laboratorio_de_fisica_2_2012-1

“Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA QUIMICA Y TEXTIL

INFORME DE LABORATORIO N° 01

Lugar de realización de la práctica:

Laboratorio de Física General

Pabellón R - Facultad de Ciencias

Profesores responsables del curso:

Lic.

Lic.

Integrantes:

Dextre Rubina, Andy Roy

Fernandez Quispe, Jonathan Wilson

Gomez Lizana , Gian Paul

Mesa: E9

Sección:B

Fecha de realización de la práctica: 05 de setiembre del 2011

Fecha de entrega del informe: 19 de setiembre del 2011

Física II

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL

LIMA – PERÚ

EXPERIMENTO:

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

I. OBJETIVOS Y FUNDAMENTO TEORICO

OBJETIVOS:

Obtener el periodo del péndulo físico de manera gráfica empleando datos obtenidos en el laboratorio.

Comprobar los datos experimentales con los teóricos con la ayuda del teorema de Steiner

FUNDAMENTO TEORICO

PénduloSimple: Es un sistema que está conformado por un hilo inextensible de masa despreciable y un cuerpo de masa puntual.Si partimos de una posición de equilibrio,llevamos el cuerpo hasta un cierto punto y lo soltamos va ver una fuerza que lo vuelva a colocar en su posición inicial(equilibrio).

Demostración de la frecuencia angular del péndulo simple:

INFORME DE LABORATORIO Nº1PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Moglfm1309_pendulosimple.jpg


Primero descomponemos la fuerza de gravedad y tomamos la línea radial debido que vendría a ser la fuerza restauradora el cual presenta un signo negativo debido a quem se opone al desplazamiento , aplicamos la segunda ley de newton:

De ahí at aceleración tangencial

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

siendo (aceleración angular) , de modo que la ecuación diferencial del movimiento es:

PENDULO FISICO: es un sistema con un sólo grado de libertad; que tiene una posición la cual queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.

El periodo de las oscilaciones no depende la masa del cuerpo colgante ni de la amplitud angular,su expresión en el péndulo físico.



Longitud reducida

La longitud reducida se halla igualando el periodo simple con el periodo de un péndulo físico

y, por lo tanto, tenemos que

Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de cetro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducidaλ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ.

II. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y DATOS OBTENIDOS

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

1. Colocamos el soporte en un extremo de la mesa sosteniendo con las mordazas simples.

2. Encima de la cuchilla del soporte colocamos la barra con agujeros para ubicar el centro de gravedad(CG) que es el punto en el cual la barra se mantiene en equilibrio y marcamos el punto.

3. Medimos una distancia desde el centro del primer agujero hasta el centro de gravedad de la barra el cual anotamos como l.

4. Luego suspendemos la barra colocando el primer agujero en la cuchilla,desplazamos hasta una cierta posición que forme 15 grados o menos entre la barra y un eje vertical.

5. De ahí soltamos la barra dejando que oscile 20 oscilaciones midiendo el tiempo con un cronometro.Esto se va a realizar en los primeros 7 agujeros.

6. Para el agujero 8, 9 y 10 se va a medir el tiempo que ocurren 10 oscilaciones .


http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple_equivalente

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eje_de_suspensi%C3%B3n&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_reducida

http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_oscilaci%C3%B3n


7. Finalmente medimos el largo de la barra, suanchura,el diámetro de cada agujero,la masa de la barra.

DATOS OBTENIDOS:

Datos para la barra:

m = 1.892 kg

L = 1.10 m

b = 3.5cm

D agujero= 1.5 cm

Nº agujeros = 21

III. CALCULOS:

1. Llene la tabla con las siguientes características:

Nº de hueco l (cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) tprom

Nº de oscilacione

sT (s)

1 51 33.43 33.65 33.47 33.51 20 1.6755

2 46 32.76 32.63 32.91 32.76 20 1.638

3 41 32.32 32.35 32.33 32.35 20 1.6175

4 36 31.77 31.88 31.89 31.84 20 1.59

5 31 31.86 31.88 31.88 31.87 20 1.59

6 26 32.14 32.24 32.24 32.23 20 1.61



7 21 33.97 33.70 33.69 33.78 20 1.68

8 16 17.67 18.01 17.84 17.84 10 1.784

9 11 20.32 20.35 20.58 20.41 10 2.041

10 6 26.77 26.69 26.96 26.80 10

2. Responda a las preguntas:

a) Grafique T vs. l (T en el eje vertical y l en el eje horizontal)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

l distancia (m)

