las matrices y sus propiedades fundamentales

Las matrices consisten en un arreglo bidimen-

sional formado por filas (también llamado

renglones) y columnas. Estas matrices vienen

en ciertos tamaños y se utilizan para describir

un sistema de ecuaciones lineales de muchas

variables o también lo podemos aplicar para

una situación de la vida real. Los renglones

representan una ecuación lineal en específico.

La forma que nosotros podemos representar a una

matriz se define así:

Donde la letra mayúscula es el nombre de la

matriz, la letra m representa el numero de ren-

glones que tiene y la letra n significa la canti-

dad de columnas. Mientras que en las entradas

los representamos así:

Donde la letra minúscula es la entrada ó tam-

bién el número que va dentro mientras que el

1 representa el renglón en el que está y el 2

significa la columna en donde está colocada.

Le mostraremos un par de ejemplos para

que construya una idea de como son las

matrices.

Ahora para la siguiente parte de esta revista

les mostraremos algunas de las propiedades

importantes que puede contener las matri-

ces, formas de operar y que restricciones

pueden contener en ellas.

Ya que hemos visto un poco

de que tratan las matrices y

algunas cosas básicas vamos a

conocer y aprender matrices

mas especializadas y que sig-

nifican cada una de ellas.

Comencemos primero con las

matrices en diagonal.

Matriz Diagonal

Simplemente consiste en

aquellas entradas de una ma-

triz cuadrada cuyos valores

son diferentes de cero. No hay

que confundirlas con la matriz

escalar, que lo veremos en un

momento. He aquí una

demostración de como es una

matriz diagonal.

Bastante simple. Pero tenga

cuidado, no la podemos traba-

¿Qué son las matrices?

Algunas propiedades básicas de las matrices

que nosotros podemos aprender

A L G E B R A L I N E A L Las matrices y sus propiedades

fundamentales. M I E R C O L E S 1 9 D E S E P T I E M B R E D E 2 0 1 2

U N A R E -

V I S T A

E L A B O R A D A

P O R :

José Carlos

Leiva

Quintero

Rodrigo

Morales

Vela

Amanda

Amado

Jorge

Mario

Galvez

P A G I N A 2

Había una vez una

matriz escalonada

que entró a robar

a una tienda de

vectores (quería

tener mas

columnas y luego

llegaron los

carabineros y

quedó reducida.

Operaciones de Matrices

jar con una matriz rectangu-

lar. Aunque tenga su propia

diagonal, esta no aplica de

ninguna manera. Ahora

observemos que diferencia

tiene este tipo de matriz con

una de tipo escalar.

Matriz Escalar

A diferencia de su con-

traparte, la matriz diagonal,

la matriz cuadrada tiene sus

entradas en diagonal el

mismo valor. Observen el

siguiente ejemplo para tener

una mejor idea a lo que se

quiere llegar a entender.

Observen que en

, ,

tienen las mismas entradas.

Identidad

Esta es un caso especial de

matrices ya que en su di-

agonal, las entradas tienen

el valor de 1 y en todas las

demás entradas tienen

valores 0.

Matriz Cero

Un caso de matriz real-

mente sencillo y todas sus

entradas tienen valor 0

Igualdad de matrices

Este otro caso de matrices

consiste que dos matrices

sus correspondientes posi-

ciones de una matriz con

otra. Vea el siguiente ejem-

plo:

Sumas, restas y pro-

ductos escalares de

matrices

Suma de matrices

Es una operación

realmente sencilla.

Consiste básicamente

en sumar cada en-

trada individual en

Resta de matrices

Al igual que la suma, esta

operación consiste en resta

cada entrada individual de

una matriz con la otra. Uti-

lizaremos las mismas matri-

A=B

(Esta respuesta es correcta)

A≠C

(No es correcta, son los

mismos datos pero tienen

posiciones diferentes)

Ahora que hemos estudiado

algunas propiedades básicas

de como pueden ser las

matrices, ha llegado el mo-

mento de que estudiemos

con mucho detalle las difer-

entes formas de poder ope-

rar las matrices. Entre este

contenido incluiremos que

consiste esa operación, re-

stricciones e incluso ejem-

plos.

tienen las mismas entradas.

Pero un error común de la

igualdad es que a pesar de

tener los mismos datos en

posiciones diferentes,

aseguran ser correctas las

respuestas pero no es cierto.

Estas dos matrices deben de

tener los datos en las mis-

mas posiciones. Observe el

siguiente ejemplo.

“Algebra

Lienal: Una

Introduccion

Moderna”

- David Poole

Las matrices y sus propiedades fundamentales.

P A G I N A 3

ces del ejemplo anterior para

demostrar la resta.

