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Matematicas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Leccion 3. OPTIMIZACION DE CAMPOS ESCALARES

Un problema habitual en ingenierıa es hallar el valor mınimo de una funcion, llamada funcionobjetivo, que representa un coste, como el precio de los materiales que intervienen en la fabricacionde un producto o el error de un ajuste experimental, y que depende de una o varias variablesindependientes. Por ejemplo, en la asignatura de “Matematicas I” se ha estudiado un caso especial,el de la regresion lineal, que conduce a un problema de esta clase: Dada una nube de puntos(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) que representan valores experimentales, se buscan los coeficientes dela recta de ecuacion y = ax + b que mejor se ajusta a estos datos en el sentido de los mınimoscuadrados, esto es, que hacen mınima la suma de cuadrados

f(a, b) = (ax1 + b− y1)2 + (ax2 + b− y2)

2 + · · ·+ (axn + b− yn)2.

Esta es la recta de regresion. Aquı, a y b son las variables y f es la funcion objetivo.

Nube de puntos y su recta de regresion.

En otros casos la funcion objetivo representa un beneficio y se busca su valor maximo. Estetipo de problemas que consisten en buscar maximos y mınimos de funciones que dependen devarias variables independientes se conocen genericamente como problemas de optimizacion sinrestricciones. Es mas habitual que las variables no sean independientes, sino que esten ligadaspor una o varias relaciones; este tipo de problemas se conocen genericamente como problemas deoptimizacion con restricciones. Dedicaremos esta leccion a establecer las bases teoricas de este tipode problemas y dar las tecnicas para resolver algunos ejemplos simples con dos o tres variables.

En las aplicaciones a la ingenierıa el numero de variables suele ser mucho mayor y es necesarioresolver los problemas de optimizacion de forma aproximada mediante tecnicas numericas que seestudian en la asignatura “Metodos Matematicos”, de segundo curso.

El caso particular en el que tanto la funcion objetivo como las restricciones son lineales, es deespecial importancia y se conoce como programacion lineal. La resolucion de los problemas deprogramacion lineal tiene tecnicas muy especıficas que se basan en los resultados del algebra lineal yse estudian en las asignaturas “Estadıstica e Investigacion Operativa”, de primer curso, y “MetodosCuantitativos de Organizacion Industrial”, de tercer curso (GITI).

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3. Optimizacion de campos escalares 41

Si recordamos el caso de las funciones de una variable, la determinacion de los maximos y losmınimos absolutos de una funcion en un intervalo se lleva a cabo usando las derivadas. En elbachillerato se ensena que los puntos candidatos a que en ellos se alcance el maximo o el mınimoabsoluto de una funcion son los puntos en los que la derivada vale cero, los extremos del intervaloy los puntos donde la derivada no existe; ademas, cuando la derivada primera es cero, entonces quela derivada segunda sea positiva o negativa nos dice, respectivamente, si estamos ante un mınimorelativo o un maximo relativo. Veremos que cuando la funcion objetivo depende de dos o masvariables, la diferenciabilidad tambien es la herramienta que permite resolver los problemas deoptimizacion.

Dedicaremos la primera seccion a la optimizacion sin restricciones, donde analizaremos las nocionesde extremo absoluto, extremo relativo y punto de silla. En el caso de dos variables se intuye que enun maximo, o en un mınimo, el plano tangente a la grafica del campo escalar debe ser horizontaly, por tanto, las derivadas parciales deben ser nulas; sin embargo, no esta claro a priori el papelque deben tener las derivadas parciales segundas para dilucidar si se trata de maximos o mınimos.Esto lo estudiaremos tambien en esta seccion, viendo que la herramienta esencial para determinarcomo es dicho papel es la clasificacion de la forma cuadratica asociada a la matriz hessiana.

El estudio de los problemas de optimizacion con restricciones lo empezamos en la segunda seccion,en la que abordaremos el problema de calcular los maximos y minimos relativos de una funcion dedos o tres variables sobre una curva dada de forma implıcita por una igualdad, en el plano, o dosigualdades, en el espacio tridimensional. Tambien analizaremos el caso en el que la restriccion esuna superficie dada de forma implıcita.

Finalmente, en la tercera seccion, analizaremos la existencia de los maximos y mınimos absolutosde una funcion escalar de dos o tres variables con restricciones generales y el procedimiento paracalcularlos.

Enunciaremos los resultados para funciones de tres variables aunque la mayorıa son validos parafunciones de mas variables. Como venimos haciendo, usaremos el caso bidimensional, en el quebasta con suprimir la coordenada z (y cambiar “esfera” por “cırculo” en lo que sigue), para ponerejemplos y dar las interpretaciones geometricas.

1. OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

Extremos absolutos. En un problema de optimizacion sin restricciones tenemos una funcionf , llamada funcion objetivo, definida en un conjunto U , que generalmente sera todo el espacio, yqueremos calcular los puntos, si es que existen, en los que f alcanza su valor maximo y su valormınimo; es decir, buscamos los puntos Pmın, Pmax ∈ U tales que

f(Pmın) ≤ f(P ) ≤ f(Pmax) para todo P ∈ U .

Los valores maximo y mınimo de f y, por abuso de lenguaje, los puntos en los que se alcanzandichos valores, se llaman extremos absolutos, o globales, de f en U .

Como ejemplo de partida, antes de abordar los problemas de optimizacion sin restricciones en elcaso general, nos detenemos en el caso particular de las formas cuadraticas que has estudiado en“Matematicas I”. La razon es doble: por un lado, porque es un caso simple en el que podemos irsenalando las principales cuestiones con las que nos encontraremos y, por otro lado, porque seraesencial para determinar el caracter de los puntos crıticos, los puntos en los que se anulan lasderivadas parciales de la funcion objetivo. Empezamos recordando como se clasifican las formascuadraticas en terminos del signo que pueden tomar sus autovalores y viendo como se relacionaesto con sus extremos absolutos.

42 Matematicas III (GIC y GITI, 2015–2016)

Forma cuadratica generada por una matriz simetrica. Sea A = [aij ] una matriz cuadrada,real y simetrica de orden 3, entonces el campo escalar definido en R3 por

ψ(x, y, z) = [x, y, z]

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

se llama forma cuadratica generada por A y se puede escribir de forma desarrollada como

ψ(x, y, z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz.

