías potenciales en electrón-voltios

(1 eV = 1.602 × 10-19J). Obviamente, las

superficies equipotenciales se obtienenrotando la Figura 11.3 alrededor de lalínea que une a los dos protones.

Cuando la energía del electrón, queserá una constante del movimiento quevendrá impuesta por las condicionesiniciales, sea positiva, el electrón noquedará confinado en ninguna regiónlimitada del espacio; se tratará de unelectrón libre, i.e., no ligado. Para -29 eV

E < 0, el electrón estará confinado enel interior de una superficie casi-esférica,centrada en el punto O, de modo que sumovimiento será como sí estuviese ligadoa un solo centro atractivo de carga +2e. Para E < -29 eV, el electrón estará confinado en unvolumen finito que rodea a uno u otro de los protones pudiendo oscilar o girar alrededor del centrode atracción, según fuesen las condiciones iniciales. En el caso de que E -29 eV, el electrónestará confinado en un volumen casi esférico, centrado en uno u otro de los protones, y sumovimiento será como si solamente existiera uno de ellos.

Obsérvese que el electrón no puede encontrarse en equilibrio establece en ningún punto delcampo creado por los dos protones (el punto O es de equilibrio inestable4). Esta es una caracte-

rística interesante de los campos electrostáticos creados por una distribución de carga eléctrica.

Ejemplo III.- Salto de potencial.- Consideremos una separación plana entre dos regiones del

Figura 11.4

espacio. La energía potencial de una partícula de masa m en la región 1 es E p(1)=cte. y en la región2 es E p(2)=cte. Inicialmente, la partícula se mueve en la primera región con una velocidad v1, enuna dirección que forma un ángulo θ1 con la normal a la superficie de separación entre las dosregiones. a) Determinar la velocidad (módulo y dirección) de la partícula cuando penetra en lasegunda región. b) Representar gráficamente la situación para el caso en que sea E p(1)< E p(2).

a) El Principio de conservación de la energía nospermite escribir

[i]12

mv21 E p(1) 1

2mv

22 E p(2)

o sea

[ii]v22 v

21

2m

[ E p(2) E p(1)] v21

2mΔ E p

de modo que v2 < v1.

4 En realidad lo es de ensilladura, como veremos en el próximo artículo.




b) Para determinar la dirección de v2 tendremos en

Figura 11.5

cuenta que es

[iii] F ∇ E p( x)

⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

F x

∂ E p

∂ x≠ 0

F y

∂ E p

∂ y0

de modo que el gradiente de la energía potencial, i.e.,la fuerza que actúa sobre la partícula al atravesar lasuperficie de separación entre las dos regiones, sólo

tiene componente en la dirección normal a dicha superficie. En consecuencia, podemos afirma quese conserva la componente transversal de la cantidad de movimiento de la partícula cuandoatraviesa dicha superficie; esto es,

[iv]mv y(1) mv y(2) → v1 sen θ1 v2 sen θ2

expresión que establece la relación entre los ángulos y las velocidades de la partícula en cada unade las regiones. Sirviéndonos de la expr. [ii], eliminaremos v2 y, después de fáciles operaciones,obtenemos

[v]sen θ1

sen θ2

12 [ E p(2) E p(1)]

mv21

1E p(2) E p(1)

E k (1)

que escribiremos en la forma

[vi]sen θ1

sen θ2

v2

v1

n con n 12 Δ E p

mv21

que nos recuerda, y de hecho es análoga, a la ley de SNELL para la refracción de la luz, en la quen sería el índice de refracción relativo. Esta analogía nos muestra por qué fue posible explicar losfenómenos de la refracción tanto en el marco de una teoría ondulatoria (ondas de Huygens) comoen el de una teoría mecanicista (corpúsculos mecánicos de Newton).

§11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones.- Consideremos unapartícula sobre la que actúa una fuerza resultante conservativa, función exclusiva dela posición de la partícula. La energía potencial de dicha partícula será función de suposición, y, en coordenadas cartesianas, podemos expresarla por E p( x, y, z). Entre lafuerza conservativa, F( x, y, z), y la energía potencial, E p( x, y, z), existe la relación

[11.15] F ∇ E p

o sea [11.16]F x

∂ E p

∂ xF

y

∂ E p

∂ yF

z

∂ E p

∂ z

Definido el equilibrio de la partícula como la ausencia de fuerza neta, la partículase encontrará en equilibrio en aquellos puntos del espacio en los que



§11.5.- Equilibrio en dos y en tres dimensiones. 283

[11.17]∂ E p

∂ x0

∂ E p

∂ y0

∂ E p

∂ z0

es decir, en los puntos en los que la energía potencial presente un valor extremo(máximo o mínimo) en las tres direcciones del espacio. En los puntos en los que∂ E p / ∂ x sea nula, la partícula se encontrará en equilibrio traslacional en la dirección

x, ya que será nula la componente de la fuerza en esa dirección. Las mismasconsideraciones podemos hacer para las otras dos direcciones ( y, z) del espacio.

Obsérvese que la partícula podrá estar en equilibrio con respecto a unacoordenada, pero no estarlo necesariamente con respecto a las otras; esto es, podráser, por ejemplo, ∂ E p / ∂ x = 0, pero ∂ E p / ∂ y ≠ 0 y ∂ E p / ∂ z ≠ 0. Por ello, cuando se tratede una partícula que pueda moverse en dos o en tres dimensiones del espacio,deberemos analizar sus posibilidades de equilibrio con respecto a cada una de las doso tres coordenadas que fijan su posición.