¡Ten cuidado! Para estas dos

operaciones, las matrices de-

ben de tener el mismo tamaño,

de lo contrario no existe re-

spuesta porque no están de-

finidas.

Ahora para estas dos opera-

ciones podemos enlistar sus

diferentes propiedades.

Propiedades de suma de ma-

trices

1. A + B = B + A

(Conmutatividad)

2. (A + B) + C = A + (B + C)

(Asociatividad)

3. A + 0 = A

4. A + (-A) = 0

También existen multiplica-

ciones escalares de matrices.

Estas simplemente son modifi-

car las entradas individuales de

las matrices al multiplicarlas por

una constante cualquiera y se

representan como letras minús-

culas.

Propiedades de multiplicación

escalar de matrices

1. k(A + B) = kA + kB

2. (c + d)A = cA + dA

Productos de matrices

Ahora tenemos otro tipo de op-

eraciones que son los productos.

Estas operaciones ya son mucho

más complejas de manejarlas y

se requieren de especial cuidado

al momento de trabajarlas.

Además ya no se debe de pre-

ocupar en cuanto a que deben de

ser del mismo tamaño para op-

erarlas. Pero eso no significa

que puede operarlas simple-

mente. También existen sus

restricciones.

confunda durante este proceso,

es ideal que diseñe la siguiente

matriz preliminar.

El primer dígito representa el

renglón a ser multiplicado por el

segundo dígito que representa la

columna por la que se multipli-

cará. Se deben de multiplicar

términos en igual posición, el

primero de la columna con el

El número de columnas de A y

el número de renglones de C

deberán ser iguales para poder

multiplicarse. El número de

renglones de A y el número de

columnas de C formarán la ma-

triz resultante, éstas serán sus

dimensiones.

Ahora viene el siguiente paso.

Para obtener cada entrada indi-

vidual, tenemos que hacer pro-

ducto punto de un renglón con

una columna. Para que no se

primero del renglón y sumarle la

multiplicación del segundo tér-

mino del renglón con el segundo

término de la columna correspon-

diente y así sucesivamente.

Ahora le presentamos varios ejem-

plos:

A) A*B (es 2x2 por 2x2, la resul-

tante será una matriz de 2x2)

Preste mucha atención a lo siguiente. Recuerde

los pequeños subíndices a la par de las letras

mayúsculas, estos representan el tamaño. Como

vamos a hacer el producto de dos matrices, el

número de columnas que contiene la matriz A

debe de coincidir con el número de renglones que

contiene la matriz C.

A 2 x 3 ; C 3 x 3

“Cada entrada Ci j se obtiene al hacer el pro-

ducto escalar entre renglón i de A con la col-

umna de B”

Observemos este ejemplo sobre productos.

Tenemos las siguientes matrices. Vamos a ope-

rar la matriz A con la matriz C

P A G I N A 4

¿Cómo llegamos a la solución?

Renglón 1 y Columna 1:

(1)(2) + (2)(4) = 10


(1)(5) + (2)(2) = 9


(3)(2) + (1)(4) = 10


(3)(5) + (1)(2) = 17

La restricción: Si intentamos multiplicar la

matriz B con la matriz C o con la matriz A,

podemos darnos cuenta que el numero de

columnas de la matriz B con el de la matriz

C o A no coinciden. A partir de este mo-

mento se dice que no existe respuesta

porque no está definida.

A) A*C (es de 2x2 por 3x2, 2≠3. (No

puede multiplicarse)

A 2 x 2 ; C 3 x 2

Ahora les enseñaremos las propiedades que

pueden contener los productos de las ma-

trices. A partir de ahora se trabajará con las

siguientes matrices:

Probando de la otra forma

El producto de matrices también se rige de

propiedades tales como:

1. Asociativa:

- Ejemplo: demostraremos que


P A G I N A 5

2. Distributiva del producto respecto a la suma:

- Ejemplo, demostraremos que

Probando con

3. Distributiva del producto:


2.

- Ejemplo:

3.

- Ejemplo:


Potencia de las matrices

1.

- Ejemplo:

5. Elemento neutro:

Donde I es la matriz identidad, del mismo orden de A.

4. No es conmutativa:


P A G I N A 6

Donde se traza una

diagonal en cada

diagonal posible (las

diagonales deben ser

del mismo tamaño

todas) se hace el

producto de las

diagonales, las

diagonales que se

dirigen hacia abajo

son sumadas y las

diagonales que se

dirigen hacia arriba

son restadas para

obtener un solo valor

real.

