las conicas cuando se intercepta un plano y un doble cono invertido, segÙn el Àngulo de corte, se...
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LAS CONICAS
CUANDO SE INTERCEPTA UN PLANO Y UN DOBLE CONO INVERTIDO, SEGÙN EL ÀNGULO DE CORTE, SE ORIGINA UNA SECCIÒN EN EL SÒLIDO, ESTE PUEDE SER UNA CIRCUNFERENCIA, PARÀBOLA, ELIPSE O HIPERBOLA.
COMENCEMOS CUANDO EL PLANO SE ENCUENTRA EN FORMA HORIZONTAL, AL INTERCEPTAR AL CONO LO CORTARA FORMANDO UNA SECCIÒN LAMADA
CIRCUNFERENCIA.
EL PLANO PUEDE DESLIZARLO PARALELAMENTE A TRAVES DEL SÒLIDO Y SIEMPRE EL CORTE SERÀ UNA CIRCUNFERENCIA
EL PLANO COMIENZA A FORMAR UN ÀNGULO EN SENTIDO ANTIHORARIO, EL CORTE SECCIONAL SE CONOCE COMO ELIPSE
EL PLANO CORTA POR LA BASE AL CONO EN UN ÀNGULO MENOR A 90º APARECE LA SECCIÓN CÓNICA LLAMADA PARÁBOLA
EL PLANO INTERCEPTA A AMBOS CONOS POR LA BASE FORMANDO UN ÀNGULO DE 90º Y APARECE LA SECCIÓN CÓNICA LLAMADA HIPÉRBOLA
Así como en los otros casos, el plano se puede mover paralelamente y seguir mostrando una hipérbola
𝑩
Es el lugar geométrico formado por todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es una constante a la cual denominamos radio.
x
y
(h,k)
(𝒙 ,𝒚 )
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠=√(𝑥−h)2+(𝑦−𝑘)2
Ecuación ordinaria16=(𝑥−3) ²+(𝑦−4 )²
FORMACIÒN DE LA CIRCUNFERENCIA
𝑨𝑨𝑩¿𝑩−𝑨¿ (𝒙 ,𝒚 )−(𝒉 ,𝒌)
¿ (𝒙−𝒉 ,𝒚 −𝒌 )
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜=√(𝑥−h)2+(𝑦−𝑘)2
(𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜)2=(𝑥−h)2+(𝑦−𝑘)2
(𝑥−1 )2+ (𝑦−3 )2=25
𝟏
𝟑
(𝑥+2 )2+(𝑦−4 )2=9
−𝟐
𝟒
(𝑥 )2+ (𝑦−5 )2=4
𝟓
(𝑥+2 )2+(𝑦 )2=16
−𝟐
(𝑥 )2+ (𝑦 )2=8Ecuación Canónica
¿Halle la Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (6,-3) y radio 7?
(𝒙−𝟔)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=¿𝟒𝟗
¿Halle la Ecuación de la circunferencia canónica de radio 5?
(𝒙 )𝟐+ (𝒚 )𝟐=𝟐𝟓
(𝒙−𝟑)𝟐+(𝒚 −𝟐)𝟐=𝟒𝒙𝟐−𝟔 𝒙+𝟗+𝒚𝟐−𝟒 𝒚+𝟒=𝟒𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟔 𝒙−𝟒 𝒚+𝟗=𝟎Ecuación General
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖𝒙+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎 ¿Es una circunferencia?
𝒙𝟐+𝟖𝒙+𝒚𝟐+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎¿¿𝟒−𝟏𝟔+¿ ¿𝟑−𝟗+𝟗=𝟎
(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=𝟏𝟔−𝟒
−𝟑
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖𝒙+𝟔 𝒚+𝟐𝟓=𝟎(𝒙+𝟒)𝟐−𝟏𝟔+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟐𝟓=𝟎
(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=𝟎−𝟒
−𝟑
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖𝒙+𝟔 𝒚+𝟐𝟔=𝟎(𝒙+𝟒)𝟐−𝟏𝟔+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟐𝟔=𝟎
(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=−𝟏 No existe una circunferencia
PARÀBOLA
QRecta Directriz
L
La distancia de Q a F es igual a la distancia de Q a la recta L ; el cociente entre estas distancias es la característica
principal de una cónica llamada Excentricidad en este caso el valor es 1.
FORMACIÒN DE LA PARÀBOLA
F
Recta Directriz
Q
Distancia de Q a F =
Al cociente entre estas distancias se le llama excentricidad
Foco
𝑄𝐹
Distancia de Q a la recta Directriz=
𝑒=|𝑄𝐹||𝑄𝑙|
= 1
Vértice
Recta Directriz
Foco
Lado Recto MN
P
2P
Características:1.- Las rectas Directriz y eje Focal son ortogonales.2.- El Vértice es el punto medio entre el Foco y la Recta Directriz.3.- El lado Recto pasa por el Foco y es ortogonal al eje Focal.
