lec2

Captulo 2

Normas de Vectores y Matrices

2.1. Introduccion

En este captulo repasaremos brevemente el concepto de norma de un vector paracentrarnos en el estudio de las normas de matrices o, si se quiere, en las normas delos operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante porvarias razones. Es necesario, por ejemplo, para definir de forma precisa conceptostales como series de potencias de matrices; y desde luego es basico para precisar loque se entiende por proximidad o lejana entre matrices, aspectos fundamentales enel analisis de algoritmos en la computacion numerica. Un par de ejemplos puedenservir para ilustrar estas ideas.

Es conocido que si x es un numero complejo de modulo menor que 1 entonces

p1 xq1 1 x x2 x3 . . .

Esto sugiere la formula

pI Aq1 I A A2 A3 . . .

31

32 Normas de Vectores y Matrices

para calcular la inversa de la matriz I A. Pero cuando es tal formula valida?.Resulta que es suficiente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y ademascualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertas condicionesrelativas a la norma de A la serie8

i0

1

kAk

es convergente y sirve para definir la funcion matricial eA.

Por otra parte, el calculo numerico con matrices que proceden de datos experi-mentales, no es exacto; por lo general matrices estan sometidas, bien sea por erroresde redondeo o por imprecision en las mediciones,a pequenas perturbaciones. Cuanpequenas son estas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cuan lejos esta la matrizverdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizandonormas.

En todo este captulo supondremos que F es el cuerpo R de los numeros realeso el cuerpo C de los numeros complejos.

2.2. Normas de Vectores

2.2.1. Definicion y Ejemplos

Como es bien sabido, el concepto de norma de un vector es una generalizaciondel concepto de valor absoluto o modulo de un numero complejo.

Definicion 2.1 .-Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una funcion :V R es una norma en V si satiface las siguientes propiedades:

(i) x 0 pxq 0.

(ii) pxq ||pxq, @ P F.

(iii) px yq pxq pyq, @x P V (desigualdad triangular)

2.2. NORMAS DE VECTORES 33

Tres importante propiedades se siguen de forma inmediata de la Definicion 2.2.Para cualquier norma

1. p0q 0 porque p0q p0xq 0pxq 0.

2. pxq pxq porque pxq | 1|pxq pxq

3. |pxq pyq| px yq. En efecto, hay dos posibilidades:

a) pxq pyq. En este caso |pxqpyq| pxqpyq y por la desigualdadtriangular pxq ppx yq yq px yq pyq.

b) pxq pyq. Entonces |pxq pyq| pyq pxq y de nuevo por ladesigualdad triangular pyq py xq pxq px yq pxq.

Ejemplo 2.2 Se puede definir una infinidad de normas en Fn, sin embargo lasmas utilizadas son las llamadas normas de Holder o normas `p. En lo que siguesupondremos que x px1, x2, . . . , xnq P Fn es un vector de Fn.

Para cada una de las normas dibujamos, a modo de ilustracion la correspondientebola unidad en R2; i.e., el conjunto Bp0, 1q tx P R2| x 1u.

(a) La norma `1:

x 1n

i1

|xi|.

(b) La norma `2 o norma eucldea:

x 2d

n

i1

|xi|2.


(c) La norma `8

:

x 8

max1in|xi|.

(d) La norma `p general (p 2):

x p

n

i1

|xi|p

1{p

.

Demostrar que las normas `p son, en efecto, normas es facil salvo la desigualdadtriangular que, en el caso general, se conoce como desigualdad de Minkowsky. estaa su vez, es consecuencia de otra desigualdad importante; la desigualdad de Holder:Si p y q son numeros reales tales que 1

p

1q 1 entonces

|xy| x p y q .

En el caso particular en que p 2 (y entonces tambien q 2) la desigualdad deHolder se convierte en una desigualdad bien conocida:

|xy| x 2 y 2,

la desigualdad de Cauchy-Schwartz.

Aparentemente la norma `8

no es una norma `p. Sin embargo se la puede con-siderar como tal porque para cualquier x P Fn se tiene que

x 8

lmp8

x p .


Algo de esto ya se intuye en la forma que tienen las bolas unidad en R2 para lasnormas `p. Tambien admite, claro esta, una demostracion rigurosa: Sea

x p p|x1|p xn|pq1{p,y supongamos que

x 8

max1in|xi| |xi1 | |xiq | m.

Es decir, que las componentes i1, . . . , iq son, en modulo, mayores que todas lasdemas, y que en todas ellas el valor de dicho modulo es el mismo e igual a m. As,si tj1, . . . , jnqu t1, . . . , nuzti1, . . . , iqu tenemos que

x p pqmp |xj1 |p |xjnq |pq1{p m

q

xj1m

p

xjnqm

p1{p

.

