lecciÓn 25: graficas de la funciÓn y = mx + b · 2017-06-19 · tema: patrones y ecuaciones...

LECCIÓN 25: GRAFICAS DE LA FUNCIÓN y = mx + b CONTENIDO: Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y= mx + b, en la grafica correspondiente. A. TABLAS DE TABULACIÓN Y GRAFICAS DE FUNCIONES.

Una función es una regla de equivalencia donde cada valor de x (dominio que representa a los valores de la variable independiente) le corresponden solo un valor de y (contradominio, imagen o rango que representa a los valores de la variable dependiente). EJEMPLO: Dibuja la grafica que corresponde a la siguiente ecuación. Para ello, primero asigna algunos valores a “x” y después encuentra los valores de “y”. a) 3.3x + 2.2y = 4.4

EJERCICIO ______: Dibuja la grafica que corresponde a la siguiente ecuación. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. a) x + 2y = 4

b)

EJEMPLO: Un taxista cobra una cuota fija de $7.20 al abordar el taxi y $1.50 por cada minuto siguiente. Elabora una tabla donde se muestre el costo de un recorrido que dure de 0 a 10 min y grafica. ¿Qué función describe esta situación?

DATOS

EJERCICIO ______: Realiza lo que se pide en cada caso. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

FUNCIÓN:

a) Un resorte que mide 9 cm de longitud se utiliza para colgar de él varios pesos se observa que con cada kilogramo, el resorte se estira 2 cm. Completa la taba y grafica. Obtén la función que represente el problema.

DATOS

b) Los vendedores de un almacén ganan $180.00 diarios más $10.00 por cada venta realizada. Crea una tabla y su grafica. Obtén la función que represente el problema.

DATOS

B. FAMILIAS DE GRAFICAS DE LA FORMA y = mx + b En la expresión y = mx + b las variables son “x” y “y” las letras “m” y “b” se llaman PARÁMETROS porque representan constantes dentro de una función particular.

Donde: x = Variable Independiente y = Variable Dependiente m = Pendiente b = Ordenada al origen (x = 0) EJEMPLO: Escribe 3 funciones de la forma: y = mx + b y anota el valor de los parámetros m y b de cada una de las funciones.

Función Lineal

Función de 1er. Grado

Formula General de la Recta

y = mx + b

FUNCIÓN:

FUNCIÓN:

y = mx + b

1)

m = b =

2)

m = b =

3)

m = b =

Podemos observar que los tres ejemplos tienen la misma forma algebraica, solo son diferentes en sus parámetros m y b. Una FAMILIA es la totalidad de funciones o graficas que solo son diferentes en uno de sus parámetros. a) COMPORTAMIENTO DE GRAFICAS DE LA FAMILIA y = mx + b AL MODIFICAR EL VALOR DE “ b ” EJEMPLO: Elabora una tabla de tabulación y la grafica de la función y = 2x + 1. Identifica el valor de la pendiente y el valor de la ordenada al origen (x =0).

Función

Pendiente m =

Ordenada al origen (x =0) b =

EJEMPLO: Escribe 3 ejemplos de la familia de funciones de la forma y = mx + b cuando la pendiente es igual a 3.

y = mx + b

Como puedes observar solo son diferentes en el parámetro: __________

1)

m = b =

2)

m = b =

3)

m = b =

¿Son los únicos ejemplos que se pueden hacer?

¿Cuántas funciones conforman ha esta familia?

¿Cómo queda indicada esta familia?

EJERCICIO _______: Elabora la tabla de distribución de cada una de las siguientes funciones. Traza sus graficas correspondientes en un solo plano cartesiano utilizando un diferente color para cada función. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) y = 2x - 4 b) y = 2x - 2 c) y = 2x d) y = 2x + 2 e) y = 2x + 4

a) Las 5 graficas tienen la misma inclinación: _________

b) Que tipo de rectas forman las 5 graficas: __________

_____________________________________________

c) ¿Cómo queda indicada esta familia? ______________

d) ¿Cuántas funciones conforman esta familia? _______

______________________________________________

CONCLUSIÓN: a) Si el coeficiente b es positivo, la recta corta al eje de las y en el valor positivo de b. b) Si el coeficiente b es negativo, la recta corta al eje de las y en el valor negativo de b. c) Las cinco graficas tienen la misma inclinación. d) Todas las funciones de la forma y= mx + b que son diferentes en su parámetro b conforman una familia de rectas paralelas. b) COMPORTAMIENTO DE GRAFICAS DE LA FAMILIA y = mx + b AL MODIFICAR EL VALOR DE “ m ” EJEMPLO: Escribe 3 ejemplos de la familia de funciones de la forma y = mx + b cuando la ordenada al origen es igual a 5.