Clasificacion de las formas cuadraticas. Se dice que una forma cuadratica no nula ψ o, porextension, la matriz real simetrica A que la genera, es:

(1) Definida positiva si ψ(x, y, z) > 0 para todo (x, y, z) = (0, 0, 0) o, equivalentemente, si todoslos autovalores de A son positivos o, equivalentemente, si el origen es el unico punto en el que sealcanza el mınimo absoluto.

En dimension dos, la grafica de una forma cuadratica definida positiva es un paraboloide elıpticocon su vertice en el origen que se abre hacia arriba, por lo que no existe el maximo absoluto, yaque los valores de ψ tienden a infinito cuando el punto (x, y) tiende a infinito.

Grafica de una forma cuadratica con mınimo absoluto.

(2) Semidefinida positiva si ψ(x, y, z) ≥ 0 para todo (x, y, z) y hay puntos (x, y, z) = (0, 0, 0) talesque ψ(x, y, z) = 0 o, equivalentemente, si 0 es un autovalor y los demas autovalores λ de A cumplenλ ≥ 0 o, equivalentemente, si hay una recta o un plano de mınimos absolutos que pasa por el origen.

(3) Definida negativa si ψ(x, y, z) < 0 para todo (x, y, z) = (0, 0, 0) o, equivalentemente, si todoslos autovalores de A son negativos o, equivalentemente, si el origen es el unico punto en el que sealcanza un maximo absoluto.

En dimension dos, la grafica de una forma cuadratica definida negativa es un paraboloide elıpticocon su vertice en el origen que se abre hacia abajo, por lo que no existe el mınimo absoluto, ya quelos valores de ψ tienden a −∞ cuando el punto (x, y) tiende a infinito.

Grafica de una forma cuadratica con maximo absoluto.


(4) Semidefinida negativa si ψ(x, y, z) ≤ 0 para todo (x, y, z) y hay puntos (x, y, z) = (0, 0, 0)tales que ψ(x, y, z) = 0 o, equivalentemente, si 0 es un autovalor y los demas autovalores λ de Acumplen λ ≤ 0 o, equivalentemente, si hay una recta o un plano de maximos absolutos que pasapor el origen.

(5) Indefinida si no es definida ni semidefinida; o sea, si existen vectores (x, y, z) tales queψ(x, y, z) < 0 y existen vectores (x, y, z) tales que ψ(x, y, z) > 0 o, equivalentemente, si A tie-ne algun autovalor positivo y algun autovalor negativo o, equivalentemente, si no tiene maximosni mınimos absolutos.

Grafica de una forma cuadratica sin mınimo ni maximo y silla de montar.

Desde el punto de vista geometrico, la grafica de una forma cuadratica indefinida en dimensiondos es un paraboloide hiperbolico, con centro en el origen, que se abre hacia arriba a lo largo de ladireccion del autovector asociado el autovalor positivo y hacia abajo a lo largo de la direccion delautovector asociado al autovector negativo. Debido al parecido de esta grafica con el de una sillade montar a caballo, se dice que el origen es un punto de silla.

Mas adelante en la seccion aplicaremos esta clasificacion a la matriz hessiana de un campo escalarpara determinar cuando un punto en el que las derivadas parciales son cero es un mınimo relativoo un maximo relativo.

Determinar los autovalores suele ser un trabajo complicado; sin embargo, lo unico que necesitamosconocer son los signos de los autovalores y para ello hay criterios relativamente simples de aplicaren el caso bidimensional.

Criterios de clasificacion para una matriz simetrica 2×2. Sea A una matriz real y simetricade orden 2. Sean t = a11+a22 su traza y d = a11a22−a21a12 su determinante. Entonces se cumplelo siguiente:

(1) Si d > 0 y t > 0, entonces A es definida positiva.(2) Si d > 0 y t < 0, entonces A es definida negativa.(3) Si d < 0, entonces A es indefinida.(4) Si d = 0 y t > 0, entonces A es semidefinida positiva.(5) Si d = 0 y t < 0, entonces A es semidefinida negativa.

Algunas consideraciones sobre los problemas de optimizacion sin restricciones. Comoacabamos de ver con diversos ejemplos de formas cuadraticas, los problemas de optimizacion sinrestricciones pueden no tener solucion. En algunos casos puede deducirse que debe existir el maximoabsoluto o el mınimo absoluto estudiando el comportamiento de la funcion objetivo cuando (x, y)tiende a infinito, pero eso no siempre es facil de hacer.

A la hora de abordar un problema, una idea central es restringir la busqueda de los extremosabsolutos a un conjunto, deseablemente finito, de puntos que verifiquen alguna condicion especial.La mas comun, que ya se conoce en el caso de las funciones de una variable, es la de extremo


relativo: puntos donde la funcion alcanza su valor maximo o su valor mınimo entre los puntossuficientemente cercanos. Como ya hemos comentado antes y hemos visto en el caso de las formascuadraticas de dos variables, la intuicion geometrica nos dice que si una funcion definida en todoslos puntos del plano alcanza un extremo relativo en un punto, entonces el plano tangente a sugrafica en dicho punto debe ser horizontal, lo que nos darıa una condicion practica para restringirla busqueda de extremos absolutos. Vamos ahora a fijar todas estas ideas con precision.

Extremos relativos. Se dice que f : U → R tiene un maximo relativo o maximo local en unpunto P0 ∈ U si existe una esfera D centrada en P0 y contenida en U tal que f(P0) ≥ f(P ) paratodo P ∈ D.

Se dice que f tiene un mınimo relativo o mınimo local en un punto P0 ∈ U si existe una esfera Dcentrada en P0 y contenida en U tal que f(P0) ≤ f(P ) para todo P ∈ D.

Los maximos relativos y mınimos relativos de f se llaman genericamente extremos relativos, olocales, de f .

La grafica de una funcion con dos maximos relativos; solo uno de ellos es absoluto.

Criterio de las derivadas parciales nulas para los extremos relativos o condicion nece-saria de extremo relativo. Si la funcion objetivo f y tiene un extremo relativo en un punto P0

y es diferenciable en dicho punto, entonces Df(P0) = 0.

En el caso de que f dependa de dos variables, tenemos∂f

∂x(P0) = 0 y

∂f

∂y(P0) = 0, es decir,

efectivamente, el plano tangente a la grafica de f es horizontal.

Para tres variables, tenemos∂f

∂x(P0) = 0,

∂f

∂y(P0) = 0 y

∂f

∂z(P0) = 0.