Como

xjkm

1 conclumos que lmp8

xjkm

p

0 y lmp8

x p m x 8, tal ycomo se deseaba demostrar.

2.2.2. Equivalencia de normas

Las normas son herramientas basicas para definir y analizar la convergencia deuna sucesion de vectores en espacios vectoriales. Como es habitual, una sucesiontxku V se dice que converge a x (y se escribe xk x) si la sucesion de numerosreales tpxk xqu converge a cero, pxk xq 0, siendo una norma definidaen V . Esta definicion depende de la norma . En principio podra suceder que unasucesion de vectores convergiera para una norma pero no para otra. De hecho, estoes perfectamente posible en espacios de dimension infinita, pero no en espacios dedimension finita. Ello es consecuencia de que todas las normas en un espacio vectorialde dimension finita son equivalentes en el siguiente sentido:

Definicion 2.3 Sean y normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Sedice que y son equivalentes si existen numeros reales positivos c1 y c2 tales que

c1 pxq

pxq c2, @x P V.


Debe notarse que as se define, en efecto, una relacion de equivalencia en elconjunto de todas las normas definibles en un espacio vectorial. (Se vera en losejercicios que hay una infinidad de normas definibles en cualquier espacio vectorial).

Nuestro objetivo es demostrar que todas las normas en un espacio de dimensionfinita son equivalentes. Para ello debemos recordar algunos resultados basicos detopologa. En todo espacio normado, pM, . q podemos definir una distancia:

dpx, yq x y ,

que hace de pM,dq un espacio metrico, y por lo tanto topologico con una base deabiertos dada por las bolas abiertas centradas en cada punto de M . Por consiguiente,si V es un espacio vectorial en el que tenemos definida una norma, automaticamentetenemos en V estructuras de espacio metrico y topologico. Si en M tenemos definidasdos normas, las bolas abiertas definidas por ambas normas pueden ser diferentes(vease el Ejemplo 2.2). A pesar de que las bases de abiertos determinadas por dichasnormas sean diferentes, las topologas determinadas por estos pueden ser iguales. Lapropiedad de que las normas son equivalentes determina que, en efecto, las topologasinducidas por ellas son la misma; es decir, todo abierto respecto de una de las normaslo es respecto de la otra.

En efecto, recordemos que si es una norma enM , un conjunto A M es abiertosi para cada x P A existe un numero real 0 tal que Bpx, q ty P V |pxyq uesta contenido en A. Ahora, si en M hay definidas dos normas equivalentes, digamos y , entonces existen constantes positivas c1 y c2 tales que c1pxq pxq c2pxqpara todo x PM . Supongamos que A es abierto respecto de la norma . Esto significaque para todo x P A existe r 0 tal que px yq r implica que y P A. Veamosque A es abierto respecto de . Sea x P A un elemento cualquiera y definamos s demodo que 0 s r

c2. Si px yq s tenemos que

px yq c2px yq c2r

c2 r.

Por lo tanto y P A y A es abierto respecto a . La demostracion de que todo abiertorespecto a lo es respecto a se hace igual.

As pues, todas las normas equivalentes definidas en un conjunto M inducen lamisma topologa en dicho conjunto. En consecuencia, todos los invariantes topologi-cos (compacidad, conexion, . . . ) se mantienen. Es decir, si un conjunto es compactoo conexo respecto de una de las normas lo es respecto de la otra.


Estas propiedades tienen un interes sobre todo teorico, pero nos ahorra tener queestar prestando atencion continuamente a las normas empleadas cuando se pruebanresultados topologicos. En cualquier caso, una primera consecuencia es que la con-vergencia de sucesiones de vectores en espacios de dimension finita es independientede la norma elegida.

La demostracion de que todas las normas definidas en un espacio vectorial dedimension finita son equivalentes se puede hacer de diversas formas. La que adop-tamos aqu no es la mas directa pero tiene la virtud de poner de manifiesto unapropiedad fundamental de los espacios vectoriales de dimension finita: estos espa-cios vectoriales estan caracterizados por el hecho de que las esferas unidades respectode cualquier norma son conjuntos compactos. Demostraremos esta importante pro-piedad (que usaremos de manera significativa posteriormente) en el siguiente Lema.En la prueba usaremos que las normas `1 y `2 en Fn son equivalentes. En efecto, taly como se propone demostrar en los ejercicios, se tiene la siguiente desigualdad paratodo xFn:}x}2 }x}1 ?

n}x}2. (2.1)

Una ultima observacion: notese que la acotacion no se conserva por homeomorfis-mo (el intervalo p0, 1q es homeormorfo a R) pero si dos normas son equivalentes y unconjunto es acotado respecto de una de ellas lo es, por la definicion de equivalenciade normas, respecto de la otra.