y = mx + b

Como puedes observar solo son diferentes en el parámetro: __________

1)

m = b =

2)

m = b =

3)

m = b =

¿Son los únicos ejemplos que se pueden hacer?

¿Cuántas funciones conforman ha esta familia?

¿Cómo queda indicada esta familia?

EJERCICIO _______: Elabora la tabla de distribución de cada una de las siguientes funciones. Traza sus graficas correspondientes en un solo plano cartesiano utilizando un diferente color para cada función. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) y = x + 3 b) y = 2x + 3 c) y = 3 d) y = -x + 3 e) y = -2x + 3

a) Las 5 graficas tienen la misma inclinación: _________

b) Las 5 graficas coinciden en un punto: _________ en

cual: _______________

b) Que tipo de rectas forman las 5 graficas: __________

______________________________________________

c) ¿Cómo queda indicada esta familia? ______________

d) ¿Cuántas funciones conforman esta familia?

______________________________________________ CONCLUSIÓN: a) Si el coeficiente m es positivo, la inclinación de la recta es hacia la derecha. b) Si el coeficiente m es negativo, la inclinación de la recta es hacia la izquierda. c) Podemos observar que las cinco graficas coinciden en el punto (0,3) d) Todas las funciones de la forma y = mx + b que son diferentes en su parámetro m conforman una familia de rectas que cortan en un punto.

EJE TEMÁTICO: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

TEMA: PATRONES Y ECUACIONES

CONTENIDO: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de 2x2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2x2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus graficas como la solución del sistema.

LECCIÓN 26. SISTEMA DE ECUACIONES

LECCIÓN 27. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

A. GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones se forma con tantas ecuaciones como variables tenga, por lo tanto, si una ecuaciones tiene

2 variables se necesitan 2 ecuaciones para formar un sistema.

EJEMPLO: Escribe 2 sistemas de ecuaciones diferentes.

Sistema de 2x2 Sistema de 3x3

B. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS UTILIZANDO SISTEMAS DE ECUACIONES

EJEMPLO: Realiza los siguientes planteamientos de problemas utilizando sistemas de ecuaciones.

a) La suma de dos números es menos siete y su diferencia es tres. ¿Cuáles son esos números?

DATOS CONDICIONES PLANTEAMIENTO

b) En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, y las patas, son 134. ¿Cuántos animales

hay de cada clase?


c) Un camión de entrega de paquetería llega a un almacén con 11 paquetes chicos y 6 grandes el costo total del flete

es de $525. Si el flete de un paquete grande es de $11 más que el de un paquete chico. ¿Cuál es el costo del flete de

cada uno de los paquetes?


d) La suma del doble de un numero, mas el triple del otro, es 16 y la diferencia del doble del primero, menos el

cuádruplo del segundo, es 2. ¿Cuáles son dichos números?


EJERCICIO _______: Realiza los siguientes planteamientos de problemas utilizando sistemas de ecuaciones. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. a) La suma de dos números es 5 y su diferencia es -9. ¿Cuáles son dichos números?


b) En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase?

(Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).


c) La mitad de la suma de dos números es 10 y el triple de su diferencia es 18. ¿Cuáles son los números?


d) En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada

clase se han utilizado?


e) Por tres corbatas y dos pañuelos se pagaron $400 y por dos corbatas y tres pañuelos se pagaron $350. ¿Cuál es el

precio de cada corbata y de cada pañuelo?


f) Por 8m de una tela y 5m de otra se pagaron $1140 y por 4m de la primera y 10m de la segunda se pagaron $1320.