Como en el caso unidimensional, y para cada una de las coordenadas de posi-ción, el equilibrio de la partícula podrá se estable, inestable o indiferente, según quela energía potencial, en la posición de equilibrio, presente un valor mínimo, máximo

o constante con respecto a los que toma en los puntos de un entorno infinitesimalalrededor de dicho punto. Las condiciones anteriores, de mínimo y de máximorelativos, quedan definidas analíticamente por un valor positivo y negativo,respectivamente de ∂2 E p / ∂ x

2 (o de ∂2 E p / ∂ y2 o ∂2 E p / ∂ x

2). En el caso de que ∂2 E p / ∂ x2 =

0, el análisis de la situación nos llevará a calcular las derivadas de orden superior,para decidir si se trata de un mínimo o máximo relativos o de un punto de inflexión.

En el caso de que

Figura 11.6

el movimiento de lapartícula sea tan sólobidimensional (en elplano xy, por ejemplo)puede resultar útilconsiderar las llama-das superficies de

energía potencial5,que jugarán el mismo

papel que las curvas

de energía potencial

en el problema unidi-mensional. Para ello,representaremos sobre un eje perpendicular al del plano del movimiento (que excusa-mos ahora de llamarlo eje z) la energía potencial correspondiente a los puntos delplano xy. En la Figura 11.6 hemos dibujado una tal superficie de energía potencial. Unapartícula colocada en A, B, C o D permanecerá en reposo; los puntos correspondien-tes en el plano xy son puntos de equilibrio. El alumno comprenderá fácilmente que

el punto A es de equilibrio estable (se trata de un pozo de potencial), en tanto que

5 No debemos confundir las superficies de energía potencial (movimiento bidimensional) conlas superficies equipotenciales (movimiento tridimensional).




los puntos B y C lo son de equilibrio inestable. Obsérvese que el punto D es deequilibrio estable en la dirección aa′ pero que es de equilibrio inestable en ladirección bb′; se dice que el punto D es un punto de ensilladura o de silla de montar

o de puerto de montaña, por la analogía que presenta con aquélla o con éste. En lafigura no hemos representado ningún plano horizontal (meseta), que correspondería

al equilibrio indiferente.

§11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo.- Una fuerza quedependa solamente de la posición y cuyo rotacional sea nulo se dice que esconservativa, por conducir al principio de conservación de la energía (cinética +potencial). Pero en ciertos casos nos encontraremos con fuerzas que serán funcióntanto de la posición como del tiempo, esto es F( r,t ). Si en un instante cualquiera(esto es, para cualquier valor de t ) se anula el rotacional de ese campo de fuerzas (noestacionario), podemos definir una función energía potencial E p( r,t ) (campo escalar

no estacionario) como[11.18] E p( r,t ) ⌡

⌠ F( r,t ) d r

de modo que un instante cualquiera, y siempre que ∇× F( r,t ) = 0, será

[11.19] F( r,t ) ∇ E p( r,t )

Pero hemos de observar que en estas condiciones no es posible demostrar elprincipio de conservación de la energía, por no cumplirse la relación [11.2]; esto es,

[11.20]Δ E p E p(B; t B) E p(A; t A) ≠ ⌡⌠

B

A

F( r,t ) d r

pues la integral, en [11.18], que define la energía potencial en el instante t se calculaa partir de la función de fuerza en ese instante; en tanto que el trabajo, en [11.20], secalcula utilizando en cada punto la función de fuerza en el instante en que lapartícula pasa por ese punto. En consecuencia, al combinar las expresiones [11.1] y[11.2], que nos dan los cambios en las energías cinética y potencial de la partícula,respectivamente, la energía E = E k + E p ya no se mantiene constante en el transcursodel movimiento; así, pues, una fuerza que dependa explícitamente del tiempo, estoes, F( r,t ), no es conservativa.

§11.7. Fuerzas no conservativas.- Hemos establecido el principio de laconservación de la energía mecánica (cinética + potencial) para una partícula bajo elsupuesto de que sobre ella sólo actúan fuerzas conservativas. Tales fuerzas recibenese nombre, precisamente, porque conducen al principio de conservación de la ener-gía. Pero es fácil encontrar fuerzas que no son conservativas; así, el rozamiento esuna de ellas. El rozamiento se opone siempre al desplazamiento de la partícula, demodo que el trabajo realizado, que es siempre negativo, dependerá de la trayectoria

seguida y no es nulo en una trayectoria cerrada, cuando la partícula vuelve a suposición inicial. En consecuencia, la energía mecánica de la partícula no seconservará cuando sobre ella actúen fuerzas no conservativas, como puede ser la derozamiento.



§11.7.- Fuerzas no conservativas. 285

Consideremos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas (cuya

Figura 11.7

resultante representaremos por Fc) y fuerzas no conservativas (cuya resultanterepresentaremos por Fnc). El trabajo neto realizado sobre la partícula, cuando sedesplaza entre los puntos A y B bajo la acción de la fuerza resultante F = Fc + Fnc,es igual a la variación de su energía cinética; esto es

[11.21]W W c W nc Δ E k

donde hemos representado por W c y W nc eltrabajo realizado por la resultante de las fuerzasconservativas y no conservativas, respectiva-mente. El trabajo W c realizado por las fuerzasconservativas puede expresarse como la varia-ción, cambiada de signo, de la energía potencial(asociada con dichas fuerzas conservativas)

cuando la partícula pasa del primer punto alsegundo; esto es

[11.22]W c Δ E p

No podemos decir otro tanto del trabajo W nc realizado por las fuerzas noconservativas, pues, al depender dicho trabajo del trayecto seguido por la partículaentre los puntos A y B, no podemos asociarle ninguna energía potencial (i.e., ningunafunción de punto) a dichas fuerzas. Entonces, la expresión [11.21] puede escribirse enla forma

[11.23]W nc Δ E k W c Δ E k Δ E p Δ( E k E p )

o sea [11.24]Δ E W nc

de modo que la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula no permanececonstante en el transcurso del movimiento, sino que experimenta un cambio igual altrabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Si las fuerzas no conservativasrealizan un trabajo positivo, la energía mecánica de la partícula aumenta; en el casocontrario, disminuirá. Obsérvese, por otra parte, que hemos rehusado utilizar el

término de total para designar a la energía mecánica, E = E k + E p, de la partícula. Elconcepto de energía total de una partícula sólo tiene significado si son conservativastodas las fuerzas que actúan sobre ella; en el caso de que actúen fuerzas no conser-vativas, el concepto no será aplicable, por no incluirse todas las fuerzas presentes.