Lema 2.4 (a) Todas las normas definidas en V , espacio vectorial sobre F, sonfunciones continuas cuando en V se considera la topologa inducida por yen R la topologa habitual (la inducida por el valor absoluto).

(b) Sea V un espacio vectorial de dimension finita y una norma en V . La esferaunidad de V respecto de la norma , S tx P V |pxq 1u, es un conjuntocompacto con la topologa en V inducida por dicha norma.

Demostracion.-

(a) Sea una norma definida en V y consideremos en V la topologa inducidapor esta norma. Sea 0 un numero real arbitrario. Escogemos 0 .Entonces, como para todo x, y P V

|pxq pyq| px yq,


resulta que si px yq entonces |pxq pyq| . Esto demuestra que es continua.

(b) Supongamos que dimV n y sea tv1, . . . , vnu una base de V . Definimos lasiguiente funcion:

g : Fn Va pa1, . . . , anq v a1v1 anvn

donde la topologa en V es la derivada de la norma .

Esta aplicacion es un isomorfismo de espacios vectoriales; es decir, es unaaplicacion lineal y biyectiva. Y desde el punto de vista topologico es tambienun homeomorfismo cuando en V y Fn se consideran las topologas derivadas delas normas y `1. Es decir, g es una aplicacion continua con inversa continua.

No obstante, para llegar al resultado deseado solo necesitamos que g sea conti-nua. Aunque, tal y como se acaba de decir, este es un hecho conocido, lo demos-tramos porque la demostracion es muy sencilla y esta propiedad se usara confrecuencia en este curso. Que la inversa de g tambien es continua requiere mastrabajo. Aunque no se va a utilizar, demostraremos esta propiedad al final dela seccion.

Sea 0 un numero real dado. Tenemos que encontrar un numero real 0tal que si a b 1 entonces pgpaq gpbqq . Ahora bien

pgpaq gpbqq

n

i1

paivi biviq

n

i1

|ai bi|pviq

M a b 1,

donde M maxtpv1q, . . . , pvnqu. Observamos que M 0 porque vi 0 paratodo i 1, . . . , n por ser vectores de una base de V . Basta escoger 0

M

para obtener el resultado deseado.

Sea S V la esfera unidad respecto de la norma : S tx P V |pxq 1u. Este conjunto es acotado respecto de la metrica determinada por . Ytambien es cerrado porque es la anteimagen por la aplicacion continua delcerrado t1u de R. Como g es continua, g1pSq es cerrado. El conjunto g1pSqtambien es acotado. Esto es, en realidad, una consecuencia inmediata de unresultado que veremos en la proxima leccion. Sin dicho resultado, necesitamos


una demostracion. Ya hemos visto que g : Fn V y : V R son funcionescontinuas. Entonces, la composicion de ambas

f : Fn Rpa1, . . . , anq ; pa1v1 anvnq

tambien lo es. Sea Sn11 tx P Fn|}x}1 1u la esfera unidad de Fn respecto dela norma `1. Este conjunto es cerrado y acotado respecto de la norma `1. Por(2.1) tambien es cerrado y acotado respecto de la norma eucldea. Ahora bien,sabemos (Teorema de Heine-Borel) que ser cerrado y acotado en Fn (F Ro C) respecto de la norma eucldea equivale a ser compacto. As pues Sn11es compacto. Consecuentemente, f restringida a Sn11 alcanza su mnimo. Seam mnyPSn11 fpyq. Notemos que m 0 porque si y P S

n11 entonces y 0,

por lo que vy y1v1 ynvn 0 y fpyq pvyq 0.

Sea ahora a pa1, . . . , anq P g1pSq. Esto significa que x a1v1 anvn P

S y as

1 pxq

n

i1

aivi

}a}1

n

i1

ai}a}1

vi

Pero como

a1}a}1

, . . . an}a}1

P Sn11 resulta que

n

i1

ai}a}1

vi

f

a1}a}1

, . . .an}a}1

m.

Por lo tanto1 pxq }a}1m,

y como m 0 obtenemos }a}1 1

m. As pues, g1pSq esta acotado en

la norma `1 (y por lo tanto en al norma `2). Y como tambien es cerradoen ambas normas por ser equivalentes, y F R o C, g1pSq es compacto.Finalmente, como g biyectiva, gpg1pSqq S . Ahora bien, la imagen de uncompacto por una aplicacion continua es compacto. Conclumos entonces queS es compacto, tal y como se deseaba demostrar.