¿Cuál es el precio por metro de cada tela?


g) Por tres plumas y cuatro lapiceros se pagaron $135 y por 4 plumas y 2 lapiceros se pagaron $130. ¿Cuánto vale

cada pluma y cada lapicero?


h) Para una función de cine se vendieron 300 boletos, unos a $30 y otros a $20. ¿Cuántos se vendieron de cada

precio, si el total de la venta fue de $8 000?


i) La suma del cuádruplo de un número, más el triple de otro, es 55 y la diferencia del doble del primero, menos el

cuádruplo del segundo, es cero. ¿Cuáles son dichos números?


j) La tercera parte de la suma de dos números es -2 y la cuarta parte de su diferencia es -4. ¿Cuáles son esos

números?


C. MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.

Para resolver un sistema de ecuaciones se deberán encontrar el valor de las incógnitas que hagan simultáneamente

verdaderas a todas las ecuaciones del sistema.

MÉTODO GRAFICO

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo

resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.

EJEMPLO: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método grafico y comprueba tu resultado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

1er. Paso: Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones por lo tanto se convierten en funciones.

ECUACIÓN 1 ECUACIÓN 2

2do. Paso: Se construye para cada una de las dos funciones de primer grado la tabla de valores correspondiente

Función 1 Función 2

Método Grafico

Método Analítico

Método de Determinantes

Método de Eliminación

Por Sustitución

Por Igualación

Por Suma y/o Resta

Sistema de Ecuaciones

x – 2y = -7

2y + x = 1

3er. Paso: Graficar cada una de las tablas en un mismo plano cartesiano.

5to. Paso: Comprobación se sustituyen los valores encontrados en las ecuaciones originales.

Ecuación 1 Ecuación 2

EJERCICIO ______: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método grafico. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) b) c) d)

Cortar y resolver en el cuaderno

4to. Paso: Las coordenadas donde se interceptan las 2

graficas, es la solución del sistema.

Solución del sistema: x =

y =

Coordenadas de intersección: _____________

-2x – y = -6

3x - y = 4

4x + 2y = -2

4x + 2y = 5

4x + 10y = 6

2x + 5y = 3

2x + y = 5

x + y = 3

Al graficar los sistemas de ecuaciones de 2x2 se podrán encontrar los siguientes casos:

1. Si al graficar nos resultan 2 rectas paralelas, por lo tanto no va a existir ningún punto de intersección, entonces podemos concluir, que el sistema de ecuaciones “NO TIENE SOLUCIÓN”

2. Si al graficar nos de cómo resultados rectas coincidentes, es decir, todos sus puntos se interceptan obteniendo solamente una recta, entonces el sistema de ecuaciones tiene “INFINITA SOLUCIONES” por lo cual se concluye que es un “SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO”

3. Si al graficar nos da como resultados rectas oblicuas, es decir, se cruzan en un punto ambas rectas entonces el sistema de ecuaciones tiene “UNA SOLA SOLUCIÓN” por lo cual se concluye que es un “SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO”

MÉTODO ANALÍTICO

a) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que

tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

EJEMPLO: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación por sustitución y

comprueba tu resultado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación por sustitución se resuelve

en los siguientes pasos:

1er. Paso: Despejar a una de las incógnitas de cualquiera de las 2 ecuaciones.

En este caso se despeja a “_______ “ de la ecuación “________ “

2do. Paso: Sustituir el valor despejado del primer paso en la ecuación original en donde no se despejo.

En este caso se sustituye la ecuación “________ “ en la ecuación “_______“

3er. Paso: Resolver la ecuación obtenida en el 2do. Paso.

En este caso se resuelve la ecuación “________ “

x – y = 2

2y + 3x = 21

4to. Paso: Sustituir el valor de la incógnita encontrado en el 3er. Paso en la ecuación despejada del 1er. Paso.

En este caso sustituir el valor de “_______ “ en la ecuación “ “.



EJERCICIO ______: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación por sustitución. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. Comprueba tus resultados. a) b) c) d)


b) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la

misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

EJEMPLO: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación por igualación y


El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación por igualación se resuelve

en los siguientes pasos:

1er. Paso: Despejar a la misma incógnita en las dos ecuaciones.

En este caso despejamos a “____ “de ambas ecuaciones.