Ejemplo. En el ejemplo de la recta de regresion, dados los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) sebuscan los coeficientes de la recta de ecuacion y = ax+ b que hacen mınima la suma de cuadrados

f(a, b) =n∑

k=1

(axk + b − yk)2. Imponiendo

∂f

∂a=∂f

∂b= 0 obtenemos que los coeficientes optimos

a, b son las soluciones del sistema de ecuaciones(n∑

k=1

x2k

)a+

(n∑

k=1

xk

)b =

n∑k=1

xkyk(n∑

k=1

xk

)a+ nb =

n∑k=1

yk

que son, como se ha visto en “Matematicas I”, las ecuaciones normales de Gauss del sistema

sobredeterminado

[x1 x2 . . . xn1 1 . . . 1

]T [ab

]= [ y1 y2 . . . yn ]

T.


Punto crıtico. Se dice que un punto P0 ∈ U es un punto crıtico o punto estacionario de lafuncion objetivo f cuando Df(P0) = 0.

Incluso en el caso bidimensional, la resolucion del sistema de ecuaciones∂f

∂x= 0,

∂f

∂y= 0 pue-

de ser complicada o, en algunos casos, imposible de hacer a mano. En estos casos, hay queemplear metodos numericos para obtener soluciones aproximadas que se estudiaran en la asignatura“Metodos Matematicos” de segundo curso.

Puntos de silla. El teorema anterior nos dice que cualquier extremo relativo es un punto crıtico.Como ya hemos visto con las formas cuadraticas y es conocido del caso de una variable, el recıprocoes falso en general. Ası, hemos probado que la funcion objetivo f(x, y) = x2 − y2 tiene un puntocrıtico en (0, 0) y que, sin embargo, dicho punto no es un maximo relativo ni un mınimo relativo.

Los puntos crıticos de una funcion que no son extremos relativos de la misma se llaman puntos desilla. Tan cerca como queramos de un punto de silla encontramos puntos en los que la funcion valemas y puntos en los que la funcion vale menos que en el propio punto crıtico.

Clasificacion de los puntos crıticos. ¿Como podemos saber si un punto crıtico es un maximorelativo, un mınimo relativo o un punto de silla? Geometricamente, para funciones de dos variables,el plano tangente a la grafica en los puntos crıticos es un plano horizontal. En los maximos ymınimos locales, cerca del punto el plano deja a un lado la superficie; en los puntos de silla, laatraviesa. La geometrıa de los puntos de silla se parece a la de los puertos de montana: los puntosmas bajos hasta los que hay que subir para atravesar una sierra, por ello, a los puntos de sillatambien se les llama puertos.

Como regla general, pero no siempre, si observamos las curvas de nivel, en torno a los maximosy mınimos locales, las curvas de nivel aparecen como curvas cerradas. En los mınimos las curvasse alejan del punto conforme el nivel crece; en los maximos se acercan al punto conforme el nivelcrece. En ambos casos, las curvas de nivel degeneran cuando nos acercamos al punto crıtico; loque, recordando el teorema de la funcion implıcita, nos dice que al ser ambas derivadas parcialesnulas, no podemos aplicar ese teorema para despejar una variable en funcion de la otra en la curvade nivel, de hecho la curva de nivel en un maximo o un mınimo local se reduce a un punto; no espropiamente una curva.

Un punto de silla o puerto. Maximos (A), mınimos (B) y puntos de silla (C).

En los puntos de silla las curvas de nivel aparentan acercarse y alejarse del punto sin llegar arodearlo y suelen aparecer dos curvas del mismo nivel que pasan justamente por el punto; en estecaso, no es posible aplicar el teorema de la funcion implıcita para despejar una variable en funcionde la otra, de hecho la ecuacion implıcita corresponde a dos curvas de nivel, no una sola.

Analıticamente, para las funciones de una variable la determinacion de si un punto crıtico es unmaximo relativo o un mınimo relativo se hace analizando el signo de la derivada segunda; aquı


se hace algo parecido aunque mas complicado: utilizamos el teorema de Taylor y clasificamos laforma cuadratica generada por la matriz hessiana. Para ello, observemos que si (x0, y0) es un

punto crıtico, de manera que Df(x0, y0) = 0 entonces el Teorema de Taylor nos dice que para(x, y) suficientemente cerca de (x0, y0) se tiene

f(x, y) ≈ f(x0, y0) +1

2

[x− x0, y − y0

]D2f(x0, y0)

[x− x0y − y0,

]Por tanto, que f(x, y) sea mayor o menor que f(x0, y0) depende del signo de la forma cuadraticagenerada por la matriz hessiana D2f(x0, y0).

El test de las derivadas segundas o condicion suficiente de extremo relativo. Supongamosque la funcion objetivo es de clase C2(U) y que P0 es un punto crıtico de f ; esto es, tal que

Df(P0) = 0. Entonces, segun sea la forma cuadratica generada por la matriz hessiana D2f(P0),se tiene lo siguiente:

(1) Si D2f(P0) es definida positiva, entonces f tiene en P0 un mınimo relativo.(2) Si D2f(P0) es definida negativa, entonces f tiene en P0 un maximo relativo.(3) Si D2f(P0) es indefinida, entonces f tiene en P0 un punto de silla.(4) Si D2f(P0) es semidefinida, entonces las derivadas segundas no dan informacion.

Ejemplos. (1) La funcion f(x, y) = x2 + ky2 tiene un punto crıtico en (0, 0). En dicho punto, la

matriz hessiana es

(2 00 2k

). En funcion del signo de k obtenemos que:

(1) Si k > 0, entonces la matriz es definida positiva y por tanto (0, 0) es un mınimo relativo.(2) Si k < 0, entonces la matriz es indefinida y por tanto (0, 0) es un punto de silla.(3) Si k = 0, entonces la matriz es semidefinida, por lo que el metodo no da informacion.

Si observamos la funcion en este caso vemos que f(x, y) = x2 ≥ 0 = f(0, 0), para todo(x, y) ∈ R2. Por tanto (0, 0) es un mınimo relativo de f .

(2) La funcion f(x, y) = x2 + ky2 − y3 tiene un punto crıtico en (0, 0). En dicho punto, la matriz

hessiana es la misma que en el ejemplo anterior

(2 00 2k

). Sin embargo, en el caso en que la forma

cuadratica es indefinida, el tipo de punto crıtico es distinto. En efecto, en funcion del signo de kobtenemos que:

(1) Si k > 0, entonces la matriz es definida positiva y por tanto (0, 0) es un mınimo relativo.(2) Si k < 0, entonces la matriz es indefinida y por tanto (0, 0) es un punto de silla.(3) Si k = 0, entonces la matriz es semidefinida, por lo que el metodo no da informacion. En

este caso vemos que f(x, y) = x2 − y3 y, usando el mismo razonamiento que vimos antespara x2 − y2, es facil deducir que (0, 0) es un punto de silla de f .

