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Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 6, Número 2, Junio 2015. Página 66

Las ecuaciones radicales: un tema que merece difundirse

Acevedo, Alejandra; Aguirre, Adolfo; Marchetti, María.

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca. [email protected]; [email protected]; [email protected]

RESUMEN

En la comunicación se presenta un tipo de ecuaciones, que no se estudian en nuestras escuelas, pero sí en otros países de habla española. Las mismas pueden ser incorporadas sin dificultades a nuestros planes de estudios y permiten dar una presentación muy clara de la aparición de raíces extrañas, y de la necesidad de la verificación de las soluciones obtenidas.

En relación a este tema se analiza la paradoja entre el hecho de que por una parte, para la mayoría de los estudiantes no resulta difícil la resolución de una ecuación, pero por otra, al mismo tiempo cometen graves errores conceptuales en la etapa final de la comprobación de las raíces. Se detalla el verdadero significado que debe darse a dicha comprobación y se da el marco teórico necesario para el tratamiento apropiado del tema.

Se analiza también el concepto de parámetro y se resuelven ecuaciones radicales que contienen parámetros, en las que la verificación de las soluciones exige un análisis más detallado.

El tema tratado se enmarca en el Proyecto de Investigación: “Presentación Conceptual del Simbolismo Algebraico: Marco Teórico, Problemas de Transferencia y Propuesta Testeada” y continúa un estudio similar hecho para las ecuaciones fraccionarias.

Palabras claves: ecuación radical, solución extraña, verificación de soluciones, parámetro.

mailto:[email protected]



Las ecuaciones radicales: un tema que merece difundirse: Acevedo, Alejandra; Aguirre, Adolfo; Marchetti, María


Radical equation: a topic that deserves be disseminated

ABSTRACT

The communication presents a type of equations, which are not studied in our schools, but in other Spanish-speaking countries are treated. The same can be incorporated without difficulty in our curriculum and ensure a very clear presentation of the development of extraneous roots, and the need for verification of the solutions obtained.

In relation to this issue is discussed the paradox between the fact that on the one hand, for most students is not difficult the resolution of an equation, but on the other hand, they make serious conceptual errors in the final stage of the roots checking. It is detailed the true meaning to be given to such verification and is given the theoretical framework necessary for the appropriate treatment of the subject.

Also discusses the concept of parameter equations are solved radicals containing parameters, in which the verification of the solutions requires further analysis.

The topic is part of the Research Project: "Algebraic Symbolism Conceptual Presentation: Theoretical Framework, Transfer Problems and Tested Proposal " and continues a similar study done for fractional equations.

Keywords: radicals equations, strange solutions, verification of solutions, parameter



PRESENTACIÓN GENERAL

Esta ponencia pretende llevar a los docentes de nivel medio y alumnos de

profesorado, una visión general de un tema que perfectamente puede incluirse en

nuestros programas del ciclo medio (tal como lo está en España y otros países de

habla española). Las pasemos a definir

Se llama ecuaciones radicales o irracionales aquellas en que la incógnita

aparece afectada por el signo radical. Tales ecuaciones pueden abordarse con

transformaciones sencillas: ordenar los términos de tal modo que al elevar a

ambos miembros a la potencia apropiada se elimine el mayor número posible de

radicales y conduzca al final a una ecuación polinómica

Un Primer Ejemplo

Sea la ecuación

2 3 4 1 4x x

Entenderemos que se trabaja en ℝ (o sea se excluyen raíces cuadradas de

negativos). Si bien se podrían elevar ambos miembros al cuadrado directamente,

conviene más pasar un radical al segundo miembro; así pues:

2

2

2 3 4 1 4

2 3 4 4 1

2 3 16 8 4 1 4 1

8 4 1 4 2 16 1 3

8 4 1 2 20

4 4 1 10

16 4 1 20 100

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x x

x

44 84 0x

Cuyas raíces son: 1 242 ; 2x x . Dejaremos la verificación para más

adelante.



La importancia de la verificación, su verdadero sentido y las raíces extrañas

Veamos el problema referente a la verificación. Entre los estudiantes

existen dos opiniones del todo opuestas. Unos consideran que la verificación es

un capricho de los profesores a que debe obedecerse a la fuerza, otros piensan

que la verificación es siempre obligatoria y verifican todo, incluso las raíces de la

ecuación de segundo grado. Estas opiniones se basan en la incomprensión

absoluta de la verificación, del lugar que ésta debe ocupar durante la resolución.