El recproco del apartado (b) del lema anterior tambien es verdadero. Aunque nolo vamos a utilizar lo exponemos por completitud. La demostracion usa el siguienteresultado de Riesz, que no demostramos:


Lema 2.5 (Lemma de Riesz) Sea E un espacio vectorial y una norma definidaen el. Sea S E un subespacio propio y 0 1. Existe x P EzS tal quepxq 1 y ps xq para cada s P S.

Teorema 2.6 Un espacio vectorial V es de dimension finita si y solo si la esferaunidad en V , respecto de cualquier norma, es un conjunto compacto.

Demostracion.- La necesidad de que la esfera unidad sea un conjunto compactopara que V sea de dimension finita se ha probado en el Lema 2.4. Demostremos ahorala suficiencia.

Sea una norma en V y supongamos que V es de dimension infinita. Sea x1 P Vcualquier vector tal que px1q 1. Sea V1 x1 el subespacio generado por x1.Como V es de dimension infinita, V1 es un subespacio propio de V , por el Lema deRiesz, existe x2 P V tal que px2q 1 y px2 yq

12

para todo y P V1.

Sea V2 x1, x2 el subespacio generado por x1 y x2. De nuevo, V2 V es unsubespacio propio de V . Aplicando otra vez el Lema de Riesz, existe x3 P V tal quepx3q 1 y px3 yq

12

para todo y P V2.

Siguiendo as sucesivamente, construmos una sucesion de vectores txnu con lassiguientes propiedades:

(a) pxnq 1 para n 1, 2, . . .

(b) pxn xmq 12

para n m, n,m P N.

Por lo tanto hemos construdo una sucesion de vectores en la esfera unidad de V ,respecto de la norma , que no admite una subsucesion convergente. Esto significaque la esfera unidad no es un conjunto compacto en V , contradiciendo la hipotesis.

Demostramos finalmente el resultado sobre la equivalencia de normas que buscaba-mos.

Teorema 2.7 Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensionfinita son equivalentes.


Demostracion.- Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre F, y sean y dos normas definidas en V . Sea S tx P V |pxq 1u.

Por una parte, este conjunto es compacto con la topologa en V inducida por lanorma . Hemos visto en la demostracion del Lema 2.4 que si


entonces g1pSq es compacto en Fn con la topologa habitual (la derivada de lanorma eucldea o de la `1). Tambien se ha demostrado g es continua cuando en Vse considera la topologa derivada de cualquier norma, en particular, de la norma .Como la imagen de un compacto por una aplicacion continua es un compacto y ges biyectiva, conclumos que S es compacto en V con la topologa inducida por lanorma .

As pues, cuando en V consideramos la topologa inducida por tenemos que es una aplicacion continua y S un compacto. Por lo tanto, alcanza en S sumaximo y su mnimo. Pongamos c2 mn

yPSpyq y c1 max

yPSpyq. Entonces, para

x P V , tenemos quex

pxqP S y

pxq pxq

x

pxq

pxqmnyPS

pyq c2pxq.

Y de la misma forma

pxq pxq

x

pxq

pxqmaxyPS

pyq c1pxq.

Una consecuencia inmediata de la equivalencia de normas en espacios de dimen-sion finita es que los isomorfismos algebraicos de espacios vectoriales normados sonisomorfismos topologicos u homeomorfismos:

Corolario 2.8 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales de dimension finita n sobreF y sea f : V1 V2 un isomorfismo. Sean y normas definidas en V1 y V2,respectivamente. Entonces f y f1 son aplicaciones continuas cuando en V1 y V2 seconsideran las topologas inducidas por estas normas.


Demostracion Probamos la continuidad de f , la de f1 se demuestra igual.

En primer lugar, es facil demostrar que la aplicacion : V1 R definida porpxq pfpxqq es una norma en V1. Como V1 es de dimension finita, y sonequivalentes. Existe una constante positiva c2 tal que pxq c2pxq para todox P V1.

Sea ahora 0 un numero real dado. Escojamos de modo que 0 c2

.Entonces, si x, y P V1 cumplen que px yq , se sigue

pfpxq fpyqq pfpx yqq px yq c2px yq c2 .

Esto demuestra que f es uniformemente continua en V1.

Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado anunciado en la demostra-cion del Lema 2.4: la inversa de


es una aplicacion continua.

