Demostracin del teorema de bernoulli

DEMOSTRACIN DEL TEOREMA DE BERNOULLI20

OBJETIVOS

Aplicar los principios bsicos de la mecnica de fluidos. Hallar la seccin hidrulica, encontrando las velocidades con la ayuda del teorema de Torricelli. Obtener datos experimentales a partir de una de las aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli. Realizar comparaciones entre los datos obtenidos y los tericos. Verificar que la ecuacin de Bernoulli se cumple en el experimento.

INTRODUCCIN

En el ensayo presente se demostrara la ecuacin de Bernoulli, por lo que se analizara la velocidad para cada caso de caudal y se comparar la altura total de presiones obtenidas experimentalmente.La ecuacin de Bernoulli es uno de los pilares fundamentales de la hidrodinmica y son innumerables los problemas prcticos en los cuales se puede aplicar esta ecuacin y obtener un resultado bastante aproximado.Con esta se puede determinar la altura a la que se debe instalar una bomba y la altura efectiva o til necesaria.La ecuacin de Bernoulli permite estudiar el problema de cavitacin en las bombas y turbinas; y adems calcular el tubo de aspiracin de una turbina.La medicin de la altura dinmica y esttica, representa uno de los factores crticos a tener en cuenta en el diseo de las turbo maquinas descritas anteriormente por tanto estudiar las alturas utilizando un arreglo de tubo Venturi resulta muy prctico para la recoleccin y comparacin de datos.

MARCO TERICOPRINCIPIO DE BERNOULLIEl principio de Bernoulli, tambin denominado ecuacin de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una lnea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinmica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:1.- Cintico: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido.2.-Potencial gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluido posea. 3.- Energa de flujo: es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee.La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

Dnde: V = velocidad del fluido en la seccin considerada. g = aceleracin gravitatoria z = altura geomtrica en la direccin de la gravedad P = presin a lo largo de la lnea de corriente = peso especfico del fluido

Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos: Viscosidad (friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona no viscosa del fluido. Caudal constante. Fluido incompresible - es constante. La ecuacin se aplica a lo largo de una lnea de corriente.Caractersticas Y Consecuencias Cada uno de los trminos de esta ecuacin tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energa; en hidrulica es comn expresar la energa en trminos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta ltima traduccin del ingls head. As en la ecuacin de Bernoulli los trminos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presin y cabezal hidrulico, del ingls hidrulica head; el trmino z se suele agrupar con para dar lugar a la llamada altura piezomtrica o tambin carga piezomtrica.

Tambin podemos reescribir la este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuacin por , de esta forma el trmino relativo a la velocidad se llamar presin dinmica, los trminos de presin y altura se agrupan en la presin esttica.

Esquema del efecto Venturi.

O escrita de otra manera ms sencilla:

Dnde: p .Igualmente podemos escribir la misma ecuacin como la suma de la energa cintica, la energa de flujo y la energa potencial gravitatoria por unidad de masa:As el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservacin de la energa, es decir, en una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminucin o el aumento de las otras dos.

Esta ecuacin permite explicar fenmenos como el efecto Venturi, ya que la aceleracin de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energa potencial) implicara una disminucin de la presin. Gracias a este efecto observamos que las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un carro en movimiento cuando se abren las ventanas, ya que la presin del aire es menor fuera del auto ya que est en movimiento respecto a aqul que se encuentra dentro del auto, donde la presin es necesariamente mayor; pero en forma aparentemente contradictoria el aire entra al carro, pero sto ocurre por fenmenos de turbulencia y capa lmite.

Dnde: = el Peso especfico ( = g). h = medida de la energa que se le suministra al fluido. hf = medida de la energa empleada en vencer las fuerzas de friccin a travs del recorrido del fluido. Los subndices 1 y 2 indican si los valores estn dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente.

Suposiciones La ecuacin arriba escrita es un derivado de la primera ley de la termodinmica para flujos de fluido con las siguientes caractersticas. El fluido de trabajo, es decir, aqul que fluye y que estamos considerando, tiene una densidad constante.

MATERIALES Y EQUIPOSEQUIPOSFME 00 BANCO HIDRULICO

Este sistema modular ha sido desarrollado para investigar experimentalmente los muchos y diferentes aspectos de la teora hidrulica.