Si la fuerza no conservativa es el rozamiento, el trabajo realizado por ella essiempre negativo, de modo que, de acuerdo con [11.24], la energía mecánica de lapartícula disminuye en el transcurso del movimiento; esto es, la energía mecánica dela partícula se disipa. El rozamiento es un ejemplo de fuerza disipativa.

Pero, ¿qué ocurre con esa energía que se disipa? El trabajo realizado por la

fuerza de rozamiento representa una transformación de energía de una forma a otra;la energía mecánica que desaparece se transforma en energía interna, U int, y provocaun aumento en la temperatura. Esta transferencia de energía, por corresponder a un




movimiento molecular, será, en general, irreversible6. De este modo, el trabajorealizado por el rozamiento (que es siempre negativo) es igual al incremento de laenergía interna del sistema (la partícula y su medio ambiente) y podemos escribir

[11.25]W f

ΔU int

donde el subíndice f hace referencia explícita a que se trata de la fuerza derozamiento (fricción). De esta forma, la expresión general [11.24], en el caso de quela única fuerza no conservativa que actúa sobre la partícula sea la de rozamiento,puede escribirse como

[11.26]Δ E ΔU int 0

o sea [11.27]Δ( E U int ) 0

de modo que la suma de la energía mecánica (de la partícula) y de la energía interna(del sistema) permanece constante (i.e., se conserva) cuando sobre el sistema sóloactúan fuerzas conservativas y las de rozamiento.

§11.8. Conservación de la energía.- Hemos definido la energía potencial deuna partícula de modo que el trabajo realizado sobre ella por una fuerza conservativasea igual a la disminución de su energía potencial. En el primer artículo de estalección demostrábamos que la energía mecánica total de la partícula permanececonstante cuando tan sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo sobre ella; elloera debido a que el aumento de su energía cinética quedaba exactamente compensadopor la disminución de su energía potencial. De ese modo, establecíamos el principiode conservación de la energía, aunque en una forma muy restrictiva.

Por otra parte, hemos visto en el artículo anterior que la energía mecánica de lapartícula no permanece constante cuando sobre ella actúan fuerzas no conservativasque realizan un trabajo; pero, eso si, el trabajo realizado por dichas fuerzas es igualal aumento (o disminución) de la energía mecánica (cinética + potencial) de lapartícula [11.24].

Debido a que casi siempre hay presente algún tipo de fuerza no conservativa,principalmente el rozamiento, la importancia del concepto de energía, y el de su

conservación, no fue justipreciada hasta el siglo XIX. Entonces se comprendió quela desaparición de energía mecánica macroscópica va siempre asociada con laaparición de energía interna, que normalmente se pone de manifiesto por un aumentode la temperatura. Hoy, sabemos que esa energía interna no es más que la energíacinética y potencial de las moléculas de medio; esto es, energía mecánica

microscópica. Con esta generalización del concepto de energía mecánica, de modoque quede incluida la energía interna, la energía mecánica de la partícula (o la de un

6 Los texto elementales suelen decir que "la energía mecánica que desaparece se transformaen calor ". Esta expresión no es rigurosamente correcta, aunque puede disculpársela al estudianteque se inicia en el estudio de la Física. Los conceptos de energía interna y de calor y temperatura,así como el de proceso irreversible, serán desarrollados con rigor en las Lecciones de Termología.



§11.8.- Conservación de la energía. 287

cuerpo o sistema de dimensiones finitas) más la de su medio ambiente permanececonstante, aún cuando esté presente el rozamiento.

Ahora, podemos generalizar nuestros razonamientos anteriores para considerarno sólo las fuerzas conservativas y las de rozamiento sino, también, otras fuerzas noconservativas que no sean precisamente las de rozamiento. Esto es, consideremos una

partícula sobre la que actúa una fuerza resultante F que podemos desglosar como

[11.28] F F c f F nc

donde Fc y Fnc representan, respectivamente, las resultantes de las fuerzas conservati-vas y no conservativas, y f la de las fuerzas de rozamiento. En el desplazamiento dela partícula, entre dos puntos dados A y B, los trabajos realizados por cada una deesas fuerzas son

[11.29]W W c W f

W nc Δ E k

o sea, el trabajo total es igual a la variación de la energía cinética de la partícula.Pero hemos visto que con toda fuerza conservativa se asocia una energía potencialy que con el rozamiento asociamos la variación de la energía interna, o sea

[11.30]W c Δ E p W f

ΔU int

de modo que la expresión [11.29] tomará la forma

[11.31]W nc Δ E k W c W f

Δ E k Δ E p ΔU int

o sea que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (exclusive elrozamiento) es igual a la variación de la energía mecánica de la partícula y de laenergía interna de su medio ambiente. Vemos que, cuando se incluye la energíainterna, la energía total del sistema no siempre permanece constante. Ahora bien,cualquiera que sea W nc siempre ha sido posible encontrar nuevas formas de energíarelacionadas con ese trabajo. Entonces podemos representar el trabajo W nc entérminos de la variación de alguna forma particular de la energía, de modo que

[11.32]

W nc = - Δ(alguna forma de energía)

de modo que la expresión [11.31] puede escribirse como

[11.33]

Δ E k + Δ E p + ΔU int + Δ(alguna forma de energía) = 0

por lo que la energía total (cinética + potencial + interna + alguna otra ...)permanecerá constante, si nos cuidamos de incluir todas las formas posibles deenergía.

La energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser

creada ni destruida; la energía total permanece constante.

Este enunciado, que es una generalización de la experiencia, constituye elPrincipio de la Conservación de la Energía. Fue formulado en el siglo XIX, y




aunque la prioridad de su descubrimiento fue un tanto polémica (se la disputaron J.R.MAYER (1814-1878) y J.P. JOULE (1818-1889), traeremos aquí una cita de la obra deMayer (Observaciones sobre las energías de la naturaleza inorgánica):

"En innumerables casos vemos que el movimiento cesa sin haber causado otro movimiento oelevado un peso; pero la energía, una vez que existe, no puede ser aniquilada, solamente puede

cambiar de forma; y entonces surge la pregunta: ¿qué otra forma de energía, aparte de las queya conocemos, cinética y potencial (en terminología moderna), es capaz de tomar? Solamentela experiencia puede conducirnos a una solución."

En ocasiones parecía que este principio de conservación iba a fallar; pero eseaparente fallo incitó a los físicos a la búsqueda de las causas; esto es, a la búsquedade nuevos fenómenos hasta entonces desconocidos. Y siempre los encontraron. Porejemplo, la energía de un sistema puede "disiparse" en forma de radiación; así seforman ondas sonoras en un choque entre dos objetos, o se emite radiaciónelectromagnética por una carga eléctrica acelerada. En otras ocasiones, la aparenteno-conservación de la energía llevó al descubrimiento de nuevas partículaselementales; este fue el caso del descubrimiento teórico del neutrino (PAULI, 1930)para explicar un aparente fallo del principio de conservación de la energía en losfenómenos de radiactividad β de los núcleos atómicos. Con posterioridad el neutrinofue detectado por COWAN y REINES, en 1956.

Así pues, el concepto de energía se ha ido generalizando para incluir otrasformas, además de la cinética y potencial, y ha sido esta generalización la que hapermitido relacionar la Mecánica de los cuerpos en movimiento con fenómenos nomecánicos, o en los que el movimiento no se detecta fácilmente. En este sentido, elconcepto de energía ha relacionado la Mecánica con las demás ramas de la Ciencia

Natural y se ha convertido en una de las grandes ideas unificadoras de la Física.

§11.9. Crítica del concepto de energía.- En estas dos últimas leccioneshemos visto como podemos abordar ciertos problemas sobre el movimiento de lapartícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición de aquélla. Ha sidoprecisamente este problema el que nos ha llevado al concepto de energía.

Atribuimos el movimiento de la partícula a las interacciones que tienen lugarentre ella y su medio ambiente; esto es, otras partículas, en definitiva. Representamosdichas interacciones mediante los conceptos de fuerza y de energía. Tanto la fuerza

como la energía son, pues, simples entes físico-matemáticos que no tienen otropropósito que representar convenientemente las diferentes interacciones queobservamos en la Naturaleza, de modo que a través de ellas podemos analizar ypredecir el movimiento de las partículas y de los sistemas de partículas. El conceptode energía potencial, al igual que el de fuerza, nos permite asociar con cada formaespecífica de interacción una forma específica de energía, y es precisamente esarelación la que llena de contenido y significado físico a la idea de energía.

En las lecciones que siguen, iremos redundando en la idea de que la interacciónentre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o de cantidadde movimiento. Cualquiera de ambas descripciones puede resultar útil pararepresentar la interacción. De ese modo, parece como si relegásemos el concepto defuerza a un papel secundario. En muchos problemas realmente será así (es el caso,como ya hemos dicho varias veces de la Física Atómica y Nuclear), pero no debemosolvidar que, en último extremo, los conceptos de cantidad de movimiento y de



§11.9.- Crítica del concepto de energía. 289

energía han sido desarrollados a partir del concepto de fuerza, aunque no eranecesario proceder de ese modo, ya que tanto el concepto de cantidad de movimientocomo el de energía pueden considerarse como primarios y autosuficientes.

§11.10. Principio de conservación de la masa.- Desde un punto de vista

histórico, la primera ley de conservación en la ciencia fue la referente a laconservación de la materia. En su obra De rerum natura, el poeta romano LUCRECIO,contemporáneo de Julio Cesar y de Cicerón, enunciaba lo que puede considerarsecomo uno de los primeros indicios de un importante principio general de la Ciencia:

"Las cosas no pueden surgir de la nada y, una vez que son, no puedenregresar a la nada."

Sin embargo, hemos de hacer notar que existe una gran distancia entre elpanegírico de Lucrecio y la moderna ley de conservación de la masa que establece

que"... a pesar de los cambios de posición, forma, aspecto, composición química..., la masa de un sistema cerrado permanece constante."

La idea de un sistema cerrado, que surge como una consecuencia del trabajo deGalileo sobre el movimiento de los cuerpos, fue un requisito previo a la formulacióndel principio de conservación de la masa. Aunque ya en tiempos de Newton seaceptaba que por encima de los cambios de forma, color, volumen, posición ... hayalgo que es duradero y constante (i.e., la masa), el principio de conservación de lamasa no fue establecido firmemente hasta mucho tiempo después. La contribución

experimental más importante fue hecha por el químico francés Antoine Laurent DELAVOISIER (1743-1794), quién demostró, por la incontrovertible evidencia de labalanza, que

"Debe considerarse como un axioma incuestionable que en todas las acciones del Arte y de laNaturaleza, nada se crea; antes y después del experimento existe la misma cantidad de materia... y nada ocurre que no sean cambios y modificaciones en las combinaciones de estoselementos."