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Halla y clasifica los puntos crıticos de los siguientes campos escalares (utiliza algunade las paginas web que se indican al final del guion para dibujar las graficas y las curvas de niveldel campo).

(1) f(x, y) = x4 − 2x2y − 6x2 + 4y2 (2) f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y

(3) f(x, y) = 12x2 + 12y2 − x3y3 + 5 (4) f(x, y) = (x2 + y2)ex2−y2

(5) f(x, y) = x2y + xy2 + x+ y (6) f(x, y) = (1− x2 − y2)2

(7) f(x, y) = x2y2 (8) f(x, y) = cos(x) cos(y)(9) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy (10) f(x, y) = x sen(y)


Ejercicio 2. El origen es un punto crıtico del campo escalar definido por f(x, y) = x2+ y2+αxy.Determina que tipo de punto crıtico es segun los valores de α.

Ejercicio 3. Prueba que la ecuacion z cos(z) + xy = 0 define implıcitamente z como funcion de xe y en un entorno del punto (0, 0, 0), determina el polinomio de Taylor de grado 2 de dicha funcionz(x, y) en el origen y prueba que el origen es un punto crıtico. ¿Que tipo de punto crıtico es?

Ejercicio 4. Considera la superficie S de ecuacion x2 + y2 + 3xz + 3yz + x+ y = 0.

(1) Prueba que dicha ecuacion define una funcion z = f(x, y) cerca de P = (−1, 0, 0).(2) ¿Es (−1, 0) un punto crıtico de f? Si es ası, clasifıcalo; si no lo es, di por que.

Ejercicio 5. Sea f(x, y) = (x− cos(y)) ex − cos(y) un campo escalar de dos variables. Se pide:

(1) Calcular los infinitos puntos crıticos de f y clasificarlos.(2) Comprobar que f (x, y) = 0 define y como funcion implıcita y = y(x) cerca de P = (0, π/2).(3) Hallar la recta tangente a la grafica de y = y(x) en el punto P del apartado anterior.

Ejercicio 6. Considera la superficie S de ecuacion xez + yez + z = 1 y el punto P = (0, 0, 1) ∈ S.

(1) Prueba que en un entorno del punto P puede obtenerse la coordenada z de los puntos deS como una funcion explıcita z = z(x, y) de las otras dos coordenadas.

(2) Halla la ecuacion del plano tangente a S en el punto P .(3) Halla la recta tangente en P a la curva interseccion de S con el cilindro x2 + (y + 1)2 = 1.(4) Prueba que (0, 0) es un punto crıtico del campo f(x, y) = z(x, y)+ex+1+ey+1 y clasifıcalo.

Ejercicio 7. Prueba que z3 − 2xy + y = 0 define z como funcion implıcita de z = z(x, y) en unentorno de (1, 1, 1) y determina el polinomio de Taylor de segundo orden de z(x, y) en (1, 1).

Halla los valores de los parametros α y β para los que el punto (1, 1) es un punto crıtico de lafuncion g(x, y) = z(x, y)− α(x− 1) + β(y − 1) y clasifıcalo.

Ejercicio 8. Considera el punto P = (1, 1, 0) y, para cada valor de un parametro α ∈ R, laecuacion αx2 + α2xyz + sen(z)− αxy + x− y = 0.

(1) Comprueba que para cualquier valor de α esta ecuacion define implıcitamente z comofuncion z = zα(x, y) en un entorno del punto P = (1, 1, 0).

(2) Para cada α, calcula el gradiente de zα(A) en el punto A = (1, 1) y escribe la ecuacion delcorrespondiente plano tangente en el punto P = (1, 1, 0).

(3) Para cada α, determina la direccion unitaria u = (u1, u2) en la que la derivada direccionalDuzα(A) de zα en A = (1, 1) es maxima e indica su valor.

(4) Halla el valor de α para el cual A = (1, 1) es un punto crıtico del campo zα(x, y) y clasifıcalo.

Ejercicio 9. El origen es un punto crıtico del campo escalar definido por f(x, y) = 3x4−4x2y+y2.Comprueba que a lo largo de cada recta y = mx el origen es un mınimo pero que para el campodado el origen es un punto de silla (indicacion: estudia que ocurre sobre una parabola y = ax2).

Ejercicio 10. Del campo escalar f(x, y) = axy2 + by − 4x3 se sabe que el valor maximo desus derivadas direccionales en el punto P = (1, 2) es 4 y se alcanza en la direccion del vectoru = (0,−1). Halla los valores de las constantes a y b, calcula los puntos crıticos de f y clasifıcalos.

Ejercicio 11. Halla y clasifica los puntos crıticos de los siguientes campos escalares.

(1) f(x, y, z) = x4 + y4 + z4 − 4xyz (2) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xz + 3x− 2y(3) f(x, y, z) = log(x2 + y2 + z2 + 1) (4) f(x, y, z) = x2z + xy + 12z − z3


2. EL TEOREMA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Iniciamos en esta seccion el estudio de los problemas de optimizacion con restricciones abordandoel problema de calcular los extremos relativos, maximos y mınimos, de una funcion de dos otres variables cuando estas variables no son independientes sino que estan sobre una curva o unasuperficie. Este tipo de problemas se conocen genericamente como problemas de optimizacion conrestricciones de igualdad.

Problemas de optimizacion sobre curvas. Dada la funcion objetivo f , supongamos que te-nemos una curva regular a trozos C contenida en el dominio de f y nos planteamos el problemade hallar los valores maximo y mınimo que alcanza f sobre los puntos de la curva C.

Este problema puede resolverse por los metodos ya conocidos si podemos representar C medianteuna parametrizacion r(t), donde el parametro t recorre un cierto intervalo. En ese caso, pasamos auna funcion objetivo ϕ(t) = f

(r(t)

)de una sola variable y hallamos su maximo y su mınimo sobre

el intervalo, si existen. A partir de los extremos de ϕ obtenemos los puntos de la curva C en losque f alcanza sus extremos.

Sin embargo, a veces no se puede hallar una parametrizacion de C. En el plano esto ocurregeneralmente cuando C es una curva definida implıcitamente por g(x, y) = 0. En el espacio, ocurrecuando la curva viene dada como la interseccion de dos superficies definidas de forma implıcita.

En esta seccion abordaremos este tipo de problemas, primero en el caso bidimensional. Despuesdiremos como se extienden las tecnicas al caso tridimensional, tanto para superficies como paracurvas definidas implıcitamente.

