1

Lección 12

1. ¿Cuál de los siguientes valore es solución de la ecuación ? Explica tu respuesta.

i) ii) iii)

2. Inventa una ecuación cuya solución sea

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. En las ecuaciones de una variable, aparece una

única letra (a menudo ) que se llama incógnita y cuyo valor es desconocido. Resolver la ecuación es encontrar el

valor de la incógnita de tal manera que al reemplazar dicho valor en la ecuación inicial se obtiene una igualdad.

Por ejemplo: La ecuación tiene como solución ya que

El valor NO es una solución ya que al reemplazar en la ecuación tenemos

lo cual NO es una igualdad.

Una ecuación como , en la cual aparece la incógnita a la primera potencia, se llama ecuación lineal.

Cada expresión algebraica a cada lados de la igualdad se llama miembro de la ecuación.

3. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. Comparte tus procedimientos con tus compañeros:

a) b)

c)

d)

2

Hay dos propiedades muy útiles para resolver ecuaciones:

Propiedad 1. Si , entonces para cualquier número .

Ejemplo. Para encontrar la solución de Finalmente hay que verificar la solución:

la ecuación basta con sumar

a ambos miembros de la igualdad:

Propiedad 2. Si , entonces Verificación

para cualquier número .

Ejemplo: Para encontrar la solución de

podemos multiplicar ambos miembros ¡Es correcto!

por

Así:

4. Angélica quiere resolver la ecuación y decide sumar 2 a cada miembro.

a) ¿Qué sucede cuando lo hace? ____________________________________________________

b) Explícale por qué no se encuentra la solución y que debería hacer.

c) Para resolver la ecuación

, ¿por qué número conviene multiplicar: por ,

o

? Explica tu

respuesta.

5. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. No olvides verificar tu respuesta

a) b) c) d)

e) f) – g)

h)

6. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) b) c) d)

e) f) g)

h)

3

Lección 13 1. Encuentra la solución de la siguiente ecuación y comparte el resultado con tus compañeros:

En le ecuación del ejercicio anterior, donde se combinan operaciones, es conveniente desarrollar cada miembro a

su mínima expresión y luego despejar la incógnita.

Ejemplo 1: Para resolver la ecuación: Ejemplo 2: Para resolver la ecuación:

Primero simplificamos ambos términos. Primero simplificamos ambos términos.

Puedes hacerlo de a uno a la vez para no confundirte:

Propiedad distributiva/simplificamos

términos semejantes

y luego aplicamos las propiedades 1 y 2 para despejar

(encontrar) la incógnita x:

restamos x de ambos miembros

restamos 2de ambos miembros

Para verificar el resultado hay que remplazarlo en la ecuación inicial.

2. Encuentra en cada caso la solución de la ecuación. Verifica tu resultado.

a) b) – c)

d) e) f)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

4

d)

e)

f)

g)

h)

i) j)

k)

l) m) –

5

Lección 14

1. La longitud de la base de un rectángulo es 3 cm mayor que su altura. Su perímetro es 54 cm.

¿Cuánto mide su base y su altura? Comparte tu estrategia con el resto de tus compañeros.

Algunos problemas (decidir cuales es una habilidad que debes desarrollar al estudiar matemáticas) pueden

resolverse planteando y resolviendo ecuaciones lineales. Para ello es muy importante traducir el problema del

lenguaje coloquial al lenguaje algebraico, es decir, plantear la ecuación que debemos resolver. En este proceso es

muy útil usar lo aprendido en la Secuencia1.5 del bloque 1. Analicemos un ejemplo.

Ejemplo 1: La suma de tres números pares consecutivos es 42 ¿cuáles son estos números?

* 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar relaciones entre ellos (en algunos caso

ayuda hacer un esquema o dibujo de la situación): Si al primer número lo llamamos , entonces los dos

consecutivos pares siguientes serán y (Por ejemplos, si los tres consecutivos pares son 36, 38 y 40,

entonces el primero es , el segundo y el tercero )

* 2. Escribir y simplificar la expresión algebraica que se deriva de traducir del lenguaje ordinario al algebraico. Al

imponer alguna condición del problema se plantea una ecuación (ya que se establece una igualdad). La suma de

los tres números es: , que simplificando queda 6.

La suma debe dar 42. Esta condición nos permite plantear la siguiente ecuación:

* 3. Resolver la ecuación: La solución de la ecuación es

* 4. Relacionar la solución de la ecuación con la solución del problema: El primer número es 12. El segundo es

y el tercero .

* 5. Verificar el resultado (o analizar su factibilidad). Efectivamente .

Estos paso que mencionamos NO son una receta que debe cumplirse al pie de la letra en cada problema. Lo más

importante siempre es imaginarte la situación planteada, quizás haciendo un esquema, en base a lo que se te pide

y pensar en una posible estrategia (esto corresponde al paso 1). Los pasos finales 5 y 6 son muy importantes para

presentar la solución del problema con cierta certeza. No dejes que el hecho de cumplir estos pasos impida que

uses tu imaginación.