Sin embargo, a pesar del enfático enunciado de Lavoisier, todavía quedaba lugara duda. Un químico moderno, que examinase los resultados cuantitativos de los

experimentos de Lavoisier y reparase en el grado de exactitud que éste pudo alcanzarcon sus aparatos, quedaría en una actitud escéptica frente a la afirmación de que "elaumento de peso de uno coincide exactamente con la pérdida del otro". Sin embargo,la ley era plausible y la mayor parte de los científicos del siglo XIX la aceptaron. Apartir de 1890, otro químico, Hans LANDOLT (1831-1910), animado por las dudasexpresadas por Lothar MEYER (1830-1895), realizó una extensa investigaciónexperimental sobre la conservación de la masa en las reacciones químicas; en 1909estableció la siguiente condición:

" ... ningún cambio en el peso total puede determinarse en cualquier reacción química ... Laprueba experimental de la ley de la conservación de la masa puede considerarse completa. Si

existe alguna desviación, deberá ser menor de una milésima de miligramo."

§11.11. Masa y energía.- Si no dispusiéramos de más evidencia válida que lareferente a los experimentos con sistemas que reaccionan químicamente, deberíamos




llegar a la conclusión de que la ley o principio de conservación de la masa escorrecta. Un químico moderno que repitiera los experimentos de Landolt, aun cuandoutilizarse el mejor equipo disponible, llegaría a la misma conclusión que aquél;únicamente conseguiría reducir su margen de error.

Sin embargo, existen otros tipos de procesos en los que cambia la masa del

sistema. Los más importantes son aquéllos que incluyen reacciones entre núcleos ató-micos (reacciones nucleares) y entre partículas elementales, tales como la desintegra-ción radiactiva, fisión, fusión, creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula... En algunos de estos fenómenos, como en los de creación y aniquilación de pares,la masa del sistema puede ser creada y aniquilada por completo. En otros, la masadel sistema simplemente aumenta o disminuye, a partir de un cierto valor inicial.

Por otra parte, la masa de una partícula puede incrementarse extraordinariamentecuando se la acelera hasta velocidades próximas a la de la luz. Este efecto, que es unefecto relativista, ya era conocido antes de 1905, fecha en que se publica el primer

trabajo de Albert EINSTEIN (1879-1955) sobre la Teoría de la Relatividad Especial:"Sobre la electrodinámica de los cuerpos móviles" (Annalen der Physik 17 (1905) 891-921).El incremento de masa que experimentan las partículas aceleradas a altas velocidadeshabía sido descubierto experimentalmente por W. KAUFMANN, en 1902, desviandoen campos eléctricos los electrones de alta velocidad emitidos en la desintegraciónβ de los núcleos radiactivos.

En 1905, Einstein llega a la conclusión de que la masa ponderable y tangible deuna partícula, cargada o no, crece con la velocidad de acuerdo con la ecuación

[11.34]m

m0

1 v 2 / c 2

en donde m0 es la masa de la

Figura 11.8

partícula en reposo con respec-to al observador, llamada masa

en reposo, y m es la masa dela partícula cuando se muevecon una velocidad v conrespecto al mismo observador

y es llamada masa relativista.En la Figura 11.8 se representagráficamente el cociente m / m0

frente a la velocidad de lapartícula, medida en unidadesde la velocidad de la luz (estoes, β=v / c). Obsérvese que para

velocidades tales que β > 0.9, la masa relativista es varias veces mayor que la masaen reposo, y que tiende hacia infinito a medida que β tiende hacia 1, o sea cuandola velocidad v de la partícula se aproxima a la velocidad c de la luz.

La Dinámica Relativista será objeto de atención en una lección posterior; ahorasólo trataremos de desprender, mediante un razonamiento sencillo, algunasconsecuencias interesantes de la ecuación [11.34]. Llamando β al cociente v / c, la ec.[11.34] puede escribirse en la forma



§11.11.- Masa y energía. 291

[11.35]m m0 (1 β 2 ) 1/2

de modo que desarrollando la expresión anterior por la fórmula del binomio

[11.36]m m0

(1 1

2

β 2 3

8

β 4 ...)

Entonces, si v c, o sea si β 1, con muy buena aproximación7 podemos escribir

[11.37]m ≈ m0 (1 1

2β 2 ) m0 (1 v 2

2c 2) m0

1

2m0v 2

c 2

resultado que nos ofrece una sorprendente interpretación física del incremento demasa con la velocidad, ya que

[11.38]Δm m m0

1

2 m0v2

c 2

donde podemos identificar el término ½m0v2 con la energía cinética clásica de lapartícula; esto es,

[11.39]Δm E k

c 2

y llegamos a la idea, al tratar de comprender el cambio de la masa con la velocidad,

de que la energía cinética adquirida durante el proceso de aceleración de la partículaha aumentado su masa o inercia en la cantidad E k / c2. Ese es el significado de la

ecuación [11.39]; decir que la energía tiene masa, que la energía es masa, o que esequivalente a la masa, sólo son expresiones del lenguaje que no añaden nada nuevoal significado físico de la ecuación [11.39].

Aunque hemos llegado a establecer la ecuación [11.39] mediante una aproxi-mación, la citada ecuación es cierta en general. Pero es más, la idea básica de quela energía es equivalente a la masa puede extenderse a otras energías distintas de lacinética. Así, por ejemplo, al comprimir un resorte, realizando un trabajo sobre él ysuministrándole, con ello, una energía potencial elástica E

p, su masa se incrementa

en E p / c2. Igualmente, un cuerpo incrementa su masa cuando lo calentamos; en este

caso si es Q la energía térmica (calor) que le hemos suministrado, su incremento demasa será Q / c2.