Las matrices pueden clasificarse de la

siguiente manera:

Matriz simétrica (únicamente si la ma-

triz es cuadrada), es aquella cuyos

números sobre y bajo la diagonal son

iguales, reflejados en espejo a través de

la diagonal. Ejemplo:

Matriz asimétrica: (únicamente si la

matriz es cuadrada), es aquella cuyos

números sobre y bajo la diagonal son

iguales, con signo diferente, reflejados

en espejo a través de la diagonal.

Ejemplo:

Matriz transpuesta: es la matriz Cij

cuyos renglones son intercambiados

por columnas para quedar una matriz

Cji, su notación es ZT . Ejemplo:

Determinante de una matriz de 3x3 :

Paso 1: se copia la primera y segunda columna y

se coloca al final de la matriz.

Determinante de una matriz: es aquel

número que se obtiene de todos los pro-

ductos de una matriz de acuerdo a una

serie de pasos .

Determinante de una matriz de 1x1:

Determinante de una matriz de 2x2 :

una matriz simétrica.

Traza de una matriz: es aquel dígito

que se obtiene de la suma de la diago-

nal de una matriz, SÓLO puede en-

contrarse traza de matrices cuadradas

que, al trazar una diagonal tenga igual

cantidad de dígitos sobre y bajo ésta.

Su notación es W(T). Ejemplo:

La matriz transpuesta tiene 4

propiedades:

1.

2.

3.

4.

Teorema de la matriz transpuesta:

Si A es una matriz cuadrada y

puede decirse que A es


P A G I N A 7 Se trazan las diagonales o se considera :

Expansión de Laplace :

Se utiliza para encontrar el determinante y se usa el cofactor (i,j )

Donde Aij encuentra al eliminar el i-ésimo renglón y j-ésima columna de A.

Ejemplo: considere la matriz

Matriz adjunta: se denota por adjA y está de-

finida como la transpuesta de la matriz de cofac-

tors.

- Ejemplo, sea A la matriz encuentre la matriz

adjunta

Cofactores:

Ejemplo:

Matriz asociada:

Cofactor

Cofactor

Cofactor

Regla de Cramer: permite resolver sistemas de

ecuaciones lineales usando determinantes.

Toda matriz tiene asociada la matriz aumentada [Ab].

Se abre el telón

y aparecen tres

vectores

linealmente

independientes,

se cierra el

telón. ¿Cuál era

el nombre de la

película? Rango

3.

P A G I N A 8

Estaba una matriz de

3x3 y se encuentra

una de 3x1, y le

pregunta…cual es la

dieta que estas

haciendo? Eres tan

delgada!

Queda la matriz de cofactores que sería:

Y luego se escribe la transpuesta de la ma-

triz de cofactores que sera:


Crucigrama:

1. Circule la matriz identidad de 3x3.

2. Circule la matriz transpuesta de

3. Encuentre una matriz simétrica de

2x2.

4. Circule la matriz transpuesta de

5. Encuentre la matriz transpuesta de

6. Circule el orden de datos en una

matriz de multiplicación si R es de 5x5

(numeración Cij, 11, 12)

7. Circule una matriz cualquiera I

asimétrica de 4x4.

8. Encuentra la matriz transpuesta

9. Encuentre una matriz 01 siendo

P A G I N A 9

6

9

4 -3 7 5 23 5 8 4 6 41 11 12 21 23 56 4 8 6 7

3 4 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5

4 5 3 34 7 21 5

1

43 7 8 9 5 9 15 12 13 14 4 5 6

1 2 6 8 9 7 0 3 2 1 5 22 7 9 8 6 1 1 2 7

1

1

12 13 14 15 6 4 1 21 0 8 6 41 6 8 7 5 4 3 8

2

1

22 23 24 25 5 2 2 3 4 5 6 3 1 1 3 9 4 0 9

3

1

32 33 34 35 0 1

2

3 2 9 8 7 14 3 2 5 0 3 9 1

0

4

1

42 43 44 45 46 2

1

4 10 9 9 3 6 5 9 7 6 7 8 2

5

1

52 53 54 55 67 2 8 6 8 8 2 7 8 1 6 5 1 5 1

2

0 0 0 9 6 0 1 0 7 7 9 6 56 3 5 1 2 5 0 1

3

8 2 0 0 15 2 9 0 5 8 9 76 8 7 4 3 1 0 5 0

2 9 0 6 3 4 5 0 6 9 1 0 0 0 9 6 4 0 2 6

3 4 7 3 5 8 6 0 5 11 0 1 0 0 2 11 0 0 4 9

2 5 6 4 8 4 7 9 3 12 0 0 1 8 23 2 3 0 3 0

1 0 8 5 6 7 6 36 34 21 3 1 7 24 12 9 2 0 5 3

las matrices y sus propiedades fundamentales

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