6

2. Independientemente de cómo hayan resuelto el problema 1, vamos a presentarlo en base a los puntos anteriores.

Completen los espacios en blanco: 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar relaciones

entre ellos.

Pregunta: Queremos encontrar la longitud de la base y la altura del triángulo

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

Perímetro:

Como Perímetro=54 cm,

tenemos la ecuación:

3. Resolver la ecuación.

Resolución:

Por lo tanto:

4. Solución del problema:

Altura=_____

Base=______

5. Verificación:

Usando los valores

encontrados:

3. Juan Manuel tiene una cuerda de tres colores que tiene una longitud de 16 m. La parte azul es del doble de

longitud que la roja. Y la parte verde es 1 m mayor que la azul ¿Cuál es la longitud de cada tramo?

Resuelve el problema usando el esquema anterior. 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar relaciones

entre ellos.

Pregunta: ________________________

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

Longitud=___________________

Como Longitud=16 m, tenemos

la ecuación:

3. Resolver la ecuación.

Resolución:

Por lo tanto:

4. Solución del problema:

5. Verificación:

4. La suma de tres números naturales consecutivos múltiplos de 3 es 50 ¿Cuáles son dichos números? 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar relaciones

entre ellos.

Pregunta: ________________________

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

3. Resolver la ecuación.

4. Solución del problema:

5. Verificación:

Comenta con tus compañeros cuál es la diferencia en este caso entre la solución de la ecuación y la solución del

problema.

5. Inventen un problema que se resuelva mediante la siguiente ecuación

Datos

Datos

rojo=x

azul=___

verde=____

total= 16 m

Datos

Altura=x

Base=___

Perímetro=__

_

7

Lección 15

1. Julio tiene $ 410 en billetes de $ 20 y $ 50. Si en total tiene 13 billetes, ¿cuántos son de $20?

Un aspecto importante que debemos considerar en la resolución de problemas es la de poder identificar los datos,

muchas veces ocultos, que se especifican en forma de condiciones.

Por ejemplo, en el ejercicio anterior debemos encontrar el número de billetes de $ 20, que podemos identificar con

. Un análisis rápido nos podría inducir a asignar al número de billetes de $ 50 con otra letra. Sin embargo esto no

es necesario, ya que como el número total de billetes es 13, entonces el número de billetes de $ 50 será

Una posible estrategia de solución del problema 1 es:

1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar

los datos y determinar relaciones entre ellos.

Datos:

Número de billetes= 14

Número de billetes de $20=

Número de billetes de $ 50=

Dinero en billetes de $ 20=

Dinero en billetes de $ 50=

Dinero total=$ 410.

Pregunta: Número de billetes de $20

2. Escribir y simplificar la

expresión algebraica. Plantear la ecuación.

La cantidad de dinero es

igual a la suma del dinero

en billetes de $20 con los

de $50=

Esto es igual al dinero

total:

3. Resolver la ecuación.

4. Solución del

problema:

El número de billetes

de $ 20 es 8.

5. Verificación:

Si hay 8 billetes de $

20, entonces habrá

de $ 50.

Esto corresponde a:

,

cantidad que coincide

con la indicada.

2. Edith participó en un concurso de preguntas. Las reglas del concurso establecen que por cada pregunta correcta

se le otorgan 4 puntos y por cada pregunta incorrecta se le descuenta 2 puntos. Si en 16 preguntas obtuvo 34

puntos, ¿en cuántas respuestas acertó? 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar

relaciones entre ellos.

Pregunta: ________________________

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

3. Resolver la ecuación

4. Solución del problema:

5. Verificación:

Datos

8

3. En una fábrica usan un aceite que cuesta $ 14 el litro y un vinagre de $ 24 el litro. Si quieren elaborar 50 litros

de vinagreta mezclando estos dos ingrediente y qué cueste $ 18 el litro, ¿cuántos litros de aceite y cuántos de

vinagre deben usar? 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar relaciones entre ellos.

Pregunta: ________________________

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

3. Resolver la ecuación

4. Solución del problema:

5. Verificación:

4. En un corral hay conejos y gallinas. En total son 56 cabezas y 176 patas ¿Cuántos conejos y gallinas hay? 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar

relaciones entre ellos.

Pregunta: ________________________

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

3. Resolver la ecuación

4. Solución del problema:

5. Verificación:

5. Laura tiene el doble de edad que Ana. Rita tiene 5 años más que Ana. Entre las tres suman 53 años ¿Qué edad

tiene cada una? 1. Identificar lo que queremos encontrar, ordenar los datos y determinar

relaciones entre ellos.

Pregunta: ________________________

2. Escribir y simplificar la expresión algebraica. Plantear la ecuación.

3. Resolver la ecuación

4. Solución del problema:

5. Verificación:

6. Encuentra el número de cuatro cifras ABCD de tal manera que cumpla con las siguientes condiciones:

- Ninguno de los dígitos A, B, C o D es igual a 0. - D es el triple de B. - A es igual a D mas B.

- E es igual a A mas B.

Datos

Datos

Datos