El hecho es que en la mayoría de los casos la solución resulta sólo después

de una serie de transformaciones y pasos de una ecuación a otra. Está claro que el

mejor procedimiento es el de sustituir cada vez la ecuación siguiente por una

equivalente a ésta, entonces las raíces de la última ecuación serán raíces de la

inicial. Sin embargo, esta vía ideal es irrealizable habitualmente en la práctica.

Como regla la ecuación se sustituye no por una equivalente, sino por una

consecuencia en la que pueden aparecer nuevas raíces (raíces extrañas).

Esto nos conduce al verdadero sentido de la verificación: cuando se han

hecho transformaciones, tales como multiplicar ambos miembros por una

expresión algebraica o elevar ambos miembros al cuadrado, es obligatorio la

verificación de todas las soluciones obtenidas en la ecuación original para

desechar las que no la satisfacen. De tal modo, la verificación durante la resolución

de ecuaciones juega un papel muy esencial y de ningún modo se reduce a un

simple control de los cálculos.

Volviendo al ejemplo presentado, vemos que dos veces se elevó al

cuadrado. Por lo que la verificación es obligatoria.

1

2

42 ; 81 169 9 13 22 4 No es solución

2 ; 1 9 1 3 4 Si es solución

x

x



El recinto de los valores admisibles de una ecuación y su aplicación a dos ecuaciones radicales.

Introduzcamos más definiciones que permiten, en algunos casos, reducir el

proceso de verificación.

Llámese recinto de valores admisibles (RVA) de una ecuación al conjunto

de valores de la incógnita para las cuales tienen sentido (o sea están definidos)

sus primer y segundos miembros

Si todas las raíces de una ecuación son también raíces de otra ecuación,

entonces la segunda ecuación se denomina consecuencia de la primera.

Dícese que dos ecuaciones son equivalentes si cada una de éstas es la

consecuencia de otra. De esta definición se deduce que las ecuaciones

equivalentes tienen las mismas soluciones.

Ejemplifiquemos estas definiciones con la siguiente ecuación radical:

Ejemplo 2: 1 1 8x x x

2

2

1

1 1 8

1 2 1 1 8

2 2 1 8

4 8 1 4 1 8

3 8 1

9 64 64

9 64 64 0

Raíces: 8

x x x

x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

2

8;

9x

Ahora no haremos la verificación, sino que buscaremos el RVA de la

ecuación. Como los radicandos deben ser no negativo, x debe cumplir con:

1 0 , 8 0 , 8 0x x x x

o sea



21 , 8 , 8 0x x x x

Las raíces de 2 8 0x x son

1 33 1 33

2 2 ; a b

Entonces el RVA= 1, 8, , , ,b a a

Como 2

8RVA

9x

, se descarta 2x sin hacer ninguna verificación. Si

debe hacerse la verificación de 1x, pues 1 RVAx

. La satisface, como puede

observarse

Veamos otro ejemplo

5 7 3 1 3x x x

Elevando al cuadrado y operando obtenemos

2 5 7 3 1 7 5x x x

Luego de la segunda elevación al cuadrado, se llega a 211 34 3 0x x ,

cuyas raíces son 1 2

1 , 3

11x x

Veamos el RVA:

7 1 1

RVA , , 3, ,5 3 3

Entonces se descarta -3 pues no pertenece al RVA, 1x si verifica y es la

solución de la ecuación original.

Algunos alumnos, al comprobar el valor de 3x , llegan a la igualdad

8 8 0 . Considerando que esta igualdad es válida porque en su primer

miembro “de lo igual se resta lo igual”. De este modo, el valor de 3x les parece

una raíz de la ecuación inicial. Pero este argumento es infundado, ya que la

expresión 8 no tiene sentido, como se sabe, las ecuaciones irracionales se

consideran sólo dentro del recinto de los números reales.



Incógnitas y Parámetros.

En las ecuaciones que hemos desarrollado como ejemplos, la única letra

que aparece es la incógnita, siendo el resto coeficientes numéricos concretos.

Pero es posible considerar ecuaciones con coeficientes literales, de manera que

en lugar de una ecuación concreta se tenga una familia de ecuaciones.

Llamaremos “parámetros” a dichos coeficientes literales. Este es un uso no

habitual de la palabra “parámetro”, que lo hacemos siguiendo la pauta de Boyer

(v. pág. 386-387) que lo hace en el marco de la historia del álgebra, y es diferente

del usado en análisis.

La búsqueda de las raíces de una ecuación con parámetros es similar a la

que hemos visto; pero donde aparecen situaciones nuevas es en la verificación de

las raíces obtenidas, pues ahora aparecen relaciones entre los parámetros, cuyo

análisis es necesario para distinguir las raíces verdades de las extrañas.