2.3. Normas de Matrices

2.3.1. Definiciones, Ejemplos y Primeras Propiedades

Dado que Fmn es un espacio vectorial todo lo dicho en la seccion anterior esde aplicacion a las matrices de tamano m n con elementos en el cuerpo de losnumeros reales o complejos. En particular, todas las normas definidas en Fmn sonequivalentes; i.e. generan la misma topologa,y son funciones continuas.

Debemos observar que las propiedades que definen una norma tienen en cuentalas operaciones propias de la estructura de espacio vectorial sobre el que se definen:el producto por escalares y la suma de vectores (desigualdad triangular). Sin em-bargo las matrices, en algunos casos, se pueden multiplicar. Una norma sobre Fnnse dira que es una norma de matriz cuando respecto al producto se verifica unapropiedad similar a la desigualdad triangular para la suma. Tomar en consideracionesta propiedad de las matrices nos conduce a la siguiente definicion:

2.3. NORMAS DE MATRICES 43

Definicion 2.9 .- Sean , y normas definidas en Fmn, Fnp y Fmp, respecti-vamente. Diremos que , y son consistentes si para todas matrices A P Fmny B P Fnp se verifica

pABq pAqpBq.

En particular una norma definida en Fnn se dice que es consistente si pABq pAqpBq para todas A,B P Fnn.

Una norma definida en Fnn consistente tambien se dice que es multiplica-tiva o submultiplicativa.

Una norma definida en Fnn se dice que es una norma de matriz si es con-sistente.

Un caso particular importante es el de las normas consistentes (tambien llamadasen este caso compatibles) con las normas de vector: Si es una norma definida enFnn y es una norma definida en Fn entonces se dice que es consistente ocompatible con la norma de vector si para toda matriz A P Fnn y todo vectorx P Fn se tiene que

pAxq pAqpxq

Ejemplo 2.10 1. - La norma eucldea en Fmn sera

A

m

i1

n

j1

| aij |2

12

A esta norma se le llama tambien norma de Frobenius y se suele representarpor A F . En algunos sitios se le llama tambien norma de Schur o de Hilbert-Schmidt. Nosotros utilizaremos el nombre de norma eucldea o de Frobenius.

La norma de Frobenius en Fnn es una norma de matriz. Mas general,las normas de Frobenius en Fmn, Fnp y Fmp son consistentes. En efecto,supongamos que A P Fmn y B P Fnp. Entonces AB P Fmp y, llamando a1j ala j-esima columna de A, tenemos:

AB 2Fm

i1

p

j1

|aibj|2

m

i1

p

j1

|a1

i bj|2


Usamos ahora la desigualdad de Cauchy-Schwartz: |xy| }x}2}y}2. As

AB 2F m

i1

p

j1

}a1i}22}bj}

22

n

k1

m

i1

|a1ki|2

n

k1

p

j1

|bkj|2

m

i1

n

k1

|aik|2

n

k1

p

j1

|bkj|2 }A}2F }B}

2F

donde hemos usado que para un numero complejo |z| |z|.

2. - La norma `8

en Fmn sera:

A max1im1jn

|ai,j|

Esta norma en Fnn no es una norma de matriz como lo demuestra el siguienteejemplo:

A

1 11 1

A2 AA

2 22 2

y AA 2 1 A A

3. - En general la norma `p en Fmn se definira como:

A

m

i1

n

j1

|aij|2

1p

Utilizando la desigualdad de Holder se puede demostrar que en Fnn estanorma es una norma de matriz si y solo si 1 p 2.

4. - Una pequena modificacion en la definicion de la norma `8

nos permite obteneruna norma de matriz en Fnn:

A n max1i,jn|ai,j|

En efecto, si a max1i,jn|aij| y b max

1i,jn|bij| entonces

AB n max1i,jn

n

k1

aikbkj

n max1i,jn

n

k1

|aikbkj|

n max1i,jn

n

k1

ab na nb A B


La norma de Frobenius se puede escribir alternativamente de cualquiera de lasdos formas siguientes:

a) A Fa

trpAAq

b) A 2F a1 22 a2 22 . . . an 22, donde A ra1 a2 ans P Fnnesta escrita en terminos de sus vectores columna.