Extremos relativos restringidos en el plano. Dada la funcion objetivo f(x, y), supongamosque tenemos una curva de ecuacion implıcita g(x, y) = 0 contenida en el dominio de f y sea (x0, y0)un punto de dicha curva.

Optimizacion con restricciones de igualdad.

Se dice que f tiene en (x0, y0) un maximo relativo sujeto a la restriccion g(x, y) = 0 si existe uncırculo D centrado en (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) para todo punto (x, y) ∈ D que cumplag(x, y) = 0.

Se dice que f tiene en (x0, y0) un maximo relativo sujeto a la restriccion g(x, y) = 0 si existe uncırculo D centrado en (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) para todo punto (x, y) ∈ D que cumplag(x, y) = 0.

Genericamente, los maximos y mınimos relativos de la funcion objetivo f en la curva g(x, y) = 0se llaman extremos relativos de f sujetos a la restriccion g(x, y) = 0 o, simplemente, extremosrelativos restringidos y, en algunos textos, extremos relativos condicionados.


Teorema de los multiplicadores de Lagrange. En las condiciones anteriores, si f y g sondiferenciables en un punto (x0, y0) en el que f tiene un extremo relativo sujeto a la restricciong(x, y) = 0 y Dg(x0, y0) = [0, 0], entonces existe un numero λ ∈ R, llamado multiplicador deLagrange, tal que

Df(x0, y0) = λDg(x0, y0);

o sea,∂f

∂x(x0, y0) = λ

∂g

∂x(x0, y0) y

∂f

∂y(x0, y0) = λ

∂g

∂y(x0, y0).

Geometricamente, el teorema de los multiplicadores significa que en un extremo relativo restringido(x0, y0), son tangentes la curva restriccion g(x, y) = 0 y la curva de nivel de f que pasa por dichopunto, f(x, y) = f(x0, y0).

Interpretacion geometrica del teorema de los multiplicadores de Lagrange.

En la practica, para hallar los extremos relativos de f sujetos a g(x, y) = 0, los puntos candidatosse obtienen resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas λ, x e y:

g(x, y) = 0,∂f

∂x(x, y) = λ

∂g

∂x(x, y) y

∂f

∂y(x, y) = λ

∂g

∂y(x, y).

Como en el caso de la determinacion de los puntos crıticos, la resolucion de este sistema de ecua-ciones puede ser complicada o, en algunos casos, imposible de hacer a mano y, en ese caso, hayque emplear metodos numericos para obtener soluciones aproximadas.

Para hallar los valores maximo y mınimo de f sobre la curva, a los puntos obtenidos resolviendo elsistema hay que anadir los puntos de la curva g(x, y) = 0 en los que no se puede aplicar el teoremade los multiplicadores, como los extremos de la curva, los puntos en los que Dg(x, y) no existe olos puntos en los que se tiene Dg(x, y) = [0, 0].

El metodo de los multiplicadores de Lagrange en el caso tridimensional. En el casotridimensional, el metodo funciona de manera totalmente similar cuando tenemos solo una restric-cion g(x, y, z) = 0, lo que corresponderıa a trabajar sobre una superficie. Para hallar los extremosrelativos de f(x, y, z) sujetos a g(x, y, z) = 0, los puntos candidatos se obtienen resolviendo unsistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas λ, x, y, z:

g = 0,∂f

∂x= λ

∂g

∂x,

∂f

∂y= λ

∂g

∂y,

∂f

∂z= λ

∂g

∂z.

De nuevo, a los puntos obtenidos resolviendo este sistema hay que anadir los puntos de la superficieg(x, y, z) = 0 en los que no se puede aplicar el teorema de los multiplicadores, como el borde de lasuperficie, los puntos en los que Dg(x, y, z) no existe o los puntos en los que Dg(x, y, z) = [0, 0, 0].


En el caso tridimensional tambien puede ocurrir que estemos trabajando en una curva definidacomo la interseccion de dos superficies de ecuaciones implıcitas g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0.En ese caso, la condicion de que el diferencial de la restriccion no sea cero hay que sustituirlapor una condicion algo mas exigente: que los diferenciales de las restricciones sean linealmenteindependientes.

Si (x0, y0, z0) es un extremo relativo de la funcion objetivo f(x, y, z) sujeto a las restriccionesg(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0 y los diferenciales Dg(x0, y0, z0) y Dh(x0, y0, z0) son linealmenteindependientes, entonces existen sendos multiplicadores λ y µ para cada restriccion tales que

Df(x0, y0, z0) = λDg(x0, y0, z0) + µDh(x0, y0, z0)

En este caso, los puntos candidatos para ser extremos relativos se obtienen con las soluciones delcorrespondiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incognitas: x, y, z, λ y µ y, de nuevo, aestos puntos hay que anadir los extremos de la curva restriccion y los puntos en los que Dh(x, y, z)y Dg(x, y, z) no son linealmente independientes o, simplemente, alguno de ellos no existe.


Ejercicio 1. Determina los posibles extremos relativos de la funcion f(x, y) = x2 + y2 sujetosa la restriccion 2x + 3y = 6. Dibuja la restriccion y las curvas de nivel de la funcion objetivo einterpreta geometricamente el problema.

Ejercicio 2. Determina los posibles extremos relativos de la funcion f(x, y) = x2 + y2 siendo(x, y) puntos de la elipse 5x2 + 6xy + 5y2 = 8. Dibuja la restriccion y las curvas de nivel de lafuncion objetivo e interpreta geometricamente el problema.

Ejercicio 3. Determina los posibles extremos relativos de la funcion f(x, y) = 2(x−3)2+(y−4)2

siendo (x, y) puntos de la circunferencia unidad. Dibuja la restriccion y las curvas de nivel de lafuncion objetivo e interpreta geometricamente el problema.

Ejercicio 4. Considera el campo escalar f definido por f(x, y) = y3 + x2y + 2x2 + 2y2 − 4y − 8.

(1) Determina los puntos crıticos de f . ¿Que informacion proporciona el criterio de las deriva-das segundas sobre cada uno de dichos puntos crıticos?

(2) Calcula los candidatos a extremos relativos de f sujetos a la restriccion x2 + y2 = 1.

Ejercicio 5. Determina los puntos candidatos a ser extremos relativos de la funcion f(x, y) = xysujetos a la restriccion x+ y = 1

Ejercicio 6. Sea f(x, y, z) = 3x2 + 4xy + z3. Determina los puntos candidatos a ser extremosrelativos de f sujetos a x2 + y2 = 1.

