lección 3 potencias, raíz cuadrada y porcentajes

Potencias, raíz cuadrada y porcentajes

• ¿Cuántos cubos hay en cada piso de la pirámide? ¿Qué regularidad puedes identificar en estas cantidades?

• Expresa los números que obtuviste en la pregunta anterior como una potencia.

• ¿Cuántos cubos hay en total en la pirámide?

• Si se quiere agregar un piso más en la base de la pirámide, ¿cuántos cubos se deberían agregar para respetar su formación?

Ejemplo 1 Representa la multiplicación iterada 4 • 4 • 4 como una potencia.

1

Observamos que el factor 4 se repite 3 veces. Luego, identificamos lo que representa cada parte en la potencia.

4 • 4 • 4 = 43

Factor que se repite.

Cantidad de veces que se repite el factor.

2

Calculamos el valor y utilizamos los términos base, exponente y valor de la potencia.

43 = 4 • 4 • 4 = 64

Base

Valor de la potenciaExponente

Por lo tanto, 4 elevado a 3 es igual a 64.

Identifica el exponente y la base de cada potencia y luego calcula su valor.

35 42 73 82 54 91 26

Lección 3

En esta lección comprenderás la multiplicación y la división de potencias, estimarás la raíz cuadrada de un número natural y resolverás problemas que involucran variaciones porcentuales.

Un grupo de estudiantes construyen un juego didáctico para presentarlo en la feria de innovación del colegio.

La idea consiste en formar una pirámide utilizando cubos de igual tamaño y considerando que cada piso está completamente cubierto de cubos.

Multiplicación de potencias

38 | Unidad 1

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Ejemplo 2 En la imagen se muestra un sector cuadrado de un fundo. ¿Cuál es su área?

1 Para calcular el área de un cuadrado se eleva a dos la medida de cualquiera de sus lados.

2 Aplicamos la fórmula del área: (6 km)2 = 6 km • 6 km = 36 km2. Finalmente, el área del sector es 36 km2.

Cuando en una multiplicación hay factores iguales y se repiten una cantidad finita de veces, se puede escribir utilizando una potencia. En una potencia se identifican la base, el exponente y el valor de la potencia.

Si a, n, b ∈ N, la potencia an corresponde a:

Se lee a elevado a n.= a • a • a • … • a = bn veces

Valor de la potencia

Base

Exponente

Aprende

Ejemplo 3 Determina la cantidad de números de 2 cifras que se pueden representar al hacer girar simultáneamente las ruletas.

Cada ruleta tiene 4 opciones. La primera ruleta determina la cifra de las decenas (D) del número representado y la segunda, la cifra de las unidades (U).

D

43

12

U

43

12

1 Por cada número que resulte al hacer girar la primera ruleta hay 4 opciones para la cifra de las decenas. Por ejemplo, si obtenemos un 1, los números que podemos formar al girar la segunda ruleta son: 11, 12, 13 y 14.

2 Luego, si giramos simultáneamente las ruletas, podemos representar 4 • 4 números de dos cifras o equivalentemente 4 • 4 = 42 = 16 números.

6 km

6 km

1Unidad

39Lección 3 • Potencias, raíz cuadrada y porcentajes |


Ejemplo 4 Un paramecium es un organismo unicelular que se reproduce por división simple, es decir, se divide en 2 cada vez. Representa la situación con un diagrama de árbol y con potencias.

8 = 23

4 = 22

2 = 21

1 = 2o

• ¿Crees que utilizar representaciones pictóricas ayuda a comprender una situación? ¿Por qué?

• ¿Cómo puedes resolver una multiplicación de potencias de igual base? Explica y da un ejemplo.

Ejemplo 5 Representa como una potencia el producto 3 • 32 • 23.

3 • 32 • 23 = (3 • 3 • 3) • 23

= (3 • 3 • 3) • (2 • 2 • 2)

= (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2)

= (3 • 2)3

= 63

Desarrollamos las potencias.

Representamos como potencia.

Asociamos los factores.

Representa cada multiplicación como una potencia y calcula su valor.

22 • 2 • 23 53 • 33 13 • 12 • 1 • 1 10 2 • 10 2

• Cuando el exponente de una potencia es cero y su base es distinta de cero, su valor es 1. Es decir, si a ∈ N, entonces a0 = 1.

Potencias, raíz cuadrada y porcentajesLección 3

40 | Unidad 1


• Al multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

n factores m factores (n + m) factores

an • am = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) = (a • a • a • a • … • a) = an + m, con a, n, m ∈ N.

• Al multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente.

n factores n factores n factores

an • bn = (a • a • … • a) • (b • b • … • b) = (a • b) • (a • b) • … • (a • b) = (a • b)n, con a, b, n ∈ N.

