El método del lugar de las raíces es una técnica grafica que permite determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las localizaciones de los polos y ceros en lazo abierto cuando algún parámetro (generalmente la ganancia) varia de cero a infinito. El método proporciona un indicio claro de los efectos del ajuste del parámetro.

En la práctica, una grafica del lugar de las raíces de un sistema indica que el comportamiento deseado no puede obtenerse con solo el ajuste de la ganancia.

De hecho, en algunos casos, el sistema puede no ser estable para todos los valores de ganancia. En este caso, es necesario volver a construir los lugares de las raíces para cumplir las especificaciones de comportamiento.

Efectos de la adición de polos.

La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene efecto de desplazar el lugar de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta.

Efectos de la adición de ceros.

La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene efecto de desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda, lo cual tiende a hacer el sistema más estable, y se acelera el tiempo de asentamiento de la respuesta.

Al desplazar el lugar de las raíces a la izquierda, el sistema:

Su respuesta :

Aumenta su estabilidad relativa.

Correcto

Para correr el lugar geométrico de las raíces a la derecha, se debe:

Su respuesta :

Agregar un polo de lazo abierto.

Correcto

Existen diversas formas de obtener compensadores de adelanto en tiempo continuo (analógicos), como, por ejemplo, las redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos.

Considérese un problema de diseño en el que el sistema original sea inestable para todos los valores de la ganancia o estable pero con características no deseables de la respuesta transitoria. En este caso, es necesario volver a construir el lugar de las raíces en la proximidad del ejejwy del origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estén en posiciones deseadas en el

plano complejo. Este problema se soluciona introduciendo un compensador de adelanto adecuado en cascada con la función de transferencia del camino directo.

Considérese el problema de encontrar una red de compensación adecuada para un sistema que presenta características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características no satisfactorias en estado estacionario. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin modificar de forma notable las características de la respuesta a transitoria. Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar de las raíces en la proximidad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementar la ganancia en lazo abierto tanto como se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de retardo en cascada con la función de transferencia de lazo abierto de terminada.

Para evitar un cambio apreciable en los lugares de las raíces, la contribución de ángulo de la red de retardo debe limitarse a un valor pequeño, por ejemplo 5 grados .Para asegurar esto, se sitúan el polo y el cero de la red de retardo relativamente cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema compensado solo se alejaran ligeramente de sus situaciones originales. Por tanto, la característica de la respuesta transitoria cambiara muy poco.

El compensador en adelanto se usa cuando:

Su respuesta :

Se requiere mejorar las caracteristicas en estado estacionario.

Correcto.

La compensación de adelanto básicamente acelera e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de retardo mejora la precisión en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario, deben utilizarse de forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de retardo. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensador de retardo, ambos como elementos independientes, es mas económico utilizar un compensador de retardo-adelanto.

La compensación de retardo-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de retardo y de adelanto. Debido a que el compensador de retardo-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en

dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado.

Recuerde que se utiliza cuando el sistema no cumple las especificaciones transitorias y un solo ajuste de ganancia no es suficiente.

Procedimiento de diseño:

1. De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de los polos dominantes de lazo cerrado.

2. Trazar el diagrama del lugar geométrico de las raíces. para el sistema no compensado cuya función de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular ?, este ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo lugar geométrico de las raíces pase por las ubicaciones deseadas.

3. Suponga que la función de transferencia del compensador en adelanto es:

donde ? y T se determinan a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto. Entonces la F.T. de lazo abierto del sistema compensado es Gc(s)G(s).

4. Si las constantes de error estático no se especifican determine la ubicación del polo y cero del compensador en adelanto. (Si se especifica alguna constante de error estático, en general es más simple utilizar el procedimiento de respuesta en frecuencia).

5. Determine la ganancia de lazo abierto del sistema compensado partiendo de la condición de magnitud. La compensación en adelanto, se caracteriza por tener el cero más cercano al origen que el polo y modifica substancialmente la ubicación de polos de lazo cerrado. Ubicación del cero y polo en compensación en adelanto

Losprocedimientosparadiseñaruncompensadordeadelantopara un sistema, teniendo en cuenta que se utiliza cuando el sistema cumple las especificaciones transitorias y no las de estado estacionario (error), son:

1· Trazar el diagrama de lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado cuya función de transferencia es G(s). Basado en las especificaciones transientes, ubique los polos dominantes de lazo cerrado en lugar geométrico de las raíces

2· Suponga que la función de transferencia del compensador en atraso es:

? > 1

Entonces la Función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es Gc(s)G(s).