2.3.2. Normas de Matriz Inducidas

Una tecnica general para obtener normas de matriz a partir de normas vectorialeses la siguiente: Sea A P Fmn y pensemos en A como una transformacion u operadorlineal:

A : Fn Fmx Ax

Consideremos en Fn y Fm normas }}n y }}m, respectivamente. Es un hecho conocidoque las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados de dimension finitason operadores acotados. Que un operador h : E1 E2 entre dos espacios normadoses acotado significa que @x P E1 existe una constante M 0 tal que }hpxq} M}x}donde hemos representado con el mismo signo, }}, y sin posibilidad de confusion,lasdos normas definidas en E1 y E2. Lo que sigue es una demostracion de esta propiedad.Si E1 y E2 son espacios vectoriales de dimension finita, hemos visto en el Corolario

2.8 que las aplicaciones lineales son continuas. Si x P E1 entoncesx

}x}esta en la

esfera unidad S1 de E1 que, por el Lema 2.4, es un conjunto compacto en E1.Por consiguiente, si h es lineal entonces, como las normas son siempre funcionescontinuas, }}h restringido a S1 alcanza su maximo y mnimo. Sea M max

yPS1}hpyq}.

Entonces }hp x}x}} M . Pero }hp x}x}}

1}x}}hpxq}, de donde se sigue que }hpxq}

M}x}.

En particular para la aplicacion lineal A se tiene que @x P Fn existe una constanteM 0 tal que }Ax}m M}x}n. Y esto significa que el conjunto

"

}Ax}m}x}n

: x P Fn, x 0*


esta acotado superiormente. Consecuentemente, tiene un supremo. Podemos as de-finir la siguiente funcion:

f : Fmn RA fpAq

donde

fpAq sup0xPFn

Ax m x n

Es claro que el cociente Ax m x n

es no negativo. Probaremos que f es una norma consistente con las normas de vectorque sirven para definirla.

Comenzaremos observando que el sup se alcanza y que, por lo tanto, podemossustituir sup por max. Para ello probamos, en primer lugar, que (supondremos siem-pre x P Fn):

fpAq supxn1

Ax m .

En efecto si M sup0x

Axmxn entonces M

Axmxn , @x 0. En particular M

Ax m, @x P Fn tal que x n 1, con lo que M supxn1 Ax m. Recprocamen-te, si M sup

xn1 Ax m, entonces M Ax m, @x P Fn tal que x n 1. Sea

x P Fn un vector no nulo arbitrario; entonces xxn es un vector unitario, de modoque M A xxn m 1xn Ax m. Por lo tanto M sup0xPFn

Axmxn . En conclusion

fpAq supxn1

Ax n.

Ahora bien, m es una funcion continua respecto de cualquier norma de Fny tambien A es una funcion continua (por ser una funcion lineal). Por otra parte,la esfera unidad es un conjunto compacto (respecto de cualquier norma) de Fn, ycualquier funcion continua alcanza sus valores maximo y su mnimo en ella. As pues

fpAq maxxn1

Ax m max0xPFn

Ax m x n .

Demostraremos ahora que fpAq es una norma vectorial consistente con las nor-mas } }m y } }n. A estas normas se les llama tambien normas de operador.


Teorema 2.11 .- Sea n y m normas definidas en Fn y Fm, respectivamente.

a) La funcion real f definida en Fmn por

fpAq maxxn1

Ax m max0xPFn

Ax m x n

es una norma que denotaremos con m,n.b) Si A P Fmn y B P Fnp entonces

}AB}m,p }A}m,n}B}n,p.

En particular, si m n entonces la norma } }n,n es una norma de matriz.

c) Las normas m,n, m y n son consistentes.d) Si es cualquier otra norma de matriz consistente con m y n, entonces

A m,n pAq, @A P Fmn.

En lo sucesivo, y para evitar una notacion excesivamente pesada, no escribi-remos los subndices que asocian cada norma al espacio en el que esta definida yrepresentaremos todas las normas con el smbolo } }. La razon es que en todo mo-mento es claro en que espacio esta el vector o la matriz sobre el que actua la norma.As, escribiremos }x} y }A} en vez de }x}n o }A}m,n porque si A P Fmn entonces lanorma en Fmn es } }m,n y no se necesita precisar los subndices; y, ademas, Ax solotiene sentido si x P Fn y no se precisa especificar el subndice en el correspondientesmbolo de la norma.

Demostracion.- a) Debemos verificar todos los axiomas que definen las normasde matriz

(i) Si A 0 existe x P Fn tal que Ax 0. Por lo tanto Ax 0 y A maxx1

Ax 0.

(ii) Para todo P F

A maxx1

Ax v maxx1 || Ax || max

x1 Ax || A .


(iii) Probamos ahora que si A,B P Fmn entonces A B A B . Enefecto

AB maxx1

pABqx maxx1

AxBx

maxx1p Ax Bx q max

x1 Ax max

x1 Bx

A B .

b) Sean A P Fmn y B P Fnp. Por definicion

AB max}x}1

ABx .