Ejercicio 7. Determina los puntos candidatos a ser extremos relativos de la funcion f(x, y) = xyzsujetos a la restriccion 2x+ 4y + z − 6 = 0

Ejercicio 8. Determina los puntos candidatos a ser extremos relativos de la funcion objetivodada por f(x, y) = (x − 1)2 + y2 + z2 sujetos a la restriccion x2 + (y − 1)2 = z2 e interpretageometricamente el resultado.

Ejercicio 9. Calcula los puntos candidatos a ser extremos relativos del la funcion f(x, y, z) = zsujetos a la curva interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 36 con el plano 2x+ y − z = 6.


Ejercicio 10. En los siguientes casos, calcula los puntos candidatos a ser extremos relativos de lafuncion f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujetos a la restricciones que se dan

(1) x+ 3z = 7, x+ y + 3z = 9. (2) 2z2 = x2 + y2, z = 1 + x+ y.(3) x2 + 2y2 + 3z2 = 1, 2x2 + 3y2 + z2 = 1. (4) x2 + y2 = 1, 2x+ y + z = 4.

3. OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES GENERALES

En las secciones anteriores hemos estudiado como detectar los extremos relativos de un campoescalar sin restricciones o con restricciones de igualdad; apenas hemos visto nada sobre la existenciay calculo de sus extremos absolutos. Ahora analizaremos la existencia y los procedimientos deobtencion de maximos y mınimos absolutos de un campo escalar bajo restricciones generales.

Planteamiento general. Sea f la funcion objetivo, definida en un conjunto abierto U , y supon-gamos que queremos hallar los valores maximo y mınimo que puede alcanzar f entre los puntos quecumplan un conjunto de restricciones que, en general, vendran dadas como una o varias igualdadeso desigualdades. Llamaremos D ⊂ U al conjunto de puntos que cumplen las restricciones que seimpongan a las variables (en algunos libros D recibe el nombre de conjunto factible.)

Teorema de Weierstrass. Sea f : U ⊂ R3 → R un campo escalar continuo y sea D ⊂ Uun conjunto cerrado y acotado contenido en U . Entonces f alcanza en D sus valores mınimo ymaximo; es decir, existen Pmın, Pmax ∈ D tales que f(Pmın) ≤ f(P ) ≤ f(Pmax) para todo P ∈ D.

Extremos absolutos. Los valores maximo y mınimo de f y, por abuso de lenguaje, los puntosen los que se alcanzan dichos valores, se llaman extremos absolutos, o globales, de f en D.

Procedimiento general para resolver problemas de optimizacion. Puede ocurrir que Dno sea cerrado y acotado y, segun el comportamiento de f(P ) cuando P ∈ U tiende a infinito o ala frontera de D, que el maximo o el mınimo absoluto no existan. En otros casos, a pesar de serD no acotado, el comportamiento de f permite asegurar que existe el maximo o el mınimo globaly que este se encuentra en un conjunto acotado. Por ejemplo, si queremos hallar el punto de unacurva mas cercano a un punto dado, entonces aunque la curva no este acotada, el mınimo siempreexiste y podemos localizarlo en un tramo acotado de la curva fuera del cual podamos asegurar quela distancia se hace muy grande. Por tanto, el primer paso es, si se puede, reducir el problema alde encontrar los extremos absolutos de la funcion objetivo f en un subconjunto cerrado y acotadoD ⊂ U .

En el caso de las funciones de una variable, los puntos candidatos a que en ellos se alcance el maximoo el mınimo absoluto de una funcion en un intervalo cerrado y acotado son los puntos del intervaloabierto en los que la derivada vale cero y los extremos del intervalo, ası que el procedimiento escalcular estos puntos candidatos y evaluar la funcion objetivo en ellos para decidir en cual(es) sealcanza el maximo absoluto y en cual(es) el mınimo absoluto.

Para el caso de dos o tres variables, la geometrıa del conjunto D puede ser mas complicada pero enla practica totalidad de los casos habituales de las aplicaciones, D puede descomponerse facilmenteen su frontera, que es donde se cumplen alguna restriccion de igualdad, y en sus puntos interiores,que es donde se cumplen las restricciones de desigualdad estricta.

Las dos ideas esenciales ahora son, por un lado, que el conjunto de puntos interiores es abierto,ası que los candidatos a extremos que esten en el interior de D son los puntos crıticos de f queesten en el interior de D —o sea, los que hemos estudiado en la primera seccion— y, por otro


lado, que la frontera viene dada por los tramos en los que alguna restriccion es de igualdad, asıque los candidatos a extremos que esten en la frontera de D son los extremos relativos de f sujetosa restricciones de igualdad —o sea, los que hemos estudiado en la segunda seccion—.

Los resultados de las secciones anteriores requieren que la funcion objetivo sea, al menos, dife-renciable y, si ademas queremos usar el test de las derivadas segundas para clasificar los puntoscrıticos, entonces de clase C2(U), lo que ocurre en la practica totalidad de los casos de interes. Enresumen, para determinar los extremos absolutos de una funcion objetivo de clase C2(U) sobre unconjunto cerrado y acotado D se hace, entonces, lo siguiente:

(1) Se descompone D en su frontera y su interior

(2) Se hallan los puntos crıticos de f en el interior de D.

(3) (a) Si son dos variables, entonces la frontera de D es una curva dada por igualdades. Parahallar los extremos relativos de f en cada tramo de la frontera podemos hacer dos cosas:

–O bien la representamos mediante una parametrizacion (x(t), y(t)) y pasamos a unafuncion objetivo ϕ(t) = f

(x(t), y(t)

)de una sola variable, en cuyo caso se hallan los

puntos crıticos de ϕ y con estos valores crıticos del parametro se obtienen los puntosde la frontera en los que f podrıa tener un extremo.

–O bien determinamos los candidatos a extremos relativos sujetos a la frontera usandoel teorema de los multiplicadores de Lagrange junto con los puntos en los que elteorema no sea aplicable.

(b) Si tenemos tres variables, entonces la frontera de D es una superficie o una curva. Eneste caso, o bien parametrizamos la frontera, o bien usamos el metodo de los multiplicadoresde Lagrange con una o dos restricciones segun sea el caso.

(4) Se evalua f en todos los puntos obtenidos y se escogen aquellos donde f alcanza el valormayor (maximo absoluto) y el valor menor (mınimo absoluto).

