las matemáticas son el alfabeto con el cual dios ha escrito el universo. galileo galilei divisiÓn...
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Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.
GALILEO GALILEI
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1
DIVISIÓN
1. DIVISIÓN DE MONOMIOS
Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y para cada letra
común en el dividendo y divisor se restan sus exponentes.
EJEMPLO 1: Realizar las siguientes divisiones de monomios
18a) 6
7x 7 4x5y 5 3 3 2y 6x y3y43x
3 7 2 73
55
7xx
32
x8
yb) y 8
4x y Note que el exponente de x en el numerador
es menor que el exponente de x en el denominador, por lo tanto, al realizar la resta de éstos su diferencia es negativa e igual a -2; lo que significa que debemos representarlo como exponente positivo, por lo tanto, se podrá lograr llevándolo al denominador, según propiedades de los exponentes.
a 1 10 0a 1 y a a 1a
01 a 0 1 1a aa a
11Por lo tanto : aa
Ejemplo: 3 -2 4
2 -1 -2 3-2 2 -4 2
3 2 4y 5x 5y= 3x ; = 2x ; = 4x y ; =
x x x 3y 3x
Algunas propiedades de los exponentes para tener en cuenta:
2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:
En el caso de que el dividendo sea un polinomio y el divisor un monomio, se puede representar indicando la división de cada uno de los monomios del dividendo entre el monomio divisor.
EJEMPLO1:
3 6 4 3 6 418x y - 6x + 3x z 18x y 6x 3x z= - +
3x 3x 3x 3x
Observe que ya tiene tres divisiones de
monomios, y su resultado es:
2 5 33 6 418x y 6x 3x z
- + 6x y 2x x z3x 3x 3x
EJEMPLO2: Realizar la siguiente división de un polinomio por un monomio:
Para dar solución dividimos cada uno de los términos del polinomio del
dividendo por el monomio , veamos
Realizando la división de monomios, obtenemos:
5 2 4 3 2 4 557x y + 12x y - 11x y - 9y + 23?
4 53x y
4 53x y
4 35 2 2 4 557x y 12x y 11x y 9y 234 5 4 5 4 5 4 5 4 53x y 3x y 3x y 3x y 3x y
-2 -4 -5-3 -2 -1 4 057xy 12y 11x y 9x y 23x y
3 3 3 3 3
19x 11 3 234 4 53 2 x 3x yy 3x y
DIVISIÓN DE POLINOMIOS:
Para dividir dos polinomios siempre, el grado del dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor. Además, siempre deben estar ambos polinomios ordenados en forma descendente.
En el caso de que falte algún término del divisor , debe dejarse su espacio o colocar un cero (0) para poder operar correctamente.
Para que no te quede ninguna duda, estúdiate las siguientes reglas:
REGLAS PARA LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS:
1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto
a una misma letra.
2. Procede luego a dividir el primer término del dividendo entre el primer término
del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.
3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término
debajo de su semejante. Si algún término de éste producto no tiene término
semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo
con la ordenación del dividendo y el divisor.
4. Para continuar se divide el primer término del resto entre el primer término del
divisor y tendremos el segundo término del cociente.
5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto
se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así sucesivamente.
DIVIDENDO DIVISOR
COCIENTE RESIDUO
Debes recordar estos nombres y su ubicación:
El grado del cociente siempre es
la resta entre el grado del dividendo
y el grado del divisor
EJEMPLO: Realizar la siguiente división de polinomios:
entre
Para dar solución a esta división, realizaremos paso a paso las reglas
enunciadas para esta división:
1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con
respecto a una misma letra.
• Observa que los polinomios ya estar están ordenados:
• Este es el dividendo:
• Este es el divisor:
2. Ahora procede a dividir el primer término del dividendo entre el primer
término del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.
3 2 4x + 2x - 4x + 3 22x - x + 1
3 2 4x + 2x - 4x + 322x - x + 1
3
2
4x2x
2x Corresponde al primer término de tu cociente.
3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el
producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo,
escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de
éste producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el
lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el
divisor, veamos:
2
3
3
2
4x + 2x - 4x + 3
- 4x + 2x
- 2x
22x - x + 1
2x
Observa que multiplicaste 2x (2x2 – x + 1) = + 4x3 - 4x2 + 2x, pero para restar del dividendo lo pasas con el signo contrario: - 4x3 + 4x2 - 2x
Ahora realizamos la resta:
4. Para continuar se divide el primer término del resto (4x2) entre el primer término del divisor (2x2) y tendremos el segundo término del cociente que es 2.
Primer término del Cociente
3 2
3 2
3 2
- 4x
4x +
+ 2x - 2x
2x - 4x + 3
0x 4x 6x 3
22x - x + 1
2x
Resto
22x - x + 1
2x 23
3
3 2
2
2
- 4x + 2x - 2x
4x + 2x - 4x + 3
0x + 4x - 6x + 3
5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el
producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así
sucesivamente.