El tanque de medicin volumtrica est escalonado, permitiendo medir caudales altos o bajos. Un deflector de amortiguacin reduce la turbulencia y un vaso comunicante exterior con escala marcada ofrece una indicacin instantnea del nivel de agua. El suministro incluye un cilindro medidor para la medicin de caudales muy pequeos. Al abrir la vlvula de vaciado el volumen de agua medido vuelve al depsito situado en la base del banco para su reciclado. Un rebosadero integrado en el tanque volumtrico evita derramamientos. El agua es trada desde el depsito por una bomba centrfuga, y una vlvula de control en by-pass montada en el panel frontal regula el caudal. Un acoplamiento rpido de tuberas fcil de usar situado en la parte superior del banco permite cambiar rpidamente de accesorio sin necesidad de utilizar herramientas.

FME 03 EQUIPO PARA LA DEMOSTRACIN DEL TEOREMA DE BERNOULLI

El mdulo para Demostracin del Teorema de Bernoulli (FME03) est formado principalmente por un conducto de seccin circular con la forma de un cono truncado, transparente y con siete llaves de presin, que permiten medir, simultneamente, los valores de la presin esttica correspondientes a cada seccin.Todas las llaves de presin estn conectadas a un manmetro con un colector de agua (el agua puede ser presurizada). Los extremos de los conductos son extrables, lo que permite su colocacin de forma convergente o divergente respecto a la direccin del flujo. Se dispone, asimismo, de una sonda (tubo de Pitot), movindose a lo largo de la seccin para medir la altura en cada seccin (presin dinmica).

La presin del agua as como el caudal, puede ser ajustada mediante la vlvula de control situada a la salida del mdulo. Una manguera flexible unida a la tubera de salida se dirige al tanque volumtrico de medida. Para las prcticas, el mdulo se montar sobre una superficie de trabajo del Banco Hidrulico (FME00). Tiene patas ajustables para poderlo nivelar. MATERIALESAGUAFluido del cual determinaremos la presin experimentalmente y tericamente empleando los equipos sealados. Es necesario contar con suministros de agua.

CRONOMETROUsado para determinar el tiempo en cada ensayo, volumen pequeo, medio y grande.

PROBETA:Usado para contener el fluido y para verter en el equipo de presin sobre superficies cuando se van agregando las pesas.

PROCEDIMIENTO Y TOMA DE DATOS

Ajustar, con cuidado, el caudal de entrada y la vlvula de control de salida para proporcionar al sistema la combinacin caudal presin capaz de establecer en el interior de los tubos piezomtricos la mayor diferencia de niveles que sea posible. Tomar nota de las lecturas de escala correspondiente a los niveles alcanzados en los tubos piezomtricos.

Utilizando el tanque volumtrico y cronmetro, determinar el valor del caudal realizando, al menos, tres mediciones.

Desplazar la sonda (Tubo de Pitot), en operaciones sucesivas, a cada una de las secciones que han de estudiarse y anotar las lecturas de escala correspondiente, que indican la altura de carga total en las mismas. Repetir todo el procedimiento variando el grado de apertura de las vlvulas para obtener otros valores de caudal y de presin. Cerrar la alimentacin de entrada y parar la bomba. Desaguar el aparato. Retirar la sonda del interior del conducto (nicamente la longitud estrictamente necesaria). Aflojar las piezas extremas de acoplamiento del tubo de pruebas. Extraer el tubo y volver a montar en sentido contrario. Realizar de nuevo todo el proceso.

TOMA DE DATOS Y RESULTADOS

PRIMERA TOMA DE DATOS

Los datos que tomamos en el laboratorio son los siguientes:

CALCULO DE LAS SECCIONES DEL TUBO DE VENTOURI:Primero elegimos una velocidad cualquiera con el equipo y medimos las alturas piezometricas.Que se resumen en la siguiente tabla.

SeccionH (mm)H pitot(mm)

0364380

1362380

2184344

3198341

4226338

5254335

6285310

Luego calculamos el caudal de la tubera haciendo una medicin de tiempo y de volumen.El caudal ser calculado como:

Al efectuar la divisin Vol/ tiempo nos arroja diversos valores del caudal los cuales tendremos que promediar para conocer su valor ms cercano.

tiempo (seg)volumen (l)Caudal(m3/seg)

5,320,0007800,00014661654135

4,480,0007150,00015959821429

4,390,0006900,00015717539863

3,510,0005250,00014957264957

Qpromedio0,00015324070096

Para calcular el caudal promedio tenemos que considerar que en los valores encontrados para el caudal, existen algunos que se alejan mucho del rango esperado. En este caso la diferencia entre caudales no es mucha por lo que no se consideraran todas.