3· Evalúe el coeficiente de error estático particular especificado en el problema.

4· Determine la magnitud del aumento en el coeficiente de error estático para satisfacer las especificaciones.

5· Determine el polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento necesario en el coeficiente de error, sin alterar de forma notoria el L.R. original (Note que la relación entre la ganancia requerida y la ganancia hallada es la relación entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen.

6· Trace el nuevo lugar geométrico de las raíces Ubique los polos de lazo cerrado

7· Ajuste la ganancia Kc del compensador partiendo de la condición de magnitud.

Por lo tanto el sistema se caracteriza por:

Un par polo-cero muy próximos al origen. Muy próximos entre sí. El polo mas cerca del origen. NO modifica substancialmente el lugar de las raices.

Observe como queda la ubicación polo cero en compensación en atraso satisfactorio:

La diferencia entre la función de transferencia de un compensador de adelanto y uno de atraso es:

Su respuesta :

Para el compesador de adelanto alfa esta entre cero y uno mientras que para el compensador en atraso beta es mayor de uno.

Correcto

Compensador en Adelanto/Atraso

Un compensador en Adelanto/Atraso combina los efectos de un compensador en adelanto con los de un compensador en atraso. El resultado es un sistema con una mejora en la respuesta transitoria, estabilidad y error de estado estacionario. Para implementar un compensador en adelanto/atraso, primero se diseña el compensador en adelanto para lograr la respuesta transitoria y estabilidad deseadas, y entonces agregue un compensador en atraso para mejorar la respuesta de estado estacionario

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set). p(s) = Kpproporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.

P: Acción de control proporcional: Da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t), que descrita desde su función transferencia queda:

donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set).

I: Acción de control integral: Da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

 

La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero.se define mediante

PI: Acción de control proporcional-integral: Se define mediante

donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral. La función de transferencia resulta:

Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente.

Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero. Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escalón.

PD: acción de control proporcional-derivativa:

donde

Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que sólo es eficaz durante períodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:

Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error de estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable.

PID: acción de control proporcional-integral-derivativa:

y su función de transferencia resulta:

Esta acción combinada reune las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

El control derivativo hace que se responda más rápido a la señal de error, por ello se usa cuando:

Su respuesta :

Se requiere de una respuesta rápida y se coloca el controlador derivativo en cascada con la planta.

Correcto

"El control integral elimina el error de estado estacionario pero hace más lenta la respuesta del sistema al error".

Del anterior texto podriamos decir que:

Su respuesta :

Define de forma concreta el concepto de control Integral.

Correcto

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.

Primer método.

En el primer método, la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura. Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este método no es pertinente. Tales curvas de respuesta escalón se generan experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta.

La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea c(t)=K, como se aprecia en la figura.

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla.

Segundo método.

En el segundo método, primero establecemos Ti= infinito y Td=0. Usando sólo la acción de control proporcional, se incrementa Kp de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este método. Por tanto, la ganancia critica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente. Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla.

Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se han usado, junto con otras reglas, ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisión la dinámica de la planta. Tales reglas de sintonización han demostrado ser muy útiles durante muchos años. Por supuesto, las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se pueden aplican a las plantas cuya dinámica se conoce, sin embargo en estos casos, se cuenta con muchos enfoques analíticos y gráficos para el diseño de controladores PID, además de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols.

En el proceso de sintonia de los controladores PID, para aplicar el segundo metodo de Ziegler-Nichols, se debe garantizar:

Su respuesta :

Establecer Ti=infinito, Td=0; usando solo la acción del control proporcional se debe buscar un Kp que garantice permanentemente oscilaciones sostenidas a la salida.

Correcto.

Cuando se desea sintonizar una planta con un controlador P haciendo uso de segundo metodo de las Reglas de Ziegler-Nichols, se debe hacer las siguientes consideraciones:

Su respuesta :

El tiempo derivativo igual a cero y el tiempo integral debe hacerse igual a infinito.

Correcto

Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se han usado, junto con

otras reglas, ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que:

Su respuesta :

No se conoce con precisión la dinámica de la planta.

Correcto

Un controlador proporcional derivativo:

Su respuesta :

Amplifica el error.

Correcto