Aprende

Ejemplo 6 Las figuras están formadas por cuadrados iguales. Si se continúa con la regla de formación que va duplicando el lado de cada figura respecto de la anterior, ¿cuántos cuadrados formarán la figura 3 ?

1 La figura 1 tiene 22 cuadrados y la figura 2 , (22)2 cuadrados. Al continuar con la regla de formación, la figura 3 tendrá (23)2 cuadrados.

2 Para calcular la cantidad de cuadrados, aplicamos las propiedades de las potencias.

(23)2 = 23 • 23 = 23 + 3 = 26 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 64

Multiplicación de potencias de igual base

La figura 3 estará formada por 64 cuadrados.

La potencia de una potencia se puede representar como una potencia que conserva la base original y su exponente es igual al producto de los exponentes involucrados.

(an)m = (a • a • … • a)m = (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = an • m, con a, n, m ∈ N.

n factores (n • m) factores

Aprende

Representa cada expresión como una potencia y calcula su valor.

(33)2 (43)2 (22)4 (10 2)2

Figura 1 2Figura

?

3Figura

1Unidad



1. Representa con una potencia el área (A) de los siguientes rectángulos.

a.

33 cm

43 cm

b.

53 cm

52 cm

c.

63 cm

62 cm

2. Representa los factores de cada multiplicación como una potencia, luego aplica la propiedad correspondiente y calcula el resultado. Guíate por los ejemplos.

8 • 4 = 23 • 22 = 23 + 2 = 25 = 32 4 • 9 = 22 • 32 = (2 • 3)2 = 62 = 36

a. 3 • 27

b. 25 • 125

c. 9 • 27 • 27

d. 25 • 25 • 125

e. 16 • 64 • 4

f. 7 • 49 • 343

g. 27 • 64

h. 36 • 81

i. 4 • 25 • 121

j. 100 • 144 • 9

3. Evalúa si cada igualdad es verdadera o falsa.

a. 23 + 25 = 28

b. (23 • 25)2 = 26 • 210

c. (32 + 33)2 = 34 + 36

4. Expresa cada número como producto de potencias de números primos.

Ejemplo 180 = 4 • 9 • 5 = 22 • 32 • 51

a. 25 000

b. 128

c. 2 700

d. 3 200

e. 1 600

f. 96

5. Analiza cada enunciado y responde.

a. Si la base de una potencia es 4 y el valor de esta es 1 024, ¿cuál es su exponente?

b. Si el valor de una potencia es 512 y su base es 8, ¿cuál es su exponente?

6. Macarena analiza el grado de descomposición de un alimento y considera que está contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es igual o superior a 512. Si en un inicio hay 1 bacteria por milímetro cuadrado y se divide en 2 en forma sucesiva cada 10 min, ¿cuánto tiempo demorará el alimento en estar descompuesto?

Actividades

Potencias, raíz cuadrada y porcentajesLección 3

42 | Unidad 1


7. Un grupo de 15 estudiantes decide organizar una actividad de integración. Para convocar a la mayor cantidad de personas, cada alumno debe invitar a tres, y cada una de estas personas debe llevar a otras tres personas. ¿Cuántos participantes habrá en la actividad?

8. Aplica las propiedades y resuelve.

a. 32 • 33 – 5 • 52

b. 13 • 73 – 22 • 23 • 2

c. 33 • 23 • 43 – 33 • 32 • 33

d. 53 • 83 + 42 • 72 + 63 • 53

e. 103 • 103 • 102 – 103 • 102

f. 122 • 22 • 32 + 22 • 22 • 23 • 23

9. Andrea y Emilio están calculando el volumen del cubo que se muestra y cada uno realiza distintos procedimientos.

42 • 42 • 42 = 42 + 2 + 2 = 46

Luego, el volumen del cubo es 46 cm3.

42 • 42 • 42 = (42)3 = 42 • 3 = 46

Entonces, el volumen del cubo es 46 cm3.

Andrea

Emilio

16 cm

16 cm

16 cm

a. ¿Cómo expresarías la medida de la arista del cubo usando una potencia de base 4?

b. ¿Son correctos los procedimientos seguidos por Andrea y Emilio? ¿En qué se diferencian?

c. ¿Qué procedimiento aplicarías tú? ¿Por qué?

10. Analiza los siguientes procedimientos para calcular el valor de la expresión 320.

Primera opción320 = 3(20) = 31 = 3

Segunda opción320 = (32)0 = 30 = 1

¿Cuál opción consideras correcta? Compara con tu curso y argumenta tu respuesta.

Reflexiona y responde

• ¿Qué sabías de las potencias? ¿Qué conocimientos nuevos aprendiste?

• Explica cómo resolver una multiplicación de potencias.

• ¿Tuviste dificultades para argumentar tus ideas? ¿Por qué?

Cuaderno de ActividadesPáginas 26 y 27.

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