EL PROMEDIO SERIA

Una vez obtenidos las medidas de alturas de presin por cada seccin del tubo de Venturi y su correspondiente altura de Pitot con seis caudales distintos, se procede a calcular la Velocidad que ha pasado por cada seccin del tubo de Venturi con la siguiente frmula (teorema de Torricelli):

Con las velocidades correspondientes a cada seccin y caudal se procede a calcular las distintas reas de las secciones del tubo de Venturi con la siguiente formula:

SeccionH (mm)H pitot(mm)Caudal (m3/seg)Velocidad (m/s)Area (m2)

03643800,0001532410,560290,000273505

13623800,0001532410,594270,000257863

21843440,0001532411,771788,64897E-05

31983410,0001532411,675019,14864E-05

42263380,0001532411,482380,000103375

52543350,0001532411,260640,000121558

62853100,0001532410,700360,000218804

CALCULO DE LAS PRESIONES, POR EL TEOREMA DE BERNOULLI:

Para el clculo de la presin dos se tomara como referencia la presin 1 que tenemos experimentalmente; al igual que las velocidades encontradas. Este procedimiento se repetir para las siguientes presiones.Segn Bernoulli, tenemos:

Calculamos las nuevas reas:

SEGUNDA TOMA DE DATOS

CALCULO DE LAS SECCIONES DEL TUBO DE VENTOURI:Igual que el primero, elegimos una velocidad cualquiera con el equipo y medimos las alturas piezometricas.Que se resumen en la siguiente tabla.

SeccionH (mm)H pitot(mm)

0445468

1108424

2135414

3164406

4210402

5258396

6314356

Luego calculamos el caudal de la tubera haciendo una medicin de tiempo y de volumen.El caudal ser calculado como:

Al efectuar la divisin Vol/ tiempo nos arroja diversos valores del caudal los cuales tendremos que promediar para conocer su valor ms cercano.

tiempo (seg)volumen (l)Caudal(m3/seg)

4,620,0008600,00018614718615

3,920,0007900,00020153061224

4,120,0007960,00019320388350

4,170,0008200,00019664268585

Qpromedio0,00019438109193

Para calcular el caudal promedio tenemos que considerar que en los valores encontrados para el caudal, existen algunos que se alejan mucho del rango esperado. En este caso la diferencia entre caudales no es mucha por lo que no se consideraran todas.

EL PROMEDIO SERIA

Una vez obtenidos las medidas de alturas de presin por cada seccin del tubo de Venturi y su correspondiente altura de Pitot con seis caudales distintos, se procede a calcular la Velocidad que ha pasado por cada seccin del tubo de Venturi con la siguiente frmula (teorema de Torricelli):

Con las velocidades correspondientes a cada seccin y caudal se procede a calcular las distintas reas de las secciones del tubo de Venturi con la siguiente formula:

SeccionH (mm)H pitot(mm)Caudal (m3/seg)Velocidad (m/s)Area (m2)

04454680,0001943810,671760,000289361

11084240,0001943812,489967,80658E-05

21354140,0001943812,339658,30811E-05

31644060,0001943812,179008,92066E-05

42104020,0001943811,940890,000100151

52583960,0001943811,645470,000118131

63143560,0001943810,907770,000214131

CALCULO DE LAS PRESIONES, POR EL TEOREMA DE BERNOULLI:

Para el clculo de la presin dos se tomara como referencia la presin 1 que tenemos experimentalmente; al igual que las velocidades encontradas. Este procedimiento se repetir para las siguientes presiones.Segn Bernoulli, tenemos:

Calculamos las nuevas reas:

CONCLUSIONES

En ambos casos podemos decir que en el Teorema de Bernoulli no se cumple del todo, esto se debe a que solo se tom como referencia una lnea de corriente, mientras que en la realidad por las tuberas pasan mltiples lneas de corriente, existen rozamientos, fricciones, etc y diversos factores que harn que se pierda energa y q no se cumpla el principio de Bernoulli a menos que se considere una sumatoria de perdida de energa en el segundo punto a evaluar.

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