V = VérticeF = FocoP = Parámetroe= Excentricidad = 1
Generación de la Parábola y sus características
Lado Recto
Eje Focal
Principales Características:1.- El vértice es el punto medio entre el Foco y la Recta Directriz.2.- La Distancia del Vértice al Foco ò a la recta Directriz se llama Parámetro(P)3.- La medida del lado recto es 4 P
P
2p
Recta DirectrizA
B
Recta Directriz
Eje Focal
V
F
M
N
X
P
X
Y
Eje Focal
Recta DirectrizLado Recto
F
V
Su Ecuación General es Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx +Ey + F = 0
Es la Ecuación de cualquier
cónica
𝒙𝟐−𝟑 𝒙𝒚 +𝒚𝟐−𝟒 𝒙+𝟔 𝒚−𝟖=𝟎
Representa a cualquier
cónica
𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟐 𝒙+𝟓 𝒚+𝟑=𝟎
Para identificar a cualquier cónica
¿Cuál podría ser una circunferencia?
𝑎 .3 𝑥+2𝑥 ²−5 𝑦 – 2 𝑦 ²+8=0𝑏 .4 𝑥+5 𝑥 ²−5 𝑦+2 𝑦 ²+8=0𝑐 .5 𝑥−𝑥 ²−5 𝑦 – 5 𝑦 ²+8=0𝑑 .6 𝑥+2 𝑥 ²−5 𝑦+8=0
Condición:
1.- Deben estar ambas variables cuadráticas:
2.- Deben tener el mismo signo:
3.- Deben tener el mismo coeficiente:
¿Cómo reconocer una Parábola?
“Basta que no se encuentre una de las variables cuadráticas”
6x + 2x² - 5y + 8 = 0
X² - 4x - 8y + 12 = 0
X² - 4x = 8y - 12
(x - 2)² - 4 = 8y - 12
(x - 2)² = 8y - 8
(x - 2)² = 8( y - 1)
(x-h)² = 4P (y – k)
V = (h, k)
2
1
x
y
F
4P = 8
Y² +6y +12x -15 = 0
Y² +6y = - 12x +15
(Y + 3)² - 9= - 12x +15
(Y + 3)² = - 12x + 24
(Y + 3)² = - 12(x -2)
V = (2,-3)4P = 12
( Y – k)² = 4P (x – h)
x
y
2
-3F
(𝑿−𝒉) ²=𝟒𝒑 (𝒀 −𝒌)(𝒀 −𝒌) ²=𝟒𝒑 (𝑿−𝒉)
Ecuaciones Modificadas
𝟒𝒑<𝟎 𝟒𝒑<𝟎
𝟒𝒑>𝟎 𝟒𝒑>𝟎
RECEPTOR
EL OBSERVATORIO DE ARECIBO (PUERTO RICO)
LA ELIPSE
Es el lugar geométrico generado por 2 puntos estáticos llamados focos de la elipse y que cumplen la siguiente propiedad:Si toma un punto cualquiera del espacio y calcula la suma de las distancias de este punto a cada foco, este valor pasa ser una constante, luego cualquier otro punto que cumpla con este valor es un punto de la Elipse
F1 F2
QF1Q + F2Q = 2a
A pesar de esta característica el punto más importante es la excentricidad, calculada como el cociente entre la distancia del Punto Q a un foco y la distancia del punto Q a una recta directriz , cuyo valor se encuentra entre 0 y 1. (0<e<1)
Recta DirectrizL
Distancia de QF1
Distancia de QL e =
Generación de la Elipse
Eje Mayor
Eje Menor
V1 V2
B1
B2
bF1 F2c
Recta Directriz
Principales características:• C = (h,k) centro de la Elipse• F1 ,F2 = Focos• V1 ,V2 = Vértices• a = Distancia del centro a cualquier Vértice• c = Distancia del centro a cualquier Foco• b = Distancia del centro a cualquier extremo del eje menor
Datos importantes:• Los Ejes son ortogonales• El centro es punto medio de los Focos y punto medio de los Vértices• Se cumple que a2 = b2 + c2 , por lo tanto la distancia de un Foco a un extremo del Eje menor es “a”• La Excentricidad es e = c/a
aC=(h,k)
Q
a
V 1
V 2
F 1
F 2
L1
L2
X
Y
(h,k)
Como cualquier otra cónica, su posición real puede ser en cualquier cuadrante y su ecuación general debe transformarse de manera que sea fácil de identificar
B 1
B 2
(h,k)F₁ F₂
B₁
B₂
V₁ V₂
F₁ ,F₂ = FocosV₁ ,V₂ = Vértices (eje mayor)B₁ ,B₂ = Eje menor(h,k) = Centro de la Elipse
La distancia delCentro a cualquierVértice es “a”
La distancia delCentro a cualquierFoco es “c”
La distancia delCentro a cualquierLado del ejeMenor es “b”
b
a
c
Se cumple:a²=b²+c²
¿Cómo reconocer una circunferencia?