Sea x0 P Fp un vector con x0 1 donde se alcanza el maximo: AB ABx0 .Ahora bien, para cada matriz X

X maxy0

Xy y

de donde resulta que Xy X y , @y 0. As

AB ApBx0q A Bx0 A B x0 A B ,

porque x0 1; que es lo que se quera demostrar.En particular si m n p y A,B P Fnn entonces

}AB}n,n }A}n,n }B}n,n.

Es decir, } }n,n es una norma de matriz.

c) Ya hemos visto que @A P Fnn y @x P Fn, x 0, se tiene que

Ax m A m,n x n .

Y para x 0 se obtiene la igualdad de forma evidente. Por consiguiente, las normas m,n, m y n son consistentes.


d) Tambien hemos visto mas arriba que existe x0 P Fn con x0 1 tal que

A Ax0 .

Como es consistente con m y n resulta que

A Ax0 m pAq x0 n pAq,

tal y como se deseaba demostrar.

Ejemplo 2.12 .- Vamos a ver como se definen explcitamente las normas de matriz`p para p 1, 2,8.

1. - La norma de matriz `1: Sea A P Fmn y escribamos esta matriz en funcionde sus columnas A ra1 a2 ans. Vamos a probar que la norma de matrizinducida por la norma `1 es :

A 1 max1jn

m

i1

|aij|

o, equivalentemente,

A 1 max1jn

aj 1

En efecto, pongamosM max1jn}aj}1. Vamos a demostrar queM max}x}11}Ax}1.

Para ello probamos primero que M }Ax}1 para todo x P Fn con }x}1 1;i.e. que M es una cota superior del conjunto

t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fnu,

Y a continuacion que esta cota se alcanza. Es decir, que existe x0 P Fn tal que}x0} 1 y M }Ax0}1.

Sea x P Fn con }x}1 1, y sean px1, . . . , xn) sus componentes. Entonces

}Ax}1 }x1a1 xnan}1 p|x1|}a1}1 |xn|}an}1q p|x1| |xn|q max

1jn}aj}1 M}x}1 M


Por lo tanto, M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fnu. Ahora,si el max

1jn}aj}1 se alcanza, digamos, para la columna k entonces M }ak}1.

Tomando x0 ek

k

p0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0q P Fn, tenemos que }x0}1 1 y

M }ak}1 }Aek}1 }Ax0},

de modo que M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fnu que sealcanza. Esto es

max1jn}aj}1 max}x}11}Ax}1 }A}1

2. - La norma de matriz `8

: De forma similar a lo que hemos visto mas arriba,vamos a demostrar que la norma de matriz inducida por la norma `8

es

A 8

max1in

n

j1

|aij|.

Pongamos M max1in

n

j1

|aij|. Por una parte

Ax 8

max1in

n

j1

aijxj

max1in

n

j1

|aijxj|

max1in

n

j1

|aij max1kn|xk|

max1in

n

j1

|aij| x 8M}x}8

.

As pues

}A}8

maxx8

1 Ax 8

M. (2.2)

Para demostrar la desigualdad en sentido contrario vamos a probar que paracada i 1, . . . , n existe un vector xi con }xi}8 1 tal que

n

j1

|aij|

n

j1

aijxij

, (2.3)

donde xij es la j-esima componente de xi.

2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES 51

Supuesto esto demostrado es facil ver que }A}8

M . En efecto, para cadai 1, . . . , n

}A}8

max}x}8

1}Ax}8

}Axi} max1in

n

j1

aijxij

max1in

n

j1

|aij| M

As pues, debemos demostrar (2.3). Basta encontrar xi tal que aijxij |aij|.Pero esta misma identidad nos sirve de definicion:

xij aij|aij|

siempre que aij 0 y xij 1 si aij 0. Con esta definicion de xi tenemos que}xi}8 1 y se verifica (2.3) porque cada sumando aijxij |aij| es positivo.

En conclusion

}A1}8 max}x}8

1}Ax}8

M max1in

n

j1

|aij|

tal y como se deseaba demostrar.

3. - La norma de matriz `2: A la norma de matriz inducida por la norma `2 sele llama tambien Norma Espectral. Veremos en un tema posterior que tie-ne un significado muy importante que todava no estamos en condiciones decomprender bien.

2.4. Sucesiones y Series de Matrices

Tal y como hemos dicho en la seccion anterior, el uso de normas nos permitehablar de convergencia de sucesiones de vectores y, por lo tanto, de matrices. Elobjetivo de esta seccion es introducir las serie de matrices y demostrar un resultadoque necesitaremos en un tema posterior.