En la siguiente figura vemos un ejemplo de optimizacion con restricciones. En rojo se representanlas curvas de nivel de la funcion objetivo y en azul el conjunto D de las restricciones; azul masclaro para el interior y mas oscuro para la frontera. Los candidatos que estan en el interior sonlos puntos crıticos de la funcion objetivo: un maximo local A, un mınimo local B y dos puntos desilla C. Los candidatos que estan en la frontera son los seis puntos L dados por el teorema de losmultiplicadores de Lagrange (la frontera y la curva de nivel son tangentes en dichos puntos).

Optimizacion con restricciones generales.


Para descartar errores o ahorrar en los calculos, si f es de clase C2(U), puede ser buena ideaclasificar los puntos crıticos obtenidos en el paso (1) mediante el test de las derivadas segundas; deesa forma, si en el paso (4) obtenemos un maximo global en un punto crıtico que hemos clasificadocomo mınimo relativo entonces seguramente hay algun error en los calculos


Ejercicio 1. Determina los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = 3x2y2 + 2x3 + 2y3 en elrectangulo R dado por −2 ≤ x ≤ 1, −5 ≤ y ≤ 1.

Ejercicio 2. Sea f : R2 → R la funcion definida por f(x, y) = cos(x) + sen(y). Halla y clasificasus puntos crıticos en el interior del cuadrado D dado por 1 ≤ x ≤ 7, 1 ≤ y ≤ 7.

Ejercicio 3. Halla los valores maximos y mınimos de f(x, y) = y3 + x2y + 2x2 + 2y2 − 4y − 8 enel cuadrante positivo del cırculo unidad.

Ejercicio 4. Determina los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = x2+y2+x2y2 en la regiondada por 4x2 + y2 ≤ 4.

Ejercicio 5. Determina los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = e−(x2+y2)(2x2+3y2) sobreel cırculo x2 + y2 ≤ 4.

Ejercicio 6. Determina el rectangulo de mayor area, con lados paralelos a los ejes, que puedeinscribirse en la elipse definida por la ecuacion x2/a2 + y2/b2 = 1.

Ejercicio 7. Halla los semiejes de la elipse centrada en el origen 5x2 + 6xy + 5y2 = 8.

Ejercicio 8. Determina los puntos donde el campo f(x, y) = 4x2+y2−4x−3y alcanza sus valoresmaximo y mınimo absolutos en la mitad superior de la elipse 4x2 + y2 ≤ 13.

Ejercicio 9. En los siguientes casos, determina los puntos de la curva mas proximos al origen decoordenadas (en los problemas de hallar el mınimo o el maximo de una distancia es convenientetomar como funcion objetivo el cuadrado de la distancia para evitar la raız cuadrada).

(1) La recta x+ y = 4.(2) La circunferencia de centro (1, 2) y radio r = 8.(3) El triangulo de vertices A = (−3, 2), B = (3, 8) y C = (−6, 1).

Ejercicio 10. Calcula las dimensiones de la piramide recta de base cuadrada y maximo volumenque puede construirse con un alambre de longitud L.

Ejercicio 11. Calcula los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = xye−xy en la region D dadapor x2 + 4y2 ≤ 1.

Ejercicio 12. Considera la region D del primer cuadrante limitada por las curvas: y2 − x2 = 1,x2 − y2 = 1, x+ y = 2, x+ y = 4. Halla los extremos absolutos de f(x, y) = 2x3 + y2 en D.

Ejercicio 13. Considera el campo escalar f(x, y) = 3x3+9xy2+36x2+47y+1. Sea S la superficiede ecuacion z = f(x, y) y sea P = (x, y, z) un punto de S. Sabiendo que una de las rectas tangentesa S en P es paralela a la recta r dada por las ecuaciones x+ y = 0 y x− y+ z = 0, prueba que lascoordenadas (x, y) de P estan sobre la parabola de ecuacion x2 + y2 − 2xy + 8x− 5 = 0 y halla elpunto de esta parabola mas cercano al punto (−2, 0).


Ejercicio 14. Considera el campo escalar f(x, y) = y3 + x2y + 2x2 + 2y2 − 4y − 8.

(1) Determina los puntos crıticos de f . ¿Que informacion proporciona el criterio de las deri-vadas segundas sobre cada uno de dichos puntos crıticos?

(2) Calcula los extremos absolutos de f sujetos a la restriccion x2 + y2 = 1 usando el Teoremade los Multiplicadores de Lagrange.

(3) Determina los puntos donde el campo f alcanza sus valores maximo y mınimo absolutosen el cırculo unidad x2 + y2 ≤ 1.

Ejercicio 15. Sea f(x, y, z) = 3x2 + 4xy + z3. Calcula los extremos absolutos de f en el cilindroS = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1,−2 ≤ z ≤ 2}.

Ejercicio 16. Calcula el maximo y el mınimo absolutos de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + x+ y + zsobre el conjunto D = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1, y + z = 1}.

Ejercicio 17. Prueba que los angulos de un triangulo cumplen sen(x)+ sen(y)+ sen(z) ≤ 3√3/2.

Ejercicio 18. Calcula los extremos absolutos de f(x, y, z) = x+ 3xy − z2 en la esfera unidad.

Ejercicio 19. Determina los extremos absolutos de la funcion f(x, y, z) = x2 + yz en la regiondefinida por x2 + y2 ≤ z ≤ 1.

Ejercicio 20. Una sonda espacial con forma esferica de radio 6 unidades entra en la atmosfera ysu superficie empieza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en un punto (x, y, x) de susuperficie es de T (x, y, z) = 6x − y2 + xz + 60. Determina los puntos de la superficie de la sondamas frıos y mas calientes. Razona en ambos casos por que podemos garantizar su existencia.

Ejercicio 21. Encuentra el punto mas alto de la circunferencia definida por la interseccion de laesfera x2 + y2 + z2 = 36 con el plano 2x+ y − z = 6.

Ejercicio 22. En los siguientes casos, determina los puntos de la curva mas proximos al origende coordenadas

(1) La interseccion del cono 2z2 = x2 + y2 con el plano z = 1 + x+ y.(2) La curva dada por la interseccion de los elpsoides x2 +2y2+ 3z2 = 1 y 2x2 +3y2 + z2 = 1.(3) El triangulo de vertices A = (−3, 2, 2), B = (3, 8,−4) y C = (−6, 1, 0).

Ejercicio 23. Encuentra el punto del cono z2 = x2 + (y− 1)2 mas cercano al punto P = (1, 0, 0).