2x - y = 10

x - 3y = 60

x + 2y = 18

5x - y = -11

x – y = 6

x + y = 3

3x - 4y = 0

-2x + 3y = 12

x – 3y = -5

3x + 2y = 7

2do. Paso: Igualar los valores despejados del 1er. Paso.

3er. Paso: Resolver la ecuación obtenida del 2do. Paso.

4to. Paso: Sustituir en cualquiera de las ecuaciones del 1er. Paso el valor de la incógnita encontrada en el 3er. Paso.

En este caso sustituimos el valor de “_____” en la ecuación “_____”



EJERCICIO ______: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación por igualación. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. Comprueba tus resultados. a) b) c) d)


c) MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUMA Y/O RESTA

EJEMPLO: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación por suma y/o resta y


El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación por suma y/o resta se

resuelve en los siguientes pasos:

1er. Paso: Hacer que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en las dos ecuaciones utilizando el método

de productos cruzados obteniendo así un nuevo sistema de ecuaciones equivalentes al original.

En este caso haremos que los coeficientes de “______ “ sean iguales.

2do. Paso: Sumar o restar la ecuaciones obtenidas en el 1er. Paso con el fin de eliminar una de las incógnitas.

Recuerda que para restar se le cambia de signo al sustraendo.

3er. Paso: Resolver la ecuación obtenida en el 2do. Paso.

En este caso se resuelve la ecuación “______“

2x + 3y = 3

3x – 4y = 13

-4x - 4y = -18

2x + 3y = -13

x - 3y = 6

y – 2x = 7

X + y = 1

-x - y = 0

-x - y = 3

11x - y = 1

4to. Paso: Sustituir el valor de la incógnita encontrado en el 3er. Paso en cualquiera de las ecuaciones originales del

sistema.

En este caso sustituir el valor de “________“ en la ecuación “________“



EJERCICIO ______: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación por suma y/o resta. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. Comprueba tus resultados.

a) b) c) d)


D. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO SISTEMAS DE ECUACIONES

EJEMPLO: Un camión de entrega de paquetería llega a un almacén con 11 paquetes chicos y 6 grandes el costo total

del flete es de $525. Si el flete de un paquete grande es de $11 más que el de un paquete chico. ¿Cuál es el costo del

flete de cada uno de los paquetes?

DATOS PLANTEAMIENTO MÉTODO: __________________ RESULTADO

3x - 4y = 8

2x + y = 6

7x - y = 20

5x - 3y = -80

4y + x = 11

6x + y = 60

9x + y = 5

-2.7x+2y = 10

EJERCICIO ______: Resuelve los siguientes problemas utilizando sistema de ecuaciones e indique que método utilizo. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) La suma de dos números es 5 y su diferencia es -9. ¿Cuáles son dichos números?


b) En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase?

(Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).


c) La mitad de la suma de dos números es 10 y el triple de su diferencia es 18. ¿Cuáles son los números?


d) En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada

clase se han utilizado?


e) Por tres corbatas y dos pañuelos se pagaron $400 y por dos corbatas y tres pañuelos se pagaron $350. ¿Cuál es el

precio de cada corbata y de cada pañuelo?


f) Por 8m de una tela y 5m de otra se pagaron $1140 y por 4m de la primera y 10m de la segunda se pagaron $1320.

¿Cuál es el precio por metro de cada tela?


g) Por tres plumas y cuatro lapiceros se pagaron $135 y por 4 plumas y 2 lapiceros se pagaron $130. ¿Cuánto vale

cada pluma y cada lapicero?


h) Para una función de cine se vendieron 300 boletos, unos a $30 y otros a $20. ¿Cuántos se vendieron de cada

precio, si el total de la venta fue de $8 000?


i) La suma del cuádruplo de un número, más el triple de otro, es 55 y la diferencia del doble del primero, menos el

cuádruplo del segundo, es cero. ¿Cuáles son dichos números?


j) La tercera parte de la suma de dos números es -2 y la cuarta parte de su diferencia es -4. ¿Cuáles son esos

números?


lecciÓn 25: graficas de la funciÓn y = mx + b · 2017-06-19 · tema: patrones y ecuaciones...

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