En resumen, el principio de equivalencia entre la masa y la energía estableceque por cada unidad de energía (1 joule) que suministramos a un objeto material sumasa se incrementa en

[11.40]1 J

( 3 × 108 m/s )21.1 × 10 17 kg

7 En general, es válida la aproximación (1 + )n = 1 + n , cuando 1.




y esto no significa que ahora haya más moléculas que antes; lo que se ha modificado

es la masa o inercia observable del objeto. Obsérvese que, debido al factor c2, loscambios de masa sólo serán apreciables cuando se pongan en juego energías muygrandes. Por esa razón, los cambios de masa no son apreciables en las reaccionesquímicas, en las que las energías puestas en juego son relativamente pequeñas, pero

tendrán una gran importancia en las interacciones nucleares o en la Física de AltasEnergías.

La equivalencia entre la masa y la energía, esto es la famosa expresión deEinstein

[11.41] E (Δm) c 2

puede ser considerada como la contribución más significativa de la Teoría de laRelatividad. De hecho, como la masa en reposo es tan sólo una forma de energía,podemos asignar una energía m0c2, llamada energía en reposo, a la partícula de masa

m0 y considerarla como un paquete de energía (este concepto puede generalizarseincluso para partículas, como el fotón, cuya masa en reposo es nula).

Teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía, el principio de conservaciónde la energía (o el de la masa) deben reformularse. Una forma simple de hacer estoes considerar todo objeto del sistema como una fuente potencial de aniquilacióncompleta, esto es, como capaz de "desmaterializarse" para transformarse en energía"pura e inmaterial". De este modo, para un sistema cerrado y aislado, la cantidad deenergía en reposo ( m0c2) más las restantes formas de energía ( E ), es constante;esto es

[11.42]( m0c 2 E ) cte

expresión que podemos considerar como la generalización del principio deconservación de la energía total, o también como una generalización del principiode conservación de la masa, si preferimos escribir [11.42] en la forma

[11.43]( m0

E

c 2) cte

Las expresiones [11.42] y [11.43] tienen esencialmente el mismo contenido. Tal

como fue escrito por Einstein ..."La física prerrelativista contiene dos leyes de conservación de importancia fundamental; asaber: la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la masa; ambas aparecencon total independencia la una de otra. En la Teoría de la Relatividad, ambas se funden en unsolo principio."



Problemas 293

Problemas

11.1.- En la obra de Huygens, HorlogiumOscillatorum (1673), encontramos laproposición siguiente: "Cuando un péndulooscila de modo que su amplitud es de 90°, alpasar por la posición más baja resulta que latensión del hilo es el triple de la que le corres-pondería si el péndulo estuviese inmóvil."Demostrar esta proposición.

11.2.- En la

Prob. 11.2

f i g u r a , s erepresenta unpéndulo simple,de longitud l,c uy as o sc i-laciones estánlimitadas por laexistencia deun clavo hori-zontal situado auna distancia2l /3 del punto de suspensión y en su mismavertical. Determinar el ángulo Θ desde el quedebemos abandonar la masa pendular para queel hilo de suspensión se enrolle en el clavo.

11.3.- Colgamos un cuerpo de masa m del ex-tremo inferior de un muelle vertical que estásujeto del techo por su otro extremo, y lo deja-mos descender lentamente, soportándolo con lamano, lo que hace que el muelle se estire unadistancia d . ¿Cuál sería el máximo descensodel cuerpo si lo hubiéramos dejado caerbruscamente?

11.4.- Una partícula de masa m está situada en

la cima de una hemiesfera lisa, de radio R, queestá apoyada por su base sobre un plano hori-zontal. Cuando desplazamos ligeramente lapartícula de su posición de equilibrio comienzaa deslizar sobre la superficie de la esfera. Laposición de la partícula queda determinada encada instante por el ángulo θ que forma elradio-vector correspondiente con la vertical.a) Tomando el plano de la base como nivel dereferencia, expresar las energías potencial ycinética de la partícula en función del ánguloθ. b) Ídem las aceleraciones tangencial y

normal. c) Determinar el valor del ángulo parael cuál la partícula se despega de lahemiesfera. d) En el caso de que existieserozamiento, ¿el ángulo correspondiente a la

posición de despegue sería mayor o menor queel anteriormente calculado?

11.5.- Una partícula se mueve bajo la acciónde una fuerza única, que es conservativa. ¿Enqué condiciones, si es que las hay, es posibleque aumente la energía potencial de la partícu-la?

11.6.- Un cable flexible y uniforme, de longi-tud l, está colgado en una pared verticalpasando sobre un clavo fijo y liso. Inicial-

mente el cable se encuentra en equilibrio.Calcular la velocidad que adquiere el cable, enel instante en que abandona al clavo, cuandose le separa ligeramente de su posición deequilibrio.

11.7.- Considérese una masa puntual m suspen-dida de un punto fijo O mediante un hiloelástico de longitud natural l y constanteelástica k . Supongamos que abandonamos elsistema, con el hilo en su longitud natural yhorizontal. a) Demostrar que cuando el hilo

pasa por la posición vertical, se habrá alargadouna cantidad Δl = 3mg / k ; siempre que Δlpueda considerarse mucho más pequeña que l.b) Demostrar, en esas condiciones, que lavelocidad de la masa puntual, en el punto másbajo de su trayectoria, es

v 2g ( l3mg

2k )

que es menor que la que le correspondería parauna cuerda inelástica (k =∞). Explicarfísicamente estos resultados.

11.8.- Un pequeño objeto desliza, sin roza-

Prob. 11.8

miento, por un carril situado en un plano verti-cal, que está compuesto por un tramorectilíneo seguido de un tramo circular de 4 mde radio, y que subtiende un ángulo θ=30° a




cada lado de la vertical, como se muestra en lafigura. Si el pequeño objeto pesa 20 g y partedel reposo de la posición H = 10 m, calcular laaltura máxima (h) que alcanzará después deabandonar el carril.