T pe

riodo

(s)

l (m) T (s)0.501 1.6630.451 1.6320.401 1.5950.351 1.5750.301 1.5670.251 1.5890.201 1.6260.151 1.7320.101 1.9950.051 2.66


b) A partir de la ecuación del periodo del péndulo físico, con I1, dado por la ecuación del Teorema de Steiner, encuentre el valor de l para que el periodo tenga el mínimo valor:

Ecuación del periodo del péndulo físico:

T=2π √ I 1mgl

Ecuación del Teorema de Steiner:

I 1=IG+ml2

De ambas ecuaciones obtenemos:

T=2π √ IG+ml2mgl

Para que T tenga su mínimo valor hacemos que:

dTdl

=0

dTdl

=2π . 12 ( I 1mgl )

−12 ( 2ml .mgl−mg ( IG+ml2 )

(mgl )2 )=0π . 1

√ I 1mgl

.( 2m2g l2−mg IG−m

2g l2

(mgl )2 )=0



m2g l2−mg IG(mgl )2

=0

m2g l2−mg IG=0

mg (m l2−IG )=0

ml2−IG=0

l2=IGm

l=√ IGmPero:

IG=112m(L2+b2)

⇒ l=√ 112 m(L2+b2)

m=√ 112 (L2+b2)

L = 1.10 m = 110cm

b = 3.5cm

Reemplazando los valores:

⇒ l=31.7cm

c) Compare el valor de l obtenido en b) con el que obtiene de la gráfica en a)

De la gráfica en a):

La ecuación de la parábola mínimo cuadrática, que es la que mejor se ajusta a los puntos de la gráfica es:

T=11.57 l2−7.888 l+2.820

Para que T tenga su mínimo valor hacemos que:

dTdl

=0



⟹ dTdl

=23.14 l−7.888=0

l=0.341m

De la gráfica en a) obtenemos que el valor de l para que T tome su mínimo valor es:

l=34.1cm

Y de b) obtenemos que debe ser:

l=31.7 cm

d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia?

T=2π √ IG+ml2mgl

T=2π √ 112 x 1.892 x (1.102+0.0352 )+1.892(0.317)2

1.892x 9.8 x0.317

T=2.3 s

e) De su gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos.



Para

deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo solo basta con trazar una línea horizontal que corte a la gráfica, y esta línea la va a cortar en dos puntos por ser la gráfica una parábola, dichos puntos serán los puntos de oscilación con el mismo periodo.

Por ejemplo, buscamos dos puntos cuyo periodo sea 1.6 s, de la ecuación de la parábola:

T=11.57 l2−7.888 l+2.820=1.6

11.57 l2−7.888 l+1.22=0

Resolviendo la ecuación: l1=0.44m l2=0.24m

Para los puntos de oscilación 44 cm y 24 cm se tiene el mismo periodo de 1.6 s.

3. Con el valor de T conocido experimentales, encuentre utilizándola ecuación del periodo de un péndulo físico, el valor de I1y llene la tabla con las siguientes características:

T=2π √ I 1mgl

I 1=T 2

4 π2mgl

Tenemos que: g = 9.8 m/s2

m = 1.884 kg

Nº de huecoEje de

oscilaciónl (m)

(Periodo)2

T2 (s2)Momento de

InerciaI1

l2 (m2)

1 0.51 2.80 0.38 0.2601


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

l distancia (m)

T pe

riodo

(s)


2 0.46 2.68 0.39 0.26163 0.41 2.61 0.40 0.16814 0.36 2.35 0.41 0.12915 0.31 2.53 0.43 0.09616 0.26 2.59 0.46 0.06767 0.21 2.85 0.50 0.04418 0.16 3.18 0.57 0.02569 0.11 4.16 0.67 0.011210 0.06 7.18 0.91 0.0036

4. Haga el gráfico I1 vs. l2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

l2 Longitud (m2)

I1 M

omen

to d

e In

ercia

(kg.

m2)


l2 I1

0.251 0.6480.203 0.5620.161 0.4770.123 0.4070.091 0.3460.063 0.2960.040 0.2490.023 0.2120.010 0.1880.003 0.169


5. Del gráfico anterior, y por comparación con la ecuación del Teorema de Steiner, determine IG y m.

I 1=IG+ml2=m l2+ IG

De la gráfica, la ecuación de la recta que mejor se ajusta es:

I 1=1.921⏟m

l2+0.169⏟IG

Por lo tanto: m = 1.921 kgIG = 0.169 kg.m2

6. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para una barra de longitud L y ancho b:

IG=112m ( L2+b2 )

¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa?