𝑎 .3 𝑥+2𝑥 ²−3 𝑦 – 2 𝑦 ²+1=0
𝑏 .4 𝑥+2 𝑥 ²−5 𝑦+2 𝑦 ²+8=0
𝑐 .5 𝑥−2𝑥 ²−5 𝑦 –5 𝑦 ²+8=0
𝑑 .6 𝑥+2 𝑥 ²−5 𝑦+8=0
Condición:1.- Deben estar ambas variables cuadráticas:
2.- Deben tener el mismo signo:
3.- Deben tener el mismo coeficiente:
¿Cómo reconocer una Parábola? Condición:
1.- Debe estar solo una variable cuadrática:
¿Cómo reconocer una Elipse? Condición:
1.- Deben estar ambas variables cuadráticas:
2.- Deben tener el mismo signo:
3.- Deben tener diferente coeficiente:
( x-h )²
a²
( y-k )²
b²+ = 1
Ecuaciones Modificadas
x x
y y
𝒗 ₁
𝒗 ₁
𝒗 ₂
𝒗 ₂B₁
B₁
B₂
B₂f₂
f₂
f₁
f₁
( x-h )²
a²+
( y-k )²
b²= 1
(𝒉 ,𝒌) (𝒉 ,𝒌)
Ecuación General𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖 𝒙+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎¿Es una Elipse?
𝟐 𝒙𝟐+𝟖 𝒙+𝒚𝟐+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎
𝟐 {¿¿𝟐 −𝟒 }+¿ ¿𝟑−𝟗+𝟗=𝟎
𝟐(𝒙+𝟒)𝟐−𝟖+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟗=𝟎
−𝟒
−𝟑
𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖 𝒙+𝟔 𝒚+𝟏𝟕=𝟎𝟐(𝒙+𝟒)𝟐−𝟖+(𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟏𝟕=𝟎
𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=𝟎−𝟒
−𝟑
𝟐 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟖 𝒙+𝟔 𝒚+𝟏𝟖=𝟎𝟐(𝒙+𝟒)𝟐−𝟏𝟔+ (𝒚+𝟑 )𝟐−𝟗+𝟏𝟖=𝟎
𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑)𝟐=−𝟏 No existe una Elipse
𝟐(𝒙¿¿𝟐+𝟒 𝒙)+𝒚𝟐+𝟔 𝒚+𝟗=𝟎¿
𝟐(𝒙+𝟒)𝟐+(𝒚+𝟑 )𝟐=𝟖
𝟐(𝒙+𝟒)𝟐
𝟖+
(𝒚+𝟑 )𝟐
𝟖=𝟏
(𝒙+𝟒)𝟐
𝟒+
(𝒚+𝟑 )𝟐
𝟖=𝟏
LITOTRIPTOR
F1
LA HIPERBOLA
Es generada por 2 puntos estáticos denominados Focos, cualquier punto del espacio que cumpla la condición de la distancia de este punto a un foco menos la distancia de este punto a otro foco en valor absoluto es una constante.Cualquier otro punto que cumpla con este valor es un punto de la Hipérbola.
F2
Q
Distancia de QF1 - Distancia de QF2 = Constante
Recta Directriz
La formación es igual a las anteriores cónicas considerando a la Excentricidad, es decir que la distancia del punto al foco entre la distancia de este punto a la recta directriz es una constante mayor a 1. Observe la posición de la directriz y el foco.
Excentricidad =QF1/QL
F1 V2
GENERACIÓN DE LA HIPERBOLA
F2V1
Asíntota de la Hipérbola
Eje Transverso
Eje conjugado
a
b c
Se cumple por la misma posición de las distancias del centro que : c2= a2+b2
Recta Directriz
LA EXCENTRICIDAD SIGUE SIENDO e= c/a
Resumen de las ecuaciones de las cónicas
Siempre busque las variables al cuadrado, de faltar una cualquiera, entonces se trata de una Parábola.Si tiene las dos variables al cuadrado y de signos diferentes, entonces se trata de una Hipérbola.Si tiene las dos variables al cuadrado y son los signos iguales, entonces observe los coeficientes.Si son iguales, podría ser Circunferencia.Si son diferentes podría ser Elipse.
Recuerde: (x – h)2+ (y – k)2 = r2 (x – h)2 = 4p(y-k) ò (y – k)2 = 4p(x-h)
(x – h)2 (y – k)2 = 1
a2 b2
(x – h)2 (y – k)2 = 1
a2 b2+ -