3 2
2
3
2
2
4x + 2x - 4x + 3
+ 4x - 6x + 3
- 4x +- 4x
- 4x + 2x - 2x
+ 2x 1- 2
22x - x + 1
2x + 2
Divisor
Dividendo
Cociente
Residuo
La respuesta a esta división se debe expresar de la siguiente forma:
3 2
2 2
DIVIDENDO RESIDUOCOCIENTE
DIVISOR DIVISOR
4X 2X 4X 3 4X 12X 2
2X X 1 2X X 1
PARA TENER EN CUENTA:
Al igual que en una división normal ,
se puede comprobar que :
dividendo = divisor por cociente +
residuo
Si los coeficientes del primer término
del dividendo y del divisor no dan una
división exacta debemos utilizar
fracciones (algunas veces se usan
decimales si no son periódicos),
veamos un ejemplo1:
EJEMPLO 1: realizar la división:
La disposición de ambos polinomios es la siguiente:
3 2 23x + 2x + 3 entre 2x + 6x + 1
3 2 23x + 2x + 3 2x + 6x + 1
Observa que debes dejar este espacio o colocar cero porque la variable x no existe y además, el polinomio está ordenado en forma descendente
3 2
3 2
2
2
3x + 2x + 3
3-3x - 9x - x
23
- 7x - x + 32
7 + 7x +21x +
2 39 13
+ x +2 2
22x + 6x + 1
3 7x -
2 2
Realizando la división obtenemos:
Observa que cuando en el resto queda la letra principal con un exponente de grado menor que el del divisor, se ha concluido la división.
EJEMPLO 2: Efectuar la siguiente división del polinomio P(x) entre Q(x),
si 4 2 21
P(x) 2 x 5 x - 3 y Q(x) x - 4x -12
P(x)
Q(x) 34 2 21
2 x 5 x - 3 x - 4x -12
0x 0x
Observa que aquí se han
colocado los ceros en el
espacio que ocuparían las
variables x3 y x, si te gusta más,
puedes dejar los espacios.
Realizando la división, obtenemos:
4 2
4 2
4
3
3
3
3
3
2
2
2
2
0x 0x
xx
2 x 5 x - 3
-2x + 16 + 4x 0x + 16 - 1x + 0
- 16 + 128x + 0 + 127x + - 3
x
x 32
xx 32x
- 127
1016x +
2
+ 254
0x + + 251
x1048x
21 x - 4 x - 1
2
24x + 32 x + 254
REGLADE RUFFINI
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite
obtener fácilmente el cociente y el resto de la
división de un polinomio por un binomio de la
forma x ± a, donde a es cualquier numerito.
Esta regla nos dice que “un polinomio tiene
por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por
“a” en el polinomio, el resultado es cero.
El valor de “a” de los posibles factores de la
expresión, es un divisor del término
independiente del polinomio”.
Paolo Ruffini (1765-1822). Matemático y médico italiano. En el año 1799 publicó el libro “Teoría general de las ecuaciones”, en el cual aparece la regla que lleva su nombre.
EJEMPLO 1: Realizar la siguiente división,
entre , utilizando la regla de Ruffini:
4 3 25X 3X 2X 7X 3
x 1
45X 3 2
45x
3X 2X 7X 3
3
3 2
2
2
2
35x2x
7
2x
2x 2x4x
4x
x
3
3
4x
x 3
3x
0
x 13 25x 2x 4x 3
Para dar solución a este polinomio utilizaremos el método que ya hemos estudiado, y luego compararemos comparemos con el método de Ruffini:
Ahora realizaremos la división utilizando el método de Ruffini y compararemos los resultados de ambas divisiones y lo fácil que es aplicar éste método
4 3 25X 3X 2X 7X 3
Aplicando la regla de Ruffini tenemos:
1. Recordemos el polinomio que vamos a dividir:
2. Para dividir polinomios usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos que aplicamos al ejemplo:
3. Ordenar el polinomio (dividendo) de forma decreciente.
4. Se escriben los coeficientes del dividendo (recuerde que si faltan términos se deben dejar los espacios o colocar los ceros como ya se estudió en la división):
5 -3 2 -7 3
5. Ahora ya se puede preparar la tabla de Ruffini, como se verá a continuación:
÷ x 1
4 3 25X 3X 2X 7X 3 ÷ x 1
4 3 25X 3X 2X 7X 3
6. Colocamos el término independiente del divisor x -1, que en este caso es 1, entonces el término independiente pasará con signo contrario +1
5 3 2 7 3
5 3 2 7 3 1
Término independiente del divisor con signo contrario
Coeficientes del dividendo
7. Bajamos el primer coeficiente (5 para este ejemplo).
8. Realizamos un proceso repetitivo, de izquierda a derecha, que consiste primero multiplicar el primer coeficiente (5) por el divisor (1), el resultado se coloca a la derecha del segundo coeficiente del dividendo.
1
5 3 2 7 3 1
5
5
5 3 2 7 3 5
Al multiplicar 5 x 1= 5
5 2 4
5 3 2 7 3
5 2 4 3
3
0
Ahora se suma esta segunda columna y este resultado nuevamente se multiplica por el divisor (1). Este procedimiento se repite hasta el último término del diivdendo.
9. El último número obtenido es el residuo de la división, que en nuestro ejemplo es cero (0). Los anteriores a la izquierda del cero representan el cociente.
1
Residuo
Cociente
La respuesta para la división utilizando el método de Ruffini, se expresa de la siguiente manera:
1. Se toman los valores correspondientes al cociente
y se les asigna la letra definida en el dividendo, pero empezando con un exponente disminuido en 1 respecto al dividendo:
Que es tu respuesta para la división
5 2 4 3
3 25x 2x 4x 3