Sea tAku8

k0 una sucesion infinita de matrices con elementos en Fnm, recordemosque F R o C. Con esta sucesion formamos otra, la de las sumas parciales

Sk k

j0

Aj, k 0.


Definicion 2.13 La serie8

j0

Aj converge si la sucesion tSku es convergente; i.e. si

existe el lmk8

Sk. Ademas, si S lmk8

Sk entonces escribiremos

8

j0

Aj S.

La convergencia de la serie8

j0

Aj se puede reducir a la de la serie numerica

8

j0

}Aj} de la siguiente forma:

Proposicion 2.14 Si la serie numerica8

j0

}Aj} converge para alguna norma de

matriz, tambien converge la serie matricial8

j0

Aj.

Demostracion.- Sea 0 un numero real dado. Veremos que existe un enteroN 0 tal que si p, q N entonces Sp Sq . Esto demuestra que la sucesiontSnu de sumas parciales es una sucesion de Cauchy. Como Fmn es completo, tSnuconverge.

En efecto

Sp Sq

q

jp1

Aj

q

jp1

}Aj}

p

j0

}Aj} q

j0

}Aj}

.

Ahora bien, si8

j0

}Aj} converge, existe N 0 tal que si p, q N entonces

p

j0

}Aj} q

j0

}Aj}

,

que es lo que se quera demostrar.


En particular, para matrices cuadradas la serie de potencias8

j0

ajAj es conver-

gente si lo es la serie numerica8

j0

|aj| }A}j. En realidad, este resultado no es un caso

particular de la Proposicion 2.14 pero se demuestra igual teniendo en cuenta que lanorma elegida es una norma de matriz. En efecto, basta observar que si Bj ajA

j

entonces}Bj} |aj| }A

j} |aj| }A}

j,

donde la ultima desigualdad se debe a que las normas de matriz tienen la propiedadsubmultiplicativa.

Como muchas funciones escalares se pueden definir como series de potenciasconvergentes en ciertas regiones del plano complejo, la posibilidad de reducir la con-vergencia de una serie de potencias matriciales a la de sus correspondientes normaspermite definir de forma sencilla algunas funciones matriciales.

Concretamente, sea fpzq 8

j0

ajzj en un entorno de z 0 con un radio de

convergencia R y consideremos la serie matricial8

j0

ajAj con A P Fnn. Si hay

alguna norma de matriz para la que }A} R, la serie8

j0

|aj| }A}j converge y

podemos definir

fpAq 8

j0

ajAj.

En particular, cada una de las siguientes funciones esta perfectamente definidas:

eA 8

j0

1

j!Aj, @A P Fnn.

senpAq 8

j0

p1qj

p2j 1q!A2j1, @A P Fnn.

cospAq 8

j0

p1qj

p2jq!A2j, @A P Fnn.

De la misma forma se podran definir otras funciones matriciales como lnA, tanpAq,

etc. Nos interesa especialmente la serie geometrica8

j0

zj que sabemos que converge

a1

1 z p1 zq1 si |z| 1:


Proposicion 2.15 Si A P Fnn y }A} 1 para alguna norma de matriz, entonces

In A es invertible. Ademas, en tal caso pIn Aq1

8

j0

Aj y }pIn Aq1}

1

1 }A}.

Demostracion.- Si }A} 1 entonces la serie geometrica8

j0

}A}j es convergen-

te, y por la Proposicion 2.14 la serie matricial8

j0

Aj converge. Sea B 8

j0

Aj y

pongamos

Sk k

j0

Aj.

EntoncespI AqSk pIn AqpIn A A

kq In A

k1.

Como lmk8

Sk B resulta que

lmk8pIn AqSk pIn AqB,

y tambienlmk8pIn AqSk lm

k8pIn A

k1q.

Ahora bien, lmk8pIn A

k1q In porque }In A

k1 In} }A}

k1 y la sucesion

numerica t}A}ku converge a cero por ser }A} 1.

En consecuencia pIn AqB In y

pIn Aq1 B 8

j0

Aj.

Finalmente, como B 8

j0

Aj lmk8

k

j0

Aj y } } es continua,

8

j0

Aj

}B} lmk8

k

j0

Aj

lmk8

k

j0

}Aj} lmk8

k

j0

}A}j 8

j0

}A}j,


donde hemos usado la desigualdad triangular de las normas y que } } una normade matriz. As pues

}pIn Aq1}

8

j0

Aj

8

j0

}A}j 1

1 }A}.

lec2

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