11.9.- Demostrar que el ritmo o velocidad devariación de la energía cinética de una partícu-la viene dado por d E k /dt = F v, siendo F lafuerza resultante que actúa sobre la partícula yv su velocidad. Interpretar este resultado.

11.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subirpor un plano inclinado de 30° con una veloci-dad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia reco-rrerá sobre el plano, antes de detenerse, si elcoeficiente cinético de rozamiento vale 0.25?b) Sea 0.45 el coeficiente estático de roza-miento. ¿Volverá a bajar el bloque, plano

hacia abajo, después de haberse detenido? Encaso afirmativo, ¿cuál será su velocidad alllegar de nuevo al pie del plano?

11.11.- Una pelota de ping-pong se deja caersobre un suelo duro y rebota hasta el 90% desu altura original. a) Encontrar una expresióngeneral para la altura máxima de la pelota des-pués del n-ésimo rebote. b) Ídem para la pérdi-da de energía y la fracción de pérdida de ener-gía de la partícula después del n-ésimo rebote.c) ¿Cuántos rebotes se necesitarán para que la

altura máxima de la pelota se reduzca a un 5%de su valor inicial. d) Hacer una estimacióndel tiempo máximo durante el cuál estarábotando la pelota, cuando se la deja caer desdeuna altura inicial de 5 m.

11.12.- Una masa puntual, m, está unida al ex-tremo superior de una varilla rígida y ligera,de longitud l, que puede girar alrededor de uneje horizontal que pasa por su extremoinferior. Se abandona el sistema a partir de laposición vertical (equilibrio inestable), enreposo. a) Expresar la tensión en la varilla enfunción del ángulo que forma ésta con lavertical. b) Calcular el ángulo que formará lavarilla con la vertical cuando la tensión en lamisma pasa de ser compresora a tensora.

11.13.- Una vagoneta, abierta por su partesuperior, que marcha con una velocidad cons-tante de 4 m/s es cargada con 10 t de carbón,mientras pasa bajo una tolva de descarga, enun tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extrahabrá que aplicar a la vagoneta para que suvelocidad permanezca constante durante el

proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizaráesa fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinéti-ca experimenta el carbón? d) Explicar ladiscrepancia entre los resultados de los dosapartados anteriores.

11.14.- Un a

Prob. 11.14

bolita de pe-queñas di-m e n s i o n e srueda en uncarril circular

situado en unplano verti-cal, como semuestra en lafigura. Cuan-do la bolitapasa por el punto más bajo del carril lleva unavelocidad v0. a) ¿Cuál deberá ser el valormínimo de v0 a fin de que la bolita complete latrayectoria circular sin despegarse del carril?b) Sea vmín el valor anteriormente calculado ysupóngase ahora que es v0 = 0.837 vmín. Bajo

estas condiciones determinar la posición angu-lar θ del punto P en el que la bolita sedespega del carril, así como su celeridad enese instante.

11.15.- Una bolita, de pequeñas dimensiones,

Prob. 11.15

de masa m, desliza sin rozamiento por uncarril, como se muestra en la figura. La bolitase abandona en reposo en un punto P, situadoa una altura h sobre el nivel de referencia, des-ciende por el carril y prosigue por el interiorde la circunferencia vertical de radio R.Deseamos ajustar la posición del punto P demodo que la bolita abandone el carril circularen un cierto punto M y que, en el subsiguiente

movimiento sin ligaduras, vaya a pasar por elcentro de la circunferencia (punto O). a) De-terminar el valor del ángulo α correspondientea la posición M en que la bolita se despega delcarril circular, así como la velocidad de labolita en ese instante. b) Determinar la alturah del punto P para conseguir el resultadodeseado. Aplicación numérica: R = 50 cm.

11.16.- Una partícula se mueve sobre el eje x

bajo la acción de una fuerza dada por F = -16 x+ 8 x3 (SI). a) Representar gráficamente la fun-ción energía potencial E p( x). b) Analizar elmovimiento de la partícula para diversosvalores de su energía total. c) Determinar los



Problemas 295

puntos de retorno para E = 4 J. d) Ídem para E = - 4 J.

11.17.- La energía potencial de una partículade 2 g de masa que se mueve sobre el eje xviene dada por E p = 24 x2e-2 x, donde x estáexpresada en cm y E

p

en ergios. a) Determinarlas posiciones de equilibrio de la partícula, así como las energías potenciales correspondientesa esas posiciones. b) Represéntese gráfi-camente la función E p( x) y discútanse losmovimientos posibles de la partícula. c) ¿Cuá-les son los puntos de retorno correspondientesa una energía total de 2 erg? d) Considérese lapartícula en reposo en el punto de coordenada x = 0.5 cm; ¿Cuál será la velocidad de lapartícula cuando pase por el origen de coor-denadas? e) Calcular el periodo de las peque-ñas oscilaciones de la partícula alrededor de laposición de equilibrio estable.

11.18.- Una partícula, de masa m, se muevebajo la acción de una fuerza conservativa quederiva de un potencial dado por

E p a 2 E 0a 2 x 2

8a 4 x 4

donde a y E 0 son constantes. a) Representargráficamente E p( x) y F ( x), determinar las posi-

ciones de equilibrio y discutir los movimientosposibles. b) La partícula parte con una veloci-dad inicial v∞ de un punto muy lejano y diri-giéndose hacia el origen; ¿qué velocidadtendrá cuando pase por el origen? c) Como enel apartado anterior, pero la partícula, al pasarpor x=a sufre un choque con otra partícula,durante el cual pierde una fracción α de suenergía cinética. ¿Cuál ha de ser el valor míni-mo de α para que la partícula quede atrapadaen el pozo de potencial? d) ¿Cuál ha de ser elvalor mínimo de α para que la partícula quede

atrapada en una de las paredes del pozo?e) ¿Cuáles serán los puntos de retorno si α=1?