Ejemplos de ecuaciones radicales con parámetros.

Antes de presentar los ejemplos, recordemos una identidad válida en

que usaremos:

2x x

Ejemplo 1:

4 2x a x 1

Elevando al cuadrado ambos miembros:

4 4 4x a x x

de donde: 1x a

elevando al cuadrado: 2

1x a



Verificación:

2 2

1 4 2 1a a a

de donde:

2 21 2 1a a

y por lo tanto: 1 2 1a a

2

Ahora debemos determinar los valores de a para los cuales se verifica

2

.

Si 1a , 2

se convierte en:

1 2 1a a

o sea 0 0

Si 1 1a , tenemos que:

1 2 1a a

o sea 1a . Contradicción.

Si 1a , 2

se convierte en:

1 2 1a a

de donde: 4 0 . Falso

Luego, en conclusión:

Si 1a , 1

tiene solución: 2

1x a

Si 1a , 1

no tiene solución.

Ejemplo 2:

2 2x a x b a b

3

Distinguimos dos casos:



Primer caso: a b

2 2x b a b x a

Elevando al cuadrado:

22 2 22x b a b a b x a x a

de donde:

2 22a b a b a b a b x a

Cancelando, 0a b :

22a b a b x a

o sea: 2b x a

Elevando al cuadrado:

2 2x a b

y llegamos a:

2 2x a b

Verificación:

2 2 2 2 2 2a b a a b b a b

o bien: 2 2b a a b

o sea: a b a b

que la escribimos así: a a b b

4

Debemos analizar para qué pares ,a b

se cumple 4

.

Si 0a : 0a a

, de donde 0b b

, o sea b b

, por lo tanto,

0b



y recíprocamente: 0 0b a

Como a b , excluimos: 0a , 0b

Luego 4

se cumple en , / 0 0 0,0A a b a b

En conclusión, pues:

Si ,a b A

: 3

tiene la solución 2 2x a b

Si ,a b A

: 3

no tiene solución.

Segundo Caso: a b

3

se convierte en: 22 0x a

o sea: 2 0x a

que elevada al cuadrado conduce a :

2x a

que evidentemente verifica la ecuación.

Ejemplo 3

21x a x 5

Como el segundo miembro de 5

debe ser no negativo, el RVA es

/ 1x x

.

Elevando al cuadrado 5

:

2 22 1x x a x

o sea: 22 2 1 0x x a

cuyas raíces son: 1

11 2 1

2x a

, 2

11 2 1

2x a



Como el discriminante debe ser mayor o igual a cero, debe cumplirse:

1

2a

Suponemos en adelante que

1

2a

y pasamos a la verificación.

Verificación:

Debemos comprobar si 1 2, x x satisfacen las condiciones: 1x y

2 2 0a x

Puesto que 2

1 1 12 1

2 2 2x a

, se descarta 2x, pues no cumple con

1x .

Veamos ahora si 1 1x , o sea:

1

1 2 1 12

a

es decir: 2 1 1a

que equivale a: 2 1 1a

o sea: 1a

Veamos la otra condición: 2 2

1 0a x

Operando se llega a que equivale a:

2 1a a

Como ambos miembros son no negativos, esta desigualdad equivale

a: 2 2 1a a

o sea: 2

1 0a

que es válida para toda a .



Así pues, para que 1x sea solución de 5

debemos exigir no sólo que

1

2a

,

sino que 1a .

En conclusión:

para 1a , la 5

tiene solución 1x

para 1a , la 5

no tiene solución.

CONCLUSIONES

1º. El tema está perfectamente al alcance de los alumnos de 4to. Año de la NES

2º. Las ecuaciones radicales permiten dar una mejor ejemplificación del concepto

de raíces extrañas frente a otras ecuaciones y de las transformaciones que

pueden introducirlas, por lo que es imprescindible la verificación.

3º. El concepto de RVA, que no es nuevo, pues está relacionado con el dominio

de la función asociada a la ecuación, permite un análisis conceptual de las

ecuaciones.

4º Se puede ampliar el estudio de las ecuaciones radicales, tratando aquellas que

contienen parámetros, lo que permite tratar cuestiones interesantes en la

verificación.

REFERENCIAS

Boyer, Carl (1986) “ Historia de las matemáticas” Edit. Alianza . Madrid

Dorofeiev, Potapov, Rozov (1973). “Temas selectos de matemáticas elementales”

Editorial Mir



Guzman, Colera, Salvador (1987) “Matemáticas” . Bachillerato 1. Edit Anaya. Barcelona.

Lafférrière.(1917) “Lecciones de algebra”. Volumen 1. Buenos Aires.

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