Tenemos los datos: m = 1.884 kgL = 1.12 mb = 3.65 cm = 0.0365 m

Reemplazando:

IG=112x1.884 x (1.122+0.03652)

IG=0.197 kg .m2

Porcentaje de error:0.197−0.169

0.197x100=14.21%

ERROR = 14.21 %Acerca de la masa podemos decir que nuestro valor experimental 1.921 kg se acerca mucho al valor real 1.884kg.

7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor del aula que le asigne el número de hueco.

N° de hueco = 5Para el hueco 5:

T f=2π √ I 1mgl

=2π √ IG+ml2mgl

T s=2 π √ l1gIgualando:

2π √ IG+ml2mgl=2π √ l1g



IG+ml2

ml=l1

112m (L2+b2 )+m l2

ml=l1

L2+b2

l+l=l1

L = 110 cm b = 3.5 cm l = 31 cmReemplazando tenemos:

l1=421cm⇒ l1=4 .21m

8. Demuestre en forma analítica las ecuaciones del periodo del péndulo físico y del teorema de Steiner.

DEMOSTRACION DE LA ECUACION DEL PERIODO DEL PENDULOFISICO:

El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; que tiene una posición la cual queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.

Llamaremos a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo



Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir

la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

que podemos escribir en la forma

que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.

En el caso de la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner senθ ≈ θ y la ecuación adopta la forma

que corresponde a un movimiento armónico simple.



El periodo de las oscilaciones no depende la masa del cuerpo colgante ni de la amplitud angular, su expresión en el péndulo físico.

DEMOSTRACION DE LA ECUACION DEL TEOREMA DE STEINER:

Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes, por tanto:


http://2.bp.blogspot.com/-Dgwv7QIARHs/TaHMtImvs2I/AAAAAAAAAa8/b4DW-U53RFE/s1600/steiner4.jpg

http://1.bp.blogspot.com/-HmGBtbib_vc/TaHJk1U2BNI/AAAAAAAAAa4/0umjUZQUvSg/s1600/steiner3.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-Dgwv7QIARHs/TaHMtImvs2I/AAAAAAAAAa8/b4DW-U53RFE/s1600/steiner4.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-pG7a7Ja2BOQ/TaHPsavE0_I/AAAAAAAAAbA/htqy4y3aRgM/s1600/Ssteiner5.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-mYACjcMIhlY/TaHSHBnQSzI/AAAAAAAAAbE/25GkKLeZfbA/s1600/steiner6.jpg


IV. OBSERVACIONES, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

OBSERVACIONES:

- En las oscilaciones que dio el péndulo simple en distintos casos, el ángulo que se soltó es diferente, varia pero teóricamente la medida del ángulo no influye en el resultado.

- El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilación experimental como también teórico son diferentes debido a que no se consideran los huecos.

- Mediante la precisión de muestro cronometro el tiempo medido para cada caso varia.


http://3.bp.blogspot.com/-Vq2aIDg3r6k/TaHGYylz5uI/AAAAAAAAAa0/atYL0geu0bk/s1600/steiner2.jpg


CONCLUSIONES:

- En un péndulo físico se concluye que cuanto más se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, el periodo disminuye luego aumenta.

- Utilizando el periodo experimental se pudo hallar la longitud de un péndulo simple.- Se concluye que hay fuerzas que no se consideran en los resultados como son la

fuerza de fricción, etc.- Se pudo poner en énfasis las formulas del péndulo en clases.- Concluimos que el momento- Es más accesible utilizar el péndulo físico para cuerpos que no se conocen su

geometría para hallar el momento de inercia.

RECOMENDACIONES:

- Limpiar las manchas marcadas en las barras para no tener el error en el momento de medir el centro de gravedad

- Se recomienda utilizar las masas de los huecos para que los resultados salgan más precisos.

V. BIBLIOGRAFIA

www.portalplanetasedna.com.ar/pendulo.htm

http://momentosdeinercia.blogspot.com/p/teorema-de-steiner.html

http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico


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