11.19.- Una partícula, de masa m, se muevesobre el eje x bajo la acción de una fuerza F dada por

F kxc

x 3

donde k y c son constantes. a) Expresar y

representar gráficamente la energía potencial E p( x) de la partícula y describir los rasgos másconspicuos del movimiento de la misma.b) Obténgase la solución x(t ). c) Determinar el

periodo de las pequeñas oscilaciones en tornoa la posición de equilibrio.

11.20.- Una partícula de 2 g de masa se muevebajo la acción de una fuerza que vieneexpresada por

F = 2(3 x+ y)i + 2( x+4 yz) j + 4 y2 k

con x, y, z en cm y F en dyn. Cuando pasa porel punto de coordenadas (3,2,1) tiene unaceleridad de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridadcuando pase por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem porel punto (1,-3,0)?

11.21.- Encontrar y analizar las posiciones deequilibrio de una partícula cuya energía poten-cial está expresada por

a) E p = x3 + y3 - 3 x - 12 y

b) E p = 9 x2 - 4 y2 - 18 x + 24 y - 25

c) E p = ( x2 + y2 - 4)2

d) E p = ( x2 + y2 - 9) expr[-( x2 + y2)

11.22.- Agrupamiento α. La energía potencial

Prob. 11.22

de una partícula α en el interior de un núcleopesado queda descrita cualitativamente, en fun-ción de su

distancia alce ntr o d elnúcleo, por lagráfica quese muestra enl a f ig ur a.a) Encontraruna funciónde r que seajuste a esag r á f i c a .b ) D e t e r -

minar la fuerza que actúa sobre la partícula αen función de r . c) Describir los movimientosposibles de la partícula α.

*11.23.- Pozo de potencial rectangular.Consideremos un pozo de potencial rectangu-lar, de profundidad U 0, i.e., una región delespacio en la que la energía potencial de unapartícula venga dada por una función E p(r ) talque E p(r )=0 para r > R y E p(r )=-U 0 para r ≤ R.Una partícula, de masa m, incide con unavelocidad v0 sobre el pozo de potencial, con un parámetro de impacto s

, como se ilustra en lafigura, atraviesa el pozo y, tras experimentardos refracciones, emerge en una dirección queforma un ángulo θ con su dirección inicial.a) Determinar la velocidad de la partícula enel interior del pozo. b) Demostrar que entre el




parámetro de impacto y el ángulo de desvia-

Prob. 11.23

ción existe la relación

s 2 R 2

n 2 sen2 θ2

n 2 1 2n cos θ2

con n 12 U 0

mv20

c) Comprobar que la desviación máxima de lapartícula al atravesar el pozo de potencial sepresenta para s= R y que su valor es

cosθmáx

21n

11.24.- El electrón-voltio.- En Física Atómicay Nuclear se utiliza preferentemente la unidadde energía llamada electrón-voltio (eV) y susmúltiplos (keV, MeV, GeV ...), que se definecomo el trabajo realizado sobre la carga de unelectrón cuando se desplaza entre dos puntoscuya diferencia de potencial es un voltio.Demostrar que 1 eV = 1.602 177×10-19 J.

11.25.- Unidad de masa atómica.- La unidadde masa atómica (u) se define como la docea-va parte de la masa del átomo de Carbono-12.a) Demostrar que 1 u = 1.660 540×10-27 kg(Recuérdese que el número de Avogadro es N A = 6.022 045×1023 moléculas/mol). b) De-mostrar que el equivalente energético de 1 u es931.494 MeV.

11.26.- Las masas del electrón, del protón ydel neutrón son, respectivamente

me = 9.109 396 ×10-31 kg

mp = 1.672 623 ×10-27 kg

mn = 1.674 928 ×10-27 kg

Expresar dichas masas en u y en MeV. (Lavelocidad de la luz es c=2.997 925×108 m/s).

11.27.- Un electrón se mueve con una veloci-

dad v = 0.99 c. a) ¿Cuál es su masa relativistaa esa velocidad? b) Encontrar la relación entrelas energías cinéticas relativista y clásica delelectrón para esa velocidad? c) Expresar laenergía cinética relativista del electrón enMeV.

11.28.- Un protón, con una energía cinética de100 keV se lanza frontalmente contra el núcleode un átomo de plomo ( Z =82), que considera-remos fijo. a) ¿Cuál será la distancia demáxima aproximación del protón al núcleo deplomo? b) ¿Son importantes, a esa distancia,las fuerzas nucleares?

11.29.- Energía de enlace de la partícula α.Las masas del protón, del neutrón y de lapartícula α (núcleo del Helio-4) son, respec-tivamente, de 1.007 825 u, 1.008665 u y4.002 600 u. Con estos datos, calcular laenergía que debemos de suministrar a lapartícula α para disociarla completamente ensus componentes. Esa energía recibe el nombrede energía de enlace.

11.30.- Se cree que el Sol obtiene su energíaradiante mediante un proceso de fusión en elcual, después de unos pasos intermedios, seforman núcleos de helio-4 a expensas de proto-nes y neutrones libres. El proceso esexoenergético y la energía se libera en formade radiación. a) Calcular la energía liberada encada proceso de fusión conducente a la for-mación de un núcleo de helio-4. b) Ídem con-ducente a la formación de un gramo de he-lio-4. Exprésense esas energías en MeV y enW h.

11.31.- En el proceso de creación de un parelectrón-positrón, un rayo gamma (radiaciónelectromagnética) se materializa en un electróny en su antipartícula, el positrón, que tiene lamisma masa que aquél y cuya carga es de lamisma magnitud que la del electrón, sólo quepositiva. Calcular, en MeV, la energía mínimadel rayo gamma para que pueda producirse lacreación del par electrón-positrón.

lecciones de física ortega 11

Documents