Ejercicio 24. Encuentra las dimensiones optimas de un recipiente con forma de caja sin tapa desuperficie dada a.

Ejercicio 25. Encuentra las dimensiones optimas de un recipiente con forma de caja sin tapa devolumen dado v.

Ejercicio 26. Halla las distancias maxima y mınima desde el origen hasta la curva dada por lainterseccion de los elipsoides x2 + 2y2 + 3z2 = 1 y 2x2 + 3y2 + z2 = 1.

Ejercicio 27. Calcula el punto mas cercano al eje OY de la elipse dada por la interseccion delcilindro x2 + 2y2 = 1 con el plano 3x = 4z.

Ejercicio 28. Calcula los extremos absolutos del campo escalar f(x, y, z) = x − y − z sobre laelipse dada por la interseccion del cilindro 2x2 + y2 = 4 con el plano x+ y + z = 1.


Ejercicio 29. Cortando el paraboloide z = 4−x2−y2 con el plano z = y+2 se obtiene una curvaC. Ademas, sea V el solido formado por el trozo acotado de los dos en que dicho corte divide alparaboloide.

Los elementos geometricos descritos.

(1) Calcula la recta tangente a C en el punto P = (0, 1, 3).(2) Calcula el plano tangente al paraboloide en dicho punto P .(3) Calcula la recta tangente al paraboloide en el punto P que tiene pendiente maxima.(4) Utilizando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, prueba que P = (0, 1, 3) es el

punto mas alto de la curva C.

Ejercicio 30. De los puntos que estan a la vez en el cilindro x2 + y2 = 1 y en la superficiez2 − xy = 0, calcula, en el caso de que existan, el que esta mas cerca y el que esta mas lejos delorigen de coordenadas.

Ejercicio 31. La ecuacion x2 + 3y2 − 2xy = 1 representa una elipse centrada en el origen decoordenadas. Aplica el teorema de los multiplicadores de Lagrange para hallar sus semiejes.

Ejercicio 32. Sea S la superficie dada en R3 por z3 + zx3 + zy4 + y2 + 2xy − 2x− 4y + 3 = 0.

(1) Prueba que en un entorno del punto P = (1, 1, 0) puede obtenerse la coordenada z de lospuntos de S como una funcion explıcita z = f(x, y) de las otras dos coordenadas.

(2) Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f en el punto (1, 1).(3) Prueba que (1, 1) es un punto crıtico de f y clasifıcalo.(4) Sea C la interseccion de S con el plano XY . Para hallar los extremos relativos del campo

g(x, y) = x(y − 1) sujetos a la restriccion C, ¿cuales son los puntos candidatos a extremosrelativos que proporciona el teorema de los multiplicadores de Lagrange para este caso?

(5) Halla los extremos absolutos de g sujetos a la restriccion C.

Algunas notas historicas. Los problemas de optimizacion —el calculo de maximos y mınimos— forman parte delas matematicas, y de sus aplicaciones a la mecanica y la ingenierıa, desde sus orıgenes. Por ejemplo, los astronomos

de Babilonia ya se dieron cuenta que los planetas parecıan detenerse cuando aparentaban estar lo mas lejos o cercaposible. La leyenda de la reina Dido, fundadora de Cartago, cuenta como resolvio, mediante una circunferencia,el problema de rodear una cantidad lo mas grande posible de terreno cuando el perımetro esta dado. Este y otrosproblemas de optimizacion fueron resueltos por los geometras griegos. Por ejemplo, Heron descubrio, en torno al

siglo i ac, que la luz se refleja siguiendo el camino mas corto.

Con la invencion del calculo infinitesimal se desarrollaron los primeros metodos sistematicos para resolver problemas

de optimizacion. Ası, Pierre de Fermat fue el primero, en 1636, en postular que la derivada vale cero en los extremoslocales de una funcion de una variable. Tambien mostro en 1657 que la ley de Snell es una consecuencia de que laluz viaja siguiendo el camino mas corto tambien cuando se refracta al pasar de un medio a otro, aire y agua, porejemplo, en el que viaja a diferente velocidad. En 1696 Johann y Jacob Bernoulli y Newton plantean y resuelven al

problema de la braquistocrona: la propiedad que tiene la cicloide de ser la curva por la que un movil sujeto a la accionde la gravedad pasa en el menor tiempo posible de un punto a otro, ambos situados en un mismo plano vertical.


Este resultado y otros en problemas similares permiten a Leonhard Euler formular en 1740 los primeros criterios deoptimalidad de curvas y superficies, lo que se conoce como el calculo de variaciones. Joseph Louis Lagrange resolvio

en 1755 algunas cuestiones planteadas por Euler, y su colaboracion culmino con la formulacion de las ecuacionesde Euler-Lagrange que son el punto central de la teorıa del calculo de variaciones. En paralelo, Lagrange formuloen 1759 el test de las derivadas segundas para funciones de dos variables y tambien fue de los primeros en estudiarproblemas de optimizacion con restricciones, formulando en 1788 su teorema de los multiplicadores.

A lo largo del siglo xix y primera mitad del xx se establecen los fundamentos teoricos de la disciplina y se formulanmetodos numericos para resolver problemas de optimizacion. En 1806 Adrien M. Legendre y Carl F. Gauss inventan

el metodo de los mınimos cuadrados. Bernard Bolzano (1830, para funciones de una variable) y Karl Weierstrass(1860, para varias variables) formulan la condicion suficiente para la existencia de extremos; Carl Gustav Jacobi,en 1850, y James Joseph Sylvester, en 1852, dan la clasificacion de las cuadricas segun los signos de los autovalores,

extendiendo el resultado de Lagrange a campos de varias variables. Augustin Cauchy formula en 1857 el metododel descenso mas rapido.

La aparicion de los computadores a mediados del siglo xx dieron un enorme impulso a los metodos numericospara resolver problemas de optimizacion que son esenciales en la ingenierıa. Senalemos, sobre todo, el metodo delsımplex que permite resolver problemas de optimizacion lineales de muchas variables sujetas a restricciones lineales,inventado de forma independiente por Leonid V. Kantorovich en 1939 y George Dantzig en 1947. Este y otros

metodos seran estudiados en las asignaturas “Metodos Matematicos”, “Estadıstica e Investigacion Operativa” y, enGITI, “Metodos Cuantitativos de Organizacion Industrial”.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Capıtulo 14.

Paginas web de interes:

http://www.wolframalpha.com

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm

http://www.desmos.com/

lecci on 3. optimizacion de campos escalares · 3. optimizaci on de campos escalares 41 si...

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